6静定桁架和组合结构讲解

(4) 结构内力如下图示。
0A
FC G
-3.5kN
6kN 15.4kN D 15kN
E
B
6kN
0.75
1.744
C 1.246
C
A 0.75 F 0.75
A
F 1.246 1.744
M图(kN∙m)
Q图(kN)
F
C
A 14.91
14.95
15.2
15.16
N图(kN)
（1）截面只截断彼此不交于同一点(或不彼此 平行)的三根杆件，则其中每一根杆件均为单杆。
（2） 截面所截杆数大于3，但除某一杆外， 其余各杆都交于同一点(或都彼此平行)，则此杆 也是单杆。
1
1
1
1
1
2
1
3
2
2 3
3
上列各图中，杆1，2，3均为截面单杆。 截面单杆的性质：截面单杆的轴力可根据截面隔 离体的平衡条件直接求出。
结点D
X 0
FxDA 15kN
FyDA
0.7153.5kN 3
NDA
3.08061515.4kN(拉) 3
NDA
NDF
D 15kN
0.7 3.0806 3
Y 0
NDFFyDA0 NDF FyDA3.5kN(压)
（3） 求梁式杆的内力M、Q、N 。
取FC段作隔离体：
NFC F QQC
1kN/m
C
NCF 15
FyAB(P6)/41.5P FxABFyAB(2/3)P NABFyAB(l/ly)1.5P( 13/3)1.803P(压 )
FxAC C
P NAC A
NAB FxAB
B
FyAC
FyAB
4m 2m
3m
51 2
13 3 2
MB 0
FyAC(P2)/40.5P FxACFyAC(2/1)P NACFyAC(l/ly)0.5P( 5/1)1.118P(拉 )
1kN/m
2.5
F NFA
15 A
0.25m
NAF 2.5 QAF0.75kN.m QFA
3.01
3
0.25
3m
N A F2.5sin15cos2.50 3..2 05 1153.3 01
15.16kN (压 )
NFANAF13sin15.1630 3..2 05 1
15.160.24914.91kN(压 )
小结： （1） 支座反力要校核；
（2） 判断零杆及特殊受力杆； （3） 结点隔离体中，未知轴力一律设为拉力， 已知力按实际方向标注；
（4） 运用比拟关系 N Fx Fy 。
l lx ly
结点受力的特殊情况
（1）
N1 0 90。 0 N2
s
结点上无荷载，则N1＝N2＝0。
由∑FS＝0，可得N2＝0，故N1＝0。
II
1
2 C 2m 2m
80kN G
2m
2m E
II
2m
I
B
2m 60kN
（2) 求N1、N2
Y 0 X 0
FyBE 60kN FxBE 60kN NBC FxBE 0 NBC FxBE 60kN(拉)
取截面I－I以左为隔离体
MD 0
I
D
1
N2 2
(60 2 2
80kN
60 2 80 2)
a
a
II
N1N1' N1"0.5P00.5P(拉 )
N2N2 ' N2 "22P42P1.06P(压 )
6.5 组合结构
下面讨论组合结构的内力计算。
所谓组合结构是指结构中既有梁式杆，又有只
受轴力作用的二力杆。梁式杆的任一截面有弯矩、
剪力和轴力作用。在用截面法取隔离体时，不能随
意切断梁式杆，可以切断二力杆，也可以拆开铰结
A
8 0 2 8 .2 8 k N (压 ) 60kN 2m
22
结点B
NBE NBC
B 60kN
2 2m
N2 2m
C 60kN I
2m 2m
F 取截面II－II以右为隔
离体：
II 80kN
G
N1
2m
MF 0
Fy1
1 4
(20
24
2)
40kN
N1 40 2 56.57kN (拉 )
E 20 2kN
点，如下图示。
A B
P
E
C
FxB B
P
E
C
D
FyB
NED
例6-6 作图示组合结构内力图。 1kN/m
0A
F IC G
B 0.5m
DI
E
0.7m
6kN 3m 3m 3m 3m 6kN
解： 结构对称荷载对称。
（1）求支座反力如图示。
（2）求NDE，取截面I－I以左为隔离体。
MC 0
N E ( 6 6 1 6 3 ) / 1 . 2 1 5 k N ( 拉 )
A
1
2 1
3
(3)复杂桁架——既非简单桁架又非联合桁架 则统称为复杂桁架。
2. 基本假定
(1) 各杆均为直杆，且位于同一平面内，杆轴线 通过铰结点中心。
(2) 荷载及支座反力作用在结点上，且位于桁架 平面内。
(3) 铰结点为理想铰，即铰绝对光滑，无摩擦。
所以，桁架的杆件只产生轴力，各杆均为二力杆。
例6-3 用截面法求轴力N1、N2、N3、N4。
P P IP P P
C
E
1
02
0
a
0A 00
3
D 4I
2.5P a a a a
00 a B
a a 2.5P
解： （1）对称结构对称荷载，支座反力如图示。 （2）零杆如图示。
（3）求轴力N1、N2、N3、N4。
结点C
P
C
N1
N2
1 52
Fy 0
Fy2P0 Fy2P Fx20.5P
1.5P(压)
Fx2 0.5P Fx3 0.75P N 4 2.75P
6.4 结点法和截面法的联合应用
例6-4 求N1、N2 。
解：
（1） 求支座反力
F
X 0
F xA 8 0 k N ( )
I
M B0
D
F yA
1 8
(8 0
6)
80kN
6 0 kN ( )
A
Y 0
60kN 2m
F yB 6 0 k N ( )
20kN
C
20 5
20 5
NCF
例6-2 用结点法求AC、AB杆轴力。
P D
C E
G
FP PA
3m
B 3m
F
4m H
2m 4m 2m
解： 取结点A，将NAC延伸到C分解，将NAB延伸到
B分解。
P
FxAC C
NAC A NAB
FxAB B
3m
51 2
FyAC 4m
FyAB 2m
13 3 2
MC 0
结点A Y 0
FyAD
NAD
FyAD 30kN FxAD FyAD (lx l y ) 30(2 1)
60kN
N AD FyAD (l l y ) 30( 5 1) 67.08kN（压）
FxAD A
NAE 30kN
51
X 0
2
N A E F x A D 6 0 k N ( 拉 ) 结点E
X 0
60kN 0 NEF
N E F60kN(拉 )
E
结点D 将NDF延伸到F结点分解为FxDF及FyDF
5
1 2
MC 0
F x D F 2 2 0 2 0F x D F 2 0 k N
F y D F F x D F ( ly/lx ) 2 0 ( 1 /2 ) 1 0 k N N D F F x D F ( l/lx ) 2 0 (5 /2 ) 1 05 2 2 .3 6 k N ( 压 )
20kN
FyDC NDC
C
30 5 D A
4m
NDF 2m F FyDF
FxDF NDF
51
2
Y 0
FyDC3020FyDF0 (FyDF 10kN) FyDC30201020kN NDCFyDC(l/ly)20( 5/1)44.72kN(压 )
结点C
Y 0
NCF 20400 NCF 20kN(拉)
（6） PPP
12
αα A
N2
y N1
N3
αα A
N4
上图为对称结构、对称荷载的情况， 但结点 A不在对称轴上。
由∑Y＝0 ， N1＝-N2
6.3 截 面 法
对于联合桁架或复杂桁架，单纯应用结点 法不能求出全部杆件的轴力，因为总会遇到有 三个未知轴力的结点而无法求解，此时要用截 面法求解。即使在简单桁架中，求指定杆的轴 力用截面法也比较方便。
QFA
3.01
3
0.25
3m
3 0 .2 5
Q A F 2 .5 c o s 1 5 s i n 2 .5 3 .0 1 1 5 3 .0 1 1 .2 4 6 k N
MA 0
1 Q F A 3 .0 1 ( 0 .7 5 1 3 1 .5 ) 1 .7 4 4 k N
15
QCF
0.75kN.m
NCF
15
0.25m
3m
15
NCF
15cos15 3 14.95kN(压)
3.01
NFC
NCF
13sin14.9530.25
3.01
15.20kN(压)
3.01
0.25
3
取AF段作隔离体：
15
1kN/m
2.5
F NFA
15 A
0.25m
NAF 2.5
QAF
0.75kN. m
00 C
结点D
Y 0N 1 ' P 2
N
' 1
D0 P /2
取截面I－I以左为隔离体：
I
Y 0
F y2 P 0 . 5 P 0 F y2 0 . 5 P
N
' 2
2P 2
1a 0A D
P/2 0
a
P
N
' 2
a
I
（2）对称结构反对称荷载
II E F
1 0A D
P/2
F yA
2F
II C
N2P
51.118P(压） 2
取截面I－I以左为隔离体：
Y 0 (Fy2 P)
Fy3 Fy2 2P 2.5P 0 Fy3 1.5P Fx3 Fy3 / 2 0.75P
l
5
N3 Fy3 ly 1.5P 2
1.68P(压)
P PI
C
52
1
1
0 2a
0A 00
3a
D 4I
2.5P a a
（2）
N1
N2
0 N3
Y0 N3 0 X0 N1 N2
（3） N1
N4 N2
N3
Y0 N3 N4 X0 N1 N2
（4） N1
P N2
N3
Y0 N3 P X0 N1 N2
（5 P
P
P
12
αα 3 A4
N2 0
y 0
N1
N3
αα A
N4
上图为对称结构、对称荷载的情况， 结点A 在对称轴上。
由∑Y＝0 ， N1＝ N2=0 ∑X＝0， N3＝ N4
2m
II
2m
B 2m 2m 2m
例6-5 求N1、N2 。
1
a
AD
B
P
2 P
a
C aaaa
解： 复杂桁架，结构对称。将荷载分为对称和反对
称两种情况求解。
（1）对称结构对称荷载 EI F
0A P
10 D P/2 2 P
00
IC aaa
a B P/2 Pa
a
结点C位于对称轴上，所以两 斜杆轴力等于零，见右图。
QCF 0.25m
MF
3m
求MF
MF 0
15
3.01
0.25
3
M F131.5150.25 4.53.750.75kN.m (上 拉 )
求FC杆的剪力和轴力
QCF
15sin150.25NFC F
1.246kN
3.01 QFC
MC0
QFC3.101(0.75131.5)1.744kN
1kN/m
C
a
a
a
整体平衡
a B
P/2 F yB
a
a
MA 0 F y B4 1 a(P 23 aP 2a)1 4P ( )
Y 0
FyA
1 4
P()
结点F
0 F0 0
结点E 0
E0
0
N
" 1
wk.baidu.com
0
取截面II－II以左为隔离体：
Y 0 Fy2 0.25P
0
A 0 II
N2"
2P 4
叠加两种情况的结果得：
P/4
N
" 2
截面法选取的隔离体包含两个或两个以上的 结点，隔离体上的力系是平面不汇交力系，可 以建立三个平衡方程∑X＝0、 ∑Y＝0、 ∑M＝0 。所以作一个截面隔离体最多可以求出三个未 知轴力。
对于联合桁架，应首先切断联系杆。
现在介绍截面单杆的概念。如果在某个截面所 截的轴力均为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆 都交于一点(或彼此平行，即交点在无穷远处)，则 该杆称为该截面的单杆。关于截面单杆有下列两种 情况：
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6静定桁架和组合结构讲解
厦门市松柏第二小学 吴小蔚
6.1 桁架的特点和组成分类
一、概述
1. 桁架分类
按几何组成分为：
(1）简单桁架——从基础或者从一个基本的铰 接三角形开始，依次用两根不在同一直线上 的链杆固定一个结点的方法组成的桁架称为 简单桁架。
(2）联合桁架——两个简单桁架用一个铰及与 之不共线的一根链杆连接，或者用三根不全 平行也不全交于一点的链杆连接而成的桁架 称为联合桁架。
例6-1 用结点法求各杆轴力。
解：
（1）支座反力
FyA=FyB=30kN(↑)
FxA=0
0
20kN
20kN
C 20kN
D
0
20 G
0
1m 1m
A 60 E 60 F H B
（2）判断零杆 30kN
2m
2m
2m
2m 30kN
见图中标注。
（3）求各杆轴力
取结点隔离体顺序为：A、E、D、C。
结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。
MC 0
1 N 4 2a (2.5P 2a P a
0.75P 2a) 5.5Pa 2.75P(拉)
2a
P PI
C
52 1
1 0 2a
0A 00
3a
D 4I
2.5P a a
取截面I－I以左 为隔离体：
P PI
C 1
0 2a
52
0A 00
3a
1
X 0 2.5P a
D 4I
a
N1 N4 Fx3 Fx2 0 N1 (2.75P0.75P0.5P)