一类线性项前系数可变号的高阶中立型泛函微分方程的周期解
一类中立型微分方程的渐近概周期温和解
一类中立型微分方程的渐近概周期温和解
1 渐近概周期温和解
渐近概周期温和解可以简单地理解为具有一类中立型微分方程（Neutral-Type Differential Equation）的渐近概周期解。
它可以帮助我们解决复杂的数学问题，或者是解决那些具有维数过高的难以求解的系统问题。
最早我们发现的这一理论思想来自于司马懿，他在封建时代发展出了一套弥足珍贵的渐近概周期解模型，这一模型给复杂的系统问题提供了简洁而可行的解决方案。
2 中立型微分方程
中立型微分方程是一种特殊的种类，它将求解中涉及到的变量划分为三类：空间变量，时间变量和模块变量。
其中空间变量是指系统中变动的空间参数，例如位置、速度等；时间变量则指随着时间从而变化的参数；而模块变量则是指每一个细微的模块参数，其中包括了定域、定调、定形和定度等模块参数。
3 渐近概周期温和解的求解
针对不同类型的中立型微分方程，渐近概周期温和解的求解也有所差异。
首先，需要对系统参数进行划分、确定，并将系统拆解为各个模块；接着，使用拆分后参数为基础，研究系统的空间变化规律，建立系统动态模型；最后，使用模型分析出满足定域、定调、定形和定度的渐近概周期温和解，从而为复杂系统求解提供可行方案。
总之，渐近概周期温和解是一类中立型微分方程的渐近概周期解，它的出现为复杂的系统提供了可行的求解方案。
渐近概周期温和解的
求解需要对变量进行划分，并根据划分后变量构建模型，最终求解出
满足一定条件的渐近概周期温和解。
一类高阶多时滞中立型微分方程的2t周期解
一类高阶多时滞中立型微分方程的2t周期解解决二次多时滞中立型微分方程（2t-order Neutral Delay Differential Equation）是一个重要的形式，它包括多极（polynomial）和低次数（low-order）方程。
2t次多时滞中立型微分方程的2t周期解的求解是一个具有挑战性的任务，也是一个解决特定问题的有用工具。
二次多时滞中立型微分方程的2t周期解一般可以用Laplace-Carley变换法来解决。
Laplace-Carley变换法涉及到一组参数，如时间参数、变换参数、常数参数和系数参数，这些参数必须赋值才能求解该方程。
首先，使用Laplace变换将微分方程转换为简单的积分形式，然后使用Carley变换解决积分方程。
通常情况下，2t次多时滞中立型微分方程的2t周期解通常可以分解为两个独立的积分，其分解方程如下：α(t) = ∫t₀tαᵢ(s)ds + βᵢ(s)ds其中αᵢ(s)和βᵢ(s)为Carley变换中的参数。
在这里，αᵢ(s)表示第i个滞后时间参数，而βᵢ(s)表示第i个变量参数。
对于不同的2t次多时滞中立型微分方程，αᵢ(s)和βᵢ(s)的取值有所不同，如果正确的参数不被选择，则求解的周期解就会出错。
根据已知的参数，可以在数值上求解2t次多时滞中立型微分方程的2t周期解。
使用Laplace-Carley变换法求解2t次多时滞中立型微分方程的2t周期解效率极高，因为它允许快速计算2t次多时滞中立型微分方程的2t周期解，而且这种方法不需要为积分方程设定初值。
总之，2t次多时滞中立型微分方程的2t周期解是一个复杂的问题，但它可以通过Laplace-Carley变换法得到解决，这使得解决变得相对简单。
中立型泛函微分方程的周期解的开题报告
中立型泛函微分方程的周期解的开题报告
题目：中立型泛函微分方程的周期解
学科：数学
研究背景：
中立型泛函微分方程是一种描述一些系统动力学行为的数学模型，其中系统的输出速
率取决于其历史行为及当前状态的函数关系。
例如，在控制理论中，这种方程常常被
用于模拟各种自适应控制系统以及传感器网络。
在物理学和化学等领域中，也有一些
问题可以被建模为中立型泛函微分方程。
周期解在控制系统、生物学、生态学等领域中具有重要的应用价值。
对于中立型泛函
微分方程的周期解的研究可以帮助我们更深刻地理解这些现象和掌握这些系统的特性。
研究目的：
本论文旨在研究中立型泛函微分方程的周期解，并探讨如何利用周期解来描述中立型
泛函微分方程的系统动力学行为。
研究方法：
本论文将从以下三个方面进行研究：
1. 建立中立型泛函微分方程的周期解的存在唯一性定理。
2. 对于已存在周期解的中立型泛函微分方程，研究其稳定性和局部或全局吸引性。
3. 探讨如何通过周期解来描述中立型泛函微分方程的系统动力学行为，例如周期的长度、周期解的相位以及它们与系统参数之间的关系等。
预期结果：
通过研究中立型泛函微分方程的周期解，可以更全面、深入地了解和掌握这些系统的
特性。
我们的研究可以帮助更好地理解控制系统、生物学、生态学等领域中这些现象
的本质，同时也可以为实际问题的解决提供一些指导和参考。
一类高阶中立型泛函微分方程的周期解
第４ 期
王海莲 ， 王 良龙 ： 一类高阶中立型泛 函微分方程的周期解
。 １ ５・
［ （ ｆ ）＋ｃ （ ｔ —ｆ ） ］ ” ＋ （ （ ｔ ） ） （ ｆ ）＋
（ （ ｔ ） ） （ ｔ ）＋ｇ （ ｔ ， （ ｔ 一 ） ）＝Ｐ （ ｔ ） （ ２ ）
（ Ｒ ） Ｉ （ ） ｌ ≤Ｈ ， Ｖ ∈Ｒ， ｌ （ ）Ｉ ≤ ，
因为 ｘ （ ｏ ）＝ （ Ｔ ） ， 所 以存 在 ∈ ［ ０ ， Ｔ ］ ， 使得
（ ） ＝０ ， 从而 有
定义线性算子 ： 三： — ｚ， （ ｔ ） 一 ’ （ ｔ ）和 非 线性 算 子
Ｊ ７ ｖ： 叶 Ｚ， （ ｔ ）一 Ｐ （ ｔ ）一 （ （ ｔ ） ） （ ｔ ）一
定理 １ 如果 存在正 数 Ｄ， 。 ， 和 ， 满 足
（ Ｒ ）Ｉ （ ） ｌ ≤Ｈ ， Ｖ ｘ∈Ｒ， Ｉ （ ） ｌ ≤ ，
Ｖ ∈ Ｒ：
ｇ （ Ｉ （ ￡ ＋ｓ ） ｄ ｏ ｔ （ ｓ ） ）＝Ｐ （ ｔ ）
Ｊ —ｒ
的周期 解存 在性 问题 。 文献 ［ ７ ］研 究 了具有 无穷
设Ｓ （ ）： — 使得 ｓ （ 下 ） （ ｔ ）： （ ｔ 一下 ） ，
则 易知 方程 （ １ ）可写 为
（ ，＋ｃ ５ （ 丁 ） ） ＝Ｎ ｘ （ ３ ）
ｔ ａ ｘ ｌ － ２ （ ） Ｉ ≤ｆＪ ＿ １ ’ （ ｚ ） Ｉ ｄ ｔ ， Ｅ［ Ｏ ， 州 Ｊ ｏ
（ Ｒ２ ）当 ｔ∈ Ｒ和 Ｉ Ｉ ≥ Ｄ时 ｇ （ ｔ ， ） ＞０；
（ Ｒ ３ ）当 ｔ ∈Ｒ且 ≤一Ｄ 时 ， ｇ （ ｆ ， ）≥ 一肘， 则 当 日ｌ ＋ｒ一 ２ ＋ Ｉ ｃ Ｉ ＜１ 时， 方程
一类二阶具偏差变元中立型泛函微分方程周期解的存在性
一类二阶具偏差变元中立型泛函微分方程周期解的存在性郭立祥;鲁世平;杜波;梁峰【摘要】本文研究了一类二阶具偏差变元的中立型泛函微分方程周期解的存在性问题.利用J.Mawhin重合度拓展定理,得到了关于中立型泛函微分方程周期解存在的结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2010(030)005【总页数】9页(P839-847)【关键词】具偏差变元;中立型;周期解;重合度理论【作者】郭立祥;鲁世平;杜波;梁峰【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000;江苏淮阴师范学院数学系,江苏,淮阴,223300;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000【正文语种】中文【中图分类】O175.6具偏差变元中立型泛函微分方程周期解问题一直是人们广泛关注的研究课题,已有很多研究成果,如文献[1,3–5,7].文献[1]研究了方程在|b|/=1条件下得到了算子(Dx)(t)=x(t)−bx(t−s)有逆算子D−1以及当x∈UCb(R,R)时,有文献[5]进一步研究了具偏差变元的微分方程得到了算子其中r,c∈R是常数,且|c|1,∀t∈ [0,T],有连续有界的逆算子eA−1以及(1)(2)(3)本文在此基础上将研究算子A:CT−→ CT,(Ax)(t)=x(t)−c(t)x(t−τ),其中τ∈R是非负常数,∀t∈R,得出了A有连续有界的逆算子A−1及其相关的性质,并且利用J.Mawhin重合度拓展定理进一步研究如下具偏差变元的中立型泛函微分方程周期解的存在性,其中τ,T∈R为非负常数,u(t)≥0,g(x)为R上的连续函数,c(t)∈C2(R,R),且c(t),α(t),u(t)和p(t)均为R上以T为周期的连续函数.本文引入以下记号：以及易知CT,C1T均为Banach空间.定义线性算子引理2.1如果c0＜1或σ＞1,则A有连续有界的逆算子A−1,且满足(1)[A−1f](t)=(2)R|(A−1f)(t)|dt≤(3)(Ax)′′=x′′(t)−c′′(t)x(t−τ)−2c′(t)x′(t−τ)−c(t)x′′(t−τ),证(1)考虑算子A:CT→CT,[Ax](t)=x(t)−c(t)x(t−τ),[Ax](t)=f(t),∀t∈[0,T].(i)当c0＜1时.从算子B的定义可知以及因此所以A有连续有界的逆算子A−1,并且以及(ii)当σ＞1时,定义线性算子从(i)可知,E有连续逆算子E−1:CT→CT,并且另一方面,从[Ax](t)=x(t)−c(t)x(t−τ),有所以[Ax](t)=−c(t)(Ex)(t−τ),令[Ax](t)=f1(t),从而得到容易看到(A−1f1)(t)=x(t)=那么结合σ＞1可知算子A有连续的逆算子因此结论(1)是正确的.另一方面从(1)的证明过程易知(2)和(3)显然成立.定义线性算子以及非线性算子N:→CT,易知KerL其中是常数,并且ImL=因此ImL是CT中的闭集并且dimKerL= codimImL=1.所以算子L是指标为零的Fredholm算子.定义投影算子P:CT→ KerL,[Px](t)=(Ax)(0)=(Ax)(T),和因此, ImP=KerL和KerQ=ImL.令表示LP的逆算子,那么由于ImQ与KerL同构,则存在同构映射J:ImQ→KerL.引理2.2 如果Ω⊂CT是一个有界开集,那么,非线性算子N在上是L-紧的.证 (1)从Q和N的定义可知,QN()是CT中的有界开集.(2)现在我们来证明L(I−Q)N()是C中的一个相对紧集.任取序列{yn}⊂L(I−Q)N(),则存在一个序列{xn}⊂使得∀t∈[0,T],n=0,1,2,···.那么存在常数ρ1,ρ2＞0,使得|N(y)|0＜ρ1,|QN(y)|0＜ρ2,∀y∈因此结合引理2.1可知|yn|0≤M∗,其中那么是有界的.现在,我们来证明{yn}在Ω中是等度连续的.不失一般性,假设c0＜1.令那么,考虑其中也有其中令f1(t)=因为c(t)∈C2(R,R),所以存在使得从(2.6),(2.7),(2.8)和(2.9)式可知,让0＜δ(ε)得到由Arzela-Ascoli’s定理可知,在上是相对紧的.从(1)和(2)可知非线性算子N在是L-紧的.引理 2.3[3]设g∈CT,u∈CT,函数t−u(t)存在唯一反函数γ(t),∀t∈R,则g(γ(·))∈CT,其中引理2.4[8]设X,Y均为Banach空间,L:D(L)⊂X→Y是指标为零的Fredholm算子,Ω⊂X是有界开集,N:Ω→Y是Ω上的L-紧算子,且下列条件成立(1)LxλN x,∀x∈∂Ω∩D(L),λ∈(0,1),(2)NxImL,∀x∈∂Ω∩KerL,(3)deg{QN,Ω∩KerL,0}/0.则方程Lx=Nx在∩D(L)上至少存在一个周期解.定理3.1 假设Γ(t)＞0,若存在常数r＞0,T＞0,D＞0,δ＞0,使得下列条件满足(A1)xg(x)＞0,|x|＞D,(A2)则当c2T2+2δrT2+2c1T+c0＜1时,其中c0,c1,c2如(2.1),(2.2)式所定义,方程(1.1)至少存在一个T-周期解.证设x(t)为方程(3.1)的任意T-周期解,考虑方程其中L,N别由(2.3)和(2.4)式所定义,则令若则方程(1.1)的周期解存在性等价于方程的周期解存在性,其中易知将(3.2)式两端在[0,T]上同时积分得由于u(0)=u(T),结合引理2.3易见为连续的T-周期函数,于是由积分中值定理知一定存在ξ∈[0,T]使得由(A1)可知由于ξ∈R,故一定存在整数m及t0∈[0,T],使得ξ=mT+t0,从(3.5)式可知|x(t0)|= |x(ξ)|≤D,因此另一方面,从定理的假设c2T2+2δrT2+2c1T+c0＜1可知,存在ε＞0,使得对于这样的ε,结合(A2)可知存在ρ＞0,使得当x＞ρ时,令从(3.4)式可得由于所以其中从(3.2),(3.4),(3.9),(3.10)式以及可知又由x′(0)=x′(T)可知,存在η使得x′′(η)=0,所以结合(3.7)和 (3.11)式,得到所以其中结合(3.8)式可知l1＜1,因此所以令Ω={x|x∈CT,|x|0＜M0+1},(3.12),(3.13)式及(A2)可知引理2.4中的(1),(2)和(3)均满足,又由引理2.2可知N在上是L-紧的,所以由引理2.4可知方程(1.1)至少有一个T-周期解.例考虑下列方程相应于方程(1.1),有由定理3.1知(3.14)至少存在2π-周期解.【相关文献】[1]Zhang Meirong.Periodic solutions of linear and quasilinear neutral functional diferential equations[J].J.Math.Anal.Appl.,1995,189(2):378–392.[2]Li Yongkun.Periodic solutions of the Li´enard equation with deviationarguments[J].J.Math.Research and Exposition,1998,18(4):565–570.[3]Lu Shiping,Ge Weigao.Existence of positive periodic solutions for neutral functional diferential equation with multiple deviating arguments[J].Appl.Math.ChineseUniv.,2002,17B(4):377–381.[4]Lu shiping,Ren Jingli,Ge Weigao.Problems of periodic solutions for a kind of second order neutral functional diferential equation[J].Applicable Analysis,2003,82(5):392–410. [5]Lu Shiping,Ge Weigao,Zheng Zuxiu.Periodic solutions to neutral functional diferentialequation with multiple deviating arguments[J]put.,2004,152:17–27. [6]Xiao Bing,Liu Bingwen,Huang Lihong.Periodic solutions of a Li´enard-type equation with delays[J]. Ann.of Dif.Eqs.,2005,21(3):460–464.[7]Liu Xiping,Jia Mei,Yang Liu,Ge Wegao.Periodic solutions for neutral Li´enard equation with a statement-dependent deviation variable[J].Ann.Dif.Eqs.,2005,21(3):353–356.[8]Gaines R E,Mawhin J L.Coincidence degree and nonlinear diferential equation[M].Berlin: Springer-Verlag,1977.。
高阶微分方程的解法
描述经济系统的动态变化 分析经济政策的传导机制 预测经济周期和通货膨胀 研究市场供需关系和价格形成机制
物理：高阶微分 方程可以用来描 述各种物理现象， 如振动、波动、 电磁场等。
工程：高阶微分 方程在许多工程 领域都有应用， 如机械、航空航 天、电子等。
经济：高阶微分 方程可以用来描 述经济系统的动 态变化，如预测 股票价格、分析 市场供需等。
使用方法：通过输入数学公式和命令，可以快速得到问题的解决方案，操作简单方便。
Mathematica：提供符号计算、数值计算和图形可视化等功能，适用于高阶微分方程求解。 Maple：拥有强大的符号计算能力，支持高阶微分方程的符号求解和可视化。 Matlab：除了矩阵计算外，还具备符号计算功能，可以求解高阶微分方程。 Maxima：开源的符号计算软件，适用于高阶微分方程的符号求解和证明。
生物：高阶微分 方程在生物学中 也有应用，如描 述生态系统中的 种群动态、分析 生物体内的生理 过程等。
PART FIVE
MATL AB是一款强大的数学计算软 件，可用于求解高阶微分方程。
MATL AB/Simulink支持多种求解 器，可根据不同的方程类型选择合 适的求解方法。
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汇报人：XX
PART TWO
适用范围：常微 分方程中，当方 程中只有一个变 量时，可以考虑 使用分离变量法。
解题步骤：将方 程中的变量分离 到等号的两边， 然后对两边同时 积分，得到解的 表达式。
注意事项：在使 用分离变量法时， 需要注意初始条 件和边界条件， 以确保解的正确 性和完整性。
举例说明：例如， 对于一阶常微分 方程 dy/dx = y， 通过分离变量法 可以得到解为 y = Ce^x。
中立型高阶泛函微分方程周期解的存在性
（） １
其 中 Ｏ（） ａ （） ｂ（ ）Ｐ ｔ （ ｇｔ ， ｔ ， ｔ ， （） ｉ＝１ ２ … ， ， ， ｍ）为 周期 函数 ， ｔ ， （ ） ｍ 阶导数 ； （ ） 以 为周 期 ａ （） ｂ ｔ 有 ｔ是 『
Ｙ （） ＝Ｙｌ ｔ ， ２ｔ （）
Ｙ （） ：Ｙ （） ｔ ｔ，
一
ａｔ （）
（ — 『 － （ ） （ 一 ）一ｂ ｔｇ （ — 『 ）一ｃ ｔ ｔ ）＋Ａ （） ｔ ）一厂 ｔ一 ）立 ｔ （ （） （ ｔ ） （） —『 （ ｐ ｔ，
其 中 ＝ ｛ ∈ Ｃ （ Ｒ）ｌ （ ＋『 （） ， 一 Ｒ， ｔ ）＝ ｔ ｝Ｙ＝ ｛ Ｙ∈ Ｃ Ｒ， （ ＋『 （ Ｒ）ｌ ｔ ）＝Ｙ ｔ ｝这样 作 映射 Ⅳ显 Ｙ （） ， 然是 错误 的． 在文 献 ［ ］中 ， 者 研 究 了如下 ｎ阶非 线性 常 微分 方程 ， ４ 作 利用 拓 扑度 理 论 ， 出 了其 ２ｒ 期 给 叮周
）
ｍ 一１
ｍ 一１
ｙ
ｍ
ｙ ｆ 一 （） （ ｙ ｆ 丁ｆ） （）＝ ｐｆ 一 ｆ （ 一 （ 一∑ ａ ｆ …（ 一∑６ ｆ …（一 （）． ） ） ｉ） ｆ （ｙ ） ） ｆ 丁ｆ） （ｙ
＝
０
ｉ ＝０
定 义 １ 设 Ｅ为 一 Ｂ ｎ ｃ 间 ， 为有 界集 ， 义 Ｏ （ ａ ａｈ空 Ａｃ 定 ／ Ａ）＝ｉｆ６＞０ｌ 在 Ａ的有 限子 集族 Ａ ， ｎ｛ 存 ｒ
使得 Ａ ＝ｕ Ａ 且 ｄａ Ａ ）≤ ６ 为 Ａ的非 紧性 测度 ，ｉｍ（ ｉｍ（ ｄａ Ａ ）表示 Ａ 的直 径．
定 义 ２ 设 ， 为两 Ｂ ｎ ｃ 间 ， ｃ Ｅ为有 界 开集 ， ｃ 一 】为一 连续 有界 算 子 ， 对 一 】 ， ａ ａｈ空 Ⅳ： ， 若 ＶＡ ｃ
一类中立型泛函微分方程的概周期解的存在唯一性与稳定性
Ｄ ， （ 一 ＿Ｊ ＿ ｘ一 ￡ ） 去１∞ ｅ ‘ ．一 厶
（）ｓ ｓｄ ，
一 ． ￡ 当 一 时 ， ｔ ０ Ｄｘ ，
都无 法 满足 此 条 件 的要 求 ．事实 上 ， 取 （） ｉ￡ 于是 Ｄｘ一 ￡一ｓｎ ， ，
一
而 （） ｓ 一 ￡一 ｉ ｎ
Ｉ ￡ｌ （） ≤ ｌ Ｉ Ｄｘ
ｒｒ
（ ∈ Ｒ） Ｖｔ ，
其中 Ｄ （） ｌ Ｂ ￡ｓｘ ｓｄ． ｘ一 ￡一 （， （ ｓ 此条件既荷刻且又十分难 以验证． ） ） 因为在一般情况下 ， 此
条件 是 无法 满 足 的 ， 非在 Ｂ（，） Ｏ的特 殊情 况下 ．例 如 ， 常 简单 的算子 除 ￡ｓ三 非
（） １
其中 ｔ ∈Ｒ， ∈Ｒ ， Ａ（） Ｂ（，） Ｃ（，） ， ２ 续 函数 矩 阵 ， ￡ 是 Ｒ 到 上 的连 续 函 ｚ 而 ￡ ， ￡ｓ ， ｔｓ 为 ２ 连 ×， ，（） 数 ． Ｃ ］ Ｂ（，） Ｏ且 一１的情 况 下 ， 文 １在 ￡Ｓ三 研究 式 （ ） １ 的周 期解 的存 在性 问题 ．文 ［ ，］ Ｂ（， ２３在 ￡ Ｓ 三 ０的情 况 下 ， 究 式 （ ） 概 周 期解 的存 在 性 问题 ．文 （ １ 究 式 （ ） 概 周 期 解 的 存 在 ） 研 １的 ４研 １的 性、 唯一 性 、 定性 等 问 题 ， 它需 要 的条 件 为 （ ） 在 常数 ｍ＞０ 使 得 稳 但 Ｈ。存 ，
第 ３期
王 全 义 ： 类 中 立 型 泛 函 微 分 方 程 的 概 周 期 解 的存 在 唯 一 性 与 稳 定 性 一
２３ ２
１ 主 要 结 果
对 于方 程 （ ） 假 设 下 述条 件 ： １， （ ）Ａ（） ｔ Ａ。 ｆ是 的概 周 期 函数 矩 阵． （ ，＋Ｓ ， ｆｆ 关 于 ｔ ｆｆ ）Ｃ（，＋ ） 对 ∈Ｄ。Ｄ。 Ｒ 中 的任 一 （ 为 紧子 集 ） 是 一 致 概周 期 函数矩 阵 ． （） ｔ ， ｆ ｔ是 的概 周 期 函数 向量 ． （ Ａ ）概 周期 函数 ｂ ｆ 的平 均值 （）
一类高阶P—Laplacian方程周期解的存在性和唯一性
（ ＋（）卢） ＋蛳 （（ ‘ （ ）（ ｇ （ ￡ （（ 厂（＋ （ ）一） ｍ ） ） ， ） ：
存在唯一周期解的问题， 所得结果推广和改进了 ４ ５ 文［和［ 的结果． ］ 】 这里 （ ＝ ｆ ）
为方 便叙 述 ，全文 约定 ：
／Ｔ 、
（ ３ ）
１
Ｃｌ Ｃ２
一 ’ｓｓ ｓ ｙ）． ） （ｄ
Ａ ：
●
：
Ｃｍ ３
－
Ｃｍ
一
２
（ （… （ ） （ 一ｍ ＝ ０ ０ ） ６ ，－ 一 ） ） ｌ ６） ， ， ， 一
由（ 和（ 可知 Ⅳ在 上是 紧的 ，其中 ｃ ４ ５ ） ） ＿Ｘ是开集． －
中 国分 类 号 ：０１５１ ７． ２ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文章 编 号 ：１０ — ８ ３ （０ ２０ — ０ １０ ０ ７ ６ ８ 一２ １）３ ０ ０ — ６
１ 引言及 引理
关于线性项 前系 （ ） 数为常数的Ｄ ｒ ｇ ｕ ｎ方程周期解的存在性和唯一性的研究已 ｉ 取得了 很多成果 ． 然而， 允许线性项 前系数可变号的却少见．文［ 、 ５ （ ） ４ 文［分别研究了一类具偏差变元的Ｌ ｎｒ型 】 ］ ｉ． ｅｄ ｄ
对方程（ ） １ 两边在 ［ Ｔ积分， ２ ０】 ， 得
胎 。，ｔＴ）／） ０ ， 。 （－ （ ）（ ｔ ３ ） ． （ － ） ＝
根 据积 分 中值定 理 ， ｅｏ ，ｔ ［， ｓ． ．
ｇ ，（） ， 一（）３ （） ０ （ ，（ － ） ＝ 。 （
ｓ， 丽ｉ ２ ２ ｃ Ｔ ， ， ． ｄｉ ｓ－ …
— Ｙ是 指标 为零 的 Ｆｅｈｌ ｒｄ ｏ ｍ
引理 １】 （ ｗ ｉｙ 拓定 理 ）设 ＸＹ都 是 Ｂｎｃ 空 间 ， ＬＤ 【 １ Ｍａ ｈｎ 延 ， ａａｈ ：㈣
一类具有分布时滞的p-Laplacian中立型泛函微分方程周期解的存在性
２ 存 在 常数 ｒ ） Ｉ＞０ ｒ ，２＞０ ｍ ＞０和 ｄ≥ ０， 得 ， 使
（） 。“ ≤ ｇ ／ ≤ ｒ ｌ Ｉ， ／ ＞ｄ ｉ ｒＩｌ （， ） ｕ Ｖ Ｉ ｌ ； ，
（ｉ ｇ Ｈ ＞０ （ ｕ （， ｉ ）ｕ （ ） 或 ｇＩ １ ）＜０ ， １Ｊ ； ） Ｖ Ｉ ＞ｄ １ ，
３ 存 在 常数 ｓ ＞０ 使 得 ） ，
【 （）Ｉ＋ｄ２ 一 ＋ ６］ ） 一 ｔ Ｊ
Ｄ ＝
【’）卢 ｚ ＞ ［二ｔＩ＋ｄ ＜… （ ＋Ｉ ） ’ ｒ卢 。 】 ｍ 。（ Ｊ ． Ｊ
４） 卜歹 条 件 之 一 成 立 ： Ｕ
ｃ ＝・ ｐ， ｉ 一旦 』 ， ｎ
其 ， ｆ． 中 ＝ １
、Ｘ２Ｉ
再将 方程 （ ）改为下 列形式 ２
ｒＡ 。 （）＝ （ｚｔ ）＝ ｌ （） （ｘ ） ｔ （） ｔ
（） ｔ
㈤ ：－ ） （） ｃ（ 一 ） 厂 （ （ ｃ） ）『 ） ｇ０
．
）ｅ ）（ ＋
其 中 ， ＋一 ：１ 得 出 ￡ １ （）： （ （） （ ） 是方程 （ ）的一个 周期 解 ， ．￡ ， ￡ ） ３ 则 。ｔ 是方 程 （ ）的一个 （） ２
ｃ ｎ中立 型泛 函微 分 方程 ｌ ａ
（，（ 一 ￡ ｏ） 十 （ ） ￡＋ （ ｆ ｓ ｍｓ ＝ （ （ ￡ ｃ 一９ （ ｇｆ ＋） （ ） ｅ ） ， ） （ ） ） （ ｄ ）
（ １ ）
的周期 解 的存 在性 问题 ， Ｐ＞ 在 ２的条 件下 ， 用 重 合 度理 论 获 得 了方程 （ ） 少存 在 一 个 周 期解 的充 分 利 １至
从 而推 广 和改进 了文献 ［ ］的相 关结 果． ５
１ 准 备 知 识
一类中立型泛函微分方程的周期解
’ ｝ 口’，
收稿 １期 ：０ ６—１ ３ ２０ ２—１ ９
基金项 目 ： 国家 自然科 学基金项 目（０ ４ ０ ５ 、 １２ １０ ） 教育部 重点项 目（００ ８ 和安徽大 学创新 团队项 目资助． ２５６ ）
作者简 介： 张志信 （ ９ ６ ）男 ， １ ７一 ， 安徽枞 阳人 ， 徽大学数学 与计算科学学 院助教． 安
＝Ａ（） ， ｔ ， ｔ ＋ （）
其 中Ａ（）＝（ ｔ ）… 是 Ｒ上的 凡×ｎ ‘ ｎ（） 连续 函数矩阵， （） Ｒ上 的 ｎ维连续函数 向量且 Ａ（） ｔ ，ｔ 是 ｔ， ） 关于 ｔ 是 一周期 的． ｘ（， ） 记 ｔ 。 是方程 （， ） ｔ １ １ 满足 ｘ（ ， ）＝Ｉ ｔｔ 。。 的基本解矩阵． Ｉ Ｉ 表示 Ｒ 中任一向量
（） ＝Ａ（， ｔ） ｔ ｔ ｔ ） （）＋６ ｔ ｔ ） ， （ （， —ｒ ） （
（）＝Ａ ｔ （）＋ｊ Ｃ ｔ ）（）ｓ （，（） ｔ （） ｔ （， ｓｄ ＋ｇ ｔ ｔ）＋ｂｔ ｓ （）
的周期解存在性问题 ， 中 ｔ ）ｇ ｔ ）∈ Ｃ Ｒ ×Ｒ ， ， （，） Ｃ ｔｓ 其 ， ，（， （ Ｒ ） Ａ ｔ ， （，）为连续 的函数矩阵 ， 且 ｔ ，
果． 如文献［４ １ ］ １ ， 中讨论 了周期系统 ５
（）＝Ａ ｔ （） （）＋ ｔ ， ｔ （， ｔ） ｔ ， ）
（ ＝ （ （ ） ｔ＋ （ｓ （ｄ＋ ｉ，ｔ ．ｆ ） ６ ） ｔ Ａｔ ｔ ） ｆｃｔ）ｓ ｓ ∑ｇｔ（一ｉ） ＋（ ） ， ）（ ， ） （ ｒ ） ｆ （
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２
合肥学院学报 （ 自然 科 学 版 ）
第ｌ ７卷
（＝ ［ Ａ Ａ ）…
一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性
第42卷第2期东北师大学报(自然科学版)Vol.42No.22010年6月Journal of Northeast Normal University (Natural Science Edition )J une 2010[收稿日期] 2009208226[基金项目] 国家自然科学基金资助项目(60775047);湖南省教育科学基金资助项目(060D74).[作者简介] 陈志彬(1965—),男,硕士,副教授,主要从事泛函微分方程研究.[文章编号]100021832(2010)022*******一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性陈志彬1,2,黄立宏2(1.湖南工业大学理学院,湖南株洲412000;2.湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙410082)[摘 要] 运用分析方法,利用Krasnoselskii 不动点理论,对一类中立型泛函微分方程存在周期解进行了定性与定量的研究,获得了这一类泛函微分方程周期解存在性与唯一性的充分条件,推广了相关研究的主要结论.[关键词] 中立型;微分方程;周期解;存在性;唯一性;不动点理论[中图分类号] O 19 [学科代码] 110・51 [文献标志码] A0 引言中立型泛函微分方程在信号传输网络中具有广泛的应用背景,近年来,其周期解的存在性受到数学工作者的高度重视,取得了一系列的成果[128].文献[2]用锥不动点理论,研究了泛函微分方程x ′(t )=-a (t ,x (t ))x (t )+f (t ,x t )(1)周期解的存在性;文献[3]用重合度理论研究了泛函微分方程x ′(t )+ax ′(t -τ)=f (t ,x (t )),(2)在|a |≤1的条件下,存在周期解的问题.研究中立型泛函微分方程周期解的存在性方法,概括起来有:不动点理论、重合度理论和L yap unov 泛函的方法.然而,研究周期解唯一性的工作却较少.本文利用Krasnoselskii 不动点理论及分析的方法,讨论更一般形式的中立型泛函微分方程ddtx (t )+∑n i =1c ix (t -τi)=-a (t )g (x (t ))x (t )+f (t ,x (t -σ(t )))(3)周期解的存在性与唯一性.其中:σ∈C (R ,R );f ∈C ′(R ×R ,R );a ,g ∈C (R ,R +);a ,f ,σ关于t 是T 周期函数,τi >0(i =1,2,…,n )为常量.设函数g ,f 总满足下列条件:(A 1)存在正常数l 1,l 2和L ,使得l 1≤g (x )≤l 2及|f (t ,x 1)-f (t ,x 2)|≤L |x 1-x 2|成立.(A 2)存在非负有界函数ρ(x )∈C (R ,R +)及常数b ∈(0,1),对于任给u i ,v i ∈R (i =1,2),有不等式|u 1g (v 1)-u 2g (v 2)|≤|u 1-u 2|ρ(‖v 1-v 2‖)成立,其中a =1T∫Ta (t )d t ,ω=e Ta,b =∑ni =1|c i |<1.东北师大学报(自然科学版)第42卷(A 3)任意x 1,x 2∈C (R ,R ),有9f (t ,x )9x<0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))>0;或者是9f (t ,x )9x>0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))<0.1 预备知识为了方便,引入如下记号:‖x ‖2=∫T0|x (t )|2d t12,‖x ‖∞=max t ∈[0,T]|x (t )|,‖x ‖0=sup t ∈R|x (t )|,x =x (t )∈C ′(R ,R )|x (t +T )=x (t ),X T (M )=x (t )∈C ′(R ,R )|x (t )∈X ,‖x ‖0≤M .于是,集合X 是以‖x ‖0为范数的Bananch 空间.在函数集X T (M )上,显然有‖x ‖∞=‖x ‖0.引理1[9] 设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),∫T0x (t )d t =0,则如下不等式成立:(1)∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t 12;(2)max t ∈[0,T]|x (t )|≤T 12∫T|x ′(t )|2d t 12.引理2 设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),如果存在正常数d ,对于任意t ∈[0,T ]使得|x (t )|≤d ,则不等式∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t12+T d成立.证明 令X (t )=x (t )-1T∫T0x (t )d t ,由引理1得∫T0|X (t )|2d t12≤T2π∫T|X ′(t )|2d t12,(4)不等式(4)化为∫T0|x (t )|2d t12≤T24π2∫T0|x ′(t )|2d t +1T ∫T 0x (t )d t212≤T 2π∫T0|x ′(t )|2d t 12+1T∫T|x (t )|d t ≤T2π∫T|x ′d t |212+T d.引理3(Krasno selskii 不动点定理) 设K 是Banach 空间X 的有界凸闭集,映射F :K →K 和U :K→K 满足条件:(ⅰ)任意的u ,v ∈K ,有Fu +Uv ∈K;(ⅱ)F 在K 上是全连续的,U 在K 上是压缩的,则F +U 在K 上至少有一个不动点.引理4 设a (t ),p (t )为T 周期函数,对于微分方程x ′(t )=-a (t )x (t )+p (t ),如果∫T0a (τ)d τ>0,则有唯一的T 周期解x (t )=∫t+T texp∫s ta (τ)d τexp ∫Ta (τ)d τ-1p (s )d s.22第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性结论是显然的,略去证明.2 主要结论及证明设u (t )∈X T (M ),对于微分方程dd tx (t )+∑n i =1c iu (t -τi)=-a (t )g (u (t ))x (t )+f (t ,u (t -σ(t ))),(5)如果令y (t )=x (t )+∑ni =1c iu (t -τ1),则方程(5)化为d y (t )d t=-a (t )g (u (t ))y (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -σ(t ))),(6)由引理4知exp∫Ta (τ)g (u (t ))d τ≠1时,方程(6)有唯一的T 周期解y u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.其中W u (s ,t )=exp∫s ta (τ)g (u (τ))d τexp ∫Ta (τ)g (u (τ))d τ-1, 1ωl2-1≤W u (s ,t )≤ωl 2ωl 1-1.于是,方程(5)有唯一的T 周期解x (t )=y u (t )-∑ni =1c iu (t -τi).在X T (M )上定义两个映射U u (t )=-∑ni =1c iu (t -τi),F u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.(7)如果映射U +F 在X T (M )上有不动点x (t ),则x (t )为系统(3)的T 周期解.定理1 对于微分方程(3),在条件(A 2)被满足时,如果条件(A 4)1M‖f ‖0≤1-∑ni =1|c i |ωl 1-1Tωl2-l 2a∑ni =1|c i |成立,则微分方程存在T 周期解.证明 (ⅰ)X T (M )为有界凸闭集.任给x (t ),y (t )∈X T (M )及λ∈(0,1),我们得λx (t +T )+(1-λ)y (t +T )=λx (t )+(1-λ)y (t ),(8)‖λx (t +T )+(1+λ)y (t +T )‖0=‖λx (t )+(1+λ)y (t )‖0≤M ,(9)即X T (M )是凸的.如果函数列{x n (t )}ΑX T (M ),且lim n →0‖x n -x 0‖0=0,根据下列不等式‖x 0‖0≤‖x 0-x n ‖0+‖x n ‖0≤‖x 0-x n ‖0+M ,(10)|x 0(t +T )-x 0(t )|≤|x 0(t +T )-x n (t +T )|+|x n (t )-x 0(t )|+|x n (t +T )-x n (t )|≤2‖x n -x 0‖0,(11)我们可以得到‖x 0‖0≤M ,x 0(t +T )=x 0(t ),即x 0(t )∈X T (M ),于是X T (M )为闭集.其有界性是显然的.所以,综合以上的证明,X T (M )为有界凸闭集.(ⅱ)任意u ,v ∈X T (M ),我们可以证明32东北师大学报(自然科学版)第42卷F u +U v ∈X T (M ).(F u +U v )(t +T )=∫t+T+Tt+TW u (s ,t +T )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t +T -τi )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)=(F u +U v )(t ),(12)对于任意t ∈R ,存在整数n ,使得t =nT +t 1,且t 1∈[0,T ],由于a ,σ和f 都为T 周期函数,结合条件(A 4)可以得到不等式‖F u +U v ‖0M=1Msupt ∈R∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)≤ωl 2M (ωl2-1)sup t ∈[0,T]∫t+T t(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s+1Msupt ∈[0,T]∑ni =1c iv (t -τi)≤Tωl2M (ωl1-1)‖f ‖0+l 2Ma∑n i =1|c i |+∑ni =1|c i |≤1,(13)于是,由(12),(13)两式得F u +U v ∈X T (M ).(ⅲ)U u 是压缩的.因为对于任给u 1,u 2∈X T (M ),有下式成立:|U u 2-U u 1|=∑ni =1c iu 2(t -τi )-∑ni =1c iu 1(t -τ1)≤∑ni =1|c i |‖u 1-u 2‖=b ‖u 1-u 2‖.(14)(ⅳ)映射F u 是全连续的.下面分三步来证明,这里对于任意u ∈X T (M ).首先,F u 是连续的,令m =‖f ‖0+‖a ‖0M ‖ρ‖0∑ni =1|c i |,对于任给的u 1,u 2∈X T (M ),根据条件(A 2)可以得到|F u 1(t )-F u 2(t )|=∫t+T tWu 1(s ,t )(f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c i(g (u 1(s ))u 1(s -τi )-g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s+∫t+Tt(Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t ))(f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c 1g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s≤ωl 2ωl 1-1∫T|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|d s +T aρ(‖u 1-u 2‖∑n i =1|c i |‖u 1-u 2‖+m ∫t+Tt|Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|d s.(15)由于函数W u 和f 连续,于是当‖u 1-u 2‖→0时,一致的有|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|→0,|W u 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|→0.所以,当‖u 1-u 2‖0→0时,有‖F u 1(t )-F u 2(t )‖0→0,即F u 是连续的.其次,易证F X T (M )是一致有界的.最后,我们只要证明F u 是等度连续的即可.对于任意u ∈X T (M ),t ∈[0,T ],得到d F u (t )d t=-a (t )g (u (t ))F u (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -δ(t )))≤‖a ‖0l 2‖F u (t )‖0+M∑ni =1|c i |i+‖f ‖0(16)42第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性一致有界,于是,当|t 1-t 2|→0时,‖F u (t 1)-F u (t 2)‖0→0,即F u (t )是等度连续的.因此,F X T (M )在X 中是列紧集且F 为紧算子,结合F X T (M )在X 中是列紧集且F 为连续紧算子的结论,推得映射F 是全连续的.综合(ⅰ)—(ⅳ),并由引理3知:F +U 在X T (M )上存在不动点,即方程存在T 周期解.定理2 对于微分方程(3),在条件(A 1),(A 3)被满足时,如果条件(A 5)1T1-∑ni =1|c i |>L +1+12π‖ρ‖0‖a ‖0成立,则微分方程至多存在一个T 周期解.证明 设x 1(t ),x 2(t )是微分系统(3)的两个T 周期解,于是有d d t(x i (t )+∑n i =1c ix i(t -τi ))=-a (t )(g (x 1(t ))x i (t )+f (t ,x i (t -σ(t ))),i =1,2.(17)令y (t )=x 1(t )-x 2(t ),由(17)式得d d t(y (t )+∑n i =1c iy (t -τi))=-a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))+f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))).(18)对(18)式两边在[0,T ]上积分,可得∫T[a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))-f (t ,x 1(t -σ(t )))+f (t ,x 2(t -σ(t )))]d t =0.(19)根据(19)式可知,至少存在一点ξ∈[0,T ],使得a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))=0(20)成立.下面分两种情形讨论:(1)当y (ξ)y (ξ-σ(ξ))≠0时,将(18)式乘以y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))得[a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))]y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))=0.(21)由(21)式并结合条件(A 3)有y (ξ)y (ξ-σ(ξ))<0;又因为y (t )在R 上连续,则由介值定理可知,必存在一点η0∈[0,T ]且y (η0)=0.于是,对于任意t ∈[0,T ],则有下式成立:|y (t )|=|∫tη0y ′(s )d s |≤∫T|y ′(s )|d s ≤T ∫T|y ′(s )|2d s12=T ‖y ′‖2,(22)于是有‖y ‖∞=max t ∈[0,T]|y (t )|≤T ‖y ′‖2.根据引理2,并结合(22)式有‖y ‖2≤T2π∫T|y ′(t )|2d t 12+T ‖y ′‖2=1+12πT ‖y ′‖2.(23)由(18)式,并结合(22),(23)式得到‖y ′‖22=∫T|y ′(t )|2d t =-∫Ta (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))y ′(t )d t +∫Ty ′(t )(f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))))d t -∑ni =1c i∫Ty ′(t )y ′(t -τi)d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0∫T0|y (t )|2d t12∫T0|y ′(t )|2d t 12+L ∫T|y ′(t )y (t -σ(t ))|d t +∑ni =1|c i|∫T|y ′(t )y ′(t -τi)|d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0‖y ‖2‖y ′‖2+LT ‖y ′‖2‖y ‖∞+∑ni =1|c i |‖y ′‖22≤1+12π‖ρ‖0‖a ‖0T +L T +∑ni =1|c i |‖y ′‖22.在满足条件(A 5)时,由上不等式可以推得5262东北师大学报(自然科学版)第42卷‖y′‖2=‖y‖2=0.(2)当y(ξ)y(ξ-σ(ξ))=0时,可类似情形(1)的证明,故略去.综合以上的证明,得到x1(t)=x2(t),即方程至多存在一个T周期解.定理证毕.结合定理1和定理2,我们可以得到关于方程(3)存在唯一周期解的结论.推论1 对于微分方程(3),如果条件(A1)—(A5)被满足,则微分方程(3)在X T(M)上存在唯一的T周期解.[参 考 文 献][1] L U S,GE W.On t he existence of periodic solution of neutral functional differential equation[J].Nonlinear Anal,TMA,2003,54:128521360.[2] 彭世国,朱思铭.无穷时滞泛函微分方程的正周期解.[J].数学年刊,2004,25(A):2852292.[3] SELLA E.Periodic solution for some nonlinear differential equations of neutral type[J].Nonlinear Anal,1991,17(2):1392151.[4] CH EN F.Positive periodic solution of neutral Lot ke2Volterra system wit h feedback control[J].Appl Mat h Comput,2005,162:127921302.[5] 宋来敏,周宗福.一类中立型泛函微分方程周期解的存在性[J].大学数学,2006,22(2):16221.[6] 杨喜陶.中立型泛函微分方程的周期解[J].系统科学与数学,2006,26(6):6842692.[7] WAN G QI,DAI BINXIAN G.Three periodic solutions of nonlinear neutral functional differential equations[J].Nonlinear Anal,2008(9):9772[8] 李辉,王艺霏.具有功能性反应的时滞扩散模型的周期解与稳定性[J].东北师大学报:自然科学版,2008,40(2):22229.[9] 郭大钧,孙经先,刘兆理.非线性常微分方程泛函方法[M].济南:山东科技出版社,2006:1282130.Existence and uniqueness of periodic solutions for a classof f unctional neutral differential equationsCH EN Zhi2bin1,2,HUAN G Li2hong2(1.School of Science,Hunan University of Technology,Zhuzhou412000,China;2.College of Mat hematics and Econometrics,Hunan University,Changsha410082,China)Abstract:U sing t he analytical met hod,and utilizing Krasno selskii fixed point t heory,t his paper qualita2 tive and quantitative st udy t he existence of periodic solutions for a class of f unctional neut ral differenti2 al equations,and obtains some sufficient conditions of existence and uniqueness of periodic solution for t his class equations,and p romotes t he literat ure of t he main conclusions.K eyw ords:neut ral;differential equations;periodic solutions;existence;uniqueness;fixed point t heory(责任编辑:陶 理)。
一类中立型微分方程的渐近概周期温和解
一类中立型微分方程的渐近概周期温和解
一类中立型微分方程渐近概周期的温和解是指一类中立型微分方程在不同阶段的解，其表现形式可以用周期曲线表达出来。
一般来说，它们的解是渐近性的，也就是说由近及远的解代替了演绎的解。
1. 定义
一类中立型微分方程渐近概周期温和解是指某个一类中立型微分方程的解以
周期曲线形式出现,它表示系统在逐渐稳定过程中逐渐近似于某一周期解的解法叫
做渐近概周期温和解。
2. 特点
渐近概周期温和解具有以下特点：
（1）渐近概周期温和解只针对某个特定的一类微分方程，比如方程的维数不定性、高等数异构导、紧张度和范径的极限分析等；
（2）渐近概周期温和解的解逐渐会偏离离原始的渐近表达，始终渐近于某一周期解；
（3）渐近概周期温和解的解在时间的不同阶段，可以用周期曲线表示出来。
3. 方法
要解决渐近概周期温和解，需要对一类中立型微分方程逐次进行演绎。
通常
可以采用曲线拟合的方法，逐次调整曲线参数来找到解。
此外，还可以采用解析求解的方法，通过改变方程参数来求出渐近概周期温和解的近似解。
4. 应用
一类中立型微分方程渐近概周期温和解有着广泛的应用，常见的有理想形式、热力学情况下空气物理力学等。
它们通过代数方法可以迅速求出精确解，常见的场景有水力学中的定常流等，可以有效减少计算开支，提高计算效率。
一类中立型积分微分方程概周期解的存在性和唯一性
周期解 的存在唯一性定理 ， 我们也推广了相关文献的主要结果．
１ 主 要 结 果
定义 １ － ： 设 “Ｒ ［ｓ ７］ ：一尺 关于 ｔ 是连续 的， 若对任意的 占 ０ ｊ ＝ （ ＞ 使得任一长为 ｚ ＞ ， ｆｆ ） ０， 的区间上 至少含有一个 ｏ＝ ） ｒ （ 使得对任意 ｔ Ｒ都有 ∈
（ ） 】 Ａ（） ＋ ｃ（ ，） ｓ ＋ Ｐ （ （ 一丁（） ）＋ｂ ｔ ｆ） ＝ ｆ （ ） ｓ （ ） ｆ ￡ ￡ ） （）
，
周期解 的存 在性 和唯一 性 问题．由于周期 函数是 概 周 期 函数 的 特例 ， 因而 讨 论微 分 方 程 的概 周期 解 具有 更
（ ＝ （ ｔ＋ｆ （， ｘｓｄ＋ ｔ （— ｔ） ＋ （ ｔ Ａ （ ！ ｔ ）（）ｓ ｇ（， ｔ （ ） ｂｔ ） ） ） Ｃ ｓ ｒ） ） …
ｆ
（ ＝ （，（ ）（） ！∞ （， ｘｓｄ＋ ， ｔ ｒ ｔ） ＋ （ ｔ Ａ ｔ ｔ ｔ＋ｆ ｔ ）（）ｓ ｇ（ — ）） ｂｔ ） ） ｓ Ｃ ｔ（ （ ）
Ｉ（＋ 一 （ ｌ ｔ ） “ｆ ｕ ）
成立 ， 则称 ｕ ｔ关 于 ｔ （） 是概 周期 的． 定义 ２ 侧 ： 设 ∈Ｒ ， ｔ是 ｎ×ｎ连续 矩 阵 ， 性 系统 Ｑ（） 线
（）＝Ｑ（） （） ｔ ｔｘ ｔ （） ２
在 Ｒ 满足指数型二分性是指存在常数 ｋ ０ ＞ ＞ ， ０及投影 Ｐ使系统（ ） ２ 的基本解矩阵 Ｘ ｔ满足 （）
（． １ 河池学院
［ 摘
要］ 考虑具连续时滞和 离散 时滞的 中立型积分微 分方程
二 ￡ （ （） Ａ ｔ 』 ） ｓ Ｐ （ ｑ￡ ）６） ｄ ）蓍 （ ￡】 （ ） （ｓ （ｄ （ ｔ ＇） ＋（ （＋ 【 ｑ 一 ） ＝ ｍ（＋ ， ） ， －ｉ ） ￡ （
一类线性项前系数可变号的高阶Duffing方程周期解的存在性和唯一性
一类线性项前系数可变号的高阶Duffing方程周期解的存在
性和唯一性
李晓静
【期刊名称】《《数学年刊A辑》》
【年(卷),期】2010(031)005
【摘要】利用重合度理论研究了一类高阶Duffing方程
x^(m)(t)+β(t)x′(t)+g(t,x(t))=e(t),得到了周期解存在性和唯一性的一些结论.有意义的是线性项前的系数β(t)可变号,这在现有的文献中是很少见到的.
【总页数】6页(P631-636)
【作者】李晓静
【作者单位】江苏技术师范学院数理学院江苏常州 213001
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类高阶P—Laplacian方程周期解的存在性和唯一性 [J], 陈仕洲
2.一类线性项前系数可变号的高阶中立型泛函微分方程的周期解 [J], 姚晓洁
3.一类常系数线性泛函微分方程周期解的存在性和唯一性 [J], 沈永敬;
4.一类高阶非线性Duffing型微分方程周期解的存在与唯一性 [J], 宋利梅
5.一类具有可变号系数的ρ-Laplace方程周期解的存在性 [J], 王正新
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Ｅ． ｌ ，
由 Ｈａｅ的 专 著 ， 们 知 道 方 程 （ ） 解 （ ） 足 ∈Ｃ （ Ｒ） Ａ ｌ 我 ２的 ｔ满 Ｒ， 且 ｘ∈Ｃ Ｒ， ． 般 地 ， ￡ 不 一 定 属 （ Ｒ） 一 （ ）
于 ｃ （ Ｒ） 但 是 当 Ｉ Ｉ Ｒ， ， ≠１时 ， ｃ 由引理 １易见 （ ） （）＝ ｘ （） （ ｘ ” ￡ Ａ ” ￡ ， （ ｘ ‘ ｔ Ａ ‘ ｔ ， ｔ Ａ ￡ ，Ａ ） （）＝ ｘ（ ） … Ａ ） （ ）＝ ｘ （ ）
，１， Ｊ ，－ ＝２－ － ｍ
由 （ 式 和 （ ） 知 ， 任 意 有 界 开 集 Ｑ ｃ ， 在 Ｑ 上 是 三一紧 的 ． ４） ５式 对 Ⅳ
引 理 ２９ 若 和 ｙ是 两 个 Ｂａ ａ ｈ空 间 ， Ｄｏ ¨ ｎｅ Ｌ： ｍＬｃ — ｌ是 指 标 为 零 的 Ｆｅ ｈ ｌ 算 子 ， ＣＸ 是 一 个 有 界 ， ｒｄ ｏｍ Ｑ 开 集 ， Ｑ— ｙ在 Ｑ 上 是 一紧 的 ， 且 满 足 下 列 条 件 ： Ⅳ： 并
０ ● ｑ ； Ｃ Ｃ 一 一
４ ３
Ｌ Ｐ＝ Ｉ Ｄ Ｐ Ｇ ￡Ｉ ｎ ｒ： ｎＫ ， —Ｉ ｅｌ ・ｍ 尸—
Ｏ Ｏ ●
Ｃ Ｃ 一 一
５ ４
（ ｔ一
● ● ●
一， ｄ ） ㈤
● ● ●
（ ５）
，
Ｏ ０ Ｏ
；
１
ｑ
０ Ｏ ０
Ｏ １
Ｄ ＝
ｚ＝（ ） １ ０ ，Ａ） ｏ ， （ ） ０ ， ） ０ ）， （１ ２…， ＿ ｒ （ Ｉ（）（ ‘ （）…， ” ）（ ） Ｂ＝ ｂ， ， ｂ １ 一 （ （ ｂ ） ｍ
ｂ ｉ 一南ｒＴｓ 。－ （ ㈤
～ 一 ２一
‘ ￡ 卢（ ） （ ）＋ｇ（ ， ｆ ）＝ｅ ｔ （ ）＋ ￡ ｔ ｔ （ ） （） （ ） １
周 期 解 的 存 在 唯 一 性 ， 中 ｍ 是 偶 数 ， ｅ∈Ｃ（ Ｒ）， 其 ｇ， Ｒ， 卢∈Ｃ （ Ｒ） ｇ（ ＋Ｔ， Ｒ， 且 ｔ ）Ｅｇ（ｔ ， ３ ｅ ｔ ） （ ）， 里 Ｔ＞０是 一 个 给 定 的 常 数 ． （ ＋ 一ｅ ￡ 这
』 ￡ （ ｔ） 卢（ ￡］ ＝ ） （ｇ ， ） 一 ）（ ｄ ０ ［ ） （ ￡ ）ｔ
根 据 积 分 中值 定 理 ， 在 ∈［ ， ］ 使 得 存 ＯＴ ，
卢 ） ）一 （ ｇ（ （ （ （ ） ， ））＝０．
－２ ，
（ ７）
．ｍ＝ １ ）号． （
其 中诸 日 ， 一 曰 一 ， … 是 伯 努 数 ， 由如 下 递 推 公 式 求 得 一 ， 可
Ｂ０ ＝ １， ＢＰ ＝
Ｐ ＋１
‘
引理 ４ 。 设 Ｔ＞ Ｐ＞１ ｄ＞ Ｏ， ， ０是 常 数 ， 果 如
第２ ６卷第 ５期 ２１ ０ １年 １ ０月
柳
州
师
专
学
报
Ｖｏ． ６ Ｎｏ ５ １２ ． Ｏ ｔ２ １ ｃ． Ｏｌ
Ｊｕ ｎ ｌｏ ｉｚｏ ｅｃ ｅｓＣ ｌ ｇ ｏｒ ａ ｆＬｕ ｈ ｕ Ｔ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅ ｅ
类 线 性 项 前 系数 可 变 号 的 高 阶 中立型 泛 函微 分 方 程 的周 期 解
引理 ３
设 （ ）∈Ｃ （ ）， ２， 且 存 在 常 数 Ｔ＞０， 得 ￡ ￡ Ｒ， ｍ 并 使 ∈Ｒ 有 （ ＋ ｔ ）＝ 则 存 在 与 （ ） （ ）， ｔ 无
关 的 （ ｍ）＞０， 得 使
１ Ｉ ’ Ｍ（ ） １ ，＝１ ， ｍ一１ “ ０ ｆ 【ｌ ｄ ｉ ， …， ｍ ｔ ２ ．
其 中 当 Ｆ 为 偶 数 时 ｌ ｒ ｇ
（
Ｍ．ｍ）＝ （
， ，
１
＇…詈＿， ２ ， ｌ ， ，…詈 ｚ ， ， ㈤
ｃ
一
（ ＝ ． ｍ） ÷
其 中 当 ｒ 为 奇 数 时 ｔ ｚ
１０ ３
‰
ｃ
，
… ，
（ ｍ）＝
（
， 一
１ ２， ， ’ …
Ｐ － ｅ， ：ｘ ） ：－ Ｉ ， ● ｑ ｙ； Ｃ Ｃ ：－ ｒｐ Ａ（ ， Ｙ Ｙｍ 吉』 （ 一 一 Ｘ＊ Ｌ ｘ ｏ Ｑ － ／ Ｌ Ｋ ￣ ）ｓ ）
３ ２
显 然 ， Ｑ 为 连 续 算 子 ，ｍＰ＝ＫｅＬ＝Ｒ， ｒ ＝Ｉ Ｐ， Ｉ ｒ ＫｅＱ ｍＬ＝Ｉ Ｉ—Ｑ） 定 义 ｍ（ ．
受 文 ［ ］ 启 发 ， 文 考 虑 下 面 一 类 线 性 项 前 系 数 可 变 号 的 高 阶 中立 型 泛 函微 分 方 程 ５的 本
（ ｔ （ ）一ｃ （ 一 ） ‘’ ｘ ｔ ） ＋卢（ ） （ ）＋ ｔ ｇ（ ， ￡ ）＝ ｔ ｔ ￡ （ ） ｔ （ ） （ ） （ ２）
其 中 ： ．
ｐ 【） ｓ 詈 ｉ ｎ
为 了行 文方便 ， 们 列 出下列 假设 ： 我
（ ） 在常数 ｄ＞ ， Ｈ１存 ０ 使得 ｕ （， ＜ 一 ， Ｉ ｄ． ｇｔ ） Ｖｔ Ｒ， “Ｉ Ｅ （ ） 在常数 ｄ＞ ， 存 ０ 使得 ｕ （， ＜ ， Ｉ Ｉ ｄ． ｇｔ ） Ｖｔ Ｒ， Ｅ
１ 主 要 引 理
本 文 引入下 列记 号 ：
ｃ ＝｛ Ｅｃ（ ） ｔ ） （ ） Ｖｔ ｒ Ｉ Ｒ， ，（ ＋ 一 ｔ ， ∈刚 ， 义范数 ｌ Ｉ＝ ｍ Ｉ （）ｌ Ｖ ！ ｒ 定 Ｉ －Ｉ 。 ａ ｘ ｔ ， ｃ ， ｘ
Ｅ０ ［
ｃ ＝｛ ＥＣ （ 尺） （ ＋ 一 ｔ ， ∈ ， Ｉ 。Ｒ， ， ￡ ） （） Ｖｔ Ｒ｝ 定义 范数 ｝ ｌ ｍｌ ｛ Ｉ， Ｉ｝ Ｖ ｌ ＝ ｔ ｌ Ｉ ， ∈ｃ ． ｌ ｘ ｏ ｏ
的 周 期 解 存 在 唯 一 性 问 题 ， 中 ｍ 是 偶 数 ， Ｒ Ｒ） ， 其 ｇ Ｅ Ｃ（ ＸＲ， ， ｅ∈Ｃ（ ， ， 冗） 卢∈Ｃ （ Ｒ） ｇ（ Ｒ， 且 ｔ＋Ｔ， ）一 ｇ（ ， ， ｔ ） 卢（ ）， （ ）一 ａ（ ）， （ ）一ｅ ｔ ， 里 Ｔ＞０是 一 个 给 定 的 常 数 ， ， 为 常 数 ， ｔ ） 卢（ ＋ ｔ ｔ＋ ｔ ｅ ｔ＋ （）这 ｃ 且
周 期解．
证明
考虑算 子方 程 Ｌ ｘ＝Ａ ， Ｎｘ Ａ∈（ １ ， ０， ） 即
（ ｔ （ ）一ｃ （ 一 ））ｍ ｘｔ ‘ ＋Ａ ｔ ｘ （ ）＋ｘ ｔ ｇ（ ， ￡ 卢（ ） ｔ ａ（ ） ｔ （ ））＝Ａ （ ）． ｅｔ （） ８
对 （ 式 两 边 ０到 ∞ 积 分 得 ８）
显 然 ｃｒ Ｃ ， 都 是 Ｂ ｎ ｅ ａ ａ ｈ空 间 ． 取 Ｘ ＝ｃ ， Ｙ＝Ｃ ， 义 线 性 映 射 定
Ａ： ＿ ｌ， ） ｔ （ ）一 （ 一 ）， Ｄ ｍＬｃ — ｌ， ＝（ ） ｙ ＋ ，（ （ ）＝ ｔ ｔ Ｌ： ｏ ， ’ （ ３）
［ 作者简 介］ 姚晓洁（９０ ）女 ， 融安人 ， １７一 ， 广西 副教授 ， 研究方 向 ： 微分方程 。
１９ ２
引理 １
１ Ｉ ￣Ｉ ）Ｉ ｘ１ Ａ－ － ＜
如果 Ｉ Ｉ ， Ａ存 在 唯一有 界连续 逆 ， ≠１ 则 ｃ 且满 足
， Ｅｙ Ｖ ．
２’ 一㈤ 南 ）Ｉ Ｉａ （
所以方程 （ ） ２ 的解 （） Ｒ ） 由引理 １根据文献 ［ ］ ￡ ∈Ｃ （ ， ． ， ８ 可知 ，ｅ Ｒ， Ｌ＝｛ ： Ｙ Ｉ （）ｓ ０ ， Ｋｒ Ｌ＝ Ｉ ｍ ， ｓｄ ＝ ｝则
是 指 标 为 零 的 Ｆｅ ｈｌ 算 子 ． ｒｄ ｏｍ 定 义 投 影 算 子 Ｐ， Ｑ分 别 为
Ｃ （ Ｒ） ｍ １ （ ＋ ） － （） 且 存 在 一 点 ｔ∈ ［ ］ 尺， ， ， ｔ －ｘ ， 。 Ｏ，
满 足 ｌ（。 ｄ 则 ｔ）Ｉ ，
（ Ｊ） （）ｆ （，ｔ＋ １ Ｉ ｃ ｌ） ｄ， ｒ ｔｄ ｔ Ｊ （ ｃ 一 Ｉ ｄＰ ｍ
，
Ｉ ，ｌ （） ｔ ０ Ｊ ｃ ≠１ ｅ ｔ ｄ ＝ ．
当 ｃ＝０， ￡ （ ）＝１时 ， 程 （ ） 化 为 方 程 （ ） 利 用 重 合 度 理 论 得 到 了 方 程 （ 周 期 解 存 在 唯 一 性 的 充 分 方 ２退 １． ２）
条件 ， 而推广 和改进 文献 ［ ］ 结果 ． 从 ５ 的
其 中 Ｄ ｔｌ＝｛ ＥＣ （ ）， ｔ ）－ｘ ￡ ， ∈Ｒ｝． ｏ ａ ： Ｒ， （ ＋ － （ ） Ｖｔ
定 义 Ⅳ： ｙ为 — Ｎ ￡ ｘ（ ）＝ －／（ ） （ ）一ａ（ ） ｔ （ ） ３ ￡ ￡ ｔ ｇ（ ， ｔ ）＋ｅ ｔ （） （ ４）
［ 收稿 日期 ］０ ｌ ｏ ２ １ — ９一ｌ ｌ ［ 基金项 目］ 国家 自然科学基金（ ０ ７ １３ 。 １６ １３ ）
（ ） ￡ （） ｏ Ｖｔ 卢 （）一 ｔ ， ∈
（ ） （ ）＋ （ ） ０， ∈Ｒ， 卢 ｔ ｔ Ｖｔ
．
ｎ ｔ ０・ ． ）＞ （
（ ）＞０． ｔ
‘Ｅ ｌ ｕ．Ｊ ｌ
２
主 要 结果
定理 １ 假 设 ｍ＝２ ， ｋ ｋ是一个 偶数 ， Ｉ Ｉ ， 且 ＜１ 如果 条 件 （ ） （ ） 立 ， ｃ 和 成 则方 程 （ ） 少存 在 一 个 一 ２至
一
姚
晓
洁
５ ５０ ） ４ ０４
（ 柳州师范高等专科学校 数学与计算机科学系 ， 广西 柳州 摘
要： 利用重合度理论 ， 究一类线性项前系数可变号的高阶 中立型泛 函微分方程的周 期解存在 性问题 ， 到 了 研 得
其周期解存在唯一性的新结果． 有趣 的是 系数／ ｔ可 变号， ３） （ 推广和改进 了已有文献的相关结果．
（） ｉ ≠Ａ Ｎｘ， ∈ａ ｎ ｔｌ， Ｖ ｎ Ｄｏ ａ Ｖ Ａ∈（ １ ； ０， ）
（ｉ Ｑ ≠０， 苣ａ Ｉ ｒ ； ｉ） Ｖ ｎ －ＫｅＬ Ｉ （ｉ） ｅ ｛ ｉ Ｑ ｎＫ ｒ ０｝ ｉ ｄ ｇ ０ｖ， ｉ ｅＬ， ≠０． 则方 程 Ｌ ｘ＝Ｎｘ在 Ｑ 中 至 少 存 在 一 个 解 ．