一类线性项前系数可变号的高阶中立型泛函微分方程的周期解
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其 中 当 Ｆ 为 偶 数 时 ｌ ｒ ｇ
（
Ｍ．ｍ）＝ （
， ，
１
＇…詈＿， ２ ， ｌ ， ，…詈 ｚ ， ， ㈤
ｃ
一
（ ＝ ． ｍ） ÷
其 中 当 ｒ 为 奇 数 时 ｔ ｚ
１０ ３
‰
ｃ
，
… ，
（ ｍ）＝
（
， 一
１ ２， ， ’ …
其 中 ： ．
ｐ 【） ｓ 詈 ｉ ｎ
为 了行 文方便 ， 们 列 出下列 假设 ： 我
（ ） 在常数 ｄ＞ ， Ｈ１存 ０ 使得 ｕ （， ＜ 一 ， Ｉ ｄ． ｇｔ ） Ｖｔ Ｒ， “Ｉ Ｅ （ ） 在常数 ｄ＞ ， 存 ０ 使得 ｕ （， ＜ ， Ｉ Ｉ ｄ． ｇｔ ） Ｖｔ Ｒ， Ｅ
１ 主 要 引 理
本 文 Βιβλιοθήκη Baidu入下 列记 号 ：
ｃ ＝｛ Ｅｃ（ ） ｔ ） （ ） Ｖｔ ｒ Ｉ Ｒ， ，（ ＋ 一 ｔ ， ∈刚 ， 义范数 ｌ Ｉ＝ ｍ Ｉ （）ｌ Ｖ ！ ｒ 定 Ｉ －Ｉ 。 ａ ｘ ｔ ， ｃ ， ｘ
Ｅ０ ［
ｃ ＝｛ ＥＣ （ 尺） （ ＋ 一 ｔ ， ∈ ， Ｉ 。Ｒ， ， ￡ ） （） Ｖｔ Ｒ｝ 定义 范数 ｝ ｌ ｍｌ ｛ Ｉ， Ｉ｝ Ｖ ｌ ＝ ｔ ｌ Ｉ ， ∈ｃ ． ｌ ｘ ｏ ｏ
（） ｉ ≠Ａ Ｎｘ， ∈ａ ｎ ｔｌ， Ｖ ｎ Ｄｏ ａ Ｖ Ａ∈（ １ ； ０， ）
（ｉ Ｑ ≠０， 苣ａ Ｉ ｒ ； ｉ） Ｖ ｎ －ＫｅＬ Ｉ （ｉ） ｅ ｛ ｉ Ｑ ｎＫ ｒ ０｝ ｉ ｄ ｇ ０ｖ， ｉ ｅＬ， ≠０． 则方 程 Ｌ ｘ＝Ｎｘ在 Ｑ 中 至 少 存 在 一 个 解 ．
‘ ￡ 卢（ ） （ ）＋ｇ（ ， ｆ ）＝ｅ ｔ （ ）＋ ￡ ｔ ｔ （ ） （） （ ） １
周 期 解 的 存 在 唯 一 性 ， 中 ｍ 是 偶 数 ， ｅ∈Ｃ（ Ｒ）， 其 ｇ， Ｒ， 卢∈Ｃ （ Ｒ） ｇ（ ＋Ｔ， Ｒ， 且 ｔ ）Ｅｇ（ ， ／（ ＋Ｔ － ／（ ） ｔ ）， ｔ ）－ ３ ｔ ， ３ ｅ ｔ ） （ ）， 里 Ｔ＞０是 一 个 给 定 的 常 数 ． （ ＋ 一ｅ ￡ 这
，
Ｉ ，ｌ （） ｔ ０ Ｊ ｃ ≠１ ｅ ｔ ｄ ＝ ．
当 ｃ＝０， ￡ （ ）＝１时 ， 程 （ ） 化 为 方 程 （ ） 利 用 重 合 度 理 论 得 到 了 方 程 （ 周 期 解 存 在 唯 一 性 的 充 分 方 ２退 １． ２）
条件 ， 而推广 和改进 文献 ［ ］ 结果 ． 从 ５ 的
（）在 数 。一 Ｉ ，得ｇ， 一（ ） ｃｕｖ，ｔ， 存 常 ｃ 号一ｉ 使 ［￡）ｇ，］ 一 。 －ｌ￣ｔ ． ＜ ｃ ｌ （ ￡ （ ） ｌ ，ｖＲ ｔＥ
（ ） 在 常数 Ｃ ＋ 存 ＞ １ ｌ Ｉ ｃ
，
使 得 ［ （， ｇ ）一 （ ，） （ ） ｃ 一 Ｖ￡ ∈Ｒ ｇ ｔｖ ］ ｕ一 ｚ ｌ 『 ， ， ， ．
显 然 ｃｒ Ｃ ， 都 是 Ｂ ｎ ｅ ａ ａ ｈ空 间 ． 取 Ｘ ＝ｃ ， Ｙ＝Ｃ ， 义 线 性 映 射 定
Ａ： ＿ ｌ， ） ｔ （ ）一 （ 一 ）， Ｄ ｍＬｃ — ｌ， ＝（ ） ｙ ＋ ，（ （ ）＝ ｔ ｔ Ｌ： ｏ ， ’ （ ３）
（ ） ￡ （） ｏ Ｖｔ 卢 （）一 ｔ ， ∈
（ ） （ ）＋ （ ） ０， ∈Ｒ， 卢 ｔ ｔ Ｖｔ
．
ｎ ｔ ０・ ． ）＞ （
（ ）＞０． ｔ
‘Ｅ ｌ ｕ．Ｊ ｌ
２
主 要 结果
定理 １ 假 设 ｍ＝２ ， ｋ ｋ是一个 偶数 ， Ｉ Ｉ ， 且 ＜１ 如果 条 件 （ ） （ ） 立 ， ｃ 和 成 则方 程 （ ） 少存 在 一 个 一 ２至
引理 ３
设 （ ）∈Ｃ （ ）， ２， 且 存 在 常 数 Ｔ＞０， 得 ￡ ￡ Ｒ， ｍ 并 使 ∈Ｒ 有 （ ＋ ｔ ）＝ 则 存 在 与 （ ） （ ）， ｔ 无
关 的 （ ｍ）＞０， 得 使
１ Ｉ ’ Ｍ（ ） １ ，＝１ ， ｍ一１ “ ０ ｆ 【ｌ ｄ ｉ ， …， ｍ ｔ ２ ．
Ｐ － ｅ， ：ｘ ） ：－ Ｉ ， ● ｑ ｙ； Ｃ Ｃ ：－ ｒｐ Ａ（ ， Ｙ Ｙｍ 吉』 （ 一 一 Ｘ＊ Ｌ ｘ ｏ Ｑ － ／ Ｌ Ｋ ￣ ）ｓ ）
３ ２
显 然 ， Ｑ 为 连 续 算 子 ，ｍＰ＝ＫｅＬ＝Ｒ， ｒ ＝Ｉ Ｐ， Ｉ ｒ ＫｅＱ ｍＬ＝Ｉ Ｉ—Ｑ） 定 义 ｍ（ ．
ｒ（ Ｉ ｆ
Ｅ． ｌ ，
由 Ｈａｅ的 专 著 ， 们 知 道 方 程 （ ） 解 （ ） 足 ∈Ｃ （ Ｒ） Ａ ｌ 我 ２的 ｔ满 Ｒ， 且 ｘ∈Ｃ Ｒ， ． 般 地 ， ￡ 不 一 定 属 （ Ｒ） 一 （ ）
于 ｃ （ Ｒ） 但 是 当 Ｉ Ｉ Ｒ， ， ≠１时 ， ｃ 由引理 １易见 （ ） （）＝ ｘ （） （ ｘ ” ￡ Ａ ” ￡ ， （ ｘ ‘ ｔ Ａ ‘ ｔ ， ｔ Ａ ￡ ，Ａ ） （）＝ ｘ（ ） … Ａ ） （ ）＝ ｘ （ ）
［ 作者简 介］ 姚晓洁（９０ ）女 ， 融安人 ， １７一 ， 广西 副教授 ， 研究方 向 ： 微分方程 。
１９ ２
引理 １
１ Ｉ ￣Ｉ ）Ｉ ｘ１ Ａ－ － ＜
如果 Ｉ Ｉ ， Ａ存 在 唯一有 界连续 逆 ， ≠１ 则 ｃ 且满 足
， Ｅｙ Ｖ ．
２’ 一㈤ 南 ）Ｉ Ｉａ （
一
姚
晓
洁
５ ５０ ） ４ ０４
（ 柳州师范高等专科学校 数学与计算机科学系 ， 广西 柳州 摘
要： 利用重合度理论 ， 究一类线性项前系数可变号的高阶 中立型泛 函微分方程的周 期解存在 性问题 ， 到 了 研 得
其周期解存在唯一性的新结果． 有趣 的是 系数／ ｔ可 变号， ３） （ 推广和改进 了已有文献的相关结果．
的 周 期 解 存 在 唯 一 性 问 题 ， 中 ｍ 是 偶 数 ， Ｒ Ｒ） ， 其 ｇ Ｅ Ｃ（ ＸＲ， ， ｅ∈Ｃ（ ， ， 冗） 卢∈Ｃ （ Ｒ） ｇ（ Ｒ， 且 ｔ＋Ｔ， ）一 ｇ（ ， ， ｔ ） 卢（ ）， （ ）一 ａ（ ）， （ ）一ｅ ｔ ， 里 Ｔ＞０是 一 个 给 定 的 常 数 ， ， 为 常 数 ， ｔ ） 卢（ ＋ ｔ ｔ＋ ｔ ｅ ｔ＋ （）这 ｃ 且
Ｃ （ Ｒ） ｍ １ （ ＋ ） － （） 且 存 在 一 点 ｔ∈ ［ ］ 尺， ， ， ｔ －ｘ ， 。 Ｏ，
满 足 ｌ（。 ｄ 则 ｔ）Ｉ ，
（ Ｊ） （）ｆ （，ｔ＋ １ Ｉ ｃ ｌ） ｄ， ｒ ｔｄ ｔ Ｊ （ ｃ 一 Ｉ ｄＰ ｍ
关键词 ： 高阶中立型泛 函微分 ； 方程 ； 周期解 ； 唯一性
中图分类号 ． １５ １ ０ ７ ． 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １０ ０ ３—７２ （０ １ ０ ０ ０ ２ １ ）５—０２ ０ １９— ６
引 言
近 年 来 ， 性 项 （ ） 系 数 为 常 数 ｃ的 Ｄ ｆ ｎ 线 前 ｕ ｉｇ方 程 周 期 解 的 存 在 唯 一 性 问 题 的 研 究 已 有 很 多 结 果 ， 如 比
，１， Ｊ ，－ ＝２－ － ｍ
由 （ 式 和 （ ） 知 ， 任 意 有 界 开 集 Ｑ ｃ ， 在 Ｑ 上 是 三一紧 的 ． ４） ５式 对 Ⅳ
引 理 ２９ 若 和 ｙ是 两 个 Ｂａ ａ ｈ空 间 ， Ｄｏ ¨ ｎｅ Ｌ： ｍＬｃ — ｌ是 指 标 为 零 的 Ｆｅ ｈ ｌ 算 子 ， ＣＸ 是 一 个 有 界 ， ｒｄ ｏｍ Ｑ 开 集 ， Ｑ— ｙ在 Ｑ 上 是 一紧 的 ， 且 满 足 下 列 条 件 ： Ⅳ： 并
第２ ６卷第 ５期 ２１ ０ １年 １ ０月
柳
州
师
专
学
报
Ｖｏ． ６ Ｎｏ ５ １２ ． Ｏ ｔ２ １ ｃ． Ｏｌ
Ｊｕ ｎ ｌｏ ｉｚｏ ｅｃ ｅｓＣ ｌ ｇ ｏｒ ａ ｆＬｕ ｈ ｕ Ｔ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅ ｅ
类 线 性 项 前 系数 可 变 号 的 高 阶 中立型 泛 函微 分 方 程 的周 期 解
０ ● ｑ ； Ｃ Ｃ 一 一
４ ３
Ｌ Ｐ＝ Ｉ Ｄ Ｐ Ｇ ￡Ｉ ｎ ｒ： ｎＫ ， —Ｉ ｅｌ ・ｍ 尸—
Ｏ Ｏ ●
Ｃ Ｃ 一 一
５ ４
（ ｔ一
● ● ●
一， ｄ ） ㈤
● ● ●
（ ５）
，
Ｏ ０ Ｏ
其 中 Ｄ ｔｌ＝｛ ＥＣ （ ）， ｔ ）－ｘ ￡ ， ∈Ｒ｝． ｏ ａ ： Ｒ， （ ＋ － （ ） Ｖｔ
定 义 Ⅳ： ｙ为 — Ｎ ￡ ｘ（ ）＝ －／（ ） （ ）一ａ（ ） ｔ （ ） ３ ￡ ￡ ｔ ｇ（ ， ｔ ）＋ｅ ｔ （） （ ４）
［ 收稿 日期 ］０ ｌ ｏ ２ １ — ９一ｌ ｌ ［ 基金项 目］ 国家 自然科学基金（ ０ ７ １３ 。 １６ １３ ）
文 献 ［ — ］ 然 而 线 性 项 前 系 数 可 变 号 的 高 阶 Ｄ ｆｎ １ ４ ． ｕ ｉｇ方 程 周 期 解 的存 在 唯 一 性 问 题 的 研 究 并 不 多 ， 近 ， 最 文 献 ［ ］ 究 了 如 下 一 类 线 性 项 前 系 数 可 变 号 的 高 阶 Ｄ ｆｎ 方 程 ５研 ｕ ｉｇ
－２ ，
（ ７）
．ｍ＝ １ ）号． （
其 中诸 日 ， 一 曰 一 ， … 是 伯 努 数 ， 由如 下 递 推 公 式 求 得 一 ， 可
Ｂ０ ＝ １， ＢＰ ＝
Ｐ ＋１
‘
引理 ４ 。 设 Ｔ＞ Ｐ＞１ ｄ＞ Ｏ， ， ０是 常 数 ， 果 如
周 期解．
证明
考虑算 子方 程 Ｌ ｘ＝Ａ ， Ｎｘ Ａ∈（ １ ， ０， ） 即
（ ｔ （ ）一ｃ （ 一 ））ｍ ｘｔ ‘ ＋Ａ ｔ ｘ （ ）＋ｘ ｔ ｇ（ ， ￡ 卢（ ） ｔ ａ（ ） ｔ （ ））＝Ａ （ ）． ｅｔ （） ８
对 （ 式 两 边 ０到 ∞ 积 分 得 ８）
』 ￡ （ ｔ） 卢（ ￡］ ＝ ） （ｇ ， ） 一 ）（ ｄ ０ ［ ） （ ￡ ）ｔ
根 据 积 分 中值 定 理 ， 在 ∈［ ， ］ 使 得 存 ＯＴ ，
卢 ） ）一 （ ｇ（ （ （ （ ） ， ））＝０．
所以方程 （ ） ２ 的解 （） Ｒ ） 由引理 １根据文献 ［ ］ ￡ ∈Ｃ （ ， ． ， ８ 可知 ，ｅ Ｒ， Ｌ＝｛ ： Ｙ Ｉ （）ｓ ０ ， Ｋｒ Ｌ＝ Ｉ ｍ ， ｓｄ ＝ ｝则
是 指 标 为 零 的 Ｆｅ ｈｌ 算 子 ． ｒｄ ｏｍ 定 义 投 影 算 子 Ｐ， Ｑ分 别 为
；
１
ｑ
０ Ｏ ０
Ｏ １
Ｄ ＝
ｚ＝（ ） １ ０ ，Ａ） ｏ ， （ ） ０ ， ） ０ ）， （１ ２…， ＿ ｒ （ Ｉ（）（ ‘ （）…， ” ）（ ） Ｂ＝ ｂ， ， ｂ １ 一 （ （ ｂ ） ｍ
ｂ ｉ 一南ｒＴｓ 。－ （ ㈤
～ 一 ２一
受 文 ［ ］ 启 发 ， 文 考 虑 下 面 一 类 线 性 项 前 系 数 可 变 号 的 高 阶 中立 型 泛 函微 分 方 程 ５的 本
（ ｔ （ ）一ｃ （ 一 ） ‘’ ｘ ｔ ） ＋卢（ ） （ ）＋ ｔ ｇ（ ， ￡ ）＝ ｔ ｔ ￡ （ ） ｔ （ ） （ ） （ ２）
（
Ｍ．ｍ）＝ （
， ，
１
＇…詈＿， ２ ， ｌ ， ，…詈 ｚ ， ， ㈤
ｃ
一
（ ＝ ． ｍ） ÷
其 中 当 ｒ 为 奇 数 时 ｔ ｚ
１０ ３
‰
ｃ
，
… ，
（ ｍ）＝
（
， 一
１ ２， ， ’ …
其 中 ： ．
ｐ 【） ｓ 詈 ｉ ｎ
为 了行 文方便 ， 们 列 出下列 假设 ： 我
（ ） 在常数 ｄ＞ ， Ｈ１存 ０ 使得 ｕ （， ＜ 一 ， Ｉ ｄ． ｇｔ ） Ｖｔ Ｒ， “Ｉ Ｅ （ ） 在常数 ｄ＞ ， 存 ０ 使得 ｕ （， ＜ ， Ｉ Ｉ ｄ． ｇｔ ） Ｖｔ Ｒ， Ｅ
１ 主 要 引 理
本 文 Βιβλιοθήκη Baidu入下 列记 号 ：
ｃ ＝｛ Ｅｃ（ ） ｔ ） （ ） Ｖｔ ｒ Ｉ Ｒ， ，（ ＋ 一 ｔ ， ∈刚 ， 义范数 ｌ Ｉ＝ ｍ Ｉ （）ｌ Ｖ ！ ｒ 定 Ｉ －Ｉ 。 ａ ｘ ｔ ， ｃ ， ｘ
Ｅ０ ［
ｃ ＝｛ ＥＣ （ 尺） （ ＋ 一 ｔ ， ∈ ， Ｉ 。Ｒ， ， ￡ ） （） Ｖｔ Ｒ｝ 定义 范数 ｝ ｌ ｍｌ ｛ Ｉ， Ｉ｝ Ｖ ｌ ＝ ｔ ｌ Ｉ ， ∈ｃ ． ｌ ｘ ｏ ｏ
（） ｉ ≠Ａ Ｎｘ， ∈ａ ｎ ｔｌ， Ｖ ｎ Ｄｏ ａ Ｖ Ａ∈（ １ ； ０， ）
（ｉ Ｑ ≠０， 苣ａ Ｉ ｒ ； ｉ） Ｖ ｎ －ＫｅＬ Ｉ （ｉ） ｅ ｛ ｉ Ｑ ｎＫ ｒ ０｝ ｉ ｄ ｇ ０ｖ， ｉ ｅＬ， ≠０． 则方 程 Ｌ ｘ＝Ｎｘ在 Ｑ 中 至 少 存 在 一 个 解 ．
‘ ￡ 卢（ ） （ ）＋ｇ（ ， ｆ ）＝ｅ ｔ （ ）＋ ￡ ｔ ｔ （ ） （） （ ） １
周 期 解 的 存 在 唯 一 性 ， 中 ｍ 是 偶 数 ， ｅ∈Ｃ（ Ｒ）， 其 ｇ， Ｒ， 卢∈Ｃ （ Ｒ） ｇ（ ＋Ｔ， Ｒ， 且 ｔ ）Ｅｇ（ ， ／（ ＋Ｔ － ／（ ） ｔ ）， ｔ ）－ ３ ｔ ， ３ ｅ ｔ ） （ ）， 里 Ｔ＞０是 一 个 给 定 的 常 数 ． （ ＋ 一ｅ ￡ 这
，
Ｉ ，ｌ （） ｔ ０ Ｊ ｃ ≠１ ｅ ｔ ｄ ＝ ．
当 ｃ＝０， ￡ （ ）＝１时 ， 程 （ ） 化 为 方 程 （ ） 利 用 重 合 度 理 论 得 到 了 方 程 （ 周 期 解 存 在 唯 一 性 的 充 分 方 ２退 １． ２）
条件 ， 而推广 和改进 文献 ［ ］ 结果 ． 从 ５ 的
（）在 数 。一 Ｉ ，得ｇ， 一（ ） ｃｕｖ，ｔ， 存 常 ｃ 号一ｉ 使 ［￡）ｇ，］ 一 。 －ｌ￣ｔ ． ＜ ｃ ｌ （ ￡ （ ） ｌ ，ｖＲ ｔＥ
（ ） 在 常数 Ｃ ＋ 存 ＞ １ ｌ Ｉ ｃ
，
使 得 ［ （， ｇ ）一 （ ，） （ ） ｃ 一 Ｖ￡ ∈Ｒ ｇ ｔｖ ］ ｕ一 ｚ ｌ 『 ， ， ， ．
显 然 ｃｒ Ｃ ， 都 是 Ｂ ｎ ｅ ａ ａ ｈ空 间 ． 取 Ｘ ＝ｃ ， Ｙ＝Ｃ ， 义 线 性 映 射 定
Ａ： ＿ ｌ， ） ｔ （ ）一 （ 一 ）， Ｄ ｍＬｃ — ｌ， ＝（ ） ｙ ＋ ，（ （ ）＝ ｔ ｔ Ｌ： ｏ ， ’ （ ３）
（ ） ￡ （） ｏ Ｖｔ 卢 （）一 ｔ ， ∈
（ ） （ ）＋ （ ） ０， ∈Ｒ， 卢 ｔ ｔ Ｖｔ
．
ｎ ｔ ０・ ． ）＞ （
（ ）＞０． ｔ
‘Ｅ ｌ ｕ．Ｊ ｌ
２
主 要 结果
定理 １ 假 设 ｍ＝２ ， ｋ ｋ是一个 偶数 ， Ｉ Ｉ ， 且 ＜１ 如果 条 件 （ ） （ ） 立 ， ｃ 和 成 则方 程 （ ） 少存 在 一 个 一 ２至
引理 ３
设 （ ）∈Ｃ （ ）， ２， 且 存 在 常 数 Ｔ＞０， 得 ￡ ￡ Ｒ， ｍ 并 使 ∈Ｒ 有 （ ＋ ｔ ）＝ 则 存 在 与 （ ） （ ）， ｔ 无
关 的 （ ｍ）＞０， 得 使
１ Ｉ ’ Ｍ（ ） １ ，＝１ ， ｍ一１ “ ０ ｆ 【ｌ ｄ ｉ ， …， ｍ ｔ ２ ．
Ｐ － ｅ， ：ｘ ） ：－ Ｉ ， ● ｑ ｙ； Ｃ Ｃ ：－ ｒｐ Ａ（ ， Ｙ Ｙｍ 吉』 （ 一 一 Ｘ＊ Ｌ ｘ ｏ Ｑ － ／ Ｌ Ｋ ￣ ）ｓ ）
３ ２
显 然 ， Ｑ 为 连 续 算 子 ，ｍＰ＝ＫｅＬ＝Ｒ， ｒ ＝Ｉ Ｐ， Ｉ ｒ ＫｅＱ ｍＬ＝Ｉ Ｉ—Ｑ） 定 义 ｍ（ ．
ｒ（ Ｉ ｆ
Ｅ． ｌ ，
由 Ｈａｅ的 专 著 ， 们 知 道 方 程 （ ） 解 （ ） 足 ∈Ｃ （ Ｒ） Ａ ｌ 我 ２的 ｔ满 Ｒ， 且 ｘ∈Ｃ Ｒ， ． 般 地 ， ￡ 不 一 定 属 （ Ｒ） 一 （ ）
于 ｃ （ Ｒ） 但 是 当 Ｉ Ｉ Ｒ， ， ≠１时 ， ｃ 由引理 １易见 （ ） （）＝ ｘ （） （ ｘ ” ￡ Ａ ” ￡ ， （ ｘ ‘ ｔ Ａ ‘ ｔ ， ｔ Ａ ￡ ，Ａ ） （）＝ ｘ（ ） … Ａ ） （ ）＝ ｘ （ ）
［ 作者简 介］ 姚晓洁（９０ ）女 ， 融安人 ， １７一 ， 广西 副教授 ， 研究方 向 ： 微分方程 。
１９ ２
引理 １
１ Ｉ ￣Ｉ ）Ｉ ｘ１ Ａ－ － ＜
如果 Ｉ Ｉ ， Ａ存 在 唯一有 界连续 逆 ， ≠１ 则 ｃ 且满 足
， Ｅｙ Ｖ ．
２’ 一㈤ 南 ）Ｉ Ｉａ （
一
姚
晓
洁
５ ５０ ） ４ ０４
（ 柳州师范高等专科学校 数学与计算机科学系 ， 广西 柳州 摘
要： 利用重合度理论 ， 究一类线性项前系数可变号的高阶 中立型泛 函微分方程的周 期解存在 性问题 ， 到 了 研 得
其周期解存在唯一性的新结果． 有趣 的是 系数／ ｔ可 变号， ３） （ 推广和改进 了已有文献的相关结果．
的 周 期 解 存 在 唯 一 性 问 题 ， 中 ｍ 是 偶 数 ， Ｒ Ｒ） ， 其 ｇ Ｅ Ｃ（ ＸＲ， ， ｅ∈Ｃ（ ， ， 冗） 卢∈Ｃ （ Ｒ） ｇ（ Ｒ， 且 ｔ＋Ｔ， ）一 ｇ（ ， ， ｔ ） 卢（ ）， （ ）一 ａ（ ）， （ ）一ｅ ｔ ， 里 Ｔ＞０是 一 个 给 定 的 常 数 ， ， 为 常 数 ， ｔ ） 卢（ ＋ ｔ ｔ＋ ｔ ｅ ｔ＋ （）这 ｃ 且
Ｃ （ Ｒ） ｍ １ （ ＋ ） － （） 且 存 在 一 点 ｔ∈ ［ ］ 尺， ， ， ｔ －ｘ ， 。 Ｏ，
满 足 ｌ（。 ｄ 则 ｔ）Ｉ ，
（ Ｊ） （）ｆ （，ｔ＋ １ Ｉ ｃ ｌ） ｄ， ｒ ｔｄ ｔ Ｊ （ ｃ 一 Ｉ ｄＰ ｍ
关键词 ： 高阶中立型泛 函微分 ； 方程 ； 周期解 ； 唯一性
中图分类号 ． １５ １ ０ ７ ． 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １０ ０ ３—７２ （０ １ ０ ０ ０ ２ １ ）５—０２ ０ １９— ６
引 言
近 年 来 ， 性 项 （ ） 系 数 为 常 数 ｃ的 Ｄ ｆ ｎ 线 前 ｕ ｉｇ方 程 周 期 解 的 存 在 唯 一 性 问 题 的 研 究 已 有 很 多 结 果 ， 如 比
，１， Ｊ ，－ ＝２－ － ｍ
由 （ 式 和 （ ） 知 ， 任 意 有 界 开 集 Ｑ ｃ ， 在 Ｑ 上 是 三一紧 的 ． ４） ５式 对 Ⅳ
引 理 ２９ 若 和 ｙ是 两 个 Ｂａ ａ ｈ空 间 ， Ｄｏ ¨ ｎｅ Ｌ： ｍＬｃ — ｌ是 指 标 为 零 的 Ｆｅ ｈ ｌ 算 子 ， ＣＸ 是 一 个 有 界 ， ｒｄ ｏｍ Ｑ 开 集 ， Ｑ— ｙ在 Ｑ 上 是 一紧 的 ， 且 满 足 下 列 条 件 ： Ⅳ： 并
第２ ６卷第 ５期 ２１ ０ １年 １ ０月
柳
州
师
专
学
报
Ｖｏ． ６ Ｎｏ ５ １２ ． Ｏ ｔ２ １ ｃ． Ｏｌ
Ｊｕ ｎ ｌｏ ｉｚｏ ｅｃ ｅｓＣ ｌ ｇ ｏｒ ａ ｆＬｕ ｈ ｕ Ｔ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅ ｅ
类 线 性 项 前 系数 可 变 号 的 高 阶 中立型 泛 函微 分 方 程 的周 期 解
０ ● ｑ ； Ｃ Ｃ 一 一
４ ３
Ｌ Ｐ＝ Ｉ Ｄ Ｐ Ｇ ￡Ｉ ｎ ｒ： ｎＫ ， —Ｉ ｅｌ ・ｍ 尸—
Ｏ Ｏ ●
Ｃ Ｃ 一 一
５ ４
（ ｔ一
● ● ●
一， ｄ ） ㈤
● ● ●
（ ５）
，
Ｏ ０ Ｏ
其 中 Ｄ ｔｌ＝｛ ＥＣ （ ）， ｔ ）－ｘ ￡ ， ∈Ｒ｝． ｏ ａ ： Ｒ， （ ＋ － （ ） Ｖｔ
定 义 Ⅳ： ｙ为 — Ｎ ￡ ｘ（ ）＝ －／（ ） （ ）一ａ（ ） ｔ （ ） ３ ￡ ￡ ｔ ｇ（ ， ｔ ）＋ｅ ｔ （） （ ４）
［ 收稿 日期 ］０ ｌ ｏ ２ １ — ９一ｌ ｌ ［ 基金项 目］ 国家 自然科学基金（ ０ ７ １３ 。 １６ １３ ）
文 献 ［ — ］ 然 而 线 性 项 前 系 数 可 变 号 的 高 阶 Ｄ ｆｎ １ ４ ． ｕ ｉｇ方 程 周 期 解 的存 在 唯 一 性 问 题 的 研 究 并 不 多 ， 近 ， 最 文 献 ［ ］ 究 了 如 下 一 类 线 性 项 前 系 数 可 变 号 的 高 阶 Ｄ ｆｎ 方 程 ５研 ｕ ｉｇ
－２ ，
（ ７）
．ｍ＝ １ ）号． （
其 中诸 日 ， 一 曰 一 ， … 是 伯 努 数 ， 由如 下 递 推 公 式 求 得 一 ， 可
Ｂ０ ＝ １， ＢＰ ＝
Ｐ ＋１
‘
引理 ４ 。 设 Ｔ＞ Ｐ＞１ ｄ＞ Ｏ， ， ０是 常 数 ， 果 如
周 期解．
证明
考虑算 子方 程 Ｌ ｘ＝Ａ ， Ｎｘ Ａ∈（ １ ， ０， ） 即
（ ｔ （ ）一ｃ （ 一 ））ｍ ｘｔ ‘ ＋Ａ ｔ ｘ （ ）＋ｘ ｔ ｇ（ ， ￡ 卢（ ） ｔ ａ（ ） ｔ （ ））＝Ａ （ ）． ｅｔ （） ８
对 （ 式 两 边 ０到 ∞ 积 分 得 ８）
』 ￡ （ ｔ） 卢（ ￡］ ＝ ） （ｇ ， ） 一 ）（ ｄ ０ ［ ） （ ￡ ）ｔ
根 据 积 分 中值 定 理 ， 在 ∈［ ， ］ 使 得 存 ＯＴ ，
卢 ） ）一 （ ｇ（ （ （ （ ） ， ））＝０．
所以方程 （ ） ２ 的解 （） Ｒ ） 由引理 １根据文献 ［ ］ ￡ ∈Ｃ （ ， ． ， ８ 可知 ，ｅ Ｒ， Ｌ＝｛ ： Ｙ Ｉ （）ｓ ０ ， Ｋｒ Ｌ＝ Ｉ ｍ ， ｓｄ ＝ ｝则
是 指 标 为 零 的 Ｆｅ ｈｌ 算 子 ． ｒｄ ｏｍ 定 义 投 影 算 子 Ｐ， Ｑ分 别 为
；
１
ｑ
０ Ｏ ０
Ｏ １
Ｄ ＝
ｚ＝（ ） １ ０ ，Ａ） ｏ ， （ ） ０ ， ） ０ ）， （１ ２…， ＿ ｒ （ Ｉ（）（ ‘ （）…， ” ）（ ） Ｂ＝ ｂ， ， ｂ １ 一 （ （ ｂ ） ｍ
ｂ ｉ 一南ｒＴｓ 。－ （ ㈤
～ 一 ２一
受 文 ［ ］ 启 发 ， 文 考 虑 下 面 一 类 线 性 项 前 系 数 可 变 号 的 高 阶 中立 型 泛 函微 分 方 程 ５的 本
（ ｔ （ ）一ｃ （ 一 ） ‘’ ｘ ｔ ） ＋卢（ ） （ ）＋ ｔ ｇ（ ， ￡ ）＝ ｔ ｔ ￡ （ ） ｔ （ ） （ ） （ ２）