2006年福建省高考数学试题及答案

2006年高考文科数学试题（福建卷）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）"tan 1"α=是""4πα=的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不而充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（A ）17 （B ）7 （C ）17- （D ）7-（5）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B I 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-（6）函数(1)1xy x x =≠-+的反函数是 （A ）(1)1x y x x =≠+方 （B ）(1)1xy x x =≠-（C ）1(0)x y x x -=≠ （D ）1(0)xy x x-=≠（7）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于（A ） （B （C （D（9）已知向量a r 与b r 的夹角为120o，3,a a b =+=r r r 则b r 等于（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）1 （10）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n（11）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞（12）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卡的相应位置。

（14）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =（15）已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩则2x y +的最大值是＿＿＿＿。

（16）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值是＿＿＿＿。

三．解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？（19）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC2,CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。

（20）（本小题满分12分） 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。

（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，并且线段AB 的B中点在直线0x y +=上，求直线AB 的方程。

（21）（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

（I ）求()f x 的解析式；（II ）是否存在实数,m 使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

（22）（本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列。

2006年高考(福建卷)数学文试题答案一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。

每小题5分，满分60分。

DBBACA D BCCD二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题4分满分16分。

（14）14 （15）4 （16）32三．解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。

满分12分。

（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

满分12分。

（I ）证明：连结OC A,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥Q ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥Q在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO == 而2,AC =222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O =Q IAO ∴⊥平面BCD（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角 在OME ∆中，111,22EM AB OE DC ====OM Q 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos OEM ∴∠=∴异面直线AB 与CD所成角的大小为arccos4（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h,11....33E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴=Q在ACD ∆中，2,CA CD AD ===122ACD S ∆∴==而211,2242CDE AO S ∆==⨯⨯=1.7CDEACDAO ShS∆∆∴===∴点E到平面ACD（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

满分12分。

解：（I）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x==∴=-=-QQ圆过点O、F，∴圆心M在直线12x=-上。

设1(,),2M t-则圆半径13()(2).22r=---=由,OM r=3,2=解得t=∴所求圆的方程为2219()(.24x y++±=（II）设直线AB的方程为(1)(0),y k x k=+≠代入221,2xy+=整理得2222(12)4220.k x k x k+++-=Q直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根，记1122(,),(,),A x yB x y AB中点00(,),N x y则21224,21kx xk+=-+2012002212(),(1),22121k kx x x y k xk k=+=-=+=++Q线段AB的中点N在直线0x y+=上，∴2002220,2121k kx y k k +=-+=++ 0k ∴=，或1.2k =当直线AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点F 不在直线0x y +=上。

∴直线AB 的方程是0,y =或210.x y -+=（21）本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。

满分12分。

（I ）解：Q ()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=由已知，得612,a =22,()2(5)210().a f x x x x x x R ∴=∴=-=-∈（II ）方程37()0f x x+=等价于方程32210370.x x -+= 设32()21037,h x x x =-+ 则2'()6202(310).h x x x x x =-=-当10(0,)3x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当10(,)3x ∈+∞时，'()0,()h x h x >是增函数。

101(3)10,()0,(4)50,327h h h =>=-<=>Q∴方程()0h x =在区间1010(3,),(,4)33内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,)+∞内没有实数根，所以存在惟一的自然数3,m =使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根。

（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

满分14分。

（I ）证明：2132,n n n a a a ++=-Q21112*2112(),1,3,2().n n n n n n n na a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴=∈-Q{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列。

（II ）解：由（I ）得*12(),n n n a a n N +-=∈112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+12*22...2121().n n nn N --=++++=-∈（III ）证明：1211144...4(1),n n b b b b n a ---=+Q12(...)42,n n b b b nb +++∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20.n n n b nb +--+= ③ 21(1)20.n n nb n b ++-++= ④④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+=即2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列。