中考数学“极限思维”巧解题

中考数学“极限思维”巧解题

一类以圆的知识为背景，以“隐形”动态几何模式呈现，求阴影面积取值范围的问题，要求学生对图形位置关系变化过程有深刻的理解，反映出学生是否具有局部与整体的差异性意识及数学思想和数学思维的深度，这类问题如果能巧用“极限思维”，问题就会迎刃而解．

例1 如图1，正△ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，

设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S r<2时，S的取值范围是_______．

分析首先，求出S关于r的函数表达式，分析其增减性；然后根据r的“极值”，利用“极限思维”，求出S的最大值与最小值，从而得到S的取值范围．

解如图2所示，过点D作DG⊥BC于点G，易知G为BC的中点，CG＝1．

在Rt△CDG中，由勾股定理，得

当r增大时，∠DCG＝θ随之增大，故S随r的增大而增大，

例2 如图3，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝D是线段BC

上的一个动点（包括点B ，C ）．以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连结EF ，则过点E ，D ，F 三点的弓形的面积S 的取值范围是_________．

分析 在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，AB ＝知△ABC 的形状、大小不变，且∠ACB ＝75°，AB> AC ．因此，圆周角∠EAF ＝∠BAC ＝60°所对圆弧与弦EF 所围成的弓形面积随其弓形所在圆的直径的变化而变化．利用“极限思维”，当直径最短时其面积最小，当直径最长时其面积最大．又因为点D 是线段BC 上的一个动点（包括点B ，C ），以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连结EF ，所以，如图4，当AD ⊥BC 于点D 时，过点E ，D ，F 三点的弓形的面积最小；如图5，当点D 与点B 重合时，则点E 也与点B 重合，此时过点E 、D 、F 三点的弓形的面积最大．

解 如图4，作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADB ＝90°，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连结EF 此时过点E 、D 、F 三点的弓形的面积最小．

∵∠ABC ＝45°，AB ＝

∴在等腰直角△ADB 中，由勾股定理求得⊙O 的直径AD ＝4．

作OG ⊥EF 于点G ，连结OE 、OF ，

则OE ＝OF ＝2，

∠EOF ＝2∠EAF ＝120°．

OG ＝

12

OE ＝1，EF ＝2EG ＝∴扇形EDF 的面积为2120243603

ππ⨯=

△EOF 的面积为112

⨯

则过E 、D 、F 三点的弓形的面积为43π． 如图5，当点D 与点B 重合时，则点E 也与点B 重合，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连结EF ．此时过点E 、D 、F 三点的弓形的面积最大．

例3 如图6，圆的半径等于2，∠COB ＝90°，点D 是弧BC 上的一个动点（不与点C ，B 重合），OE ⊥CD ，OF ⊥BD ，则以O ，E ，F 为顶点的三角形面积S 的取值范围是_______．

分析 利用“极限思维”．如图7，当点D 与C(或B)重合时，面积最小；如图8，当点D 运动到弧BC 中点时，面积最大．

解 (1)当点D 与C(或B)重合时，如图7，

OC ＝OB ＝2，BC ＝

∵OF ⊥BD ，

∴OF ＝EF ＝

12

BC ∴S △OEF ＝12

EF ．OF

＝121

(2)当点D 运动到弧BC 中点时，如图8．易证EF 是△CDB 中位线，即EF ＝

12

BC

由图7知OF OD ＝OB ＝2．

∴等腰三角形OEF 的底边EF 上的高为

综上所述，得1