无限循环小数的分数表示
无限循环小数化为分数的方法
无限循环小数化为分数的方法无限循环小数化为分数的方法如下：一、等比数列法无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如：0.333333……循环节为3则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
再如：0.999999.......循环节为9则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^n=0因此：0.99999.....=0.9/0.9=1二、解方程法无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数纯小数纯循环小数例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：10x-x=1.1111……-0.1111……9x=1X=1/9例：0.999999.......=1设x=0.9999999......10x-x=9.999999.....-0.999999.....9x=9x=1关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。
例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.26(··)更换为X得：100x=26+X，100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99例：将无限循环小数0.123(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.123(··)，将已知无限循环小数0.123(··)的未知分数设为X，即0.123(··)= X ——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123(··))，1000X=123+0.123(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.123(··)更换为X得：1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，∴X=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333归纳为了公式化，我们可以这样表示：x·10∧b－x ，其中b是循环节的位数。
怎样把无限循环小数化成分数
怎样把无限循环小数化成分数
化循环小数为分数可以按如下两种情况进行．
1．化纯循环小数为分数．
例1．化下列纯循环小数为分数：
（1）（2）（3）
解：（1）设①,
则②
①-②得
9x=6
①-②，得
99x=23
②-①，得
999x=107，
纯循环小数: 小数部分循环节有几位数，分母部分就写几个9，分子为原小数部分的循环节。
例：0.1……=1/9；0.1212……=12/99=4/33，0.135135……=135/999 混循环小数: 循环
节部分同上,只是循环节首位数字处于多少分位，就除以多少，再乘以10；非循环部分的数字做分子，最后一位处于几分位，分母就是几。
例如：0.25333……=25/100+（3/9）*10/1000=76/300=19/75，0.68757575……=68/100+（75/99）*10/1000=2244/3300+25/3300=2269/3300
2．化混循环小数为分数．
[例2]化下列混循环小数为分数：
①-②，得
990x=312-3
①-②，得900x=3-0
①-②，得
9990x=2316-2
注意：化循环小数为分数一般方法是：设循环小数为x，用乘10的幂的方法把小数点移到某一循环节的前边和后边，然后相减消去“无限循环”部分。
无限循环小数的两种写法
无限循环小数的两种写法
无限循环小数的表示方法有：一、循环节的表示方法。
二、分数表示法，分数表示法又分为两种，分别是：1、纯循环小数小数部分化成分数；2、混循环小数小数部分化成分数。
找到小数部分的循环小数，如果它是一个数字循环，就在这个数字的上面点一个点；如果2个数字循环，就在这两个数字上面分别点一个点；如果出现2个以上数字的，就在第一个数字和最后一个数字的上面点一个点。
循环小数的简写法就是将第一个循环节以后的数字全部省略，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。
例如：35.…缩写为 35.23（2,3上面加一个点），它读作“三十五点二三，二三循环”。
二、分数则表示
把循环小数的小数部分化成分数的规则：
1、氢铵循环小数小数部分化为分数：将一个循环节的数字共同组成的数做为分子，分母的各位都就是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分后。
2、混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
无限循环小数化分数的方法
无限循环小数化分数的方法无限循环小数，指十进制小数中数字序列一直循环出现的小数。
如0.3333……就是无限循环小数，它等于1/3。
接下来介绍几种常见的方法将无限循环小数化成分数。
1.长除法法将无限循环小数表示为分数x/y，其中x和y互质。
假设小数中以m开始不断循环出现，那么我们可以列出以下的等式：10^(n+d)x = m·(10^n-1)·10^d + m·(10^(n+2d)-10^(n+d))其中，d为小数循环节长度，n为大于d的任意正整数。
由于x是小数转化而来，因此有：x = m/(10^d - 1) + m/(10^(2d) - 1) + … + m/(10^(nd) - 1)然后将上式的右边化为分数，则有：x = m(1/10^d + 1/10^(2d) + … + 1/10^(nd))/(1-1/10^d)而y=10^n-1，则x/y=m/(10^d - 1) + m/(10^(2d) - 1) + … + m/(10^(nd) - 1)。
2.解二元一次方程组法同样假设无限循环小数为x/y，其中循环节长度为d。
则有：10^d·x - x = m10^d·y - y = 1其中m为小数循环节序列。
将x和y相消，联立方程组得到：x = m/(10^d - 1)y = (10^d - 1)/y因此，将无限循环小数化成分数的方法就是将循环节序列作为m 代入上式即可。
3.其他方法如果无限循环小数的分母是5的倍数，则可以将它们都变为10的倍数，即将小数点后移一位。
这时，无限循环小数就可以化为分数。
例如：0.6 = 6/10 = 3/5。
如果无限循环小数的分母可以分解为2和5的倍数，则先将该小数化为相应的分母，再用长除法法将无限循环小数化为分数。
通过以上几种方法，我们可以将无限循环小数化成分数，使其更便于计算。
分数的循环小数
分数的循环小数分数是数学中的基本概念，它由两个整数表示：分子和分母。
有些分数可以被准确地表示为有限小数，例如1/2、3/4等。
然而，还有一些分数无法被准确地表示为有限小数，而被称为循环小数。
本文将对分数的循环小数进行探讨。
1. 什么是循环小数？循环小数指的是在小数部分出现重复数字的无限小数。
以1/3为例，当我们将其转化为小数时，得到的结果是0.3333…，数字3会无限循环地出现下去。
这种循环小数可用上划线表示，如0.3̅。
2. 循环节循环小数中不断重复的数字称为循环节。
在1/3的例子中，循环节是3。
其中，循环节的长度取决于分子和分母之间是否存在公因数。
若分子和分母互质，则循环节长度最长为d-1，其中d是分母的值。
3. 循环小数的表示方法循环小数可以通过以下方法来表示：- 转化为分数形式：我们可以通过观察循环节的位置和长度，将循环小数表示为一个分数。
例如，0.3̅可表示为1/3。
- 采用符号表示：循环节可以用上划线或括号来表示。
例如，0.3̅可以写作0.3̅或(0.3)。
- 转化为有限小数和无限小数之和：循环小数可以表示为一个有限小数和一个无限小数的和。
例如，0.3̅可以表示为0.3 + 0.03̅。
4. 如何确定一个小数是否为循环小数？有一些规律可以帮助我们确定一个小数是否为循环小数：- 如果一个小数的小数部分有限，那么它不是循环小数。
- 如果一个小数的小数部分是无限的，但没有重复数字，那么它不是循环小数。
- 如果一个小数的小数部分有限，但有重复数字，那么它是循环小数。
- 如果一个小数的小数部分是无限的，并且有重复数字，那么它是循环小数。
5. 实际应用循环小数在实际生活中有广泛的应用，例如测量、金融等领域。
对于计算机科学家和工程师来说，理解循环小数可以帮助他们处理精度问题和浮点数运算。
总结：分数的循环小数是指小数部分出现重复数字的无限小数。
循环小数可以用分数形式、特殊符号或有限小数和无限小数之和来表示。
无限循环小数和分数的互化
有限小数
01
无限小数
02
小数
03
无限循环小数
04
无限不循环小数
05
无限纯循环
06
无限混循环
07
分数化循环小数
化为小数为0.3333……=
1
化为小数为1.2222……=
2
化为小数为0.1818……=
3
反过来，循环小数怎样化为分数呢？
4
分析
首先明确一点 无限不循环小数 是不能转化成分数的 那么无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，“大尾巴”不就剪掉了吗！
无限循环小数和分数的互化
单击添加副标题
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
有限小数 如0.6，6.78，10.168 （小数部分位数有限）
添加标题
无限小数 如0.333……，2.304304304……，
添加标题
， （小数部分位数无限）
添加标题
小数
添加标题
无限循环小数 如0.333……，2.567567567…… 5666…… 0.1777……
分数化小数 分母是10，100，1000......的：可以直接化成小数，如，十分之七化成0.7，一百分之九化成0.09 分母不是10，100，1000......的：分子除以分母。一个最简分数，如果分母分解质因数只含有2、5的，可以化成有限小数；如果含有2、5以外的质因数，就不能化成有限小数，但绝对能化成循环小数。附加：如果分母分解质因数不含有2、5，只含有2、5以外的质因数，就能化成纯循环小数，如果既含有2、5，又含有2、5以外的质因数，就能化成混循环小数。
无限循环小数化分数
有限循环小数如何化为分数北京市第十九中学初一二班王旭目前的学习误区：在小学奥数中，只学过0.aaa……＝a/9，并没有更具体的概念。
主要内容：一个数的小数部分，如果从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的数就叫做循环小数。
循环小数化分数的方法有：1.纯循环小数化分数。
分子是一个循环节所表示的数；分母的各位数字都是9，9的个数和一个循环节的数字的个数相同。
2.混循环小数化分数。
分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数减去不循环数字所组成的数的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数和一个循环节的数字的个数相同，0的个数和不循环部分的数字的个数相同。
一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢？看下面例题。
把纯循环小数化分数：纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？把混循环小数化分数。
（2）先看小数部分0.353一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
有限小数化成分数直接将小数点去掉，分母对应化成十百千万等。
再约分浅谈如何将循环小数化为分数感受：我们知道，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几……等形式的数。
那么无限小数能否化成分数呢?我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。
小学奥数：循环小数化分数概念
小学奥数：循环小数化分数概念无限循环小数是有理数，既然是有理数就可以化成分数。
循环小数分为混循环小数、纯循环小数两大类。
混循环小数可以*10^n(n为小数点后非循环位数)，所以循环小数化为分数都可以最终通过纯循环小数来转化。
方法1.无限循环小数，先找其循环节(即循环的那几位数字)，然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如：0.333333……循环节为3则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……前n项和为：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)当n趋向无穷时(0.1)^(n)=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
方法2：设0.3333......，三的循环为x，10x=3.3333.......10x-x=3.3333.......-0.3333......(注意：循环节被抵消了)9x=33x=1x=1/3第二种：如，将3.305030503050.................(3050为循环节)化为分数。
解：设：这个数的小数部分为a，这个小数表示成3+a10000a-a=30509999a=3050a=3050/9999算到这里后，能约分就约分，这样就能表示循环部分了。
再把整数部分乘分母加进去就是(3×9999+3050)/9999=33047/9999还有混循环小数转分数如0.1555.....循环节有一位，分母写个9，非循环节有一位，在9后添个0分子为非循环节+循环节(连接)-非循环节+15-1=1414/90约分后为7/45。
人教版初一数学上册无限循环小数化分数
练习： 将 0.2， 0.7 化为分数形式。
自主探究
1.用分数形式表示0.73 2.用分数形式表示0.236
思考： 将纯循环小数化成分数有何规律？
归纳： 对于纯循环小数，循环节有几位就在分 母上添几个9，并将循环节添在分子上。
例2 ：将0.128化为分数形式。
合作交流
1.用分数形式表示 0.234
实验与探究
无限循环小数化分数
福田河中心学校 黄治安Βιβλιοθήκη 驶向胜利 的彼岸小数的分类：
有限小数
小
数
无限循环
无限小数 小数
无限不循 环小数
纯循环小数 0.3 ，0.27 混循环小数 0.315 ，0.269
我来回答
1. 3.3是0.3的 11 倍 2 . 3.3是0.3的 10 倍
例1：用分数形式表示0.3
0.18 = 17/90
0.125 = 113/900
0.201 = 181/900 0.326 = 323/990
0.1234 = 1222/9900 0.0027 = 25/9000
练习：
1、 把下列分数化成循环小数：
1
5
8
（1） = ， = ， = .
9
9
9
1 （2）9 9 =
1
（3） =
999
化为分数形式。
下课了!
17
34
， 9 9 = ，9 9 = .
38
125
，=，=.
999
999
小试牛刀 1.试比较0.9与1的大小关系
2. 将 323/990 化为分数
小结与作业：
小结： 1、所有的小数都可以化为分数吗？ 2、无限循环小数化为分数的规律。
无限循环小数化成分数的公式
无限循环小数化成分数的公式一、纯循环小数化分数公式及推导示例。
1. 公式。
- 对于纯循环小数，将一个循环节作为分子，分母是由若干个9组成，9的个数与循环节的位数相同。
- 例如：将纯循环小数0.ȧ = (a)/(9)（a为一位循环节）；0.ȧḃ=frac{¯ab}{99}（¯ab表示两位数ab组成的数）；0.ȧḃċ=frac{¯abc}{999}（¯abc表示三位数abc组成的数）等等。
2. 推导示例。
- 以0.3̇为例，设x = 0.3̇，则10x=3.3̇。
- 用10x - x，即10x - x=(3.3̇)-(0.3̇) = 3。
- 因为10x - x = 9x，所以9x = 3，解得x=(3)/(9)=(1)/(3)。
- 再以0.1̇2为例，设x = 0.1̇2，则100x = 12.1̇2。
- 100x - x=(12.1̇2)-(0.1̇2) = 12。
- 又因为100x - x = 99x，所以99x = 12，解得x=(12)/(99)=(4)/(33)。
二、混循环小数化分数公式及推导示例。
1. 公式。
- 对于混循环小数，分子是不循环部分与第一个循环节组成的数减去不循环部分组成的数，分母的前面是若干个9，9的个数与循环节的位数相同，后面是若干个0，0的个数与不循环部分的位数相同。
- 例如：将混循环小数0. a ḃ= frac{¯ab-a}{90}（a为不循环部分一位数，¯ab表示a和循环节b组成的数）；0. a ḃċ=frac{¯abc-a}{990}（a为不循环部分一位数，¯abc 表示a和循环节bc组成的数）；0. ab ċ=frac{¯abc-¯ab}{900}（ab为不循环部分两位数，¯abc表示ab和循环节c组成的数）等等。
2. 推导示例。
- 以0.23̇为例，设x = 0.23̇，则10x = 2.3̇，100x=23.3̇。
各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成分数的方法归纳循环小数是小数中的一种特殊形式，将其化成分数可以让我们更深入地理解数的本质。
下面就为大家归纳一下各种循环小数化成分数的方法。
一、纯循环小数化成分数纯循环小数是指从小数点后第一位开始循环的小数。
例如：0333 ， 0767676 等。
纯循环小数化成分数的方法是：用一个循环节所组成的数作为分子，分母的各位数字都是 9，9 的个数与循环节的位数相同。
以 0333 为例，循环节是 3，所以化成分数就是 3/9 ＝ 1/3 。
再比如 0767676 ，循环节是 76，化成分数就是 76/99 。
二、混循环小数化成分数混循环小数是指小数点后不是第一位开始循环的小数。
例如：02333 ， 03565656 等。
混循环小数化成分数的方法是：用小数部分不循环的数字与一个循环节所组成的数减去不循环的数字组成的数之差作为分子，分母的头几位数字是 9，9 的个数与循环节的位数相同，末几位数字是 0，0 的个数与不循环部分的位数相同。
以 02333 为例，不循环的数字是 2，循环节是 3，所以分子是（23 2）＝ 21，分母是 90，化成分数就是 21/90 ＝ 7/30 。
再比如 03565656 ，不循环的数字是 3，循环节是 56，所以分子是（356 3）＝ 353，分母是 990，化成分数就是 353/990 。
三、多个循环节的循环小数化成分数有的循环小数可能存在多个循环节。
例如：***********，************等。
对于这种多个循环节的循环小数，我们可以把它看作是由一个整数部分和一个纯循环小数部分组成，然后分别将纯循环小数部分化成分数，再加上整数部分即可。
以***********为例，整数部分是 0，纯循环小数部分是0345345345 ，循环节是 345，所以纯循环小数部分化成分数是 345/999 ，那么原小数化成分数就是 2345/9990 。
四、小数点后有多个不循环数字和多个循环节的循环小数化成分数比如：01234567895678956789 ， 023456789121212 等。
无限循环小数化为分数形式的一般规律
无限循环小数化为分数形式的一般规律哇塞，同学们，你们知道无限循环小数怎么变成分数形式吗？这可太神奇啦！
就拿0.333...... 这个无限循环小数来说吧。
咱们假设它等于x ，那x 就等于
0.333...... 。
那10x 呢？10x 不就是3.333...... 嘛。
这时候咱们用10x - x ，也就是3.333...... - 0.333...... ，那结果是多少？这不就是3 嘛！而10x - x 是9x 呀，那9x 等于3 ，x 不就等于3÷9 ，也就是1/3 嘛。
再比如说0.121212...... ，咱们还是设它是x 。
那100x 就是12.121212...... 。
然后100x - x ，不就是12 嘛！因为100x - x 等于99x ，所以99x 等于12 ，x 就等于12÷99 ，约分之后就是4/33 。
哎呀，你们想想，这是不是就像在一个神秘的数学城堡里探险？每一个无限循环小数都是一扇隐藏的门，咱们找到规律，就像拿到了打开门的钥匙！
咱们平时觉得无限循环小数好像很复杂，很难搞定，可一旦找到了这个规律，是不是就觉得也没那么可怕啦？这不就跟咱们刚开始学骑自行车似的，觉得好难好难，老是摔倒，可一旦掌握了平衡的窍门，就能骑得又快又稳啦！
我觉得呀，数学里这些神奇的规律，就等着咱们去发现，去探索，只要咱们用心，啥难题都能解决！这无限循环小数化为分数形式的规律，咱们不就搞明白啦？所以，同学们，别害怕数学里的难题，咱们都能搞定！。
无限循环小数化分数
无限循环小数化分数假设一个循环小数P ，整数部分P N ，小数部分P i ，其中小数部分分为循环开始部分P ia ，共有i 个有效数位；循环部分P il ，循环节L ，循环节共有j 个数位（其中m ，n>0且m ，n 为整数）。
1、构建数组模型观察一个循环小数4.32456456……，这里循环节L 是456 循环部分P il =0.00456456……，分析可以表示为P il =0.001x456x(10-3(n-1)+10-3(n-2)+……+10-3+1） 首先构建一个等比数列｛z n ｝）（1-n )(1-i 110,10,10=z 令⋅---⋅==j il n j P z q 可以使用错位相减法和极限法使P=b/a(其中a,b 互质)。
j-1-i ia N j -j-n j -1-i ia N j -j-n j -1-i ia N j -n j -1-i ia N j -j -1)-(2j -1)-(3j -1)-(n j -n j -1-i ia N j -j -1)-(1j -1)-(2j -2)-(n j -1)-(n j -1-i ia N ilia N 10-110L )P +P (10-110-1)101(10L )P +P (10-1lim lim 10-1)101(10L )P +P (10-1)101(10L )P +P (10-110-1)10101010(10L )P +P (1010)10101010(10L P +P =P +P +P =P -⋅-∞→∞→⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅=-⋅⋅+⋅=∞→-⋅⋅+⋅=-⋅⋅+⋅=++++⋅⋅+⋅=⋅++++⋅⋅+）（）（，于是使用极限法：这里）（）（）（两式相减n n P n P P P这里举例验证：P=0.333 (3)110-1103)0+0(10-11j 0,i 3,L ,0P 0,P 1-1-01-ia N =⋅+⋅======-）（代入P对上述循环小数4.32456456……，代入公式：83253600299900432024999.0456.0999.032.410-110564)0.32+4(10-13j 2,i 456,L ,32.0P 4,P 3-1-23-ia N ==+⋅=⋅+⋅======-）（代入P2、直接使用错位相减法P=[P N ][P i ][P ia ][LL ……]10j xP=10j x([P N ][P i ][P ia ][LL ……])则P=((10j x([P N ][P i ][P ia ][LL ……]))-([P N ][P i ][P ia ][LL ……]))/(10j -1) =(10j x[P N ][P i ][P ia ][L])/(10j -1)同样举例验证P=0.333……10P=3.333……P=3/(10-1)=1/3使用上面的公式和方法可解决任意无限循环小数化分数的问题。
各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成分数的方法归纳循环小数是指小数部分有一段数字重复出现的无限循环的数字。
我们常常需要将循环小数转换为分数形式，这有助于我们更好地理解和计算。
在本文中，我们将对各种循环小数化成分数的方法进行归纳和总结。
一、纯循环小数的转化方法纯循环小数是指小数部分全部为重复的数字。
对于纯循环小数的转化，我们采用以下方法：1. 设循环部分的长度为n，将循环部分的数字表示为x，将循环小数表示为0.x。
根据小数的定义可知，0.x = x / (10^n - 1)。
因此，纯循环小数可以转化为分数形式：分子为循环部分的数字，分母为n个9。
例如，将0.6666...转化为分数形式。
循环部分的长度为1，循环的数字是6。
根据上述方法，我们得到0.666... = 6 / (10^1 - 1) = 6 / 9 = 2/3。
2. 对于循环部分长度大于1的纯循环小数，我们可以类似地转化为分数形式。
例如，将0.1414...转化为分数形式。
循环部分的长度为2，循环的数字是14。
根据上述方法，我们得到0.1414... = 14 / (10^2 - 1) =14 / 99。
二、非纯循环小数的转化方法非纯循环小数是指小数部分既有循环的部分，又有非循环的部分。
对于非纯循环小数的转化，我们采用以下方法：1. 设循环部分的长度为n，不循环的部分长度为m，将循环小数表示为0.abcd...(n个循环部分的数字)(m个非循环部分的数字)。
根据小数的定义可知，0.abcd...(n个循环部分的数字)(m个非循环部分的数字) = abcd...(n个循环部分的数字) / (10^n - 1) + m位非循环部分的数字 / 10^m * (10^n - 1)。
因此，非纯循环小数可以转化为分数形式：分子为循环部分与非循环部分的组合，分母为循环部分的长度与非循环部分长度的组合。
例如，将0.3141592653...转化为分数形式。
循环部分的长度为1，循环的数字是3；非循环部分的长度为9，非循环的数字是141592653。
无限循环小数化分数
无限循环小数化分数的理论依据
用一元一次方程求解
• 由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、 百分之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无 限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法， 把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大 后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分” 完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉 了。
实数的分类(基本概念)：
整数
正整数 (自然数) 零 负整数 有限小数 正分数
无限循环小数
实 数
有 理 分数 数 负分数
无 理 正无理数 数 负无理数
无限不循环小数
思考
• 我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分 成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。 无限不循环小数不能化成分数，而无限循环小 数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又 是如何化分数的呢？
2，混循环小数化为分数
• •
3,把1.25858……化为分数 解：设X= 1.25858…… 则10X= 12.5858…… 1000X= 1258.5858…… 1000X-10X=1246 即990X=1246 即 X = 1246/990 得X =623/495 4.把0.56787878......化成分数 解：设X= 0.56787878...... 100X= 56.787878...... 10000X= 5678.787878...... 10000X-100X=5622 所以9900X = 5622 解得：X = 5622/9900 即X=2811/4950
• 总结：纯循环小数化分数 纯循环小数,循环节有几个数字, 分母就有几个9,分子是循环节的 数字。最后的结果能约分的要约 分。
分数化无限循环小数的方法
分数化无限循环小数的方法分数可以表示为有限小数或无限循环小数的形式。
有限小数是指小数部分有限位数的小数，例如1/2=0.5。
而无限循环小数是指小数部分有无限多位数的小数，并且存在循环节，例如1/3=0.333333…..，其中3无限循环。
下面将介绍一种方法，将无限循环小数转化为分数，该方法称为长除法。
长除法是一种用于将无限循环小数表示为分数的方法。
下面以1/3为例进行说明：1/3是一个无限循环小数，我们可以通过长除法将其转化为分数。
具体步骤如下：1.将1作为被除数，3作为除数，进行长除法运算，得到商和余数。
1÷3=0，余数为12.将余数1乘以10，再除以3，得到商和新的余数。
(1×10)÷3=3，余数为13.将新的余数1乘以10，再除以3，得到商和新的余数。
(1×10)÷3=3，余数为14.重复以上步骤，直到余数重复出现。
经过多次运算后，发现余数开始重复出现，即余数为1时，再次出现余数为1，表示循环节开始。
此时，我们可以止步不前，得出循环节为1。
5.将循环节部分记为a，将不循环部分记为b，则原无限循环小数可以表示为分数的形式：1/3 = b + a/99其中，99是由循环节中的9的个数决定的，本例中循环节为1，所以99为一个9。
将1/3转化为分数，可以得到：1/3 = 0 + 1/99所以1/3可以表示为0.010*******...的形式。
通过以上步骤，我们可以将无限循环小数转化为分数的形式。
下面再通过另外一个例子来进一步说明：将3/11转化为分数的形式：1. 3÷11=0，余数为32. (3×10)÷11=2，余数为83. (8×10)÷11=7，余数为94. (9×10)÷11=8，余数为1在第4步时，余数1再次出现，表示循环节开始。
所以3/11可以表示为：3/11 = 0.27272727...其中，循环节为27，所以可以表示为：3/11 = 0.27/99通过以上示例可以看出，长除法是一种有效且简单的方法，可以将无限循环小数转化为分数的形式。
分数化循环小数
分数化循环小数分数化循环小数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中的应用至关重要。
本文旨在介绍分数化循环小数的概念、特点、计算方法以及实际应用。
什么是分数化循环小数？分数化循环小数是一个无限循环不会停止的小数，它可以通过有限的数字来表示一个分数。
比如，1/3 可以表示为 0.3333...，其中数字 3 无限循环出现。
这样的小数就是分数化循环小数。
分数化循环小数具有一些特点。
首先，它是一个无限不循环的小数，因此它没有终止点。
其次，一个分数化循环小数的循环部分在小数点后一直无限循环出现，循环节的长度可以是任意的。
最后，分数化循环小数可以通过将循环部分的数字除以相应位数的 9 来表示一个分数。
例如，0.3333... 可以表示为 1/3。
那么如何计算分数化循环小数呢？首先，将循环部分的数字与小数点之前的数字分开。
例如，将 0.3333... 分开为 0 和 0.3333...。
然后，将循环部分与非循环部分相减，得到一个等式。
例如，0.3333... - 0 = x，则有 x = 0.3333...。
接下来，将 x 乘以适当的倍数，使得等式两边的小数点后数字与循环部分相等。
最后，将等式两边相减，得到一个新的等式。
以此类推，最终得到一个分数化的等式，其中循环部分的数字除以相应位数的 9。
分数化循环小数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，我们经常需要计算利率、折扣率等涉及到分数化循环小数的问题。
另外，在物理学中，一些恒星的周期性现象也可以用分数化循环小数来描述。
此外，分数化循环小数在计算机科学和密码学中也有重要的应用。
总结起来，分数化循环小数是一个无限循环不会停止的小数，可以通过有限的数字表示一个分数。
它具有无限循环、循环节长度任意以及可以通过除以相应位数的 9 表示的特点。
计算分数化循环小数需要将循环部分与非循环部分相减并逐步推导，最终得到一个分数化的等式。
分数化循环小数在金融、物理学、计算机科学和密码学等领域有广泛的应用。
分数是无限循环小数证明
证明分数一定是小数或无限循环小数答案解析任何分数化为小数只有两种结果,或者是有限小数,或者是循环小数,而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类.那么,什么样的分数能化成有限小数?什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢?我们先看下面的分数.（1）中的分数都化成了有限小数,其分数的分母只有质因数2和5,化因为40=23×5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位.（2）中的分数都化成了纯循环小数,其分数的分母没有质因数2和5.（3）中的分数都化成了混循环小数,其分数的分母中既含有质因数2或5,又含有2和5以外的质因数,化成的混循环小数中的不循环部分的位数与 5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位.于是我们得到结论：一个最简分数化为小数有三种情况：（1）如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数；（3）如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循环小数,并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数.例1判断下列分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?能化成有限小数的,小数部分有几位?能化成混循环小数的,不循环部分有几位?上述分数都是最简分数,并且 32=25,21=3×7,250=2×53,78=2×3×13,117=33×13,850=2×52×17,根据上面的结论,得到：不循环部分有两位.将分数化为小数是非常简单的.反过来,将小数化为分数,同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法,而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了.我们分纯循环小数和混循环小数两种情况,讲解将循环小数化成分数的方法.1.将纯循环小数化成分数.将上两式相减,得将上两式相减,得从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法.纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同.2.将混循环小数化成分数.将上两式相减,得将上两式相减,得从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法.混循环小数化成分数的方法：分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同.掌握了将循环小数化成分数的方法后,就可以正确地进行循环小数的运算了.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
总结：
本节课讲解了如何将无限循 环小数表示成分数形式的一种方 法，通过这次课我们知道了任意 一个无限循环小数都可以看成是 一个有限小数加上一个等比数列 的极限和，通过对此等比数列求 和、取极限并化简，最终可得出 它的分数表示。
无 限 循 环
理 研
小 数 的 分 数 表
用 数 学 班 3 1103
示
有限小数
小数
无限小数
无限循环小数
无限不循环小数
无限循环小数 定义：从小数点后某一 位开始不断重复出 现前一个或一节数 字的十进制无限小 数，我们称它为 无限循环小数。
我们知道所有的无限循环小数都是 有理数
根据上述的做法总结解题思路：
1. 找出循环节之前的数码并表示成分段形式； 2. 对一个循环节用十进制表示； 3. 利用等比数列求和并取极限； 4. 整体求和并化简； 得出的数即为所求的分数数表示。
注：被重复的一个或一节数字被称为循环节
ɺɺ 将 0.112 表示成分数形式。
ɺɺ p 解： = 0.112 1 = +1⋅10−2 + 2⋅10−3 +1⋅10−4 + 2⋅10−5 +⋯ ⋯ 10 1 = +1⋅10−2 (1+10−2 +10−4 +⋯ + 2⋅10−3(1+10−2 +10−4 +⋯ ) ) 10 1 1 1 2 1 = + ⋅ + ⋅ 10 100 1−10−2 1000 1−10−2 1 1 2 = + + 10 99 990 111 = 990
例如：
1 = 0.1666666...... 6 1 = 0.09090909...... 11
122 = 0.11090909...... 1100
思考： 思考：
如何将一个循环小 数表示成分数形式呢？ 数表示成分数形式呢？
ɺ 表示成分数的形式。 问题： 问题：将 p = 0.332 表示成分数的形式。
33 p= + 2 ⋅ 10 − 3 + 2 ⋅ 10 − 4 + 2 ⋅ 10 − 5 ⋯ ⋯ 100 33 分析： + 2 ⋅ 10 − 3 (1 + 10 − 1 + 10 − 2 + ⋯ ⋯ ) = 100 33 0.33 − 3 1 ɺ=2 = 0.332 + ⋅ 10 ⋅ 1 100 1 − 10 −0.0002+0.00002+⋯ ɺ 0.002 ≈ 0.002+ 2 33 = + 100 900 299 = 900