数值分析答案

数值分析模拟试题1

注：计算题取小数点后四位。

注：计算题取小数点后四位。

1. (10分)利用Gauss-Legendre 求积公式

⎰-++-≈1

1)7746.0(5556.0)0(8889.0)7746.0(5556.0)(f f f dx x f

导出求积分0

3()f x dx -⎰的三点高斯型求积公式。

2. (15分)写出求解线性代数方程组

123121322531272

x x x x x x x -+=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩ 的Gauss-Seidel 迭代格式，并分析此格式的敛散性。

3. (15分)

设矩阵21011000201010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎥⎦， （1）试计算 ||||A ∞。

（2）用Householder 变换阵H 将A 相似约化为上Hessenberg 阵，即HAH 为上

Hessenberg 阵。

4. (10分) 求关于点集{}1,2,3,4的正交多项式

{}012(),(),()x x x ϕϕϕ。

5. (10分)用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据

1.0

2.0

3.0

4.00.8 1.5 1.8 2.0i i

x y ⎧⎨⎩

6. (20分)给出数据点： 013419156i i

x y =⎧⎨=⎩ （1）用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)L 。

（2）用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)N 。

（3）用事后误差估计方法估计2(1.5)L 、2(1.5)N 的误差。

7．(10分) 设矩阵A 可逆，A δ为A 的误差矩阵，证明：当11

A A δ-<时，

A A δ+也可逆。

8．(10分)设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2.i x x ih i =+=试建立如下数值微分

公式

''01212()2()()()f x f x f x f x h -+≈ 并推导该公式的截断误差。