介绍高斯定理例题教学讲义
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1、一点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪一种情况，通过
高斯面的电通量发生变化？ （Ａ）、将另一点电荷 放在高斯面外；
[B]
（Ｂ）、将另一点电荷 放在高斯面内；
（Ｃ）、将球心处的点电荷移动，但还在高斯面内；
（Ｄ）、将高斯面半径缩小
2、点电荷 Ｑ被曲面Ｓ所包围，从无穷远处引入另一点电荷
q到曲面外一点，如图所示，则引入前后： （Ａ）、曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强不变；
（Ｂ）、曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强不变；
（C）、曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强变化； （D）、曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强变化。
Q
q S
[D]
3、已知一高斯面所包围的体积内电量代数和为零，则可以
肯定：
（Ａ）高斯面上各点场强均为零；
[C]
（Ｂ）穿过高斯面上每一面元的电通量为零；
30r2
r R2
E0 rR1
9、如图，求空腔内任一点Ｐ的场强。
解：求空腔内任一点场强，
挖 去体密度为的小球，相
当于不挖，而在同一位置处，
放一体密度为- 的小球产生
的Biblioteka Baidu强的迭加。
EEE 12 3E ρε1 3ρr1`0ε r20E 23 ρε r 1 03 ρε r 2 0
ρ
30(r1r2)30o1o2
r1
Ｐ
r2
02
o1o2
01
E1
E2
13 如图所示,一厚度为a的无限大带电平板,其电荷体密
度分布为 kx (0 x a)式中k 为正常数,试证明:
(1) 平板外空间的场强为均匀电场,大小为 ka 2
(2)
平板内 x
2a 2
处E=0
4 0
解(1)
据分析可知平板外的电场是均匀电场, 作如图封闭圆柱面为高斯面
20
40
x
0
a
E(x)0
1 kx2 1 ka2
2
40
x 2a 2
x
E(x)
球面为高斯面，则利用ＧＳ 定理与场分 布具有球对称性 的特点可得
SE dS E 4r2Q 0 dV (1)
Ｑr r S
Q
ρdV rA4πr2dr2πA(r2a2)代入（１）
ar
Q AA 2 aA Q A 2 a 1
E 4
0 r 2 20 20 r 2 20 (4
0 20)r 2
当 A Q 2πa2
通过侧面abcd的电通量为：
q
如果放在中心处，则又是多少？ 24 ε 0
q
a 6 ε 0
q
Ａ
db
c
a
q
A
d
b
c
7、有一带球壳，内外半径分别为a和b,电荷 密度=A/r,在球心
处有一 点电荷 Ｑ，证明当Ａ=Q/2a2 时，球壳区域内的场强
Ｅ的大小与r无关。 证明：
4 r2dr
以Ｑ为圆心，半径 r作一
（Ｃ）穿过整个高斯面上的电通量为零；
（Ｄ）以上说法均不对
4、如图所示，两个无限长的半径分别为Ｒ１和Ｒ２的共轴 圆柱面，均匀带电，沿轴线方向单位长为度上的带电量分别 为1,、2，则在外圆柱外面，距离轴线为r处的Ｐ点的电场强 度大小Ｅ为：
答案： E 1 2
r
2 0r
P
1
2
5、如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体的Ａ角上，则
x dx
qE
EdS2ES
S
q
0
a
kxSdx
1
kSx2
0
2
aS
0
0
x
1 kSa 2
2 2ES
1
kSa2
2
E 1 ka2
4 0
a
(2) x<a
SE dS E1SE(x)S 0q
q
x
kxSdx
1
kSx
2
0
2
E1
E1SE(x)S
1
2 0
kSx 2
S
E(x)
1
2 0
kx2
E1
1 kx2 1 ka2
A E
2ε 0
8、图示为一个均匀带电球层，其电荷体密度为，球壳内半径 为Ｒ１，外半径为Ｒ２，为零点。求球内外电场分布。
解：以o为圆心，半径 r作一 球面为高斯面，则利用ＧＳ 定理与场分 布具有球对称性 的特点可得
SE dS E4r20 dV (1)
r
0
S
E
r3 R13
30r2
R1 rR2
R23 R13
高斯面的电通量发生变化？ （Ａ）、将另一点电荷 放在高斯面外；
[B]
（Ｂ）、将另一点电荷 放在高斯面内；
（Ｃ）、将球心处的点电荷移动，但还在高斯面内；
（Ｄ）、将高斯面半径缩小
2、点电荷 Ｑ被曲面Ｓ所包围，从无穷远处引入另一点电荷
q到曲面外一点，如图所示，则引入前后： （Ａ）、曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强不变；
（Ｂ）、曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强不变；
（C）、曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强变化； （D）、曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强变化。
Q
q S
[D]
3、已知一高斯面所包围的体积内电量代数和为零，则可以
肯定：
（Ａ）高斯面上各点场强均为零；
[C]
（Ｂ）穿过高斯面上每一面元的电通量为零；
30r2
r R2
E0 rR1
9、如图，求空腔内任一点Ｐ的场强。
解：求空腔内任一点场强，
挖 去体密度为的小球，相
当于不挖，而在同一位置处，
放一体密度为- 的小球产生
的Biblioteka Baidu强的迭加。
EEE 12 3E ρε1 3ρr1`0ε r20E 23 ρε r 1 03 ρε r 2 0
ρ
30(r1r2)30o1o2
r1
Ｐ
r2
02
o1o2
01
E1
E2
13 如图所示,一厚度为a的无限大带电平板,其电荷体密
度分布为 kx (0 x a)式中k 为正常数,试证明:
(1) 平板外空间的场强为均匀电场,大小为 ka 2
(2)
平板内 x
2a 2
处E=0
4 0
解(1)
据分析可知平板外的电场是均匀电场, 作如图封闭圆柱面为高斯面
20
40
x
0
a
E(x)0
1 kx2 1 ka2
2
40
x 2a 2
x
E(x)
球面为高斯面，则利用ＧＳ 定理与场分 布具有球对称性 的特点可得
SE dS E 4r2Q 0 dV (1)
Ｑr r S
Q
ρdV rA4πr2dr2πA(r2a2)代入（１）
ar
Q AA 2 aA Q A 2 a 1
E 4
0 r 2 20 20 r 2 20 (4
0 20)r 2
当 A Q 2πa2
通过侧面abcd的电通量为：
q
如果放在中心处，则又是多少？ 24 ε 0
q
a 6 ε 0
q
Ａ
db
c
a
q
A
d
b
c
7、有一带球壳，内外半径分别为a和b,电荷 密度=A/r,在球心
处有一 点电荷 Ｑ，证明当Ａ=Q/2a2 时，球壳区域内的场强
Ｅ的大小与r无关。 证明：
4 r2dr
以Ｑ为圆心，半径 r作一
（Ｃ）穿过整个高斯面上的电通量为零；
（Ｄ）以上说法均不对
4、如图所示，两个无限长的半径分别为Ｒ１和Ｒ２的共轴 圆柱面，均匀带电，沿轴线方向单位长为度上的带电量分别 为1,、2，则在外圆柱外面，距离轴线为r处的Ｐ点的电场强 度大小Ｅ为：
答案： E 1 2
r
2 0r
P
1
2
5、如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体的Ａ角上，则
x dx
qE
EdS2ES
S
q
0
a
kxSdx
1
kSx2
0
2
aS
0
0
x
1 kSa 2
2 2ES
1
kSa2
2
E 1 ka2
4 0
a
(2) x<a
SE dS E1SE(x)S 0q
q
x
kxSdx
1
kSx
2
0
2
E1
E1SE(x)S
1
2 0
kSx 2
S
E(x)
1
2 0
kx2
E1
1 kx2 1 ka2
A E
2ε 0
8、图示为一个均匀带电球层，其电荷体密度为，球壳内半径 为Ｒ１，外半径为Ｒ２，为零点。求球内外电场分布。
解：以o为圆心，半径 r作一 球面为高斯面，则利用ＧＳ 定理与场分 布具有球对称性 的特点可得
SE dS E4r20 dV (1)
r
0
S
E
r3 R13
30r2
R1 rR2
R23 R13