江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题及答案
江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年第一学期高二年级期中考试数学试题及答案
=
m+ m
5
=
1+
5 m
，e
∈
6, 2
2
所以 3 < 1+ 5 < 2 ， 2m
解得 5 < m < 10 ，
所以实数 m 的取值范围是 (5,10) ． ----12 分
19．解：（1）由不等式 f ( x) < 0 的解集是 (2,3) 知，
−b = 2 + 3 b = −5 2 和 3 是方程 x2 + bx + c = 0 的两个根.由根与系数的关系，得 c = 2× 3 ，即 c = 6 .
所以 f ( x) = x2 − 5x + 6 .
----6 分
（2）不等式 f ( x) − t2 + t ≤ 0 对于任意 x ∈[−3,3] 恒成立，
6
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即 f ( x) ≤ t2 − t 对于任意 x ∈[−3,3] 恒成立.
由于 f ( x) = x2 − 5x + 6 的对称轴是 x = 5 ，
轴上方)两点，若 PF = λ FQ ，则实数 λ 的值为_______
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知 m ∈ R ，命题 p : ∀x ∈[0,1] ， m ≥ 2x − 2 ，命题 q : ∃x ∈[−1,1] ， m ≤ x ．
（1）若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
（）
A．38
B．35
C．32
D．29
uuur
5．如图,在四面体 OABC 中, D 是 BC 的中点, G 是 AD 的中点,则 OG 等于（ ）
江苏省扬州市邗江区2020-2021学年高二上学期期中数学试卷及解析
江苏省扬州市邗江区2020-2021学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知等差数列n a 中， 26a =， 515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A. 30 B. 45 C. 90 D. 1862.下列函数的最小值为2的是（ ） A.1y x x=+ B.1sin (0)sin 2y x x x π=+<<C.y =D.1tan (0)tan 2y x x x π=+<< 3.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A.174B.184C.188D.1604.在数列{ a n }中，已知a 1=2，a n =2a n−1a n−1+2，(n ≥2)，则a n 等于( )A.2n+1 B. 2n C. 3n D. 3n+11.B 【解析】1.将数列的等式关系两边取倒数1a n −1a n−1=12,{1a n }是公差为12的等差数列，再根据等差数列求和公式得到数列通项1a n=12+(n −1)×12=n2，再取倒数即可得到数列{a n }的通项. 将等式a n=2a n−1a n−1+2两边取倒数得到1a n=1a n−1+12，1a n−1a n−1=12,{1a n}是公差为12的等差数列，1a 1=12，根据等差数列的通项公式的求法得到1a n=12+(n −1)×12=n 2，故a n =2n. 故答案为：B. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法，数列通项的求法中有常见的已知S n 和a n 的关系，求a n 表达式，一般是写出S n−1做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；还有构造新数列的方法，取倒数，取对数的方法等等.【题型】单选题 【结束】 95.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ）(A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30] (D) [20,30]6.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21n n S a =-+，则6S 的值为（ ） A.665729B.486665C.665243D.6597.已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A.12B.1C.2D.2-8.已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A.若,a b c d >>，则ac bd > B.若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C.若,a b c d >>，则a d b c +>+D.若,0a b c d >>>，则a b d c> 9.设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >．若10a <，则()()21230a a a a -->10.下列命题中，既是存在性命题又是真命题的有（ ）A.至少有一个实数x ，使x 3+1=0B.所有正方形都是矩形C.,x R ∃∈使2104x x -+≤ D.,x R ∃∈使2220x x ++=第II 卷（非选择题）二、填空题11.命题 “2,(1)0x R x ∀∈->”的否定是_____.12.已知正数,x y 满足22x y +=，则1121x y ++的最小值为________． 13.对任意[]0,2x ∈不等式()2230x a ax a-++≤恒成立，则实数a 的取值范围是______.14.已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,2n S a a ==且()*21320,n n n n S S S a n N ++-++=∈，记()*12111,n nT n N S S S =+++∈，若()6n n T λ+≥对*n N ∈恒成立，则λ的最小值为三、解答题15.命题：实数满足22430x ax a -+<（其中0a >）,命题q ：实数x 满足12302x x x ⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩. (1)若1a =,且命题p q 、均为真命题,求实数x 的取值范围； (2)若q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 16.已知函数()221f x x ax a =--+，a R ∈.（1）若2a =，试求函数()f x y x=（0x >）的最小值；（2）不等式()2f x >-对于任意[]0,2x ∈恒成立，试求a 的取值范围.17.在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18.已知函数()1axf x x =-，a R ∈. （1）若关于x 的不等式()2f x x >-在()1,+∞有解，求a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()1f x ≥.19.某房地产开发公司计划在一小区内建造一个矩形口袋公园ABCD ，公园由三个相同的矩形休闲区(如图空白部分所示) 和公园人行道组成（如图阴影部分所示）.已知口袋公园ABCD 占地面积为900平方米，人行道的宽均为2米.（1）若设口袋公园ABCD 的长AB x =米；试求休闲区所占地总面积S 关于x 的函数()S x 的解析式；（2）要使休闲区占地总面积最大，则口袋公园ABCD 的长和宽如何设计？ 20.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和()12n n n a a S +=，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22log 1n n n a b a +=+；若称使数列{}n b 的前n 项和为整数的正整数n 为“优化数”，试求区间()0,2020内所有“优化数”的和S .四、新添加的题型21.如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()30A -,，且对称轴为1x =-，则以下选项中正确的为（ ）A.24b ac >B.21a b -=C.0a b c -+=D.5a b <22.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A.此数列的第20项是200B.此数列的第19项是182C.此数列偶数项的通项公式为222n a n = D.此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-23.已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( )A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100B.若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C.若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D.若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512参考答案2.C【解析】2.由2115163{{4153a a d a a a d d =+==⇒=+==， ()3313n a n n ∴=+-=， 26n nb a n ==，所以56305902S +=⨯=。
2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 6+a 9=90，则S 11等于( )A. 270B. 300C. 330D. 360 2. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2，若函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为1，则1a +1b 的最小值为( )A. 7+4√3B. 7+2√3C. 8√3D. 4√3 3. 数列{a n }满足a 1=−3，a n+1=−a n +1a n −1，其前n 项积为T n ，则T 2014=( )A. 32B. −16C. 23D. −6 4. 已知log a x >log a y(0<a <1)，则下列不等式恒成立的是 ( )A. y 2<x 2B. tan x <tan yC. 1y <1xD. √y <√x 5. 设数列{a n }满足a 1=0，a n +a n+1=2，则a 2014的值为( )A. 2B. 1C. 0D. −2 6. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab =0”是“复数 a+b i 为纯虚数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 若不等式5−x >7|x +1|和不等式ax 2+bx −2>0的解集相同，则a 、b 的值分别是( )A. a =−8，b =−10B. a =−1，b =9C. a =−4，b =−9D. a =−1，b =2 8. 若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，则a 3等于( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知定义在R 上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数λ(λ∈R)，使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 恒成立，则称f(x)是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是( )A. 函数f(x)=a(其中a 为常数)为回旋函数的充要条件是λ=−1B. 若函数f(x)=a x (a >1)为回旋函数，则λ>1C. 函数f(x)=cosπx 不是回旋函数D. 若f(x)是λ=2的回旋函数，则f(x)在[0,2020]上至少有1010个零点10. 若函数f(x −2)=2x 2−9x +13，则使函数f(x)是单调减函数的区间是( )A. (−∞,1]B. [14,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,14] 11. 黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”.达⋅芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N ∗)，数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n−1+a n−2(n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N ∗)，则( )A. 4(b 2020−b 2019)=πa 2018⋅a 2021B. a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=a 2021−1C. a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019⋅a 2021D. a 2019⋅a 2021−(a 2020)2+a 2018⋅a 2020−(a 2019)2=012. 下列说法中正确的是( )A. 数列{a n }成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有2a n+1=a n +a n+2B. 数列{a n }成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有a n+12=a n a n+2C. 若数列{a n }是等差数列，则S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n 也是等差数列D. 若数列{a n }是等比数列，则S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n 也是等比数列三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“若a ⋅b 不为零，则a ，b 都不为零”的否命题是______．14. 在括号里填上和为1的两个正数，使的值最小，则这两个正数的积等于 ．15. 函数y =√−x 2+2x 的单调递减区间为______．16. 设f(x)=x(12)x +1x+1，0为坐标原点，A n 是函数图象上横坐标为n(n ∈N ∗)的点，向量OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，和i =(6,0)的夹角为θn ，则满足tanθ1+tanθ2+tanθ3+⋯+tanθn <53的最大正整数是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）>0}．17.已知集合A={x|y=ln(x−2+a)}(a∈R)，B={x|x−3x+2(1)当a=1时，求A∩(∁R B)；(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围．18.已知函数f(x)=ax2+1是奇函数，且f(1)=3，f(2)=5，求a，b，c的值．bx+c=a4，a3=−2a4．19.已知在等比数列{a n}中，a2+38(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=(n+1)|a n|，求数列{b n}的前n项和S n．<0，k≠0．20.已知关于x的不等式2kx2+kx−38(1)若k=1，求不等式的解集；8(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．⏜，其中C为半圆弧中点，渠21.如图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面是所示的半圆弧ACB宽AB为2米．(1)当渠中水深CD为0.4米时(D为水面中点)，求水面的宽；(2)若把这条水渠改挖(不准填上)成横断面为等腰梯形的水渠，使渠的底面与水平地面平行，则改挖后的水渠底宽为多少米时(精确到0.01米)，所挖的土最少？22.定义运算“⊕”：对于任意x、y∈R，x⊕y=(1−b)x+by(b∈R+)(等式的右边是通常的加减乘运算)．若数列{a n}的前n项和为S n，且S n⊕a n=3n对任意n∈N∗都成立．(1)求a1的值，并推导出用a n−1表示a n的解析式；(n∈N∗)，证明数列{b n}是等差数列；(2)若b=3，令b n=a n3n(n∈N∗)，数列{c n}满足|c n|≤2(n∈N∗)，求正实数b的取值范围．(3)若b≠3，令c n=a n3n【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵等差数列{a n }，∴a 3+a 9=2a 6，又a 3+a 6+a 9=90，∴a 6=30，又a 1+a 11=2a 6，则S 11=112(a 1+a 11=)=11a 6=330．故选：C ．由数列{a n }为等差数列，把已知等式左边的第一项和第三项结合，利用等差数列的性质化简，得到关于a 6的方程，求出方程的解得到a 6的值，然后利用等差数列的求和公式表示出S 11，并利用等差数列的性质化简后，将a 6的值代入即可求出值．此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键． 2.答案：A解析：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．由已知利用线性规划可得3a +4b =1，而1a +1b =(3a +4b)(1a +1b )展开后利用基本不等式即可求解． 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，由直线ax +by =z(a >0,b >0)可得y =−a b x +z b ，则z b 表示直线在y 轴截距，截距越大z 越大， 由a >0，b >0，可得−a b <0，∴直线ax +by =z 过点B 时，目标函数有最大值，由{2x −y =2x −y =−1可得B(3,4)， 此时目标函数z =ax +by(a >0,b >0)取得最大值1，即3a +4b =1，而 1a +1b =(1a +1b )(3a +4b)=7+4b a +3a b ≥7+4√3，。
2020-2021学年江苏省扬州市仪征中学、江都中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州市仪征中学、江都中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知a＞b，a+b＝0，则下列选项必定正确的是（）A．a＞0B．a≤0C．b＝0D．b＞02．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，a n＝2+（n≥2），则a3＝（）A．0B．C．D．33．（5分）已知命题，则￢p是（）A．B．C．D．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21B．42C．63D．845．（5分）若不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（）A．（﹣3，0 ）B．[﹣3，0 ）C．[﹣3，0]D．（﹣3，0] 6．（5分）设命题，命题q：（x﹣1）（x+2）≥0，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵．现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为h（高中矮）；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为h（矮中高），则（）A．h（高中矮）＞h（矮中高）B．h（高中矮）≥h（矮中高）C．h（高中矮）＜h（矮中高）D．h（高中矮）≤h（矮中高）8．（5分）已知A、B为椭圆的左、右顶点，C（0，b），直线l：x ＝2a与x轴交于点D，与直线AC交于点P，且BP平分∠APD，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）.9．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线10．（5分）下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则11．（5分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是（）A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值12．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|xy|就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是（）A．曲线C关于坐标原点对称B．曲线C上任意一点到原点的距离的最小值为1C．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为D．曲线C所围成的区域的面积大于4三、填空题（共4小题）.13．（5分）若抛物线的准线方程为y＝2，则该抛物线的标准方程是．14．（5分）设双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为．15．（5分）在等差数列{a n}中，满足a n＞0，且a4＝5，则+的最小值为．16．（5分）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[1，2020]时，符合条件的a共有个．四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知p：A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，q：B＝{x|（x﹣a）（x﹣a2﹣1）≤0}（1）若a＝﹣1，求集合B；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在①S n＝n2+n，②a3+a5＝16，S3+S5＝42，③＝，S7＝56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，____，b1＝a1，b2＝．求数列{+b n}的前n项和T n．19．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b）满足|PF2|＝|F1F2|．（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的长轴长为，求△ABF1的面积．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝0，S n＝a n+1﹣n，n∈N*．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，已知，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．21．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线＝1的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点D，M，N为椭圆C上的动点，M，O，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为k1，k2．（i）证明：k1k2＝﹣；（ii）若k1+k2＝0，设直线DM过点（0，m），直线DN过点（0，n），证明：m2+n2为定值．22．（12分）某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：45678销售单价x（单位：百元）110100908070日销售量y（单位：件）该产品的进货浮动价与日销售量关系如表所示：120100906045日销售量y（单位：件）0.750.91 1.52进货浮动价d（单位：百元）（1）分别建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品日销售量y与销售单价x 的关系f（x）、进货浮动价d与日销售量y的关系d（y）；【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数指数函数、对数函数、幂函数】（2）运用（1）中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，单件产品的利润最大？【注：单件产品的利润＝单件售价﹣（进货浮动价+进货固定价）】参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．（5分）已知a＞b，a+b＝0，则下列选项必定正确的是（）A．a＞0B．a≤0C．b＝0D．b＞0解：由a＞b，a+b＝0，得：a＞0，b＜0，|a|＝|b|，故选：A．2．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，a n＝2+（n≥2），则a3＝（）A．0B．C．D．3解：数列{a n}中，a1＝1，a n＝2+（n≥2），当n＝2，解得时，当n＝3时，解得．故选：D．3．（5分）已知命题，则￢p是（）A．B．C．D．解：因为命题p是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得：￢p．故选：C．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21B．42C．63D．84解：∵a1＝3，a1+a3+a5＝21，∴，∴q4+q2+1＝7，∴q4+q2﹣6＝0，∴q2＝2，∴a3+a5+a7＝＝3×（2+4+8）＝42．故选：B．5．（5分）若不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（）A．（﹣3，0 ）B．[﹣3，0 ）C．[﹣3，0]D．（﹣3，0]解：k＝0时，﹣＜0恒成立，故满足题意；k≠0时，，∴﹣3＜k＜0．∴实数k的取值范围是（﹣3，0]．故选：D．6．（5分）设命题，命题q：（x﹣1）（x+2）≥0，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：命题，解得：x＜﹣2或x≥1，命题“q：（x﹣1）（x+2）≥0“，解得：x≥1或x≤﹣2，故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵．现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为h（高中矮）；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为h（矮中高），则（）A．h（高中矮）＞h（矮中高）B．h（高中矮）≥h（矮中高）C．h（高中矮）＜h（矮中高）D．h（高中矮）≤h（矮中高）解：设“高中矮”为A，“矮中高”为B，如图所示：B B2B1C A①如果A，B在同一行，比如B在B1处，因为A是该行中最高者，所以A不矮于B，②如果A，B在同一列，比如B在B2处，因为B是该列中最矮者，所以A不矮于B，③如果A，B既不同行又不同列，选择一个中间量C作参照，设C与A同行，与B同列，因为A是该行中最高者，所以A不矮于C，又因为B是该列中最矮者，所以C不矮于B，所以A不矮于B，综上所述，不论哪种情况，都有A不矮于B，即h（高中矮）≥h（矮中高）．故选：B．8．（5分）已知A、B为椭圆的左、右顶点，C（0，b），直线l：x ＝2a与x轴交于点D，与直线AC交于点P，且BP平分∠APD，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），C（0，b），直线AC的方程为bx﹣ay+ab＝0，由x＝2a，可得y＝3b，即P（2a，3b），由BP平分角∠DPA，可得，即＝，由b2＝a2﹣c2，化简可得2a2＝3c2，则e＝＝．故选：D．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解：A．若m＞n＞0，则，则根据椭圆定义，知＝1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B．若m＝n＞0，则方程为x2+y2＝，表示半径为的圆，故B错误；C．若m＜0，n＞0，则方程为＝1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±x，若m＞0，n＜0，则方程为＝1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±x，故C正确；D．当m＝0，n＞0时，则方程为y＝±表示两条直线，故D正确；故选：ACD．10．（5分）下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则解：A．a＜b＜0，则a2＞b2，正确；B．若ab＝4，则a+b可能小于0，例如，a＝b＝﹣2，因此不正确；C．若a＞b，则ac2≥bc2，c＝0时取等号，因此不正确；D．若a＞b＞0，m＞0，则a（b+m）﹣b（a+m）＝m（a﹣b）＞0，∴正确．故选：AD．11．（5分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是（）A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6＝S7，∴a1+a2+…+a6＝a1+a2+…+a6+a7，∴a7＝0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d＝a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7＝0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6＝S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选：ABD．12．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|xy|就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是（）A．曲线C关于坐标原点对称B．曲线C上任意一点到原点的距离的最小值为1C．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为D．曲线C所围成的区域的面积大于4解：对于A，将x换成﹣x，y换成﹣y，方程不变，所以图形关于（0，0）对称；故A正确；对于B，因为x2+y2＝1+|xy|≥1，曲线C上任意一点到原点的距离的最小值为1，故B正确；对于C，因为x2+y2＝1+|xy|≤1+，所以，x2+y2≤2，即可得到曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为，故C正确；对于D，令x∈（0，1），y＞0可得y2﹣xy+x2﹣1＝0，记函数f（y）＝y2﹣xy+x2﹣1，可得△＝4﹣3x2＞0，所以函数有两个零点，又因为f（0）＜0，f（1）＝x2﹣x＜0，故两个零点一个小于0，一个大于1，即曲线C上横坐标x∈（0，1）时y＞1；同理y∈（0，1）时，x＞1；即第一象限部分图象应在y＝1，x＝1与坐标轴围成的正方形外部，根据图象的对称性可得面积应大于4，故D正确．．故选：ABCD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若抛物线的准线方程为y＝2，则该抛物线的标准方程是x2＝﹣8y．解：由抛物线的准线方程为y＝2，可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，设其方程为x2＝﹣2py（p＞0），则其准线方程为y＝，得p＝4．∴该抛物线的标准方程是x2＝﹣8y．故答案为：x2＝﹣8y．14．（5分）设双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为．解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则有，解得b＝，又a＝2，所以c＝则该双曲线的离心率e＝；故答案为：．15．（5分）在等差数列{a n}中，满足a n＞0，且a4＝5，则+的最小值为．解：因为等差数列{a n}中，满足a n＞0，且a4＝5，所以a2+a6＝2a4＝10且a2＞0，a6＞0，则+＝（a2+a6）（+）＝（17++）≥（17+2）＝，故答案为：．16．（5分）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[1，2020]时，符合条件的a共有135个．解：由题意可设a＝3m+2＝5n+3，m，n∈N*，则3m＝5n+1，设k∈N*，当m＝5k时，15k＝5n+1，n不存在，当m＝5k+1时，15k+3＝5n+1，∴5n＝15k+2，n不存在，当m＝5k+2时，15k+6＝5n+1，∴5n＝15k+5，∴n＝3k+1，满足题意，当m＝5k+3时，15k+9＝5n+1，∴5n＝15k+8，n不存在，当m＝5k+4时，15k+12＝5n+1，∴5n＝15k+11，n不存在，∴a＝15k+8，又∵a∈[1，2020]，∴1≤15k+8≤2020，解得：﹣，∵k∈Z，∴k＝0，1，2， (134)∴符合条件的a值有135个．故答案为：135．四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知p：A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，q：B＝{x|（x﹣a）（x﹣a2﹣1）≤0}（1）若a＝﹣1，求集合B；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝﹣1时，B＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}；（2）A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}＝{x|1≤x≤3}．∵，∴B＝{x|a≤x≤a2+1}．∵p是q的充分不必要条件，∴A⫋B，得等号不能同时成立，解之得．18．（12分）在①S n＝n2+n，②a3+a5＝16，S3+S5＝42，③＝，S7＝56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，____，b1＝a1，b2＝．求数列{+b n}的前n项和T n．解：选①：当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n，又n＝1满足a n＝2n，所以a n＝2n．设{b n}的公比为q，又因为，得b1＝2，q ＝2，所以；由数列{b n}的前n项和为，又可知，数列的前n项和为，故．选②：设公差为d，由解得所以．设{b n}的公比为q，又因为，得b1＝2，q＝2，所以．由数列{b n}的前n项和为，又可知，数列的前n项和为，故．选③：由，S7＝7a4＝28a1＝56，所以a1＝2，所以．设{b n}的公比为q，又因为，得．由数列{b n}的前n项和为，又可知，数列的前n项和为，故．19．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b）满足|PF2|＝|F1F2|．（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的长轴长为，求△ABF1的面积．解：（1）∵椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b），|PF2|＝|F1F2|，∴，可得a2﹣2ac+c2+a2﹣c2＝4c2，e＝，∴2e2+e﹣1＝0，又∵．（2）∵，∵b2＝a2﹣c2＝6∴，∴设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得：，∴，∴．△ABF1的面积为：．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝0，S n＝a n+1﹣n，n∈N*．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，已知，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．【解答】（1）证明：由a1+a2+a3+…+a n+n＝a n+1，得a1+a2+a3+…+a n﹣1+n﹣1＝a n（n≥2），两式相减得a n+1＝2a n+1，所以a n+1+1＝2（a n+1）（n≥2），因为a1＝0，所以a1+1＝1，a2＝a1+1＝1，a2+1＝2（a1+1）．所以{a n+1}是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由，又由（1）可知，得，从而，即，因为，则，两式相减得，所以．由恒成立，即恒成立，又，故当n≤3时，单调递减；当n＝3时，；当n≥4时，单调递增；当n＝4时，；则的最小值为，所以实数m的最大值是．21．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线＝1的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点D，M，N为椭圆C上的动点，M，O，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为k1，k2．（i）证明：k1k2＝﹣；（ii）若k1+k2＝0，设直线DM过点（0，m），直线DN过点（0，n），证明：m2+n2为定值．解：（1）设椭圆的半焦距为c，由题意可得e＝＝＝，所以a＝2b①，因为双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线与椭圆C在第一象限的交点为P（2t，t），所以＝，即t2＝，因为P在椭圆上，所以+＝1，即+＝1②，由①②可得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为+y2＝1；（2）（i）证明：由题意可得M，N关于原点对称，可设D（x1，y1），M（x2，y2），N （﹣x2，﹣y2），因为D，M在椭圆上，所以+y12＝1，+y22＝1，所以y12＝1﹣，y22＝1﹣，所以k1k2＝•＝＝＝﹣；（ii）证明：可设k1＞0，k2＜0，因为k1+k2＝0，k1k2＝﹣，所以k1＝，k2＝﹣，因为直线DM过点（0，m），直线DN过点（0，n），所以直线DM：y＝x+m，DN：y＝﹣x+n，由可得x2+2mx+2m2﹣2＝0，所以x1x2＝2m2﹣2；由可得x2﹣2nx+2n2﹣2＝0，所以﹣x1x2＝2n2﹣2，所以x1x2+（﹣x1x2）＝2m2+2n2﹣4＝0，所以m2+n2＝2为定值．22．（12分）某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：45678销售单价x（单位：百元）110100908070日销售量y（单位：件）该产品的进货浮动价与日销售量关系如表所示：120100906045日销售量y（单位：件）0.750.91 1.52进货浮动价d（单位：百元）（1）分别建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品日销售量y与销售单价x 的关系f（x）、进货浮动价d与日销售量y的关系d（y）；【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数指数函数、对数函数、幂函数】（2）运用（1）中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，单件产品的利润最大？【注：单件产品的利润＝单件售价﹣（进货浮动价+进货固定价）】解：（1）根据表中数据，销售单价每增加1百元，日销量减少10件，所以销售单价与销售量为一次函数的关系，故可设f（x）＝kx+b，由，解得k＝﹣10，b＝150，即f（x）＝﹣10x+150，又根据表中数据，日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数90，考虑其为一个反比例函数关系，设d（y）＝，由题意可得m＝90，于是d（y）＝，（2）由，可得0＜x＜15，设单件产品的利润为P百元，则P＝x﹣（d（y）+3）＝x﹣﹣3＝x﹣﹣3＝x﹣﹣3，因为0＜x＜15，所以15﹣x＞0，所以P＝﹣（15﹣x+）+12，又15﹣x+≥2＝6，当且仅当15﹣x＝，即x＝12时等号成立，所以P max＝﹣6+12＝6，故单件产品售价定为1200元时，单件产品的利润最大，为600元．。
2020年江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷
高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是()A. ∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0B. ∃x∈Z，使x2+2x+m>0C. ∀x∈Z，都有x2+2x+m>0D. 不存在x∈Z，使x2+2x+m>02.两数√2+1与√2−1的等比中项是()A. −1B. 12C. 1D. ±13.“0<m<1”是“方程x2m +y22−m=1表示椭圆”的()A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.双曲线x24−y212=1的焦点到渐近线的距离为()A. 2B. √3C. 3D. 2√35.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，S n是数列{a n}的前n项和，则S9等于()A. −8B. −6C. 10D. 06.双曲线x2m −y2n=1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为()A. 316B. 38C. 163D. 837.已知S n是数列{a n}的前n项和，则“{a n}是等差数列”是“{S nn}是等差数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，S n，T n分别是它们的前n项和，并且S nT n =7n+3n+3，则a2+a23b8+b17=()A. 176B. 134C. 193D. 1369.过(14,0)的直线与抛物线y2=x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+12=0的距离等于()A. 74B. 94C. 4D. 210.已知数列{a n}，如果a1，a2−a1，a3−a2，…，a n−a n−1，…，是首项为1，公比为13的等比数列，则a n=()A. 32(1−13n) B. 32(1−13n−1) C. 23(1−13n) D. 23(1−13n−1)11.已知点M(1,0)，A，B是椭圆x24+y2=1上的动点，且MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值是()A. [23,1] B. [1,9] C. [23,9] D. [√63,3]12.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I，G分别为△PF1F2的内心和重心，当IG⊥x轴时，椭圆的离心率为()A. 13B. 12C. √32D. √63二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是______．14.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+2，则数列{a n}的通项公式a n=______ ．15.过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A、B两点，F1，F2为椭圆的左，右焦点，若∠F1AF2=π2，且该椭圆的离心率e∈[√22,√63]，则θ的取值范围为______．16.过抛物线y2=4x焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆(x−1)2+y2=r2交于C，D两点，若有三条直线满足|AC|=|BD|，则r的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3n+2n+1，求a n．(2)已知{a n}是各项为正的等比数列，a1=2，a3=2a2+16，设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和．18.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且a2c=√23．(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．19.已知p：(x+1)(2−x)≥0，q：关于x的不等式x2+2mx−m+6>0恒成立．(1)当x∈R时q成立，求实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．20.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4−2a1，S11=11b4．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b2n−1}的前n项和(n∈N∗)；(3)设c n=log2b2n−1，P n为数列{4n2c n c n+1}的前n项和，求不超过P2019的最大整数．21.如图，已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点M(−2,1)是抛物线上的一点．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若点P，Q在抛物线C上，且抛物线C在点P，Q处的切线交于点S，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，且满足k2−k1=1，当P，Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由．22.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右准线方程为x=4，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若S1S2=32，求k的值；(3)设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE 的斜率分别为k1，k2，k3，求k2⋅(k1−k3)的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是：∀x∈Z，都有x2+2x+m>0，故选：C．将“存在”换为“∀”同时将结论“x2+2x+m≤0”换为“x2+2x+m>0”．求含量词的命题的否定，应该将量词交换同时将结论否定．2.【答案】D【解析】解：设两数√2+1与√2−1的等比中项是x，则由等比中项的定义可得x2= (√2+1)(√2−1)=1，∴x=±1，故选：D．设两数√2+1与√2−1的等比中项是x，则由等比中项的定义可得x2=(√2+1)(√2−1)=1，解方程求得x的值．本题主要考查等比数列的定义和性质，等比中项的定义．属于基础题．3.【答案】B【解析】解：若方程x2m +y22−m=1表示椭圆，则{m>02−m>0m≠2−m；解得0<m<2且m≠1；故“0<m<1”⇒方程x2m +y22−m=1表示椭圆；反之，方程x2m +y22−m=1表示椭圆推不出“0<m<1“．∴“0<m<1”是“方程x2m +y22−m=1表示椭圆”的充分不必要条件．故选：B．根据椭圆的标准方程，先推出方程x2m +y22−m=1表示椭圆的等价条件，再根据充分必要条件的定义得出结论即可．本题考查了椭圆的标准方程，充分必要条件的定义，属于基础题．【解析】解：由题得：其焦点坐标为(±4,0).渐近线方程为y=±√3x所以焦点到其渐近线的距离d=√3√3+1=2√3．故选：D．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式及其前n项和公式，属于基础题．由a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1a4，∴(a1+2×2)2=a1⋅(a1+3×2)，化为2a1=−16，解得a1=−8．∴则S9=−8×9+9×82×2=0，故选D．6.【答案】A【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，则双曲线的焦距为2，则有{m+n=11m=4解得m=14，n=34∴mn=316故选：A．先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得．本题主要考查了圆锥曲线的共同特这．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．【解析】解：∵{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn ⇔S n n=An +B ⇔{Snn }是等差数列，∴“{a n }是等差数列”是“{Snn}是等差数列”的充要条件． 故选：C ．等差数列的判定结合充要条件的判定可得结果．本题考查了等差数列的判定、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S nT n=7n+3n+3，则a 2+a 23b8+b 17=a 1+a 24b 1+b 24=S 24T 24=7×24+324+3=193，故选：C ．由题意利用等差数列的性质、前n 项和公式，求得要求式子的值． 本题主要考查等差数列的性质、前n 项和公式，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，而抛物线y 2=x 的焦点F 为(14,0)， ∴弦AB 的中点到准线x =−14的距离为2，则弦AB 的中点到直线x +12=0的距离等于2+14=94． 故选：B ．求出弦AB 的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦AB 的中点到直线x +12=0的距离．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n−1)=1−(13)n1−13=32(1−13n)故选：A ．因为数列a 1，(a 2−a 1)，(a 3−a 2)，…，(a n −a n−1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列{a n }的通项． 考查学生对等比数列性质的掌握能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．利用MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，设A(2cosα,sinα)，可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(2cosα−1)2+sin 2α，即可求解数量积的取值范围． 【解答】解：∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 设A(2cosα,sinα)，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(2cosα−1)2+sin 2α=3cos 2α−4cosα+2=3(cosα−23)2+23，∴cosα=23时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最小值为23；cosα=−1时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最大值为9， 故选：C ．12.【答案】A【解析】解：如图所示，设P(x 0,y 0)，不妨设y 0>0． F 1(−c,0)，F 2(c,0)．则G(x 03,y3)，∵IG ⊥x 轴，∴x I =x 03．设三角形内切圆的半径为r ．由三角形内切圆的性质可得：12r(2a +2c)=12⋅2c ⋅y 0．解得r =cy 0a+c ，∴y I =cya+c ．设PF 1，PF 2分别与内切圆相切于点D ，E ． 则PD =PE =12(2a −2c)=a −c ．在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2=PI2．∴(a−c)2+(cy0a+c )2=(x0−x03)2+(y0−cy0a+c)2，化为：x029 4(a−c)2+y02b2=1．与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)比较可得：a2=94(a−c)2，∴a=32(a−c)，可得ca=13．∴e=13．故选：A．如图所示，设P(x0,y0)，不妨设y0>0.利用三角形重心性质可得G(x03,y03)，根据IG⊥x轴，可得x I=x03.设三角形内切圆的半径为r.由三角形内切圆的性质可得：12r(2a+2c)=12⋅2c⋅y0.可得r=cy0a+c=y I.设PF1，PF2分别与内切圆相切于点D，E.可得PD=PE=12(2a−2c)=a−c.在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2=PI2.化简整理即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形内切圆的性质、三角形重心性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】m>3【解析】解：若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则{x|x>m}⫋{x|x>3}，即m>3，即实数m的取值范围是m>3，故答案为：m>3．根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．14.【答案】2×3n−1−1【解析】解：由a n+1=3a n+2，得a n+1+1=3(a n+1)，又a1=1，所以{a n+1}是以2为首项、3为公比的等比数列，∴a n+1=2×3n−1，a n=2×3n−1−1．故答案为：2×3n−1−1．由a n+1=3a n +2，得a n+1+1=3(a n +1)，从而可判断{a n }是以2为首项、3为公比的等比数列，进而可求得a n +1．本题考查由数列递推公式求数列通项，属中档题．15.【答案】[π6,5π6]【解析】解：由题可知，AF 1+AF 2=2a ，即2ccos θ2+2csin θ2=2a ．∴c a =1sin θ2+cos θ2=√2sin(θ2+π4)，又∵e ∈[√22,√63]，∴sin(θ2+π4)∈[√32,1]． 又∵θ∈[0,π]∴θ∈[π6,5π6]．故答案为：[π6,5π6]．根据直角三角形的性质，找到e 与θ的数量关系，利用函数思想可求出来．本题主要考查椭圆的简单几何性质，利用了三角函数恒等变形，并考查了给值求角．16.【答案】(2,+∞)【解析】解：抛物线y 2=4x 焦点为(1,0)，(1)当直线l ⊥x 轴时，直线l ：x =1与抛物线交于A(1,2)、B(1,−2)， 与圆(x −1)2+y 2=r 2交于C(1,r)，D(1,−r)，满足|AC|=|BD|．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 方程y =k(x −1).A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程组{y =k(x −1)y 2=4x，化简得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，由韦达定理x 1+x 2=2+4k 2，由抛物线得定义，过焦点F 的线段|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=4+4k 2，当四点顺序为A 、C 、D 、B 时，∵|AC|=|BD|，∴AB 的中点为焦点F(1,0)，这样的不与x 轴垂直的直线不存在； 当四点顺序为A 、C 、B 、D 时， ∵|AC|=|BD|， ∴|AB|=|CD|， 又∵|CD|=2r ，∴4+4k 2=2r ，即2k 2=r −2，当r >2时存在互为相反数的两斜率k ，即存在关于x =1对称的两条直线．综上，当r ∈(2,+∞)时有三条满足条件的直线． 故答案为：(2,+∞)．求得抛物线的焦点，讨论直线l 的斜率不存在，可得A ，B ，C ，D ，满足题意；当直线的斜率存在，设直线l 方程y =k(x −1).A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，讨论当四点顺序为A 、C 、D 、B 时，当四点顺序为A 、C 、B 、D 时，考虑是否存在与直线x =1对称的直线，即可得到所求范围． 本题考查抛物线的定义、方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)当n =1时，a 1=s 1=6；当n ≥2时，a n =s n −s n−1=(3n +2n +1)−[3n−1+2(n −1)+1]=2⋅3n−1+2， 由于a 1不适合此式，所以a n ={6,n =12⋅3n−1+2,n ≥2．(2)设等比数列的公比为q ，q >0，由a 1=2，a 3=2a 2+16，得2q 2=4q +16， 即q 2−2q −8=0，解得q =−2(舍)或q =4．∴a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1；b n =log 2a n =log 222n−1=2n −1， ∵b 1=1，b n+1−b n =2(n +1)−1−2n +1=2， ∴数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列{b n }的前n 项和T n =n ×1+n(n−1)×22=n 2．【解析】(1)应用数列的递推式，化简可得所求通项公式；(2)设等比数列的公比为q ，q >0，应用等比数列的通项公式解方程可得q ，可得a n ，b n ，再由等差数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的递推式的应用，等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意，{ca =√3a 2c=√23，解得a =√63，c =√2．∴b 2=c 2−a 2=2−23=43． ∴双曲线C 的方程为3x 22−3y 24=1；(2)由{3x 22−3y 24=1x −y +m =0，得3x 2−6mx −3m 2−4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴x 1+x 2=2m ，又中点在直线x −y +m =0上， ∴中点坐标为(m,2m)，代入x 2+y 2=5得m =±1，满足判别式Δ>0． ∴m 的值为±1．【解析】本题考查双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交的性质，是中档题． (1)由已知可得关于a ，c 的方程组，求解可得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则双曲线方程可求；(2)联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系求得AB 的中点坐标，代入圆的方程求得m 值．19.【答案】解：(1)∵4m 2+4m −24<0，∴m 2+m −6<0，∴−3<m <2， ∴实数m 的取值范围为：(−3,2)． (2)p ：−1≤x ≤2，设A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x 2+2mx −m +6>0}， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊊B①由(1)知，−3<m <2时，B =R ，满足题意；②m =−3时，B ={x|x 2−6x +9>0}={x|x ≠3}，满足题意； ③m =2时，B ={x|x 2+4x +4>0}={x|x ≠−2}，满足题意； ④m <−3，或m >2时，设f(x)=x 2+2mx −m +6， f(x)对称轴为x =−m ，由A ⊊B 得 {−m <−1f(−1)>0或{−m >2f(2)>0， ∴{m >1−3m +7>0或{m <−23m +10>0，∴1<m <73或−103<m <−2，∴−103<m <−3或2<m <73综上可知：−103<m <73【解析】(1)由△<0得含m 的不等式，解之得m 的取值范围；(2)把p 是q 的充分不必要条件转化为由A ⊊B ，在各种情况下找出充要条件不等式组，进而求出实数m的取值范围．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q>0，由b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，∴q2+q−6=0．由q>0，解得q=2.∴b n=2n．由b3=a4−2a1，可得3d−a1=8①，由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n−2．∴数列{a n}的通项公式为a n=3n−2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．(2)设数列{a2n b2n−1}的前n项和为T n，由a2n=6n−2，b2n−1=2×4n−1，有a2n b2n−1=(3n−1)×4n，∴T n=2×4+5×42+8×43+⋯+(3n−1)×4n，4T n=2×42+5×43+8×44+⋯+(3n−4)×4n+(3n−1)×4n+1，上述两式相减，得−3T n=2×4+3×42+3×43+⋯+3×4n−(3n−1)×4n+1=12×(1−4n)1−4−4−(3n−1)×4n+1=−(3n−2)×4n+1−8．得T n=3n−23×4n+1+83.∴数列{a2n b2n−1}的前n项和为3n−23×4n+1+83．(3)由(1)知：b2n−1=22n−1，则c n=log222n−1=2n−1．∴4n2c n c n+1=4n2(2n−1)(2n+1)=4n24n2−1=1+1(2n−1)(2n+1)=1+12×(12n−1−12n+1)，∴P n=[1+12(11−13)]+[1+12(13−15)]+⋯+[1+12(12n−1−12n+1)]=n+n2n+1，∴P2019=2019+20194039>2019，∴不超过P2019的最大整数为2019．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q>0，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差、公比，进而得到所求通项公式；(2)求得a2n b2n−1=(3n−1)×4n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；(3)求得b2n−1=22n−1，c n=log222n−1=2n−1．4n2c n c n+1=1+12×(12n−1−12n+1)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和P n，计算可得所求最大值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设抛物线C 的标准方程为x 2=2py(p >0)，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程得2p =4，得p =2， 因此，抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则y 1=x 124，y 2=x 224，k 2−k 1=y 2−1x 2+2−y 1−1x1+2=x 224−1x 2+2−x 124−1x 1+2=x 2−24−x 1−24=x 2−x 14=1，∴x 2−x 1=4.①对函数y =x 24求导得y′=x2，所以，直线PS 的方程为y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 1x 2−x124，同理可知，直线QS 的方程为y =x 2x 2−x 224，联立直线PS 和QS 的方程{y =x 1x2−x 124y =x 2x 2−x 224，得{x =x 1+x22y =x 1x 24， 所以，点S 的坐标为(x 1+x 22,x 1x 24)，PS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 12,x 1x 2−x 124)=(2,x 1)，同理可得QS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−x 2)， 由三角形面积的向量公式可得S △PQS =12|−2x 2+2x 1|=|x 1−x 2|=4． 因此，△PQS 的面积为定值4．【解析】(1)先设抛物线C 的标准方程为x 2=2py(p >0)，将点M 的坐标代入抛物线C 的方程，可求出p 的值，于是可得出抛物线C 的标准方程；(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，利用已知条件得出x 2−x 1=4，利用导数求出抛物线C 在点P 、Q 处的切线方程，联立求出点S 的坐标，然后利用三角形面积的向量公式求出△PQS 的面积，进而解答题中的问题．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查利用导数求切线方程，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题．22.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)．依题意，ca =12，且a 2c=4，解得a =2，c =1．故b 2=a 2−c 2=3． 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).据题意，S 1S 2=32，即12×|AF|×|y 1|12×|BF|×|y 2|=32，整理可得|y 1||y 2|=12，所以NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 代入坐标，可得{1−x 2=2(x 1−1) −y 2=2y 1 ，即{x 2=3−2x 1 y 2=−2y 1 又点M ，N 在椭圆C 上，所以{x 124+y 123=1 (3−2x1)24+(−2y 1)23=1 ，解得{x 1=74y 1=3√58 所以直线l 的斜率k =3√5874−1=√52． (3)法一：依题意，直线l 的方程为y =k(x −1)．联立方程组{y =k(x −1) x 24+y 23=1 整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，所以x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3．故x D =x 1+x 22=4k 24k 2+3，y D =k(x D −1)=−3k4k 2+3，所以直线OD 的方程为y =−34k x ，令x =4，得y E =−3k ，即E(4 , −3k )． 所以k 3=−3k4−1=−1k．所以k 2⋅(k 1−k 3)=k 2⋅(k 1+1k )=y 2x 2−2⋅(y 1x 1+2+1k )， =k(x 2−1)x 2−2⋅[k(x 1−1)x 1+2+1k ]=k 2(x 1−1)(x 2−1)+(x 2−1)(x 1+2)(x 1+2)(x 2−2)，=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+x 1x 2−x 1+2x 2−2x 1x 2−2x 1+2x 2−4，=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+x 1x 2−(x 1+x 2)−2+3x 2x 1x 2−2(x 1+x 2)−4+4x 2=，k 2[4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1]+4k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3−2+3x 24k 2−124k 2+3−2×8k 24k 2+3−4+4x 2，=3x 2−21k 2+184k 2+34x 2−28k 2+244k 2+3=3(x 2−7k 2+64k 2+3)4(x 2−7k 2+64k 2+3)=34．法二：依题意，直线l 的方程为y =k(x −1)，即x =1k y +1，记m =1k ， 则直线l 的方程为x =my +1，与椭圆C 联立方程组{x =my +1 x 24+y 23=1 整理得(4+3m 2)y 2+6my −9=0， 所以y 1+y 2=−6m4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2． 故y D =y 1+y 22=−3m 4+3m 2，x D =my D +1=44+3m 2，所以直线OD 的方程为y =−3m 4x ，令x =4，得y E =−3m ，即E(4,−3m)．所以k 3=−3m 4−1=−m ．所以k 2⋅(k 1−k 3)=k 2⋅(k 1+1k )=y 2x 2−2⋅(y 1x 1+2+m)=y 1y 2+my 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2−2)，=y 1y 2+my 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2−1)=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y1y 2−my 1+3my 2−3，=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y1y 2−m(y 1+y 2)−3+4my 2=−9(m 2+1)4+3m 2+3my 2−9m 24+3m 2+6m24+3m 2−3+4my 2，=−9(m 2+1)4+3m 2+3my 2−12(m 2+1)4+3m 2+4my 2=34．法三：依题意，点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)在椭圆C 上，所以{x 124+y 123=1 x 224+y 223=1 两式相减，得x 22−x 124+y 22−y 123=0，即y 2+y 1x2+x 1⋅y 2−y 1x 2−x 1=−34，所以k OD ⋅k =−34，即k OD =−34k，所以直线OD 的方程为y =−34k x ，令x =4，得y E =−3k ，即E(4 , −3k )，所以k 3=−3k4−1=−1k． 又直线AM 的方程为y =k 1(x +2)，与椭圆C 联立方程组{y =k 1(x +2) x 24+y 23=1 整理得(4k 12+3)x 2+16k 12x +16k 12−12=0，所以−2⋅x 1=16k 12−124k 12+3，得x 1=6−8k 124k 12+3，y 1=k 1(x 1+2)=12k14k 12+3．所以点M 的坐标为(6−8k 124k 12+3 , 12k14k 12+3)． 同理，点N 的坐标为(8k 22−64k 22+3 , −12k24k 22+3)． 又点M ，N ，F 三点共线， 所以k =12k 14k 12+36−8k 124k 12+3−1=−12k 24k 22+38k 22−64k 22+3−1，整理得(4k 1k 2+3)(3k 1−k 2)=0，依题意，k 1>0，k 2>0，故k 2=3k 1． 由k =12k 14k 12+36−8k 124k 12+3−1=4k11−4k 12可得，1k =1−4k 124k 1=14k1−k 1，即1k +k 1=14k 1． 所以k 2⋅(k 1−k 3)=3k 1⋅(k 1+1k )=3k 1⋅14k 1=34．【解析】(1)根据椭圆的性质和离心率公式即可求出a ，c 的值，即可求出b ，椭圆方程可得，(2)设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据三角形面积，即可求出NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据点在椭圆上，即可求出点M 的坐标，即可求出直线的斜率，(3)法一：依题意，直线l 的方程为y =k(x −1)，根据韦达定理，直线方程，直线的斜率，化简整理即可求出，法二：设直线l 的方程为x =my +1，根据韦达定理，直线方程，直线的斜率，化简整理即可求出，法三：依题意，点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)在椭圆C 上，根据点差法，三点共线，直线方程，斜率公式，化简整理即可本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理和斜率公式等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想，是难题．。
2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷
2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷一、选择题1. 若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是( )A.a−b>c−dB.a+c>b+dC.a−c>b−cD.a−c<a−d2. 不等式2x2+x−6<0的解集为( )A.(−32,2) B.(−2,32)C.(−∞−32)∪(2,+∞) D.⌀3. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+6，则a5=( )A.25B.30C.32D.644. 已知实数x，y满足x2+y2=1，则xy的最大值是( )A.1B.√32C.√22D.125. 条件p:x2−4x−5<0是条件q:|x+3|>2的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 若A(m+1, n−1, 3)，B(2m, n, m−2n)，C(m+3, n−3, 9)三点共线，则m+n的值为( )A.0B.−1C.1D.−27. 若方程5x2+(a−11)x+a−2=0的一个根在(0, 1)内，另个一根在(1, 2)内，则实数a的取值范围是( )A.(43, 2) B.(2, +∞) C.(43, 4) D.(2, 4)8. 若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2，则m的值为( )A.1B.4C.1或7D.4或69. 已知等比数列{a n}中，若a1+a2+a3=13，a1a2a3=27且q>1，则a6=( )A.−35B.35C.24或2−2D.−35或35二、多选题如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1=√6，AB=BC=2，AC=2√2，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的是( )A.异面直线BC与B1M所成的角为90∘B.在B1C上存在点D，使MD//平面ABCC.二面角B1−AC−B的大小为60∘D.B1M⊥CM已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线l:y=2√2x，设F1，F2是C的左、右焦点，点P在l上，且|OF1|=|OP|，O为坐标原点，则( )A.C的虚轴长为4√2B.∠F1PF2=90∘C.||PF1|−|PF2||=2D.△PF1F2的面积为6√2已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是( )A.a1=22B.d=−2C.当n=10或n=11时，S n取得最大值D.当S n>0时，n的最大值为21三、填空题命题“∃x0∈R，x02−x0−1≤0”的否定为________.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n2a n+3，则a7=________.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)与直线y=3x无交点，则离心率e的取值范围是________.已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|=32|BF|，则直线l的斜率k=________.四、解答题已知函数f(x)=x2−3x+m.(1)当m=−4时，解不等式f(x)≤0；(2)若m>0，f(x)<0的解集为(a,b)，求1a +4b的最小值．已知集合A={x|x2−4x−12≤0}，B={x|x2−2x+1−m2≤0,m>0}.(1)求集合A与B；(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)直线x−2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；(2)过点(√3,−√5)，且与椭圆y225+x29=1有相同焦点．已知数列{a n}满足a1+2a2+4a3+⋯+2n−1a n=n(n+1)2,n∈N∗.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n.如图①，在菱形ABCD中，∠A=60∘且AB=2，E为AD的中点．将△ABE沿BE折起使AD=√2，得到如图②所示的四棱锥A−BCDE．(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；(2)若P为AC的中点，求二面角P−BD−C的余弦值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右顶点A(2, 0)，上顶点为B，左右焦点分别为F1，F2，且∠F1BF2=60∘，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E．(1)求椭圆C的方程；(2)设P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷一、选择题1.【答案】A【考点】不等式性质的应用【解析】根据a>b，c>d即可判断选项B，C，D都成立，而选项A显然不一定成立，从而得出正确的选项．【解答】解：∵a>b，c>d，∴a+c>b+d，故选项B正确；a−c>b−c，故选项C正确；又−c<−d，∴a−c<a−d，故选项D正确.故选A.2.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法【解析】不等式2x2+x−6<0可化为(2x−3)(x+2)<0，解得−2<x<32；所以该不等式的解集为(−2,32) .故选：B．【解答】解：不等式2x2+x−6<0可化为(2x−3)(x+2)<0，解得：−2<x<32，所以该不等式的解集为(−2,32) .故选B.3.【答案】A【考点】数列递推式等差数列【解析】将a1=1代入式子a n+1=a n+6得出a2，以此类推可得出a5．【解答】解：∵ 数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+6，∴a2=a1+6=7，a3=a2+6=13，a4=a3+6=19，a5=a4+6=25.故选A.4.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】因为x2+y2=1，则x≤x2+y22=12，当且仅当x=y=√22时取等号，故选：D．【解答】解：因为x2+y2=1，所以xy≤x2+y22=12，当且仅当x=y=√22时取等号.故选D.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：条件p:x2−4x−5<0的解集为−1<x<5，条件q:|x+3|>2的解集为x<−5或x>−1，∴命题p⇒命题q，反之则不可以，故条件p是条件q的充分不必要条件.故选A．6.【答案】A【考点】平行向量的性质三点共线【解析】根据点A ，B ，C 的坐标，分别求出AB →，AC →的坐标，利用三点共线，可建立方程组，从而可求m +n 的值 【解答】解：∵ A(m +1, n −1, 3)，B (2m, n, m −2n)， C( m +3, n −3, 9)，∴ AB →=(m −1,1,m −2n −3)，AC →=(2,−2,6). ∵ A ，B ，C 三点共线， ∴ AB →//AC →， ∴m−12=1−2=m−2n−36解得：m =0，n =0，∴ m +n =0. 故选A . 7.【答案】 D【考点】由函数零点求参数取值范围问题 一元二次不等式与二次函数【解析】 此题暂无解析 【解答】解：令f(x)=5x 2+(a −11)x +a −2，则f(x)与x 的轴的两个交点分别在(0, 1)和(1, 2)内，∴ {f(0)=a −2>0，f(1)=5+(a −11)+a −2<0，f(2)=20+2(a −11)+a −2>0，解得2<a <4. 故选D . 8.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 【解析】①当椭圆焦点在x 轴上时，a 2=9,b 2=m +4，得c =√5−π，∴ 焦距2c =2√5−π=2，解之得m =4， ②椭圆焦点在y 轴上时，a 2=m +4,b 2=9，得c =√m −5，焦距2c =2√n −5=2，解之得m =6， 综上所述，得m =4或6 . 故选：D ． 【解答】解：①当椭圆焦点在x 轴上时，a 2=9，b 2=m +4，∴ c =√5−m ，∴ 焦距2c =2√5−m =2， 解得：m =4；②当椭圆焦点在y 轴上时，a 2=m +4，b 2=9， ∴ c =√m −5，∴ 焦距2c =2√m −5=2， 解得：m =6.综上所述，m =4或6 . 故选D . 9.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】【解答】解：由题意，设等比数列{a n }的公比为q ． ∵ a 1a 2a 3=27，即(a 2)3=27， 解得a 2=3.又a 1+a 2+a 3=13，即a2q +a 2+a 2q =13， ∴ 3q 2−10q +3=0， 解得q =3或q =13. 又由q >1， ∴ q =3，∴ a 6=a 2q 4=35. 故选B ． 二、多选题 【答案】 A,B,C【考点】二面角的平面角及求法空间中直线与平面之间的位置关系 异面直线及其所成的角【解析】选项A ，连接MC 1，易知BC//B 1C 1，故∠MB 1C 1即为所求．由勾股定理可知A 1B 1⊥B 1C 1，由三棱柱的性质可知BB 1⊥B 1C 1，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得B 1C 1⊥MB,，即∠MB 1C 1=90∘； 选项B ，连接BC 1，交B 1C 于点D ，连接MD ，再取BC 的中点E ，连接DE 、AE ，易知四边形AMDE 为平行四边形，故MD//AE ，再由线面平行的判定定理即可得证；选项C ，取AC 的中点N ，连接BN 、B 1N, 则∠BNB 1即为所求，在Rt △BNB 中，由三角函数可求出tan ∠BMB 1的值，从而得解；选项D ，在△CMB 中，利用勾股定理分别算出CM 、MB 和B 1C 的长，判断其结果是否满足CM 2+MB 12≠B 1C 2即可．【解答】解：A，连接MC1，由三棱柱的性质可知，BC//B1C1，∴∠MB1C1即为异面直线BC与B1M所成的角．∵AB=BC=2，AC=2√2，∴∠ABC=∠A1B1C1=90∘，即A1B1⊥B1C1，由直三棱柱的性质可知，BB1⊥平面A1B1C1，∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1．又A1B1∩BB1=B1，A1B1，BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1=90∘，故选项A正确；B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE，AE，则DE//AM，DE=AM，∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD//AE.∵MD⊄平面ABC，AE⊂平面ABC，∴MD//平面ABC，故选项B正确；C，取AC的中点N，连接BN，B1N，∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1−AC−B的平面角．在Rt△BNB1中，BB1=√6，BN=√22AB=√2，∴tan∠BNB1=BB1BN=√3，∴∠BNB1=60∘，故选项C正确；D，在△CAM中，CM2=AC2+AM2=192，在△B1A1M中，MB12=A1B12+A1M2=112，在△B1BC中，B1C2=B1B2+BC2=10，显然CM2+MB12≠B1C2，∴B1M与CM不垂直，故选项D错误．故选ABC．【答案】A,B,D【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程余弦定理【解析】利用双曲线渐近线求出b=2√2，得到双曲线方程，利用双曲线性质以及平面几何知识即可判断AB选项,利用余弦定理计算得|PF1|=√OP2+OF12−2OP×OF1cosθ=2√3,|PF2|=2√6，结合三角形为直角三角形，即可判断CD是否正确.【解答】解：因为双曲线的一条渐近线为y=2√2x，所以ba=2√2.又a=1，所以b=2√2,所以虚轴长为4√2，故A选项正确；因为F1，F2为双曲线的左、右焦点，所以|OF1|=|OF2|=3.又因为|OF1|=|OP|，所以|OP|=12|F1F2|,所以∠F1PF2=90∘，故B选项正确；设渐近线的倾斜角为θ，所以tanθ=2√2，所以cosθ=13.由余弦定理得|PF1|=√OP2+OF12−2OP×OF1cos(π−θ)=2√6,同理|PF2|=2√3，所以||PF1|−|PF2||≠2，故C选项错误；因为△PF1F2为直角三角形,所以△PF 1F 2的面积为12×2√6×2√3=6√2，故D 选项正确.故选ABD . 【答案】 B,C【考点】 等比中项等差数列与等比数列的综合 二次函数的性质 等差数列的前n 项和【解析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【解答】解：由公差d ≠0，S 6=90，可得6a 1+15d =90， 即2a 1+5d =30，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得a 72=a 3a 9， 即为(a 1+6d)2=(a 1+2d)(a 1+8d)， 化为a 1=−10d ，②由①②解得a 1=20，d =−2，故A 错误，B 正确； 由S n =20n +12n(n −1)⋅(−2)=21n −n 2=−(n −212)2+4414，由于n 为正整数，可得n =10或11时，S n 取得最大值110，故C 正确； 由S n >0，解得0<n <21，可得n 的最大值为20．故D 错误． 故选BC ． 三、填空题【答案】∀x ∈R ，x 2−x −1>0 【考点】 命题的否定 【解析】命题为特称命题，则命题的否定为∀x ∈R ,x 2−x −1>0，故答案为：∀x ∈R ,x 2−x −1>0 . 【解答】解：特称命题的否定为全称命题，则该命题的否定为：∀x ∈R ，x 2−x −1>0. 故答案为：∀x ∈R ，x 2−x −1>0 . 【答案】 15【考点】 数列递推式 等差数列【解析】 由a n+1=3a n 2a n +3，得1a n+1=1a n+23，所以(1an)是等差数列， 1a n=1a 1+(n −1)×23=2n+13,a n =32n+1，所以a 7=15.故答案为：15. 【解答】 解：由a n+1=3a n 2a n +3，得1an+1=1a n+23，∴ 数列{1a n}是公差为23的等差数列，∴ 1a n=1a 1+(n −1)×23=2n+13，∴ a n =32n+1， ∴ a 7=15 . 故答案为：15 .【答案】 (1,√10 ]【考点】双曲线的离心率 【解析】将双曲线的方程x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)与直线方程y =3x 联立方程组，得到：(b 2−9a 2)x 2=a 2⋅b 2，显然当b 2−9a 2≤0时方程无解，即两曲线无公共点，从而可求得离心率e 的取值范围． 【解答】解：由题意，联立{x 2a 2−y 2b 2=1，y =3x ，解得(b 2−9a 2)x 2=a 2b 2.∵ 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)与直线y =3x 无公共点， ∴ b 2−9a 2≤0. 又c 2=b 2+a 2，∴ c 2−a 2−9a 2≤0，即c 2≤10a 2， 两端同除以a 2，得(ca )2≤10，即e 2≤10. 又e >1，∴ 1<e ≤√10． 故答案为：(1,√10 ]. 【答案】±2√6【考点】直线与抛物线结合的最值问题抛物线的定义直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解∶当直线的倾斜角为锐角时，如图，从点A，B分别作准线的垂线，设垂足分别为M，N，从点B作AM的垂线，设垂足为P．设|BF|=|BN|=a，则|AF|=|AM|=32a，则|AP|=12a，所以|PB|=√6a，由图可知直线的倾斜角等于∠BAP，故k=tan∠BAP=2√6．同理当直线的倾斜角为钝角时，可得k=−2√6 .故答案为：±2√6.四、解答题【答案】解：(1)当m=−4时，f(x)=x2−3x−4=(x−4)(x+1)≤0，解得−1≤x≤4．(2)∵当m>0时，f(x)<0的解集为(a,b)，∴f(b)=f(a)=0，则x2−3x+m=0的两个根是a和b，即a+b=3，ab=m>0，∴a，b均为正数，则13(a+b)(1a+4b)=13(1+4+ba+4ab) .又ba +4ab≥2√ba⋅4ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时取等号，∴1a +4b≥13(5+4)=3．故1a +4b的最小值为3.【考点】基本不等式在最值问题中的应用一元二次不等式的解法函数的零点【解析】【解答】解：(1)当m=−4时，f(x)=x2−3x−4=(x−4)(x+1)≤0，解得−1≤x≤4．(2)∵当m>0时，f(x)<0的解集为(a,b)，∴f(b)=f(a)=0，则x2−3x+m=0的两个根是a和b，即a+b=3，ab=m>0，∴a，b均为正数，则13(a+b)(1a+4b)=13(1+4+ba+4ab) .又ba+4ab≥2√ba⋅4ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时取等号，∴1a+4b≥13(5+4)=3．故1a+4b的最小值为3.【答案】解：(1)∵x2−4x−12≤0，整理，得(x+2)(x−6)≤0，解得：−2≤x≤6，∴A=[−2,6] .∵x2−2x+1+m2≤0,m>0，整理，得[x−(1−m)][x−(1+m)]≤0，解得：1−m≤x≤1+m，∴B=[1−m,1+m] .(2)∵ x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B⫋A，∴{−2≤1−m，1+m≤6，m>0，且等号不能同时成立，解得：0<m≤3，∴m∈(0,3] .【考点】一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】（1）x2−4x−12≤0，化为：(x+2)(x−6)≤0，解得：−2≤x<6 .∴A=[−2,6] .x2−2x+m2≤0,m>0，∴[x−(1−m)][x−(1+m)≤0，解得1−m≤x≤1+m . ∴B=[−m,1+m] .（2）∵ x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴ B ⫋A∴ {−2≤1−m1+m <6m >0, 且等号不能同时成立．解得：0<m ≤3 . ∴ m ∈(0,3] .【解答】解：(1)∵ x 2−4x −12≤0， 整理，得(x +2)(x −6)≤0， 解得：−2≤x ≤6 ， ∴ A =[−2,6] .∵ x 2−2x +1+m 2≤0,m >0，整理，得[x −(1−m )][x −(1+m )]≤0， 解得：1−m ≤x ≤1+m ， ∴ B =[1−m,1+m] .(2)∵ x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件， ∴ B ⫋A ，∴ {−2≤1−m ，1+m ≤6，m >0， 且等号不能同时成立，解得：0<m ≤3 ， ∴ m ∈(0,3] .【答案】解：(1)直线方程x −2y +2=0，当x =0时，解得y =1，即直线过(0,1)点. 当y =0时，解得x =−2，即直线过(−2,0)点. 当(−2,0)为焦点时，c =2，b =1， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为x 25+y 2=1； 当(0,1)为焦点时，c =1，b =2， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为y 25+x 2=1 . (2)设与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的方程为y 225+k +x 29+k =1(k >−9)，将点(√3,−√5)代入，得525+k+39+k=1，整理，得k 2+26k +105=0，k >−9， 解得k =−5， 所以椭圆的方程为y 220+x 24=1 .【考点】椭圆的定义和性质 椭圆的标准方程 【解析】【解答】解：(1)直线方程x −2y +2=0，当x =0时，解得y =1，即直线过(0,1)点. 当y =0时，解得x =−2，即直线过(−2,0)点. 当(−2,0)为焦点时，c =2，b =1， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为x 25+y 2=1； 当(0,1)为焦点时，c =1，b =2， 所以a 2=c 2+b 2=5， 所以椭圆的标准方程为y 25+x 2=1 .(2)设与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的方程为y 225+k +x 29+k =1(k >−9)，将点(√3,−√5)代入，得525+k +39+k =1， 整理，得k 2+26k +105=0，k >−9， 解得k =−5， 所以椭圆的方程为y 220+x 24=1 .【答案】解：(1)当n =1时，a 1=1，当n ≥2时，由a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−1a n =n (n+1)2①，可得a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−2a n−1=(n−1)n 2②，①−②，得2n−1a n =n ， 所以a n =n ⋅(12)n−1．因为a 1=1也满足a n =n ⋅(12)n−1，所以{a n }的通项公式为a n =n ⋅(12)n−1．(2)由题意得， S n =a 1+a 2+⋯+a n =1×(12)0+2×(12)1+⋯+n ×(12)n−1③，则12S n =1×(12)1+2×(12)2+⋯+n ×(12)n④， ③−④得：12S n =(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1−n ×(12)n，即12S n =1−(12)n 1−12−n ×(12)n，所以S n =4−(n +2)⋅(12)n−1．【考点】 数列的求和 数列递推式等比数列的前n 项和 【解析】 无 无【解答】解：(1)当n =1时，a 1=1，当n ≥2时，由a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−1a n =n (n+1)2①，可得a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−2a n−1=(n−1)n 2②，①−②，得2n−1a n =n ， 所以a n =n ⋅(12)n−1．因为a 1=1也满足a n =n ⋅(12)n−1，所以{a n }的通项公式为a n =n ⋅(12)n−1．(2)由题意得， S n =a 1+a 2+⋯+a n =1×(12)0+2×(12)1+⋯+n ×(12)n−1③，则12S n =1×(12)1+2×(12)2+⋯+n ×(12)n④， ③−④得：12S n =(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1−n ×(12)n，即12S n =1−(12)n 1−12−n ×(12)n，所以S n =4−(n +2)⋅(12)n−1．【答案】(1)证明：在图①中，连接BD ，如图所示，∵ 四边形ABCD 为菱形，∠A =60∘，∴ △ABD 是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点， ∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又AD =AB =2， ∴ AE =DE =1. 在图②中，AD =√2， ∴ AE 2+ED 2=AD 2， ∴ AE ⊥ED .∵ BC//DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE ∩AE =E ，AE ，BE ⊂平面ABE ， ∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)可知，AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE ∩DE =E ，BE ，DE ⊂平面BCDE ， ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB →，ED →，EA →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，则E(0,0,0)，A(0,0,1)，B(√3,0,0)，C(√3,2,0)，D(0,1,0)， ∵ P 为AC 的中点，∴ P (√32,1,12)， ∴ PB →=(√32,−1,−12)，PD→=(−√32,0,−12). 设平面PBD 的一个法向量为m →=(x,y,z)，由{m →⋅PB →=0,m →⋅PD →=0,得{√32x −y −12z =0,−√32x −12z =0.令z =√3，得m →=(−1,−√3,√3). 又平面BCD 的一个法向量为EA →=(0,0,1)，设二面角P −BD −C 的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos θ=|EA →⋅m →||EA →||m →|=√31×√7=√217，∴ 二面角P −BD −C 的余弦值为√217． 【考点】用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直的判定 【解析】【解答】(1)证明：在图①中，连接BD ，如图所示，∵ 四边形ABCD 为菱形，∠A =60∘， ∴ △ABD 是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点， ∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又AD =AB =2， ∴ AE =DE =1.在图②中，AD =√2， ∴ AE 2+ED 2=AD 2， ∴ AE ⊥ED . ∵ BC//DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE ∩AE =E ，AE ，BE ⊂平面ABE ， ∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)可知，AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE ∩DE =E ，BE ，DE ⊂平面BCDE ， ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB →，ED →，EA →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，则E(0,0,0)，A(0,0,1)，B(√3,0,0)，C(√3,2,0)，D(0,1,0)， ∵ P 为AC 的中点，∴ P (√32,1,12)， ∴ PB →=(√32,−1,−12)，PD →=(−√32,0,−12). 设平面PBD 的一个法向量为m →=(x,y,z)， 由{m →⋅PB →=0,m →⋅PD →=0,得{√32x −y −12z =0,−√32x −12z =0.令z =√3，得m →=(−1,−√3,√3). 又平面BCD 的一个法向量为EA →=(0,0,1)，设二面角P −BD −C 的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos θ=|EA →⋅m →||EA →||m →|=√31×7=√217， ∴ 二面角P −BD −C 的余弦值为√217． 【答案】解：(1)由题意得：a =2，∵ 在Rt △OBF 2中，∠F 1BF 2=60∘，∴ ∠OBF 2=30∘，|OB|=b ，|OF 2|=c ， ∴ |BF 2|=a ， ∴ cos 30∘=ba =√32， 解得b =√3， ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设直线AD ：y =k(x −2)(k ≠0)，令x =0，则y =−2k ， ∴ E(0, −2k).联立直线AD 与椭圆方程{y =k(x −2)，x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−12=0， x A +x D =16k 23+4k 2，解得x D =8k 2−63+4k ，y D =k(8k 2−63+4k −2)=−12k3+4k ， 设P(x P , y P )，∵ P 为AD 的中点，∴ x P =12(8k 2−63+4k 2+2)=8k 23+4k 2，y P =12(−12k3+4k 2)=−6k3+4k 2， ∴ OP →=(8k 23+4k 2,−6k3+4k 2).第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页设存在Q(x 0, y 0)使得OP ⊥EQ ，则EQ →=(x 0,y 0+2k)，OP →⋅EQ →=0， ∴ 8k 2x 03+4k2−6ky 0+12k 23+4k 2=0，即4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，∴ {2x 0−3=0，y 0=0，解得{x 0=32，y 0=0，∴ 存在Q(32,0)使得OP ⊥EQ ． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】（1）由右顶点的坐标可得a 的值，再由上顶点与左右焦点所成的角可得b ，c 的关系，又由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）法一）设直线AD 的方程，由题意可得E 的坐标，将直线AD 的方程代入椭圆的方程可得D 的坐标，进而求出AD 的中点P 的坐标，求出向量OP →，假设存在Q 的坐标，求出向量EQ →，由OP →⋅EQ →=0，可得4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，所以x 0=32，y 0＝0；法二）设A ，B ，P 的坐标，将A ，B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减可得OP 的斜率，假设存在Q 的坐标使OP ⊥EQ ，可得斜率之积为−1恒成立，求出Q 的坐标． 【解答】解：(1)由题意得：a =2，∵ 在Rt △OBF 2中，∠F 1BF 2=60∘，∴ ∠OBF 2=30∘，|OB|=b ，|OF 2|=c ， ∴ |BF 2|=a ， ∴ cos 30∘=b a=√32， 解得b =√3， ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设直线AD ：y =k(x −2)(k ≠0)， 令x =0，则y =−2k ， ∴ E(0, −2k).联立直线AD 与椭圆方程{y =k(x −2)，x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−12=0，x A +x D =16k 23+4k 2， 解得x D =8k 2−63+4k2，y D =k(8k 2−63+4k 2−2)=−12k 3+4k 2，设P(x P , y P )，∵ P 为AD 的中点，∴ x P =12(8k 2−63+4k 2+2)=8k 23+4k 2，y P =12(−12k3+4k 2)=−6k3+4k 2， ∴ OP →=(8k 23+4k 2,−6k3+4k 2).设存在Q(x 0, y 0)使得OP ⊥EQ ，则EQ →=(x 0,y 0+2k)，OP →⋅EQ →=0， ∴ 8k 2x3+4k 2−6ky 0+12k 23+4k 2=0，即4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，∴ {2x 0−3=0，y 0=0，解得{x 0=32，y 0=0，∴ 存在Q(32,0)使得OP ⊥EQ ．。
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．命题“x R ∀∈，20x x -≤”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x x -< B ．x R ∃∈，20x x -≤ C ．x R ∃∈，20x x -≥ D ．x R ∃∈，20x x ->【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“x R ∀∈，20x x -≤”的否定是：x R ∃∈，20x x ->． 故选：D ．【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2．已知,m n ∈R 则“0m >且0n >”是“曲线221x y m n+=为椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由椭圆标准方程的形式，利用定义法(推出关系)判断充要条件，即可知正确选项.【详解】方程221x y m n+=表示椭圆，知0,0m n >>且m n ≠，所以“0m >且0n >”是“曲线221x y m n+=为椭圆”的必要不充分条件.故选：B.3．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．12C ．3D ．13【答案】A【分析】由等差中项的性质可得5676a a a =+，又{}n a 为等比数列，所以4561116a q a q a q =+，化简整理可求出q 的值．【详解】由题意知56723a a a =⨯+，又{}n a 为正项等比数列，所以4561116a q a q a q =+，且0q >，所以260q q +-=，所以2q 或3q =-（舍），故选A【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题． 4．已知等差数列{}n a 中，243,5a a ==，则1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．25B ．922C ．910D ．1011【答案】B【分析】若{}n a 的公差为d ，由111111()n n n n a a d a a ++=-则有1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=110111()d a a -，而又有243,5a a ==可得d 、1a 、10a ，代入即可求值【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由111111()n n n n a a d a a ++=-知： 1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=122334910111111111(...)d a a a a a a a a -+-+-++-=110111()d a a - 又∵243,5a a ==，可知：1d =，且1102,11a a ==∴1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=922故选：B【点睛】本题考查了等差数列，利用裂项法展开目标代数式并化简，结合等差数列的通项公式可求基本量d 、1a ，再将所求量代入化简后的目标代数式中求值5．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．6．已知区间(,)a b 是关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集，则32a b +的最小值是（ ）A ．B ．5+C ．52+D ．3【答案】C【分析】由题知2a b m +=，1ab m =，0m >，则可得12a bab+=，则()32322a b a b a b ab +⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.【详解】由题知a b ，是关于x 的一元二次方程221=0mx x -+的两个不同的实数根， 则有2a b m +=，1ab m =，0m >，所以12a bab+=，且a b ，是两个不同的正数，则有()13213232=5+5222a b a b a b a b ab b a ⎛+⎛⎫⎛⎫+=+⋅+≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ (15225=+=当且仅当32=a b b a 时，等号成立，故32a b +的最小值是52+【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了基本不等式“1”的妙用求最值，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.7．为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【分析】由题意可得出10MB BN +=，在三角形MBN 中，使用余弦定理可得cos B 的关系式，再利用基本不等式可求出cos B 的最小值，从而可求出sin B 的最大值，进而求解．【详解】设AM x =，AN y =，则由已知可得10x y +=， 在MBN △中，6MN =， 由余弦定理可得：222226()363232327cos 1111222525()2x y x y B x y xy xy xy +-+-==-=--=-=+， 当且仅当x y =时等号成立， 此时5x y ==，7cos 25min B =， 所以2724sin 1()2525max B =-， 所以四边形AMBN 的最大面积为12425524225⨯⨯⨯⨯=， 此时四边形AMBN 是边长为5的菱形， 故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．8．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若对于任意实数a ∈[﹣2，2]．不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【答案】A【分析】根据a n 与S n 的关系，由6S n ＝a n 2+3a n +2，得6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减整理得a n ﹣a n ﹣1＝3，由等差数列的定义求得a n 的通项公式，然后将不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，转化为2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N 恒成立求解.【详解】由6S n ＝a n 2+3a n +2，当n ＝1时，6a 1＝a 12+3a 1+2．解得a 1＝2， 当n ≥2时，6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2， 两式相减得6a n ＝a n 2+3a n ﹣（a n ﹣12+3a n ﹣1）， 整理得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）＝0， 由a n ＞0，所以a n +a n ﹣1＞0，所以a n ﹣a n ﹣1＝3， 所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以a n +1＝2+3（n +1﹣1）＝3n +2， 所以11n a n ++＝321++n n ＝3﹣11n +＜3， 因此原不等式转化为2t 2+at ﹣1≥3，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N 恒成立， 即为：2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N 恒成立， 设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]， 则f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有222020t t t t ⎧+-⎨--⎩，解得t ≥2或t ≤﹣2，则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 故选：A ．【点睛】本题主要考查数列与不等式的，a n 与S n 的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题．二、多选题9．若“21x >”是“x m <”的必要不充分条件，则实数m 的值可以是（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．0【答案】ABC【分析】先解2，再由必要不充分条件可得，从而得解.【详解】由21x >可得1x >或1x <-，若“21x >”是“x m <”的必要不充分条件，则1m ≤-， 故选：ABC.10．已知关于x 的不等式230ax bx ++>，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ）A ．不等式230ax bx ++>的解集可以是{}3x x > B ．不等式230ax bx ++>的解集可以是R C ．不等式230ax bx ++>的解集可以是∅D ．不等式230ax bx ++>的解集可以是{}13x x -<< 【答案】BD【分析】选项A 先假设结论成立，再得到不等式为30x -+>并求解，最后与解集产生矛盾判断选项A 错误；选项B 当1a =，0b =时，不等式230x +>恒成立，判断选项B 正确；选项C 当0x =时不等式成立，判断选项C 错误；选项D 先假设结论成立，再求解得12a b =-⎧⎨=⎩，符合题意，判断选项D 正确； 【详解】解：选项A ：假设结论成立，则0330a b =⎧⎨+=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，则不等式为30x -+>，解得3x <，与解集是{}3x x >矛盾，故选项A 错误；选项B ：当1a =，0b =时，不等式230x +>恒成立，则解集是R ，故选项B 正确； 选项C ：当0x =时，不等式2330ax bx ++=>，则解集不可能为∅，故选项C 错误；选项D ：假设结论成立，则0309330a ab a b <⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，符合题意，故选项D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查一元二次不等式的解集问题，是基础题.11．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n ++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D . 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122 (2)212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,12．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，过焦点的直线l 抛物线C 相交于()11,A x y ，A ．AB 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切C ．12x x 为定值D ．若()1,0M -，则AMF BMF ∠=∠【答案】BCD【分析】根据抛物线和过焦点的直线位置关系，结合抛物线的定义和性质，结合韦达定理，逐个判断即可得解.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0，准线方程为1x =-，过焦点的弦中通径最短，所以AB 最小值为24p =，故A 不正确；如图，设线段AB 中点为D ，过点A ，B ，D 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，1D ，由抛物线定义可知1AA AF =，1BB BF =， 所以()1111122DD AA BB AB =+=， 所以以线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切，故B 正确； 设AB 所在直线的方程为1x ny =+，由214x ny y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y ny --=， 所以124y y =-，()21212116y y x x ==，故C 正确；又124y y n +=，()()()()1221121212111111AM BM y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++ ()()()()()()()122112121212222201111y ny y ny ny y y y x x x x +++++===++++，故D 正确．故选：BCD.【点睛】本题考查了抛物线的定义和通径的概念，以及直线和抛物线的位置关系，考查了利用韦达定理搭桥，建立各个量之间的联系，考查了转化思想和数形结合思想，计算三、填空题13．已知命题[]:1,1p m ∀∈-，2532a a m --≥+，且p 是真命题，则实数a 的取值范围是______． 【答案】6a ≥或1a ≤-【分析】命题p 是真命题等价于[]1,1m ∈-时255a a m --≥恒成立，转化为2551a a --≥，即可解出答案．【详解】因为[]:1,1p m ∀∈-，2532a a m --≥+，且p 是真命题， 所以255a a m --≥恒成立， 所以只需2551a a --≥， 解得6a ≥或1a ≤- 故答案为：6a ≥或1a ≤-14．《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中,乙所得为_______钱. 【答案】76【解析】由题意,设这五人所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d ++--， 则22a d a d a a d a d +++=+-+-，且55a =，所以11,6a d ==， 所以乙所得为76a d +=钱. 15．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的离心率为______.【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出M 点坐标为()11,M x y ，然后通过圆与双曲线的对称性得出1212F F MF F NSS，再根据“点()11,M x y 即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出21b y c，然后根据图像以及232S p =可得22S b 和8p b ，接下来利用双曲线定义得出12MF b a 以及22MF b a ，最后根据2221212MF MF F F 并通过化简求值即可得出结果．【详解】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设()11,M x y ， 由圆与双曲线的对称性可知，点M 与点N 关于原点对称，所以1212F F MF F NS S，因为圆是以12F F 为直径，所以圆的半径为c ，因为点()11,M x y 在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111x y a bx y c ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩， 联立化简可得222222211bc y a y a b ，整理得2222222211b c a b b y a y ，4221bc y ，21b y c，所以1221222F F MS S c y b ，因为232S p =，所以2264p b ，8p b ，因为1212122p MF MF NF NF MF MF ，所以124MF MF b ，因为122MF MF a ，联立121242MF MF bMF MF a +=⎧⎨-=⎩可得12MF b a ，22MF b a ，因为12F F 为圆的直径，所以2221212MF MF F F ,即222224b ab ac ，222824b a c ，22242b a c ，2222442c a ac ，2223ca ，2232c a，所以离心率6c e a．线以及圆的定义的灵活应用，考查化归与转化思想以及方程思想，考查了学生的计算能力，体现了综合性，是难题．16．设二次函数()2f x ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）．若不等式()2f x ax b ≥+的解集为R ，则2223b a c+的最大值为______． 【答案】23【分析】由不等式恒成立可得0a >且2244b ac a -≤，取1x =可得0c a -≥，令t c a =-，则可得2222224334ac b a c a ca ≤-++442a t t a=++，再利用基本不等式即可求解. 【详解】()2f x ax bx c =++，则()2f x ax b ≥+为()220ax b a x c b +-+-≥，()f x 是二次函数，0a ∴≠，要使不等式()2f x ax b ≥+的解集为R ，则应满足()()2240a b a a c b >⎧⎪⎨∆=---≤⎪⎩， 可得0a >且2244b ac a -≤，当1x =时，可得()20a b a c b +-+-≥，即0c a -≥，令t c a =-，则()()222222222243334443b a c a c a a c a ac a tt c a a a ≤++=+--=++224442442632at a t a at t t a ==≤==++++， 当且仅当4a tt a=，即,3b c a =±=时等号成立， 故2223b a c+的最大值为23. 故答案为：23. 【点睛】关键点睛：本题考查一元二次不等式恒成立和基本不等式的综合应用，解题的关键是根据不等式恒成立得出0a >，2244b ac a -≤，0c a -≥，继而将不等式转化为2222224334ac b a c a ca ≤-++442a t t a=++，方可利用基本不等式求解.四、解答题17．已知2:560p x x -+<，22:320q x mx m -+<，其中0m >． （1）若2m =，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}|23x x <<（2）3|22m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据p 和q 为真命题，解不等式2560x x -+<，2680x x -+<，求交集得到x 的取值范围；（2）根据p 是q 的充分不必要条件，得到关于m 的不等式组，解得m 的取值范围. 【详解】（1）因为p 为真命题， 所以2560x x -+<， 解得：23x <<， 当2m =时，q 为真命题， 所以2680x x -+<， 解得24x <<所以p 和q 均为真命题时，23x << 即实数x 的取值范围为{}|23x x <<. （2）由（1）得p ：23x <<， 由22320x mx m -+< 解得2m x m <<（0m >） 所以q ：2m x m <<， 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以223m m ≤⎧⎨≥⎩且等号不能同时成立.解得：322m ≤≤， 所以实数m 的取值范围3|22m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.【点睛】关键点点睛：涉及数集的充分必要条件时，可转化为判断子集，真子集关系，根据充分条件、必要条件的定义，即可求解，考查了运算能力，属于中档题. 18．已知数列{}n b 为等比数列，21n n b a n =+-，且15a =，215a =．（1）求{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）23n n b =⨯；（2）1233n n S n +=--．【分析】（1）先根据题意得16b =，218b =，进而得数列{}n b 的公比为3q =，再根据等比数列通项公式求解即可；（2）结合（1）得()2321nn a n =⨯--，再根据分组求和的方法分别求和即可得答案.【详解】解：（1）因为，21n n b a n =+-，且15a =，215a =， 所以1116b a =+=，22318b a =+=， 设数列{}n b 的公比为q ，则2211318316b a q b a +====+， 所以16323n n n b -=⨯=⨯．（2）由（1）知，2123nn a n +-=⨯，则()2321nn a n =⨯--，()()223331321n n S n =⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+- ()()12313121233132n n n n n +-+-=⨯-=---．【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，分组求和法，考查运算能力，是中档题. 19．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元()0m ≥满足41kx m =-+(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算）． （1）求k 的值；（2）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （3）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）2k =；（2）()163601y m m m =--≥+；（3）投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【分析】（1）根据题意0m =时，2x =可得解； （2）由（1）求出241x m =-+，进一步求出销售价格8161.5x x+⨯，由利润=销售额-固定成本-再投入成本-促销费，即可求解. （2）由（1）()()161636371011y m m m m m ⎡⎤=--=-++≥⎢⎥++⎣⎦，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意知，当0m =时，2x =（万件）， 则24k =-，解得2k =， （2）由（1）可得241x m =-+. 所以每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯（元）， ∴2020年的利润()816161.58163601x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+.（3）当0m ≥时，10m +>，16(128116)m m ∴++≥=+，当且仅当3m =时等号成立. 83729y ∴≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =万元时，max 29y =（万元）. 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 20．已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点()0,1F .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：2y x =-于M 、N 两点，求MN 的最小值.【答案】（1）24x y =；（282【分析】(1)由抛物线的几何性质及题设条件焦点()0,1F ，可直接求得p ，确定出抛物线的开口方向，写出物线C 的标准方程.(2)由题意，可()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，将直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，再结合弦长公式求出12x x -，分别求出M x 和N x 即可表示出MN ，最后利用换元法和二次函数，即可求得MN 最小值. 【详解】（）由题意可设抛物线C 的方程为()220x py p =>，则12p=，解得2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y ，整理得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-， 从而有12x x -==，由112y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得点M 的横坐标为1121111122844M x x x x x y x x ===---， 同理可得点N 的横坐标为284N x x =-，所以284M N MN x x =-=--43k ==-，令43k t -=，0t ≠，则34t k +=， 当0t >时，N M => 当0t <时，5M N ==≥，综上所述，当253t =-，即43k =-时，MN 【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及直线与抛物线的位置关系，还涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式，同时考查解析几何的基本思想法和运算求解能力.21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，n ∈+N ，数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设()3n n c n b =-，数列()3n n c n b =-的前n 项和为n T ，求证：8n T <； （3）设数列{}n d 满足()1141n nn nd a λ-=+-⋅⋅（n ∈+N ），若数列{}n d 是递增数列，求实数λ的取值范围.【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2132n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）84λ-<<.【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是首项为1，公比为12的对比数列，即可求出{}n a 的通项公式，再利用累加法可求出{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法可求出n T ，即可证明；（3）{}n d 是递增数列等价于1n n d d +>恒成立，分离参数即可求出λ的取值范围. 【详解】（1）1n =时，1112S a a =-=，解得11a =，2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，整理得112n n a a -=， {}n a ∴是首项为1，公比为12的对比数列， 1111122n n n a --⎛⎫⎛⎫∴=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵1n n n b b a +=+，∴1112n n n b b -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则211b b -=，3212b b -=，24312b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，……，2112n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2n =，3，…）.将这1n -个等式相加，得123221111111121212222212n n n n b b ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+++++==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，又∵11b =，∴2132n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）证明：∵()11322n n n c n b n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴022111111223122222n n n T n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.① 而∴2311111112231222222n n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦②①－②得012111111122222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11181842448481222212nn nn n nn T n n ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯⨯=--⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. ∴8n T <；（3）由（1）知()()111141412n n nn n n nd a λλ---=+-⋅⋅=+-⋅⋅， 由数列{}n d 是递增数列，∴对n N +∀∈，1n n d d +>恒成立， 即()()()11111412412341320nn nn n n n n n n n d d λλλ-+--+-=+-⋅⋅---⋅⋅=⋅+-⋅⋅⋅>对n N +∀∈恒成立，即()112n n λ+-⋅⋅>-对n N +∀∈恒成立， 当n 为奇数时，即12n λ+<恒成立，∴4λ<， 当n 为偶数时，即12n λ+>-恒成立，∴8λ>-， 综上实数λ的取值范围为84λ-<<.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查累加法求数列通项，考查错位相减法求数列的前n 项和，考查数列不等式的恒成立问题，属于中档题.22．如图，已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的离心率为12，长轴长为4，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）记AFM∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，若1232S S =，求k 的值； （Ⅲ）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与直线4x =相交于点E ，记直线AM 、BN 、FE 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，求()213k k k ⋅-的值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）52k =；（Ⅲ）34 【分析】（Ⅰ）根据长轴长、离心率和椭圆,,a b c 关系可求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由面积比可得到2NF FM →→=，由此利用()11,M x y 表示出()22,N x y ，根据两点在椭圆上，代入整理求得()11,M x y ，进而得到所求斜率； （Ⅲ）利用点差法可求得34OD k k =-，求得E 点坐标后可得到31k k=-；将直线方程与椭圆方程联立后可求得,M N 坐标，由三点共线可整理得到213k k =，进而得到11114k k k +=；将上述三个关系式代入()213k k k ⋅-整理可得最终结果. 【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为()20c c >， 椭圆长轴长为4，即24a =，2a ∴=，又12c e a ==，1c ∴=，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（Ⅱ）设点()11,M x y ，()22,N x y .1232S S =，12132122AF y BF y ⨯⨯∴=⨯⨯，又3AF =，1BF =，1212y y ∴=， 2NF FM →→∴=，代入坐标可得：()21211212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩，即2121322x x y y =-⎧⎨=-⎩， 又点M 、N 在椭圆C 上，()()22112211143322143x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨--⎪+=⎪⎩，解得：11748x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线l的斜率087214k -==-； （Ⅲ）点()11,M x y ，()22,N x y 在椭圆C 上，22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22222121043x x y y --+=，即2121212134y y y y x x x x +-⋅=-+-， 34OD k k ∴⋅=-，即34OD k k =-，∴直线OD 的方程为34y x k =-， 令4x =得：3E y k =-，即34,E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，33141k k k-∴==--， 又直线AM 的方程为()12y k x =+，与椭圆C 联立()1222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得：()2222111431616120k x k x k +++-=，211211612243k x k -∴-⋅=+，解得：211216843k x k -=+，()11112112243k y k x k ∴=+=+， ∴点M 的坐标为21122116812,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得：点N 的坐标为22222228612,4343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 又点M 、N 、F 三点共线，12221222122212121243436886114343k k k k k k k k k -++∴==----++，整理得：()()12124330k k k k +-=， 由题意知：10k >，20k >，213k k ∴=，由1211221121124346814143k k k k k k k +==---+可得：21111141144k k k k k -==-，即11114k k k +=. ()21311111133344k k k k k k k k ⎛⎫∴⋅-=⋅+=⋅= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中三角形面积问题的求解、椭圆中的定值问题；求解定值问题的关键是能够利用一个变量表示出所求的式子，进而通过化简、消元得到定值.。
扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题及答案
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷 高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆()()22232x y +++=的圆心和半径分别是（ ） A ．()2,3-，1B ．()2,3-，3C ．()2,3--，D ．()2.3-，2．经过两点(2,7)A ，(4,6)B 的直线的斜率为（ ） A ．12- B ．2-C ．12D ．23．椭圆的焦点为12,,F F P 为椭圆上一点，若13PF =，则2PF =（ ）A ．4B ．3C ．5D ．74．已知双曲线22:1y C x m -=的离心率大于实轴长，则m 的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B．)+∞C ．(0,3)D．5．两平行直线320mx y --=与4670x y --=之间的距离为（ ） ABCD6．已知圆22:330C x y mx y +-++=关于直线:0l mx y m +-=对称，则实数m =（ ） A ．1或3-B ．1C ．3D ．1-或37．已知抛物线 的焦点为F ，若抛物线上一点M 满足 ， ，则p =（ ） A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线2218y x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与该双曲线的两支分别交于A 、B 两点（A 在线段1F B 上），⊙1O 与⊙2O 分别为12AF F △与2ABF △的内切圆，其半径分别为1r 、2r ，则12r r 的取值范围是（ ） A ．1132⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ． ，二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．若0abc ≠，且直线0ax by c ++=不经过第二象限，则0ab >，0bc <.B ．方程()()21250x y λλ++--=（R λ∈）表示的直线都经过点()2,1.C ．m ∈R ，直线220m x y ++=不可能与y 轴垂直.D ．直线3310x y +-=的横、纵截距相等.10．已知曲线:44C x x y y =-．点1F ，2(0,F ，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P ，使得124PF PF -= C ．直线2y x =与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向2y x =±作垂线，垂足分别为A ，B ，则45QA QB ⋅=.11．已知集合(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为1+B ．在阴影部分任取一点M ，则M 到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为8π.D ．阴影部分的内外边界曲线长为8π.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为 、 ，过点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=，则该椭圆的离心率为 . 14．已知(),P a b 为曲线 上的动点，则223a b a b --++的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知 的顶点坐标是()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --为AB 的中点. (1)求中线CM 的方程；(2)求经过点B 且与直线AC 平行的直线方程.16．已知双曲线的离心率为()5,,03F c 为双曲线的右焦点，且点F 到直线2a x c=的距离为165. (1)求双曲线C 的方程；(2)若点()12,0A ，点P 为双曲线C 左支上一点，求PA PF +的最小值.17．已知()6,2A m +，()24,8B m +是抛物线C ：()221y px p =>上的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若斜率为()0k k ≠的直线l 经过C 的焦点，且与C 交于P ，Q 两点，求2PQ k +的最小值．18．椭圆C 与椭圆1C ：2212x y +=有相同的焦点，且经过点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 的右焦点为B ，设动直线l 与坐标轴不垂直，l 与椭圆C 交于不同的M ，N 两点，且直线BM 和BN 的斜率互为相反数.①证明：动直线l 恒过x 轴上的某个定点，并求出该定点的坐标. ②求 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记MN 的最大值为m ，MN 的最小值为n ，若2m n =，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“E F -”的“钻石点”.已知圆A ：()()221113x y +++=，P 为圆A 的“黄金点” (1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：()()22221x y -+-=，P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”. ①求直线PQ 的方程.②若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线l ：13y kx =+与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分IWJ ∠？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷 高二数学（参考答案） 2024.118．【详解】设11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-，，，()()11224m r S m S p m p r +∴==+.在 12AF F 与 2AF B 中：122cos cos F AF F AB ∠=-∠， 即()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-，32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--， 当//l 双曲线的斜率为正的渐近线时，m 取最大，此时p →+∞，404m m ∴-=⇒=， 当l 与x 轴重合时，m 取最小，此时2m =，经上述分析得：()2,4m ∈，1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭.故选：C. 10．【详解】当0,0x y ≥>时，曲线22:44x y =-，即2214y x -=；当0,0x y ≥<时，曲线22:44C x y =--，即2214y x +=-；不存在；0,0x y ≤≥时，曲线22:44C x y -=-，即2214y x +=；0,0x y <≤时，曲线22:44C x y -=--，即2214y x -=；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程2214y x -=是以12,F F 为上下焦点的双曲线，当0,0x y ≥>时，曲线C 存在点P ，使得214PF PF -=，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为2y x =，所以直线2y x =与曲线C 没有交点，故C 正确； 对于D ，设()00,Q x y ，设点A 在直线2y x =上，点B 在直线2y x =-， 则由点到直线的距离公式可得QA QB所以220045x y QA QB -⋅==，又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点， 代入曲线方程可得22004455x y QA QB -⋅==，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，令0x =时，整理得[]32sin 0,2y yθ=-∈，解得[1][3,3]y ∈-，“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点(0,1)B -，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为||1AB =A 正确；对于B ，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，整理得：2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩，所以2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++，所以M 到坐标轴的距离为||2cos cos αθ+或|2sin sin |αθ+， 因为cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈，所以2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=，|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=， 所以M 到坐标轴的距离小于等于3，故B 正确；对于C ，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，令0y =时，整理得[]32cos 2,2y yθ=-∈-， 解得[3,1][1,3]x ∈--，因为22(cos )(sin )4x y -+-=θθ表示以()cos ,sin Q θθ为圆心，半径为2r =的圆， 则13r OQ OP OQ r =-≤≤+=，且0πθ≤≤，则()cos ,sin Q θθ在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以O 为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以O 为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以()1,0M -为圆心，半径为2的圆弧， 设()1,0N ，则2AN AM MN ===，即 所对的圆心角为π3，同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为π3，阴影部分在第四象限的外边界为以()1,0N 为圆心，半径为2的圆弧，设()()3,0,3,0G H -，可得π1,3ON OD OND ==∠=， 所对的圆心角为2π3， 同理 所在圆的半径为2，所对的圆心角为2π3，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，所以它的面积是212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯⎝弓形半圆x 轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为219π3π22⨯=，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于2114π21π323⨯⨯+=所以阴影部分的面积为941116π2(πππ2363+-+=+C 错误；对于D ，x 轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=，x 轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=，所以阴影部分的内外边界曲线长为13π11π8π33+=，故D 正确.故选：ABD.12．π3 13【详解】如图，设14BF t =，因为1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=，所以15,3AF t AB t ==．由椭圆定义可知，21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-，由22493AB AF BF a t t =+=-=，可得13t a =，所以1242,33BF a BF a ==．在 中，由2221212||||||F F BF BF =+，可得222424()()33a a c =+，即得2295c a =，故得c e a ==.14．9+【详解】曲线1y =()()22141x y y +-=≥，由于(),P a b 在曲线上，令()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩， 则()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-，（其中sinϕcos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈--，又π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴当π2θϕ-=时223a b a b --++取得最大值9+15．【详解】（1）因为()()2,0,6,2A B -，所以()4,1M -， 故CM 的方程是143124y x +-=+--，即2350x y +-=； （2）因为直线AC 的斜率303224AC k -==---， 所以经过点B 且与直线AC 平行的直线方程为()3264y x +=--，即34100x y +-=. 16．【详解】（1）由题意知253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得35a c =⎧⎨=⎩，则4b =， 所以双曲线C 的方程为221916x y -=.（2）记双曲线C 的左焦点为0F ，则()05,0F -， 可得0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++，当0,,P F A 三点共线时，0PA PF +最小，且最小值为017AF =.故PA PF +的最小值为17623+=.17．【详解】（1）∵()6,2A m +，()24,8B m +是抛物线C ：()221y px p =>上的两点， ()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，则()()22842m m +=+，整理得216m =，解得4m =±， 当4m =-时，()21224p m =+=，解得113p =<，不合题意； 当4m =时，()212236p m =+=，解得31p =>．故抛物线C 方程为 ．（2）由（1）知C 的焦点为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，故直线l 的方程为32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，得()222293604k x k x k -++=，必有0∆>， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则212236k x x k ++=， 2122236636k PQ x x p k k +=++=+=+，222666PQ k k k +=++≥+226k k =，即2k =所以2PQ k +的最小值为6+18．【详解】（1）椭圆1C ：2212x y +=的焦点坐标为()1,0±，所以椭圆C 的焦点坐标也为()1,0±，即得焦距为22c =，∵椭圆C 过点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭，24a ==，2a =，b = 椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）①设直线l ：x my t =+（0m ≠），由223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩，得()2223463120m y mty t +++-=， 设 ， ，所以122634mt y y m +=-+，212231234t y y m -=+， 所以()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--， 因为直线BM 和BN 的斜率互为相反数，所以0MB NB k k =+，所以()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--，所以()()1221110y my t y my t +-++-=，所以()()1212210my y t y y +-+=.即()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++，所以()640m t -=，因为0m ≠，所以4t =，所以动直线l 恒过x 轴上的定点()4,0T ②由①知，1222434m y y m +=-+，1223634y m =+且()()22Δ24434360m m =-+⋅>，即24m >， 又224==令240n m =->，则24m n =+，（当且仅当316n =时取“＝”）.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，所以2PA PA ⎛= ⎝⎭，即PA 所以点P 的轨迹是以A P 所在曲线的方程为()()2211 3.x y +++= （2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则()121PB PB +=-所以||3PB =，即点P 在圆()()22229x y -+-=上， 则P 是圆()()22113x y +++=和()()22229x y -+-=的交点. 因为P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”，所以直线PQ 即为圆()()22113x y +++=和()()22229x y -+-=的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得0x y +=，故直线PQ 的方程为0x y +=. ②设22(1)(1)3x y +++=的圆心为(11),S --()()22229x y -+-=的圆心为(2,2)T ，半径为3.直线ST 的方程为y x =，得PQ 的中点坐标为(0,0)，点S 到直线0x y +== 则12PQ ==，所以圆H 的方程为221x y +=.假设y 轴上存在点(0),W t 满足题意，设()()1122,,,I x y J x y ，120x x ≠. 若y 轴平分IWJ ∠，则0IM JW k k +=，即12120y t y tx x --+=， 整理得()()21120.x y t x y t -+-=又11223,113y kx y kx =+=+，所以代入上式可得211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=，整理得()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭①，由22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得()22281039k x kx ++-=， 所以，代入①并整理得2203k kt -+=，此式对任意的k 都成立，所以3t =. 故y 轴上存在点()0,3W ，使得y 轴平分IWJ ∠.。
江苏省扬州市邗江区2020-2021学年第一学期高二数学期中考试试卷
2020-2021学年高二年级第一学期期中考试 数 学 （本卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1、已知等差数列{}n a 中，15,652==a a ,若n n a b 2=，则数列{}n b 的前5项和等于 （ ）A.186B. 90C.45D.302、下列函数的最小值为2的是( )A. 1y x x=+ B. 1sin (0)sin 2πy x x x =+<< C. 2222y x x =+++ D. 1tan (0)tan 2πy x x x =+<< 3、南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为 （ ）A. 174B. 184C. 188D. 1604、在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长x (单位m )的取值范围是 （ ）A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]5、记n S 为数列}{n a 的前n 项和，且12+-=n n a S ，则6S 的值为 （ ）A ．665729B ．486665C ．665243D ．6596、已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x ≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能的是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．2-7、已知d c b a ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若d c b a >>,，则bd ac >B ．若0,0>->ad bc ab ，则0>-bd a c C ．若d c b a >>,则c b d a +>+ D ．若0,>>>d c b a 则cb d a > 8、已知数列{}n a 是等差数列,下列结论中正确的是 （ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9、下列命题中，既是存在性命题又是真命题的有（ ）A.至少有一个实数x ，使x 3+1=0B.所有正方形都是矩形C.,x R ∃∈使2104x x -+≤ D.,x R ∃∈使2220x x ++= 10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分如右图所示，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1。
2020-2021学年江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.命题“，”的否定是( )A. ，B. ，C. ，D.，2.抛物线的准线方程为( )A.B. C.D.3.已知等比数列满足，，则( )A. 64B. 81C. 128D. 2434.在长方体中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为( )A. B.C.D.5.设为等差数列的前n 项和，若，则( )A. 56 B. 66C. 77D. 786.在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，D 为的中点，则与DA 所成角的大小为( )A.B.C.D.7.过抛物线的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 在直线上，O 为坐标原点，则的面积为( )A. B.C.D. 98.已知是R 上的奇函数，，，则数列的通项公式为( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知命题p：，，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的( )A. B. C. D.10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线，则( )A. 实轴长为2B. 渐近线方程为C. 离心率为2D. 一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为311.设d，分别为等差数列的公差与前n项和，若，则下列论断中正确的有( )A. 当时，取最大值B. 当时，C. 当时，D. 当时，12.正方体中，E是棱的中点，F在侧面上运动，且满足平面以下命题正确的有( )A. 侧面上存在点F，使得B. 直线与直线BC所成角可能为C.平面与平面所成锐二面角的正切值为D. 设正方体棱长为1，则过点E、F、A的平面截正方体所得的截面面积最大为三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是__________.14.四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为________________ .15.无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”．若为“和谐递进数列”，且，，，则__________；__________.16.已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为______.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2024学年江苏省扬州中学高二上学期期中考数学试题及答案
江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.经过(A 、()1,0B -两点的直线的倾斜角为（ ）A.π6 B.π3C.2π3D.5π62. 抛物线22x py =的准线方程是2y =，则实数p 的值为（ ）A. 8- B. 4- C. 4D. 83. 已知(),P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则x y +的值可能是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 164. 若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭5. 已知12,F F 是椭圆 221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，则2MNF 的周长为（ ）A. 10B. 16C. 20D. 266. 已知抛物线2:16C y x =，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，M 是射线BA 上异于A ，B 的动点，圆1C 与圆2C 分别是OMA 和OMB △的外接圆（O 为坐标原点），则圆1C 与圆2C 面积的比值为（ ）A 小于1B. 等于1C. 大于1D. 与M 点的位置有关.7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A. 221124y x -= B. 223144y x -=C. 22144x y -= D. 221164y x -=8. 已知点()2,4M ，若过点()4,0N 的直线l 与圆()22:69C x y -+=交于A 、B 两点，则MA MB +的最大值为（ ）A. 12B. C. 10D. 6二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）9. 已知直线2:(1)10l a a x y ++-+=，其中R a ∈，则（ ）A. 直线l 过定点(0,1)B. 当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直C. 当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D. 若直线l 与直线0x y -=10. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ）A. 2,1a c ==B. 已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C. 12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D. 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（ ）A. 34PQ k =- B. 121=x x C. 254PQ =D. 1l 与2l 之间的距离为412. 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（ ）A. 2212PF PF -的最小值为8C. 若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D. 若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 最小值为6.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>____．14. 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.15. 阿基米德是古希腊著名数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的右焦点为(3,0)F ，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为(2,1)-，则该椭圆的面积为_____________.16. 已知圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，两圆交于,P Q 两点，其中P 点坐标为(3,2)，已知两圆半径的乘积为132，则k 的值为___________.的的四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. 已知方程2214x y m+=（R m ∈且0m ≠）（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标.18. 已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．19. 已知圆C 经过()()1,4,5,0A B 两点，且在x 轴上截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线10x y -+=对称，求过点()3,0且与圆M 相切的直线方程.20. 已知双曲线：()2211551x y m m m -=<<--的一个焦点与抛物线C ：()220y px p =>的焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：8xty =+交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O .21.已知直线:R)l y kx k =+∈，与双曲线22:13x C y -=左支交于A ，B 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若OAB（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2.（1）求椭圆C 方程；（2）点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点()04P ，且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，探究直线,BM AN 的交点是否在一条定直线0l 上，若存在，求出该直线0l 的方程；若不存在，请说明理由.的的江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1. 经过(A 、()1,0B -两点的直线的倾斜角为（ ）A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】求出直线AB 的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则0πα≤<，且tan α==，故π3α=.故选：B.2. 抛物线22x py =的准线方程是2y =，则实数p 的值为（ ）A. 8- B. 4- C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的准线求得p 的值【详解】由题意可得：22p-=，则4p =-故选：B3. 已知(),P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则x y +的值可能是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】A【解析】【分析】根据题意，可设12cos ,5sin x y θθ==，得到13sin()x y θϕ+=+，求得x y +的取值范围，即可求解.【详解】由椭圆22114425x y +=，可设12cos ,5sin x y θθ==，其中[]0,2πθ∈，则12cos 5sin 13sin()x y θθθϕ=+=++，其中12tan 5ϕ=，因为1sin()1θϕ-≤+≤，所以1313x y -≤+≤，即x y +的取值范围为[]13,13-，结合选项，可得A 符合题意.故选：A.4. 若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（ ）A 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.【详解】依题意，方程220x y x y a +-++=可以表示圆，则22(1)140a -+->，得12a <；由点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部可知：2221210a +-++>，得4a >-.故142a -<<.故选：C5. 已知12,F F 是椭圆 221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，则2MNF 的周长为（ ）A. 10 B. 16C. 20D. 26【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义可得122MF MF a +=，122NF NF a +=，代入即可求出答案.【详解】由椭圆的定义可得：122MF MF a +=，122NF NF a +=，.则2MNF 的周长为：22112244520MN MF NF MF NF MF NF a ++=+++==⨯=.故选：C .6. 已知抛物线2:16C y x =，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，M 是射线BA 上异于A ，B 的动点，圆1C 与圆2C 分别是OMA 和OMB △的外接圆（O 为坐标原点），则圆1C 与圆2C 面积的比值为（ ）A. 小于1 B. 等于1C. 大于1D. 与M 点的位置有关【答案】B 【解析】【分析】求出,A B 的坐标，由对称性可得OB OA =，OBA OAB ∠=∠，设OAM △，OBM 的外接圆半径为12,R R ，由正弦定理得到12sin OM R OAB =∠，22sin OMR OBA=∠，故12R R =，故面积比值为1.【详解】由题意得，抛物线2:16C y x =的焦点坐标为()4,0F ，将4x =代入2:16C y x =中，8y =±，不妨令()()4,8,4,8A B -，由对称性可知,A B 两点关于y 轴对称，OB OA =，OBA OAB ∠=∠，设OAM △，OBM 的外接圆半径为12,R R ，当点M 在A 点上方时，()12sin sin πsin OM OM OM R OAM OAB OAB===∠-∠∠，当点M 在A 点上方时，12sin OMR OAB=∠，同理22sin OMR OBA=∠，因为OBA OAB ∠=∠，所以12R R =，所以圆1C 圆2C 面积的比值为1.故选：B7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A. 221124y x -= B. 223144y x -=C. 22144x y -= D. 221164y x -=【答案】B 【解析】【分析】首先根据题意得到22222b c a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.【详解】设双曲线的一个焦点为()0,c ，一条渐近线方程为a y x b=，则焦点到渐近线的距离2d b ===，所以2222224234b a ca b c a b=⎧⎧⎪=⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，即双曲线方程为：223144y x -=.故选：B8. 已知点()2,4M ，若过点()4,0N 的直线l 与圆()22:69C x y -+=交于A 、B 两点，则MA MB + 的最大值为（ ）A. 12B. C. 10D. 6【答案】A 【解析】【分析】设AB 中点(),P x y ，根据垂径定理可得点P 的轨迹方程，进而可得MP的取值范围，又2MA MB MP +=，即可得解.【详解】设AB 中点(),P x y ，则()6,CP x y =- ，()4,NP x y =-，所以()()2640CP NP x x y ⋅=--+= ，即()2251x y -+=，所以点P 的轨迹为以()5,0E 为圆心，1为半径的圆，所以11ME MP ME -≤≤+，5ME ==，所以46MP ≤≤，又2MA MB MP +=，所以MA MB +的最大值为12，故选：A.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）9. 已知直线2:(1)10l a a x y ++-+=，其中R a ∈，则（ ）A. 直线l 过定点(0,1)B. 当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直C. 当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D. 若直线l 与直线0x y -=【答案】ABD 【解析】【分析】坐标代入方程检验判断A ，根据垂直的条件判断B ，求出两坐标轴上截距判断C ，求出平行线间距离判断D ．【详解】选项A ，把坐标(0,1)代入直线方程而立，A 正确；选项B ，1a =-时直线l 方程为10x y -+=，斜率是1，直线0x y +=斜率是1-，两直线垂直，B 正确；选项C ，0a =时直线方程为10x y -+=，在x 轴上截距为=1x -，在y 轴上截距为1y =，不相等，C 错；选项D ，211a a ++=即0a =或1-时，直线l 方程为10x y -+=与直线0x y -=平行，距离为d ==D 正确．故选：ABD ．10. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ）A 2,1a c ==B. 已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C. 12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D. 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上【答案】ABD.【解析】【分析】逐项代入分析即可求解.【详解】根据222a b c =+之间的关系即可求解，故选项A 正确；根据2221,22,2c e b a b c a ====+即可求解，故选项B 正确；12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12，只能确定12,2c a c e a ===，不能求椭圆E 标准方程，故选项C 不正确；设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上，所以()2222224,09c c b c b a =-+=+==，即可求出椭圆E 标准方程,故选项D 正确.故选：ABD.11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（ ）A. 34PQ k =-B. 121=x xC. 254PQ = D. 1l 与2l 之间的距离为4【答案】BC【解析】【分析】由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =，由韦达定理得124y y =-，进而求得121=x x ，可判断B ；先求点P 的坐标，再结合124y y =-可得点Q 的坐标，然后利用斜率公式即可判断A ；根据抛物线的定义可知12Q x p P x ++=，可判断C ；由于1l 与2l 平行，所以1l 与2l 之间的距离12d y y =-，可判断D .【详解】由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =得2440y my --=，则124y y =-，所以()212121616y y x x ==，所以121=x x ，故B 正确；点P 与M 均在直线1l 上，则点P 的坐标为(1,14)，由124y y =-得24y =-，则点Q 的坐标为(4,4)-，则4141344PQ k --==--，故A 错误；由抛物线的定义可知，121254244PQ x x p =++=++=，故C 正确；1l 与2l 平行，1l ∴与2l 之间的距离125d y y =-=，故D 错误.故选：BC.12. 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（ ）A. 2212PF PF -的最小值为8B. 212PF PF OP -为定值C. 若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D. 若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6.【答案】AB【解析】【分析】设00(,)P x y ，由2221208PF PF x -=，可判定A 正确；化简2122PF PF OP -=，可判定B 正确；设直线l 的方程为x my n =+，联立方程组，结合Δ0=，得到2213n m =-，在化简123y y =-，可判定C 不正确；根据通经长和实轴长，可判定D 错误.【详解】由题意，双曲线2213y x -=，可得1,a b ==2c ==，所以焦点12(2,0),(2,0)F F -，且1222PF PF a -==，设00(,)P x y ，则01x ≥，且220013y x -=，即220033=-y x ，双曲线C的两条渐近线的方程为y =，对于A 中，由()][()22222212000002288PF PF x y x y x ⎡⎤-=++--+=≥⎣⎦，所以A 正确；对于B中，2221200()PF PF OP x y -=-+2200(33)x x =-+-2000(21)(21)(43)2x x x =+---=（定值），所以B 正确；对于C 中，不妨设1122(,),(,)M x y N x y ，直线l 的方程为x my n =+，联立方程组2213x my n y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(31)6330m y mny n -++-=，若直线l 与双曲线C 相切，则22223612(31)(1)0m n m n ∆=---=，整理得2213n m =-，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =M的纵坐标为1y =，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =N的纵坐标为2y =，则点,M N的纵坐标之积为21222233(13)33113y n m mm y ---===-=--所以C 不正确；对于D 中，若点Q 在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为226b a=，若点Q 在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为226a =<，所以D 错误.故选：AB.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>____．【答案】y =【解析】【分析】由c e a ===b a =，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>c e a ===222b a =，所以b a =，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>渐近线方程为：b y x a =±=.故答案为：y =14. 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.【答案】1,14⎛⎫-⎪⎝⎭##()0.25,1-【解析】【分析】作出图象，结合题意可知A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，所求距离之和最小，此时P 点的纵坐标为1，代入抛物线即可求得P 点的坐标.【详解】根据题意，由y 2＝－4x 得p ＝2，焦点坐标为(－1，0)，作出图象，如图，.因为PF 等于P 到准线的距离PQ ，所以PF PA PQ PA AQ +=+≥，可知当A ，P 及P 到准线垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，此时点P 的纵坐标为1，将y ＝1代入抛物线方程求得14x =-，所以点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭.15. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的右焦点为(3,0)F ，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为(2,1)-，则该椭圆的面积为_____________.【答案】【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程2121221212y y x x b x x y y a-+=-⋅-+，再结合222a c b -=即可求解出a 、b ，进而求出面积.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，记AB 的中点为M ，即(2,1)M -，因为AB 的中点为M ，所以由中点坐标公式得121242x x y y +=⎧⎨+=-⎩，因为直线AB 过椭圆焦点()3,0F ，所以直线AB 斜率为121201132y y k x x --===--，又因为A ，B 在椭圆22221x y a b+=上，的所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x y y a-+=-⋅-+，代值化简得222b a =，因为椭圆22221x y a b+=的焦点为()3,0F ，所以22a b 9-=，得a =，3b =，由题意可知，椭圆的面积为ab π=.故答案为：.16. 已知圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，两圆交于,P Q 两点，其中P 点坐标为(3,2)，已知两圆半径的乘积为132，则k 的值为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可设1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，(0)m >，由P 在两圆上，将坐标代入对应圆的方程整理，易知,a b 是22(64)130m r m r -++=的两个根，进而求直线12C C 的斜率，再根据直线12C C 、(0)y kx k =>倾斜角的关系求k 值.【详解】由题设，圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，且一个交点P (3,2)，∴1C 和2C 在第一象限，若,a b 分别是圆1C 和圆2C 的半径，可令1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，(0)m >，∴222222(3)+(2){(3)+(2)ma a a mb b b --=--=，易知：,a b 是22(64)130m r m r -++=的两个根，又132ab =，∴213132m =，可得m =12C C k =，而直线12C C 的倾斜角是直线(0)y kx k =>的一半，∴1212221C C C C k k k ==-.故答案为：【点睛】关键点点睛：分析圆心的坐标并设1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，结合已知确定,a b 为方程的两个根，应用韦达定理求参数m ，进而求12C C 斜率，由倾斜角的关系及二倍角正切公式求k 值.四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. 已知方程2214x y m+=（R m ∈且0m ≠）（1）若方程表示焦点在y 上椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标.【答案】（1）163m = （2）4m =-，()±【解析】【分析】（1）根据题中条件及离心率公式直接计算即可；（2）根据题中条件得4m =-，进一步计算得到c 的值，即可求解.【小问1详解】因为方程为焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b ==则离心率12c e a ===，解得163m =故163m =【小问2详解】由题意得 4m =-，c ===故焦点坐标为()±18. 已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．【答案】（1）250x y +-=（2）2340x y -+=【解析】的.【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程.（2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果.【小问1详解】由341102380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 和2l 的交点为(1,2)M ．直线l 还经过点()3,1P ，∴l 的方程为211231y x --=--，即250x y +-=．【小问2详解】由直线l 与直线3250x y ++=垂直，可设它的方程为230x y n -+=．再把点(1,2)M 的坐标代入，可得260n -+=，解得4n =，故直线l 的方程为2340x y -+=.19. 已知圆C 经过()()1,4,5,0A B 两点，且在x 轴上的截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线10x y -+=对称，求过点()3,0且与圆M 相切的直线方程.【答案】（1）()22116x y -+=（2）3x =或3490x y --=【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的一般式方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设圆C 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，令0y =，可得20x Dx F ++=，则122x x D +=-=，将()()1,4,5,0A B 代入可得，116402550D E F D F ++++=⎧⎨++=⎩，解得2015D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以圆C 方程为222150x y x +--=，即()22116x y -+=.【小问2详解】圆C 的圆心()1,0C ，圆M 的圆心与()1,0C 关于10x y -+=对称，∴设圆M 的圆心为(),M a b 则11022111a b b a +⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，圆M 的标准方程为：()()221216x y ++-=，若过点()3,0的直线斜率不存在，则方程为3x =，此时圆心()1,2C -到直线3x =的距离为314r +==，满足题意；若过点()3,0且与圆C 相切的直线斜率存在，则设切线方程为()3y k x =-，即30kx y k --=，则圆心到直线30kx y k --=4，解得34k =，所以切线方程为39044x y --=，即3490x y --=，综上，过点()3,0且与圆C 相切的直线方程为3x =或3490x y --=.20. 已知双曲线：()2211551x y m m m -=<<--的一个焦点与抛物线C ：()220y px p =>的焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：8x ty =+交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O .【答案】（1）28y x =（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.（2）直线l 与抛物线联立后，利用韦达定理求出0OA OB ⋅= 即可得证.【小问1详解】由双曲线方程()2211551x y m m m -=<<--知其焦点在x 轴上且焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F ，所以2(2,0)F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，得242p p =⇒=，所以抛物线C 的方程为28y x =.【小问2详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y 联立22886408x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，2644640t ∆=+⨯>由韦达定理得128y y t +=，1264y y =-所以12121212(8)(8)OA OB x x y y ty ty y y ⋅=+=+++ 21212(1)8()64t y y t y y =++++2(1)(64)8(8)640t t t =+-++=所以OA OB ⊥ ，所以以AB 为直径的圆经过原点O .得证21. 已知直线:R)l y kx k =+∈，与双曲线22:13x C y -=的左支交于A ，B 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若OAB （O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值.【答案】（11k <<（2）k =【解析】【分析】（1）设点坐标，联立方程组，根据根与系数的关系求解；（2）通过OAB 面积求解出12x x -，从而求解出k 的值.【小问1详解】依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组22330y kx x y ⎧=+⎪⎨--=⎪⎩，整理得：()221390,k x ---=因为直线:R)l y kx k =∈，与双曲线22:13x C y -=的左支交于A ，B 两点，所以()2212212130361090130k k x x k x x ⎧-≠⎪=->⎪⎪⎪-⎨=>⎪-⎪⎪+=<⎪⎩ ，解得210,13k k ><<1k <<，【小问2详解】设点O到直线:R)l y kx k =∈的距离为d，则d =，212OAB S AB d x ==-=- ，又因为S =，所以1212,5x x -=又因为12125x x -==，代入12212913x x k x x -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩125，整理得4236210k k+-=1k <<，解得k =，此时直线l的斜率k.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2.（1）求椭圆C 方程；（2）点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点()04P ，且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，探究直线,BM AN 的交点是否在一条定直线0l 上，若存在，求出该直线0l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22:184x y C += （2）存在，1y =【解析】【分析】（1）由椭圆离心率可得222a b =，再将(2代入椭圆的方程可得228,4a b ==，即可求出椭圆的方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为:4y kx =+，联立直线MN 和椭圆的方程求出两根之积和两根之和，设直线AN 的方程和直线BM 的方程，两式联立求得交点的纵坐标的表达式，将两根之积和两根之和代入可证得交点在一条定直线上.【小问1详解】，即c e a ===，所以2212b a =，所以222a b =，又因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2，所以224212b b +=，解得：228,4a b ==，所以椭圆C 方程为22184x y +=.【小问2详解】因为()()0,2,0,2A B -，设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为:4y kx =+，联立方程221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221216240k x kx +++=，()()222Δ164241264960,k k k =-⨯⋅+=->得232k >则1212221624,1212k x x x x k k -+=⋅=++直线AN 的方程为：2222y y x x --= ，直线BM 的方程为：1122y y x x ++=，联立两直线方程消元：()()2112112122222226y x kx x x y y y x kx x x -+-==+++ 法1：由()221216240k x kx +++=解得：12x x ==，代入化简，2123y y -===-+，解得：1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法2：由韦达定理得1221612k x x k-=-+代入化简()()22222222224162824211212242324612612k k x k k x y k k k y k k x x k -⎛⎫+- ⎪--+-++⎝⎭===-+++++，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法3：由1212221624,1212k x x x x k k -+=⋅=++，得()121232x x kx x -+=⋅代入化简()()1211223221232362x x x y y x x x -++-==-+-++，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法4： 代()11,M x y 点进椭圆方程得2211184x y +=化简得()()221111221844y y x y +-=-=进而得到()()1111222y x y x -=+，代入化简()()121222222y y y y x x ----=+⋅转化为韦达定理代入()()()()1212121222222222y y kx kx y y x x x x ----++-==+⋅⋅()22221212122241622422412122412k k k k x x k x x k k x x k ⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⎡⎤-+++++⎣⎦⎝⎭==⋅+22222243248211224312k k k k k -++-⋅+=-+，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.。
江苏省扬州市2020版高二上学期期中数学试卷(I)卷
江苏省扬州市2020版高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高一上·葫芦岛月考) 不等式的解集为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·惠东月考) 已知满足约束条件，则的最大值为（）A . 2B . 0C .D .3. （2分） (2017高三上·赣州期中) 方程有解，则a的最小值为（）A . 2B .C . 1D .4. （2分） (2016高二上·自贡期中) 以下对于几何体的描述，错误的是（）A . 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球B . 一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥C . 用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台D . 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱5. （2分）如图，在正三角形ABC中， D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，G，H，I分别为DE，FC，EF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥，则异面直线BG与IH所成的角为（）A .B .C .D .6. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .7. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二上·淄川期末) 设a、b是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A . a3+b3＞a2b+ab2B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2019高三上·广州月考) 若定义在R上的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“k～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为________.① 是一个“k～特征函数”；② 不是“k～特征函数”；③ 是常数函数中唯一的“k～特征函数”；④“ ～特征函数”至少有一个零点；10. （1分）(2020·甘肃模拟) 已知四边形为矩形, ,为的中点,将沿折起,得到四棱锥 ,设的中点为 ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:① 平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得 .其中正确命题的序号为________．（写出所有正确结论的序号）11. （1分）等边三角形ABC的三个顶点在一个O为球心的球面上，G为三角形ABC的中心，且OG= ．且△ABC的外接圆的面积为，则球的体积为________．12. （1分） (2016高一下·蓟县期中) 若不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则c+b=________．13. （1分）(2018·河南模拟) 已知实数，满足不等式组，则的最小值为________14. （1分）(2020·漳州模拟) 已知正方体的棱长为4，点P是的中点，点M在侧面内，若，则面积的最小值为________.15. （1分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积的比是________ ．三、解答题 (共4题；共32分)16. （2分）(2017·临翔模拟) 全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）的子集个数为（）A . 1B . 3C . 8D . 417. （10分） (2016高二上·武邑期中) 如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D 是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．18. （10分）(2018·辽宁模拟) 设函数 .（1）设的解集为集合，求集合；（2）已知为集合中的最大自然数，且（其中为正实数），设 .求证： .19. （10分） (2019高一上·长春期中) 设函数．（1）当时，解不等式：；（2）当时，存在最小值，求的值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共32分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、。
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2020-2021学年高二上学期数学期中试卷一、单选题（每小题5分，共8题）1．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是（ ） A ．32,10x R x x ∀∈--> B ．32,10x R x x ∀∈--< C ．32,10x x x ∃∈-->R D ．32,10x R x x ∃∈--<2．抛物线218y x = 的准线方程为（ ） A ．132y =-B ．2y =-C ．2x =-D ．132x =-3．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64B ．81C ．128D ．2434．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ===，，，则直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ） A ．3 B ．3 C ．155D ．105设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若41012222a a a ++=，则14S =（ ） A ．56 B ．66 C ．77 D ．786．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，D 为11A C 的中点，则1BC 与DA 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．907．过抛物线x y 82=的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 在直线2=y 上，O 为坐标原点，则AOB 的面积为（ ） A ．310B ．45C ．922D ．9 8．已知3)21()(-+=x f x g 是上的奇函数,++=)1()0(n f f a n )1()1(f nn f +-+ ,*∈N n ,则数列}{n a 的通项公式为（ ）A ．1+=n a nB ．13+=n a nC ．33+=n a nD ．322+-=n n a n二、多选题（每小题5分，漏选得3分，错选不得分，共4题）9．已知命题2:,40p x R x ax ∀∈++>，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ）A ．[1,1]a ∈-B ．(4,4)a ∈-C ．[4,4]a ∈-D ．{}0a ∈10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=，则（ ）A ．实轴长为2B ．渐近线方程为3y x =±C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为311．设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A ．当15n =时，n S 取最大值 B ．当30n =时，0n S = C ．当0d >时，10220a a +> D ．当0d <时，1022a a >12．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为22D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为52三、填空题（每小题5分，其中15题第一空2分，第二空3分）13．已知命题“x R ∃∈，210mx mx -+≤”是假命题，则实数m 的取值范围是______. 14．四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V AB C --的平面角为_____________．15．无穷数列}{n a 满足：只要),(*N q p a a q p ∈=，必有11++=q p a a ，则称}{n a 为“和谐递进数列”.若}{n a 为“和谐递进数列”，且,1,3,1421===a a a 3298=a a ，则7a =_________；2021S =_________.16．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则4321e e +的最小值为 . 四、解答题（17题10分，其余每题12分）17．设命题p ：实数x 满足()()20x a x a --<，其中0a >；命题q ：实数x 满足()()216220xx --≤．（1）若2=a ，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（1）求与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点)6,72(的双曲线的标准方程；（2）已知椭圆)0()3(22>=++m m y m x 的离心率322=e ，求m 的值．19．在①n n b na =；②2,log ,n n n a n b a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；③()()21221log log n n n b a a ++=.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答.问题：已知数列{}n a 是等比数列，且11a =，其中1a ，21a +，31a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记________，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.已知2AB AD PA PB ====，22PD =. （1）求点B 到面PAD 的距离； （2）求二面角P BD A --的正切值.21．已知数列{}n a 满足1220n n a a +-+=，且18a =. （1）证明：数列{2}n a -为等比数列；（2）设1(1)(21)(21)n n n n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，n m T ≥恒成立，求m 的取值范围.22．已知点F 是椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆于,M N 两点，当直线l 过C 的下顶点时，l 的斜率为3，当直线l 垂直于C 的长轴时，OMN 的面积为32． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当2MF FN =时，求直线l 的方程；（Ⅲ）若直线l 上存在点P 满足,,PM PF PN 成等比数列，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．参考答案1．C 2.B 3.A 4.C 5.C 6.A 7.B 8.C 9.AD 10.BC 11.BC 12.AC13. 04m ≤< 14. 60° 15.1 2020+6743 16. 63+ 17.（1）)4,2(；（2）]2,1[．（1）当2=a 时，由0)4)(2(<--x x ，得}42|{<<=x x p . 由0)22)(162(≤--xx，所以}41|{≤≤=x x q . 因此x 的取值范围是)4,2(；（2）可得{}2p x a x a =<<，{}14Q x x =≤≤， 若p 是q 的充分不必要条件,所以P 真包含于q. 当=P ∅即0a ≤时，因为0a >不成立； 当P ≠∅即0a >时，124a a ≥⎧⎨≤⎩[]11,22a a a ≥⎧⇒⇒∈⎨≤⎩， 故a 的取值范围是[]1,2.18.（1）161422=-y x （2）m=6（1）∵双曲线与双曲线141622=-y x 有相同焦点，∴设所求双曲线方程为：141622=+--λλy x ，（﹣4＜λ＜16），∵双曲线过点)6,72(，∴1461628=+--λλ，∴λ＝2或λ＝﹣24．（舍）∴所求双曲线方程为161422=-y x ．（2）椭圆方程可化为223x y mm m +=+1， 因为m ()233m m mm m +-=++＞0，所以m 3m m +＞， 即a2＝m ，b23m m =+，c==由322=e ，得32232=++m m ，解得m ＝6， 所以m ＝6． 19.（1）12n na ；（2）答案见解析.（1）设数列{}n a 的公比为q ，因为1a ，21a +，31a +成等差数列，()213211a a a ∴+=++，又因为11a =，所以22(1)2q q +=+，即220q q -=，所以，2q或0q =（舍去），所以，12n na .（2）由（1）知12n n a ，选择条件①，则12n n b n -=⋅，01212122222n n T n -∴=⨯+⨯+⋯+⨯， 12222122222n n T n ∴=⨯+⨯+⋯+⨯， 01212212121222n n n T n -∴-=⨯+⨯+⋯+⨯-⨯2221222(12)2112n n n n n -=-⨯=-⋅-- 22(21)21n n T n ∴=-⋅+.由（1）知12n na ，选择条件②，则12,1,n n nb n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以()()()022222123221n n T n -=++++⋯++-()0222222(1321)n n -=++⋯++++⋯+-214(121)4114233-+-=+=+--n n n n n . 由（1）知12n na ，选择条件③，则1(1)nb n n ，211112232(21)n T n n ∴=++⋯+⨯⨯+ 111111223221n n =-+-+⋯+-+1212121nn n =-=++，2221n nT n ∴=+.20．（12.解：（1）∵2PA PB AB ===，2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=， 则AD PA ⊥，∵AD AB ⊥，PA AB A =，∴AD ⊥平面PAB ，∴12222PAB S =⨯⨯⨯=△12222PADS =⨯⨯=△， 设点B 到平面PAD 的高为h ，由B PAD D PAB V V --=得1133PAD PAB S S h AD =⋅⋅△△即1223h ⋅⋅=，∴h =（2）如图所示，取AB 中点O ，连接PO ，作OE 垂直于BD ，连接PE ， 在PAB △中，2PA PB AB ===，∴PO AB ⊥，由（1）知AD ⊥平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，∴PO AD ⊥， 而AB AD A ⋂=，AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PO BD ⊥，又∵OE BD ⊥，∴BD PE ⊥，又AE PE E ⋂=，∴BD ⊥平面POE ，∴PEO ∠为二面角P BD A --的平面角，PO ==1144OE AC ==⋅=，在POE △中，90POE ∠=︒，∴3tan 62POPEO OE===∠， 即二面角P BD A --的正切值为6.21.（1）由题意得()1222n n a a +-=-，化简整理，结合定义，即可得证． （2）由（1）可得322nn a =⨯+，代入可得()()()()()11132211121212121nnnnn n nn b ++-⨯+⎛⎫==-+ ⎪++++⎝⎭，分别讨论n 为奇数和偶数时n T 的表达式，结合单调性，便可求出m 的取值范围． 【详解】（1）证明：因为1220n n a a +-+=，所以122n n a a +=- 即()1222n n a a +-=-，则()*1222n n a n N a +-=∈-从而数列{}2n a -是以6为首项，2为公比的等比数列（2）解：由（1）知1262n n a --=⨯，即322nn a =⨯+所以()()()()()()()()11113?221111212121212121nnnnnn n n nn nn a b +++-+-⎛⎫===-+ ⎪++++++⎝⎭当n 为偶数时，22311111111112121212121212121n n n n n T -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++++--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112121321n n ++=-+=-++++ 当n 为奇数时，22311111111112121212121212121n n n n n T -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112121321n n ++=--=--+++ 当n 为偶数时，111321n n T +=-++是递减的，此时当2n =时，n T 取最大值29-，则29m ≥-；当n 为奇数时，111321n n T +=--+是递增的，此时13n T <-，则13m ≥-.综上，m 的取值范围是2,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22.(Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ20y ±-=；（Ⅲ）详见解析．解：（Ⅰ）由题设：b c =232b c a =，解得：2,a b ==，所以椭圆C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）当直线l 与x 轴重合时，可得3MF FN =，不合题意； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为：1x ty =+， 设()()1122,,,M x y N x y ，联立2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩， 消去x 整理得：()2234690t y ty ++-=， 有122634t y y t -+=+①，122934y y t -=+②， 由2MF FN =，得122y y =-③，联立①②③得2222729(34)34t t t --=++，解得：t =，所以直线l 20y ±-=．（Ⅲ）设()00,P x y ，当直线l 与x 轴重合时，因为点P 在椭圆外，所以002,2x x +-同号， 由2PM PN PF ⋅=， 得()()()2000221x x x +-=-，解得：052x =， 当直线l 与x 轴不重合时， 由（Ⅱ）知122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，因为10PM y =-，20PN y y =-，0PF y =， 因为点P 在椭圆外，所以1020,y y y y --同号， 由2PM PN PF ⋅=， 得()()210200y y y y y --=， 整理得：()120120y y y y y -+=， 即022*******t y t t ---=++， 解得：032y t =， 代入直线l 方程1x ty =+，得：052x =， 所以点P 在定直线52x =。