2-2 复数域数学模型-传递函数
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复数域数学模型传递函数结构图
t f (t ) t 1(t ) 0
其拉氏变换为
t ≥0 t0
st
斜 率 =1
O
t
0
F ( s) [ L f ( t )] 1 st te s 1 2 s
0 0
f ( t )e dt
st 0
t e st dt
1 1 e dt 0 0 s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
f(t)
3.等加速函数
数学表达式为
1 2 t f (t ) 2 0 t≥0 t0
其拉氏变换为
F ( s ) L [ f ( t )] 1 1 2 st t e s 2
第二章 控制系统的数学模型
2-1 拉式变换 2-2 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4.1 控制系统的结构图 2-4.2 控制系统的信号流图
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关 系的数学表达式 静态数学模型 ：在静态条件下 / 平衡条件下（即 变量各阶导数为0），描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量及其各阶导数之间关系 的数学模型。
0 0
O
t
f ( t )e dt
st
0
1 2 st t e dt 2
0
t e st dt
1 1 1 0 0 2 3 s s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
4.指数函数e-at 数学表达式为
e f (t ) 0
•建模方法
解析法（机理分析法）
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
传递函数
上海大学 机电工程与自动化学院
2.4 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、 控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、 微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。 微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。
2.4.1 比例环节
如果一个环节的输出与输入成正比例 成正比例， 不失真也 如果一个环节的输出与输入 成正比例 ， 既 不失真 也 不延 则称此环节为比例环节，也称放大环节。 时，则称此环节为比例环节，也称放大环节。其数学模型为
N o (t ) z1 G (s) = = =K N i (t ) z 2
比例环节： 比例环节 ： 性的 、 (输入为转速、输出为 输入为转速、 )、 、 输入为转速
大 动
齿轮副的传动比
为 大
的 ，
速
2.4 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
2.4.2 惯性环节
凡运动方程为一节微分方程： 凡运动方程为一节微分方程：
上海大学 机电工程与自动化学院
K1 T= R
L T= R
2.4 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
2.4.3 微分环节
理想微分环节的输出量正比于输入量的微分， 理想微分环节的输出量正比于输入量的微分，即
因此， 因此，理想微分环节的传递函数为
微分环节的 时间常数
dxi (t ) xo (t ) = T dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： 惯性环节的增益， 形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： 惯性环节的增益 ，
表征环节的惯 性，与环节结 构参数有关
dxo (t ) T + xo (t ) = K xi (t ) dt
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
控制系统的复数域数学模型
4）传递函数的拉氏反变 换就是系统的脉冲响应
5）令传递函数分子为零可求得系统的零点； , 令传递函数分母为零可求得系统的极点； ,
传递函数与结构图(P45)
R(s)
Φ(s)
C(s) (s ) R (s )
C(s)
1 Y(s) X(s) Ts 1
X(s)
1 Ts 1
Y(s)
R(s)•Φ(s)=C(s)
Y(s)
R(s)
Φ(s)
C(s)
Ts+1
X(s)
这样可以吗？
几个典型元件的传递函数(P51) 电机
d m ( t ) Tm m ( t ) K 1ua ( t ) K 2 M c ( t ) dt d m ( t ) Tm m ( t ) K m ua ( t ) K c M c ( t ) dt
封 面
制作人南京航空航天大学王凤如
xwfr01@
2-3目录
1、传递函数的定义和性质 2、传递函数的零点和极点 3、零点和极点对输出的影响 4、典型元部件的传递函数
传递函数的定义和性质(P45) 线性定常系统的传递函 数定义为：零初始条件 下， 系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之 比。
பைடு நூலகம்
电机控制的双容器液流系统(补充)
I(s) 输入信号
电机 阀门
Q1
Q2 Q3 输出信号
I(s) 输入信号
1 s5
Q1
1 Q2 s2
1 s3
Q3 输出信号
LC d 2 uo ( t ) dt 2 RC duo ( t ) uo ( t ) ui ( t ) dt
uo ( t ) 1 i ( t )dt C
控制系统的数学模型及传递函数【可编辑全文】
可编辑修改精选全文完整版控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。
第1讲 控制系统的时域数学模型
例.试列出图示弹簧-阻尼器-质量的机械位移系统的 运动方程。输入量为外力F，输出量为位移x。
F m f
k
x
解：图中，m为质量，f为粘性阻 尼系数，K为弹性系数。先对 质量块进行受力分析，然后 根据牛顿定理，可列出该系 统的微分方程如下：
m x f x Kx F
x为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m、f和K的单位分别为： , N .s / m, N / m kg
例：在例2-8中，若已知 L 1H , C 1F , R 1 ，且电容上初始电 u0 (0) 0.1 i0 ( 1A 压 ，初始电流 V ，电源电压0) 0.。试求电 路突然接通电源时，电容电压 的变化规律。 ui (t ) 1V u0 (t ) 解：在前例中已求得网络微分方程：
令 x x x0 K ( df ( x) / dx) x0
y Kx
略去增量符号
y f (x)
y Kx
K (df ( x) / dx) x0 是比例系数，是函数f ( x)在A点的切线斜率。
这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作 状态是可行的。原因：
自动控制系统在正常情况下都处于稳定的工作状 态，即平衡状态，这时被控量与期望值保持一致， 控制系统也不进行控制动作。一旦被控量偏离期望 值产生偏差时，控制系统便开始控制动作，以便减 小或消除这个偏差，因此，控制系统中被控量的偏 差一般不会很大，只是“小偏差”。 在建立控制系统数学模型时，通常是将系统的 稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究小偏差的运 动情况，也就是只研究相对于平衡状态下，系统输 入量和输出量的运动特性，这正是增量线性化方程 所描述的系统特性。
y
y0
df dx x0 y f (x)
kejian2自动控制原理
(1) 用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统;
(2) 为控制系统的计算机数字仿真提供了基础.
(3) 二阶系统是一个十分典型的、有代表性的系统.
综上所述，列写元件微分方程的步骤可归纳如下：
➢根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确 定其输入量和输出量；
➢分析元件工作中所遵循的物理或化学规律，列写相 应的微分方程；
sF (s)
f
(0)
L
d
n f (t) dt n
snF (s)
s n1
f
(0)
sn2
f
(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
当f(t)及其各阶导数的初始值都为零时：
L
d
n f (t) dt
s
n
F
(s)
⑤ 积分定理：
L f (t)dt F(s) f 1(0)
③ 电动机轴上的转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
M m (t)
M c (t)
(2-4)
式中, fm (N m / rad / s) 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘 性摩擦系数; J m (kg m s2 )是电动机和负载折合到电动机轴上 的转动惯量.
由式(2-2)~式(2-4）消去中间变量 ia(t) , Ea 及 Mm(t) , 便可得 到以 m(t) 为输出量,以ua(t)为输入量的直流电机微分方程为
例2-4 试列写图2-4所示速度控制系统的微分方程。
R2
解 系统被控对象是电动机 （带负载），系统的输出量是
转速ω，参据量是ui。系统由
给定电位器、运算放大器I、 运算放大器Ⅱ、功率放大器、 测速发电机、减速器等组成。 分别列写各元部件微分方程：
(2) 为控制系统的计算机数字仿真提供了基础.
(3) 二阶系统是一个十分典型的、有代表性的系统.
综上所述，列写元件微分方程的步骤可归纳如下：
➢根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确 定其输入量和输出量；
➢分析元件工作中所遵循的物理或化学规律，列写相 应的微分方程；
sF (s)
f
(0)
L
d
n f (t) dt n
snF (s)
s n1
f
(0)
sn2
f
(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
当f(t)及其各阶导数的初始值都为零时：
L
d
n f (t) dt
s
n
F
(s)
⑤ 积分定理：
L f (t)dt F(s) f 1(0)
③ 电动机轴上的转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
M m (t)
M c (t)
(2-4)
式中, fm (N m / rad / s) 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘 性摩擦系数; J m (kg m s2 )是电动机和负载折合到电动机轴上 的转动惯量.
由式(2-2)~式(2-4）消去中间变量 ia(t) , Ea 及 Mm(t) , 便可得 到以 m(t) 为输出量,以ua(t)为输入量的直流电机微分方程为
例2-4 试列写图2-4所示速度控制系统的微分方程。
R2
解 系统被控对象是电动机 （带负载），系统的输出量是
转速ω，参据量是ui。系统由
给定电位器、运算放大器I、 运算放大器Ⅱ、功率放大器、 测速发电机、减速器等组成。 分别列写各元部件微分方程：
2-2 复数域数学模型-传递函数
同样求出
两端进行拉氏反变换，得
1 10 3t 2 t y (t ) 4e e 3 3
三 传递函数的概念和表达形式
1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。
线性定常系统微分方程的一般形式为：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
1 C j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j
1
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 接查到的原函数的形式。
分母 D(s) a0 s a1s
n
n1
an1s an
称为系统的特征多项式，S的最高阶次n即为 系统的阶次。 D(s)=0称为系统的特征方程。
传递函数的三大表达形式：
b 0s m b1s m 1 b m-1s b m G(s) a 0s n a1s n 1 a n-1s a n
例6.已知系统的微分方程式为：
d 2 y (t ) dt 2'
并且设：
y(0) 1, y (0) 2
dy(t ) 5 6 y (t ) 2 dt
，试求微分方程的解。
解：方程两边进行拉氏变换 2 2 ' s Y (s) sy(0) y (0) 5sY (s) 5 y(0) 6Y (s) s 微分性质 代入初始值变换形式可得
2.2 复数域数学模型
m1
m2
G(s)
K s
( js 1) ( k 2s2 2 k k s 1)
j 1
k 1
n1
n2
(Tis 1) (Tl2s2 2 lTl s 1)
i 1
l 1
22
2.2.2 传递函数极点和零点对输出的影响
传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统 自由运动的模态。
G(s) C(s) 6(s 3) , R(s) (s 1)(s 2)
1 RCs
U 1
r
(s)
RC RCs
1
uc
(0)
若uc(0)=0
Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
或
G(s) Uc(s) 1 1
Ur (s) RCs 1 Ts 1
式中 T=RC
4
1、定义
零初始条件下，输出量拉氏变换 输入量拉氏变换
r(t)—输入量， c(t)—输出量 R(s)=L[r(t)], C(s)=L[c(t)]
控制系统中常用的典型环节有:比例环节、惯性环节 、 微分环节、 积分环节和振荡环节等。
25
1. 比例环节（放大环节） 微分方程：C(t) Kr(t) 传递函数：G(s) K(增益、放大系数）
方框图： R(s) K C(s)
特点：输出量与输入量成正比，不失真也不延时。 举例：机械系统中略去弹性的杠杆、无弹性变形的杠杆、 放大器、分压器、齿轮、减速器等等，在一定条件下都可以 认为是比例环节。Leabharlann 26+ E
-
u(t)
+
(t) •
(s)
U (s)
K
电位器
G(s) U(s) K
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)
拉氏变换
x y
其中： 其中： F (s ) =
Fx+Fy
2 2
∠F (s ) = arctan
Fy F x
G (s ) = s
例如：
2 2
其中 : s = σ + jω = r∠ϕ
2
s = r ∠ 2ϕ
jGy
S平面 2
0
G(s)平面
4
σ
0
G
x
一、拉氏变换定义： 对于函数 x (t ) ，满足下列条件
s 2 + 2s + 3 3 其中： 3 = α (s + 1)3 (s + 1) = 2 s = −1 d 2 α 2 = ds s + 2s + 3 s =−1 = 2s + 2 s=−1 = 0
s 2 + 2s + 3 −1 [F (s )] = L−1 求:L 3 (s + 1)
2 −1 X (s ) = + s+1 s+ 2
s+3 c2 = × (s + 2 ) = −1 (s + 1)(s + 2 ) s = −2
x(t ) = 2e − e
−t
(
−2 t
)
2、含有共扼复极点情况：
例2 − 5 s+1 L 3 s + s2 + s
− st
dt
[t ]−1 复变量 量纲
二、简单函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数 1(t )
0 t < 0 1(t ) ∆ 1 t > 0
L[1(t )] = ∫ 1(t ) e
其中： 其中： F (s ) =
Fx+Fy
2 2
∠F (s ) = arctan
Fy F x
G (s ) = s
例如：
2 2
其中 : s = σ + jω = r∠ϕ
2
s = r ∠ 2ϕ
jGy
S平面 2
0
G(s)平面
4
σ
0
G
x
一、拉氏变换定义： 对于函数 x (t ) ，满足下列条件
s 2 + 2s + 3 3 其中： 3 = α (s + 1)3 (s + 1) = 2 s = −1 d 2 α 2 = ds s + 2s + 3 s =−1 = 2s + 2 s=−1 = 0
s 2 + 2s + 3 −1 [F (s )] = L−1 求:L 3 (s + 1)
2 −1 X (s ) = + s+1 s+ 2
s+3 c2 = × (s + 2 ) = −1 (s + 1)(s + 2 ) s = −2
x(t ) = 2e − e
−t
(
−2 t
)
2、含有共扼复极点情况：
例2 − 5 s+1 L 3 s + s2 + s
− st
dt
[t ]−1 复变量 量纲
二、简单函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数 1(t )
0 t < 0 1(t ) ∆ 1 t > 0
L[1(t )] = ∫ 1(t ) e
2.3 控制系统的复数域数学模型 型
G (s) Y (s) X (s) k Ts 1
式中：k为放大系数，T为时间常数。 特点：其微分方程是一阶的，且输出响应需要一定的时间才 能达到稳定值
实例：RC滤波电路、温度控制系统等
21
当输入为单位阶跃函数时,由 可解得：
y ( t ) k (1 e
t T
G (s)
Y (s) X (s)
线性定常系统：
传 递 函 数 G (s) 输 出 信 号 c ( t )的 拉 氏 变 换 C ( s ) 输 入 信 号 r ( t )的 拉 氏 变 换 R ( s ) 零 初 始 条 件
传递函数的零初始条件的含义： 一、指输入量是在 t 0 时才作用于系统，因此在 时，输入量及其各阶导数均为零；
s 1) s 1)
R1 R 2 R2
1 1 Ts
R1 R 2 R2
1 Ts
T
R1 R 2 C R1 R 2
10
[传递函数的几种表达形式]： 表示为有理分式形式：
G (s) Y (s) X (s) bm s
m n
b m 1 s
m 1 n 1
15
•例4 具有相同极点不同零点的两个系统
G 2 (s) 1 .5 s 2 ( s 1 )( s 2 )
1
G1 (s)
4s 2 ( s 1 )( s 2 )
,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为
4s 2 ] 1 2e
t
c1 (t ) L [
s ( s 1 )( s 2 )
2 2
( T1 s 1)( T 2 s 2 T 2 s 1)...( T j s 1)
式中：k为放大系数，T为时间常数。 特点：其微分方程是一阶的，且输出响应需要一定的时间才 能达到稳定值
实例：RC滤波电路、温度控制系统等
21
当输入为单位阶跃函数时,由 可解得：
y ( t ) k (1 e
t T
G (s)
Y (s) X (s)
线性定常系统：
传 递 函 数 G (s) 输 出 信 号 c ( t )的 拉 氏 变 换 C ( s ) 输 入 信 号 r ( t )的 拉 氏 变 换 R ( s ) 零 初 始 条 件
传递函数的零初始条件的含义： 一、指输入量是在 t 0 时才作用于系统，因此在 时，输入量及其各阶导数均为零；
s 1) s 1)
R1 R 2 R2
1 1 Ts
R1 R 2 R2
1 Ts
T
R1 R 2 C R1 R 2
10
[传递函数的几种表达形式]： 表示为有理分式形式：
G (s) Y (s) X (s) bm s
m n
b m 1 s
m 1 n 1
15
•例4 具有相同极点不同零点的两个系统
G 2 (s) 1 .5 s 2 ( s 1 )( s 2 )
1
G1 (s)
4s 2 ( s 1 )( s 2 )
,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为
4s 2 ] 1 2e
t
c1 (t ) L [
s ( s 1 )( s 2 )
2 2
( T1 s 1)( T 2 s 2 T 2 s 1)...( T j s 1)
自动控制原理 第2章数学模型
y y0 K ( x x0 ) 或写为 y Kx
即：线性化方程
式中，
y0
f ( x0 )，K
df dx
，y
x x0
y
y0，x
x x0
严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只 是近似地表征系统的运动情况。
实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所 得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过 程，所以线性化方法是很有实际意义的。
绝对的线性元件和线性系统不存在
非线性微分方程的线性化
实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件 都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸 多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代 替非线性方程。
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各 变量对于工作点仅有微小的偏离。
第二章 控制系统的数学模型
本章内容
2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图/方框图 2.4 梅森公式与信号流图
系统的数学模型
数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的 数学表达式。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统 的数学模型。
b0s m a0s n
b1s m 1 a1s n 1
... bm 1s ... an 1s
bm an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
系统传递函数的极点就是系统的特征根。 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
自动控制原理总复习资料解答题
开环控制系统系统的输入和输出之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制作用没有影响,这样的系统称为开环控制系统。开环控制又分为无扰动补偿和有扰动补偿两种。
闭环控制系统凡是系统输出端与输入端存在反馈回路,即输出量对控制作用有直接影响的系统,叫作闭环控制系统。
自动控制原理课程中所讨பைடு நூலகம்的主要是闭环负反馈控制系统。
1。3对自动控制系统的基本要求
1什么是自动控制：所谓自动控制，是指在没有人直接参与的情况下,利用外加的设备或装置（控制器)，使机器、设备或生产过程（被控对象）的某个工作状态或参数（被控变量)自动地按照预定规律运行。
2自动控制系统是指由控制装置与被控对象结合起来的，能够对被控对象的一些物理量进行自动控制的一个有机整体
控制量作为被控制量的控制指令而加给系统的输入星．也称控制输入。
扰动量干扰或破坏系统按预定规律运行的输入量,也称扰动输入或干扰掐入。
反馈通过测量变换装置将系统或元件的输出量反送到输入端，与输入信号相比较。反送到输入端的信号称为反馈信号.
负反馈反馈信号与输人信号相减，其差为偏差信号。
负反馈控制原理检测偏差用以消除偏差。将系统的输出信号引回插入端，与输入信号相减，形成偏差信号。然后根据偏差信号产生相应的控制作用，力图消除或减少偏差的过程。
∞
K
0
Ⅱ型
∞
∞
K
输入
类型
0型
∞
∞
Ⅰ型
0
∞
Ⅱ型
0
0
第四章：知识点
1、根轨迹中，开环传递函数G（s)H(s)的标准形式是
2、根轨迹方程是
．
相角条件：绘制根轨迹的充要条件
幅值条件:
3、根轨迹法的绘制规则。
4、能用根轨迹法分析系统的主要性能，掌握闭环主导极点与动态性能指标之间的关系.能定性分析闭环主导极点以外的零、极点对动态性能的影响。
闭环控制系统凡是系统输出端与输入端存在反馈回路,即输出量对控制作用有直接影响的系统,叫作闭环控制系统。
自动控制原理课程中所讨பைடு நூலகம்的主要是闭环负反馈控制系统。
1。3对自动控制系统的基本要求
1什么是自动控制：所谓自动控制，是指在没有人直接参与的情况下,利用外加的设备或装置（控制器)，使机器、设备或生产过程（被控对象）的某个工作状态或参数（被控变量)自动地按照预定规律运行。
2自动控制系统是指由控制装置与被控对象结合起来的，能够对被控对象的一些物理量进行自动控制的一个有机整体
控制量作为被控制量的控制指令而加给系统的输入星．也称控制输入。
扰动量干扰或破坏系统按预定规律运行的输入量,也称扰动输入或干扰掐入。
反馈通过测量变换装置将系统或元件的输出量反送到输入端，与输入信号相比较。反送到输入端的信号称为反馈信号.
负反馈反馈信号与输人信号相减，其差为偏差信号。
负反馈控制原理检测偏差用以消除偏差。将系统的输出信号引回插入端，与输入信号相减，形成偏差信号。然后根据偏差信号产生相应的控制作用，力图消除或减少偏差的过程。
∞
K
0
Ⅱ型
∞
∞
K
输入
类型
0型
∞
∞
Ⅰ型
0
∞
Ⅱ型
0
0
第四章：知识点
1、根轨迹中，开环传递函数G（s)H(s)的标准形式是
2、根轨迹方程是
．
相角条件：绘制根轨迹的充要条件
幅值条件:
3、根轨迹法的绘制规则。
4、能用根轨迹法分析系统的主要性能，掌握闭环主导极点与动态性能指标之间的关系.能定性分析闭环主导极点以外的零、极点对动态性能的影响。
2-3 复数域数学模型-传递函数
传递函数的三大表达形式： 传递函数的三大表达形式：
b 0 s m + b 1 s m − 1 + L L b m -1 s + b m G (s) = a 0 s n + a 1 s n − 1 + L L a n -1 s + a n = b 0 ( s − z 1 )( s − z 2 ) L ( s − z m ) = K* a 0 ( s − p 1 )( s − p 2 ) L ( s − p n )
u
∏
sν
m
i =1 n −ν
(s -z i ) (s -p i )
∏
i= 1
=
Κ ∏ ( τ a i s + 1 ) ∏ ( τ b2i s 2 + 2 ς b iτ b i s + 1 )
i =1
η
sν
∏
i= 1
ρ
i =1
(T c i s + 1 ) ∏ (T d2i s 2 + 2 ς d i T d i s + 1 )
∏ (s-z )
s
ν
i =1 n −ν i
m
b0 K = 为根轨迹增益 a0
*
∏ (s-p )
i i=1
零极点形式
根轨迹增益形式 首1形式
传递函数的第三种表达形式
各项提取b 各项提取 m
b 0s m + b1s m −1 + LL b m-1s + b m 因式分解 G(s) = a 0s n + a1s n −1 + LL a n-1s + a n
本节课的学习思路：从多个方 本节课的学习思路： 位来观察我们将要研究的对象—传 位来观察我们将要研究的对象 传 递函数， 递函数，为下一步深入细致的讨论 (第四章和第五章 做准备。 第四章和第五章)做准备 第四章和第五章 做准备。
2.2-6传递函数
d d d a0 n c(t) +a1 n1 c(t) ++an1 c(t) +anc(t) dt dt dt m m1 d d d =b0 m r(t) +b m1 r(t) ++bm1 r(t) +bmr(t) 1 dt dt dt
n
n1
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入， y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零 为系统的输出 为系统输入 初始条件下，对上式两边取拉氏变换， 初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到 系统传递函数为： 系统传递函数为：
一、传递函数的定义和概念
以上一节RLC电路的微分方程为例： 以上一节RLC电路的微分方程为例： RLC电路的微分方程为例
d 2 u C (t ) du C ( t ) LC + RC + u C (t ) = u r (t ) 2 dt dt
设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到： 设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：
K(2s + 1) G(s) = s(Ts + 1)(τ 2s2 + 2ξτ s + 1)
四、控制系统的传递函数
电气网络传递函数的求取 图中z 例： 图中 1和z2为复数阻 抗，由图
I= Ur (s) Uc (s) = Z1 + Z2 Z2
图2-18 具有传递滞后的装置
即
U c ( s) Z2 = G ( s) = U r (s) Z1 + Z 2
1）R-L-C电路的传递函数 ） 电路的传递函数
U c (s ) 1 = U r (s ) LCs 2 + RCs + 1
2）弹簧 质量 阻尼器系统的传递函数 ）弹簧-质量 质量-阻尼器系统的传递函数
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0 s 0 0
s t s 0 s 0 F ( s ) ( t ) e d t ( t ) ed t e ( t ) d t e 1 0 0
t)R 1 ( t) (2)例2 求阶跃函数 f ( 的拉氏变换。
R R s t Fs ( ) R e d t e s 0 s 0
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 接查到的原函数的形式。
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部 分分式的拉氏变换在表中可以查到。 展开的常用方法有：
留数法
numernation
m m 1 s b s b sb N ( s )b 0 1 m 1 m F ( s ) n n ( m n ) 1 D ( s )a s a s a sa 0 1 n 1 n
本节课的学习思路：从多个方 位来观察我们将要研究的对象—传 递函数，为下一步深入细致的讨论 (第四章和第五章)做准备。
本节内容
拉式变换 拉式反变换 传递函数的概念和表达形式
系统传递函数的建立
典型环节的传递函数
2-2 传递函数
一 拉氏变换
1.定义：设函数 f(t)当 t 0 时有定义，设
t 0 s
(6)时间比例尺(相似)定理
t L [ f ( )] aF(as) a
(7)位移定理
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 s 迟 ，则其象函数应乘以 e 。 s
L [ f ( t )] eF ( s )
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a， at 原函数应乘以 e 。即
s t
(t) 的拉氏变换为 单位阶跃函数 f (t) 1
1 s
。
3.几个重要的拉氏变换（掌握）
f(t)
(t)
1(t)
F(s)
f(t)
1
1 s
sin t
s2
s s2
F(s)
2
cos t
2
2
t
1 s
1 s a
e sint
at
( s a)2 2
1 例2：求 F(s) 2 的拉氏反变换。 s (s 1 ) 1 1 1 1 解： F () s 2 2 s( s 1 ) s s s 1
1 t ft ( ) L [( F s ) ] t 1 e
比较系数法
1 例 3 求 F () s 的 拉 氏 反 变 换 。 2 s ( s 1 ) a b c 解 ： F ( s ) 2 s s 1 ( s 1 )
配方法
比较系数法
留数法
配方法
例1：求
F(s) 1 (s a)(s b)
的拉氏反变换。
1 1 1 1 F ( s ) ( ) 解： ( s a ) ( s b ) ba s as b
a t b t e e 1 则 f() t L [ F () s] b a
2-2 复数域数学模型—传递函数
项目
教学目的
内容
从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的 传递函数形式过渡。
教 学 重 点 熟悉传递函数的各种一般表达形式。 教 学 难 点 维方法。对典型环节传递函数的理解。
讲授技巧及注 注重微分方程同传递函数的对比。 意事项
传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思
2 则 a ( s 1 ) b s ( s 1 ) c s1
对 应 项 系 数 相 等 得 ab 1 , 1 , c 1
1 1 1 Fs ( ) 2 s s 1 ( s 1 )
1 t t ft ( ) L [( F s ) ]1 et e
L [ e f ( t )] F ( s a )
at
二 拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉 1 氏反变换。记为 L [F(s)]。由F(s)可按下式求出
j 1C st f ( t ) L [ F ( s )] ( s ) e ds ( t 0 ) F C j 2 j 1
(3)微分性质
n n n 1 n 2 n 1
L [ f ( t ) ] s F ( s ) s f ( 0 ) s f ( 0 ) f ( 0 )
(4)终值定理
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s 0
(5)初值定理
lim f( t ) lim sF ( s )
第二章 控制系统的数学模型
第二节 复数域数学模型 —传递函数
思考？
建立系统微分方程的目的是什么？
如何求解得到的微分方程式？
对于高阶线性微分方程如何求解？
使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些 优势？
优势：
在求解方法上：计算简单 (把微积分运算 变换成代数运算或查表 ) ，容易求出系统对 输入的响应。 引入传递函数的概念 (复数域数学模型)， 把系统的动态性能和传函的零极点联系起来， 使在复数域内 ( 根轨迹法 ) 和频域内 ( 频率法 ) 分析和设计系统成为可能。
s t Fs ( ) L f t f () t e d t
原函 数
且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。 简称拉氏变换。 f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
1 f t L () Fs
0
象函数
2.常用函数的拉氏变换
(1)例1 求单位脉冲函数 f (t) (t) 的拉氏变换。
e
at
e cost
at
sa ( s a)2 2
4.拉氏变换的基本性质
(1)线性性质
L [ af ( t ) bf ( t )] aL [ f ( t )] bL [ f ( t )] 1 2 1 2
(2)积分性质
1 1 1 L [ td t ] F () s f ( 0 ) f() s s
s t s 0 s 0 F ( s ) ( t ) e d t ( t ) ed t e ( t ) d t e 1 0 0
t)R 1 ( t) (2)例2 求阶跃函数 f ( 的拉氏变换。
R R s t Fs ( ) R e d t e s 0 s 0
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 接查到的原函数的形式。
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部 分分式的拉氏变换在表中可以查到。 展开的常用方法有：
留数法
numernation
m m 1 s b s b sb N ( s )b 0 1 m 1 m F ( s ) n n ( m n ) 1 D ( s )a s a s a sa 0 1 n 1 n
本节课的学习思路：从多个方 位来观察我们将要研究的对象—传 递函数，为下一步深入细致的讨论 (第四章和第五章)做准备。
本节内容
拉式变换 拉式反变换 传递函数的概念和表达形式
系统传递函数的建立
典型环节的传递函数
2-2 传递函数
一 拉氏变换
1.定义：设函数 f(t)当 t 0 时有定义，设
t 0 s
(6)时间比例尺(相似)定理
t L [ f ( )] aF(as) a
(7)位移定理
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 s 迟 ，则其象函数应乘以 e 。 s
L [ f ( t )] eF ( s )
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a， at 原函数应乘以 e 。即
s t
(t) 的拉氏变换为 单位阶跃函数 f (t) 1
1 s
。
3.几个重要的拉氏变换（掌握）
f(t)
(t)
1(t)
F(s)
f(t)
1
1 s
sin t
s2
s s2
F(s)
2
cos t
2
2
t
1 s
1 s a
e sint
at
( s a)2 2
1 例2：求 F(s) 2 的拉氏反变换。 s (s 1 ) 1 1 1 1 解： F () s 2 2 s( s 1 ) s s s 1
1 t ft ( ) L [( F s ) ] t 1 e
比较系数法
1 例 3 求 F () s 的 拉 氏 反 变 换 。 2 s ( s 1 ) a b c 解 ： F ( s ) 2 s s 1 ( s 1 )
配方法
比较系数法
留数法
配方法
例1：求
F(s) 1 (s a)(s b)
的拉氏反变换。
1 1 1 1 F ( s ) ( ) 解： ( s a ) ( s b ) ba s as b
a t b t e e 1 则 f() t L [ F () s] b a
2-2 复数域数学模型—传递函数
项目
教学目的
内容
从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的 传递函数形式过渡。
教 学 重 点 熟悉传递函数的各种一般表达形式。 教 学 难 点 维方法。对典型环节传递函数的理解。
讲授技巧及注 注重微分方程同传递函数的对比。 意事项
传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思
2 则 a ( s 1 ) b s ( s 1 ) c s1
对 应 项 系 数 相 等 得 ab 1 , 1 , c 1
1 1 1 Fs ( ) 2 s s 1 ( s 1 )
1 t t ft ( ) L [( F s ) ]1 et e
L [ e f ( t )] F ( s a )
at
二 拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉 1 氏反变换。记为 L [F(s)]。由F(s)可按下式求出
j 1C st f ( t ) L [ F ( s )] ( s ) e ds ( t 0 ) F C j 2 j 1
(3)微分性质
n n n 1 n 2 n 1
L [ f ( t ) ] s F ( s ) s f ( 0 ) s f ( 0 ) f ( 0 )
(4)终值定理
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s 0
(5)初值定理
lim f( t ) lim sF ( s )
第二章 控制系统的数学模型
第二节 复数域数学模型 —传递函数
思考？
建立系统微分方程的目的是什么？
如何求解得到的微分方程式？
对于高阶线性微分方程如何求解？
使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些 优势？
优势：
在求解方法上：计算简单 (把微积分运算 变换成代数运算或查表 ) ，容易求出系统对 输入的响应。 引入传递函数的概念 (复数域数学模型)， 把系统的动态性能和传函的零极点联系起来， 使在复数域内 ( 根轨迹法 ) 和频域内 ( 频率法 ) 分析和设计系统成为可能。
s t Fs ( ) L f t f () t e d t
原函 数
且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。 简称拉氏变换。 f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
1 f t L () Fs
0
象函数
2.常用函数的拉氏变换
(1)例1 求单位脉冲函数 f (t) (t) 的拉氏变换。
e
at
e cost
at
sa ( s a)2 2
4.拉氏变换的基本性质
(1)线性性质
L [ af ( t ) bf ( t )] aL [ f ( t )] bL [ f ( t )] 1 2 1 2
(2)积分性质
1 1 1 L [ td t ] F () s f ( 0 ) f() s s