单位分解法、无网格法、数值流形方法之形函数的内在联系
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这正是构成一个单位分解的必要条件；在满足其他 相关条件时，就可以构成一个单位分解函数。
４数值流形方法
Ｍｅｌｅｎｋ Ｊ Ｍ。Ｂａｂｕｇｋａ Ｉ．Ｔｈｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆｕｎｉｔｙ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ： ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔ Ｍｅｔｈｏｄｓ Ａｐｐｌ．Ｍｅｃｈ． Ｅｎｇｒｇ．１９９６，（１３９）：２８９～３１４ Ｂｅｌｙｔｓｃｈｋｏ Ｔ·Ｋｒｏｎｇａｕｚ Ｙ·Ｏｒｇａｎ Ｄ．Ｍｅｓｈｌｅｓｓ ｍｅｔｈｏｄｓ：ａｌｌ ｏｖｅｒ ｖｉｅｗ ａｎｄ ｒｅｃｅｎｔ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ［Ｊ］Ｃｏｍｐｕｔ Ｍｅｔｈｏｄｓ Ａｐｐｌ．Ｍｅｃｈ Ｅｎｇｒｇ．． １９９６。（１３９）：３～４７ 李卧东，王元汉。陈晓波．无网格法在断裂力学中的应用【Ｊ】．岩石 力学与工程学报，２００１．２０（４）：４６２～４６６ 石根华数值流形方法与非连续性变形分析【Ｍ】裴觉民译．北京： 清华大学出版社，１９９７
Ｊ
若将局部的逼近函数表达为
Ｋ＝ｓｐａｎ｛ｐⅡ｝ （－，＝１，２，…，ｍ，）
（４）
可得
Ｈ崩，
Ｖ＝｛＇，Ｉ＇，＝∑∑口｛『仍既，％∈Ｒ）
（５）
ｉ＝１ｊ＝ｌ
可以将其中的仍胁，作为一个形函数看待。这样的理 解对于将各种数值方法综合使用有着重要的意义。 常用到的数值分析方法大多可以在此框架下统一；
不仅如此，由于ＰＵＭ的创始人Ｉ．Ｂａｂｕｓｋａ和Ｊ．Ｍ． Ｍｅｌｅｎｋ已证明其收敛性Ｉ¨，因此，耦合有坚实的理
定义见文【１】，本文只提及它的主要要求。
假定开集力ｃ刃”有开覆盖｛ｑ），且在力上有
＂
∑仍兰ｌ
（２）
ｉ＝ｌ
则｛仍）构成覆盖｛皿）上的一个单位分解。 在覆盖皿上，定义一个局部逼近空间为：
巧ｃ Ｈ１（ｑ ｆ＂ｌ力）。在ＰＵＭ中，它是个可按需定制
２００２年１１月２９日收到初稿．２００２年１２月２７日收到修改稿。 作者彭自强简介：男，１９７５生，现为中国科学院武汉岩土力学研究所博士研究生。
用数值方法求解偏微分方程问题时，需构造
Ｓｏｂｏｌｅｖ空间的一个有限维子空间Ｕｈ＝ｓｐａｎ｛ｇ），｝。此 处，谚即是常说的形函数。在以下讨论中，所有的 最终解答都是这一形式：
＂
Ｕ＾＝∑鸱珥
（１）
单位分解法（ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ，简写为
ＰＵＭ）［１１是一种较为广义化的方法。它的构造着眼于 先分片尽可能精确地逼近局部的函数，再将各片“粘 合”，从而形成对函数的全局逼近。单位分解的严格
（２）最小二乘法构造的形函数，如果基中含有
常数１（事实上，这是实用必需的要求），刚好形成一
个单位分解函数。可以简单证明如下：
如前述，Ｐ，∈Ｍ，因而Ｐ，ｉｘ）三芝哆（ｘ）ｐ『（西）。
ｉｆｌ
若Ｐ，ｉｘ）＝ｌ，则必有
∑嘭ｚ １
ｉ＝１
（１８）
第２ｌ卷增２
彭自强等．单位分解法、无网格法、数值流形方法之形函数的内在联系
由上述分析可知，单位分解法、无网格法、数 值流形方法彼此间有着内在的联系，这主要体现在 三者都以单位分解为一个纽带互相联结。回顾有限 元法，它同样要求形函数是区域上的单位分解。由 此，可以将传统的有限元法以单位分解法的框架统 一起来，从而提供更为方便与强大的分析思想。
参考文献
图４形函数ａ函／ｏｙ图像 Ｆｉｇ．４ Ｉｍａｇｅ ｏｆｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａ中ｌ ０５＇
ｉ＝１
（１７）
也即，％是原函数的精确表达。所以，所有的在局
部逼近中使用到的基函数，都可以在最终整体逼近
函数中精确再现；因而逼近函数完全可以达到基函
数的连续性，而不象传统有限元的分片插值，一般
都只有较差的连续性（如Ｃｏ）。图ｌ～４给出了在一
个矩形域上形成的形函数、使用三次样条权函数和
一阶线性基（图ｌ最外圈线值为７．５８３ｘ１０－１０）。
门，Ｕ∈Ｃｏ｝视为一个函数（也即在指定点集上函数值
相同的所有函数视为同一函数）。这是因为，由式（９）
可知：
ＰＷＰ７ａ＝ＰＷｕ
（１５）
如果ｕ（ｘ）＝ｐ，ｉｘ），贝Ｕ有Ｕ１＝｛Ｐ，（ｘ。）Ｐ，（ｘ２）…
Ｐ，（‰）），很明显地有
ａ＝ｅｔ
（１６）
式（１６）是式０５）的解。从而有
Ｕ＾（ｘ）＝Ｅａ，（ｘ）ｐｆｉｘ）＝Ｐ，（ｘ）＝ｌ，（ｘ）
岩石力学与工程学报 CHINESE JOURNAL OF ROCK MECHANICS AND ENGINEERING 2002，21(z2) 6次
参考文献(4条) 1.Melenk J M.Babuska I The partition of unity finite element method:basic theory and applications 1996 2.Belytschko T.Krongauz Y.Organ D Meshless methods:an over view and recent development 1996
Ｐｅｎｇ Ｚｉｑｉａｎｇ，Ｗａｎｇ Ｓｈｕｉｌｉｎ，Ｇｅ Ｘｉｕｒｕｎ （Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＲｏｃｋ ａｎｄ Ｓｏｉｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｔｈｅ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ， Ｗｕｈａｎ ４３００７ １
Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｓｏｍｅ ａｎａｌｙｓｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔｌｙ ｗｉｄｅｓｐｒｅａｄ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｏｆ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｉｅｓ：ｔｈｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ，ｍｅｓｈｌｅｓｓ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍａｎｉｆｏｌｄ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｅｓ ｃａｒｌ ｄｅｅｐｅｎ ｏｕｒ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｔｏ ｓｏｍｅ ｅｘｔｅｎｔ ｈｅｌｐ ＵＳ ｔｏ ｕｔｉｌｉｚｅ ａｎｄ ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｔｈｅｍ
数值流形方法（ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍａｎｉｆｏｌｄ ｍｅｔｈｏｄ，简写 万方数据
单位分解法、无网格法、数值流形方法之形函数的内在联系
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
彭自强， 王水林， 葛修润， Peng Ziqiang， Wang Shuilin， Ge Xiurun 中国科学院武汉岩土力学研究所,武汉,430071
ｍｏｒｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ，ｍｅｓｈｌｅｓｓ ｍｅｔｈｏｄ，ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍａｎｉｆｏｌｄ ｍｅｔｈｏｄ
１前言
２单位分解法
近年来，数值分析领域中出现了一批各有特色 的方法，尤以单位分解法、无网格法和数值流形方 法更引人注目。这些方法各有特色，又相互联系； 它们与传统的有限元法也有着无法割裂的关系。
部分上有：芝仍兰ｌ，ｌｌ仍峙≤ｃ。，Ｉｌ Ｖ仍¨≤
ｉＩｌ ，１
７二，旦一。而且，其物理覆盖完全满足单位分解法
ｄｉａｍ（（２，） 的要求：紧支撑性、有限覆盖。因此，它同样是ＰＵＭ
意义上的单位分解函数。数学覆盖的初衷与单位分 解法中的局部逼近的思想是一致的，理解这一点对
几种方法的综合运用有积极的意义。
数值流形法中，也要用基函数｛Ｐ。）（产ｌ，２，…，
不难看出，它的形函数为
嘭（ｘ）＝Ｅ∑ＰＩ（ｘ）彳才（ｘ）曰Ⅳ（ｘ）
（１３）
ｋｆｌｊ＝ｌ
它有以下的两个特点：
（１）若将移动最小二乘的逼近考虑为一个变 换：Ｇ：Ｃｏ专Ｍ，则有
ｓｐａｎ｛ｐ，｝ｃＭｃＣｏ（Ｑ）（ｆ－１，２，…，玎） （１４）
式中：００（万）中，把砸＠）Ｉｌ，（而）＝ｚ，，，ｆ＿ｌ，２，．．．，
第２１卷增２ ２００２年１２月
岩石力学与工程学报 Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＲｏｃｋ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
２１（增２）：２４２９～２４３１ Ｄｅｃ．．２００２
单位分解法、无网格法、数值流形方法之形 函数的内在联系
彭自强王水林葛修润
（中国科学院武汉岩土力学研究所武汉４３００７１）
摘要对目前广泛采用的单位分解法、无网格法、数值流形方法的形函数的形成作了分析，据此分析了它们之间
的内在联系，为综合应用各种方法提供了必要的思想基础。
关键词 数值分析，单位分解法，无网格法，数值流形方法
分类号Ｏ ２４１
文献标识码Ａ
文章编号１０００．６９１５（２００２）增２－２４２９－０３
ＲＥＬＡＴＩｏＮ ＢＥＴＷＥＥＮ ＳＨＡＰＥ ＦＵＮＣＴＩｏＮＳ ＯＦ ＴＨＥ ＰＡＲＴＩＴＩＯＮ ＯＦ ＵＮＩＴＹ ＭＥＴＨＯＤ，ＭＥＳＨＬＥＳＳ ＭＥＴＨＯＤ ＡＮＤ ＮＵＭＥＲＩＣＡＬ ＭＡＮＩＦｏＬＤ ＭＥＴＨＯＤ
假定有连续函数：盯：万一刃４，ｄ＝ｌ，２或３， 它在点而的值“。已知。则逼近函数可表示为
Ｕｈ（ｘ）＝芝口，（ｘ）ｐ，（ｘ）＝ｐ７（ｘ）口（ｘ）
（６）
ｉ＝１
式中：｛Ｐ，ｉｘ））（ｉ＝１，２，…，玎）为一组基，必须满足 一定的条件【２】，以为该基中的项数；｛ｑ（ｘ））（ｆ＿１， ２，…，”）为基中各项的系数。它的局部逼近可表示 为
·２４３１．
Ｆｉｇ．１
Ｊ
图ｌ 形函数在近零处等值线 Ｃｏｎｔｏｕｒ ｌｉｎｅｓ ｏｆ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｉｂｏｕｒｈｏｏｄ ｏｆ
ｚｅｒｏ
图２形函数中三维图
Ｆｉｇ．２ ３Ｄ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
为ＮＭＭ）ｔ４】的流形覆盖理论，与ＰＵＭ方法也有紧密 的联系。它使用一套数学网格和一套物理网格。数 学覆盖定义解的近似精度，物理网格作为材料的实 际边界，定义积分区域。最普通的流形方法，可以 使用普通的有限元网格作为数学网格，并将传统的 有限元之形函数作为权函数，而在块体接触区域， 则采用不连续的权函数。因此，在研究区域的连续
万方数据
婴：爿（咖（ｚ）一曰（ｚ）Ⅳ：０
ｏａ
式中：
Ａ＝ＰＷ（ｘ）ＰＴ
Ｂ＝ｅｗ（ｘ）
Ｐ＝【ｐ（西）ｐ（ｘＯ…ｐ（‰）】
（１０）
ＵＴ＝【材ｌ材２…”。】
∥（ｘ）＝ｄｉａｇ｛ｗ（ｘ—ｘＩ）Ｗ（Ｘ－－Ｘ２）…ｗ（ｘ—ｋ））
从中可求得系数向量：
口（ｘ）＝Ａ。１（ｘ）Ｂ（ｘ）Ｈ
（１１）
因而，对原函数的逼近为
Ｕ＾＝ｐｒ（ｘ）口（ｚ）＝ｐｒＡ—Ｂｕ：兰哆（工）甜， （１２）
3.李卧东.王元汉.陈晓波 无网格法在断裂力学中的应用[期刊论文]-岩石力学与工程学报 2001(04)
4.石根华.裴觉民 数值流形方法与非连续性变形分析 1997
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1.期刊论文 李树忱.李术才.朱维申.LI Shu-chen.LI Shu-cai.ZHU Wei-shen 弹性动力学的无网格流形方法 -岩石
ｍＪ在物理覆盖ｆ上作局部近似，并将各个物理覆盖
用权函数联结起来，构成一个有限维空间：
ｒ
Ｈｍ
¨＿ｆ
１
Ｖ＝｛ＶＩＶ＝∑∑乃岛＝∑艺仍所如｝
Ｌ
ｉ＝ｌ户Ｉ
ｉ＝ｌｊ＝ｌ
Ｊ
（１９）
不难看出，这里的形函数即为仍胁，，它与ＰＵＭ方 法中的表达完全相同。
５结论
图３形函数ａ西／舐图像 Ｆｉｇ．３ Ｉｍａｇｅ ｏｆ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａ西ｌ Ｓｘ
万方数据
·２４３０·
岩石力学与工程学报
２００２年
的有限维空间，使用者可以运用关于被分析对象的
先验知识来较好地构造该空间，使之有良好的逼近
效果。而且它的逼近能力直接影响到整体逼近的收
敛性和收敛能力。
整体的逼近函数表达式为
月
ｒ＂
、
Ｖ＝Ｚｃ，，Ｅ＝｛∑纺ｕ Ｉｕ∈Ｋ｝ｃＨｌ（．Ｑ） （３）
ｉ＝１
Ｌｆ＝Ｉ
力学与工程学报2006,25(1)
Ｕ一（Ｙ，工）＝∑办（ｘ）口Ｊ（Ｊ，）
（７）
ｆ＝ｌ
求解该系数要用到最ｄ＇－－－－－乘的思想，即要将如 下的目标函数最小化：
Ｊ＝∑ｗ（ｘ一而）【“＾（ｘ，妨）一ｕ（ｘｊ）】２＝
ｉ＝１
＂
ｒ＂
］２
∑ｗ（ｘ一一）Ｉ∑ｐ，（葺）ｑ（ｘ）一“（ｘ，）ｌ
（８）
，＝Ｉ
Ｌ』＝Ｉ
Ｊ
式中：ｗ（ｘ—Ｘ，）为权函数。
求解这一极值问题，得
论依据。ＰＵＭ建立的全局逼近函数，具有相当高的
ห้องสมุดไป่ตู้
连续性。准确地说，它具有单位分解函数和局部逼
近函数之连续性的较小者。
３无网格法
无网格法【２’３１是一种内容丰富的方法，只要是 在构造形函数时没有用到有限元的网格单元概念 的，或者说无需结点间联系矩阵的，都可以归于这 一类。其中，移动最４＇－－－乘法构造的形函数与ＰＵＭ 有紧密的联系。
４数值流形方法
Ｍｅｌｅｎｋ Ｊ Ｍ。Ｂａｂｕｇｋａ Ｉ．Ｔｈｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆｕｎｉｔｙ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ： ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔ Ｍｅｔｈｏｄｓ Ａｐｐｌ．Ｍｅｃｈ． Ｅｎｇｒｇ．１９９６，（１３９）：２８９～３１４ Ｂｅｌｙｔｓｃｈｋｏ Ｔ·Ｋｒｏｎｇａｕｚ Ｙ·Ｏｒｇａｎ Ｄ．Ｍｅｓｈｌｅｓｓ ｍｅｔｈｏｄｓ：ａｌｌ ｏｖｅｒ ｖｉｅｗ ａｎｄ ｒｅｃｅｎｔ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ［Ｊ］Ｃｏｍｐｕｔ Ｍｅｔｈｏｄｓ Ａｐｐｌ．Ｍｅｃｈ Ｅｎｇｒｇ．． １９９６。（１３９）：３～４７ 李卧东，王元汉。陈晓波．无网格法在断裂力学中的应用【Ｊ】．岩石 力学与工程学报，２００１．２０（４）：４６２～４６６ 石根华数值流形方法与非连续性变形分析【Ｍ】裴觉民译．北京： 清华大学出版社，１９９７
Ｊ
若将局部的逼近函数表达为
Ｋ＝ｓｐａｎ｛ｐⅡ｝ （－，＝１，２，…，ｍ，）
（４）
可得
Ｈ崩，
Ｖ＝｛＇，Ｉ＇，＝∑∑口｛『仍既，％∈Ｒ）
（５）
ｉ＝１ｊ＝ｌ
可以将其中的仍胁，作为一个形函数看待。这样的理 解对于将各种数值方法综合使用有着重要的意义。 常用到的数值分析方法大多可以在此框架下统一；
不仅如此，由于ＰＵＭ的创始人Ｉ．Ｂａｂｕｓｋａ和Ｊ．Ｍ． Ｍｅｌｅｎｋ已证明其收敛性Ｉ¨，因此，耦合有坚实的理
定义见文【１】，本文只提及它的主要要求。
假定开集力ｃ刃”有开覆盖｛ｑ），且在力上有
＂
∑仍兰ｌ
（２）
ｉ＝ｌ
则｛仍）构成覆盖｛皿）上的一个单位分解。 在覆盖皿上，定义一个局部逼近空间为：
巧ｃ Ｈ１（ｑ ｆ＂ｌ力）。在ＰＵＭ中，它是个可按需定制
２００２年１１月２９日收到初稿．２００２年１２月２７日收到修改稿。 作者彭自强简介：男，１９７５生，现为中国科学院武汉岩土力学研究所博士研究生。
用数值方法求解偏微分方程问题时，需构造
Ｓｏｂｏｌｅｖ空间的一个有限维子空间Ｕｈ＝ｓｐａｎ｛ｇ），｝。此 处，谚即是常说的形函数。在以下讨论中，所有的 最终解答都是这一形式：
＂
Ｕ＾＝∑鸱珥
（１）
单位分解法（ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ，简写为
ＰＵＭ）［１１是一种较为广义化的方法。它的构造着眼于 先分片尽可能精确地逼近局部的函数，再将各片“粘 合”，从而形成对函数的全局逼近。单位分解的严格
（２）最小二乘法构造的形函数，如果基中含有
常数１（事实上，这是实用必需的要求），刚好形成一
个单位分解函数。可以简单证明如下：
如前述，Ｐ，∈Ｍ，因而Ｐ，ｉｘ）三芝哆（ｘ）ｐ『（西）。
ｉｆｌ
若Ｐ，ｉｘ）＝ｌ，则必有
∑嘭ｚ １
ｉ＝１
（１８）
第２ｌ卷增２
彭自强等．单位分解法、无网格法、数值流形方法之形函数的内在联系
由上述分析可知，单位分解法、无网格法、数 值流形方法彼此间有着内在的联系，这主要体现在 三者都以单位分解为一个纽带互相联结。回顾有限 元法，它同样要求形函数是区域上的单位分解。由 此，可以将传统的有限元法以单位分解法的框架统 一起来，从而提供更为方便与强大的分析思想。
参考文献
图４形函数ａ函／ｏｙ图像 Ｆｉｇ．４ Ｉｍａｇｅ ｏｆｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａ中ｌ ０５＇
ｉ＝１
（１７）
也即，％是原函数的精确表达。所以，所有的在局
部逼近中使用到的基函数，都可以在最终整体逼近
函数中精确再现；因而逼近函数完全可以达到基函
数的连续性，而不象传统有限元的分片插值，一般
都只有较差的连续性（如Ｃｏ）。图ｌ～４给出了在一
个矩形域上形成的形函数、使用三次样条权函数和
一阶线性基（图ｌ最外圈线值为７．５８３ｘ１０－１０）。
门，Ｕ∈Ｃｏ｝视为一个函数（也即在指定点集上函数值
相同的所有函数视为同一函数）。这是因为，由式（９）
可知：
ＰＷＰ７ａ＝ＰＷｕ
（１５）
如果ｕ（ｘ）＝ｐ，ｉｘ），贝Ｕ有Ｕ１＝｛Ｐ，（ｘ。）Ｐ，（ｘ２）…
Ｐ，（‰）），很明显地有
ａ＝ｅｔ
（１６）
式（１６）是式０５）的解。从而有
Ｕ＾（ｘ）＝Ｅａ，（ｘ）ｐｆｉｘ）＝Ｐ，（ｘ）＝ｌ，（ｘ）
岩石力学与工程学报 CHINESE JOURNAL OF ROCK MECHANICS AND ENGINEERING 2002，21(z2) 6次
参考文献(4条) 1.Melenk J M.Babuska I The partition of unity finite element method:basic theory and applications 1996 2.Belytschko T.Krongauz Y.Organ D Meshless methods:an over view and recent development 1996
Ｐｅｎｇ Ｚｉｑｉａｎｇ，Ｗａｎｇ Ｓｈｕｉｌｉｎ，Ｇｅ Ｘｉｕｒｕｎ （Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＲｏｃｋ ａｎｄ Ｓｏｉｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｔｈｅ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ， Ｗｕｈａｎ ４３００７ １
Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｓｏｍｅ ａｎａｌｙｓｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔｌｙ ｗｉｄｅｓｐｒｅａｄ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｏｆ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｉｅｓ：ｔｈｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ，ｍｅｓｈｌｅｓｓ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍａｎｉｆｏｌｄ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｅｓ ｃａｒｌ ｄｅｅｐｅｎ ｏｕｒ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｔｏ ｓｏｍｅ ｅｘｔｅｎｔ ｈｅｌｐ ＵＳ ｔｏ ｕｔｉｌｉｚｅ ａｎｄ ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｔｈｅｍ
数值流形方法（ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍａｎｉｆｏｌｄ ｍｅｔｈｏｄ，简写 万方数据
单位分解法、无网格法、数值流形方法之形函数的内在联系
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
彭自强， 王水林， 葛修润， Peng Ziqiang， Wang Shuilin， Ge Xiurun 中国科学院武汉岩土力学研究所,武汉,430071
ｍｏｒｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ，ｍｅｓｈｌｅｓｓ ｍｅｔｈｏｄ，ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍａｎｉｆｏｌｄ ｍｅｔｈｏｄ
１前言
２单位分解法
近年来，数值分析领域中出现了一批各有特色 的方法，尤以单位分解法、无网格法和数值流形方 法更引人注目。这些方法各有特色，又相互联系； 它们与传统的有限元法也有着无法割裂的关系。
部分上有：芝仍兰ｌ，ｌｌ仍峙≤ｃ。，Ｉｌ Ｖ仍¨≤
ｉＩｌ ，１
７二，旦一。而且，其物理覆盖完全满足单位分解法
ｄｉａｍ（（２，） 的要求：紧支撑性、有限覆盖。因此，它同样是ＰＵＭ
意义上的单位分解函数。数学覆盖的初衷与单位分 解法中的局部逼近的思想是一致的，理解这一点对
几种方法的综合运用有积极的意义。
数值流形法中，也要用基函数｛Ｐ。）（产ｌ，２，…，
不难看出，它的形函数为
嘭（ｘ）＝Ｅ∑ＰＩ（ｘ）彳才（ｘ）曰Ⅳ（ｘ）
（１３）
ｋｆｌｊ＝ｌ
它有以下的两个特点：
（１）若将移动最小二乘的逼近考虑为一个变 换：Ｇ：Ｃｏ专Ｍ，则有
ｓｐａｎ｛ｐ，｝ｃＭｃＣｏ（Ｑ）（ｆ－１，２，…，玎） （１４）
式中：００（万）中，把砸＠）Ｉｌ，（而）＝ｚ，，，ｆ＿ｌ，２，．．．，
第２１卷增２ ２００２年１２月
岩石力学与工程学报 Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＲｏｃｋ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
２１（增２）：２４２９～２４３１ Ｄｅｃ．．２００２
单位分解法、无网格法、数值流形方法之形 函数的内在联系
彭自强王水林葛修润
（中国科学院武汉岩土力学研究所武汉４３００７１）
摘要对目前广泛采用的单位分解法、无网格法、数值流形方法的形函数的形成作了分析，据此分析了它们之间
的内在联系，为综合应用各种方法提供了必要的思想基础。
关键词 数值分析，单位分解法，无网格法，数值流形方法
分类号Ｏ ２４１
文献标识码Ａ
文章编号１０００．６９１５（２００２）增２－２４２９－０３
ＲＥＬＡＴＩｏＮ ＢＥＴＷＥＥＮ ＳＨＡＰＥ ＦＵＮＣＴＩｏＮＳ ＯＦ ＴＨＥ ＰＡＲＴＩＴＩＯＮ ＯＦ ＵＮＩＴＹ ＭＥＴＨＯＤ，ＭＥＳＨＬＥＳＳ ＭＥＴＨＯＤ ＡＮＤ ＮＵＭＥＲＩＣＡＬ ＭＡＮＩＦｏＬＤ ＭＥＴＨＯＤ
假定有连续函数：盯：万一刃４，ｄ＝ｌ，２或３， 它在点而的值“。已知。则逼近函数可表示为
Ｕｈ（ｘ）＝芝口，（ｘ）ｐ，（ｘ）＝ｐ７（ｘ）口（ｘ）
（６）
ｉ＝１
式中：｛Ｐ，ｉｘ））（ｉ＝１，２，…，玎）为一组基，必须满足 一定的条件【２】，以为该基中的项数；｛ｑ（ｘ））（ｆ＿１， ２，…，”）为基中各项的系数。它的局部逼近可表示 为
·２４３１．
Ｆｉｇ．１
Ｊ
图ｌ 形函数在近零处等值线 Ｃｏｎｔｏｕｒ ｌｉｎｅｓ ｏｆ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｉｂｏｕｒｈｏｏｄ ｏｆ
ｚｅｒｏ
图２形函数中三维图
Ｆｉｇ．２ ３Ｄ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
为ＮＭＭ）ｔ４】的流形覆盖理论，与ＰＵＭ方法也有紧密 的联系。它使用一套数学网格和一套物理网格。数 学覆盖定义解的近似精度，物理网格作为材料的实 际边界，定义积分区域。最普通的流形方法，可以 使用普通的有限元网格作为数学网格，并将传统的 有限元之形函数作为权函数，而在块体接触区域， 则采用不连续的权函数。因此，在研究区域的连续
万方数据
婴：爿（咖（ｚ）一曰（ｚ）Ⅳ：０
ｏａ
式中：
Ａ＝ＰＷ（ｘ）ＰＴ
Ｂ＝ｅｗ（ｘ）
Ｐ＝【ｐ（西）ｐ（ｘＯ…ｐ（‰）】
（１０）
ＵＴ＝【材ｌ材２…”。】
∥（ｘ）＝ｄｉａｇ｛ｗ（ｘ—ｘＩ）Ｗ（Ｘ－－Ｘ２）…ｗ（ｘ—ｋ））
从中可求得系数向量：
口（ｘ）＝Ａ。１（ｘ）Ｂ（ｘ）Ｈ
（１１）
因而，对原函数的逼近为
Ｕ＾＝ｐｒ（ｘ）口（ｚ）＝ｐｒＡ—Ｂｕ：兰哆（工）甜， （１２）
3.李卧东.王元汉.陈晓波 无网格法在断裂力学中的应用[期刊论文]-岩石力学与工程学报 2001(04)
4.石根华.裴觉民 数值流形方法与非连续性变形分析 1997
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1.期刊论文 李树忱.李术才.朱维申.LI Shu-chen.LI Shu-cai.ZHU Wei-shen 弹性动力学的无网格流形方法 -岩石
ｍＪ在物理覆盖ｆ上作局部近似，并将各个物理覆盖
用权函数联结起来，构成一个有限维空间：
ｒ
Ｈｍ
¨＿ｆ
１
Ｖ＝｛ＶＩＶ＝∑∑乃岛＝∑艺仍所如｝
Ｌ
ｉ＝ｌ户Ｉ
ｉ＝ｌｊ＝ｌ
Ｊ
（１９）
不难看出，这里的形函数即为仍胁，，它与ＰＵＭ方 法中的表达完全相同。
５结论
图３形函数ａ西／舐图像 Ｆｉｇ．３ Ｉｍａｇｅ ｏｆ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａ西ｌ Ｓｘ
万方数据
·２４３０·
岩石力学与工程学报
２００２年
的有限维空间，使用者可以运用关于被分析对象的
先验知识来较好地构造该空间，使之有良好的逼近
效果。而且它的逼近能力直接影响到整体逼近的收
敛性和收敛能力。
整体的逼近函数表达式为
月
ｒ＂
、
Ｖ＝Ｚｃ，，Ｅ＝｛∑纺ｕ Ｉｕ∈Ｋ｝ｃＨｌ（．Ｑ） （３）
ｉ＝１
Ｌｆ＝Ｉ
力学与工程学报2006,25(1)
Ｕ一（Ｙ，工）＝∑办（ｘ）口Ｊ（Ｊ，）
（７）
ｆ＝ｌ
求解该系数要用到最ｄ＇－－－－－乘的思想，即要将如 下的目标函数最小化：
Ｊ＝∑ｗ（ｘ一而）【“＾（ｘ，妨）一ｕ（ｘｊ）】２＝
ｉ＝１
＂
ｒ＂
］２
∑ｗ（ｘ一一）Ｉ∑ｐ，（葺）ｑ（ｘ）一“（ｘ，）ｌ
（８）
，＝Ｉ
Ｌ』＝Ｉ
Ｊ
式中：ｗ（ｘ—Ｘ，）为权函数。
求解这一极值问题，得
论依据。ＰＵＭ建立的全局逼近函数，具有相当高的
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连续性。准确地说，它具有单位分解函数和局部逼
近函数之连续性的较小者。
３无网格法
无网格法【２’３１是一种内容丰富的方法，只要是 在构造形函数时没有用到有限元的网格单元概念 的，或者说无需结点间联系矩阵的，都可以归于这 一类。其中，移动最４＇－－－乘法构造的形函数与ＰＵＭ 有紧密的联系。