第4章传递函数矩阵的状态空间实现

4 控制器形实现 ( Ac , Bcwk.baidu.com, Cc ) 的确定
Ac A B D
0 c 0 c 0 c
1 hc
Dlc
Bc B D Cc N lc
特征：

1 hc
由于Ac0 , Bc0的特殊形式,
1 1 Ac Ac0 Bc0 Dhc Dlc , Bc Bc0 Dhc 的形式必如书P539页所示.
4.2有理分式传递函数矩阵的典型实现
一 标量传递函数的典型实现
能控规范形实现 能观测规范形实现
并联形实现（约当形实现）
串联形实现
二 传递函数矩阵的典型实现
G(s)----严格真，有理分式形式表达，即
G ( s ) [ g ij ( s )],i 1,2, q; j 1,2, p; 令d ( s )为g ij ( s )的最小公分母 , 记为 d ( s ) s k k 1s k 1 1s 0 则G ( s )可表为 1 1 G( s) P( s) [ Pk 1s k 1 P 1s P 0] d ( s) d ( s) 形式上类似于 SISO 系统的传递函数 , 只不过分 子的系数变成了矩阵 .
i 1
{ Ac , Bc }为完全能控且具有指定形式
2 MFD的核
引入列次表达式：
D( s) Dhc S ( s) Dlc ( s) N ( s) Nlc ( s) s k1 S (s) p , ki n k p i 1 s
(4)控制器形实现能控能观的一个充分条件为：
rankN(s)=p
(5) det(sI-Ac )=(detDhc ) 1 det D( s )
dim Ac deg det D( s)
(6) 设 为 Ac 的特征值，特征向量p
p= ( )q，q满足D( )q=0
二. 构造观测器形实现
ˆ( s ) u ˆ0 ( s ) S ( s ) (核) ˆ( s ) ˆ y ( s ) ( s ) 0 1 1 ˆ ˆ ˆ (s) u0 ( s ) Dhc Dlc ( s ) ( s ) Dhc u (外围) ˆ ( s ) N lc y ˆ 0 ( s) y
不为零的**行的数值：
1 Ac的第i个*行等于 Dhc Dlc 的第i行 1 Bc的第i个*行等于 Dhc 的第i行
u(t )
D
1 hc
u0 (t )
0 Bc
0 x

x
0
y0 (t )
C
0 c
N lc
y (t )
0 Ac
化简后：
u (t )
1 Dhc Dlc
1 hc
B D
0 c
G( s) N ( s) D 1 ( s)严格真, D( s)列既约, ci D( s) ki , i 1, 2, ,p
称一个状态空间描述
p
x Ac x Bcu y Cc x
为控制器形实现,
其中 dim A k n, C (sI A )1 B N (s) D 1 (s) i c c c c
注：(1)形式上与SISO系统的能控规范形一样,数都变成了矩阵. (2)一定是能控的,但不一定是能观的. (3)由此求最小实现时,要按能观性进行结构分解.
2. 能观测形实现 0 q q 0 0 I q Iq Akqkq 0 Iq C [0,0, ,0, I q ]qkq
3
o o o ( A , B , C 核实现 c c c ) 的构造
只要构造出 ( s ) S 1 ( s )的实现, 后面就只是代数运算了 . ˆ (s) 1 ˆ ˆ S ( s ) ( s ) u ( s ) 0 ˆ 核: , (s) ˆ( s ) ˆ y ( s ) ( s ) ˆ ( s) 0 p s k1
第四章 传递函数矩阵的 状态空间实现
4.1 4.2 4.3 4.4 实现的基本概念和属性 有理分式传递函数矩阵的典型实现 基于MFD的典型实现 不可简约MFD的最小实现
4.1 实现的基本概念和属性
一 实现的定义和属性 1 实现的定义
假设已知线性定常系统的传递函数阵G(s)，
若找到状态空间模型{A,B,C,E}使得
二 最小实现的相关定理
定理1 ： 设严格真有理函数阵G(s)的实现为{A,B,C}, 则其为最小实现的充要条件是{A,B,C}既完全能 控又完全能观。 定理2： 对给定的传递函数矩阵G(s),其最小实现不
是唯一的，但所有最小实现都是代数等价的。
定理3(单变量系统) ：
设分子分母互质的真有理函数g(s)的实现是
G(s) C(sI A)1 B E
成立，则称此状态空间模型为已知的传递函数
矩阵的一个状态空间实现。
2 实现的属性 实现的维数 ： 实现维数=dimA 实现的不唯一性 ：
维数可不同，同维的参数也可不同
最小实现
对于传递函数阵G(s)的一个维数最低的实现， 称为G(s)的最小实现或不可约简实现。
{A,b,c,d},当且仅当dimA=deg（g(s)）时，实
现{A,b,c,d}是g(s)的最小实现。 定理4（多变量系统） ： 设真有理函数矩阵G(s)的实现是{A,B,C,D},
当且仅当dimA=G(s)不可简约MFD的次数时，实
现{A,B,C,D}是G(s)的最小实现。
三 能控类实现和能观测类实现
1 观测器实现的定义
1 G(s) DL (s) N L (s)严格真, DL (s)行既约, rj DL (s) k j , j 1, 2,
定义状态变量
ˆ ( k1 1) 1 ( k1 ) 1 ˆ ( k2 ) 1 2 0 推出u0 , 取x y0 ˆ ( k p 1) (k p ) p p ˆ p y0 I n x 0 Cc0 x 0
4.3 基于MFD的典型实现
G ( s ) q p 严格真 右MFD : G ( s) N ( s) D 1 ( s ) 左MFD : G ( s) A1 ( s) B( s ) D( s)列既约, 控制器形实现 A( s)行既约, 观测器形实现
一. 构造控制器形实现
1控制器实现的定义
且{ (s), D(s)}右互质， {sI Ac , Bc }左互质
(3) sI Ac 0 sI Ac -C c
Bc I 0 与 有相同的smith形 I 0 D( s ) Bc I 0 与 有相同的smith形 0 0 D( s)

N lc
y (t )
o 0 1 Ac Bc Dhc Dlc
5 控制器形实现的性质
(1)控制器形实现是完全能控的，但不保证完全能观。 (2)控制器形实现和MFD在系数矩阵间满足：
sI Ac Bc (s) 0 Bc 0 D(s) I C c 0 0 I 0 I N ( s) 0
0 1 ˆ ( k1 1) 0 ˆ1( k1 ) 1 0 1 ( k1 ) 1 ( 1 ) ˆ ˆ 0 1 0 ( k2 ) 1 1 2 0 x ( k ) ( k 1 ) ˆ p ˆ p 0 1 ( k p ) p p p 1 0 0 ˆ (1) ˆ p p 1 0 0 0 Ac0 x 0 Bc0u0 x y0 I n x 0 Cc0 x 0 { Ac0 , Bc0 }必完全能控
k1 ˆ ˆ (s) s 1 ( s) 1 ˆ0 ( s ) ˆ0 ( s ) u u kp ˆ kp ˆ s p ( s ) s ( s ) p
s k1 1 ˆ (s) s k1 1 1 s ˆ 1 ( s ) ˆ ( s) 1 1 ˆ ( s) 2 ˆ 0 ( s) y k p 1 ˆ k p 1 s ( s ) s ˆ p ( s ) p ˆ s p (s) 1
P0 P 1 , Bkq p P k 2 k 1 I q P k 1
0 Iq 1 I q
注：(1)形式上与SISO系统的能控规范形一样,数都变成了矩阵. (2)一定是能观的,但不一定是控的. (3)由此求最小实现时,要按能控性进行结构分解. (4)维数与能控性实现可能不同.
1. 能控形实现
Ip 0 p p 0 Akpkp 0 0 I p 1 I p C [ P0 , P 1 ,, P k 1 ]qkp
Ip
0 0 , Bkp p 0 Ip I p k 1 I p
s k1 1 s 1 ( s)

k p 1 s s 1
可导出构造
ˆ ( s) u
( Ac , Bc , Cc )
ˆ0 ( s ) u
的结构图
ˆ 0 ( s) y
D
1 hc
(s)S 1 (s)
N lc
ˆ (s) y
1 Dhc Dlc
称
(s)S 1 (s)
为核心右MFD。
1 ˆ( s ) ˆ ˆ ( s ) N ( s ) y ( s ) N ( s ) D ( s )u ˆ ˆ ( s) D( s ) ( s ) u ˆ( s ) u [ Dhc S ( s ) Dlc ( s )] ˆ ( s) ˆ( s ) y ˆ ( s ) N lc ( s ) ˆ0 ( s ) y 1 1 ˆ ˆ ˆ (s) S ( s ) ( s ) Dhc Dlc ( s ) ( s ) Dhc u ˆ0 ( s ) u
1能控类实现 {A,B,C，E}为G(s)的一个能控类实现的 充要条件是：
G(s) C(sI A) 1 B E { A, B}能控且有指定形式
2 能观类实现
{A,B,C，E}为G(s)的一个能观类实现的 充要条件是：
G(s) C(sI A) 1 B E { A, C}能观且有特定形式