回归预测的知识与常用方法

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回归分析的基本知识点及习题

回归分析的基本知识点及习题本周难点：（1）求回归直线方程，会用所学的知识对实际问题进行回归分析.（2）掌握回归分析的实际价值与基本思想.（3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明.（4）残差变量的解释；（5）偏差平方和分解的思想；１．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。

求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数→③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。

建立回归模型的基本步骤是：①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）.③由经验确定回归方程的类型.④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等.4.残差变量的主要来源：（1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。

可能存在非线性的函数能够更好地描述与之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。

这种由于模型近似所引起的误差包含在中。

（2）忽略了某些因素的影响。

影响变量的因素不只变量一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在中。

（3）观测误差。

由于测量工具等原因，得到的的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在中。

高三回归方程知识点汇总

高三回归方程知识点汇总回归方程是数学中重要的数学模型，用于描述变量之间的关系和进行预测。

在高三阶段，学生需要掌握回归分析的基本知识和技巧。

本文将对高三数学中回归方程的知识点进行全面汇总，并提供一些实例和应用场景供参考。

一、线性回归方程1.1 线性关系与线性回归方程线性关系指的是两个变量之间存在直线关系，可用一条直线来近似表示。

线性回归方程是线性关系的数学表达式，常用形式为 y = kx + b，其中 k 表示直线的斜率，b 表示直线在 y 轴上的截距。

1.2 最小二乘法最小二乘法是确定线性回归方程中斜率 k 和截距 b 的常用方法。

它通过最小化观测值与回归直线的拟合误差平方和，找到最佳的拟合直线。

1.3 直线拟合与误差分析直线拟合是利用线性回归方程将观测数据点拟合到一条直线上。

误差分析可以评估回归方程的拟合优度，常用指标有决定系数R²、平均绝对误差 MAE 等。

二、非线性回归方程2.1 非线性关系与非线性回归方程非线性关系指的是两个变量之间的关系不能用一条直线来近似表示，而是需要使用曲线或其他非线性形式进行描述。

非线性回归方程可以是多项式方程、指数方程、对数方程等形式。

2.2 最小二乘法拟合非线性回归方程与线性回归相似，最小二乘法也可以用于拟合非线性回归方程。

但由于非线性方程的复杂性，通常需要借助计算工具进行求解，例如利用数学软件进行非线性拟合。

2.3 模型选择和拟合优度检验在选择非线性回归模型时，需要综合考虑模型的拟合优度和实际应用的需求。

常见的方法包括比较不同模型的决定系数 R²、检验残差分布等。

三、应用实例3.1 人口增长模型以某地区的人口数据为例，通过拟合合适的回归方程，可以预测未来的人口增长趋势，为城市规划和社会发展提供决策依据。

3.2 经济增长模型回归方程可以用于分析经济数据，例如拟合国民生产总值与时间的关系，预测未来的经济增长态势，为政府制定经济政策提供参考。

3.3 科学实验数据分析在科学研究中，常常需要利用回归方程对实验数据进行拟合和分析。

回归系数的估计方法 -回复

回归系数的估计方法-回复回归系数的估计方法是在回归分析中使用的一种统计技术。

回归分析用于研究因变量与自变量之间的关系，并且可以预测因变量的值。

回归系数是用来衡量自变量对因变量的影响程度的指标。

本文将介绍常用的回归系数估计方法，并对每个方法进行详细说明和比较。

回归系数的估计方法主要有：最小二乘法、最大似然估计和贝叶斯估计。

最小二乘法是回归分析中最常用的估计方法。

该方法的基本思想是通过最小化观测数据与回归线之间的残差平方和来估计回归系数。

残差是预测值与实际观测值之间的差异，在最小二乘法中，我们尝试找到一条回归线，使得所有观测值与该回归线的残差平方和最小。

通过最小二乘法估计的回归系数具有良好的统计性质，包括无偏性和最小方差性。

最小二乘法适用于线性回归和非线性回归模型。

最大似然估计是另一种常用的回归系数估计方法。

该方法的基本思想是找到一组回归系数，使得对观测数据的似然函数达到最大。

似然函数是描述观测数据在给定模型下出现的概率，通过最大化似然函数，我们可以得到最有可能生成观测数据的回归系数估计。

最大似然估计方法通常需要对数据的分布做出一些假设，例如正态分布假设。

与最小二乘法不同，最大似然估计方法能够提供回归系数的置信区间，用于评估回归系数的统计显著性。

贝叶斯估计是一种基于贝叶斯统计理论的回归系数估计方法。

该方法的特点是将先验分布与观测数据进行结合，得到后验分布，并且通过后验分布来估计回归系数。

在贝叶斯估计中，先验分布可以是任意的概率分布，可以通过专家知识或历史数据进行设定。

通过后验分布，我们可以得到回归系数的点估计和区间估计，并且可以对不确定性进行概括。

贝叶斯估计方法通常需要进行模型的较复杂的计算，但在面对数据不完备或先验不确定的情况下具有一定的优势。

在实际应用中，选择适合的回归系数估计方法取决于具体的问题和数据特征。

最小二乘法是一种简单直观的估计方法，适用于大多数的回归问题。

最大似然估计方法对数据的概率分布做出假设，可以提供回归系数的统计显著性。

非线性回归分析的入门知识

非线性回归分析的入门知识在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。

在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。

因此，非线性回归分析就应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。

本文将介绍非线性回归分析的入门知识，包括非线性回归模型的基本概念、常见的非线性回归模型以及参数估计方法等内容。

一、非线性回归模型的基本概念在回归分析中，线性回归模型是最简单和最常用的模型之一，其数学表达式为：$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_pX_p +\varepsilon$$其中，$Y$表示因变量，$X_1, X_2, ..., X_p$表示自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$表示模型的参数，$\varepsilon$表示误差项。

线性回归模型的关键特点是因变量$Y$与自变量$X$之间呈线性关系。

而非线性回归模型则允许因变量$Y$与自变量$X$之间呈现非线性关系，其数学表达式可以是各种形式的非线性函数，例如指数函数、对数函数、多项式函数等。

一般来说，非线性回归模型可以表示为：$$Y = f(X, \beta) + \varepsilon$$其中，$f(X, \beta)$表示非线性函数，$\beta$表示模型的参数。

非线性回归模型的关键在于确定合适的非线性函数形式$f(X,\beta)$以及估计参数$\beta$。

二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种简单且常见的非线性回归模型，其形式为： $$Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + ... + \beta_nX^n +\varepsilon$$其中，$X^2, X^3, ..., X^n$表示自变量$X$的高次项，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$表示模型的参数。

高考文科线性回归知识点

高考文科线性回归知识点高考文科数学考试中，线性回归是一个重要的知识点。

线性回归是一种统计分析方法，通过建立一个数学模型来描述两个变量之间的关系。

在文科领域，线性回归常常被用来分析人文社科问题，预测社会现象的趋势和发展。

一、线性回归的基本概念线性回归是通过一条直线来描述两个变量之间的关系。

其中，自变量是独立变量，也叫做解释变量；因变量是被解释变量，也叫做预测变量。

线性回归的模型可以表示为：Y = α + βX + ε，其中Y是因变量，X是自变量，α是截距，β是斜率，ε是误差项。

线性回归的目标是找到最佳的α和β，使得模型的预测误差最小。

二、线性回归的假设条件线性回归有几个基本的假设条件。

首先，自变量和因变量之间的关系是线性的；其次，误差项是独立同分布的，即没有自相关性；最后，误差项的方差是常数。

三、线性回归的参数估计线性回归需要通过样本数据来估计模型的参数。

通常采用最小二乘法来估计α和β。

最小二乘法的基本原理是使得观测值与模型的预测值的平方差最小。

通过求导可以得到最小二乘估计的解析解。

四、线性回归的评估指标在线性回归中，评估模型的好坏是十分重要的。

常用的评估指标包括拟合优度R²、均方根误差RMSE、平均绝对误差MAE等。

拟合优度R²表示模型解释变量的变异程度，取值范围为0到1，越接近1表示模型的拟合程度越好。

均方根误差RMSE和平均绝对误差MAE表示模型的预测误差大小，一般来说，误差越小表示模型的预测能力越好。

五、线性回归的应用领域线性回归是一种广泛应用于社科领域的统计方法。

以经济学为例，线性回归可以用来分析不同变量之间的关系，比如GDP与人均收入、失业率与通货膨胀等。

通过线性回归分析，可以为经济政策的制定提供科学依据。

此外，线性回归还可以应用于社会学、心理学、教育学等领域，帮助研究人员发现变量之间的关系。

六、线性回归的局限性线性回归虽然在很多领域有广泛应用，但也有一定的局限性。

线性回归与多项式回归以及梯度下降

二.什么是线性回归？
在N维空间中找一个形式像直线方程一样的函数来拟合数据。
举例：可以通过右侧的直线方程来预测房价。
三.什么是损失函数？
我们需要有一个评判的标准，来评判哪条直线才是最好的。我们把所有实际房价和预测出来的房价的差距（距离）算出来然后做个加和，我们就能量化出现在我们预测的房价和实际房价之间的误差。
Tensor(张量) 的使用方法：
（1） Tensor的创建和使用
import torch #定义一个Tensor矩阵 a = torch.Tensor([[1, 2], [3, 4],[5, 6], [7, 8]]) print(a) print('{}'.format(a)) #改变元素值 Print（a[1, 1]） a[1, 1] = 3 Print（a[1, 1]） #转换为Numpy f = a.numpy() print(f) #转换为Tensor g = torch.from_numpy(f) print(g)
（2）改变torch.后面函数名称，生成不同类型的数据
import torch #定义一个Tensor矩阵 a = torch.Tensor([[1, 2], [3, 4],[5, 6], [7, 8]]) print('{}'.format(a)) b = torch.zeros((4, 2)) print(b) c = torch.IntTensor([[1, 2], [3, 4],[5, 6], [7, 8]]) print(c) d = torch.LongTensor([[1, 2], [3, 4],[5, 6], [7, 8]]) print(d) e = torch.DoubleTensor([[1, 2], [3, 4],[5, 6], [7, 8]]) print(e)

第2章人工智能技术基本原理2.2回归算法-高中教学同步《信息技术-人工智能初步》(教案

《信息技术-人工智能初步》教案
课题
第2章人工智能技术基本原理2.2回归算法
课型
班课
课时
1
授课班级
高一1班
学习目标
理解回归算法的基本概念及其在学习中的应用，包括一元回归和多元回归、线性回归和非线性回归的区别。
掌握回归分析的适用场景，能够区分连续值预测问题与离散值分类问题。
学习回归算法的一般流程，包括数据收集、算法训练、测试和应用。
培养技能：训练学生的数据处理和软件操作能力。
活动四：
巩固练习
素质提升
布置练习题：给出一些与回归分析相关的练习题，如使用其他数据集来练习回归分析。
讨论与反馈：组织课堂讨论，回顾学到的知识，并给予学生反馈。
独立练习：独立完成教师布置的练习题，应用所学知识。
知识回顾：参与讨论，回顾本节课的重点和难点。
巩固知识：通过练习加深对回归算法流程和类型的理解。
文本材料：包括教材、PPT课件和打印的讲义，这些材料中包含有关回归算法的详细说明、公式、实例和应用案例，是传递理论知识的主要媒介。
数据分析工具：如果课程中包含实践操作，可能会使用到数据分析软件（如Excel、Python等），通过实际操作来训练算法并测试结果。
实例数据表：表2.2.2作为一个具体的数据集例子，用于在课堂上展示如何从实际数据中探索变量间的关系。
观察数据：学生先观察表格数据，尝试找出尺寸与价格之间可能存在的关系。
讨论可能的方法：分小组讨论如何使用这些数据来预测未知尺寸的蛋糕价格。
激发兴趣：通过实际问题引起学生的兴趣和好奇心。
引导思考：促使学生从生活实例出发，思考变量间的关系，培养数据分析意识。
活动二：
调动思维
探究新知

回归分析的基本知识

回归分析的假设检验
回归分析中，我们需要对回归模型的假设进行检验，如正态性、线性性和同方差性。这有助于确保分析结果的可靠性。
回归分析的局限性和应用场景
回归分析有其局限性，如对数据的依赖性、过拟合和共线性等。但它在市场预测、投资分析等领域具有广泛的应用。
回归模型的评估和解释
我们可以使用不同的指标来评估回归模型的准确性，如R方和均方根误差。同时，解释回归模型的系数可以帮助理解变量对结果的影响。
线性回归与非线性回归的区别
线性回归假设自变量和因变量之间存在线性关系，而非线性回归则允许更复杂的函数关系。选择合适的回归模型很重要。
多元回归的应用
多元回归是指使用多个自变量来预测因变量。它可以提供更准确的预测和更深入的分析，适用于复杂的实际问题。
回归分析的基本知识
欢迎来到回我们理解变量之间的关系和预测未来趋势。
回归分析的定义和概念
回归分析是一种统计方法，用于确定自变量和因变量之间的关系，并预测因变量的数值。它包括回归方程和回归系数等概念。
回归方程和回归系数
回归方程是用来描述自变量和因变量之间的数学关系的方程。回归系数表示自变量对因变量的影响程度，可以帮助我们理解变量之间的相关性。

【高考数学总复习】：回归性分析与独立性检验(知识点讲解+真题演练+详细解答)

（2）相关关系：这是一种非确定性关系，①两个变量中一个为可控制变量，另一个为随机变量，例如施肥量是可控制变量，而农作物的产量是随机变量。②两个变量均为随机变
量，例如某同学的数学成绩与化学成绩。
2.线性回归分析 (1) 散点图：将样本中的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图，它直观地描述了两个变量之间是否有相关关系，是判断两个变量相关性的重要依据。 (2) 回归直线：散点图中点的整体分布在一条直线左右，则称这两个变量之间具有线性相关
(a b)(c d)(a c)(b d )
通过对统计量 K2 的研究，一般情况下认为：
①当 K 2 ≤3.841 时，认为变量 X 与 Y 是无关的。
②当 K 2 ＞3.841 时，有 95%的把握说变量 X 与 Y 有关；
④ 当 K 2 ＞6.635 时，有 99%的把握说变量 X 与 Y 有关；
定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。
2.分类变量的理解：分类变量是说明事物类别的一个名称，其取值是分类数据。如“性别”就是一个分类变量，其变量值为“男”或“女”；“行业”也是一个分类变量，其变量值可以为“零售业”，说明 X 与 Y 无关的把握越小
6. 右表是对与喜欢足球与否的统计列联表依据表中的数据，得到（）
A. K 2 9.564 B. K 2 3.564 C. K 2 2.706 D. K 2 3.841
7. 对两个分类变量 A、B 的下列说法中正确的个数为（）． ①A 与 B 无关，即 A 与 B 互不影响；②A 与 B 关系越密切，则 K2 的值就越大；③K2
x yw
46.6 563 6.8
8
(xi x )2
i 1

应用回归分析知识点总结

U4 违背基本假设的情况一、异方差产生的原因在建立实际问题的回归分析模型时，经常会出现某一因素或一些因素随着解释变量观测值的变化而对被解释变量产生不同的影响，导致随机误差项产生不同的方差。

即：)var()var(j i εε≠，当j i ≠时。

样本数据为截面数据时容易出现异方差性。

二、异方差性带来的问题1、参数估计值虽然是无偏的，但不是最小方差线性无偏估计。

2、参数的显著性检验失效。

3、回归方程的应用效果极不理想。

三、异方差性的检验1、残差图分析法残差图分析法是一种只管、方便的分析方法。

它以残差i e 为纵坐标，以其他适宜的变量为横坐标画散点图。

常用的横坐标有三种选择：（1）以拟合值yˆ为横坐标；（2）以i x (p i ,,2,1 =)为横坐标；（3）以观测时间或序号为横坐标。

(a)线性关系成立;(b)x 加入二次方项;(c)存在异方差，需要改变x 形式 (d)残差与时间t 有关。

可能遗漏变量或者存在序列相关，需要引入变量。

2、等级相关系数法等级相关系数又称斯皮尔曼(Spearman)检验，是一种应用较广泛的方法。

这种检验方法既可用于大样本，也可以用于小样本。

进行等级相关系数检验通常有三个步骤：第一步，做y 关于x 的普通最小二乘回归，求出i ε的估计值，即i e 的值第二步，取i e 的绝对值，即|i e |，把i x 和|i e |按递增或递减的次序排列后分成等级，按下式计算出等级相关系数：∑=--=n i i s d n n r 122)1(61，其中，n 为样本容量，i d 为对应于i x 和|i e |的等级的差数。

第三步，做等级相关系数的显著性检验。

在n>8的情况下，用下式对样本等级相关系数s r 进行t 检验，检验统计量为：212s sr r n t --=，如果)2(-≤n t t α可以认为异方差性问题不存在，如果)2(2->n t t α，说明i x 与|i e |之间存在系统关系，异方差性问题存在。

回归分析方法

回归分析方法
回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。

在实际应用中，回归分析可以帮助我们预测未来的趋势，分析变量之间的影响关系，以及找出影响因变量的主要因素。

本文将介绍回归分析的基本概念、常见方法和实际应用。

首先，回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归两种基本类型。

简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，而多元线性回归则是指有多个自变量和一个因变量的情况。

在进行回归分析时，我们需要先确定自变量和因变量的关系类型，然后选择合适的回归模型进行拟合和预测。

常见的回归模型包括最小二乘法、岭回归、Lasso回归等。

最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化残差平方和来找到最佳拟合直线或曲线。

岭回归和Lasso回归则是在最小二乘法的基础上引入了正则化项，用于解决多重共线性和过拟合的问题。

选择合适的回归模型可以提高模型的预测准确性和稳定性。

在实际应用中，回归分析可以用于市场营销预测、金融风险评估、医学疾病预测等领域。

例如，我们可以利用回归分析来预测产
品销量与广告投放的关系，评估股票收益率与市场指数的关系，或
者分析疾病发病率与环境因素的关系。

通过回归分析，我们可以更
好地理解变量之间的关系，为决策提供可靠的依据。

总之，回归分析是一种强大的统计工具，可以帮助我们理解变
量之间的关系，预测未来的趋势，并进行决策支持。

在实际应用中，我们需要选择合适的回归模型，进行数据拟合和预测分析，以解决
实际问题。

希望本文对回归分析方法有所帮助，谢谢阅读！。

回归分析知识点总结

回归分析知识点总结一、回归分析的基本概念1.1 回归分析的概念回归分析是一种通过数学模型建立自变量与因变量之间关系的方法。

该方法可以用来预测数据、解释变量之间的关系以及发现隐藏的模式。

1.2 回归分析的类型回归分析主要可以分为线性回归和非线性回归两种类型。

线性回归是指因变量和自变量之间的关系是线性的，而非线性回归则是指因变量和自变量之间的关系是非线性的。

1.3 回归分析的应用回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、金融学、生物学、医学等。

在实际应用中，回归分析可以用于市场预测、风险管理、医疗诊断、环境监测等方面。

二、回归分析的基本假设2.1 线性关系假设线性回归分析假设因变量和自变量之间的关系是线性的，即因变量的变化是由自变量的变化引起的。

2.2 正态分布假设回归分析假设误差项服从正态分布，即残差在各个预测点上是独立同分布的。

2.3 同方差假设回归分析假设误差项的方差是恒定的，即误差项的方差在不同的自变量取值上是相同的。

2.4 独立性假设回归分析假设自变量和误差项之间是独立的，即自变量的变化不受误差项的影响。

三、回归分析的模型建立3.1 简单线性回归模型简单线性回归模型是最基础的回归分析模型，它只包含一个自变量和一个因变量，并且自变量与因变量之间的关系是线性的。

3.2 多元线性回归模型多元线性回归模型包含多个自变量和一个因变量，它可以更好地描述多个因素对因变量的影响。

3.3 非线性回归模型当因变量和自变量之间的关系不是线性的时候，可以使用非线性回归模型对其进行建模。

非线性回归模型可以更好地捕捉因变量和自变量之间的复杂关系。

四、回归分析的模型诊断4.1 线性回归模型的拟合优度拟合优度是评价线性回归模型预测能力的指标，它可以用来衡量模型对数据的拟合程度。

4.2 回归系数的显著性检验在回归分析中，通常需要对回归系数进行显著性检验，以确定自变量对因变量的影响是否显著。

4.3 多重共线性检验多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，这可能导致回归系数估计不准确。

回归直线知识点总结

回归直线知识点总结回归直线的基本概念回归直线通常表示为y = β0 + β1x，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1分别是截距和斜率。

这条直线能够最好地拟合自变量和因变量之间的关系，使得预测结果和实际观测值的差异最小。

通过回归直线，我们可以得到对于自变量的变化，因变量的预测值，从而进行数据分析和预测。

模型的拟合方法回归直线的拟合通常使用最小二乘法来进行。

最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过求解使得残差平方和最小的参数值来拟合模型。

残差是观测值与拟合值之间的差异，残差平方和就是所有残差平方的和。

通过最小二乘法，我们可以得到最优的回归直线参数估计值。

参数估计在回归直线模型中，我们通常使用最小二乘法来进行参数估计。

最小二乘法通过最小化残差平方和来估计模型的参数值，得到截距和斜率的估计值。

这些参数估计值反映了自变量和因变量之间的关系，可以用来进行预测和模型分析。

模型评估在回归直线模型中，模型的拟合度是一个非常重要的指标。

我们通常使用R方值来评估模型的拟合度，R方值越接近1，说明模型拟合度越好，预测结果与实际观测值的差异越小。

除了R方值，我们还可以使用残差分析、假设检验等方法来评估模型的拟合度和参数的显著性。

应用领域回归直线在实际应用中有着广泛的应用。

在经济学中，回归直线可以用来预测商品价格、需求量等变量之间的关系，在金融学中，可以用来预测股票价格、汇率等变量之间的关系，在医学中，可以用来预测疾病的发展趋势等。

回归直线的应用领域非常广泛，可以用来进行数据的分析和预测。

总结回归直线是统计学中一个非常重要的概念，它在数据分析、模型拟合、预测等领域都有着广泛的应用。

通过回归直线，我们可以得到自变量和因变量之间的关系，进行数据分析和预测。

回归直线的拟合方法通常使用最小二乘法进行，参数估计和模型评估是回归直线分析的重要步骤。

回归直线在经济学、金融学、医学等领域有着广泛的应用，可以用来预测价格、需求量、股票价格、疾病趋势等。

高考线性回归知识点

高考线性回归知识点线性回归是高考数学中的一个重要知识点，它是一种统计学上常用的方法，用于分析两个变量之间的线性关系。

在高考中，线性回归经常被应用于解决实际问题和预测未知数据。

本文将介绍线性回归的基本概念、公式以及应用示例，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。

一、线性回归的基本概念线性回归是建立一个自变量X和一个因变量Y之间的线性关系模型，通过最小化实际观测值与模型预测值之间的误差，来拟合和预测因变量Y的值。

线性回归的模型可以表示为：Y = β0 + β1*X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0是截距，β1是斜率，ε是误差项，代表模型无法准确拟合数据的部分。

二、线性回归的公式1. 简单线性回归如果模型中只有一个自变量X，称为简单线性回归。

简单线性回归的公式为：Y = α + βX + ε其中，α表示截距，β表示斜率，ε为误差项。

我们利用给定的数据集，通过最小二乘法来估计α和β的值，从而得到一条最佳拟合直线。

2. 多元线性回归如果模型中有多个自变量X1、X2、X3...，称为多元线性回归。

多元线性回归的公式为：Y = α + β1*X1 + β2*X2 + β3*X3 + ... + ε同样，我们利用最小二乘法来估计α和每个β的值，从而得到一个最佳拟合的平面或超平面。

三、线性回归的应用示例线性回归在实际问题中有广泛的应用。

下面通过一个简单的例子来说明线性回归的具体应用过程。

例：某城市的房价与面积的关系假设我们要研究某个城市的房价与房屋面积之间的关系。

我们收集了一些房屋的信息，包括房屋的面积和对应的价格。

我们可以使用线性回归来建立一个房价和面积之间的模型，从而预测未知房屋的价格。

1. 数据收集首先，我们收集了一些房屋的面积和价格数据，得到一个数据集。

2. 模型建立根据数据集，我们可以建立一个线性回归模型：价格= α + β*面积+ ε通过最小二乘法，估计出α和β的值。

3. 模型评估为了评估模型的好坏，我们需要计算误差项ε。

数据分析知识：数据分析中的网络回归方法

数据分析知识：数据分析中的网络回归方法网络回归是数据分析中常用的一种方法。

其主要目的是通过建立模型来预测目标变量。

网络回归是一种有监督学习的方法，其通过使用带权重的连接来组成一个神经网络来实现预测。

网络回归是建立在人工神经网络（ANN）结构上的一种回归分析方法。

人工神经网络专门模拟生物神经网络的特征，由大量基本处理元素（称为神经元）组成，并且通过学习从大量样本中获取数据，并通过调整模型参数，使其产生监督学习，以预测未来的标签。

通过解决大量的数据，用户可以得到预测值，这对于建立基于数据的决策模型是非常有效的。

在网络回归中，一组输入参数被输入到神经网络中，同时神经网络会生成输出结果。

网络回归的基本原理是利用历史数据来训练网络，以便神经网络可以对新数据进行预测。

训练过程涉及批量梯度下降，反向传播等。

其过程基本如下所示：（1）初始化随机权重（2）将数据分为训练数据和测试数据集（3）通过梯度下降进行权重更新（4）重复执行步骤2和步骤3（5）评估训练的标准和参数调整后的模型在网络回归中，最常用的是多层感知器网络（MLP）。

MLP是一种前馈神经网络，其中输入可以连接到隐藏层，而隐藏层可以连接到输出层。

通过使用隐藏层，MLP可以执行非线性函数逼近。

这意味着MLP可以模拟任何非线性函数，从而使其成为数据建模的有效工具。

网络回归的优劣网络回归有很多优点。

首先，由于使用的是人工神经网络，它可以模拟几乎任何非线性函数，这使其非常灵活，可以处理各种各样的数据。

其次，通过训练网络，可以建立非常准确的预测模型。

这对于打造基于模型的企业和制定基于数据的决策非常重要。

最后，网络回归可以处理非常大的数据集。

这是因为其可以并行计算，而且每个神经元都可以处理多个输入。

然而，网络回归也存在一些缺点。

首先，训练网络需要许多计算资源，特别是在处理大数据集时。

此外，还需要大量的培训时间。

此外，网络回归通常需要优化调整。

这意味着在使用网络回归时需要更多的技能，特别是在数据分析领域。

初中数学如何进行数据的回归分析

初中数学如何进行数据的回归分析
在初中数学中，进行数据的回归分析通常是通过简单线性回归来进行的。

简单线性回归通常包括以下几个步骤：
1. 收集数据：首先，需要收集一组相关数据，通常是两组数据，一组作为自变量（x），另一组作为因变量（y）。

2. 绘制散点图：将收集到的数据绘制成散点图，以观察数据的分布情况和可能的线性关系。

3. 计算相关系数：计算自变量和因变量之间的相关系数，来衡量两组数据之间的线性关系强弱。

4. 拟合直线：利用最小二乘法，拟合一条直线来表示两组数据之间的线性关系，这条直线称为回归线。

5. 预测数值：利用回归线，可以进行数值的预测，例如根据一个自变量的数值，预测对应的因变量的数值。

这些是初中数学中常见的进行数据回归分析的步骤，希望能帮助你更好地理解。

如果有任何问题，请随时提出。

一元回归分析(第1讲)

x )( y i y )
i
x
i 1
n
i
y i nx y
ˆ 3、 1
(x
i 1
x ) yi
( xi x ) 2
OLSE的性质
1、线性：
ˆ 就是指估计量 ˆ0，1为随机变量y i 线性函数即： ˆ 0 ˆ 1 n n ( xi x ) y i
决定系数(coefficient of determination)
r2 SSR SSE 1 SST SST
取值范围：[0，1]，越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高。
r2高并不表示模型选择正确。
决定系数的含义
• 可决系数定义为： S S R S S E 1
r2 SST SST SSR SSE 1 SST SST
回归分析的变量
因变量
因变量必须是间距测度等级以上的变量（连续变量）
自变量
自变量可以是间距测度等级以上的变量（连续变量）、也可以是名义测度等级的变量（分类变量）。 ▲注意：回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）。
一元线性回归模型
回归模型建立的步骤
回归分析的参数估计（OLSE）
由此得回归方程：
ˆ ˆ ˆ y i 0 1 xi ˆ y i 称为拟合值或回归值回归残差： ˆ ei y i y i 残差平方和： e
2

ˆ （ y i y i）
2 i 1
n
ˆ ˆ （y i 0 1 xi ) 2
H1 : 1 0 回归方程显著
2）、构造统计量： SSR F SSE /(n 2)

预测变量未来值的回归模型

预测变量未来值的回归模型
在建立回归模型时，通常会使用一些统计学方法，比如最小二
乘法，来确定自变量和因变量之间的关系。

一般来说，回归模型可
以是线性的或者非线性的，取决于自变量和因变量之间的关系。

线
性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，而非线性回归
模型则允许更复杂的关系形式。

为了预测未来值，建立好回归模型后，可以利用已有的自变量
数据来进行预测。

预测的准确性受多种因素影响，包括模型的选择、数据的质量、自变量的选择以及未来情况的不确定性等等。

因此，
在使用回归模型进行预测时，需要对模型的准确性有清晰的认识，
并在实际应用中进行适当的验证和修正。

此外，随着机器学习技术的发展，也出现了各种复杂的回归模型，比如岭回归、Lasso回归、支持向量回归等，这些模型在处理
复杂的数据和预测未来值方面可能具有更好的效果。

因此，在选择
回归模型时，需要根据具体的应用场景和数据特点进行合理的选择。

总的来说，预测变量未来值的回归模型是一种非常有用的工具，它可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，并基于这种关系
进行未来值的预测。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的回归模型，并对预测结果进行适当的评估和修正，以确保预测的准确性和可靠性。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习70 一元线性回归模型及其应用

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题70 一元线性回归模型及其应用考点知识1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．知识梳理1．变量的相关关系(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)相关关系的分类：正相关和负相关．(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．2．样本相关系数(1)r＝i＝1n(x i－x)(y i－y)i＝1n(x i－x)2i＝1n(y i－y)2.(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．3．一元线性回归模型(1)我们将y ^＝b ^x ＋a ^称为Y 关于x 的经验回归方程，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝i ＝1n(x i －x )(y i －y )i ＝1n(x i－x )2，a ^＝y －b ^x .(2)残差：观测值减去预测值称为残差．常用结论1．经验回归直线过点(x ，y )．2．求b ^时，常用公式b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2.3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相关关系是一种非确定性关系．(√)(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(√)(3)经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点．(×) (4)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(√) 教材改编题1．在对两个变量x ，y 进行回归分析时有下列步骤：①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ；③求经验回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图．则下列操作顺序正确的是() A ．①②④③B．③②④① C ．②③①④D．②④③① 答案D解析根据回归分析的思想，可知对两个变量x ，y 进行回归分析时，应先收集数据(x i ，y i )，然后绘制散点图，再求经验回归方程，最后对所求的经验回归方程作出解释． 2．对于x ，y 两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r 如下，则线性相关性最强的是()A ．－0.82B ．0.78C ．－0.69D ．0.87 答案D解析由样本相关系数的绝对值|r |越大，变量间的线性相关性越强知，各选项中r ＝0.87的绝对值最大．3．某单位为了了解办公楼用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到经验回归方程y ^＝－2x ＋a ^，当气温为－4℃时，预测用电量约为() A ．68度B ．52度C ．12度D ．28度答案A解析由表格可知x ＝10，y ＝40，根据经验回归直线必过(x ，y )得a ^＝40＋20＝60，∴经验回归方程为y ^＝－2x ＋60，因此当x ＝－4时，y ^＝68.题型一成对数据的相关性例1(1)(2023·保定模拟)已知两个变量x 和y 之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：根据表格中的数据求得经验回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则下列说法中正确的是()A.a ^>0，b ^>0 B.a ^>0，b ^<0C.a ^<0，b ^>0 D.a ^<0，b ^<0 答案B解析由已知数据可知y 随着x 的增大而减小，则变量x 和y 之间存在负相关关系，所以b ^<0.又x ＝15×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，y ＝15×(3.5＋2.4＋1.1－0.2－1.3)＝1.1，即1.1＝5b ^＋a ^，所以a ^＝1.1－5b ^>0.(2)(2022·大同模拟)如图是相关变量x ，y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程y ^＝b ^1x ＋a ^1，样本相关系数为r 1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下的数据得到经验回归方程y ^＝b ^2x ＋a ^2，样本相关系数为r 2.则()A ．0<r 1<r 2<1B ．0<r 2<r 1<1C ．－1<r 1<r 2<0D ．－1<r 2<r 1<0 答案D解析根据相关变量x ，y 的散点图知，变量x ，y 具有负线性相关关系，且点(10,21)是离群值；方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些；方案二中，剔除离群值，线性相关性强些；所以样本相关系数－1<r 2<r 1<0. 思维升华判定两个变量相关性的方法(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关．(2)样本相关系数：当r >0时，正相关；当r <0时，负相关；|r |越接近1，相关性越强．(3)经验回归方程：当b ^>0时，正相关；当b ^<0时，负相关．跟踪训练1(1)某公司2017～2022年的年利润x (单位：百万元)与年广告支出y (单位：百万元)的统计资料如表所示：根据统计资料，则利润中位数() A．是16，x与y有正相关关系B．是17，x与y有正相关关系C．是17，x与y有负相关关系D．是18，x与y有负相关关系答案B解析由题意知，利润中位数是16＋182＝17，而且随着年利润x的增加，广告支出y也在增加，故x与y有正相关关系．(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln(k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2则比较r1，r2的大小结果为()A．r1>r2B．r1＝r2C．r1<r2D．不确定答案C解析由散点图可知，用y＝b1ln(k1x)拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故|r1|>|r2|；又因为x ，y 负相关，所以－r 1>－r 2，即r 1<r 2. 题型二回归模型命题点1一元线性回归模型例2(2023·蚌埠模拟)某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的经验回归方程，预测日均存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？参考公式及数据：①b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x ，②∑i ＝15x i y i ＝0.9，∑i ＝15x 2i ＝0.55.解(1)如图所示．(2)由表格数据可得x ＝15×(0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5)＝0.3，y ＝15×(0.2＋0.35＋0.5＋0.65＋0.8)＝0.5，所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝0.9－5×0.3×0.50.55－5×0.3×0.3＝1.5， a ^＝y －b ^x ＝0.5－1.5×0.3＝0.05，故y ^＝1.5x ＋0.05.(3)设利率需上升x 个百分点，由(2)得，0.625×2＝1.5x ＋0.05，解得x ＝0.8，所以预测利率需上升0.8个百分点．命题点2非线性回归模型例3(2023·保山模拟)某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．表中u i ＝1x i ，u ＝17∑i ＝17u i .(1)根据散点图判断y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋dx哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y 与印刷数量x 的经验回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据求出y 关于x 的经验回归方程；(3)若该图书每册的售价为9元，则预测至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元(假设能够全部售出)．附：对于一组数据(ω1，v 1)，(ω2，v 2)，…，(ωn ，v n )，其经验回归方程v ^＝β^ω＋α^的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝i ＝1n (ωi －ω)(v i －v )i ＝1n(ωi －ω)2，α^＝v －β^ω.解(1)由散点图判断y ＝c ＋d x更适合作为该图书每册的成本费y 与印刷数量x 的经验回归方程．(2)先建立y 关于u 的经验回归方程得y ^＝c ^＋d ^u ，由于d ^＝i ＝17(u i －u )(y i －y )i ＝17(u i －u )2＝70.7＝10，故c ^＝y －d ^u ＝3.5－10×0.2＝1.5，所以预测y 关于u 的经验回归方程为y ^＝1.5＋10u ，从而y 关于x 的经验回归方程为y ^＝1.5＋10x.(3)假设印刷x 千册，依据题意得9x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5＋10x x ≥80，解得x ≥12，所以预测至少应该印刷12 000册图书，才能使销售利润不低于80 000元．思维升华求经验回归方程的步骤跟踪训练2(2022·南充模拟)某特色餐馆开通了某APP 的外卖服务，在一周内的某特色菜外卖份数x (单位：份)与收入y (单位：元)之间有如下的对应数据：(1)在给出的坐标系中画出数据散点图；(2)请根据以上数据用最小二乘法求出收入y 关于份数x 的经验回归方程； (3)据此估计外卖份数为12时，收入为多少元．参考数据公式：∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1380，b ^＝i ＝1n(x i －x )(y i －y )i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .解(1)作出散点图如图所示．(2)由表格数据得，x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50，则b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求经验回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(3)当x ＝12时，y ^＝12×6.5＋17.5＝95.5，即外卖份数为12时，预测收入为95.5元．题型三残差分析例4(1)(多选)下列说法正确的是()A ．在经验回归方程y ^＝－0.85x ＋2.3中，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y ^平均减少2.3个单位B ．在经验回归方程y ^＝－0.85x ＋2.3中，相对于样本点(1,1.2)的残差为－0.25 C ．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D ．若两个变量的决定系数R 2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好答案BCD解析对于A ，根据经验回归方程，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y ^平均减少0.85个单位，故A 错误；对于B ，当解释变量x ＝1时，响应变量y ^＝1.45，则样本点(1,1.2)的残差为－0.25，故B 正确；对于C ，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，即拟合效果越好，故C 正确；对于D ，由决定系数R 2的意义可知，R 2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D 正确．(2)新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，如表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为y ^＝0.28x ＋a ^，根据数据计算出在样本点(5,1.5)处的残差为－0.06，则表中m ＝________. 答案1.4解析由题设，1.5－y ^＝1.5－(0.28×5＋a ^)＝－0.06，可得a ^＝0.16.又x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝0.5＋0.6＋1＋m ＋1.55＝3.6＋m 5，所以0.28×3＋0.16＝3.6＋m5，可得m ＝1.4.思维升华检验回归模型的拟合效果的两种方法(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果． (2)R 2分析：通过公式计算R 2，R 2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R 2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差．跟踪训练3(1)下列命题是真命题的为()A ．经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定不过样本点B ．可以用样本相关系数r 来刻画两个变量x 和y 线性相关程度的强弱，r 的值越小，说明两个变量线性相关程度越弱C ．在回归分析中，决定系数R 2＝0.80的模型比决定系数R 2＝0.98的模型拟合的效果要D ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好答案D解析对于A ，经验回归方程不一定经过其样本点，但一定经过(x ，y )，所以A 是假命题；对于B ，由样本相关系数的意义，当|r |越接近0时，表示变量y 与x 之间的线性相关程度越弱，所以B 是假命题；对于C ，用决定系数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好，所以C 是假命题；对于D ，由残差的统计学意义知，D 是真命题． (2)两个线性相关变量x 与y 的统计数据如表：其经验回归方程是y ^＝b ^x ＋40，则相应于点(9,11)的残差为________．答案－0.2解析因为x ＝15×(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，y ＝15×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，所以8＝10b ^＋40，解得b ^＝－3.2，所以y ^＝－3.2x ＋40，当x ＝9时，y ^＝11.2，所以残差为11－11.2＝－0.2.课时精练1．下列有关线性回归的说法，不正确的是()A．具有相关关系的两个变量不是因果关系B．散点图能直观地反映数据的相关程度C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D．任一组数据都有经验回归方程答案D解析根据两个变量具有相关关系的概念，可知A正确；散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以B，C正确；具有相关关系的成对样本数据才有经验回归方程，所以D不正确．2．对于样本相关系数，下列说法错误的是()A．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的C．样本相关系数r∈[－1,1]D．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强答案D解析样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，故D错误．3．(2023·运城模拟)在线性回归模型中，变量x 与y 的一组样本数据对应的点均在直线y ＝12x ＋1上，R 2＝1－i ＝1n(y i －y ^i )2i ＝1n (y i －y )2，则R 2等于() A.14 B.12 C ．1 D.52 答案C解析因为样本数据对应的点均在一条直线上，所以R 2＝1.4．(多选)某工厂研究某种产品的产量x (单位：吨)与所需某种材料y (单位：吨)之间的相关关系，在生产过程中收集4组数据如表所示．根据表中数据可得经验回归方程为y ^＝0.7x ＋a ^，则下列四个说法中正确的为()A.变量x 与y 正相关 B ．y 与x 的样本相关系数r <0C.a ^＝0.35D ．当产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨答案ACD解析因为经验回归方程y ^＝0.7x ＋a ^，所以变量x 与y 呈正相关，所以样本相关系数r >0，故A 正确，B 错误；由表格可得x ＝3＋4＋6＋74＝5，y ＝2.5＋3＋4＋5.94＝3.85，则0.7×5＋a ^＝3.85，解得a ^＝0.35，故C 正确；所以经验回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，当x ＝8时，y ^＝0.7×8＋0.35＝5.95，即产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨，故D 正确．5．(多选)(2023·唐山模拟)某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高(单位：cm)和臂展(单位：cm)进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示．已知这10名志愿者身高的平均值为176 cm ，根据这10名志愿者的数据求得臂展u 关于身高v 的经验回归方程为u ^＝1.2v －34，则下列结论正确的是()A ．这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．这10名志愿者的身高和臂展呈负相关C ．这10名志愿者臂展的平均值为176.2 cmD ．根据经验回归方程可估计身高为160 cm 的人的臂展为158 cm 答案AD解析对于选项A ，因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A 正确；对于选项B ，因为1.2>0，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B 错误；对于选项C ，因为这10名志愿者身高的平均值为176cm ，所以这10名志愿者臂展的平均值为1.2×176－34＝177.2(cm)，故C 错误；对于选项D ，若一个人的身高为160 cm ，则由经验回归方程u ^＝1.2v －34，可得这个人的臂展的估计值为158 cm ，故D 正确．6．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且y ^＝0.8x ＋a ^，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为()A.－0.96B ．－0.8C ．0.8D ．0.96 答案C解析由题意可知，x ＝21＋23＋25＋274＝24，y ＝15＋18＋19＋204＝18，将(24,18)代入y ^＝0.8x ＋a ^，即18＝0.8×24＋a ^，解得a ^＝－1.2，所以y ^＝0.8x －1.2，当x ＝30时，y ^＝0.8×30－1.2＝22.8，所以该数据的残差为23.6－22.8＝0.8.7．某智能机器人的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如表所示：根据此表可得经验回归方程为y ^＝5x ＋a ^，据此模型预测广告费用为8万元时销售额为________万元．答案57解析由表格，得x ＝2＋3＋5＋64＝4，y ＝28＋31＋41＋484＝37，所以37＝5×4＋a ^，即a ^＝17，所以预测当广告费用为8万元时，销售额为5×8＋17＝57(万元)．8．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y ＝2e 2x ＋1的图象附近，设z ＝ln y ，将其变换后得到经验回归方程为z ＝mx ＋n ，则mn ＝________. 答案2ln2＋2解析由z ＝ln y ，则ln y ＝ln2e 2x ＋1，即z ＝ln2＋lne 2x ＋1＝ln2＋2x ＋1，则z ＝2x ＋ln2＋1，故m ＝2，n ＝ln2＋1，所以mn ＝2ln2＋2.9．假设关于某种设备的使用年限x (单位：年)与所支出的维修费用y (单位：万元)有如下统计资料：已知∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15y 2i ≈140.8，∑i ＝15x i y i ＝112.3，79≈8.9，2≈1.4.(1)求x ，y ；(2)计算y 与x 的样本相关系数r (精确到0.001)，并判断该设备的使用年限与所支出的维修费用的相关程度．附：样本相关系数r ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2∑ni ＝1(y i －y )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y (∑ni ＝1x 2i －n x 2)(∑ni ＝1y 2i －n y 2).解(1)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.0.(2)∑i ＝15x i y i －5x y ＝112.3－5×4×5＝12.3，∑i ＝15x 2i －5x 2＝90－5×42＝10，∑i ＝15y 2i －5y2≈140.8－5×52＝15.8，所以r ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2∑i ＝15y 2i －5y2≈12.310×15.8＝12.32×79≈12.31.4×8.9≈0.987，r 接近1，说明该设备的使用年限与所支出的维修费用之间具有很高的相关性． 10．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m 2)和材积量(单位：m 3)，得到如下数据：并计算得∑10i ＝1x 2i ＝0.038，∑10i ＝1y 2i ＝1.6158，∑10i ＝1x i y i ＝0.2474. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：样本相关系数r ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2∑ni ＝1(y i －y )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y (∑ni ＝1x 2i －n x 2)(∑ni ＝1y 2i －n y 2)，1.896≈1.377.解(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x ＝0.610＝0.06(m 2)，样本中10棵这种树木的材积量的平均值y ＝3.910＝0.39(m 3)，据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m 2，平均一棵的材积量为0.39 m 3.(2)r＝∑i＝110xiyi－10x y(∑i＝110x2i－10x2)(∑i＝110y2i－10y2)＝0.2474－10×0.06×0.39 (0.038－10×0.062)×(1.6158－10×0.392)＝0.01340.0001896≈0.01340.01377≈0.97.(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.060.39＝186Y，解得Y＝1209.则该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m3.11．(多选)针对某疾病，各地医疗机构采取了各种有针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示，由表格可得y 关于x的经验回归方程为y^＝6x2＋a^，则下列说法正确的是()A.a^＝4B.a^＝－8C ．此回归模型第4周的残差为5D ．估计第6周治愈人数为220 答案BC解析设t ＝x 2，则y ^＝6t ＋a ^，由已知得t ＝15×(1＋4＋9＋16＋25)＝11，y ＝15×(2＋17＋36＋93＋142)＝58，所以a ^＝58－6×11＝－8，故A 错误，B 正确；在y ^＝6x 2－8中，令x ＝4，得y ^4＝6×42－8＝88，所以此回归模型第4周的残差为y 4－y ^4＝93－88＝5，故C 正确；在y ^＝6x 2－8中，令x ＝6，得y ^6＝6×62－8＝208，故D 错误．12．2020年，全球开展了某疫苗研发竞赛，我国处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：并求得y 与x 的经验回归方程为y ^＝0.011x ＋a ^，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N ；注射疫苗后仍被感染的人数记为n ，则估计该疫苗的有效率为________．(疫苗的有效率为1－n N，结果保留3位有效数字) 答案0.818解析由表格中的数据可得x ＝500，y ＝5，故a ^＝5－0.011×500＝－0.5，故N ＝0.011×10 000－0.5＝110－0.5＝109.5≈110，而n ＝20，故疫苗的有效率为1－20110≈0.818.13．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 7，y 7)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，7)都在曲线y ＝a ln(x －1895)＋12.15附近波动，经计算i ＝17(x i －1895)＝210.77，i ＝17y i ＝73.50，i ＝17ln(x i －1895)＝23.10，则实数a 等于()A ．－0.5B ．0.5C ．－1D ．1 答案A解析因为17i ＝17ln(x i －1895)＝23.107＝3.3，17i ＝17y i ＝73.507＝10.5，所以10.5＝3.3a ＋12.15，解得a ＝－0.5.14．(多选)已知由样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，10)组成的一个样本，得到经验回归方程为y ^＝2x －0.4，且x ＝2，去除两个歧义点(－2,1)和(2，－1)后，得到新的经验回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是() A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．去除两个歧义点后，新样本中变量x j (j ＝1,2，…，8)的平均值变大C ．去除两个歧义点后的经验回归方程为y ^1＝3x －3 D ．去除两个歧义点后，样本数据(4,8.9)的残差为0.1 答案ABC解析对于A ，因为经验回归直线的斜率大于0，所以相关变量x ，y 具有正相关关系，故A 正确；对于B ，将x ＝2代入y ^＝2x －0.4得y ＝3.6，则去除两个歧义点后，得到新的相关变量的平均值分别为X ＝2×10－(－2＋2)8＝52，Y ＝3.6×10－(1－1)8＝92，故B 正确；对于C ，a ^＝92－3×52＝－3，新的经验回归方程为y ^1＝3x －3，故C 正确；对于D ，当x ＝4时，y ^1＝3×4－3＝9，残差为8.9－9＝－0.1，故D 错误．。