多面体及球
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40°
K
A
OBaidu Nhomakorabea
B
例2.设点A位于地球(半径为R)上东经44°、北 纬30°处，点B位于东经134°、北纬60°处， 求A、B两点间的球面距离. N
分析：求球面距离，
关键求球心角，要求球 心角，关键是求两点间 的直线距离（弦长）.在 纬圆中求弦长，在大圆 中求球心角及球面距离.
A
O2 O1 O
B
S
作业： 教材 读书，完成课后练习（书上）
20°
0° 20° 40° 60° 90° 30° 60° 90° 120° 150°
23.5° 北回归线 赤道 23.5° 南回归线
南极圈 66.5°
例1. 我国首都靠近北纬40°纬线。求北纬 40°纬线的长度约等于多少km（地球半径 约为6 370km）.
A K
40°
A
O
B
O
B
解： 如图，A是北纬40°纬线上的一点，AK是它的 半 径，所以OK⊥AK.设c是北纬40°的纬线长，因为 ∠AOB=∠OAK=40°，所以 c =2π·AK = 2π·OAcos∠OAK ≈2×3.142×6370×0.7660， 由计算器算得 C≈3.066×104（km）. 答：北纬40°纬线长约等于3.066×104km.
90° 60° 40° 20° 30° 60° 0° 20° 40°
66.5北 °极圈
23.5 ° 北回归线 90° 120 150 °°
赤道
23.5° 南回归线
60°
90°
66.5南极圈 °
四、地球的经度纬度
1、地球的经度
某点的经度是经过这点的经线和地轴确 定的半平面与0度经线(本初子午线）和地轴 确定的半平面所成二面角的度数. • 地球的经线就是球 面上从北极到南极 的半个大圆.
例3 求棱长为a的正八面体的体积V和全面积S．
解：如图，由题知截面是一个边长为a的 正方形，并且它把正八面体分成两个全等 的正四棱锥E-ABCD和F-ABCD． 设EO是棱锥E-ABCD的高，则
2 2 2 a EO EA AO a ( a) 2 2
2 2
2
E
A B
D O C
1 2 2 2 3 F V 2VE - ABCD 2 a a a 3 2 3 3 2 S 8SEAB 8 a 2 3a 2 1 4 V棱锥 S 底 h高
3
4
4
A
E
H B
F
C
又 如图，在正四面体IJKL中，取KL的中点M，连结IM、JM，
则∠IMJ为二面角I-KL-J的平面角.
设正四面体IJKL棱长为1，则
I
IM JM
由余弦定理得
3, 2
J M L
3 3 1 1. cosIMJ 4 4 3 3 3 2 2 2
K
∴正八面体相邻两面所成的二面角与正四面体相邻两面所成的 二面角互补， 因而拼成的多面体是七面体.
习题9.9 13 ~ 16
读书：多面体欧拉定理的发现和阅读材料
球
观察现实生活中的各种球形
•篮球 •保龄球
NBA
•地球仪 •西瓜
•地球 •足球
一、球的基本概念
1、球面 定义1（集合的观点）：空间中与定点距 离等于定长的点的集合。 定义2（运动的观点）：半圆以它的直径 为旋转轴，旋转所成的曲面。 2、球体 球体——与定点距离等于或小于定长的 点的集合。也就是球面所围成的几何体。
现在我们来研究球的一些性质．首先请同学们思考：用一 个平面去截球面，平面与球面的交线是怎样的平面图形呢？ 用一个平面去截球面，平面与球面的交线是圆 证明：当截面经过球心时， 由球面的定义知，球心到截面与球面的 交线上任一点的距离都等于球的半径， 因此这条交线就是以球心为圆心， 球半径为半径的圆． 当截面不经过球心时， 由球心O 向截面作垂线，设垂足为O’点，
由地理知识知：AOB 为P点所在经线的经度。
本 初
北极
P 地
轴 O
子 午
线 A B
道 赤
2、地球的纬度
某点的纬度就是 经过这点的球半径与 赤道面所成角的度数. 由地理知识知： AOP为P点所 在纬线的纬度。
P 北极
地 轴 O
道
A
赤
经度的定义
纬度的定义
90° 60° 40°
地理知识
66.5° 北极圈
过两点的大圆在这两点之
间的劣弧的长度.
R
O
Q
球面距离公式
P、Q间的球面距离
P
⌒ PQ的长度 R
注：θ的单位为弧度.
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心 的平面截得的圆叫做小圆． 你了解在地球上有哪些大圆、小圆吗？ 地球上的经度线就是球面上从北极到南极的半个大圆， 赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆． 从数学的角度上，怎样理解地球上某点的经度、纬度呢？
小 结：
1. 本节课主要学习了正多面体的定义及种类，正多面体的面 数已经不像正多边形边数那样有无数多种类型了，而只有4、 6、8、12、20五种，要想知道为什么，看书阅读材料．
⒉对于正多面体要准确理解概念，理解正多面体的各面是全 等的正多边形，各侧棱是相等的线段；了解正多面体只有正 四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五 种．
习题 9.10
1，2，3，4
d 与球的半径 R ,小圆半径 r
2 2
r R d
大圆和小圆
• 球面被经过球心的平 面截得的圆叫做大圆. • 如⊙O(浅蓝色圆）.
• 球面被不经过球心的平 面截得的圆叫做小圆. • 如⊙O′(黄色圆）.
o
O
三、两点间的球面距离
球面上两点之间的最短连线的长度， 平面上两点间的最短距离是连结这两点的线段的长度，而 球的表面是曲面，球面上 P、Q两点间的最短距离显然不是线段 就是经过这两点的大圆在这两点间 PQ的长度，那是什么呢？ 的一段劣孤的长度. 定义：球面距离是球面上
观察球的形成过程
3、球的有关概念 球心、球半径、直径、球的表示
A
R
C B
注意：球体与球面的区别
O
球O
①球面：空间中与定点距离等于定长的点的集合。 ②球(即球体):球面所围成的几何体. 它包括球面和球面所包围的空间.
观察球的截面的形状
现在我们来研究球的一些性质．首先请同学们思考：用一 个平面去截球面，平面与球面的交线是怎样的平面图形呢？
点O’就是球心O 在截面上的射影． 由于球心O到截面与球面的交线上任一点的距离都相等， 所以点O’到这条交线上任一点的距离也都相等，
因此这条交线就是以点O’为圆心的圆．
二 球的截面及其性质
•截面的定义：用一个平面去截一个球,截面是圆面. •1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面． •2.球心到截面的距离 有下面的关系:
K
A
OBaidu Nhomakorabea
B
例2.设点A位于地球(半径为R)上东经44°、北 纬30°处，点B位于东经134°、北纬60°处， 求A、B两点间的球面距离. N
分析：求球面距离，
关键求球心角，要求球 心角，关键是求两点间 的直线距离（弦长）.在 纬圆中求弦长，在大圆 中求球心角及球面距离.
A
O2 O1 O
B
S
作业： 教材 读书，完成课后练习（书上）
20°
0° 20° 40° 60° 90° 30° 60° 90° 120° 150°
23.5° 北回归线 赤道 23.5° 南回归线
南极圈 66.5°
例1. 我国首都靠近北纬40°纬线。求北纬 40°纬线的长度约等于多少km（地球半径 约为6 370km）.
A K
40°
A
O
B
O
B
解： 如图，A是北纬40°纬线上的一点，AK是它的 半 径，所以OK⊥AK.设c是北纬40°的纬线长，因为 ∠AOB=∠OAK=40°，所以 c =2π·AK = 2π·OAcos∠OAK ≈2×3.142×6370×0.7660， 由计算器算得 C≈3.066×104（km）. 答：北纬40°纬线长约等于3.066×104km.
90° 60° 40° 20° 30° 60° 0° 20° 40°
66.5北 °极圈
23.5 ° 北回归线 90° 120 150 °°
赤道
23.5° 南回归线
60°
90°
66.5南极圈 °
四、地球的经度纬度
1、地球的经度
某点的经度是经过这点的经线和地轴确 定的半平面与0度经线(本初子午线）和地轴 确定的半平面所成二面角的度数. • 地球的经线就是球 面上从北极到南极 的半个大圆.
例3 求棱长为a的正八面体的体积V和全面积S．
解：如图，由题知截面是一个边长为a的 正方形，并且它把正八面体分成两个全等 的正四棱锥E-ABCD和F-ABCD． 设EO是棱锥E-ABCD的高，则
2 2 2 a EO EA AO a ( a) 2 2
2 2
2
E
A B
D O C
1 2 2 2 3 F V 2VE - ABCD 2 a a a 3 2 3 3 2 S 8SEAB 8 a 2 3a 2 1 4 V棱锥 S 底 h高
3
4
4
A
E
H B
F
C
又 如图，在正四面体IJKL中，取KL的中点M，连结IM、JM，
则∠IMJ为二面角I-KL-J的平面角.
设正四面体IJKL棱长为1，则
I
IM JM
由余弦定理得
3, 2
J M L
3 3 1 1. cosIMJ 4 4 3 3 3 2 2 2
K
∴正八面体相邻两面所成的二面角与正四面体相邻两面所成的 二面角互补， 因而拼成的多面体是七面体.
习题9.9 13 ~ 16
读书：多面体欧拉定理的发现和阅读材料
球
观察现实生活中的各种球形
•篮球 •保龄球
NBA
•地球仪 •西瓜
•地球 •足球
一、球的基本概念
1、球面 定义1（集合的观点）：空间中与定点距 离等于定长的点的集合。 定义2（运动的观点）：半圆以它的直径 为旋转轴，旋转所成的曲面。 2、球体 球体——与定点距离等于或小于定长的 点的集合。也就是球面所围成的几何体。
现在我们来研究球的一些性质．首先请同学们思考：用一 个平面去截球面，平面与球面的交线是怎样的平面图形呢？ 用一个平面去截球面，平面与球面的交线是圆 证明：当截面经过球心时， 由球面的定义知，球心到截面与球面的 交线上任一点的距离都等于球的半径， 因此这条交线就是以球心为圆心， 球半径为半径的圆． 当截面不经过球心时， 由球心O 向截面作垂线，设垂足为O’点，
由地理知识知：AOB 为P点所在经线的经度。
本 初
北极
P 地
轴 O
子 午
线 A B
道 赤
2、地球的纬度
某点的纬度就是 经过这点的球半径与 赤道面所成角的度数. 由地理知识知： AOP为P点所 在纬线的纬度。
P 北极
地 轴 O
道
A
赤
经度的定义
纬度的定义
90° 60° 40°
地理知识
66.5° 北极圈
过两点的大圆在这两点之
间的劣弧的长度.
R
O
Q
球面距离公式
P、Q间的球面距离
P
⌒ PQ的长度 R
注：θ的单位为弧度.
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心 的平面截得的圆叫做小圆． 你了解在地球上有哪些大圆、小圆吗？ 地球上的经度线就是球面上从北极到南极的半个大圆， 赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆． 从数学的角度上，怎样理解地球上某点的经度、纬度呢？
小 结：
1. 本节课主要学习了正多面体的定义及种类，正多面体的面 数已经不像正多边形边数那样有无数多种类型了，而只有4、 6、8、12、20五种，要想知道为什么，看书阅读材料．
⒉对于正多面体要准确理解概念，理解正多面体的各面是全 等的正多边形，各侧棱是相等的线段；了解正多面体只有正 四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五 种．
习题 9.10
1，2，3，4
d 与球的半径 R ,小圆半径 r
2 2
r R d
大圆和小圆
• 球面被经过球心的平 面截得的圆叫做大圆. • 如⊙O(浅蓝色圆）.
• 球面被不经过球心的平 面截得的圆叫做小圆. • 如⊙O′(黄色圆）.
o
O
三、两点间的球面距离
球面上两点之间的最短连线的长度， 平面上两点间的最短距离是连结这两点的线段的长度，而 球的表面是曲面，球面上 P、Q两点间的最短距离显然不是线段 就是经过这两点的大圆在这两点间 PQ的长度，那是什么呢？ 的一段劣孤的长度. 定义：球面距离是球面上
观察球的形成过程
3、球的有关概念 球心、球半径、直径、球的表示
A
R
C B
注意：球体与球面的区别
O
球O
①球面：空间中与定点距离等于定长的点的集合。 ②球(即球体):球面所围成的几何体. 它包括球面和球面所包围的空间.
观察球的截面的形状
现在我们来研究球的一些性质．首先请同学们思考：用一 个平面去截球面，平面与球面的交线是怎样的平面图形呢？
点O’就是球心O 在截面上的射影． 由于球心O到截面与球面的交线上任一点的距离都相等， 所以点O’到这条交线上任一点的距离也都相等，
因此这条交线就是以点O’为圆心的圆．
二 球的截面及其性质
•截面的定义：用一个平面去截一个球,截面是圆面. •1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面． •2.球心到截面的距离 有下面的关系: