高中数学综合测试题 - 参考答案

高中数学综合检测题一(必修3、选修2-1)参考答案

BBACB BDACC CC 48

13

x 216＋y 2

8

＝1 600

三、解答题

17．解 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：

(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )共9种，从中选出两名教师性别相同的结果有：

(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P ＝4

9.

(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：

(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共15种． 从中选出两名教师来自同一学校的结果有：

(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共6种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝2

5.

18．解 (1)频率分布表：

(2)

(3)答对下述两条中的一条即可：

(i)该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的1

15；有26天处于良的水

平，占当月天数的1315；处于优或良的天数共有28天，占当月天数的14

15.说明该市空气质量基

本良好．

(ii)轻微污染有2天，占当月天数的1

15.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，

加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的17

30，超过50%.说明该市空气质量有

待进一步改善．

19．证明 (1)因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD . 从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD . 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD . 所以BD ⊥平面P AD ，故P A ⊥BD .

(2)解 如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射

线DA 为x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ， 则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0，0， 1)．

AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →

＝(－1，0， 0)．

设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·PB →＝0.即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0.

因此可取n ＝(3，1，3)．

设平面PBC 的法向量为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，

m ·BC →＝0.

可取m ＝(0，－1，－3)．cos 〈m ，n 〉＝－427＝－27

7.

故二面角A ­PB ­C 的余弦值为－27

7

.

20．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P

＝x ，y P ＝54y .

∵P 在圆上， ∴x 2＋(

54y )2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 2

16

＝1. (2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝4

5(x －3)，

设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝4

5(x －3)代入C 的方程，得

x 225＋

（x －3）2

25

＝1，

即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋41

2.

∴线段AB 的长度为

|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝

（1＋16

25

）（x 1－x 2）2＝

4125×41＝415

. 21．(1)证明 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD . 又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD ，所以BD ⊥平面P AC . (2)解 设AC ∩BD ＝O ， 因为∠BAD ＝60°，P A ＝AB ＝2， 所以BO ＝1，AO ＝CO ＝ 3.

如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O ­xyz ，则P (0，－3，2)， A (0，－3，0)，B (1，0，0)，C (0，3，0)． 所以PB →＝(1，3，－2)，AC →

＝(0，23，0)．

设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝|PB →·AC →

|PB →||AC →

||＝622×23＝6

4.

(3)解 由(2)知BC →

＝(－1，3，0)．

设P (0，－3，t )(t >0)，则BP →

＝(－1，－3，t )． 设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则BC →·m ＝0，BP →

·m ＝0.

所以⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.

令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t .所以m ＝(3，3，6t )．

同理，平面PDC 的法向量n ＝(－3，3，6

t

)．

因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以m·n ＝0，即－6＋36

t 2＝0，

解得t ＝ 6.所以P A ＝ 6.

22．解 (1)由⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b

x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0(*)，

因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2， 代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2，1)．

因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1

的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2， 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.