江苏省2015年专转本高等数学真题
江苏省2015年专转本高等数学试卷及解答
绝密★启用前江苏省2015年普通高校专转本选拔考试高等数学 试题卷注意事项：1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置． 3．考试结束时，须将试题卷和答题卷一并交回．一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号与黑） 1．当0=x 时，函数sin ()1e=−xf x 是函数()=g x x 的（ C ）．A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．同阶无穷小D ．等价无穷小解 sin 000()1e sin limlim lim 1()x x x x f x xg x x x→→→−−===−，答案：C ． 2．函数(1)=−x y x (1<x )的微分d y 为（ B ）．A ．(1)[ln(1)]d 1−−+−x xx x x xB ．(1)[ln(1)1−−−−x xx x x xC ．1(1)d −−x x x xD ．1(1)d −−−x x x x解 ln ln(1)y x x =−，1ln(1)1x y x yx ′=−−−，(1)[ln(1)]1x x y x x x ′=−−−−，d d (1)[ln(1)]d 1x xy y x x x x x′==−−−−，答案：B ． 3．0=x 是函数11e 10()e 110x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨−⎪⎪=⎩的（ B ）．A ．无穷间断点B ．跳跃间断点C ．可去间断点D ．连续点解 11e 1lim ()lim 1e 1xx x xf x −−→→+==−−，11110e 11e lim ()lim lim 1e 11exx x x x xxf x +−−−→→→−++===−−，答案：B ．4．设()F x 是函数()f x 的一个原函数，则(32)d −=⎰f x x ( A )．A ．1(32)2−−+F x cB ．1(32)2−+F x cC ．2(32)−−+F x cD ．2(32)−+F x c解11(32)d (32)d(32)(32)22f x x f x x F x c −=−−−=−−+⎰⎰，答案：A ． 5．下列级数条件收敛的是（ D ）．A ．()211n n nn∞=−−∑B ．11(1)21n n n n ∞=+−−∑C ．1!(1)∞=−∑nn n n n D ．211(1)∞=+−∑n n n n解 答案：D ． 6．二次积分()e11ln d ,d =⎰⎰yy f x y x （ D ）．A ．e11ln d (,)d ⎰⎰x x f x y yB ．1e0e d (,)d ⎰⎰x x f x y yC ．1e 00d (,)d ⎰⎰xx f x y yD ．1e 01d (,)d ⎰⎰x x f x y y解()e11e 1ln 01d ,d d (,)d xyy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰，答案：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．设()lim(1)n n x f x n →∞=−，则(ln 2)=f ▲ ．12解 ()lim(1lim{[1()]}e n n x x x n n x x f x n n−−−→∞→∞=−=+−=，ln 21(ln 2)e 2f −==．8．设曲线33211⎧=−+⎪⎨=+⎪⎩x t t y t 在点(02)，处的切线方程为 ▲ ．32y x =+ 解 由2y =得1t =，22d d 3d d d 32d yy t t x x t t==−，1d 3d t y x ==，切线方程为23y x −=，即32y x =+． 9．设向量 b 与向量(121)=−− ，，a 平行，且12⋅=a b ，则= b ▲ ．(242)−−，，解 由于||a b ，所以(2)b a λλλλ==−− ，，，则4612a b λλλλ⋅=++== ，解得2λ=， 因而(242)b =−−，，．10．设1()21=+f x x ，则()()=n f x ▲ ．()1(1)2!()(21)n n n n n f x x +−⋅=+解 111()12122f x x x ==⋅++，()111(1)!(1)2!()12(21)()2n n n n n n n n f x x x ++−−⋅==++． 11．微分方程2′−=xy y x 满足初始条件12==x y 的特解为 ▲ ．2y x x =+ 解 由2′−=xy y x 得y y x x ′−=，于是有1()p x x=−，()q x x =，则有 11d d ()d ()de (()e d )e (e d )()xx p x xp x x x x y q x x c x x c x x c −−⎰⎰⎰⎰=+=+=+⎰⎰，又12==x y 得1c =，所以2y x x =+ 12．幂级数1)∞=−nn n x 的收敛域为 ▲ ．13[,22解2n n ==，则有1|1|2x −<，解得1322x <<，当12x =时，级数n n ∞=收敛，当32x =时，级数n ∞=发散，因而收敛域为13[,22 ． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13． 求极限020arcsin d lim2e 22→−−−⎰xxx t t tx x ．解 20200000arcsin d arcsin 2lim lim lim lim lim 12e 222e 222e 222e 2xxx x x x x x x x t t tx x x x xx x x x x→→→→→=====−−−−−−−−⎰．14． 设2sin 0()0−⎧≠⎪=⎨⎪=⎩x x x f x x x ，求()′f x ．解 当0x ≠时，243(1cos )(sin )22sin cos ()x x x x x x x x xf x x x −−−−−′==；当0x =时，232200001()(0)sin 1cos 12(0)lim lim lim lim 336x x x x xf x f x x x f x x x x →→→→−−−′=====． 所以32sin cos 0()106x x x xx x f x x −−⎧≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩．15． 求通过直线112215x y z +−+==与平面32100++−=x y z 的交点．且与直线230240−++=⎧⎨+−−=⎩x y z x y z 平行的直线方程． 解 令112215x y z t +−+===，则有21x t =−，1y t =+，52z t =−，于是有 3(21)2(1)(52)100t t t −+++−−=，解得1t =，所以所求直线经过点(123)，，，依题意所求直线的方向向量11253211i j ks i j k =−=−++−，因而所求直线方程为123153x y z −−−==−．16．求不定积分3x ．解3x3sin x t=令3227sin 3cos d 27(1cos )sin d 3cos t t t t t t t =−⎰⎰2227(sin d cos sin d )27(cos cos d cos )t t t t t t t t =−=−+⎰⎰⎰ 39cos 27cos t t c=−+3sin xt =3122221(9)9(9)3x x c −−−+218)x c =++． 17． 计算定积分222()sin d ππ−+⎰x x x x ．解2222022222()sin d sin d sin d 2sin d x x x x x x x x x x x x x πππππππ−−−+=+=⎰⎰⎰⎰222202d cos 2(cos cos d )2sin 2x x x x x x xππππ=−=−−==⎰⎰．18． 设(())ϕ=，xz f x y ，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数ϕ具有连续导数，求2∂∂∂z x y ． 解 设x u y=，()v x ϕ=，则(,)z f u v =，121()z f x f x y ϕ∂′′′=+∂，2111212321()z x x x f f f x y y y y ϕ′∂′′′′′=−−−∂∂． 19． 计算二重积分d d ⎰⎰Dxy x y ，其中D为曲线=y =y x 及直线2=y 所围成的平面闭区域．解221d d d d 2yDxy x y y y x y x y ==⋅⎰⎰22421(2)d (14y y y y y =⋅−=−=．20． 已知2312e e e =++x x x y C C x 是二阶常系数非齐次线性微分方程()′′′++=y py qy f x 的通解，试求该微分方程．解 依题意对应齐次线性方程的特征方程为(1)(2)0r r −−=，即2320r r −+=，则对应齐次线性方程为320y y y ′′′−+=；设*3e x y x =，则*333e e 3(31)e x x x y x x ′=+⋅=+，*333e (31)e 3x x y x ′′=++⋅33(32)e x x =+，于是***3()32(23)e x f x y y y x ′′′=−+=+，则该微分方程为332(23)e x y y y x ′′′−+=+四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21．设D 是由曲线2=y x 与直线y ax =(0)>a 所围成的平面图形，已知D 分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等，试求： （1）常数a 的值； （2）平面图形D 的面积．解 554012d 315a x a V a x x πππ=−=⎰，24401d 36a y a V y y a πππ=−=⎰． （1）依题意有x y V V =，解得54a =；（2）平面图形D 的面积223300111()d ()236aaS ax x x ax x a =−=−=⎰，当54a =时，315125(64384S ==． 22．设2()(1)+=+ax bf x x 在点1=x 处取得极值14−，试求： （1）常数，a b 的值；；（2）曲线()=y f x 的凹凸区间与拐点； （3）曲线()=y f x 的渐近线．解 243(1)()2(1)2()(1)(1)a x ax b x ax a bf x x x +−+⋅+−+−′==++．（1）依题意有11()44104a b b ⎧+=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩ ，解得10a b =−⎧⎨=⎩；（2）31()(1)x f x x −′=+，3264(1)(1)3(1)42()(1)(1)x x x xf x x x +−−⋅+−′′==++，令()0f x ′′=，解得2x =．由表可知：曲线在(,2)−∞是凹的，在(2,)+∞是凸的，拐点为2(2,)9−；（3）由于2lim ()lim0(1)x x x f x x →∞→∞−==+，211lim ()lim (1)x x xf x x →−→−−==∞+，所以曲线有一条水平渐近线0y =，一条垂直渐近线1x =−．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23． 证明：当01<<x 时，(2)ln(1)2−−>x x x ． 证明 设()(2)ln(1)2f x x x x =−−−，2()ln(1)2ln(1)11x xf x x x x x−′=−−−=−+−−， 2211()01(1)(1)xf x x x x −′′=+=>−−−，因而当0x >时，()(0)0f x f ′′>=，从而有()(0)0f x f >=，即(2)ln(1)20x x x −−−>，即有(2)ln(1)2−−>x x x ．24． 设()=，z z x y 是由方程22()+=−y z xf y z 所确定的函数，其中f 为可导函数，证明∂∂+=∂∂z zxz y x y． 证明 依题意有2z z f xzf x x ∂∂′=−∂∂，1(22)z z x y z f y y∂∂′+=−∂∂ ，解得12z f x xzf ∂=′∂+，2112z xyf y xzf ′∂−=′∂+，于是有(21)2212121212z z xf z xyf xf xyzf z xf xyzf xf y xz y x y xzf xzf xzf xzf ′′′∂∂−+−+−++=+===′′′′∂∂++++．。
江苏省2016年专转本高等数学真题
江苏省2015年普通高校“专转本”选拔考试一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、当0x→时，函数sin ()1x f x e =-是函数 ()g x x =的 ( )A. 高阶无穷小B. 低阶无穷小C. 同阶无穷小D. 等价无穷小 2、函数(1) (1)x y x x =-<的微分dy 为 ( )A. (1) [ln(1)]1x x x x dx x --+- B. (1) [ln(1)]1x x x x dx x---- C.1(1)x x x dx -- D. 1(1)x x x dx ---3、0x =是函数111, 0()11, 0x xe xf x e x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩的 ( ) A. 无穷间断点 B. 跳跃间断点 C.可去间断点 D. 连续点 4、设()F x 是函数()f x 的一个原函数，则(32)f x dx -=⎰ ( )A. 1(32)2F x C --+B. 1(32)2F x C -+ C.2(32)F x C --+ D. 2(32)F x C -+5、下列级数条件收敛的是 ( )A.21(1)n n nn ∞=--∑ B.11(1)21nn n n ∞=+--∑C.1!(1)nn n n n ∞=-∑ D.211(1)nn n n∞=+-∑ 6、二次积分11ln (,)eydy f x y dx =⎰⎰ ( )A.11ln (,)exdx f x y dy ⎰⎰ B.1(,)x edx f x y dy ⎰⎰ 1 0C. 0(,)xe dxf x y dy ⎰⎰ 1 0D.1(,)xe dxf x y dy ⎰⎰ 1 0二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7设()lim(1)n n xf x n→∞=-，则(ln 2)f =_________．8、曲线33211x t t y t ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩在点（0，2）处的切线方程为____________．9、设向量b 与向量(1,2,1)a =--平行，且12a b ⋅=，则b =________．10、设1()21f x x =+，则()()n f x =_________．11、微分方程2xy y x '-=满足初始条件12x y==的特解为___ __．12、幂级数11)nn n x ∞=-的收敛域为____________． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、求极限020arcsin lim222xxx t tdte x x →---⎰．14、设2sin , 0()0, 0x xx f x x x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求()f x '． 15、求通过直线112215x y z +-+==与平面32100x y z ++-=的交点，且与直线230240x y z x y z -++=⎧⎨+--=⎩平行的直线方程． 16、求不定积分3⎰．17、计算定积分222()sin xx xdx ππ-+⎰ ．18、设(,()),xz f x yϕ=，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数ϕ具有连续导数，求yx z∂∂∂2．19、计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D为由曲线y =与直线y x =及直线2y =所围成的平面闭区域． 20、已知2312x x x y C e C e xe =++是二阶常系数非齐次线性微分方程()y py qy f x '''++=的通解，试求该微分方程．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 21、设D 是由曲线2y x =与直线(0)y ax a =>所围成的平面图形，已知D 分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等，试求： （1）常数a 的值； （2）平面图形D 的面积.22、设函数2()(1)ax b f x x +=+在点1x =处取得极值14-，试求： （1）常数,a b 的值；（2）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点；（3）曲线)(x f y =的渐近线．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23、证明：当10<<x 时，(2)ln(1)2x x x -->．24、设(,)zz x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的函数，其中f为可导函数，证明：z zxz y x y∂∂+=∂∂． 2016年试卷一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、函数()f x 在0x x =处有意义是极限0lim ()x x f x →存在的( D )A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件 2、函数()sin f x x =，当0x +→时，下列函数中是()f x 的高阶无穷小的是 ( C )A.tan x B.1 C. 21sinx xD. 1-3、设函数()f x 的导函数为sin x ，则()f x 的一个原函数是( B )A.sin x B. sin x - C. cos x D. cos x -4、二阶常系数非齐次线性微分方程22x y y y xe -'''--= 的特解的正确形式为( D )A.x Axe - B. 2x Ax e - C. ()x Ax B e -+ D. ()x x Ax B e -+5、函数2()z x y =-，则1,0d x y z=== ( B )A.22dx dy + B. 22dx dy - C. 22dx dy -+ D. 22dx dy --6、幂级数212n nn x n∞=∑的收敛域为 ( A )A.11[,]22- B. 11[,)22- C. 11(,]22- D. 11(,)22- 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7．极限1lim(12)xx x →-=____2e -_____．8、已知向量(1,0,2)a =，(4,3,2)b =--，则(2)(2)a b a b -⋅+=___－48_________． 9、函数()x f x xe =的n 阶导数()()n f x =____()x n x e +_____．10、函数211()sin 2x f x x x+=的水平渐近线方程为___ 12y =___．11、函数2()ln ,xxF x tdt =⎰则()F x '=___ ln 4x __．12、无穷级数_____发散_______（填写收敛或发散）． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 13、求极限201cos lim().sin x xx x x→-．14、设函数()y y x =由方程xy e x y =+确定，求dydx． 15、计算定积分51⎰．16、求不定积分2ln (1)xdx x +⎰ ．17、求微分方程22sin xy xy x '+=满足条件()0y π=的解．18、求由直线L1：111131x y z ---==和直线L2：11213x ty t z t=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩所确定的平面方程． 19、设22(,)zf x y y x =--，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．20、计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰，其中D 为由直线2y x =+,x轴及曲线y =所围成的平面区域．四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21、证明函数||y x =在0x =处连续但不可导．22、证明12x ≥-时，不等式32213x x +≥成立． 五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 23、平面区域D 由曲线222xy y +=,y y 轴所围成（1）求平面区域D 的面积；（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积． 24、设函数()f x 满足2211()2()f x f x dx x =+⎰， （1）求()f x 的表达式；（2）确定反常积分1()f x dx +∞⎰的敛散性．。
江苏专升本高等数学真题(附答案)
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）把握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（6）了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。
（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。
重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。
（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。
（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。
2015年成人高考专升本高数二真题及答案
2015年成人高考专升本高数二真题及答案2015年成人高考专升本高数二真题及答案1. limx→?1x+1x 2+1=( )A. 0B.12C.1D.22.当x →0时，sin 3x 是2x 的（）A. 低阶无穷小量B.等阶无穷小量C. 同阶但不等价无穷小量D.高阶无穷小量3.函数f(x)= x+1,x <0,在x=0处（）x 2, x ≥0A.有定义且有极限B.有定义但无极限C.无定义但有极限D.无定义且无极限4.设函数f(x)=x e π2,则f'(x)=（）A.(1+x)e π2 B. (12+x)e π2 C. (1+x2)e π2 D. (1+2x)e π25.下列区间为函数f(x)=x 4-4x 的单调增区间的是（）A.(-∞，+∞)B. (-∞，0)C.（-1,1）D. (1，+∞)6.已知函数f(x)在区间[?3,3]上连续，则∫f(3x)11dx=( ) A.0 B.13∫f(t)33dt C. 13∫f(t)11dt D.3∫f(t)33dt 7.∫(x ?2+sin x)dx=( )A. -2x -1+cos x +cB. -2x -3+cos x +cC. -x ?33-cos x +c D. –x -1-cos x +c8.设函数f(x)=∫(t ?1)dt x,则f “(x)=( ) A.-1 B.0 C.1 D.29.设二元函数z=x y ,则?zx=( )A.yx y-1B. yx y+1C. y x ln xD. x y10.设二元函数z=cos(xy),?2y ?x 2=（）A.y 2sin(xy)B.y 2cos(xy)C.-y 2sin(xy)D.- y 2cos(xy)11.lim x→0sin 1x= . 012.lim x→∞(1?2x)x3= . e ?2313.设函数y=ln(4x ?x 2),则y ′(1)= . 2314.设函数y=x+sin x ,则dy= . （1+cos x ）dx15.设函数y=x 32+e ?x ,则y ”= . 34x ?12+e -x16.若∫f(x)dx =cos(ln x)+C,则f (x )= . -sin(ln x)x17.∫x |x |11dx = . 0 18.∫d(x ln x)= . x ln x +C19.由曲线y=x 2，直线x=1及x 轴所围成的平面有界图形的面积S= . 1320.设二元函数z=e yx ,则?zx|(1,1)= . -e21.计算limx→1e x ?eln xlimx→1e x ?eln x=limx→1e x1x=e22.设函数y=cos(x 2+1),求y'.y'=[cos(x 2+1)]'=-sin(x 2+1)?(x 2+1)'=-2xsin(x 2+1)23.计算∫x 4+x 2dx∫x 4+x 2dx=12∫14+x2d(4+x 2)=12ln(4+x 2)+C24.计算∫f (x )4dx ,其中 f (x )={x,x <111+x,x ≥1∫f (x )40 dx =∫xdx 10+∫11+x1 0dx=x 22|10+ln(1+x)|41=12+ln 5225.已知f(x)是连续函数，且∫f(t)x 0e ?t dt=x,求∫f(x)1 dx . 等式两边对x 求导，得f(x)e ?x =1f(x)=e x∫f(x)1 0dx = ∫e x 1dx =e x |10=e-126.已知函数发f(x)=ln x -x.(1)求f(x)的单调区间和极值；f(x)的定义域为（0，+∞），f'(x)=1x-1.令f'(x)=0得驻点x=1.当00；当x >1时，f'(x)<0.f(x)的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）.f(x)在x=1处取得极大值f(1)=-1(2)判断曲线y=f(x)的凹凸性。
2015年江苏省专升本考试《高等数学》真题及答案
《高等数学》真题
(总分 100, 考试时间 90 分钟) 1. 选择题 1. 选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 设
则当 x→1 时( )
A f(x)是比 g(x)高阶的无穷小 B f(x)是比 g(x)低阶的无穷小 C f(x)与 g(x)是同阶但不等价的无穷小
答案:正确答案： 2. 求由曲线 y=x 2 ，
x=2 所围成的平面图形的面积．
答案:正确答案：
3. 微分方程 答案:
满足初始条件 y| x=0 =0 时的特解．
正确答案：微分方程可化为
即 xe x dx=tanydy，两端积分可得(x 一 1)e x +C 1 =一 ln|cosy|，将 y| x=0
正确答案：令 F(x，y，z)=xf 一 y—z， F’ x =f，F' y =2xyf'一 1，
5. 计算定积分 答案:正确答案：因为奇函数在对称区间积分为零，
6. 设 z=
，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数φ具有连续导数，求
答案:正确答案： 7. 计算二重积分
，其中 D 为由曲线
与直线 y=x 及直线 y=2 所围成的平面闭区域．
答案:正确答案： 8. 已知 y=C 1 e x +C 2 e 2x +xe 3x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+py’+qy=f(x)的通解，试求该微分方程．
=0 代入，得一 1+C 1 =0，即 C 1 =1．故所求特解为 ln|cosy|=e x ‐xe x ‐1．
4. 己知三阶矩阵 B=2I，其中 I 为单位矩阵，AX=B，求矩阵 X．
江苏省专转本高数真题及答案
江苏省专转本高数真题及答案高等数学试题卷(二年级)注意事项：出卷人：江苏建筑大学-张源教授1、考生务必将密封线内的各项目及第 2页右下角的座位号填写清楚. 3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分) 1、极限 lim(2xsin 1 Sin 3x )=()x xA. 0B.2C.3D.52、设f (x)二2)sinx ,则函数f (x )的第一类间断点的个数为()|x|(x -4)'A. 0B.1C.2D.3133、设 f(x) =2x 2 -5x 2，则函数 f(x)()A.只有一个最大值B.只有一个极小值C.既有极大值又有极小值D.没有极值34、设z =ln(2x)-在点(1,1)处的全微分为()y1 1A. dx - 3dyB. dx 3dyC. 一 dx 3dyD. - dx - 3dy2 21 15、二次积分pdy.y f （x, y ）dx 在极坐标系下可化为（）sec'— 'sec jA. —4d 寸 o f （「cos 〒，「sin 寸）d 「B. —4d 丁 ? f （「cos 〒，「sin 寸）「d 「&下列级数中条件收敛的是()二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)7要使函数f(x)=(1-2x )x 在点x=0处连续，则需补充定义f(0)= _________________ . 8、设函数 y = x （x 2 +2x +1）2 +e 2x ，贝卩 y ⑺（0） = _______ .江苏省 2 0 12 年普通高校专转本选拔考试2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上, 答在草稿纸上无效. sec ? iC. o f （「cosd 「sin Jd 「D.4sec ?2d 丁 ? f （「cos 寸,「sin 寸）:?d "「TVXTnW ?、n9、设y =x x (x >0)，则函数y 的微分dy =.(1)函数f (x)的表达式;11、设反常积分［_e 」dx=q ，则常数a= ______________ . 12、幕级数￡上律(x -3)n 的收敛域为 __________________ :“二 n3 三、计算题(本大题共8小题，每小题8分，共64 分)2x +2cosx —2 lim 厂x 0x ln(1 x)2116、计算定积分"，-严.17、已知平面二通过M (1,2,3)与x 轴，求通过N(1,1,1)且与平面二平行，又与x 轴垂直的直线方程.18、设函数“ f(x,xyr (x 2 y 2)，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数具有二阶连-2续导数，求一Zc^cy19、已知函数f(x)的一个原函数为xe x ，求微分方程丫4/ 4^ f (x)的通解. 20、计算二重积分..ydxdy ，其中D 是由曲线y 「x-1，D闭区域.四、综合题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)21、在抛物线y =x 2(x 0)上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为2，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.3x322、已知定义在(皿，畑)上的可导函数f(x)满足方程xf(x)-4( f(t)dt=x 3-3，试求：10、设向量a,b 互相垂直，且= 3,^=2,,贝 U ^+2b13、求极限 14、设函数 y = y(x)由参数方程 xdty = t 2 2lnt所确定, 求鱼dx dx 2 °15、求不定积分 2x 1 J 2~cos x1直线T 及x 轴所围成的平面(2)函数f(x)的单调区间与极值;(3)曲线y= f(x)的凹凸区间与拐点.五、证明题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)123、证明：当0 ： x ：： 1 时，arcsinx x x3.6十x0 g(t)dt g(x)24、设f(x)一2—XHO，其中函数g(x)在(皿,母)上连续，且lim g(x丿=3证x T1—COSX卫(0) x = 01明：函数f (x)在X = 0处可导，且f (0)匕.一. 选择题1-5BCCABD二. 填空题7-12e°128x n(1 ln x)dx5ln 2 (0,6]三. 计算题13求极限x m0 2x 2 cos x - 216、计算定积分 ----------- dx .1x ? 2x T13 t -^dt 二21 1 ：; t2 1 t2dt =2arctant 1 t2原式=x叫x2 2 cos x -2 2x—2si nx=limx_0x—sin x3= lim4x3 x刃2x314、设函数y = y(x)由参数方程所确定，求2』=t +21 nt dydxd2ydx2原式号dx dydtdx2t -t12td2y_d燈)dtdx2t2 dt t2dx2dxdtt2115、求不定积分2x 12dx. cos x2x 1原式=i'2■ dx ' cosx 二(2x 1)d tanx 二(2x 1) tanx - tanxd(2x 1) 原式=令.2x -1 “，则原式=.?? 32(1)函数f (x)的表达式;17、已知平面二通过M (1,2,3)与x 轴，求通过N(1,1,1)且与平面二平行，又与x 轴垂直的直线方程.解：平面二的法向量n -OM 「=(0,3,一2)，直线方向向量为S = n "「= (0,-2,-3),直线方程：x -1 y -1 z -10 一 -2 一 -3 18、设函数z 二f(x,xy^ (x 2 y 2)，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数具有二阶连Z =f i f 2 y 2x ' zf i2 x f 2 xyf 22 2x 2y : .x :x.y19、已知函数f (x)的一个原函数为xe x ，求微分方程y” ? 4y ' 4y = f (x)的通解. 解：f (x) = (xe x ^ = (x 1)e x ，先求y ” ? 4y ' 4y = 0 的通解，特征方程：r 2 ? 4r *4 = 0,h 、2 = -2，齐次方程的通解为Y =(G C 2X )e'x .令特解为y =(Ax B)e x ，代入原方程9Ax 6A 9^x 1，有待定系数法得:__ 120、计算二重积分i iydxdy ，其中D 是由曲线y = ：x-1，直线y= —x 及x 轴所围成的平面D 2闭区域.原式=ydy 丫 dx 1.j 0'2y12四. 综合题21、在抛物线y =x 2(x 0)上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为2，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 3 解：设 P 点(x 0，x ° )(x 0 0)，则 k 切=2x °，切线：，y - x ° = 2x 0(x- x °)续导数，求；2z解:9A=1QA+9B =1解得* A 」9 -1，所以通解为丫"6)宀(討?2x/即，y +x ° =2x °x ，由题意((y x^ 2x 0s y)dy =彳，得 X0 = 2，P(2,4)(2)函数f(x)的单调区间与极值;(3)曲线—f(x)的凹凸区间与拐点.x解：(1)已知 xf(x)-4 4 f (t)dt =X 3 -3两边同时对 x 求导得：f (X )? x 「(x)-4f(x) =3x 2 3即.y" — -y=3x 则 y = —3x 2+cx 3 由题意得：f(1)=—2， c=1，贝U f(x)=—3x 2 + x 3 ■ x ' (2) f (x) =3x 2 -6x = 0,论=0,x 2 = 2 列表讨论得在(-二,0) (2,：：)单调递增，在(0,2)单调递减。
01—10年江苏专转本数学真题(附答案)
2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是 （ ）A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （ ）A 、211x-B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ）A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （ ）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示 （ ） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctan π+++=xx y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.等价无穷小，洛必达13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.x 分别为0，1，-1时化简求极限14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程； （2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。
江苏专转本数学历年真题（2007-2012）
江苏专转本数学历年真题（2007-2012）2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、若，则（）A、 B、 C、 D、2、已知当时，是的高阶无穷小，而又是的高阶无穷小，则正整数（）A、1B、2C、3D、43、设函数，则方程的实根个数为（）A、1B、2C、3D、44、设函数的一个原函数为，则（）A、 B、 C、 D、5、设，则（）A、 B、 C、 D、6、下列级数收敛的是（）A、 B、 C、 D、二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数，在点处连续，则常数8、若直线是曲线的一条切线，则常数9、定积分的值为10、已知，均为单位向量，且，则以向量为邻边的平行四边形的面积为11、设，则全微分12、设为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限.14、设函数由方程确定，求、.15、求不定积分.16、计算定积分.17、设其中具有二阶连续偏导数，求.18、求微分方程满足初始条件的特解.19、求过点且垂直于直线的平面方程.20、计算二重积分，其中.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、设平面图形由曲线（）及两坐标轴围成.（1）求该平面图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数的值，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分.22、设函数具有如下性质：（1）在点的左侧临近单调减少；（2）在点的右侧临近单调增加；（3）其图形在点的两侧凹凸性发生改变.试确定，，的值.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设，证明：.24、求证：当时，.2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、设函数在上有定义，下列函数中必为奇函数的是（）A、 B、C、 D、2、设函数可导，则下列式子中正确的是（）A、 B、C、 D、3、设函数，则等于（）A、 B、 C、 D、4、设向量，，则等于（）A、（2，5，4）B、（2，－5，－4）C、（2，5，－4）D、（－2，－5，4）5、函数在点（2，2）处的全微分为（）A、 B、 C、 D、6、微分方程的通解为（）A、 B、C、 D、二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数，则其第一类间断点为 .8、设函数在点处连续，则＝ .9、已知曲线，则其拐点为 .10、设函数的导数为，且，则不定积分＝ .11、定积分的值为 .12、幂函数的收敛域为 .三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限：14、设函数由参数方程所决定，求15、求不定积分：.16、求定积分：.17、设平面经过点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，5），求经过点P（1，2，1）且与平面垂直的直线方程.18、设函数，其中具有二阶连续偏导数，求.19、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及所围成的平面区域.20、求微分方程的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、求曲线的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值.22、设平面图形由曲线，与直线所围成.（1）求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.（2）求常数，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设函数在闭区间上连续，且，证明：在开区间上至少存在一点，使得.24、对任意实数，证明不等式：.2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、已知，则常数的取值分别为（）A、 B、 C、 D、2、已知函数，则为的A、跳跃间断点B、可去间断点C、无穷间断点D、震荡间断点3、设函数在点处可导，则常数的取值范围为（）A、 B、 C、 D、4、曲线的渐近线的条数为（）A、1B、2C、3D、45、设是函数的一个原函数，则（）A、 B、 C、 D、6、设为非零常数，则数项级数（）A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性与有关二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、已知，则常数 .8、设函数，则＝ .9、已知向量，，则与的夹角为 .10、设函数由方程所确定，则＝ .11、若幂函数的收敛半径为，则常数 .12、微分方程的通解为 .三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限：14、设函数由参数方程所确定，，求.15、求不定积分：.16、求定积分：.17、求通过直线且垂直于平面的平面方程.18、计算二重积分，其中.19、设函数，其中具有二阶连续偏导数，求.20、求微分方程的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、已知函数，试求：（1）函数的单调区间与极值；（2）曲线的凹凸区间与拐点；（3）函数在闭区间上的最大值与最小值.22、设是由抛物线和直线所围成的平面区域，是由抛物线和直线及所围成的平面区域，其中.试求：（1）绕轴旋转所成的旋转体的体积，以及绕轴旋转所成的旋转体的体积.（2）求常数的值，使得的面积与的面积相等.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、已知函数，证明函数在点处连续但不可导.24、证明：当时，.2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.设当时，函数与是等价无穷小，则常数的值为 ( )A. B. C. D.2.曲线的渐近线共有 ( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条3.设函数，则函数的导数等于 ( )A. B. C. D.4.下列级数收敛的是 ( )A. B. C. D.5.二次积分交换积分次序后得 ( )A. B.C. D.6.设，则在区间内 ( )A. 函数单调增加且其图形是凹的B. 函数单调增加且其图形是凸的C. 函数单调减少且其图形是凹的D. 函数单调减少且其图形是凸的二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7.8. 若，则9. 定积分的值为10. 设，若与垂直，则常数11. 设函数，则12. 幂级数的收敛域为三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限14、设函数由方程所确定，求15、求不定积分16、计算定积分17、求通过点，且与直线垂直，又与平面平行的直线的方程。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题 解析版
一，填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ,{}5,4,2=B ,则集合B A 中圆素地个数为_______.【结果】5【思路】试题思路：{123}{245}{12345}5A B == ，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据地平均数为________.【结果】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位）,则z 地模为_______.【思路】试题思路：22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数地模,可知输出地结果S 为________.【结果】7【思路】试题思路：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环,输出7.S =考点：循环结构流程图5.袋中有形状，大小都相同地4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同地概率为________.【结果】5.6（第4题图）考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(,b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -地值为______.【结果】3-【思路】试题思路：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-考点：向量相等7.不等式224x x-<地解集为________.【结果】(1,2).-【思路】试题思路：由题意得：2212x x x -<⇒-<<,解集为(1,2).-考点：解指数不等式与一圆二次不等式8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β地值为_______.【结果】3【思路】试题思路：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作地底面半径为5,高为4地圆锥和底面半径为2，高为8地圆柱各一个。
江苏省专转本高等数学试题题型分类整理
江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学专转本高数试卷结构知识分类与历年真题●函数、极限和连续●一元函数微分学●一元函数积分学●向量代数与空间解析几何●多元函数微积分●无穷级数●常微分方程时间排序与参考答案◆2004年高等数学真题参考答案◆2005年高等数学真题参考答案◆2006年高等数学真题参考答案◆2007年高等数学真题参考答案◆2008年高等数学真题参考答案◆2009年高等数学真题参考答案◆2010年高等数学真题参考答案◆2011年高等数学真题参考答案◆2012年高等数学真题参考答案◆2013年高等数学真题参考答案江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试卷结构全卷满分150分一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）知识分类与历年真题一、函数、极限和连续（一）函数（0401）[](]333,0()0,2x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩是（ ） A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数 （0801）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是（ ）A.()y f x =-B.)(43x f x y = C.()y f x =-- D.)()(x f x f y -+= （二）极限（0402）当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（ ）A.高阶无穷小B.同阶无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小（0407）设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(，则=∞→)(lim x f x ．（0601）若012lim 2x x f x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则0lim 3x xx f →=⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ） A.21 B.2C.3D.31 （0607）已知0→x 时，(1cos )a x ⋅-与x x sin 是等价无穷小，则=a ．（0613)计算x →． （0701）若0(2)lim2x f x x→=，则1lim 2x xf x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A.41B.21 C.2D.4（0702）已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x nsin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （ ） A.1B.2C.3D.4（0813）求极限：32lim xx x x →∞-⎛⎫⎪⎝⎭． （0901）已知22lim32x x ax bx →++=-，则常数b a ,的取值分别为（ ） A.2,1-=-=b a B.0,2=-=b aC.0,1=-=b aD.1,2-=-=b a（0907）已知lim 2xx x x C →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数=C ． （1001）设当0x →时，()sin f x x x =-与()ng x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值为 ( ) A.1,36a n == B.1,33a n == C.1,412a n == D.1,46a n == （1007） 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭． （1101）当0→x 时，函数1)(--=x e x f x是函数2)(x x g =的( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1107）已知22lim kxx x e x →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则=k _________． （1201）极限1sin 3lim 2sinx x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.0 B.2 C.3D.5（1301）当0x →时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2()g x x =的（ ） A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1310）设10lim xx a x e a x →+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则常数a = ． （三）连续（0413）求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型． （0501）0=x 是xx x f 1sin )(=的（ ） A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点（0513）设()2sin 0()0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续，并满足0)0(=f ，(0)6f '=，求a ． （0602）函数21sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（ ） A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续也不可导D.可导但不连续（0608）若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续．（0707）设函数1(1)0()20x kx x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩，在点0=x 处连续，则常数=k ．（0807）设函数21()(1)x f x x x -=-，则其第一类间断点为 ．（0808）设函数0()tan 30a x x f x x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪⎩在点0=x 处连续，则a ＝ ．（0902）已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的（ ）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点（1123）设210arctan ()1010sin 2ax axe x ax x x xf x x e x x ⎧---<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩，问常数为何值时：（1）0=x 是函数)(x f 的连续点？ （2）0=x 是函数)(x f 的可去间断点？ （3）0=x 是函数)(x f 的跳跃间断点？ （1202）设()2(2)sin ()4x xf x x x -⋅=⋅-，则函数)(x f 的第一类间断点的个数为（ ） A.0 B.1C.2D.3（1207）要使函数()1()12xf x x =-在点0=x 处连续，则需补充定义(0)f =_________．（1303）设sin 20()0xx x f x x ⎧<⎪⎪=⎨>，这点0x =是函数()f x 的（ ）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点（1307）设1sin0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则常数a = ． 二、一元函数微分学（一） 导数与微分（0403）直线L 与x 轴平行且与曲线xe x y -=相切，则切点的坐标是（ ） A.()1,1B.()1,1-C.()0,1-D.()0,1（0409）设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，N n ∈，则=)0('f ．（0415）设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22d d x yx=的值．（0502）若2=x 是函数1ln 2y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的可导极值点，则常数=a （ ） A.1-B.21C.21- D.1 （0514）设函数)(x y y =由方程cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0614）若函数)(x y y =是由参数方程2ln (1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0708）若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m ．（0714）设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求d d x yx=、22d d x y x =．（0802）设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是（ ） A.0(0)()lim(0)x f f x f x →-'=- B.000(2)()lim ()x f x x f x f x x→+-'=C.0000()()lim ()x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆D.0000()()lim 2()x f x x f x x f x x∆→-∆-+∆'=∆ （0814）设函数)(x y y =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩（2t n π≠，n Z ∈）所决定，求d d y x 、22d d y x ．（0903）设函数00()1sin 0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（ ） A.10<<αB.10≤<αC.1>αD.1≥α（0914）设函数)(x y y =由参数方程2ln (1)23x t y t t =+⎧⎨=+-⎩所确定，d d y x 、22d d yx ． （0923）已知函数0()10x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导．（1008）.若(0)1f '=，则0()()limx f x f x x→--= ．（1014）设函数()y y x =由方程2x yy ex ++=所确定，求d d y x 、22d d yx ．（1022）设()0()1x x f x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数，且(0)0ϕ=，(0)1ϕ'=，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导．（1102）设函数)(x f 在点0x 处可导，且4)()(lim 000=+--→hh x f h x f h ，则=')(0x f ( )A.4-B.2-C.2D.4（1110）设函数x y arctan=，则1d x y==_____________．（1114）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=22ty e tt x y 所确定，求d d y x ．（1208）设函数()22221x y x x x e =⋅+++，则=)0()7(y________．（1209）设xy x =（0x >），则函数y 的微分=dy ___________．（1214）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定，求d d y x 、22d d y x ． （1304）设1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶导数，则22d d y x =（ ）A.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1306）已知函数()f x 在点1x =处连续，且21()1lim 12x f x x →=-，则曲线()f x 在点()1,()f x 处切线方程为（ ） A.1y x =-B.22y x =-C.33y x =-D.44y x =-（1309）设函数由参数方程2211x t y t ⎧=+⎨=-⎩所确定，则221d d t yx == ．（二）中值定理及导数的应用（0423）甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元．问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？（0507）02limsin x x x e e xx x-→--=- ． （0508）函数x x f ln )(=在区间[]1,e 上满足拉格郎日中值定理的=ξ ． （0521）证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根．（0603）下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A.xe y =B.1y x =+C.21x y -=D.xy 11-= （0621）证明：当2x ≤时，332x x -≤．（0703）设函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则方程()0f x '=的实根个数为（ ） A.1B.2C.3D.4（0713）求极限01lim tan x x e x x x→--．（0722）设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质：（1）在点1-=x 的左侧临近单调减少； （2）在点1-=x 的右侧临近单调增加； （3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变． 试确定a ，b ，c 的值．（0724）求证：当0>x 时，22(1)ln (1)x x x -⋅≥-．（0809）已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为 ． （0821）求曲线1y x=（0x >）的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值． （0823）设函数)(x f 在闭区间[]0,2a （0a >）上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间(0,)a 上至少存在一点ξ，使得()()f f a ξξ=+． （0824）对任意实数x ，证明不等式：(1)1xx e -⋅≤． （0904）曲线221(1)x y x +=-的渐近线的条数为（ ）A.1B.2C.3D.4（0913）求极限30lim sin x x x x→-．（0921）已知函数13)(3+-=x x x f ，试求： （1）函数)(x f 的单调区间与极值； （2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间[2,3]-上的最大值与最小值．（0924）证明：当12x <<时，24ln 23x x x x >+-．（1002）曲线223456x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条 （1006）设3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内 ( ) A.函数()f x 单调增加且其图形是凹的 B.函数()f x 单调增加且其图形是凸的 C.函数()f x 单调减少且其图形是凹的 D.函数()f x 单调减少且其图形是凸的（1013）求极限2|011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭．（1021）证明：当1x >时，121122x e x ->+． （1103）若点(1,2)-是曲线23bx ax y -=的拐点，则（ ） A.3,1==b aB.1,3-=-=b aC.3,1-=-=b aD.6,4==b a（1113）求极限()()22limln 1xx x eex -→-+．（1121）证明：方程()2ln 12x x ⋅+=有且仅有一个小于2的正实根． （1122）证明：当0>x 时，x x201120102011≥+．（1203）设232152)(x x x f -=，则函数)(x f ( ) A.只有一个最大值 B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值（1213）求极限()2302cos 2lim ln 1x x x x x →+-+． （1223）证明：当10<<x 时，361arcsin x x x +>． （1302）曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条（1313）求极限01lim ln (1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．（1323）证明：当1x >时，2(1ln )21x x +<-．三、一元函数积分学（一）不定积分（0410）求不定积分3x = ．（0416）设)(x f 的一个原函数为xe x，计算(2)d x f x x '⎰．（0503）若()d ()f x x F x C =+⎰，则sin (cos )d x f x x =⎰（ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C F +(cos)D.C x F +-)(cos（0515）计算3tan sec d x x x ⎰．（0522）设函数)(x f y =的图形上有一拐点(2,4)P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数6y x a ''=+，求)(x f ．（0604）已知2()d x f x x e C =+⎰，则()d f x x '-=⎰（ ）A.C ex+-22B.C e x +-221 C.C e x +--22 D.C e x +--221（0615）计算x ． （0622）已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程． （0704）设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则(2)d f x x '=⎰（ ）A.C x +4cosB.C x +4cos 21C.C x +4cos 2D.C x +4sin（0715）求不定积分2d x x e x -⎰．（0810）设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分()d f x x =⎰ ． （0815）求不定积分3d 1x x x +⎰． （0905）设()ln (31)F x x =+是函数)(x f 的一个原函数，则(21)d f x x '+=⎰（ ）A.C x ++461B.C x ++463C.C x ++8121D.C x ++8123（0915）求不定积分x ⎰．（1015）求不定积分arctan d x x x ⎰．（1115）设)(x f 的一个原函数为x x sin 2，求不定积分()d f x x x⎰． （1215）求不定积分sin 2d x x x ⎰． （1315）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（二）定积分（0404）2228R y x =+设所围的面积为S ，则0x ⎰的值为（ ）A.SB.4S C.2S D.S 2（0421）证明：0(sin )d (sin )d 2x f x x f x x πππ=⎰⎰，并利用此式求20sin d 1cos xxx xπ+⎰．（0509）1211d 1x x x π-+=+⎰．（0516）计算10arctan d x x ⎰．（0609）设)(x f 在[]0,1上有连续的导数且(1)2f =，10()d 3f x x =⎰，则1()d x f x x '=⎰ ．（0616）计算22cos d x x x π⎰．（0709）定积分)231cos d x x x -+⎰的值为 ．（0716）计算定积分x ． （0811）定积分1212sin d 1xx x -++⎰的值为 ．（0816）求定积分10d x ⎰．（0916）求定积分：210⎰．（1009）定积分31211d 1x x x -++⎰的值为 ． （1016）计算定积分40x ⎰． （1111）定积分()32221sin d xx x ππ-+⋅⎰的值为____________．（1116）计算定积分3⎰ ． （1216）计算定积分21⎰．（1316）计算定积分20⎰（1324）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：[]2()d ()()d a b b aaf x x f x f a b x x +=++-⎰⎰．（三）变限积分与广义积分（0417）计算广义积分2+∞⎰（0422）设函数)(x f 可导，且满足方程20()d 1()x t f t t x f x =++⎰，求)(x f ．（0705）设221()sin d x f x t t =⎰，则()f x '=（ ）A.4sin x B.2sin 2x xC.2cos 2x xD.4sin 2x x（0803）设函数)(x f 122sin d xt t t =⎰，则()f x '等于（ ）A.x x 2sin 42B.x x 2sin 82C.x x 2sin 42-D.x x 2sin 82-（0908）设函数20()d x t x te t ϕ=⎰，则()x ϕ'＝ ．（1003）设函数22()cos d t xx e t t Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于 ( )A.222cos x xe x B.222cos x xe x - C.2cos xxe x - D.22cos x e x - （1108）设函数2()ln (1)d x x t t Φ=+⎰ ，则=Φ'')1(____________．（1211）设反常积分1d 2x ae x +∞-=⎰，则常数=a ______． （1222）已知定义在(),-∞+∞上的可导函数)(x f 满足方程31()4()d 3xx f x f t t x -=-⎰，试求：（1）函数()f x 的表达式； （2）函数)(x f 的单调区间与极值； （3）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点．（1224）设0()d 0()(0)0x g t t x f x g x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中函数)(x g 在(,)-∞+∞上连续，且3cos 1)(lim 0=-→xx g x ．证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且1(0)2f '=． （1322）已知251320()95d x F x t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰是()f x 的一个原函数，求曲线()y f x =的凹凸区间、拐点． （四）定积分的几何应用（0523）已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）曲边三角形绕x 轴旋转一周的旋转体体积．（0623）已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成．（1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积．（0721）设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0822）设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积；（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0922）设1D 是由抛物线22x y =和直线x a =，0y =所围成的平面封闭区域，2D 是由抛物线22x y =和直线x a =，2x =及0=y 所围成的平面封闭区域，其中20<<a ．试求：（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V ； （2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等．（1023）设由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值．（1024）设函数()f x 满足方程()()2xf x f x e '+=，且(0)2f =，记由曲线'()()f x y f x =与直线1y =，x t =（0t >）及y 轴所围平面图形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞．（1124）设函数)(x f 满足微分方程()2()(1)x f x f x a x '-=-+（其中a 为正常数），且1)1(=f ，由曲线()y f x =（1x ≤）与直线1x =，0y =所围成的平面图形记为D ．已知D 的面积为32． （1）求函数)(x f 的表达式；（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积x V ； （3）求平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积y V ．（1221）在抛物线2y x =（0x >）上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．（1321）设平面图形D 是由曲线x =y =1y =所围成，试求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（0510）设向量{}3,4,2=-a 、{}2,1,k =b ；a 、b 互相垂直，则=k ． （0610）设1=a ，⊥a b ，则()⋅+=a a b ． （0710）已知a 、b 均为单位向量，且12⋅=a b ，则以a 、b 为邻边的平行四边形面积为 ． （0804）设向量(1,2,3)=a ，(3,2,4)=b ，则⨯a b 等于（ ）A.(2,5,4)B.(2,5,4)--C.(2,5,4)-D.(2,5,4)--（0909）已知向量{}1,0,1=-a ，{}1,2,1=-b ，则+a b 与a 的夹角为 ． （1010）设{}1,2,3=a ，{}2,5,k=b ，若a 与b 垂直，则常数k = ．（1109）若1=a ，4=b ，2⋅=a b ，则⨯=a b ____________．（1210）设向量a 、b 互相垂直，且3=a ，2=b ，则2+=a b ________．（1308）已知空间三点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(3,4,5)C ，则ABC ∆的面积为 ．（二）平面与直线（0518）求过点(3,1,2)A -且通过直线L ：43521x y z-+==的平面方程． （0619）求过点(3,1,2)M -且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程．（0719）求过点(1,2,3)且垂直于直线20210x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的平面方程．（0817）设平面∏经过点(2,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,5)C ，求经过点(1,2,1)P 且与平面∏垂直的直线方程． （0917）求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程． （1017）求通过点(1,1,1)，且与直线23253x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩垂直，又与平面250x z --=平行的直线的方程．（1117）求通过x 轴与直线132zy x ==的平面方程． （1217）已知平面∏通过(1,2,3)M 与x 轴，求通过(1,1,1)N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．（1318）已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩在平面∏上，又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行，求平面∏的方程．五、多元函数微积分（一）多元函数微分学（0418）设(,)z f x y xy =-，且具有二阶连续的偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0505）设yxy x u arctan),(=，(,)v x y =，则下列等式成立的是（ ）A.yv x u ∂∂=∂∂ B.xvx u ∂∂=∂∂ C.x v y u ∂∂=∂∂ D.y v y u ∂∂=∂∂ （0517）已知函数2(sin ,)z f x y =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0611）设x e u xysin =，=∂∂xu． （0620）设2(,)z x f x xy =⋅其中(,)f u v 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、xy z∂∂∂2．（0711）设yxz =，则全微分d z = ． （0717）设(23,)z f x y xy =+其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（0805）函数xyz ln =在点(2,2)处的全微分d z 为（ ）A.11d d 22x y -+B.11d d 22x y +C.11d d 22x y -D.11d d 22x y --（0818）设函数,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（0910）设函数(,)z z x y =由方程12=+yz xz 所确定，则xz∂∂＝ ． （0919）设函数(sin ,)z f x xy =，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（1011）设函数z =，则10d x y z=== ．（1018）设()2,xz y f xy e =⋅，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂．（1104）设),(y x f z =为由方程8333=+-x yz z 所确定的函数，则=∂∂==00y x yz （ ）A.21-B.21C.2-D.2（1118）设)(y xyxf z ，=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（1204）设3ln 2z x y=+在点()1,1处的全微分为 ( )A.d 3d x y -B.d 3d x y +C.1d 3d 2x y +D.1d 3d 2x y -（1218）设函数22(,)()z f x xy x y ϕ=++，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()x ϕ具有二阶连续导数，求yx z∂∂∂2．（1314）设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定，求d z 及22zx∂∂．（1317）设()223,x yz fx e+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zy x∂∂∂．（二）二重积分（0411）交换二次积分的次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰．（0419）计算二重积分sin d d Dyx y y ⎰⎰，其中D 由曲线x y =及x y =2所围成． （0504）设区域D 是xoy 平面上以点(1,1)A 、(1,1)B -、(1,1)C --为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +=⎰⎰（ ）A.⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB.⎰⎰12D xydxdyC.⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD. 0（0511）交换二次积分的次序11d (,)d x x f x y y -+=⎰；（0524）设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，1()d ()d uuyF u y f x x =⎰⎰（1u >）． （1）交换)(u F 的积分次序； （2）求(2)F '．（0606）设对一切x 有(,)(,)f x y f x y -=-，22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥，=1D 22{(,)|1,0,0}x y x y x y +≤≥≥，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰（ ）A. 0B.1(,)d d D f x y x y ⎰⎰C.21(,)d d D f x y x y ⎰⎰D.41(,)d d D f x y x y ⎰⎰（0612）D 为以点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,2)B 为顶点的三角形区域，d d Dx y =⎰⎰ ．（0624）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续．（1）求a 的值使得)(t g连续；（2）求)('t g ．（0720）计算二重积分d Dx y ，其中{}22(,)|2,0D x y x y x y =+≤≥．（0723）设0>>a b ，证明：()232d ()d ()d b b b x y xx a ayay f x e x ee f x x ++⋅=-⎰⎰⎰．（0819）计算二重积分2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线xy 1=，直线y x =，2x =及0=y 所围成的平面区域． （0918）计算二重积分d Dy σ⎰⎰，其中22{(,)02,2,2}D x y x x y x y =≤≤≤≤+≥． （1005）二次积分111d (,)d y y f x y x +⎰⎰交换积分次序后得 ( )A.1101d (,)d x x f x y y +⎰⎰B.2110d (,)d x x f x y y -⎰⎰C.2111d (,)d x x f x y y -⎰⎰D.2111(,)d x dx f x y y -⎰⎰（1019）计算d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线x =y x =及x 轴所围成的闭区域．（1105）若(,)d d Df x y x y ⎰⎰可转化为二次积分1201d (,)d y y f x y x +⎰⎰ ，则积分域D 可表示为（ ） A.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ B.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤C.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤D.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤-（1119）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =直线x y -=及y 轴所围成的平面闭区域． （1205）二次积分dx y x f dy y),(11⎰⎰ 在极坐标系下可化为（ ）A.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρ⎰⎰ B.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰C.sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρ⎰⎰D .sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρρ⎰⎰ （1220）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =2xy =及x 轴所围成的平面闭区域．（1320）计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线y =0x >）与三条直线y x =，3x =，0y =所围成的平面闭区域．六、无穷级数（一）数项级数（0506）正项级数（1）∑∞=1n n u 、（2）∑∞=13n n u ，则下列说法正确的是（ ） A.若（1）发散、则（2）必发散 B.若（2）收敛、则（1）必收敛C.若（1）发散、则（2）不确定D.（1）、（2）敛散性相同（0605）设∑∞=1n nu为正项级数，如下说法正确的是（ ）A.若0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n nu必收敛 B.若l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛C.若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=12n nu必定收敛D.若∑∞=-1)1(n n nu 收敛，则∑∞=1n n u 必定收敛（0706）下列级数收敛的是（ ）A.∑∞=122n nnB.∑∞=+11n n n C.∑∞=-+1)1(1n nnD.∑∞=-1)1(n nn（0906）设α为非零常数，则数项级数∑∞=+12n n n α（ ）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与α有关（1004）下列级数收敛的是（ ）A.11n nn ∞=+∑B.2121n n n n ∞=++∑C.nn ∞= D.212n n n ∞=∑（1206）下列级数中条件收敛的是（ ）A.1(1)21nn nn ∞=-+∑B.13(1)2nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C.21(1)nn n ∞=-∑D.1nn ∞=（1305）下列级数中收敛的是（ ）A.211n n n∞=+∑ B.11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑C.1!2n n n ∞=∑D.1n ∞= （二）幂级数（0412）幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为 ．（0420）把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间． （0512）幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛区间为 ．（0519）把函数222)(x x x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间．（0618）将函数()ln (1)f x x x =+展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）．（0812）幂函数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域为 ． （0911）若幂函数21n nn a x n∞=∑（0a >）的收敛半径为21，则常数=a ．（1012）幂级数0(1)n nn x n ∞=-∑的收敛域为 ．（1106）若x x f +=21)(的幂级数展开式为0()nn n f x a x ∞==∑（22x -<<），则系数=n a ( )A.n 21B.121+n C.(1)2nn -D.1(1)2nn +-（1112）幂级数0nn ∞=的收敛域为_ _ _________． （1212）幂级数1(1)(3)3nn nn x n ∞=--⋅∑的收敛域为____________． （1312）幂级数1n nn ∞=的收敛域为 ． 七、常微分方程（一）一阶微分方程（0520）求微分方程0'=-+xe y xy 满足1x ye ==的特解．（0617）求微分方程22x y xy y '=-的通解． （0718）求微分方程22007xy y x '-=满足初始条件12008x y==的特解．（0820）求微分方程22xy y x '=+的通解．（0912）微分方程2(1)d (2)d 0x y x y x y +--=的通解为 ． （1311）微分方程d d y x y x x+=的通解为 ． （二）二阶线性微分方程（0406）微分方程232xy y y xe '''-+=的特解*y 的形式应为（ ）A.xAxe 2B.xe B Ax 2)(+C.xeAx 22D.xeB Ax x 2)(+（0712）设x xe C eC y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为 ．（0806）微分方程321y y y '''++=的通解为（ ）A.1221++=--x xe c e c yB.21221++=--x xe c ec yC.1221++=-xxec e c yD.21221++=-xxec e c y （0920）求微分方程y y x ''-=的通解． （1020）已知函数xy e =和2xy e-=是二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的两个解，试确定常数p 、q 的值，并求微分方程xy py qy e '''++=的通解．（1120）已知函数(1)xy x e =+⋅是一阶线性微分方程2()y y f x '+=的解，求二阶常系数线性微分方程)(23x f y y y =+'+''的通解．（1219）已知函数)(x f 的一个原函数为xxe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解． （1319）已知函数()y f x =是一阶微分方程d d yy x=满足初始条件(0)1y =的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解．时间排序与参考答案2004年高等数学真题参考答案1、A ．2、B ．3、C ．4、B ．5、A ．6、D ．7、1-e ． 8、32241-+==-z y x ． 9、!n ． 10、C x +4arcsin 41． 11、12201d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x -+⎰⎰⎰．12、()3,1-．13、解：间断点为πk x =（Z k ∈），当0=x 时，1sin lim)(lim 00==→→xxx f x x ，为可去间断点；当πk x =（0≠k ，Z k ∈）时，∞=→xxx sin lim0，为第二类间断点．14、解：原式0430(tan sin )d tan sin limlim312xx x t t tx xx x →→--==⎰233001tan (1cos )12lim lim 121224x x x x x x x x →→⋅-===． 15、解：0=x 代入原方程得1)0(=y ，对原方程求导得0''=--y xe e y yy，对上式求导并将0=x 、1=y 代入，解得：22''e y =．16、解：因为)(x f 的一个原函数为x e x，所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 原式11(2)d(2)d (2)22xf x x x f x '==⎰⎰11(2)(2)d 22x f x f x x =-⎰ 222211(21)1(2)(2)d(2)24884x x xx x e e x x f x f x x C e C x x x--=-=-+=+⎰． 17211122d d 22arctan (1)12t tt tt t t π+∞∞+∞+===++⎰．18、解：12zf f y x∂''=+⋅∂； []21112221221112222(1)(1)()zf f x f y f f x f x y f xy f f x y∂''''''''''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅=-+-⋅+⋅+∂∂．19、解：原式21100sin sin d d d d (1)sin d y y Dyy x y y x y y y y y ===-⎰⎰⎰⎰⎰ 1100(1)cos cos d 1sin1y y y y =--=-⎰．20、解：01111(2)()(1)24244414n n nn x f x x x ∞=-==⋅=--+-+∑)62(<<-x ． 21、证：00(sin )d ()[sin ()]d ()(sin )d t xx f x xt f t t t f t I t πππππππ=-=---=-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d f x x x f x x f x x I πππππ=-=-⎰⎰⎰解得： 0(sin )d (sin )d 2f x x f x x I x πππ==⎰⎰， 原命题证毕．222000sin sin d d arctan (cos )1cos 21cos 24x x x x x x x x ππππππ⋅==-=++⎰⎰． 22、解：等式两边求导得()2()x f x x f x '=+，即()()2f x x f x x '-=-，且(0)1f =-，x p -=，x q 2-=，而2()d 2x x xe e --⎰=，由公式求得通解：222222()2d 2x x x f x e xq x C C e -⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰， 将初始条件(0)1f =-代入通解，解得：3-=C ，故22()23x f x e =-．23、解：设污水厂建在河岸离甲城x 公里处，则()500M x x =+500≤≤x ），由150070002M '=+⨯=解得：650050-=x （公里），唯一驻点，即为所求．2005年高等数学真题参考答案1、A ．2、C ．3、D ．4、A ．5、A ．6、C ．7、2． 8、1-e ． 9、2π． 10、5． 11、11d (,)d y y f x y x -⎰⎰．12、(1,1)-．13、解：因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，'00()2sin ()(0)lim ()limlim 2(0)28x x x f x x f x f F x f x x→→→+-==+=+=， 解得：a F =)0(，故8=a ．14、解：d d cos cos sin d d d sin d yy t t t t t t x x t t-+===--，22d ()csc d (cos )y t t x t '-=='．15、解：原式22tan tan sec d (sec1)d(sec )x x x xx x =⋅-⎰⎰积进去231sec d(sec )d(sec )sec sec 3x x x x x C =-=-+⎰⎰．16、解：原式211120002d 1d(1)arctan 1421x x x x x x x π+=--++⎰⎰积进去 ()12011ln 1ln 24242x ππ⎡⎤=-+=-⎣⎦．17、解：1cos zx f x∂'=⋅∂，()21212cos 22cos z x f y y x f x y ∂''''=⋅⋅=⋅∂∂． 18、解：直线L 的方向向量{}5,2,1=s ，过点()4,3,0B -，{}1,4,2AB =-；所求平面的法向量{}5218,9,22142AB =⨯==---ij kn s ，点法式为8(3)9(1)22(2)0x y z ----+=，即592298=--z y x ．19、解：2222101111(1)()13216313212n nn n x x x x f x x x x x x ∞+=⎡⎤-⎛⎫=+=⋅+⋅=+⋅ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎣⎦+∑， 收敛域为：11<<-x ．20、解：1x e y y x x '+⋅=，即1p x=，x e q x =，而1d 1x x e x -⎰=；故通解为1d xx e e C y x x C x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰．把初始条件1x y e ==解得：0=C ；故所求特解为：xe y x=．21、证：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1x ∈-，且(1)30f -=>，(1)10f =-<，(1)(1)0f f -⋅<；由连续函数零点定理知：)(x f 在(1,1)-内至少有一实根；对于()1,1x ∈-恒有()22()33310f x x x '=-=-<，即)(x f 在(1,1)-内单调递减， 故方程0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根； 原命题获证．22、解：设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，(2)3f '=-，(2)0f ''=；由()6f x x a ''=+和(2)0f ''=解得：12-=a ，即()612f x x ''=-，故21()312f x x x C '=-+，由(2)3f '=-解得：91=C ，故22396C x x x y ++-=，由(2)4f =解得：22=C ； 所求函数为：29623++-=x x x y ．23、解：（1）112300111d 266S y y y ===⎰；（如图1所示） （2）()()112222012d 4x V x x x xπππ=-=-=⎰．24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤；（1）111()()d d ()d (1)()d u xuDF u f x x f x y x f x x σ===-⎰⎰⎰⎰⎰；（2）()(1)()F u u f u '=-，(2)(21)(2)(2)1F f f '=-==．2006年高等数学真题参考答案1、C ．2、B ．3、C ．4、C ．5、C ．6、A ．7、2． 8、)(0x f ． 9、1-． 10、1． 11、(sin cos )xye y x x +． 12、1．13、解：原式322131lim 21341==--→x xx ．图114、解：2211d 12d 21t t y y t t t x x t-'+==='+，2222d 1d d 122d 41ty x y t t x x t t '⎛⎫ ⎪+⎝⎭==='+． 15、解：原式322ln )(1ln )3x x C =+=++．16、解：原式()2222220d(sin )sin 2sin d x x x xx x πππ=-⎰⎰积进去222220sin 2sin d 2d(cos )4x xx x xx x ππππ-+⎰⎰积进去导出来2222002cos 2cos d 244x x x x ππππ=+-=-⎰．17、解：方程变形为2y y y x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，即得到了形如d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭齐次方程； 令y u x =，则d d d d y u u x x x =+，代入得：2d d u x u x =-，分离变量得：211d d u x u x-=； 两边积分，得：211d d u x u x -=⎰⎰，1ln x C u=+，故ln x y x C =+． 18、解：令()ln (1)g x x =+，则(0)0g =；由于01()(1)1n n n g x x x ∞='==-+∑（(]1,1x ∈-）， 所以01(1)((1))d x n n n g x n x g t t ∞+='=+=-∑⎰（(]1,1x ∈-），故20(1)()1n n n f x x n ∞+=-=+∑，收敛域为：11x -<≤．19、解：由题意知：{}11,1,1=-n ，{}24,3,1=-n ；{}12311232,3,1431=⨯=-=++=-i j ks n n i j k ，故所求直线方程的对称式方程为：123123+=-=-z y x ．20、解：22z x f x∂'=∂，2'2'''''3''2''22122221222(2)22z x f x f x f y x f x f x y f y x ∂=+⋅+⋅=++∂∂． 21、证：令33)(x x x f -=，[]2,2x ∈-，由2()330f x x '=-=解得驻点：1±=x ，比较以下函数值的大小：(1)2f -=-，(1)2f =，(2)2f =-，(2)2f -=； 所以2min -=f ，2m ax =f ，故2)(2≤≤-x f ，即332x x -≤，原命题获证．22、解：0)0(=y ，2y x y '=+，通解为：xCe x y +--=)22(；将0)0(=y 代入通解解得：2=C ，故所求特解为：xe x y 222+--=．23、解：（1）()2222648d 3S x x x -=--=⎰； （2）224804d d 16y V y y πππ=+=⎰⎰．24、解：()d d d ()d ()d tt tt D f x x y x f x y t f x x ==⎰⎰⎰⎰⎰，0()d 0()0t f x x t g t a t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰；（1）00lim ()lim()d 0t t t g t f x x →→==⎰，由)(t g 的连续性可知：0)(lim )0(0===→t g g a t ；（2）当0≠t 时，()()g t f t '=，当0=t 时，0000()d ()(0)(0)limlim lim ()(0)hh h h f x x g h g g f h f h h→→→-'====⎰； 综上，()()g t f t '=．2007年高等数学真题参考答案1、B ．2、C ．3、C ．4、A ．5、D ．6、D ．7、2ln ． 8、1． 9、π2． 10、23． 11、21d d xx y y y-． 12、06'5''=+-y y y ． 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e ． 14、解：当0=x 时，0=y ；。
江苏省2015年专转本高等数学试卷及解答
解 由于 a || b ，所以 b = λa = (λ，? 2λ，? λ) ，则 a ?b = λ+ 4λ+ λ= 6λ= 12 ，解得 λ= 2 ，
因而 b = (2 ，? 4 ，? 2) ．
10．设 f ( x) = 1 ，则 f (n) ( x) = 2x +1
▲
．
f
(n)
(
x)
=
( ?1)n ?2n n! (2 x + 1)n+1
=
lim
x→0
1?
esin x
x
=
lim
x→ 0
? sin x x
= ? 1，答案：
C．
D ．等价无穷小
2．函数 y = (1? x)x ( x < 1 )的微分 dy 为（ B ）．
A ． (1? x)x [ln(1 ? x) +
x ]dx
1? x
C ． x(1? x)x?1dx
B ． (1? x)x [ln(1 ? x) ? x ]dx 1? x
的收敛域为
n=1 n
▲
．
[
1
,
3 )
22
解 lim n →∞
2 n+1
n +1 2n
= 2lim n →∞
n
n = 2 ，则有 | x ? 1|< 1 ，解得 1 < x < 3 ，当 x = 1 时，级数 ∞ (?1)n 收敛，
n+1
2
2
2
2
n=1 n
当 x = 3 时，级数
∞ 1 发散，因而收敛域为
C
．
∞
(?1)n
(精校版)江苏省数学卷文档版(有答案)-2015年普通高等学校招生统一考试
数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1.22.63. 54.75. 56 6.-37.{}x x<︱-1<2（或（-1,2）） 8.3 9.7 10.22(1)2x y -+= 11.2011 12. 22 13.4 14. 93二、解答题15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.满分14分。
解：（1）由余弦定理知，2221C C 2C cos 4922372B =AB +A -AB⋅A ⋅A =+-⨯⨯⨯=， 所以C 7B =．（2）由正弦定理知，C sin C sin AB B =A ，所以2sin 6021sin C sin C 77AB =⋅A ==B ． 因为C AB <B ，所以C 为锐角，则2327cosC 1sin C 177=-=-=． 因此212743sin 2C 2sin C cosC 2777=⋅=⨯⨯=. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分。
证明：（1）由题意知，E 为1C B 的中点， 又D 为1AB 的中点，因此D //C E A ．又因为D E ⊄平面11C C AA ，C A ⊂平面11C C AA ， 所以D //E 平面11C C AA ．（2）因为棱柱111C C AB -A B 是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面C AB ．因为C A ⊂平面C AB ，所以1C CC A ⊥．又因为C C A ⊥B ，1CC ⊂平面11CC B B ，C B ⊂平面11CC B B ，1C CC C B = ， 所以C A ⊥平面11CC B B ．又因为1C B ⊂平面11CC B B ，所以1C C B ⊥A ．因为1C CC B =，所以矩形11CC B B 是正方形，因此11C C B ⊥B ．因为C A ，1C B ⊂平面1C B A ，1C C C A B = ，所以1C B ⊥平面1C B A ．又因为1AB ⊂平面1C B A ，所以11C B ⊥AB ．17. 本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用，考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．（2）①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000y x'=-，则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭，230000,t ⎛⎫B ⎪⎝⎭．故()22622433000341022t f t t t t ⨯⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]5,20t ∈． ②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-．令()0g t '=，解得102t =． 当()5,102t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()102,20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．从而，当102t =时，函数()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时()min 153f t =．答：当102t =时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查分析问题及运算求解能力.满分16分.（1）由题意，得22c a =且23a c c +=，解得2a =，1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）当x AB ⊥轴时，2AB =，又C 3P =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ，将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210k xk x k +-+-=，则()221,2222112k k xk ±+=+，C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且 ()()()()()222222121212221112k x x y y k xx k+AB =-+-=+-=+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而()()2222311C 12k k k k ++P =+． 因为C 2P =AB ，所以()()()2222223114211212k k k kk k+++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分。
江苏专转本高等数学 定积分 例题加习题
- 106 -第四章 定积分本章主要知识点● 定积分计算● 特殊类函数的定积分计算 ● 变限积分● 定积分有关的证明题 ● 广义积分敛散性 ● 定积分应用（1）面积 （2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则()()()()bb a af x dx F b F a F x =-=⎰。
其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：()111()()()()()(())x t bb aa t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰⎰。
例4.1．111)edx x ⎰解：原式=e11)ln d x ⎰=32125((ln )ln )|33ex x +=例4.2．30dx ⎰ 解：原式t x t x =+-==11222 1121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125()|33t t -= 例4.3．⎰22sin πxdx x- 107 -解：原式=⎰-22cos 21πx xd =⎰+-2022cos 21|2cos 21ππxdx x x =20|2sin 414ππx +=4π 二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。
例4.4．⎰--21|1|dx x解：原式=121 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=212|)2(2x x -+=)121(02--+=25例4.5．⎰--++22|)1||1(|dx x x解：原式=112211(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰=112211(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰⎰⎰=112211222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=212122|4|x x ++---=)14(4)41(-++--=102．分段函数积分例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11)(dx x f解：原式=⎰⎰-+0110)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++01102)1(dx x dx x =103012|31|)2(x x x ++- =31)121(+--=65- 108 -例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1,1,12)(x x x x x f ，求⎰-+12)1(dx x f解：原式11221(1)()u x f x dx f u du =+--=+==⎰⎰1211()()f u du f u du -+⎰⎰1222111(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-=3．奇函数积分如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0aaf x dx -≡⎰，这是一个很重要考点。
近十年江苏省专转本高等数学试题分类整理
江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学专转本高数试卷结构知识分类与历年真题●函数、极限和连续●一元函数微分学●一元函数积分学●向量代数与空间解析几何●多元函数微积分●无穷级数●常微分方程时间排序与参考答案◆2004年高等数学真题参考答案◆2005年高等数学真题参考答案◆2006年高等数学真题参考答案◆2007年高等数学真题参考答案◆2008年高等数学真题参考答案◆2009年高等数学真题参考答案◆2010年高等数学真题参考答案◆2011年高等数学真题参考答案◆2012年高等数学真题参考答案◆2013年高等数学真题参考答案江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试卷结构全卷满分150分一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）知识分类与历年真题一、函数、极限和连续（一）函数（0401）[](]333,0()0,2x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩是（ ） A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数 （0801）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是（ ）A.()y f x =-B.)(43x f x y = C.()y f x =-- D.)()(x f x f y -+= （二）极限（0402）当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（ ）A.高阶无穷小B.同阶无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小（0407）设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(，则=∞→)(lim x f x ．（0601）若012lim2x x f x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则0lim 3x xx f →=⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ） A.21 B.2C.3D.31 （0607）已知0→x 时，(1cos )a x ⋅-与x x sin 是等价无穷小，则=a ．（0613)计算311lim1x x x →--． （0701）若0(2)lim2x f x x→=，则1lim 2x xf x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A.41B.21 C.2D.4（0702）已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x nsin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （ ） A.1B.2C.3D.4（0813）求极限：32lim xx x x →∞-⎛⎫⎪⎝⎭． （0901）已知22lim32x x ax bx →++=-，则常数b a ,的取值分别为（ ） A.2,1-=-=b a B.0,2=-=b aC.0,1=-=b aD.1,2-=-=b a（0907）已知lim 2xx x x C →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数=C ． （1001）设当0x →时，()sin f x x x =-与()ng x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值为 ( ) A.1,36a n == B.1,33a n == C.1,412a n == D.1,46a n == （1007） 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭． （1101）当0→x 时，函数1)(--=x e x f x是函数2)(x x g =的( ) A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1107）已知22lim kxx x e x →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则=k _________． （1201）极限1sin 3lim 2sinx x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.0 B.2 C.3D.5（1301）当0x →时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2()g x x =的（ ） A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1310）设10lim xx a x e a x →+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则常数a = ． （三）连续（0413）求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型． （0501）0=x 是xx x f 1sin )(=的（ ） A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点（0513）设()2sin 0()0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续，并满足0)0(=f ，(0)6f '=，求a ． （0602）函数21sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（ ） A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续也不可导D.可导但不连续（0608）若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续．（0707）设函数1(1)0()20x kx x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩，在点0=x 处连续，则常数=k ．（0807）设函数21()(1)x f x x x -=-，则其第一类间断点为 ．（0808）设函数0()tan 30a x x f x x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪⎩在点0=x 处连续，则a ＝ ．（0902）已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的（ ）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点（1123）设210arctan ()1010sin 2ax axe x ax x x xf x x e x x ⎧---<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩，问常数为何值时：（1）0=x 是函数)(x f 的连续点？ （2）0=x 是函数)(x f 的可去间断点？ （3）0=x 是函数)(x f 的跳跃间断点？ （1202）设()2(2)sin ()4x xf x x x -⋅=⋅-，则函数)(x f 的第一类间断点的个数为（ ） A.0 B.1C.2D.3（1207）要使函数()1()12xf x x =-在点0=x 处连续，则需补充定义(0)f =_________．（1303）设sin 20()011xx x f x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪+-⎩，这点0x =是函数()f x 的（ ）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点（1307）设1sin0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则常数a = ． 二、一元函数微分学（一） 导数与微分（0403）直线L 与x 轴平行且与曲线xe x y -=相切，则切点的坐标是（ ） A.()1,1B.()1,1-C.()0,1-D.()0,1（0409）设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，N n ∈，则=)0('f ．（0415）设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22d d x yx=的值．（0502）若2=x 是函数1ln 2y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的可导极值点，则常数=a （ ） A.1-B.21C.21- D.1 （0514）设函数)(x y y =由方程cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0614）若函数)(x y y =是由参数方程2ln (1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0708）若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m ．（0714）设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求d d x yx=、22d d x y x =．（0802）设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是（ ） A.0(0)()lim(0)x f f x f x →-'=- B.000(2)()lim ()x f x x f x f x x→+-'=C.0000()()lim ()x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆D.0000()()lim 2()x f x x f x x f x x∆→-∆-+∆'=∆ （0814）设函数)(x y y =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩（2t n π≠，n Z ∈）所决定，求d d y x 、22d d y x ．（0903）设函数00()1sin 0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（ ） A.10<<αB.10≤<αC.1>αD.1≥α（0914）设函数)(x y y =由参数方程2ln (1)23x t y t t =+⎧⎨=+-⎩所确定，d d y x 、22d d yx ． （0923）已知函数0()10x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导．（1008）.若(0)1f '=，则0()()limx f x f x x→--= ．（1014）设函数()y y x =由方程2x yy ex ++=所确定，求d d y x 、22d d yx ．（1022）设()0()1x x f x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数，且(0)0ϕ=，(0)1ϕ'=，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导．（1102）设函数)(x f 在点0x 处可导，且4)()(lim 000=+--→hh x f h x f h ，则=')(0x f ( )A.4-B.2-C.2D.4（1110）设函数x y arctan=，则1d x y==_____________．（1114）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=22ty e tt x y 所确定，求d d y x ．（1208）设函数()22221x y x x x e =⋅+++，则=)0()7(y________．（1209）设xy x =（0x >），则函数y 的微分=dy ___________．（1214）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定，求d d y x 、22d d y x ． （1304）设1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶导数，则22d d y x =（ ）A.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1306）已知函数()f x 在点1x =处连续，且21()1lim 12x f x x →=-，则曲线()f x 在点()1,()f x 处切线方程为（ ） A.1y x =-B.22y x =-C.33y x =-D.44y x =-（1309）设函数由参数方程2211x t y t ⎧=+⎨=-⎩所确定，则221d d t yx == ．（二）中值定理及导数的应用（0423）甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元．问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？（0507）02limsin x x x e e xx x-→--=- ． （0508）函数x x f ln )(=在区间[]1,e 上满足拉格郎日中值定理的=ξ ． （0521）证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根．（0603）下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A.xe y =B.1y x =+C.21x y -=D.xy 11-= （0621）证明：当2x ≤时，332x x -≤．（0703）设函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则方程()0f x '=的实根个数为（ ） A.1B.2C.3D.4（0713）求极限01lim tan x x e x x x→--．（0722）设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质：（1）在点1-=x 的左侧临近单调减少； （2）在点1-=x 的右侧临近单调增加； （3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变． 试确定a ，b ，c 的值．（0724）求证：当0>x 时，22(1)ln (1)x x x -⋅≥-．（0809）已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为 ． （0821）求曲线1y x=（0x >）的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值． （0823）设函数)(x f 在闭区间[]0,2a （0a >）上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间(0,)a 上至少存在一点ξ，使得()()f f a ξξ=+．（0824）对任意实数x ，证明不等式：(1)1xx e -⋅≤．（0904）曲线221(1)x y x +=-的渐近线的条数为（ ）A.1B.2C.3D.4（0913）求极限30lim sin x x x x→-．（0921）已知函数13)(3+-=x x x f ，试求： （1）函数)(x f 的单调区间与极值； （2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间[2,3]-上的最大值与最小值．（0924）证明：当12x <<时，24ln 23x x x x >+-．（1002）曲线223456x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条 （1006）设3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内 ( ) A.函数()f x 单调增加且其图形是凹的 B.函数()f x 单调增加且其图形是凸的 C.函数()f x 单调减少且其图形是凹的 D.函数()f x 单调减少且其图形是凸的（1013）求极限2|011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭．（1021）证明：当1x >时，121122x e x ->+． （1103）若点(1,2)-是曲线23bx ax y -=的拐点，则（ ） A.3,1==b aB.1,3-=-=b aC.3,1-=-=b aD.6,4==b a（1113）求极限()()22limln 1xx x eex -→-+．（1121）证明：方程()2ln 12x x ⋅+=有且仅有一个小于2的正实根． （1122）证明：当0>x 时，x x201120102011≥+．（1203）设232152)(x x x f -=，则函数)(x f ( ) A.只有一个最大值 B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值（1213）求极限()2302cos 2lim ln 1x x x x x →+-+． （1223）证明：当10<<x 时，361arcsin x x x +>． （1302）曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条（1313）求极限01lim ln (1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．（1323）证明：当1x >时，2(1ln )21x x +<-．三、一元函数积分学（一）不定积分（0410）求不定积分32arcsin d 1x x x=-⎰．（0416）设)(x f 的一个原函数为xe x，计算(2)d x f x x '⎰．（0503）若()d ()f x x F x C =+⎰，则sin (cos )d x f x x =⎰（ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C F +(cos)D.C x F +-)(cos（0515）计算3tan sec d x x x ⎰．（0522）设函数)(x f y =的图形上有一拐点(2,4)P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数6y x a ''=+，求)(x f ．（0604）已知2()d x f x x e C =+⎰，则()d f x x '-=⎰（ ）A.C ex+-22B.C e x +-221 C.C e x +--22 D.C e x +--221（0615）计算1ln d xx x+⎰． （0622）已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程． （0704）设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则(2)d f x x '=⎰（ ）A.C x +4cosB.C x +4cos 21C.C x +4cos 2D.C x +4sin（0715）求不定积分2d x x e x -⎰．（0810）设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分()d f x x =⎰ ． （0815）求不定积分3d 1x x x +⎰． （0905）设()ln (31)F x x =+是函数)(x f 的一个原函数，则(21)d f x x '+=⎰（ ）A.C x ++461B.C x ++463C.C x ++8121D.C x ++8123（0915）求不定积分sin21d x x +⎰．（1015）求不定积分arctan d x x x ⎰．（1115）设)(x f 的一个原函数为x x sin 2，求不定积分()d f x x x⎰． （1215）求不定积分sin 2d x x x ⎰． （1315）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（二）定积分（0404）2228R y x =+设所围的面积为S ，则222208d R R x x -⎰的值为（ ）A.SB.4S C.2S D.S 2（0421）证明：0(sin )d (sin )d 2x f x x f x x πππ=⎰⎰，并利用此式求20sin d 1cos xxx xπ+⎰．（0509）1211d 1x x x π-+=+⎰．（0516）计算10arctan d x x ⎰．（0609）设)(x f 在[]0,1上有连续的导数且(1)2f =，10()d 3f x x =⎰，则1()d x f x x '=⎰ ．（0616）计算22cos d x x x π⎰．（0709）定积分()223241cos d x x x x --+⎰的值为 ．（0716）计算定积分212221d x x x-⎰． （0811）定积分1212sin d 1xx x -++⎰的值为 ．（0816）求定积分10d xe x ⎰．（0916）求定积分：212d 2x x x-⎰．（1009）定积分31211d 1x x x -++⎰的值为 ． （1016）计算定积分403d 21x x x ++⎰． （1111）定积分()32221sin d xx x ππ-+⋅⎰的值为____________．（1116）计算定积分3d 11x xx ++⎰ ． （1216）计算定积分21d 21xx x -⎰．（1316）计算定积分22d 24x x+-⎰．（1324）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：[]2()d ()()d a b b aaf x x f x f a b x x +=++-⎰⎰．（三）变限积分与广义积分（0417）计算广义积分2d 1xx x +∞⋅-⎰．（0422）设函数)(x f 可导，且满足方程20()d 1()x t f t t x f x =++⎰，求)(x f ．（0705）设221()sin d x f x t t =⎰，则()f x '=（ ）A.4sin x B.2sin 2x xC.2cos 2x xD.4sin 2x x（0803）设函数)(x f 122sin d xt t t =⎰，则()f x '等于（ ）A.x x 2sin 42B.x x 2sin 82C.x x 2sin 42-D.x x 2sin 82-（0908）设函数20()d x t x te t ϕ=⎰，则()x ϕ'＝ ．（1003）设函数22()cos d t xx e t t Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于 ( )A.222cos x xe x B.222cos x xe x - C.2cos xxe x - D.22cos x e x - （1108）设函数2()ln (1)d x x t t Φ=+⎰ ，则=Φ'')1(____________．（1211）设反常积分1d 2x ae x +∞-=⎰，则常数=a ______． （1222）已知定义在(),-∞+∞上的可导函数)(x f 满足方程31()4()d 3xx f x f t t x -=-⎰，试求：（1）函数()f x 的表达式； （2）函数)(x f 的单调区间与极值； （3）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点．（1224）设0()d 0()(0)0x g t t x f x g x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中函数)(x g 在(,)-∞+∞上连续，且3cos 1)(lim 0=-→xx g x ．证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且1(0)2f '=． （1322）已知251320()95d x F x t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰是()f x 的一个原函数，求曲线()y f x =的凹凸区间、拐点． （四）定积分的几何应用（0523）已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）曲边三角形绕x 轴旋转一周的旋转体体积．（0623）已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成．（1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积．（0721）设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0822）设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积；（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0922）设1D 是由抛物线22x y =和直线x a =，0y =所围成的平面封闭区域，2D 是由抛物线22x y =和直线x a =，2x =及0=y 所围成的平面封闭区域，其中20<<a ．试求：（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V ； （2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等．（1023）设由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值．（1024）设函数()f x 满足方程()()2xf x f x e '+=，且(0)2f =，记由曲线'()()f x y f x =与直线1y =，x t =（0t >）及y 轴所围平面图形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞．（1124）设函数)(x f 满足微分方程()2()(1)x f x f x a x '-=-+（其中a 为正常数），且1)1(=f ，由曲线()y f x =（1x ≤）与直线1x =，0y =所围成的平面图形记为D ．已知D 的面积为32． （1）求函数)(x f 的表达式；（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积x V ； （3）求平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积y V ．（1221）在抛物线2y x =（0x >）上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． （1321）设平面图形D 是由曲线2x y =，y x =-与直线1y =所围成，试求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（0510）设向量{}3,4,2=-a 、{}2,1,k =b ；a 、b 互相垂直，则=k ． （0610）设1=a ，⊥a b ，则()⋅+=a a b ． （0710）已知a 、b 均为单位向量，且12⋅=a b ，则以a 、b 为邻边的平行四边形面积为 ． （0804）设向量(1,2,3)=a ，(3,2,4)=b ，则⨯a b 等于（ ）A.(2,5,4)B.(2,5,4)--C.(2,5,4)-D.(2,5,4)--（0909）已知向量{}1,0,1=-a ，{}1,2,1=-b ，则+a b 与a 的夹角为 ． （1010）设{}1,2,3=a ，{}2,5,k=b ，若a 与b 垂直，则常数k = ．（1109）若1=a ，4=b ，2⋅=a b ，则⨯=a b ____________．（1210）设向量a 、b 互相垂直，且3=a ，2=b ，则2+=a b ________．（1308）已知空间三点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(3,4,5)C ，则ABC ∆的面积为 ．（二）平面与直线（0518）求过点(3,1,2)A -且通过直线L ：43521x y z-+==的平面方程． （0619）求过点(3,1,2)M -且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程．（0719）求过点(1,2,3)且垂直于直线20210x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的平面方程．（0817）设平面∏经过点(2,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,5)C ，求经过点(1,2,1)P 且与平面∏垂直的直线方程． （0917）求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程． （1017）求通过点(1,1,1)，且与直线23253x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩垂直，又与平面250x z --=平行的直线的方程．（1117）求通过x 轴与直线132zy x ==的平面方程． （1217）已知平面∏通过(1,2,3)M 与x 轴，求通过(1,1,1)N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．（1318）已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩在平面∏上，又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行，求平面∏的方程．五、多元函数微积分（一）多元函数微分学（0418）设(,)z f x y xy =-，且具有二阶连续的偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0505）设yxy x u arctan),(=，22(,)ln v x y x y =+，则下列等式成立的是（ ）A.yv x u ∂∂=∂∂ B.xvx u ∂∂=∂∂ C.x v y u ∂∂=∂∂ D.y v y u ∂∂=∂∂ （0517）已知函数2(sin ,)z f x y =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0611）设x e u xysin =，=∂∂xu． （0620）设2(,)z x f x xy =⋅其中(,)f u v 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、xy z∂∂∂2．（0711）设yxz =，则全微分d z = ．（0717）设(23,)z f x y xy =+其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（0805）函数xyz ln =在点(2,2)处的全微分d z 为（ ）A.11d d 22x y -+B.11d d 22x y +C.11d d 22x y -D.11d d 22x y --（0818）设函数,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（0910）设函数(,)z z x y =由方程12=+yz xz 所确定，则xz∂∂＝ ． （0919）设函数(sin ,)z f x xy =，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（1011）设函数2ln4z x y =+，则10d x y z=== ．（1018）设()2,xz y f xy e =⋅，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂．（1104）设),(y x f z =为由方程8333=+-x yz z 所确定的函数，则=∂∂==00y x yz （ ）A.21-B.21C.2-D.2（1118）设)(y xyxf z ，=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（1204）设3ln 2z x y=+在点()1,1处的全微分为 ( )A.d 3d x y -B.d 3d x y +C.1d 3d 2x y +D.1d 3d 2x y -（1218）设函数22(,)()z f x xy x y ϕ=++，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()x ϕ具有二阶连续导数，求yx z∂∂∂2．（1314）设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定，求d z 及22zx∂∂．（1317）设()223,x yz fx e+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zy x ∂∂∂．（二）二重积分（0411）交换二次积分的次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰．（0419）计算二重积分sin d d Dy x y y ⎰⎰，其中D 由曲线x y =及x y =2所围成． （0504）设区域D 是xoy 平面上以点(1,1)A 、(1,1)B -、(1,1)C --为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +=⎰⎰（ ）A.⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB.⎰⎰12D xydxdyC.⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD. 0（0511）交换二次积分的次序20111d (,)d x x x f x y y --+=⎰⎰；（0524）设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，1()d ()d uuyF u y f x x =⎰⎰（1u >）． （1）交换)(u F 的积分次序； （2）求(2)F '．（0606）设对一切x 有(,)(,)f x y f x y -=-，22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥，=1D 22{(,)|1,0,0}x y x y x y +≤≥≥，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰（ ）A. 0B.1(,)d d D f x y x y ⎰⎰C.21(,)d d D f x y x y ⎰⎰D.41(,)d d D f x y x y ⎰⎰（0612）D 为以点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,2)B 为顶点的三角形区域，d d Dx y =⎰⎰ ．（0624）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续．（1）求a 的值使得)(t g 连续；（2）求)('t g ．（0720）计算二重积分22d d Dx y x y +⎰⎰，其中{}22(,)|2,0D x y x y x y =+≤≥．（0723）设0>>a b ，证明：()232d ()d ()d b b b x y xx a ayay f x e x ee f x x ++⋅=-⎰⎰⎰．（0819）计算二重积分2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线xy 1=，直线y x =，2x =及0=y 所围成的平面区域．（0918）计算二重积分d Dy σ⎰⎰，其中22{(,)02,2,2}D x y x x y x y =≤≤≤≤+≥．（1005）二次积分111d (,)d y y f x y x +⎰⎰交换积分次序后得 ( )A.1101d (,)d x x f x y y +⎰⎰B.2110d (,)d x x f x y y -⎰⎰C.2111d (,)d x x f x y y -⎰⎰D.2111(,)d x dx f x y y -⎰⎰（1019）计算d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线21x y =-，直线y x =及x 轴所围成的闭区域．（1105）若(,)d d Df x y x y ⎰⎰可转化为二次积分1201d (,)d y y f x y x +⎰⎰ ，则积分域D 可表示为（ ） A.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ B.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤C.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤D.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤-（1119）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线22y x =-，直线x y -=及y 轴所围成的平面闭区域． （1205）二次积分dx y x f dy y),(11⎰⎰ 在极坐标系下可化为（ ）A.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρ⎰⎰ B.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰C.sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρ⎰⎰D .sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρρ⎰⎰ （1220）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线1y x =-，直线2xy =及x 轴所围成的平面闭区域．（1320）计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线24y x =-（0x >）与三条直线y x =，3x =，0y =所围成的平面闭区域．六、无穷级数（一）数项级数（0506）正项级数（1）∑∞=1n nu、（2）∑∞=13n nu，则下列说法正确的是（ ）A.若（1）发散、则（2）必发散B.若（2）收敛、则（1）必收敛C.若（1）发散、则（2）不确定D.（1）、（2）敛散性相同（0605）设∑∞=1n nu为正项级数，如下说法正确的是（ ）A.若0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n nu必收敛 B.若l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛C.若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=12n nu必定收敛D.若∑∞=-1)1(n n nu 收敛，则∑∞=1n n u 必定收敛（0706）下列级数收敛的是（ ）A.∑∞=122n nnB.∑∞=+11n n n C.∑∞=-+1)1(1n nnD.∑∞=-1)1(n nn（0906）设α为非零常数，则数项级数∑∞=+12n nn α（ ）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与α有关（1004）下列级数收敛的是（ ）A.11n n n ∞=+∑B.2121n n n n ∞=++∑ C.11(1)nn n ∞=+-∑ D.212n n n ∞=∑（1206）下列级数中条件收敛的是（ ）A.1(1)21nn nn ∞=-+∑B.13(1)2nn n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C.21(1)nn n ∞=-∑ D.1(1)nn n ∞=-∑（1305）下列级数中收敛的是（ ）A.211n n n∞=+∑ B.11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ C.1!2n n n ∞=∑ D.13n n n ∞=∑（二）幂级数（0412）幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为 ． （0420）把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间． （0512）幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛区间为 ．（0519）把函数222)(xx x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间． （0618）将函数()ln (1)f x x x =+展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）．（0812）幂函数12nnn x n ∞=⋅∑的收敛域为 ． （0911）若幂函数21n nn a x n∞=∑（0a >）的收敛半径为21，则常数=a ．（1012）幂级数0(1)n nn x n ∞=-∑的收敛域为 ．（1106）若x x f +=21)(的幂级数展开式为0()nn n f x a x ∞==∑（22x -<<），则系数=n a ( )A.n 21B.121+n C.(1)2nn- D.1(1)2n n +-（1112）幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域为_ _ _________． （1212）幂级数1(1)(3)3n nnn x n ∞=--⋅∑的收敛域为____________． （1312）幂级数12n nn x n∞=∑的收敛域为 ． 七、常微分方程（一）一阶微分方程（0520）求微分方程0'=-+xe y xy 满足1x ye ==的特解．（0617）求微分方程22x y xy y '=-的通解． （0718）求微分方程22007xy y x '-=满足初始条件12008x y==的特解．（0820）求微分方程22xy y x '=+的通解．（0912）微分方程2(1)d (2)d 0x y x y x y +--=的通解为 ． （1311）微分方程d d y x y x x+=的通解为 ． （二）二阶线性微分方程（0406）微分方程232xy y y xe '''-+=的特解*y 的形式应为（ ）A.xAxe 2B.xe B Ax 2)(+C.xeAx 22D.xeB Ax x 2)(+（0712）设x xe C eC y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为 ．（0806）微分方程321y y y '''++=的通解为（ ）A.1221++=--x xe c e c yB.21221++=--x xe c ec yC.1221++=-xxec e c yD.21221++=-xxec e c y （0920）求微分方程y y x ''-=的通解． （1020）已知函数xy e =和2xy e-=是二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的两个解，试确定常数p 、q 的值，并求微分方程xy py qy e '''++=的通解．（1120）已知函数(1)xy x e =+⋅是一阶线性微分方程2()y y f x '+=的解，求二阶常系数线性微分方程)(23x f y y y =+'+''的通解．（1219）已知函数)(x f 的一个原函数为xxe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解． （1319）已知函数()y f x =是一阶微分方程d d yy x=满足初始条件(0)1y =的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解．时间排序与参考答案2004年高等数学真题参考答案1、A ．2、B ．3、C ．4、B ．5、A ．6、D ．7、1-e ． 8、32241-+==-z y x ． 9、!n ． 10、C x +4arcsin 41． 11、12201d (,)d d (,)d y y y f x y x y f x y x -+⎰⎰⎰⎰．12、()3,1-．13、解：间断点为πk x =（Z k ∈），当0=x 时，1sin lim)(lim 00==→→xxx f x x ，为可去间断点；当πk x =（0≠k ，Z k ∈）时，∞=→xxx sin lim0，为第二类间断点．14、解：原式04300(tan sin )d tan sin limlim312xx x t t tx xx x→→--==⎰ 233001tan (1cos )12lim lim 121224x x x x x x x x →→⋅-===． 15、解：0=x 代入原方程得1)0(=y ，对原方程求导得0''=--y xe e y yy，对上式求导并将0=x 、1=y 代入，解得：22''e y =．16、解：因为)(x f 的一个原函数为x e x，所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 原式11(2)d(2)d (2)22xf x x x f x '==⎰⎰11(2)(2)d 22x f x f x x =-⎰222211(21)1(2)(2)d(2)24884x x x x x e e x x f x f x x C e C x x x--=-=-+=+⎰． 17、解：原式2111122d d 22arctan (1)12t x t tt t t t t π+∞=∞-+∞+===++⎰⎰．18、解：12zf f y x∂''=+⋅∂； []21112221221112222(1)(1)()zf f x f y f f x f x y f xy f f x y∂''''''''''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅=-+-⋅+⋅+∂∂．19、解：原式21100sin sin d d d d (1)sin d y y Dyy x y y x y y y y y ===-⎰⎰⎰⎰⎰ 1100(1)cos cos d 1sin1y y y y =--=-⎰．20、解：01111(2)()(1)24244414n n nn x f x x x ∞=-==⋅=--+-+∑)62(<<-x ． 21、证：00(sin )d ()[sin ()]d ()(sin )d t xx f x xt f t t t f t I t πππππππ=-=---=-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d f x x x f x x f x x I πππππ=-=-⎰⎰⎰解得： 0(sin )d (sin )d 2f x x f x x I x πππ==⎰⎰， 原命题证毕．222000sin sin d d arctan (cos )1cos 21cos 24x x x x x x x x ππππππ⋅==-=++⎰⎰． 22、解：等式两边求导得()2()x f x x f x '=+，即()()2f x x f x x '-=-，且(0)1f =-，x p -=，x q 2-=，而2()d 2x x xe e --⎰=，由公式求得通解：222222()2d 2x x x f x e xq x C C e -⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰， 将初始条件(0)1f =-代入通解，解得：3-=C ，故22()23x f x e =-．23、解：设污水厂建在河岸离甲城x 公里处，则22()50070040(50)M x x x =++-（500≤≤x ）， 由2212(50)5007000240(50)x M x -'=+⨯⨯=+-解得：650050-=x （公里），唯一驻点，即为所求．2005年高等数学真题参考答案1、A ．2、C ．3、D ．4、A ．5、A ．6、C ．7、2． 8、1-e ． 9、2π． 10、5． 11、2111d (,)d y y y f x y x ---⎰⎰．12、(1,1)-．13、解：因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，'00()2sin ()(0)lim ()limlim 2(0)28x x x f x x f x f F x f x x→→→+-==+=+=， 解得：a F =)0(，故8=a ．14、解：d d cos cos sin d d d sin d yy t t t t t t x x t t-+===--，22d ()csc d (cos )y t t x t '-=='．15、解：原式22tan tan sec d (sec1)d(sec )x x x xx x =⋅-⎰⎰积进去231sec d(sec )d(sec )sec sec 3x x x x x C =-=-+⎰⎰．16、解：原式211120002d 1d(1)arctan 1421x x x x x x x π+=--++⎰⎰积进去 ()12011ln 1ln 24242x ππ⎡⎤=-+=-⎣⎦．17、解：1cos zx f x∂'=⋅∂，()21212cos 22cos z x f y y x f x y ∂''''=⋅⋅=⋅∂∂． 18、解：直线L 的方向向量{}5,2,1=s ，过点()4,3,0B -，{}1,4,2AB =-；所求平面的法向量{}5218,9,22142AB =⨯==---ij kn s ，点法式为8(3)9(1)22(2)0x y z ----+=，即592298=--z y x ．19、解：2222101111(1)()13216313212n nn n x x x x f x x x x x x ∞+=⎡⎤-⎛⎫=+=⋅+⋅=+⋅ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎣⎦+∑， 收敛域为：11<<-x ．20、解：1x e y y x x '+⋅=，即1p x=，x e q x =，而1d 1x x e x -⎰=；故通解为1d xx e e C y x x C x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰．把初始条件1x y e ==解得：0=C ；故所求特解为：xe y x=．21、证：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1x ∈-，且(1)30f -=>，(1)10f =-<，(1)(1)0f f -⋅<；由连续函数零点定理知：)(x f 在(1,1)-内至少有一实根；对于()1,1x ∈-恒有()22()33310f x x x '=-=-<，即)(x f 在(1,1)-内单调递减， 故方程0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根； 原命题获证．22、解：设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，(2)3f '=-，(2)0f ''=；由()6f x x a ''=+和(2)0f ''=解得：12-=a ，即()612f x x ''=-，故21()312f x x x C '=-+，由(2)3f '=-解得：91=C ，故22396C x x x y ++-=，由(2)4f =解得：22=C ； 所求函数为：29623++-=x x x y ．23、解：（1）112300111d 266S y y y ===⎰；（如图1所示） （2）()()112222012d 4x V x x x x πππ=-=-=⎰．24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤；（1）111()()d d ()d (1)()d u xuDF u f x x f x y x f x x σ===-⎰⎰⎰⎰⎰；（2）()(1)()F u u f u '=-，(2)(21)(2)(2)1F f f '=-==．2006年高等数学真题参考答案1、C ．2、B ．3、C ．4、C ．5、C ．6、A ．7、2． 8、)(0x f ． 9、1-． 10、1． 11、(sin cos )xye y x x +． 12、1．13、解：原式322131lim 21341==--→x xx ． yOS1x12y x=图114、解：2211d 12d 21t t y y t t t x x t-'+==='+，2222d 1d d 122d 41ty x y t t x x t t '⎛⎫ ⎪+⎝⎭==='+． 15、解：原式3221ln d(1ln )(1ln )3x x x C =++=++⎰．16、解：原式()2222220d(sin )sin 2sin d x x x xx x πππ=-⎰⎰积进去222220sin 2sin d 2d(cos )4x xx x xx x ππππ-+⎰⎰积进去导出来2222002cos 2cos d 244x x x x ππππ=+-=-⎰．17、解：方程变形为2y y y x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，即得到了形如d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭齐次方程； 令yu x=，则d d d d y u u x x x =+，代入得：2d d u x u x =-，分离变量得：211d d u x u x -=； 两边积分，得：211d d u x u x -=⎰⎰，1ln x C u=+，故ln x y x C =+． 18、解：令()ln (1)g x x =+，则(0)0g =；由于01()(1)1n n n g x x x ∞='==-+∑（(]1,1x ∈-）， 所以01(1)((1))d x n n n g x n x g t t ∞+='=+=-∑⎰（(]1,1x ∈-），故20(1)()1n n n f x x n ∞+=-=+∑，收敛域为：11x -<≤．19、解：由题意知：{}11,1,1=-n ，{}24,3,1=-n ；{}12311232,3,1431=⨯=-=++=-i j ks n n i j k ，故所求直线方程的对称式方程为：123123+=-=-z y x ． 20、解：22z x f x∂'=∂，2'2'''''3''2''22122221222(2)22z x f x f x f y x f x f x y f y x ∂=+⋅+⋅=++∂∂．21、证：令33)(x x x f -=，[]2,2x ∈-，由2()330f x x '=-=解得驻点：1±=x ，比较以下函数值的大小：(1)2f -=-，(1)2f =，(2)2f =-，(2)2f -=； 所以2min -=f ，2m ax =f ，故2)(2≤≤-x f ，即332x x -≤，原命题获证．22、解：0)0(=y ，2y x y '=+，通解为：xCe x y +--=)22(；将0)0(=y 代入通解解得：2=C ，故所求特解为：xe x y 222+--=．23、解：（1）()2222648d 3S xx x -=--=⎰； （2）()()224804d 8d 16y V y y yy πππ=+-=⎰⎰．24、解：()d d d ()d ()d tt t tD f x x y x f x y t f x x ==⎰⎰⎰⎰⎰，0()d 0()0t f x x t g t a t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰；（1）00lim ()lim()d 0t t t g t f x x →→==⎰，由)(t g 的连续性可知：0)(lim )0(0===→t g g a t ；（2）当0≠t 时，()()g t f t '=，当0=t 时，0000()d ()(0)(0)limlim lim ()(0)hh h h f x x g h g g f h f h h→→→-'====⎰； 综上，()()g t f t '=．2007年高等数学真题参考答案1、B ．2、C ．3、C ．4、A ．5、D ．6、D ．7、2ln ． 8、1． 9、π2． 10、23． 11、21d d xx y y y-． 12、06'5''=+-y y y ． 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e ． 14、解：当0=x 时，0=y ；在方程xy e e yx=-两边对x 求导得：''xye e y y x y -⋅=+⋅，故d 'd x yy e y y x e x-==+；。
2019—2019年江苏专转本高数真题（打印版）共18页
2019—2019年江苏专转本⾼数真题（打印版）共18页第 1 页2005年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学⼀、选择题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分.）1、0=x 是xx x f 1sin )(=的A 、可去间断点B 、跳跃间断点C 、第⼆类间断点D 、连续点2、若2=x 是函数)21ln(ax x y +-=的可导极值点，则常数=aA 、1-B 、21C 、21- D 、13、若?+=C x F dx x f )()(，则?=dx x xf )(cos sinA 、C x F +)(sinB 、C x F +-)(sin C 、C F +(cos)D 、C x F +-)(cos 4、设区域D 是xoy 平⾯上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、)1,1(--C 为顶点的三⾓形区域，区域1D 是D 在第⼀象限的部分，则：=+??dxdy y x xy D)sin cos (A 、??1)sin (cos 2D dxdy y xB 、??12D xydxdyC 、??+1)sin cos (4D dxdy y x xy D 、05、设yxy x u arctan ),(=，22ln ),(y x y x v +=，则下列等式成⽴的是v x u ??=?? B 、xvx u ??=C 、x v y u ??=??D 、yv y u ??=??6、正项级数(1) ∑∞=1n n u 、(2) ∑∞=13n n u ，则下列说法正确的是A 、若（1）发散、则（2）必发散B 、若（2）收敛、则（1）必收敛C 、若（1）发散、则（2）不定D 、若（1）、（2）敛散性相同⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分）第 2 页7、=----→x x xe e x x x sin 2lim； 8、函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上满⾜拉格郎⽇中值定理的=ξ；9、=++?-11211x x π；10、设向量{}2,4,3-=α、{}k ,1,2=β；α、β互相垂直，则=k ；11、交换⼆次积分的次序=?-+-dy y x f dx x x 2111),( ；12、幂级数∑∞=-1)12(n n x n 的收敛区间为；13、设函数+=a xx x f x F sin 2)()( 00=≠x x 在R 内连续，并满⾜：0)0(=f 、6)0('=f ，求a .14、设函数)(x y y =由⽅程?-==t t t y t x cos sin cos 所确定，求dx dy、22dx y d .15、计算?xdx x sec tan 3.16、计算?10arctan xdx17、已知函数),(sin 2y x f z =，其中),(v u f 有⼆阶连续偏导数，求xz、y x z2 18、求过点)2,1,3(-A 且通过直线12354:zy x L =+=-的平⾯⽅程. 19、把函数222)(xx x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间.20、求微分⽅程0'=-+x e y xy 满⾜e y x ==1的特解.四、证明题（本题8分）21、证明⽅程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有⼀根.第 3 页五、综合题（本⼤题共4⼩题，每⼩题10分，满分30分） 22、设函数)(x f y =的图形上有⼀拐点)4,2(P ，在拐点处的切线斜率为3-，⼜知该函数的⼆阶导数a x y +=6''，求)(x f .23、已知曲边三⾓形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）、曲边三⾓形的⾯积；（2）、曲边三⾓形饶X 轴旋转⼀周的旋转体体积.24、设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，dx x f dy u F uyu=)()(1，)1(>u（1）、交换)(u F 的积分次序；（2）、求)2('F .⾼等数学参考答案1、A2、C3、D4、B5、A6、C7、2 8、1-e 9、2π10、5 11、dx y x f dy y y ??---11102),( 12、)1,1(-13、因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，8262)0(2)0()(sin 2)()('0lim limlim =+=+=+-=+=→→→f x f x f x x x f x F x x x a F =)0(，故8=a .14、t t t t t t dtdx dt dydx dy -=-+-==sin sin cos cos ，t t x y dx y d t t csc sin 1)('''22=--==. 15、原式C x x x x xd x d x +-=-=-=??sec sec 31sec sec sec sec )1(sec 322.16、原式??++-=+-=102210211)1(2141arctan x x d dx x x x x π 102)1ln(214x +-=π2ln 214-=π 17、'z ?=??，''12''122cos 2)2(cos xf y y f x y x z =?= 18、{}1,2,5=l ，{}0,3,4-=B ，{}2,4,1-= {}22,9,8241125--=-=?=kj il π平⾯点法式⽅程为：0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x .19、x x x x x x x x f -?++?=-++=1132116)1121(3)(222nn n n x x ∑∞=+??+-=01212)1(3，收敛域为11<<-x . 20、xe y x y x=?+1'，通解为第 5 页x e x C C dx e x e e y x dx x x dx x +=+=-11 因为e y =)1(，C e e +=，所以0=C ，故特解为xey x=.21、证明：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1-∈x ，且03)1(>=-f ，01)1(<-=f ，0)1()1(由连续函数零点定理知，)(x f 在)1,1(-上⾄少有⼀实根. （提醒：本题亦可⽤反证法证明）22、设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，3)2('-=f ，0)2(''=f .因为126''-=x y ，故12'123C x x y +-=，由3)2('-=y ，解得91=C . 故22396C x x x y ++-=，由4)2(=y ，解得22=C . 所求函数为：29623++-=x x x y . 23、（1）61612113102===?y dy y S （2）4021)()21(2212πππ=-=-=?x x dx x V x24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤（1）-===uxuDdx x f x dy x f dx d x f u F 111)()1()()()(σ；（2）)()1()('u f u u F -=，1)2()2()12()2('==-=f f F .2006年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学参考答案1、C2、B3、C4、C5、C6、A7、2 8、)(0x f 9、1- 10、1 11、)cos sin (x x y e xy + 12、113、原式3221==--→x xx 14、21211122''t t t t x y dx dy tt =++-==，t t t t x dx dy dx y d t 411221)(22''22+=+== 15、原式C x x d x ++=++=?23 )ln 1(32)ln 1(ln 1第 6 页16、原式x d x dx x x xx x d x cos 24sin 2sin sin 20220202202+=-==πππππ24cos 2cos 24220202-=-+=πππx17、⽅程变形为2'-=x y x y y ，令x y p =则''xp p y +=，代⼊得：2'p xp -=，分离变量得：dx x dp p ??=-112，故C x p +=ln 1，C x x y +=ln . 18、令)1ln()(x x g +=，0)0(=g ，200'1)1()1()(+∞=∞=∑∑+-=-=n n n n nn x n dx x x g ，故201)1()(+∞=∑+-=n n n x n x f ，11<<-x . 19、{}1,1,11-n 、{}1,3,42-n ，k j i kj i n n l ++=--=?=3213411321直线⽅程为123123+=-=-z y x . 20、'22f x yz=??， ''222''213'2''22''212'2222)2(2yf x f x xf y f x f x xf xy z ++=?+?+=. 21、令33)(x x x f -=，[]2,2-∈x ，033)(2'=-=x x f ，1±=x ，2)1(-=-f ，2)1(=f ，2)2(-=f ，2)2(=-f ；所以2min -=f ，2max =f ，故2)(2≤≤-x f ，即233≤-x x .22、y x y +=2'，0)0(=y通解为x Ce x y +--=)22(，由0)0(=y 得2=C ，故x e x y 222+--=. 23、（1）364)8(2222=--=?-dx x x S （2）πππ16)8()(284240=-+=??dy y dy y V 24、dx x f t dy x f dx dxdy x f tt t D t==000)()()(=≠=?00)()(0t a（1）0)(lim )(lim 00==?→→dx x f t g tt t ，由)(t g 的连续性可知0)(lim )0(0===→t g g a t （2）当0≠t 时，)()('t f t g =，第 7 页当0=t 时，)0()(lim )(lim )0()(lim )0(000'f h f hdx x f hg h g g h hh h ===-=→→→?综上，)()('t f t g =.2006年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学⼀、选择题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分.）1、若21)2(lim 0=→x x f x ，则=→)3(lim0x f x x A 、21 B 、2 C 、3 D 、312、函数=≠=001sin)(2x x xx x f 在0=x 处A 、连续但不可导B 、连续且可导C 、不连续也不可导D 、可导但不连续3、下列函数在[]1,1-上满⾜罗尔定理条件的是A 、x e y =C 、21x y -=D 、xy 11-= 4、已知C e dx x f x +=?2)(，则=-?dx x f )('A 、C e x +-22B 、C e x +-221C 、C e x +--22D 、C e x +--2215、设∑∞=1n n u 为正项级数，如下说法正确的是A 、如果0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛B 、如果l u u nn n =+∞→1lim)0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛 C 、如果∑∞=1n n u ，则∑∞=12n nu 必定收敛 D 、如果∑∞=-1)1(n n nu ，则∑∞=1n n u 必定收敛=1D }0,0,1|),{(22≥≥≤+y x y x y x ，则??=Ddxdy y x f ),(A 、0B 、??1),(D dxdy y x f C 、2??1),(D dxdy y x f D 、4??1),(D dxdy y x f⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分）第 8 页7、已知0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等级⽆穷⼩，则=a 8、若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续.9、设)(x f 在[]1,0上有连续的导数且2)1(=f ，?=103)(dx x f ，则=1')(dx x xf10、设1=，⊥，则=+?)(b a a11、设x e u xysin =，=??xu12、=??Ddxdy . 其中D 为以点)0,0(O 、)0,1(A 、)2,0(B 为顶点的三⾓形区域.三、解答题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，满分64分）13、计算11lim31--→x x x . 14、若函数)(x y y =是由参数⽅程-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求dx dy 、22dx y d .15、计算?+dx xxln 1. 16、计算dx x x ?20.17、求微分⽅程2'2y xy y x -=的通解.18、将函数)1ln()(x x f +=展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）. 19、求过点)2,1,3(-M 且与⼆平⾯07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平⾏的直线⽅程.20、设),(2xy x xf z =其中),(v u f 的⼆阶偏导数存在，求y z ??、x y z 2.四、证明题（本题满分8分）.21、证明：当2≤x 时，233≤-x x .五、综合题（本⼤题共3⼩题，每⼩题10分，满分30分）22、已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线⽅程.第 9 页23、已知⼀平⾯图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成. （1）求此平⾯图形的⾯积；（2）求此平⾯图形绕y 轴旋转⼀周所得的旋转体的体积.24、设??=≠=??00)(1)(t a t dxdy x f t t g t D ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正⽅形区域，函数)(x f 连续. （1）求a 的值使得)(t g 连续；（2）求)('t g .2007年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学⼀、单项选择题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分.）1、若2)2(lim0=→x x f x ，则=∞→)21(lim x xf xA 、41B 、21C 、2D 、42、已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的⾼阶⽆穷⼩，⽽x n sin ⼜是x cos 1-的⾼阶⽆穷⼩，则正整数=nA 、1B 、2C 、3D 、43、设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则⽅程0)('=x f 的实根个数为B 、2C 、3D 、4 4、设函数)(x f 的⼀个原函数为x 2sin ，则=?dx x f )2('A 、C x +4cosB 、C x +4cos 21C 、C x +4cos 2D 、C x +4sin5、设dt t x f x ?=212sin )(，则=)('x fA 、4sin xB 、2sin 2x xC 、2cos 2x xD 、4sin 2x x 6、下列级数收敛的是A 、∑∞=122n n n B 、∑∞=+11n n nC 、∑∞=-+1)1(1n n nD 、∑∞=-1)1(n n n。
江苏省“专转本”《高等数学》试卷分类解析不定积分.
同方专转本高等数学核心教程第三章不定积分本章主要知识点：● 不定积分的意义，基本公式● 不定积分的三种基本方法● 杂例历年考试真题1.（2001）不定积分=（ D ）A.B. +CC. arcsinxD. arcsinx+C解析: 利用不定积分的定义.2001）计算⎰e2x2. （1+exdx。
解: ⎰e2xe2x+ex-exx1+exdx=⎰1+exdx=e-ln(1+ex)+C3. （2002）设f(x)有连续的导函数，且a≠0,1，则下列命题正确的是（A. ⎰f'(ax)dx=1af(ax)+C B. ⎰f'(ax)dx=f(ax)+CC. (⎰f'(ax)dx)'=af(ax)D. ⎰f'(ax)dx=f(x)+C解析: 由⎰f'(x)dx=f(x)+C⎰f'(ax)dx=1a⎰f'(ax)dax=1af(ax)+C4. （2002）求积分2解: 14arcsin2x2+C5. （2003）若F'(x)=f(x),f(x)连续，则下列说法正确的是（ C ） - 78 - A ）第三章不定积分A.C. ⎰F(x)dx=f(x)+c B. ⎰⎰dF(x)dx=f(x)dx dx⎰dF(x)dx=f(x) f(x)dx=F(x)+c D. dx⎰解析: 不定积分的定义 6. （2003）xlnxdxx2x2x2=lnx-⎰dlnx 解: 设u=lnx,dv=xdx,则⎰xlnxdx=⎰lnxd222x21=lnx-⎰xdx22 11=x2(lnx-)+C227. （2004）求不定积分3=1arcsin4x+C 4解析: 31dx=⎰arcsin3xdarcsinx=arcsin4x+C 4ex8. （2004）设f(x)的一个原函数为，计算⎰xf'(2x)dx xexex(x-1)ex解: 因为f(x)的一个原函数为，所以f(x)=()'=， xx2x1111⎰xf'(2x)dx=⎰xf'(2x)d(2x)=⎰xdf(2x)=xf(2x)-⎰f(2x)dx 222211x(2x-1)e2xx-12x-+C=e+C ＝xf(2x)-⎰f(2x)d(2x)=248x28x4x9. （2005）若⎰f(x)dx=F(x)+C,则⎰sinxf(cosx)dx=( D )A. F(sinx)+CB. -F(sinx)+CC. F(cosx)+CD. -F(cosx)+C解析: ⎰sinxf(cosx)dx=-⎰f(cosx)dcosx=-F(cosx)+C⎰310. （2005）计算tanxsecxdx2 解：原式＝tanxtanxsecxdx=⎰⎰(secx-1)d- 79 - 22secx=⎰secxdsecx-secx同方专转本高等数学核心教程=secx-secx+C11.（2006）已知A.2e-2x133⎰f(x)dx=e2x+C，则⎰f'(-x)dx=（ C ）. 11+CB.e-2x+CC. -2e-2x+CD. -e-2x+C 22解析: 由题意f(x)=2e2x,∴f'(x)=4e2x,f'(-x)=4e-2x所以⎰f'(-x)dx=⎰4e-2x-2xdx=⎰-2e-2xd(-2x)=-2e+C12.（2006）计算⎰dx x解：原式＝32(1+lnx)=(1+lnx)2+C 313. (2007) 设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则⎰f'(2x)dx=（ A ）1cos4x+C 2C. 2cos4x+CD. sin4x+C A. cos4x+C B.解析: f(x)=2cos2x,所以f'(x)=4sin2x,⎰f'(2x)dx=⎰4sin4xdx=⎰sin4xd(4x)=cos4x+C2-x14. (2007)求不定积分xedx．⎰2-x2-x 解：xedx=-xd(e) ⎰⎰2-x-x2-x-x =-xe+2xedx=-xe-2xd(e) ⎰⎰2-x-x-x =-xe-2xe+2edx ⎰=-xe单元练习题3 2-x-2xe-x-2e-x+C1．dcos2x=- 80 - ⎰第三章不定积分2．已知f(cosx)=sin2x，则⎰f(x-1)dx=。
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江苏省2015年普通高校“专转本”选拔考试
高等数学试题卷
注意事项：
1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚．
2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效．
3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1、当x0时，函数
sinx
f(x)1e是函数g(x)x的()
A.高阶无穷小
B.低阶无穷小
C.同阶无穷小
D.等价无穷小
x
2、函数y(1x)(x1)的微分dy为()
xx
A.(1x)[ln(1x)]dx
1x
xx
B.(1x)[ln(1x)]dx
1x
C.
x1
x(1x)dxD.
x1
x(1x)dx
1
3、x0是函数f(x) e
x
x
1
e
1
1
,x0
的() 1,x0
A.无穷间断点
B.跳跃间断点
C.可去间断点
D.连续点
4、设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则f(32x)dx()
A. 1
2
F(32x)CB.
1
2
F(32x)C
C.2F(32x)C
D.2F(32x)C
5、下列级数条件收敛的是()
A.
n1 n
(1)
2
n n
B.
n 1
n
(1)
n1
2n1
C.
n1 n
(1) n!
n
n
D.
n 1
n
(1)
n
2
n
1
6、二次积分
e
1
dyf(x,y)dx
1ln
y
()
A.
e1
dxf(x,y)dy
1lnx
B.
11
dxf(x,y)dy
x
0e
C. 1 e
x
dxf(x,y)dy
00
D.
1 e
x
dxf(x,y)dy
01
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
x n
7设f(x)lim(1)
n n
，则f(ln2)_________． 8、曲线
3 xt2t1
在点（0，2）处的切线方程为____________．
3 yt1
9、设向量b 与向量a(1,2,1)平行，且ab12，则b________．
10、设
f(x) 1
2x1
，则 fx_________．(n )
() (n )
() 11、微分方程
2 xyyx 满足初始条件
y 的特解为_____． 12 x
12、幂级数 n1
n 2 n n (x 1) 的收敛域为____________． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
13、求极限 lim x0
x tarcsintdt
x2 2ex2x2
． 14、设
xsinx
2 f(x)x
,x0
，求f(x)．
0,x0
15、求通过直线 x 1y1z2 215
与平面3x2yz100的交点，且与直线
xy2z30 2xyz40
平行的直线方程．
16、求不定积分 3 x 9 2 x
dx
．
17、计算定积分2 2
(xx)sinxdx
．2
x 18、设zf(,(x)),
y ，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数具有连续导数，求
2
x
z
y
．
19、计算二重积分
xydxdy，其中D为由曲线
2
y4x与直线yx及直线y2所围成的平面闭区
D 域．
20、已知
x2x3x
yCeCexe是二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)的通解，试求该
12
微分方程．
四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
21、设D是由曲线
2
yx与直线yax(a0)所围成的平面图形，已知D分别绕两坐标轴旋转一周所形
成的旋转体的体积相等，试求：（1）常数a的值；
（2）平面图形D的面积.
axb 22、设函数()2
fx
(x1) 在点x1处取得极值1
4 ，试求：
（1）常数a,b的值；
（2）曲线yf(x)的凹凸区间与拐点；
（3）曲线yf(x)的渐近线．
五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23、证明：当0x1时，(x2)ln(1x)2x．
24、设zz(x,y)是由方程
22
yzxf(yz)所确定的函数，其中f为可导函数，
证明：z z
xzy
xy
．。