勾股定理及其应用

第五次课勾股定理及其应用

本章知识要点

A. 勾股定理及其逆定理。

B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。

C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。

D. 勾股定理及其逆定理的应用。

E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。

重点知识 勾股定理的验证

验证方法

验 证 过 程

（美）伽菲尔德总统拼图

如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以

()()22

121221

c ab b a b a +⨯=+•+，即222c b a =+

赵爽弦图

如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a b -为边长的小正方形和一个边长为c 的大正方形，因为大正方形的边长为c ，所以面积为2c ，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b a ,的直角三角形和一个边长为()a b -的正方形，所以其面积为

()2

214a b ab -+⨯所以()22214a b ab c -+⨯=，

从而222b a c +=.

刘徽：青朱出入图

如右图，通过拼图，以c 为边长的正方形面积等于分别以b a ,为边长的两个正方形的面积之和

名师提示 用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只要

没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理

重点知识 确定几何体上的最短路线

描述 示意图

几 何 体 的 侧 面

展 开 图

长方体

将长方体相邻侧面展开，转化成一个长方形

圆柱

圆柱的侧面展开图是一个长方形

名师提示 (1)对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径.

(2)勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范

(3)直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中，也就是把一些实际问题转化为数学问题来解决。

例1 两个全等的长方形如图1-1-1放置，可验证勾股定理.连接AC,C A '，C C '，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形D C BC ''的面积验证勾股定理222c b a =+.

9

E

D

B

A

C

F 7

D

A

E

B

C

F

展开

5 甲

A

E

F

D 丙

D

A

E

B

F

乙

B

A B

A

展开

图1-1-5

图1-1-6

例2 (1)在下列数组①3，4，5；②4，5，6；③5，12，13；④6，8，10；⑤7，40，41；⑥8，15，17；⑦10，24，26 中，勾股数组有：______________；基本勾股数组有_____________。

(2)已知ABC ∆中，o B 90=∠，C B A ∠∠∠,,的对应边分别是c b a ,,，

且12,5==b a ，则=2c

(3)已知一直角三角形中有两边长分别为3和4，第三边的平方为

例3已知，如图1-1-2，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积

例4 如图1-1-4，已知在△ABC 中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC 边上的高AD 的长.

例5 （1）已知Rt △ABC 的两直角边AC=5，BC=12，D 是BC 上一点．当AD 是∠A 的平分线时，求CD 的长

（2）如图1-1-5，一张长为8cm,宽为4cm 的矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，

点C 恰好落在点A 上，求AE 的长。

（3）如图1-1-6,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知AB=3,BC=4,求图中阴影部分的面积.

．

例6.（1）如图1-2-9（1），有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）

（2）如图1-1-9（2），台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，已知旗杆原长16 m ，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗

A

D

C

B

图1-1-1

图1-1-4

图1-2-9（1）

例7 如图1-2-6，A 、B 两个小镇在河流CD 同侧，到河的距离分别为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向A 、B 两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用.

例8 如图1-2-7，一架长m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底m ，如果梯子的顶端沿墙下滑m ，求梯子底端将向左滑动多少米

家庭作业

1.下列结论错误的是（ ）

A.三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；

B.三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；

C.三条边长比为8∶16∶17的三角形是直角三角形；

D.三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形。

2.在ABC Rt ∆中，斜边AB=1，则式子222AC BC AB ++的值为（ ） A 、2； B 、4； C 、6； D 、8

3.直角三角形的两直角边分别为5、12，则它斜边上的高为（ ） A 13 B C 13

60 D 13

30

4.图1-1-1中两个正方形阴影部分面积分别为A=162cm ,B=252cm ,则直角三角形的面积为（ ）

A. 62cm

B. 122cm

C. 242cm

D. 32cm

图1-1-9（2） 图1-2-7

图1-2-6

图1-1-1