第七章时间序列分析基础

第二节 自回归模型
2020/10/15
利用数学归纳法可得一般的 k
k
1k 0 , 所以自相关函数为k
k 0
1k
k当1 1，k趋向无穷大时，趋于0，这种现象称拖尾。
AR(2)模型自相关函数：
Yt 1Yt1 2Yt2 ut
其自协方差函数：
k E(YtkYt ) E(1Ytk 1 2Ytk 2 utk )Yt 1 k 1 2 k 2
第七章 时间序列分析基础
第二节 自回归模型
2020/10/15
一、AR模型的定义
如果时间序列Yt可以表示为它的先前的值和一个误差项ut 的线性函数，则称此模型为自回归模型，相应的Yt序列称 为自回归序列，
Yt 1Yt1 2Yt2 pYt p ut
称为p阶自回归模型，简称AR( p)模型
第七章 时间序列分析基础
第一节 时间序列的基本概念
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一、定义
Yt (t 1,2,)是一个随机时间序列，即对任意固定的t， Yt是一个随机变量。若Yt满足下述条件：
）E(Yt ) (t 1,2,; 为常数) ）E(Ytk )(Yt ) k (k 0,1,2,) 则称Yt为平稳序列， k称为自协方差函数
(auto cov ariances function)
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第一节 时间序列的基本概念
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二、自协方差函数和自相关函数
假设Yt (t 1,2)是均值为0的时间序列
自协方差函数为： k E(YtYtk ) (k 0,1,2)
自相关函数为：k
k 0
(k 0,1,2)
所构成的集合称为AR( p)模型的平稳域。
例：AR(2)模型的平稳域
(L)Yt ut (L) 11L 2L2 (L) 0的根都在单位圆外。
AR(2)的平稳域如图所示
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第二节 自回归模型
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φ2
φ2 -φ1<1
φ1 +φ2<1
︱φ2︱<1
φ1
-1
AR(2) 模型的平稳域
u2，即：E(Yt2 )
2 u
(1 12 )
由于E (Yt 2
)非负，所以
2 u
(1 12
)
0，
从而1 1,它就是AR(1)模型的平稳条件
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第二节 自回归模型
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利用滞后算子L，AR(1)模型可以写为
(L)Yt ut 式中(L) 11L 那么平稳条件1 1就等价与(L) 0的根在单位圆外
平稳自回归模型定义： 假设AR( p)模型
(L)Yt ut 式中 (L) 1 1L 2L2 p Lp 如果(L) 0的根全在单位圆外，即根的模皆大于1，
则称此模型为平稳自回归模型。
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第二节 自回归模型
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AR( p)模型平稳域：AR( p)模型(L)Yt ut的滞后多项式 (L) 0的根全在单位圆外的系数向量 (1,2,,p )
nn
a j ak jk 0 j 1 k 1
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第一节 时间序列的基本概念
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四、滞后算子多项式
为了应用的需要，给出以滞后算子表示的多项式： ap (L) 1 a1L ap Lp 更一般的，给出以滞后算子表示的无穷多项式或幂函数
(L) 1 1L p Lp * 若有两个算子表达式p (L)和q (L)，使得 p (L)q (L) 1 式中p和q可以无穷大，那么称p (L)和q (L)可逆，并记为 q (L) p (L)1
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第二节 自回归模型
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于是就有
k 1k 1 2 k 2
当k 1,2时，有
k 0 *
1 1 2 1 2 11 2
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第二节 自回归模型
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2.AR(p)序列的自相关函数
AR(1)模型的自相关函数：
Yt Y 1 t 1 ut , 其自协方差函数为： 1 cov(Yt , Yt 1 ) E (Yt , Yt 1 ) E ((1Yt 1 ut )Yt 1 )
1
E
ut是白噪声，满足下列性质：
(1)E(ut ) 0
(2) E (ut u s
)
2 u
0
ts ts
(3)E(utYti ) 0 引入滞后算子，模型可表示为：
(L)Yt ut
第七章 时间序列分析基础
第二节 自回归模型
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二、AR(p)模型的识别
1.AR(p)模型的平稳性条件
AR(1)模型的平稳条件：
(Y t
2
1
)
E (utYt 1 )
1
0
2 E (Yt , Yt 2 ) E ((1Yt 1 ut )Yt 2 )
E ((1 (1Yt 2 ut 1 ) ut )Yt 2 )
2 E (Y 2
1
t 2
)
1E (ut 1Yt 2
)
E (utYt 2 )
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第七章 时间序列分析基础
时间序列的样本均值：Y
1 n
n
Yt
t 1
样本自协方差函数：ˆ
1 n
nk t 1
(Yt k
Y
)(Yt
Y
)
样本自相关函数：ˆ k
ˆk ˆ0
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第一节 时间序列的基本概念
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三、自协方差函数的性质
(1) 0 E(Yt )2 0 (2) k 0
(3)对称性 (4)非负定性 对于任意实数a1, a2 an皆有
21世纪经济学系列教材 普通高等教育“十五”、“十一五”国家级规划 教材
计量经济学
（第四版）
时间序列分析基础
计量经济学 第七章
重点问题
2020/10/15
❖ AR 模型 ❖ MA 模型 ❖ ARMA模型
第七章 时间序列分析基础
主要内容
2020/10/15
❖第一节 时间序列的基本概念 ❖第二节 自回归模型 ❖第三节 滑动平均模型 ❖第四节 自回归滑动平均模型 ❖第五节 时间序列模型预测 ❖第六节 时间序列的应用
假定AR(1)模型为：Yt 1Yt1 ut ,该式两边平方再取期望：
E(Yt2 ) E(1Yt1 ut )2
12
E
(Yt
2 1
)
E (ut2
)
21 E (Yt 1ut
)
12
E
(Yt
2 1
)
2 u
如果序列Yt 是平稳的，则有E (Yt 2
)
E
(Yt
2 1
)，
由上式有：(1 12 )E(Yt2 )