第五章 控制系统的稳定性

n
Si S j ) S
n ２
(1)
n
S
i 1
n
i
n an 1 ( S1 S 2 S n ) Si an i 1 n an 2 S1S 2 S1S3 S n 1S n Si S j an i j i 1, j 2 n an 3 ( S1S 2 S3 S1S 2 S 4 S n 2 S n 1S n ) an i j k
Ｓ B1 B2
1
n 3


2 Ｓ D1 D2
Ｓ E1
0 Ｓ F1
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系数Ai、Bi的计算，一进行直到其余Ai、Bi …等于0为止。
an 1an 2 an an 3 A1an 3 A ２an 1 A1 B1 an 1 A1 an 1an 4 an an 5 A1an 5 an 1 A3 A B2 ２ an 1 A1 an 1an 6 an an 7 A1an 7 an 1 A4 A B3 ３ an 1 A1
特征方程为： s3 3s 2 2s K 0
ai 0 a2 a1 a3a0
K 0 K 6
0 K 6
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3.Routh判据的特殊情况 (1) 若在Routh阵列表中任意一行的第1个元素为0，而后各元 素不为0，则在计算下一个元素时趋于无穷，将无法进行下去。 此时可用ε趋于0代替，再计算。 4
第五章 系统的稳定性
设计控制系统时应满足多种性能指标，但最重要的技术 要求是系统必须稳定。因为稳定性是系统能正常工作的首 要条件，只有工作稳定才能进一步讨论其他性能指标。 分析系统的稳定性是控制理论的最重要组成部分之一。 控制理论对于判断一个线性定常系统是否稳定提供了多 种方法。 本章着重介绍几种常用的稳定判据，以及提高系统稳定 性的方法。
二阶系统： a2 s
2
a1s a0 0
所以，二阶系统稳定的充要条件：
Ｓ
1 Ｓ
2
a2 a0 a1 a0
Ｓ
0
ai>0
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三阶系统： a3s
3 Ｓ
3
a2 s a1s a0 0
2
a3 a1 a2 a0
Ｓ
1
2
所以，三阶系统稳定的充要条件：
4 3 2
试判断系统的稳定性。
解：ai>0 满足必要条件
4 Routh阵列： Ｓ 1 17 3 Ｓ
5
8 16
Ｓ2 15 5 200 1 Ｓ 15 0 Ｓ 5
由第一列看出：全为正值，故稳定。
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例2.
Βιβλιοθήκη Baidu
s 2s 3s 4s 3=0
稳定的定义： 若一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰 动取消后，经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精 度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则不稳定。
b
b M
c a
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摆
控制系统在实际运行过程中，总会受到外部和内部
的扰动，如火炮射击时，施加给随动系统的冲击负载；
雷达天线跟踪时，突然遇到阵风。如果系统不稳定，就
s 2 s s 2s 1 0 例4：
4 3 2
Ｓ 1 1
3 Ｓ
1
2 2 0( ) 1 2 2 <0
因为第1例各元素符号不完全一
致，系统不稳定，第一列各元素 改变次数为2，所以有2个具有正 实部的根。
Ｓ2
1 Ｓ 0 Ｓ

3
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会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随
时间的推移而发散。 因此，如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳 定的措施，是自动控制的基本任务。
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注意事项： 1.线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件， 而与输入无关。 2.稳定性也与外加扰动无关。
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二、稳定条件
一般反馈系统的传函为：
(2)特征方程的各项系数ai(i=0,…,n)符号都相同，一般ai>0 2.充要条件：Routh阵列中第一列所有项均为正，且值不为0
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Routh阵列表
Ｓ an an -2 Ｓ an 1 an -3
n2 Ｓ A1 A2 n 1 n
an -4 an -6 an -5 an -7 A3 A4 B3 B4
例5： s 2s 2s 2 0
3 2
3 Ｓ 1 1
第一列中除ε外均为正，所以 1 没有正实部的根， Ｓ 行为零， 说明有虚根存在。 实际上：
Ｓ
1 Ｓ
2
2 2
2
0( )
Ｓ0
s3 2s 2 2s 2 (s2 1)(s 2) 0 s 2， j ，临界稳定。
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这种计算一直进行到最后一行被算完为止，S0行仅有一 项且F1=a0。为简化数值运算，可用一个正整数去乘或除某 一整行的所有元素。 Routh判据还说明：实部为正的特征根数等于Routh阵列 中第一列的系数符号改变的次数。
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例1.设控制系统的特征方程式为：
s 8s 17s 16s 5=0
系统处于临界稳定。
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二、Hurwitz判据
设系统特征方程为：
an 1 an 3 an 5 0 an an 2 an 4 0 0 an 1 an 3 0 0 0 an 2 0
an s n an1s n1 a1s a0 0 (an >0)
20 16 16 16 0
4 2
6 Ｓ 1 8 5 Ｓ 2 12
20 16 16 16
Ｓ 2 12
3 Ｓ 0 0
4
Ｓ4 2 12
3 Ｓ 8 24
辅助多项式： A(s) 2s 12s 16

dA( s ) 8s 3 24 s 对A(s)进行求导： ds
ai>0 且 a2 a1 a3a0
a2 a1 a3a0 Ｓ a2
0 Ｓ
a0
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X i ( s)

K s( s 1)( s 2)
X 0 ( s)
例3. 设某反馈控制系统如图所示，试计算使系统稳定的K值范围。
解：系统闭环传函：
K X 0 (s) K s ( s 1)( s 2) G ( s) 3 K X i (s) 1 s 3s 2 2 s K s ( s 1)( s 2)
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5-2. Routh（劳斯）稳定判据 【Hurwitz（赫尔维兹）】
线性定常系统稳定
只有求出全部极点
全部特征根均具有负实部。
判稳
但阶次往往较高（实际工程中），不使用计算机直接求根较 困难（n>4），这样就提出了各种不解特征方程的根，只讨 论特征根的分布，从而判断系统稳定性的方法。
[1884，Routh提出的Routh判据；1895，Hurwitz提出Hurwitz 判据]
4 3 2
4 解：Ｓ 1 3 3 Ｓ 2 Ｓ 1 Ｓ 0 Ｓ
3
2 4 1 3
符号改变一次 2 ……………….
3 ……………….符号改变一次
由第一列看出，改变符号2次，说明闭环系统又2个正实部 的根，故不稳定。
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对于特征方程阶次低(n ≤3)的系统，Routh判据可化为不等式 组的简单形式。
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若 x0 (t ) C 或等幅振荡 临界稳定状态。 但由于参数变化等原因，等幅振荡不能维持
不稳定。
(t )
L
L[ (t )] 1
n Cn Ci C1 C2 X 0 ( s) S S1 S S2 S Sn i 1 S Si
L1 n x0 (t ) Ci e Sit
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一、劳斯判据
1、必要条件：设系统的特征方程为：
an s an1s
n
n
n1
a1s a0 0
an1 n1 a0 a1 s s s ( S S1 )(S S2 ) ( S Sn ) 0 an an an
S ( Si ) S
G(s) GB ( s) 1 G( s) H ( s)
X i ( s)

E (s)
G ( s)
X 0 ( s)
H (s)
设分母=0，可得出系统的特征方程：
1 G( s ) H ( s ) 0
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(一) 稳定条件： 系统的稳定性决定于特征方程。只要指出特征方程的根 落在[s]复平面的左半部分，系统即是稳定的。 (二) 分析线性稳定的条件： 设线性系统在初始条件为0时，输入一个理想单位脉冲 函数 (t ) ，这时系统的输出是单位脉冲响应，这相当于系统 在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡点的情形。 若线性系统的单位脉冲响应函数 x0 (t ) 随时间的推移趋 于0，即：lim x0 (t ) 0 ，则系统稳定；若 lim x0 (t ) ，则系 t t 统不稳定。
若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点全在[s]平面左半 部时，便会出现前边所述的临界稳定性状态，系统处于等幅振 荡状态，从设计角度不可取（很容易转化为不稳定系统）。
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三、判别稳定性的方法
1. 直接计算或间接得知系统特征方程式的根（直接求解）
直观，对高阶系统是困难的
2. 通过系数和特征根的关系（劳斯判据） 为此，不必解出根来，而能决定系统稳定性的准则就具有 工程实际意义。
Si S j S k
i 1, j 2, k 3

n a0 (1) n ( S1S 2 S n ) ( 1) n Si an i 1
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由上式可知，要使全部特征根 S1S2 Sn 均具有负实部，
必须满足如下2个条件：
(1) 特征方程的各项系数ai(i=0,…,n)不等于0.
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若在Routh阵列表中，某行的各元素全部为0，可利用
改行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并利用这个 多项式方程的导数的系数组成表中的下一行，然后继续 往下做。
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例6：s 2s 8s 12s 20s 16s 16 0
6 5 4 3 2
6 Ｓ 1 8 5 Ｓ 2 12
n i 1
n
n 1
(
i j i 1, j 2

n
Si S j ) S
n ２
(1)
n
S
i 1
n
i
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sn
n
an 1 n 1 a a s 1 s 0 an an an
n n 1
S ( Si ) S
i 1
(
i j i 1, j 2
i 1
x0 (t ) 0 ，只有当特征根全部为负实部 可知，要满足 lim t
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系统稳定的充要条件：稳定系统的特征方程根必须全部具 有负实部，反之，若特征根中有一个以上具有正实部时，则系 统必不稳定。
X 0 (s) 或系统传函 的极点全部位于[s]复平面的左半部。 X i (s)
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本章内容
一、介绍系统稳定性的基本概念，判断系统稳定性的 基本出发点
明 确
二、系统稳定的充分必要条件
三、代数判据（Routh、Hurwitz判据） 四、Nyquist判据的基本原理和方法，Bode判据
重点 掌握
五、相对稳定性的概念
六、掌握相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法
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5-1. 系统稳定性的基础概念
Ｓ2 6 16 1 16 Ｓ 6 0 Ｓ 16
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从表中可知：第1例系数无变号，说明系统无右根。 但因为S3辅行的各项系数全为0，说明虚轴上有共轭虚根。
辅助方程： 2 s 4 12 s 2 16=0
=2(s 2 2)(s 2 4)=0
s1,2 2 j, s3,4 2 j
0 0 0 0 各系数排成如下的nxn阶行列式： a1 0 a2 a 0