反三角函数中公式的图形记忆法

解 由 ( 10 a + b)
2
= 100 a + 20 ab + b ,
2
2
2
可以看出 , 影响 ( 10 a + b) 的十位数字的奇偶性
2002 年第 2 期 数学 教 学 研 究
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学生对上述联想的效应进行提炼 , 设计出各种不同的证题方案 ( 此题有十多种证法 , 这里就不一一列举了) . 一个数学问题的解决 , 往往是一个复杂的联系过程 . 在这个过程中就需要联想 , 只有让学生学会怎样捕捉 信息 , 广泛地展开联想 , 加以同化 , 才能顺利地解决问题 . 因此 , 联想是解决问题的桥梁 , 是培养学生思维灵活 性、 发散性和独创性的有效措施 . 参考文献
1 - ( 3/ 5
3 2 ) 5
=
4 . 3
我们建立这样一个 直角 三 角 形 : ( 如 图 1) 以 1 为斜边长 , 一个锐 角 Байду номын сангаас = arcsin x , 这个角 所对边长为 x , 另一 角 图 1 则为 arccos x , 由勾股定 理可知这个角的对边长 B C = 显然有下列公式成立 :
1 - x2 , sin ( arctan x ) = cos ( arctan x) =
x
1- x .
2
图 2
, ,
1 - x2 1 - x2
x
, ;
1 + x2 1 1 + x2 1
x
tan ( arctan x ) = x , cot ( arctan x) = sin ( arccot x ) = cos ( arccot x ) = tan ( arccot x) = 1
1 一般化与特殊化
的只有 b2 一项 , 也就是说 , 个位数字 b 的平方的十位 数字的奇偶性决定了 ( 10 a + b) 2 的十位数字的奇偶 性. 那么 , 我们只需要判断在 0 ～ 9 这十个数的平方 中 , 有几个十位数字是奇数就可以了 . 经计算 , 在 0 ～ 9 这十个数的平方中 , 有 2 个十 位数字是奇数 , 分别为 4 , 6 . 因为在 1 ～ 95 中 , 有 2 ×10 - 1 = 19 个数的个 位数字为 4 或 6 , 所以在 12 , 22 , …, 952 中 , 十位数字为 奇数的数有 19 个 . 特殊化是从对象的一个给定集合 , 转而考虑包 含在这个集合内的较小的集合 . 例如 , 我们从多边形 转而考虑正 n 边形 ; 我们还可以再从正 n 边形转而 考虑等边三角形 [ 1 ] . 采用特殊化的方法往往能达到化繁为简 、 出奇 制胜的目的 . 尤其在选择题中 , 往往是一种非常简便 的方法 . 例 2 过抛物线 y = ax 2 ( a > 0) 的焦点 F 作一 直线交 P , Q 两点 , 若线段 PF , FQ 的长度分别是 p 和 q ,则
sin ( arcsin x ) = x , cos ( arcsin x ) = tan ( arcsin x ) = cot ( arcsin x ) = sin ( arccos x ) = tan ( arccos x ) = cot ( arccos x ) =
x
我们建 立 这 样 一 个 直 角 三 角 形 ( 如 图 2) , 以 个锐 角 B = arctan x , 这 个角相对边长为 x , 另 一个锐角 A = arccot x , 这个角所对边长为 1 , 在 这个直角三角形中就能 得到如下公式 :
cos ( arccot2) = 2
2
π , x ∈ R. 2 例 1 求 sin ( arctan3) 的值 .
arctan x + arccot x =
解 由公式直接可得
1 +3 例 2 求 cos ( arccot2) 的值 . sin ( arctan3) = 3
2
1 +2 以上就反三角函数的若干公式 , 阐述了反三角
1 张楚廷 . 数学教育心理学 [ M ] . 北京 :警官教育出版社 , 1998 . 2 张可法 . 中学数学教育心理研究 [ M ] . 长沙 :湖南师范大学出版社 . 1999 .
反三角函数中公式的图形记忆法
张玉福
( 甘肃省武威市第十一中学 733007)
在高中代数教材中 “ , 反三角函数” 一章对学生 来说是相对抽象 、 较难理解的一章 , 尤其是对于一些 复合问题 , 要借助某些公式才能顺利求解 , 而教材中 又没有对这些重要公式进一步推导 , 对此学生往往 束手无策 、 望而却步 . 这种 “无策” 与 “却步” 的直接原 因之一就是学生对公式记忆不清 , 不能灵活应用 . 为 此 , 本文将笔者在教学实践中的一点拙见 — “反三角 函数中公式的图形记忆法” 介给如下 , 以期对教和学 有点滴之用 .
=
2 5 . 5
=
3
10 . 10
函数有关公式的记忆方法 , 并结合图形加以说明 , 希 望帮助学生在学习反三角函数的过程中 , 能更容易 理解和记忆反三角函数的有关公式 .
选择创新解题思路的几个途径
胡玉梅
( 天津师范大学数学系 300074)
“问题是数学的心脏” , 利用解题来培养思维的 创造性是发展学生创新能力的一个重要手段 . 虽然 数学题目浩如烟海 , 类型千差万别 , 解题方法多种多 样 , 但是往往只要掌握了科学的思想方法 , 就能达到 化繁为简 、 化难为易的目的 . 另外 , 有些题目的解法 不止一种 , 思考方法灵活多样 , 那么如何从纷繁复杂 的题目中发现其特有的规律性 , 从众多的解题思路 中找到一个恰当的解题方法 , 来快速简捷而又准确 地解决问题呢 ?下面笔者尝试给出几种能够引发创 造性解题思路的思考途径 .
1 反正 ( 余) 弦函数
4 ) 的值 . 5 解 直接由公式可得
例 1 求 cos ( arcsin
cos ( arcsin
4 ) = 5
1 - (
4 2 3 ) = . 5 5
3 ) 的值 . 5 解 直接由公式可得
例 2 求 tan ( arccos
3 ) = 5 2 反正 ( 余) 切函数 tan ( arccos 1 + x 2 为斜边长 , 一
( 10 a + b) 2 的十位数字 .
1
q
) 等于 (
1 1 C. 4 a D . . 2a 4a 分析 解这一题目的常规方法是假设直线方
A . 2 a B .
程后与抛物线方程联立求解 , 求出 P 、 Q 的坐标 ( 带 参数) , 再求 p , q. 可以想象这种方法有多么繁琐复 杂 . 然而 , 如果采用特殊值法 , 问题就简单多了 . 观察答案选项都为定值 , 因而可以断定结论与
1
p +
一般化是从对象的一个给定集合进而考虑到包 含这个集合的更大的集合 . 例如 , 我们从三角形进而 考虑到任意多边形 ; 我们从锐角的三角函数进而考 虑到任意角的三角函数 [ 1 ] . 采用一般化的方法 , 抓住问题的共性 , 常常能使 一些看上去十分繁杂的问题迎刃而解 . 例 1 在 12 , 22 , …, 952 中 , 十位数字为奇数的数 有多少个 ? 分析 这是 95 个完全平方数 , 要想把它们分别 计算出来 , 再看十位数字是否为奇数是不现实的 , 我 们可以采用一般化的方法 . 由于任意一个整数都可 以表示为 10 a + b ( a , b ∈{ 0 , 1 , 2 , …, 9} ) 的形式 , 那 么我们就可以抛开题目中个别数的限制 , 进而考虑
x ;
1 - x 2 , cos ( arccos x ) = x , 1 - x2
x x
2
1 1 + x2
x
, ;
, ,
1- x π arcsin x + arccos x = , | x | ≤1 . 2
1 + x2
, cot ( arccot x) = x ;
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数 学 教 学 研 究 2002 年第 2 期 解 由公式直接可得