北师大中考数学总复习《圆的有关性质》课件
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中考数学复习20：圆的有关性质(共27张PPT)
12．（2013广东佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则 圆心到这条弦的距离是（ C ） A．3 B．4 C． 5 D． 7 13 ．（ 2013 湖北黄冈）如图， M 是 CD 的中点， EM ⊥ CD ，若 CD＝4，EM＝8，则CED所在圆的半径为_____________．
14 ．（ 2013 山东济南）如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点 ，AB＝10，AC＝6，垂足为D，则BD的长为（ C ） A．2 B．3 C．4 D．6 15．（2013四川乐山）如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的 ⊙B与y轴的正半轴交于点A(0，1)，过点P(0，－7)的直线l与⊙B相 交于C、D两点，则弦CD的长所有可能的整数值有（ C ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
7．（2013安徽）如图，点P是等边△ABC外接圆⊙O上点，在以下判断中， 不正确的是（ C ） A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
8．（2013福建莆田）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，则 ∠OBC的度数为（ A ） A．40° B． 50° C．80° D． 100° 9．（2013山东莱芜）如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则 ∠C的度数为（ D ） A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5°
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D．
【思维模式】求过圆内一点最短弦长的方法是先过该点作圆的 直径，然后过该点作垂直于直径的弦，构造出垂径定理模型．
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中考数学最新课件-北师版中考数学圆的总复习 精品
弧长、扇形面积 和圆锥的侧面积：
l
n r
180
s扇形
n r2
360
s扇形
1 2
lr
s圆锥侧 rl
点和圆的 点在圆外，点到圆心的距离大于半径；点在圆上，点到圆心 位置关系 的距离等于半径；点在圆内，点到圆心的距离小于半径。
圆 和 其 他
直线和圆
相离，圆心到 直线的距离 D>R
相切，圆心到 直线的距离 D=R
5 如图， A. B. C 两两不相交，且他们的半径都是1cm，图中三个阴影的面积和是———；
15 cm 6 一圆 锥侧面展开面积是
2 ，母线长5cm， 则底面半径是————。
圆
弦心距之间的关系：2 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧
两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量也相等。
圆周角与圆 1 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
心角的关系：2
3
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
直径所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦 是直径。
内切，圆心距 D =R-r
三角形和圆 的位置关系
相交
相交，圆心距 R-r< D< R+r
外接圆：过三角形三个顶点的圆，其圆心是三角形
三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
内切圆：和三角形三边都相切的圆，其圆心是三角形 个角平分线的交点，叫做三角形的内心。
测试题
O 1 已知A为上 O 上一点， 的半径是1，平面上有另一点P，且PA= 3
概念：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
圆是轴对称图形，也是中心对称图形。 对称轴是任一条过圆心的直线，对称中心是圆心。
北师大版中考数学知识点复习课件第21讲圆的基本性质
第六单元圆第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上。
中考数学 第39课时 圆的基本性质课件 北师大版
2
【技巧点拨】 圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称 轴. （2）弦的垂直平分线是它的对称轴.
垂径定理 【例2】(10分）（2011·上海中考）如 图，点C，D分别在扇形AOB的半径OA， OB的延长线上，且OA=3，AC=2，CD∥AB， 并与弧AB相交于点M，N. (1)求线段OD的长； (2)若 tanC 1，求弦MN的长.
二、圆的有关性质 1.对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形. 2.垂径定理：垂直于弦的直径_平__分__这条弦，并且_平__分__弦所对 的弧. 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 弧.
【核心点拨】 1.圆的有关概念：明确圆、弧、等弧、弦等概念. 2.圆的有关性质：重点理解圆的对称性和垂径定理，尤其注意 推论中被平分的弦不是直径.
【解析】过点O作OM⊥DE于点M，连接OD,
则 DM 1∵DDEE. =8,∴DM=4.在Rt△ODM中，∵OD=OC=5,
2
∴ OM OD2 DM2∴直5尺2 的4宽2 度3.为3 cm.
【特别提醒】 运用垂径定理的两点注意 1.这里的垂径可以是直径、半径，过圆心的直线或线段； 2.条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弦所对的两条 弧”既意味着平分弦所对的劣弧，又意味着平分弦所对的优 弧．
【解析】∵OC⊥AB，根据垂径定理，得：BC 3在，Rt△OCB 中，根据勾股定理，得：OB BC2 OC2 2. 答案：2
6.（2010·长春中考)如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半 圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于 点D,E，量出半径OC＝5 cm，弦DE＝8 cm，求直尺的宽．
2.（2011·福州中考）如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点， 得到菱形ABCD，若BD=6,DF＝4,则菱形ABCD的边长为( )
【技巧点拨】 圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称 轴. （2）弦的垂直平分线是它的对称轴.
垂径定理 【例2】(10分）（2011·上海中考）如 图，点C，D分别在扇形AOB的半径OA， OB的延长线上，且OA=3，AC=2，CD∥AB， 并与弧AB相交于点M，N. (1)求线段OD的长； (2)若 tanC 1，求弦MN的长.
二、圆的有关性质 1.对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形. 2.垂径定理：垂直于弦的直径_平__分__这条弦，并且_平__分__弦所对 的弧. 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 弧.
【核心点拨】 1.圆的有关概念：明确圆、弧、等弧、弦等概念. 2.圆的有关性质：重点理解圆的对称性和垂径定理，尤其注意 推论中被平分的弦不是直径.
【解析】过点O作OM⊥DE于点M，连接OD,
则 DM 1∵DDEE. =8,∴DM=4.在Rt△ODM中，∵OD=OC=5,
2
∴ OM OD2 DM2∴直5尺2 的4宽2 度3.为3 cm.
【特别提醒】 运用垂径定理的两点注意 1.这里的垂径可以是直径、半径，过圆心的直线或线段； 2.条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弦所对的两条 弧”既意味着平分弦所对的劣弧，又意味着平分弦所对的优 弧．
【解析】∵OC⊥AB，根据垂径定理，得：BC 3在，Rt△OCB 中，根据勾股定理，得：OB BC2 OC2 2. 答案：2
6.（2010·长春中考)如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半 圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于 点D,E，量出半径OC＝5 cm，弦DE＝8 cm，求直尺的宽．
2.（2011·福州中考）如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点， 得到菱形ABCD，若BD=6,DF＝4,则菱形ABCD的边长为( )
北师大版中考专题复习课件：圆的基本性质(共张)
圆与其他图形的交点作图
圆与其他图形的交点：圆与其他图形的交点可以是直线、曲线、点等。 直线与圆的交点：直线与圆的交点可以是一个点，也可以是两个点。 曲线与圆的交点：曲线与圆的交点可以是一个点，也可以是多个点。 点与圆的交点：点与圆的交点可以是一个点，也可以是多个点。
圆与其他图形的相切作图
确定半径：选择任意长 度作为半径
圆周角与圆心角的关系
圆周角：圆周上任意一点与圆心连线所成的角
圆心角：圆心与圆周上任意一点连线所成的角
关系：圆周角等于圆心角的一半
证明：利用圆周角与圆心角的定义，结合三角形内角和定理，可以证明圆周角等于圆心角的 一半。
圆与直线的位置关系
圆与直线相交： 圆心到直线的 距离小于半径
圆与直线相切： 圆心到直线的 距离等于半径
连接切点：连接切点与 圆心，得到切线
确定切点：选择与圆相 切的点
确定切线：选择与圆相 切的线
连接切点：连接切点与 圆心，得到切线
确定圆心：选择任意一 点作为圆心
确定切点：选择与圆相 切的点
确定切线：选择与圆相 切的线
连接切点：连接切点与 圆心，得到切线
确定切点：选择与圆相 切的点
汇报人：PPT
圆心性质
圆心是圆的中心点， 也是圆的对称中心
圆心到圆上任意一 点的距离相等，这 个距离称为半径
圆心是圆的内接正 多边形的中心，也 是圆的外切正多边 形的中心
圆心是圆的内接正 多边形的顶点，也 是圆的外切正多边 形的顶点
半径性质
半径是圆的基本属性之一，决 定了圆的大小
半径是连接圆心和圆上任意一 点的线段
内接多边形的边长：等于圆 的半径
内接多边形的边数：与圆的 直径数相同
内接多边形的面积：等于圆 的面积乘以边数
圆的有关性质ppt课件
7.1.4 圆周角定理及推论
（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. （2）推论：半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所 对 的弦是直径.
7.1.5 圆内接四边形
（1）定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个 四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. （2）性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于 它的内对角.
7.1.5 圆内接四边形
（1）定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个 四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. （2）性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于 它的内对角.
【例1】如图，在⊙O中， A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直 径CD∥AB，连接AC，则∠BAC= 35 度.
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. （3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线 长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
【例1】在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，
位置如图所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以
为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、
（3）正多边形的有关计算：
①边长：an=2Rn·sin180°/n
②周长：Pn=n·an
③边心距：rn=Rn·cos180°/n
④面积：Sn=
1 2
an·rn·n
⑤内角：n 2180
n
⑥外角：360
n
⑦中心角： 36n0（Rn为正多边形的半径，rn为边心距，an为边长）
7.3.2 圆的周长与弧长公式
2015中考数学总复习课件：第26课时 圆的有关性质(共31张PPT)
考点聚焦 归类探究 回归教材
第26课时┃ 圆的有关性质
回 归 教 材
垂径定理的应用 教材母题——北师大版九下 P75 例题
︵
如图 26－5，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点 O
︵ ︵
是CD所在圆的圆心)，其中 CD＝600 m，E 为CD 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF＝ 90 m．求这段弯路的半径．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第26课时┃ 圆的有关性质
中考预测 1．如图 26－6 所示，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB， 26° 垂足为 E，若∠AOD＝52°，则∠DCB＝________.
图 26－6
图 26－7
2．如图 26－7 所示，AB 是⊙O 的弦，OH⊥AB 于点 H，
60° ． 点 P 是优弧上一点． 若 AB＝2 3， OH＝1， 则∠APB＝________
考点聚焦
归类探究
回归教材
第26课时┃ 圆的有关性质
例 3 [2014· 黄石改编] 如图 26－2， A， B 是⊙O 上的两点， ∠AOB＝120°，C 是AB的中点，连接 AB，AC，BC. 求证：AB 平分∠OAC.
图 26－2
考点聚焦
归类探究
回归教材
第26课时┃ 圆的有关性质
证明：连接 OC， ∵∠AOB＝120°，C 是AB的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°. ∵OA＝OC，∴△ACO 是等边三角形， ∴OA＝AC，同理 OB＝BC， ∴OA＝AC＝BC＝OB， ∴四边形 AOBC 是菱形， ∴AB 平分∠OAC.
圆的 定义
弦 直径 弧 优弧 劣弧
大于半圆的弧叫做优弧 小于半圆的弧叫做劣弧
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第26课时┃ 圆的有关性质
回 归 教 材
垂径定理的应用 教材母题——北师大版九下 P75 例题
︵
如图 26－5，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点 O
︵ ︵
是CD所在圆的圆心)，其中 CD＝600 m，E 为CD 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF＝ 90 m．求这段弯路的半径．
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第26课时┃ 圆的有关性质
中考预测 1．如图 26－6 所示，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB， 26° 垂足为 E，若∠AOD＝52°，则∠DCB＝________.
图 26－6
图 26－7
2．如图 26－7 所示，AB 是⊙O 的弦，OH⊥AB 于点 H，
60° ． 点 P 是优弧上一点． 若 AB＝2 3， OH＝1， 则∠APB＝________
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第26课时┃ 圆的有关性质
例 3 [2014· 黄石改编] 如图 26－2， A， B 是⊙O 上的两点， ∠AOB＝120°，C 是AB的中点，连接 AB，AC，BC. 求证：AB 平分∠OAC.
图 26－2
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第26课时┃ 圆的有关性质
证明：连接 OC， ∵∠AOB＝120°，C 是AB的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°. ∵OA＝OC，∴△ACO 是等边三角形， ∴OA＝AC，同理 OB＝BC， ∴OA＝AC＝BC＝OB， ∴四边形 AOBC 是菱形， ∴AB 平分∠OAC.
圆的 定义
弦 直径 弧 优弧 劣弧
大于半圆的弧叫做优弧 小于半圆的弧叫做劣弧
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北师大版九年级数学下册 第三章： 圆的基本性质 课件(共27张PPT)
AF AC ∴AC2＝AG·AF＝192，
∴AC＝8，
在Rt△ACE中，
∵∠AEC＝90°，AC＝8 3，CE＝2 3 ，
∴AE＝ AC2－CE2＝6 5，
易知△ACE∽△ABC，
∴ AC＝AE， AB AC
∴AC2＝AE·AB，
∴AB＝32 5，
5 ∴⊙O的半径为
16 5
5.
满分技法 1. 如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC、BD是⊙O的两条弦，根据同弧所对 的圆周角相等和对顶角相等可得到①△ABM∽△DCM；②△BCM∽△ADM，从而得到
个结论一定成立，即“知二推三”
应用：如图②，半径（OB）、弦心距（OM）和弦的一半（MB）构成直
角三角形，满足勾股定理, OB2＝OM2＋BM2，常用于圆中求线段的长
返回思维导图
弦、弧、圆心 角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相__等___，所对 的弦也相等，所对弦的弦心距也相等 推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组
(4)若CD＝18，AE∶EB＝9∶1，求AB的长．
【思维教练】结合已知及所求AB恰好位于“母子型”相似模型Rt△ACB中，故构造 Rt△AEC∽Rt△CEB，即可求解．
(4)∵AB⊥CD，CD＝18，
∴∠AEC＝∠CEB＝90°，CB BD ，
CE＝DE＝ 1 CD＝ 1 ×18＝9，
2
2
∵∠CAE＋∠ACE＝90°，∠BCE＋∠ACE＝90°，
正多边形和圆
如图⑤，∠DCE＝___∠__A___ 1. 设正n边形的边长为a，则边心距 r
R2
a 2
2
图⑤
的关系
2. 正n边形的周长l＝na；正n边形面积 S 1 nar 1 lr
∴AC＝8，
在Rt△ACE中，
∵∠AEC＝90°，AC＝8 3，CE＝2 3 ，
∴AE＝ AC2－CE2＝6 5，
易知△ACE∽△ABC，
∴ AC＝AE， AB AC
∴AC2＝AE·AB，
∴AB＝32 5，
5 ∴⊙O的半径为
16 5
5.
满分技法 1. 如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC、BD是⊙O的两条弦，根据同弧所对 的圆周角相等和对顶角相等可得到①△ABM∽△DCM；②△BCM∽△ADM，从而得到
个结论一定成立，即“知二推三”
应用：如图②，半径（OB）、弦心距（OM）和弦的一半（MB）构成直
角三角形，满足勾股定理, OB2＝OM2＋BM2，常用于圆中求线段的长
返回思维导图
弦、弧、圆心 角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相__等___，所对 的弦也相等，所对弦的弦心距也相等 推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组
(4)若CD＝18，AE∶EB＝9∶1，求AB的长．
【思维教练】结合已知及所求AB恰好位于“母子型”相似模型Rt△ACB中，故构造 Rt△AEC∽Rt△CEB，即可求解．
(4)∵AB⊥CD，CD＝18，
∴∠AEC＝∠CEB＝90°，CB BD ，
CE＝DE＝ 1 CD＝ 1 ×18＝9，
2
2
∵∠CAE＋∠ACE＝90°，∠BCE＋∠ACE＝90°，
正多边形和圆
如图⑤，∠DCE＝___∠__A___ 1. 设正n边形的边长为a，则边心距 r
R2
a 2
2
图⑤
的关系
2. 正n边形的周长l＝na；正n边形面积 S 1 nar 1 lr
中考数学复习 第6章 圆 第19讲 圆的有关性质课件
A．26π
C9.6 5
B．13π
D.39 10 5
第六页，共二十一页。
1
B 如图，连接OA，∵CD为⊙O的直径(zhíjìng)，弦AB⊥CD，∴AM＝ AB＝
2
6.∵OM∶MD＝5∶8，∴设OM＝5x，DM＝8x.∴OA＝DO＝13x.∴AM＝12x
1
＝6.∴x＝ .∴OA＝
1
×13＝
.13∴⊙O的周长＝2OA·π＝13π.
1．[2015·德州]如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC＝∠CPB
＝60°.
(1)判断△ABC的形状：______； (2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明(zhèngmíng)你的结论； (3)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
2
2
2
第七页，共二十一页。
变式运用► [2017·河北模拟]本市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和 小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并 测得BC长为120米，A到BC的距离为4米，如图所示．
(1)请你帮他们求出该湖的半径；
(2)如果在圆周上再另取一点P，建造一座连接B，C，P三点的三角形艺术(yìshù) 桥，且△BCP为直角三角形，问：这样的P点可以有几处？如何找到？
第六章 圆
第 19 讲 圆的有关(yǒuguān)性质
第一页，共二十一页。
考点(kǎo diǎn)梳理过关
考点(kǎo diǎn)1 圆的有关概念
第二页，共二十一页。
提示►(1)圆的集合定义：在同一平面内到定点的距离(jùlí)等于定长的点的集合叫
做圆．圆是一条封闭的曲线，而不是指“圆面”，圆的面积是指“圆面”的大小；
《圆的有关性质》课件
3
圆的运用：建筑、导航、地理、数学等
圆在许多领域的应用广泛，包括建筑、导航、地理以及数学等。
五、小结
全文总结
在本课程中，我们研究了圆的各种定义、定理、性 质和应用。
圆的学习要点
重点包括圆的定义、基本定理以及圆的应用。请确 保理解这些重要概念。
课后习题
通过课后习题练习巩固你的圆的知识源，可以帮助你 进一步探索和学习。
2 圆周角等于180度
一个圆周角的度数永远是180度。
3 圆内角等于半圆角
一个圆的内角是半圆角。
4 圆内任意一点与圆心连线，所得的
线段等于半径
无论你从圆内的任何一点到圆心画一条线， 这条线段的长度都等于半径。
四、圆的应用
1
圆的测量
通过测量半径、直径或弧长，可以计算圆的属性。
2
圆的面积与周长
了解如何计算圆的面积和周长，并在实际问题中应用。
圆的元素
圆的元素包括圆心、半径、 直径、弧、弦、切线以及割 线。
二、圆的基本定理
圆的切线定理
切线与半径垂直，且 切点在圆上。
圆的割线定理
割线与切线相交，且 切点在圆上。
相交弧定理
相交弧所对圆心角相 等。
圆心角定理
圆心角的度数是弧所 对圆周角度数的两倍。
三、圆的性质
1 同弧度的圆周角相等
如果两个弧度相等，则其对应的圆周角也相 等。
《圆的有关性质》P P T 课 件
欢迎来到《圆的有关性质》PPT课件。在本课程中，我们将探索圆的定义、基 本定理、性质以及应用。让我们一起来探索这个神奇的几何形状吧！
一、圆的定义
什么是圆？
圆是一个平面上所有点与一 个固定点（圆心）的距离相 等的形状。
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类探究
回归教材
中考预测
归 类 探 究
探究一 确定圆的条件
命题角度： 1. 点与圆的位置关系； 2. 确定圆的圆心、半径； 3. 三角形的外接圆的概念和性质． 例1 [2012·资阳] 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三 10或8 ． 角形的外接圆半径是________
考点聚焦
归类探究 回归教材 中考预测
推论
总结
考点聚焦
考点6
圆心角、弧、弦之间的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 弧 相等，所对的______ 弦 相等 的______
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑ 两条弧或两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量也分别相 等
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探究三
圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关 系． 例3 如图28－2，已知AB是⊙O的直径，＝＝.∠BOC＝40°， 那么∠AOE＝( )B A．40° B．60° C．80° D．120°
图28－2
解
析
根据圆心角与弧的关系可求得∠BOE 的度数，从而即可求解． ︵ ＝CD ︵ ＝DE ︵ ，∠BOC＝40° ∵BC ， ∴∠BOE＝3∠BOC＝120° ， ∴∠AOE＝180° －∠BOE＝60° .
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
B．8
解
析
连接 OC， ∵CD⊥AB，CD＝8， 1 1 ∴PC＝ CD＝ × 8＝4. 2 2 在 Rt△OCP 中， ∵PC＝4，OP＝3， ∴OC＝ PC2＋OP2＝ 42＋32＝5.
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等 及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距 的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角 形．
考 点 聚 焦
考点1 多边形
圆的 定义
定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做 圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径
定义2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合
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弦 直径 弧
线段 叫做弦 连接圆上任意两点的________ 经过圆心的弦叫做直径 圆上任意两点间的部分叫做弧
优弧
劣弧
大于半圆的弧叫做优弧
小于半圆的弧叫做劣弧
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考点2
点和圆的位置关系 d>r 点在圆外⇔________
如果圆的半径是r，点 到圆心的距离是d，那 么
d=r 点在圆上⇔________
d<r 点在圆内⇔________
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考点3
确定圆的条件及相关概念
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探究四
圆周角定理及推论
命题角度： 1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数； 2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算． 例4 [2012·湘潭] 如图28－3，在⊙O中，弦AB∥CD，若 ∠ABC＝40°，则∠BOD＝( D ) A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
中考预测
考点7
圆周角
圆周角 定义
圆周角 定理 推论1 推论2 推论3
考点聚焦
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 圆周角 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等于该弧所对的圆心角的 ________ 一半 ________ 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 相等 ______ 直角 ；90° 半圆(或直径)所对的圆周角是______ 直径 的圆周角所对的弦是______ 如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 直角 三角形 那么这个三角形是________
确定圆 的条件 三角形的 外心
不在同一直线的三个点确定一个圆 三角形三边垂直平分线 ________的交点，即三 角形外接圆的圆心 锐角三角形的外心在三角形的内部， 直角三角形的外心在直角三角形的 斜边上，钝角三角形的外心在三角 形的外部
防错提醒
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考点4
圆的对称性
中心 对称图形 圆既是一个轴对称图形又是一个________ ，圆还具有旋转不变性．
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解
析
直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点， 那么半径为斜边的一 半，分两种情况： ①当直角三角形的斜边长为 16 时，这个三角形的外接圆半径 为 8； ②当两条直角边长分别为 16 和 12 时， 则直角三角形的斜边长 ＝ 162＋122＝20， 因此这个三角形的外接圆半径为 10. 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10.
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(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由 两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出 第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线 交于同一点． (2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．
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探究二
垂径定理及其推论
命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用． 例2 [2013·徐州] 如图28－1，AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB，垂足为P.若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半 径为( )C A．10 C．5 D ．3 图28－1
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考点5
垂径定理及其推论
垂径定 理
垂直于弦的直径平分弦 ______，并且平分弦所对的两条弧
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心， 并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条 弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条 弧 简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意 两条结论成立，那么其他的结论也成立
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考点8
圆内接多边形
圆内接四边形
如果一个多边形的所有顶点 都在同一个圆上，这个多边 形叫做圆内接多边形．这个 圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形 的性质
圆内接四边形的对角互补 ______
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考点9
反证法 不直接从命题的已知得出结论，而是 假设命题的结论不成立，由此经过推 理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不 正确，从而得到原命题成立，这种方 法叫做反证法 (1)假设命题的结论不正确，即提出与 命题结论相反的假设 (2)从假设的结论出发，推出矛盾 (3)由矛盾的结果说明假设不成立，从 而肯定原命题的结论正确
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探究一 确定圆的条件
命题角度： 1. 点与圆的位置关系； 2. 确定圆的圆心、半径； 3. 三角形的外接圆的概念和性质． 例1 [2012·资阳] 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三 10或8 ． 角形的外接圆半径是________
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圆心角、弧、弦之间的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 弧 相等，所对的______ 弦 相等 的______
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑ 两条弧或两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量也分别相 等
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探究三
圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关 系． 例3 如图28－2，已知AB是⊙O的直径，＝＝.∠BOC＝40°， 那么∠AOE＝( )B A．40° B．60° C．80° D．120°
图28－2
解
析
根据圆心角与弧的关系可求得∠BOE 的度数，从而即可求解． ︵ ＝CD ︵ ＝DE ︵ ，∠BOC＝40° ∵BC ， ∴∠BOE＝3∠BOC＝120° ， ∴∠AOE＝180° －∠BOE＝60° .
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析
连接 OC， ∵CD⊥AB，CD＝8， 1 1 ∴PC＝ CD＝ × 8＝4. 2 2 在 Rt△OCP 中， ∵PC＝4，OP＝3， ∴OC＝ PC2＋OP2＝ 42＋32＝5.
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垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等 及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距 的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角 形．
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圆的 定义
定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做 圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径
定义2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合
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弦 直径 弧
线段 叫做弦 连接圆上任意两点的________ 经过圆心的弦叫做直径 圆上任意两点间的部分叫做弧
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大于半圆的弧叫做优弧
小于半圆的弧叫做劣弧
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点和圆的位置关系 d>r 点在圆外⇔________
如果圆的半径是r，点 到圆心的距离是d，那 么
d=r 点在圆上⇔________
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圆周角定理及推论
命题角度： 1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数； 2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算． 例4 [2012·湘潭] 如图28－3，在⊙O中，弦AB∥CD，若 ∠ABC＝40°，则∠BOD＝( D ) A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
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圆周角 定理 推论1 推论2 推论3
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顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 圆周角 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等于该弧所对的圆心角的 ________ 一半 ________ 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 相等 ______ 直角 ；90° 半圆(或直径)所对的圆周角是______ 直径 的圆周角所对的弦是______ 如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 直角 三角形 那么这个三角形是________
确定圆 的条件 三角形的 外心
不在同一直线的三个点确定一个圆 三角形三边垂直平分线 ________的交点，即三 角形外接圆的圆心 锐角三角形的外心在三角形的内部， 直角三角形的外心在直角三角形的 斜边上，钝角三角形的外心在三角 形的外部
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圆的对称性
中心 对称图形 圆既是一个轴对称图形又是一个________ ，圆还具有旋转不变性．
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直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点， 那么半径为斜边的一 半，分两种情况： ①当直角三角形的斜边长为 16 时，这个三角形的外接圆半径 为 8； ②当两条直角边长分别为 16 和 12 时， 则直角三角形的斜边长 ＝ 162＋122＝20， 因此这个三角形的外接圆半径为 10. 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10.
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(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由 两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出 第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线 交于同一点． (2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．
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垂径定理及其推论
命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用． 例2 [2013·徐州] 如图28－1，AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB，垂足为P.若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半 径为( )C A．10 C．5 D ．3 图28－1
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垂径定 理
垂直于弦的直径平分弦 ______，并且平分弦所对的两条弧
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心， 并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条 弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条 弧 简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意 两条结论成立，那么其他的结论也成立
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圆内接多边形
圆内接四边形
如果一个多边形的所有顶点 都在同一个圆上，这个多边 形叫做圆内接多边形．这个 圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形 的性质
圆内接四边形的对角互补 ______
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反证法 不直接从命题的已知得出结论，而是 假设命题的结论不成立，由此经过推 理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不 正确，从而得到原命题成立，这种方 法叫做反证法 (1)假设命题的结论不正确，即提出与 命题结论相反的假设 (2)从假设的结论出发，推出矛盾 (3)由矛盾的结果说明假设不成立，从 而肯定原命题的结论正确