第三届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)+部分标准答案

第三届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)+部分答案

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第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷

（非数学类，2012）

本试卷共2页，共6题。全卷满分100分。考试用时150分钟。

一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.

(1)222220sin cos lim sin x x x x x x

→- 22222222224

004200sin cos sin cos lim lim

sin (sin )(sin )(1cos )(1cos )112lim lim 22623

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--+-=-+-+=+=-+=g g 解：

(2) 13611lim tan 12x x x x e x x →+∞⎡⎤⎛⎫+--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

1236

1

32363

022********

3200336(1tan )111112:lim 1tan 1lim 2(1tan )1(1tan )1

22=lim =lim 2(1tan )+12x t t x x t t t t t t t t t e t x e x

x x x t t t t t e t t t e t t t

t t t e t =→+∞→→→+--+⎡⎤⎛⎫+--+−−−→⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦+---+---=+∞⎡⎤+-+⎢⎥

⎣⎦

令解 (3) 设函数(,)f x y 有二阶连续偏导数, 满足2220x yy x y xy y yy f f f f f f f -+=且

0y f ≠,(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =所确定的函数. 求22y

x

∂∂

2

22222

3

(,)0=()()()20

x x y

y

y xx yx

x yx yy x y

y x y xx x yx x yx x yy

y

y xx x yx x yy

y y y x z z f x y x f y y

f f x x f y y

f f f f f f f y x x x x f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f =∂∂+⇒=-∂∂∂∂+-+∂∂

∂∂=-=-∂∂--+-+=-

=-=解：依题意有，是函数，、是自变量将方程两边同时对求导

(4) 求不定积分1

1(1)x x I x e dx x

+=+-⎰

111221111211111111

(1)=(1)[1(1)]1(1)x x x x x x x x x x x x x

x

x x x x x

x

x

x

I x e dx x e dx e dx

x x x x

e dx e dx e dx xde x

e

dx xe

e

dx xe

C

++++++++

+

+

+

=+-+-=+-=+-=+=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解： (5) 求曲面22x y az +=和222(0)z a x y a =-+>所围立体的表面积

二、（本题13分）讨论22

cos sin x

dx x x x

α+∞+⎰的敛散性，其中α是一个实常数. 得分

三、（本题13分）设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微，并且满足:存在0M >，使得()()(,),(1,2)k f x M x k ≤∀∈-∞+∞=L ，,且1

(

)0,(1,2)2n

f n ==L 求证：在(,)-∞+∞上，()0f x ≡

()2(0)(0)()(0)(0)2!!

()(1)

!

n n n

x f f f x f f x x x n x

M x M e n '''=+++++≤+++=-L L

L L

四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）

设D 为椭圆形22

221(0)x y a b a b

+≤>>，面密度为ρ的均质薄板；l 为通过椭圆焦点

(,0)c -(其中222c a b =-)垂直于薄板的旋转轴.

1. 求薄板D 绕l 旋转的转动惯量J ；

2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.

五、（本题12分）设连续可微函数(,)z f x y =由方程(,)0F xz y x yz --=（其中

(,)0F u v =有连续的偏导数）唯一确定, L 为正向单位圆周. 试求：

22

(2)(2)L

I xz yz dy xz yz dx =+-+⎰Ñ 解：由格林公式

22222(2)(2)()(22)(22)22()2()L

D

D D

Q P

I xz yz dy xz yz dx d x y

z z z z z z z xz

y x z yz d z xz y x yz d x x y y x y σσσ∂∂=+-+=-∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++=++++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ又：连续可微函数(,)z f x y =由方程(,)0F xz y x yz --= 两边同时对x 求偏导数：121221

()(1)0zF F z z z

F z x F y x x x yF xF +∂∂∂++-=⇒=∂∂∂- 两边同时对y 求偏导数：121212

(1)()0F zF z z z F x F z y y y x xF yF +∂∂∂-+--=⇒=∂∂∂- 代入上式：

212122112

222

12121212

2112222

2212121221

212122()

2()2()222D

D D D

D

zF F F zF I z xz y x yz d yF xF xF yF xz F xzF yzF yF xF xzF yzF yz F z d yF xF xF yF xz F yF xF yz F xF yF z yF xF z d z d yF xF yF xF d σ

σ

σσ

σπ++=++++--++++++=++--+---+-=+

=+--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）

(1)求解微分方程2

(0)1

x

y xy xe y ⎧'-=⎪⎨=⎪⎩

(2)如()y f x =为上述方程的解，证明1

220lim ()12

n n f x dx n x π

→∞

=

+⎰

2

1

220lim 1x n ne

dx n x

→∞+⎰