复变函数作业卷(三)

复变函数作业卷（三）

一、判断题

1、设C 为()f z 的解析域D 内的一条简单正向闭曲线，则

()0c

f z dz =⎰

. (

⨯ )

2、若u, v 都是调和函数，则()f z u iv =+是解析函数。( ⨯ )

3、设()f z 在单连通区域D 内解析，则()F z 是()f z 的一个原函数，

C 为

D 内的一条正向闭曲线则()

()0n c F Z dz =⎰ 。

( √ ) 4、设(,)v v x y =是区域D 内的调和函数，则函数''

()y x f z v iv =+在D

内解析。 ( √ ) 5、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内解析，则函数2

2

u

u

x y y x ∂∂=∂∂∂∂。

( √ )

二、 填空题

1、设C 为1z i =-到点20z =的直线段，则1

2c

zdz =⎰ 2、若C 为正向圆周2z =，则1

0c dz z

-=⎰

3、若C 为正向圆周1z =，则2

5

ln(2)(1)cos(1)0

c

z z

z dz ⎡⎤++++=⎣⎦⎰

4、若函数(,)sin px

f x y e y =为区域内的调和函数，则1p +

-

=

5、若

2

2

21(),2

z z z f dz z ξξξ

=++=

≠-⎰

，则(3

5)f i +=(1)8f i π= '

(1)10f i

π=。

三、计算、证明题

1、设点A,B 分别为1z i =和11z i =+，试计算2

c z dz ⎰的值，其中C 为

（1）点10z =到点2z 的直线段；（2）由点0z =沿直线到1z 再到2z 的折线段O AB . 解：(1)

22

12

,01,(1)22(1)(1)

3

c

z x iy z z i y x z x ix dz i dx

z dz x i dx i =+==+==+=+=

+=

+⎰

⎰

到直线

(2)

1120,0,,,,,z z x z iy dz idy z z y i z x i dz dx ====→==+=到

2

112

(1)1(4)

3

c

z dz y idy i dx

i =

+

+=

+⎰

⎰

⎰

2.设C 为从-2到2的上半圆周，计算积分23c

z dz

z

-⎰

的值。

解：

(1x y z x dz dx

-==+=+

22

2222

2

2

233(23(23[2(1[2(3arcsin

]

2

8

c

z xi

dz dx

z

i xi

dx

xi i dx

x x i ------=

--=+=

-

+

=++=⎰

⎰⎰⎰

3、计算0cos i

zdz ⎰ 解：

1

1

cos sin sin 12i i e

e

zdz z

i ish i

--===

=⎰

4计算212(1)(2)

c

z i dz

z z i ++++⎰

，其中C 为正向圆周

3z =。

解：函数在C 内有两点不解析，设1

122:1,;:2,c

z r c z i r +=+=正向正向

1

2

1

221221221221(1)(2)

1221221222214c

c c z z i

z i z i

z i

z i z dz dz dz

z z i z z i

z i z i i i z i z i

πππ=-=-++++++++=

+++++++++=+++=⎰⎰

⎰

5、计算积分312(1)z

c e

dz i z z π-⎰ ，（1）当点0在C 内，点1在C

外;（2）当点1在C 内，点0在C 外;（3）当点0，1均在C 内;（4）点0，1均在C 外。 解：

（1）

原式= 0

3

1

(1)z

z e

e

z ===-

（2）

原式=2

''

3

1

1

122()()2!

22z z z z e

z z e e z z

==-+-==-

（3） 原式=2

33

1

122()1(1)22z

z z z e

z z e e z z

==-+-+=-

-

（4）

原式=0

6、证明3

2

(,)3u x y y x y

=-为调和函数，在求其共轭函数(,)v x y ，并

写出

()f z 关于

z 的表达式。

证明：