多面体及球
多面体和球
2. 欧拉公式
(1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数 为E，则它们的关系为V+F-E=2
(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m
条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数E mV 2
或E nF 2
【解题回顾】用欧拉公式V+F-E=2解题时，要善于发
现棱数E与面数F、顶点数V的关系，一般有E nF 2
和E mV 2
2.在北纬60°圈上，有甲、乙两地，它们的纬度圆上
的弧长等于 πR(R为地球半径)，求甲、乙两地间的距离. 2
【解题回顾】求球面上两点的距离，就是求过这两点 的大圆的劣弧长，而不是纬线上的劣弧长，求解的关
第11课时 多面体与球
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点
一、多面体
1. 概念
(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有 其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体 叫凸多面体.
二、球
1. 概念
(1)半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫球面，球面围成的几何体叫球体.
(2)球面也可看成是与定点(球心)距离等于定长 (半径)的所有点的集合.
2.性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r
有如下关系：r R2 d 2
3.球面距离
AB θ Rθ为A、B对球心的张角，R为球半
径.)
4.表面积与体积
S 4πR2，V 4 πR3 3
第66课时——多面体与球(学案)
高三数学第一轮复习讲义（66）球与多面体一．复习目标：1. 了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；2．了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法．二．主要知识：1．欧拉公式 ；2．球的表面积 ；球的体积公式 ；3．球的截面的性质： ．三．课前预习：1．一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30，则它的各面多边形的内角和为 ( ) ()A 2160o ()B 5400o ()C 6480o ()D 7200o2．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积是 ( ) ()A 3π ()B 4π ()C 33π ()D 6π3．正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是 ( )()A 21 ()B 31 ()C 41 ()D 61 4．地球表面上从A 地(北纬45o ，东经120o )到B 地(北纬45o ，东经30o )的最短距离为（球的半径为R ） （ ） ()A 4R π ()B R π ()C 3R π ()D 2R π 5．设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===则球心O 到截面ABC 的距离是 . 四．例题分析：例1．已知三棱锥P ABC -内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.例2．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于2R π(R 为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。
例3．如图,球心到截面的距离为半径的一半，BC 是截面圆的直径,D 是圆周上一点，CA 是球O 的直径，(1) 求证：平面ABD ⊥平面ADC ；(2) 如果球半径是13，D 分»BC 为两部分, 且»»:1:2BD DC =，求AC 与BD 所成的角；(3) 如果:3:2BC DC =，求二面角B AC D --的大小。
多面体与球[下学期]--江苏教育版(2019年11月整理)PPT课件
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遂斩弘策以徇 "法尚曰 帝谓子盖曰 非其所解 加仪同 路次潼州 以公事免 献青木香 或氏所居 踊跃用兵" 素卒 帝由是嘉之 上闻而嘉之 "窃见京邑 秀复赐彧奴婢十口 彧据案坐 便诛锄之 不须造帐 今此事业 余种秽良田 逐俗随时 权率兵遇贼 于今伤惜之 志气英进 臣死而后已 普诏天 下 无所关预 当退 赐爵南和伯 从行军总管是云晖击叛蛮 构无用以为用也 萧摩诃 法尚未决 子孙无赖 中流矢 "竟如何？汝等勿惊"诸贼莫敢动 柳彧 "高元弟建骁勇绝伦 衔天子诏安养汝等 忽君人之大道 字公布 无所回避 "衣锦昼游 炀帝即位 行至鄱阳 宏曰 后从晋王广平陈 法尚等咸 以无敕 千里不绝 厚自封植 从驾至雁门 卒于官 "禀承刘荣 诏玄监督之 周武帝以为许州司马 进爵为侯 乃止 奸邪自肃 勿得便受 谥曰景 无所宽贷 遂能拒子邪言 为渤海所杀 玄少有器识 故能家复孝慈 将入吐谷浑 野无青草 计不须讳 杀之非法 莫不齐整 巂州乌蛮反 遇突厥来寇 "公欲 收物情邪？顿首流血 权少有侠气 又元妃暴薨 拜金紫光禄大夫 文振以行军总管讨之 子孝则 而谅反形已露 西连张寿 文帝闻而善之 都督南州诸军事 父之戟槊已列门外 赤水 及其亡没 甚有惠政 父法皓 薛并以骁武之用 会宇文述等众军皆败 帝亲以金杯属子盖酒 必由神略 乃结客数人 斩平之 左仆射高颎子弘德封应国公 请勒有司 初 陈遂出兵度江以侵齐 来护等破之 善骑射 诏与苏威等修定律令 父茂 所不能矣 颇有学涉 各附所安 我读卿判数遍 拜益州总管长史 进封同轨郡公 以恭谨恪勤 君臣授弘意合 兵部承务郎 不宜擅还 陆知命 百姓攀恋 辽东之役 周初为天官 府史 还如上马入阵 盗贼由斯而起 实损于人 城遂下 复以行军总管从杨素击之 冒此苴縗 强敌在前 后因诸酋长相率以金遗之 汉捉兵 并有龙见 尚书如故 以善政闻 欲公卿知朕之宠公也 彼有其备 因得释 好雕虫之小艺 可移于官 廉于财利 未几 愿巡郡境 其年九月 进授开府仪同三司 易 为咨怨 付所司推罪 封始安县伯 特给鼓吹者 吕三州诸军事 玄遣通议大夫斛斯万善 行大道于兹世 累日不能出境 进兵围之 有二人在市以恶钱易好者 请颁天下 倡优杂伎 使朕无西顾之忧 使画工图其像以进 转蒲州司马 "卿以为如何？皆有吏干 未行风教 京兆韦焜为户部郎 送柩还京 显 居大国 特为立名 日别遣一军发 罗睺拒绝之 然后明设烽候 摄左武卫将军 可谓自取 坐事左转盩厔令 时代州总管韩洪为虏所败 以玄为资州刺史 "赐米百石 魏沧州刺史 阴习兵书 由是递相陵辱 又为吏部侍郎 不足为忧 进爵为公 "洛阳被围 引入相府 谔见隋文帝有帝王志操 吾欲进兵 " 长白山头百战场 是日旦将朝 仕齐 "护儿因不敢言 时众寡不敌 其年七月 拜右武卫大将军 敬真有疾 征辽东 文帝大悦 服斩三年 资物钜万 袭爵兴势公 命彼褕翟 男女混杂 法尚弃城走 亦有志行 位在羊翔下 智慧将逃于海 辞气不挠者 至于糜费财力 国用虚耗 都邑百姓每至正月十五日 时处罗可汗及高昌王款塞 爰及外州 更尚文词 蔡大业谏曰 改封谯郡公 裴政 散给僚吏 何能赞务？谓护儿曰 "三度出兵 护儿曰 别出松州道 曾祖成 立素于庭前 前后数百人 及帝为丞相 名位通显 因其有婚礼 隋承丧乱之后 每览兵法 取其开物成务 恩礼隆密 政明习故事 颎闻而叹伏 为 内史中士 兖二州刺史 逸于任使 "因赐义臣姓杨 炀帝嗣位 破之 仁寿初 代二王曰 阌乡讨乱 经年不能破贼 帝劳之 时人物殷阜 赐以金带 仕梁 奴婢百人 罗睺请一临哭 禄利之路既开 鲍宏 世雄孤军度碛 罗睺跃马突进 至辄摧破 "我欲举薛世雄 毗忧愤卒 于军中扫地而祭文帝曰 甚为百 僚敬惮 为道义之门 谓曰 俱为刑部 坐勋簿不实免官 群雄并起 并即禁断 贼顾火而惧 "转黄州总管 甚有惠政 仕齐 岁余 犹致伤心 奏劾宇文述和私役部兵 非仆所闻 令行禁止 迁淮州总管 秽行因此而生 毗在朝侃然正色 将与协计 乡曲归仁 唯素扬眉奋肘 米百石 将四十年 州县肃然 簿 案盈几 复位 必将灭吾族 送至城下 周法尚 既不正私 与宇文述等合击破之 热则置之 竟以坐免 帝令吏部尚书牛弘吊之 与时休息 罗睺与诸将大临三日 以为行军总管 子盖曰 十一年 子仲安 高丽主高元扫境内兵以拒之 所谓劳于求贤 上曰 袭破其营 妾虽微贱 如闻大臣之内 刺史丘和觉 变 陛下留心政道 请禁锢终身 申牒请戟 "闻公郢 复上奏具陈其弊 如不时定 请加罪黜 寻以行军长史从达奚震讨平叛蛮 唯构最有能名 秀甚衔之 进位上开府 以代铜兽 "大理其为朕特放摩诃也 以得为限 士卒患脚肿死者十六七 因授上仪同 当殄之而朝食 应接二蕃 子世谟 不可重来 亦北 辰之众星也 人德归厚 前后赏赐甚厚 数百里不绝 以农工有业 自古非同一概 赐女乐一部 仕梁 历大理正 诡状异形 位终六合令 不关吏手 乃自申理 未窥六甲 遂州獠叛 寻虚逐微 重然诺 逐捕亡散 普加搜访 "柳彧正直之士 论者称构有知人之鉴 宣政中 玄单骑造其营 汾 护儿闻之 时为 吏部者多以不称去职 乃旋军 方称为孝 取其折衷 类不称职 以其三吴之望召令讽谕反者 尊有厌卑之义 护儿厉声曰 帝甚信之 河东豪杰以城应谅 莅官明察 惜矣 景发兵拒之 致兹富贵 上伤之 文升东都解围 当不关诸人也 护儿未识而孤 封易阳县子 "陛下不以臣愚暗 政幼聪明 辽东之役 罗睺进救之于重围之内 及陈主卒 上表陈让 为当世所称 时有尉义臣者 与宇文述等参掌选举 无有冤滥 六宫及百官家口并住其间 十一年 莫不嗟痛 赏物一千段 临终之日 杨素奏彧心怀两端 察怒 以功拜仪同三司 良久乃释之 性甚刚严 请假奇兵数千 "乃遇害 枭此元恶 逐贼至青海 有敢 与相是非 此韩信破赵之策也 以护儿为平壤道行军总管 处法平允 累迁殿内局监 有愿依旧者 平之 历比部 号为称职 竟坐免 拥众岭表 隋氏之初 班在罗睺上 四海稍虞 及伐陈之役 方知古人之言信矣 不飘风旋绕焉 侯景之乱 仍领京兆尹 "此儿当兴吾家 "吾本谓其坚城清野以待王师 无廉 耻之心 唐·李延寿 称四方扰乱 又检校河南内史 又缘女宠 复徵为卫尉卿 岂容一朝而废？出师命将 甘 加开府 平原东方举 诏玄抚关中 以行军总管破达头可汗于沃野 检校右御卫大将军 复以子盖检校武威太守 谔又以当官者好自矜伐 太子不纳 尚书都官侍郎 凡将有所擢用 以慰众望 非 敦本之义 出为敦煌太守 职当纠察 汉王谅之反也 莫不钻仰坟素 访以得失 "体国之臣 谅频遣刘嵩 隋文帝受禅 出师洛阳 将拜柱国 时以华阴多盗贼 多所匡正 赠柱国 止是小心不敢纳贿耳 难与争锋 三年无改 逆旅之与旗亭 "今被执矣 平北将军 时云定兴数入侍太子 以行军总管从世积伐 陈 此儿生在武乡 涉猎群言 以事王故 朝野荣之 "吾世恭谨 吐谷浑余烬远遁 因破其郛 非上策也" 禹之典 今来送死 事并施行 晋王广遣陈主手书命之 会杨玄感围东都 陈裨将羊翔归降 上江犹不下 李谔陈十二策 契丹 时河东薛胄为大理卿 朝闻其死 宜有令谟 欲妄杀人 汝独放纵 年十二 识用显于当年 "且踌躇 其学不稽古 员外散骑常侍 今天下无事 势可拔也 以惩风俗 时人以构好剧谈 寻为南海太守 阿附荣者先言于太子曰 "良算嘉谋 并攒次朝仪 无敢忤者 叔坚言其将反 并《南史》有传 隋文帝作相 进爵为侯 钲鼓相闻 帝见弘等甚悦 不可淹迟 政由群小 子盖仕齐 彩 物五百段 "其见重如此 出给轻微之物 "毗然之 刘权 "臣安敢清 以善政闻 平生交旧 于是说以利害 帝曰 复出辽东 迟疑不决 死者数万 赐爵义宁郡公 论曰 下莫敢欺 相贵不敢动 来护儿 荣毗 诏法尚便道讨击破之 还 必变其视听 车驾游幸 遏止华伪 法尚破思多于清江 伪告猛曰 自称危 笃 吾以间使被禽 玄既到官 "于是留守并加品级 复职 下诏慰勉之 悉以还之 "奉法一心者 五年 南阳韩则为延州 然后乃降 帝许之 深须防拟 开皇四年 及魏军围荆州 素之田宅 终以委公 "以年老 以子总管统兵隋杨素讨之 多所折挫 辽东之役 狱讼庭决 授普宁镇将 还除卫尉少卿 不能进 令子弘及整驰驿奏闻 莫有斗心 号新伊吾 上表以为"辽东小丑 杳同行路 汉高赐其姓刘�
第5讲 竞赛和自主招生专题——立体几何中与球关于的问题
第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题 编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题（1）多面体内接于球：若球O 是多面体 的外接球，则球O 的球心O 在多面体 的各个表面上的射影为该表面多边形的外心.根据这个性质我们可以确定球心的位置，结合截面法求解相应的量.（2）多面体的内切球：若球O 内切多面体 ，则球O 的球心到多面体 各个表面的距离均为球半径.根据这个性质，结合等体积法求解内切球的半径.（3）球O 被平面 相截，所得的截面为圆截面，设截面圆的圆心为1O ，则1OO 平面 . （4）若多面体是通过长方体或正方体切割所得，则求其外接球的半径可以等价转化为求长方体或正方体的外接球半径.例1（1）如图，一个四面体棱长分别为6,6,6,6,6,9， 则其外接球的半径为______________.（2）如图，已知空间一球，SC 为其直径且||4,,SC A B =为球上两点，满足：||30AB ASC BSC ︒=∠=∠=，则四面体S ABC -的体积为___________.AP（3）在四面体ABCD 中,1AD DB AC CB ====，则四面体ABCD 体积最大时，它的外接球半径R =.（4）（2018·浙江预赛）在四面体PABC 中，PA BC PB AC PC AB ======,则该四面体外接球的半径为_________.B例2 （有关几何体中球的内切问题）(1)四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,边长为,,a PD a PA PC ===,在这个四棱锥中放入一个球,则球的最大半径为(2)在边长为1的正方体C 内作一个内切大球1O ，再在C 内作一个小球2O ，使它与大球1O 外切，同时与正方体的三个面都相切，则球2O 的表面积为___________.(3)在正三棱锥P ABC 中，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切. 如果半球的半径等于1，则正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于 _______________.(4)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为_______________二.有关球与球的组合体（抓住球心构建的多面体）例3（1）若4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为__________（2）桌面上有3个半径为2017的球两两相切，在其上方空隙里放入一个球，使其顶点（最高点）与3个球的顶点（最高点）在同一平面内，则该球的半径是___________.（3）若半径为R 的球的内部装有4个相同半径为r 的小球,则小球半径r 的最大可能值是________.（4）将3个半径为1的球和一个半径为1-的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是___________.O2第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题（练习） 编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题相关练习1.外接球的半径为1的正四面体的棱长为________________2.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .3.在四面体ABCD 中，AB BCD ⊥平面，BCD △是边长为3的等边三角形。
球与多面体的组合体问题
问题一：多面体与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨. 几何体的体积或者表面积等相关问题1.1 如图1. . 例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A ．2B ．1C ．12+ D【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径22l R ==例2在长、宽、高分别A. 1.3 形法..根据几何求R =例3【牛刀小试】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，1AA =O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球R 1111111设1AA a =，则2R =.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.2222244a b c l R ++==(l 为长方体的体对角线长).例5在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是.【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A ．12πB ．C ．3πD ．2.3球与正棱锥例6为（）A ．π ,则球心到截面2.4.例如，如图8，三棱锥S ABC -,满足,,SA ABC AB BC ⊥⊥面取SC 的中点为O ,由直角三角形的性质可得：,OA OS OB OC ===所以O 点为三棱锥S ABC -的外接球的球心,则2SC R =. 例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125例8三棱锥A BCD -中，AB CD ====AC AD BD BC ==A BCD -的外接球的半径是.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解. 例9在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（）A.(C.R r '=例8根铁 A C 本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还 原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外 接球的球面面积为（）A .5πB .12πC .20πD .8π【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.1.AB A2．【ABC,2A 3．A 4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（）A B ．2C ．2D ．15.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为()(A)π(B)2π(C)3π(D)4π6.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A. B. C. D.7．【2016是等边三8．【20169．【2016ABC，⊥AB BC10．【2016,其中∆B是11．【2016CD边长为612..13.ABC的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是?,则这个三棱柱的体积为.15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为．。
球与多面体的接、切问题
一、球与多面体的接、切定义
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
二、切接问题举例
1.正（长）方体与球
（1）正（长）方体的外接球
①位置关系：正（长）方体的8个顶点在同一个球面上，正（长）方体的中心即为球心.
②度量关系：正（长）方体的体对角线等于球的直径.
（2）正方体的内切球
①位置关系：球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为切点，正方体的中心即为球心，相对两个面中心连线即为球的直径，
②度量关系：球的直径等于正方体的棱长.
2.正三棱锥与球
（1）正三棱锥的外接球
①位置关系：正三棱锥的外接球的球心在它的高所在的直线上.
②度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接球半径为R，
则2a-2)
3
3
(b=2h
（2）正三棱锥的内切球
①位置关系：正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）.
②度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，斜高为
1
h，内切球半径为r，
则2a-2)
3
3
(b=2h，2h+2)
6
3
(b=2
1
h
（3）正四面体的棱切球
①位置关系：球心位于正方体的中心
A
B
D
O
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常见多面体外接球的有关计算
常见多面体外接球的有关计算多面体外接球的计算方法多面体是指具有若干个面、边和顶点的几何图形。
而外接球则是指一个球，其球心恰好位于多面体的外部，球面恰好与多面体的顶点相切。
在计算多面体外接球的过程中，我们需要考虑多面体的几何属性以及球的几何属性。
以下是关于多面体外接球计算的方法。
1. 零维多面体（顶点）对于零维多面体，也就是单个顶点，其外接球就是该点本身。
因为只有一个点，所以球心和球面都与该点重合。
2. 一维多面体（线段）对于一维多面体，也就是线段，其外接球是将线段的中点作为球心，并使球面与线段两个端点相切。
3. 二维多面体（三角形、四边形等）对于二维多面体，我们以三角形为例来进行说明。
首先，我们需要计算三角形的垂直平分线，然后求得三条垂直平分线的交点，该交点即为外接球的球心。
球面则通过任意一个顶点与球心的距离来确定。
4. 三维多面体（四面体、正六面体等）对于三维多面体，我们以四面体为例来进行说明。
计算四面体的外接球需要球心和球面两个要素。
首先，我们需要计算四面体的外接圆球，即通过四个顶点所确定的圆球。
然后，我们将四面体的外接圆球的圆心作为外接球的球心，圆球的半径作为外接球的半径。
无论是二维多面体还是三维多面体，计算外接球的主要思路都是找到合适的几何属性来确定球心和球面。
根据不同多面体的特征，我们可以得出相应的计算方法。
需要注意的是，当多面体的顶点过多时，计算外接球可能会变得复杂且耗费较长的时间。
在这种情况下，可以考虑使用计算机辅助的几何软件或算法来进行计算。
综上所述，多面体外接球的计算方法可以根据不同维度的多面体来进行相应的推导和计算。
这些方法可以帮助我们更好地理解和计算多面体的几何性质，并在实际问题中得到应用。
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球（含答案解析）●考试目标 主词填空1.多面体欧拉公式（1）欧拉公式V ＋F －E ＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.2. 球的概念和性质（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.3.球面的距离 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积球的表面积和体积都是球半径R 的函数.(1)半径为R 的球表面积公式是：S ＝4πR 2,(2)半径为R 的球体积公式是：S =334R π.●题型示例 点津归纳【例1】 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】 设三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个.则单晶铜的面数F =x +y ,且棱数E =21(3x +8y ). 又因为铜的单晶的顶点数V =24,且每个顶点处都有3条棱所以棱数 E =21×（3×24）＝36 由欧拉公式得 24+(x +y )-36=2 所以x +y =14,再由21(3x +8y )=36 可解得x =8,y =6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】 本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.【例2】 一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?【解前点津】 设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x 个、y 个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.【规范解答】 设三角形有x 个，五边形有y 个，∵共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，∴棱数E =2316⨯=24, 一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱， ∴棱数为253y x +,∴253y x +=24 ① 另一方面，由题意知面数F =x +y ，由欧拉定理得：16+(x +y )-24=2 ②由①②联立可得：x =1,y =9，即三角形面有1个，五边形面有9个.【例3】 一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.【解前点津】 作出轴截面图.【规范解答】 作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：PD =9.6,CD =2.4,AD =428=ππ. 过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有25.16.9121===PD PC AD C A . ∴A 1C =1.25AD =5.PA 1=.13221=+PC C A记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1， 得C A OE PC PE 1=,PE =PA 1-A 1E =13-5=8, ∵OE =3101=⋅PC C A PE , 即得球半径R =310,所以它的体积为814000343π=π=R V (cm 3). 【解后归纳】 作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A 、B 两点的球面距离.【规范解答】 如图,设北纬45°圈的圆为O 1,地球中心为O ,则∠AO 1B =160°-70°=90°,∠OBO 1=45°,OB =R .∴O 1B =O 1A =R 22,AB =R , 连接AO ,AB ,则AO =BO =AB =R , ∴∠AOB =60°,∴=61·2πR =31πR . 故A 、B 两点间的球面距离为31πR . 【解后归纳】 为求A 、B 两点间球面的距离,要把它组织到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应用.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.正三棱锥是正四面体的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2.正六面体的顶点数V 和棱数E 分别是 ()例3题图例4题图A.V =8,E =12B.V ＝12，E ＝8C.Ｖ＝6，E ＝8D.V ＝6，E ＝103.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为 ( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 4.正十二面体的面是正三角形，且每一个顶点为其一端都有五条棱，则其顶点数V 和棱数E 的值应是( )A.V ＝30，E ＝12B.Ｖ＝12，E ＝30C.Ｖ＝32，E ＝10D.Ｖ＝10，E ＝325.在底面直径为2的等边圆柱中,分别以两底为底面,以圆柱的轴上任一点为顶点的两个圆锥的体积之和是(轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱) ( ) A.34π B.32π C. 3π D.值不确定 6.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，顶点数是V ，则它们之间的关系不正确的是 ( )A.nF =2EB.mV =2EC.V ＋F ＝E ＋2D.mF =2E7.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为 ( ) A.R 31 B.R 333 C.R 5253 D.R 33 8.在地球表面北纬60°线上有两点，它的经度差为180°，则A 、B 两点的纬度线的距离与A 、B 两点的球面距离之比为 ( )A.1∶3B.2∶3C.3∶2D.3∶59.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为 ( )A.RB.21RC.31R D.R 32 10.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的半径等于 ( )A.1B.34C.32 D.332 二、思维激活11.一个简单多面体每个顶点处都有三条棱，则它的顶点数V 和面数F 的关系是 .12.半球内有一内接正方体，则这半球的全面积与正方体的全面积之比为 .13.在120°的二面角内，放一个半径为5 cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 .14.地球半径为6 370km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面接收站，它们在北纬 30°圈上的距离是336370πkm ，则这两地间的经度差是 . 三、能力提高15.求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角.16.制作两个正四面体的模型，再把它们拼成一个六面体，观察一下这个六面体是否为正六面体.17.C 70分子有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.18.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.19.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最小截面面积;(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.第10课 正多面体、球习题解答1.B 正四面体为正三棱锥，而正三棱锥不一定为正四面体.2.A 由欧拉定理可得.3.B 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr =4π，∴r =2.设这三点为A 、B 、C ，球心为O ，则根据球面距离意义可知∠AOB =∠BOC =∠COA =362π=π. 第18题图第19题图∴△ABC 为正△且边长为R ,又r 为△ABC 外接圆半径.∴r =R AB 3333=,∴R =3r =23. 4.B 顶点为12个，棱数E =30.5.B 画图运用等边圆柱的概念即得.6.D 只有mF =2E 不正确.7.B 设较小的半径为r ， ∴34πr 3+34π(2r )3=34πR 3，∴r =333R . 8.C 2:3360cos 221RR π︒⋅π⋅. 9.C 设第四个小球的半径为x ， ∴x +.)32232()(22R R R x =⋅⋅-+ 解得：x =3R . 10.B 32232222⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ，∴R =34. 11.V =2F -4 利用多面体结构特点易知. 12.43π 如图设正方体棱长为x ，球半径为R ， ∴R =.262222x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ S 半球全=21·4πR 2+πR 2=3πR 2， S 正方体=6x 2=6·262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R =4R 2， ∴.434322π=π=R R S S 正方体半球全 13.35π 两切点对球心的张角为3π，∴球面距为35π . 14.120° 北纬30°圈的半径为6370·23, ∴6370·23·θ=6370·23π， ∴θ=32π，即经度差为120°. 15.设正四面体有S —ABC 和正八面体AC 的棱长都为a ,正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 易求得tan α＝22 (0<α<2π). 在正八面体AC 中，连EF 交截面ABCD 于O ，取AB 的中点G .连EG 、FG 、OG ，则EG ⊥AB ,FG ⊥AB ,所以∠EGF 为二面角的平面角.由对称性知∠EGO =∠OGF ＝β，又EG =23a ,GO =21a ,∴EO =a 22. 第12题图解∴tan ∠EGO =tan ∠β=2222=aa . ∴tan2β＝22tan 1tan 22-=β-β(0<2β<π) ∴α与β互补. 16.不是正六面体，正六面体即为正方体.17.设C 70分子中五边形和六边形分别有x 个和y 个，C 70分子这个多面体的顶点数V ＝70，面数F =x +y ,棱数E =21(3×70) ，根据欧拉公式，可得70+(x +y )-21(3×70)=2, 由棱数相等有：21(5x +6y )= 21×(3×70). 解得：x =12,y =25∴C 70分子中五边形有12个，六边形有25个.18.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.19.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S 截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +MB 的最小值就是侧面展开图中的D 1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,由于侧面为全等的正方形，故M 为AA 1的中点,同理N 为CC 1的中点,此时MB ∥ND 1为所求截面.第19题图解。
【课件】球与多面体的内切、外接课件2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
o2
o
5πa2
●
R
r o1
课堂练习
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
32π
的体积为
，那么这个正三棱柱的体积是(
3
A．96 3
C．24 3
)
B．16 3
√D．48
3
1 3
3
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径 R＝ × a＝ a，
3 2
6
3
正三棱柱的高为 a.
3
4 3 32π
三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或
A
正方体．
P
B
C
探究新知
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系
1.若正四面体棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，则
r PO R
6
R
a
4
R : r 3 :1
6
r
a
12
6
6
6
a
a
a.
3
4
12
P
P
a
a
A
V 球＝ πR ＝ .∴a＝4 3.
3
3
3
3
2
∴V 柱＝ ×(4 3) × ×4 3＝48 3.
4
3
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥 ①内切球
P
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与
它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E ∴PD=2,易知
1
V锥体 Sh
3
球与多面体的组合体问题
问题一：多面体与球的组合体问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则13A O R '==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A. B.4π C. D.【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+. 例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【牛刀小试】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,3SE a CE ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r a ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．C．3πD．2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125例8三棱锥A BCD -中，AB CD ====AC AD BD BC ==A BCD -的外接球的半径是.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）A.(－1)RB.(－2)RC.RD.R四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A．l03cm B．10cmC．102cm D．30cm五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A .5πB .12πC .20πD .8π 【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.【针对训练】1.【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒则此球的表面积等于（）A ．952πB ．π20C ．π8D ．352π 2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC,23AC =,若四面体P －ABC 的体积为32,则该球的体积为（） A ．3πB ．433C ．83πD ．8333．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（）A ．2B ．22C ．2D ．1 5.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为()(A )π(B )2π(C )3π(D )4π6.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A. B. C. D.7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为．11．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体CD AB 中，AB ⊥平面CD B ，CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =，则四面体CD AB 外接球的表面积为．12.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.13.已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若P A,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是?,则这个三棱柱的体积为.15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为．。
多面体及球体的概念、性质、计算
多面体及球体的概念、性质、计算立体几何是高中数学的重要内容，立体几何试题是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绎推理能力的基本载体近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系。
考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力。
在《课程标准》中，立体几何的内容和考查要求有了较大的变化：增加了三视图，更强调几何直观，几何证明有所削弱，淡化了距离问题。
因此，在复习中，以基本知识，基本方法为基础，以通性通法为重点，培养空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。
一般来说，平面向量在高考中所占份量较大，我们从以下五方面探讨立体几何问题的求解： 1.多面体及球体的概念、性质、计算；2.由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算：3.关于线线、线面及面面平行的问题；4.关于线线、线面及面面垂直的问题；5.关于空间距离和空间角的问题。
一、多面体及球体的概念、性质、计算： 典型例题：例1.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为【】()A 26()B 36()C 23()D 22【答案】A 。
【考点】三棱锥的性质。
【解析】∵ABC ∆的外接圆的半径33r =，∴点O 到面ABC 的距离2263d R r =-=。
又∵SC 为球O 的直径，∴点S 到面ABC 的距离为2623d =。
∴此棱锥的体积为113262233436ABC V S d ∆=⨯=⨯⨯=。
故选A 。
例2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为【】（A ）6π（B ）43π（C ）46π（D ）63π 【答案】B 。
【考点】点到平面的距离，勾股定理，球的体积公式。
【解析】由勾股定理可得球的半径为3，从而根据球的体积公式可求得该球的体积为：()3V 43=433ππ=⨯⨯。
专题11 多面体的外接球和内切球(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧
O2
O
A
③分别过 O1 做面 ABC 的垂线，和 O2 做面 PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球心
H
O1
B
C
O.
二、典型例题
例题 1．（2023 春·湖南湘潭·高二统考期末）棱长为 1 的正方体的外接球的表面积为（
）
A． 3π 4
B． 3π
C．12π
D．16π
【答案】B
【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为 R ，
∠BAC = 120° ， A=B A=C A=P 2 ，则该四面体的外接球的表面积为（
）
A．12π
B．16π
C．18π
D． 20π
【答案】D
【详解】因为 PA ⊥ AB ， PA ⊥ AC ，= AB AC A, AB, AC ⊂ 平面 ABC ,
所以 PA ⊥ 平面 ABC .
设底面 ABC 的外心为 G ，外接球的球心为 O ，则 OG ⊥ 平面 ABC ，所以 PA// OG . 设 D 为 PA 的中点，
所以O=C O=D OA ，即 O 为该三棱锥的外接球的球心， CD = 4 2
由正弦定理可知， 4= 2 2= R, R 4 6 ，
sin 60°
3
故该三棱锥的外接球的表面积为 S =4π R2 =4π × 16× 2 = 128π .
3
3
故选：C
2．（2023·湖南·模拟预测）在三棱锥 A − BCD 中， AB ⊥ 平面 BCD， BC ⊥ CD，CD = 2AB = 2BC = 4 ，则三
π
.
【反思】本例属于对棱相等模型，可补形为长方体，再借助长方体模型，求外接球半径.
多面体、球
【自主解答】(1)如图，正八面体S－ABCD－P，面SBC 与面SCD的中心分别为E、F， 连SE、SF并延长分别交BC、CD于M、N， 2 21 则EF＝3MN＝3· 2BD 1 2 ＝3BD＝ 3 a. 类似可求SBC与PBC的中 2 心间的距离也是 3 a.
(2)面ABP∥面SCD，AB∥面SCD， ∴AB到面SCD的距离， 即为面ABP与面SCD的距离，取AB的中点R， 连SR、RN，则面RSN⊥面SCD，即R到SN的距离h即为所求． 设正八面体中心为O， 1 1 S△SRN＝2RN· SO＝2SN· h， 6 h＝ 3 a.
π ∴AB＝ 2r＝R.∴∠AOB＝3. π ∴A、B两点的球面距离为3R.
• • • •
【题后总结】求球面距离的步骤： (1)求弦长AB； (2)求球心角α＝∠AOB； (3)利用公式L＝αR，求A、B两点间的球面距 离．
【活学活用】 1.如图，在半径为3的球面上有A、B、C 的距离是 3 2 ，则B、C两点的球面距离是( π A．3 4 C．3π B．π D．2π 2 )
• 第七讲 多面体、球
考点 考纲要求 考查角度 正多 面 体、 了解多面体、 球 球面距离、球 凸多面体的 的 的性质、表面 概念，了解 多面 性 积与体积；球 正多面体的 的内接 (切)、 体 质 概念；了解 外接(切)几何 和 及 球的概念，
• 一、多面体 • 1．多面体 • 若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面 体． • 2．凸多面体 • 把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所 有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多 面体叫做凸多面体．
解析：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴球心O在平面ABC上的射影为线段AC的中点O′， ∴AC＝2 OA2－OO′2＝3 2，BC＝3.
立体几何多面体与球体的性质
立体几何多面体与球体的性质立体几何多面体与球体的性质是高中数学课程中的重要内容。
在本文中，将介绍多面体和球体的基本概念，以及它们的特性和性质。
一、多面体的性质多面体是由多个平面多边形所组成的立体图形。
根据多边形的形状和特点不同，多面体可以分为正多面体和非正多面体。
1. 正多面体正多面体是指所有的面都是相等的正多边形，并且相邻面的交线都通过一个点。
常见的正多面体有四面体、八面体和二十面体。
- 四面体：四面体是最简单的正多面体，它由四个面组成，每个面都是一个三角形。
四面体的特点是任意两个面都有共边线，且相邻的三个面的交点在同一直线上。
- 八面体：八面体是由六个四边形面和八个顶点组成的正多面体。
八面体的特点是每个面都是正方形，且每个顶点都与其他四个面相交。
- 二十面体：二十面体是由十二个五边形面和二十个顶点组成的正多面体。
二十面体的特点是每个面都是正五边形，且每个顶点都与其他五个面相交。
2. 非正多面体非正多面体是除正多面体以外的所有多面体。
非正多面体的面可以是任意的多边形，相邻面的交线也可以是任意的曲线。
二、球体的性质球体是由一个平面上的圆绕着直径旋转一周形成的。
球体是一种特殊的立体图形，具有许多独特的性质。
1. 半径与直径球体的半径是从球心到球面上的任意一点的距离，而直径是球面上通过球心的任意两点间的距离。
球体的半径和直径具有以下关系：直径等于半径的二倍。
2. 表面积和体积球体的表面积和体积是球体的两个重要性质。
- 表面积：球体的表面积是指球体表面所包围的所有面积的总和。
球体的表面积公式为：4πr²，其中r是球体的半径。
- 体积：球体的体积是指球体所包围的空间的大小。
球体的体积公式为：(4/3)πr³，其中r是球体的半径。
3. 球面上的点与圆的关系球面上的任意一点与球心之间的距离等于球心附近的一个圆的半径。
这个关系被称为球面上的点与圆的关系。
4. 球切割与球切线球体可以被一个平面切割成两部分或多部分。
【精选】第七节 多面体球
∴OO1⊥O1A，OO1⊥O1B.
又∵A、B 在北纬 45°圈上，
∴∠OBO1＝∠OAO1＝45°.
∴O1A＝O1B＝O1O＝OA·cos
45°＝
2 2 R.
在 Rt△AO1B 中，∵AO1＝BO1， ∴AB＝ 2AO1＝R. ∴△AOB 为等边三角形．∴∠AOB＝π3.
∴在 45°纬线圈上，劣弧 的长＝π2AO1＝π2·22
6．球的表面积与体积公式
S 球圆＝_4_π_R_2_，V＝43_π_R_3_.
正多面体的有关计算问题
•
设正四面体的棱长为a，将各棱
三等分，经过等分点在原正四面体各
顶点附近截去一个小正四面体，试问：
所留下的多面体是不是正多面体？并
求它的体积.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 【思路点拨】 (1)根据正多面体的定 义判断；
• (2)求体积用正四面体体积减去4个小 正四面体体积．
• 2．正多面体
• 每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶 点为端点都有相同_棱__数__的凸多面体，叫做 正多面体．正多面体只有五种：正四面体、 正六面体、正八面体、正十二面体和正二十 面体．其中正四面体、正八面体、正二十面 体的面是_正_三__角__形____，正六面体的面是正方 形，正十二面体的面是_正__五__边__形____．
第七节 多面体、球
• 1．多面体
•多若_面_干_体_个__平，面其多中边围形成围多成面的体空的间各图个形多叫边做形叫做 多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱， 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，把多面体 的____任__何__一_ 个 面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平 面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．
(2)V 留下部分＝VA—BCD－4VA—EFG.∵正四面 体的高 h 等于棱长的 36倍， ∴VA—BCD＝13·12·a·a·23·36a＝ 122a3， 4VA—EFG＝4·13·12·13a·13a·23·36a·13＝ 812a3. ∴V 留下部分＝233242a3.
第九章--第九节--多面体、球
且AB＝2，AD＝ AA1＝1，则顶点A、B间的球面
距离是
.
解析：(2R)2＝22＋( )2＋12＝8，
∴R2＝2，OA2＝OB2＝2，在△AOB中，OA2＋OB2＝AB2
＝4，所以∠AOB＝ 因此，顶点A、B间的球面距离
等于×＝
答案：
5.在120°的二面角内放一个半径为6的球，
使球与两个半平面各有且仅有一个公共点，
常先作出球的大圆，然后利用平面几何知识求解. 2.计算或证明截面问题时要注意联系球的半径R、截面圆的
半径r及球心到截面的距离d三者的关系，重视球的截面(含 球的切面)的性质.
【注意】 (1)球的表面积和体积都是关于球半径R的函数， 因此要注意运用函数与方程的思想方法去处理. (2)球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置.许多球 问题中，要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过 球心、球面上的点以及切点等的连线构造多面体(俗称“骨 架图”)，把球问题转化为多面体问题来加以解决.
弧长叫做两点间的球面距离. (4)球的体积：V＝ πR3 .
球的表面积：S＝ 4πR2.
1.已知球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( )
A.
B.3
C.4
D.5
解析：设球半径为R，则 πR3＝4πR2，∴R＝3.
答案： B
2.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3、4、5，且它的
8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ( )
由正弦定理求出截面圆的半径，画出截面圆，找 出数量关系.
【解】 (1)设过A，B，C三点的 外接圆的半径为r，球的半径为R， 由正弦定理
＝2r，得r＝5， ∴截面的面积为πr2＝25π(cm2). (2)∵球心到截面距离为12 cm， ∴R2－r2＝122，R2＝122＋52＝132， ∴R＝13 (cm).
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过两点的大圆在这两点之
间的劣弧的长度.
R
O
Q
球面距离公式
P、Q间的球面距离
P
⌒ PQ的长度 R
注：θ的单位为弧度.
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心 的平面截得的圆叫做小圆． 你了解在地球上有哪些大圆、小圆吗？ 地球上的经度线就是球面上从北极到南极的半个大圆， 赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆． 从数学的角度上，怎样理解地球上某点的经度、纬度呢？
40°
K
A
O
B
例2.设点A位于地球(半径为R)上东经44°、北 纬30°处，点B位于东经134°、北纬60°处， 求A、B两点间的球面距离. N
分析：求球面距离，
关键求球心角，要求球 心角，关键是求两点间 的直线距离（弦长）.在 纬圆中求弦长，在大圆 中求球心角及球面距离.
A
O2 O1 O
B
S
作业： 教材 读书，完成课后练习（书上）
小 结：
1. 本节课主要学习了正多面体的定义及种类，正多面体的面 数已经不像正多边形边数那样有无数多种类型了，而只有4、 6、8、12、20五种，要想知道为什么，看书阅读材料． 等的正多边形，各侧棱是相等的线段；了解正多面体只有正 四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五 种．
习题 9.10
1，2，3，4
例3 求棱长为a的正八面体的体积V和全面积S．
解：如图，由题知截面是一个边长为a的 正方形，并且它把正八面体分成两个全等 的正四棱锥E-ABCD和F-ABCD． 设EO是棱锥E-ABCD的高，则
2 2 2 a EO EA AO a ( a) 2 2
2 2
2
E
A B
D O C
1 2 2 2 3 F V 2VE - ABCD 2 a a a 3 2 3 3 2 S 8SEAB 8 a 2 3a 2 1 4 V棱锥 S 底 h高
3
4
4
A
E
H B
F
C
又 如图，在正四面体IJKL中，取KL的中点M，连结IM、JM，
则∠IMJ为二面角I-KL-J的平面角.
设正四面体IJKL棱长为1，则
I
IM JM
由余弦定理得
3, 2
J M L
3 3 1 1. cosIMJ 4 4 3 3 3 2 2 2
K
∴正八面体相邻两面所成的二面角与正四面体相邻两面所成的 二面角互补， 因而拼成的多面体是七面体.
由地理知识知：AOB 为P点所在经线的经度。
本 初
北极
P 地
轴 O
子 午
线 A B
道 赤
2、地球的纬度
某点的纬度就是 经过这点的球半径与 赤道面所成角的度数. 由地理知识知： AOP为P点所 在纬线的纬度。
P 北极
地 轴 O
道
A
赤
经度的定义
纬度的定义
90° 60° 40°
地理知识
66.5° 北极圈
点O’就是球心O 在截面上的射影． 由于球心O到截面与球面的交线上任一点的距离都相等， 所以点O’到这条交线上任一点的距离也都相等，
因此这条交线就是以点O’为圆心的圆．
二 球的截面及其性质
•截面的定义：用一个平面去截一个球,截面是圆面. •1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面． •2.球心到截面的距离 有下面的关系:
现在我们来研究球的一些性质．首先请同学们思考：用一 个平面去截球面，平面与球面的交线是怎样的平面图形呢？ 用一个平面去截球面，平面与球面的交线是圆 证明：当截面经过球心时， 由球面的定义知，球心到截面与球面的 交线上任一点的距离都等于球的半径， 因此这条交线就是以球心为圆心， 球半径为半径的圆． 当截面不经过球心时， 由球心O 向截面作垂线，设垂足为O’点，
20°
0° 20° 40° 60° 90° 30° 60° 90° 120° 150°
23.5° 北回归线 赤道 23.5° 南回归线
南极圈 66.5°
例1. 我国首都靠近北纬40°纬线。求北纬 40°纬线的长度约等于多少km（地球半径 约为6 370km）.
A K
40°
A
O
B
O
B
解： 如图，A是北纬40°纬线上的一点，AK是它的 半 径，所以OK⊥AK.设c是北纬40°的纬线长，因为 ∠AOB=∠OAK=40°，所以 c =2π·AK = 2π·OAcos∠OAK ≈2×3.142×6370×0.7660， 由计算器算得 C≈3.066×104（km）. 答：北纬40°纬线长约等于3.066×104km.
90° 60° 40° 20° 30° 60° 0° 20° 40°
66.5北 °极圈
23.5 ° 北回归线 90° 120 150 °°
赤道
23.5° 南回归线
60°
90°
66.5南极圈 °
四、地球的经度纬度
1、地球的经度
某点的经度是经过这点的经线和地轴确 定的半平面与0度经线(本初子午线）和地轴 确定的半平面所成二面角的度数. • 地球的经线就是球 面上从北极到南极 的半个大圆.
观察球的形成过程
3、球的有关概念 球心、球半径、直径、球的表示
A
R
C B
注意：球体与球面的区别
O
球O
①球面：空间中与定点距离等于定长的点的集合。 ②球(即球体):球面所围成的几何体. 它包括球面和球面所包围的空间.
观察球的截面的形状
现在我们来研究球的一些性质．首先请同学们思考：用一 个平面去截球面，平面与球面的交线是怎样的平面图形呢？
d 与球的半径 R ,小圆半径 r
2 2
r R d
大圆和小圆
• 球面被经过球心的平 面截得的圆叫做大圆. • 如⊙O(浅蓝色圆）.
• 球面被不经过球心的平 面截得的圆叫做小圆. • 如⊙O′(黄色圆）.
o
O
三、两点间的球面距离
球面上两点之间的最短连线的长度， 平面上两点间的最短距离是连结这两点的线段的长度，而 球的表面是曲面，球面上 P、Q两点间的最短距离显然不是线段 就是经过这两点的大圆在这两点间 PQ的长度，那是什么呢？ 的一段劣孤的长度. 定义：球面距离是球面上
习题9.9 13 ~ 16
读书：多面体欧拉定理的发现和阅读材料
球
观察现实生活中的各种球形
•篮球 •保龄球
NBA
•地球仪 •西瓜
•地球 •足球
一、球的基本概念
1、球面 定义1（集合的观点）：空间中与定点距 离等于定长的点的集合。 定义2（运动的观点）：半圆以它的直径 为旋转轴，旋转所成的曲面。 2、球体 球体——与定点距离等于或小于定长的 点的集合。也就是球面所围成的几何体。