条件概率

条件概率

1．条件概率

条件 设A ，B 为两个事件，且P (A )>0

含义 在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率

记作 P (B |A )

读作

A 发生的条件下

B 发生的概率

计算公式

①事件个数法：P (B |A )＝

n （AB ）

n （A ）

②定义法：P (B |A )＝

P （AB ）

P （A ）

2.条件概率的性质 (1)P (B |A )∈[0，1]．

(2)如果B 与C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． [注意] (1)前提条件：P (A )>0.

(2)P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )，必须B 与C 互斥，并且都是在同一个条件A 下．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A ，B 互斥，则P (B |A )＝1.( ) (2)P (B |A )与P (A |B )不同．( ) 答案：(1)× (2)√

已知P (AB )＝310，P (A )＝3

5

，则P (B |A )为( )

A.950

B.12

C.910

D.1

4 答案：B

由“0”“1”组成的三位数组中，若用事件A 表示“第二位数字为0”，用事件B 表示“第一位数字为0”，则P (A |B )等于( )

A.12

B.13

C.14

D.18 答案：A

一个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，每次取出后不放回，则若已知第一次取出的是好的，则第二次取出的也是好的概率为________．

答案：59

探究点1 利用定义求条件概率

甲、乙两地都位于长江下游，根据多年的气象记录知道，甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地为雨天的概念是多少？

【解】 设“甲地为雨天”为事件A ，“乙地为雨天”为事件B ， 根据题意，得

P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12.

(1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是

P (A |B )＝P （AB ）P （B ）

＝0.120.18＝23

. (2)甲地为雨天时乙地为雨天的概率是

P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.120.2＝3

5.

利用定义计算条件概率的步骤

(1)分别计算概率P (AB )和P (A )． (2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝

P （AB ）

P （A ）

，这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ，

B 同时发生．

如图，EFGH 是以O 为圆心，1为半径的圆的内接正方形，

将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，

B 表示事件“豆子落在扇形HOE (阴影部分)内”，则P (A )＝________，P (B |A )＝________．

解析：因为圆的半径为1，所以圆的面积S ＝πr 2

＝π，正方形EFGH 的面积为⎝ ⎛⎭

⎪⎫2r 22

＝2，所

以P (A )＝2

π

.

P (B |A )表示事件“已知豆子落在正方形EFGH 中，则豆子落在扇形HOE (阴影部分)”的概率，

所以P (B |A )＝1

4

.

答案：2π 1

4

探究点2 缩小基本事件范围求条件概率

集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．

【解】 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝3

5.

1．[变问法]本例条件不变，求乙抽到偶数的概率．

解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝3

5

.

2．[变条件]若甲先取(放回)，乙后取，若事件A ：“甲抽到的数大于4”；事件B ：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P (B |A )．

解：甲抽到的数大于4的情形有：(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5，2)，(6，1)，共2个．所以P (B |A )＝212＝1

6

.

利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法

将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A ，原来的事件B 缩小为AB .而A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P (B |A )＝n （AB ）

n （A ）

，这里n (A )和n (AB )的计数是基于缩小的基本事

件范围的．

一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每

次任取1个，作不放回抽取．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P (B |A )．

解：将产品编号为1，2，3号的看作一等品，4号为二等品，以(i ，j )表示第一次，第二次分别取得第i 号，第j 号产品，则试验的基本事件空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件A 有9