贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案

`

习题讲解

一、

1,3,5,6,10,11,12,15 记样本为x.

()()22682268(0.1)*0.1*0.90.1488(0.2)*0.2*0.80.29360.1488*0.7

0.10.5418

0.1488*0.70.2936*0.3

0.2936*0.3

0.20.4582

0.1488*0.70.2936*0.3

p x C p x C x x θθπθπθ==≈==≈==

≈+==≈+后验分布：

()()()()

()

1

1

1

3353680

362(|)(1)*2(1)112(1)15

(|)840(1),01

m x p x d C d d p x x m x θπθθθθθθθθθθπθπθθθθ==--=-=

==-<<⎰⎰⎰

}

由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布(0,)U θ

1,0()0,

x p x θ

θ⎧<<⎪=⎨

⎪⎩其它 因为抽取3个样本，即123(,,)X x x x =，所以样本联合分布为

123

31,0,,()0,

x x x p X θ

θ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它

又因为 4192/,4

()0,4θθπθθ⎧≥=⎨<⎩

所以，利用样本信息得

1233

471192192

(,)()() (8,0,,)h X p X x x x θθπθθθθ

θθ

==

⋅=≥<< 于是7

8

8

192

()(,)m X h X d d θθθθ

+∞+∞

==⎰⎰

`

θ的后验分布为

76

77

8

(,)192/68()192()h X X m X d θθπθθθ

θ+∞⨯===⎰

6

7

68,8()0,8X θπθθθ⎧⨯≥⎪

=⎨⎪<⎩

样本联合分布为：

1

(),0n

p x x θθ

θ

=

<<

100

0/,()0,α

ααθθθθπθθθ+⎧>=⎨

≤⎩

{}110101()()()/1/,max ,,,n n n x p x x x α

ααπθθπθαθθθθθθ++++∝=∝>=

因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密度函数的核

/

即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩

即得证。

()()

()

1

11()1()()()()(),.

n

i

i x n n n x n n x p x e

e e

x p x e Ga n nx λ

λ

ααβλ

αβλλλλβπλλαλπλλπλλαβ=----+--+∑===Γ∝∝++样本的似然函数：参数的后验分布服从伽马分布

2

20.0002(2)4,20000.0.0001α

βαβαβ

⎧=⎪⎪⇒==⎨⎪=⎪⎩

二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,12

解： 由题意，变量t 服从指数分布：()t p t

e λλλ-=

》

样本联合分布()i t

n p T

e λλλ-∑

=

且1~(,),0()

Ga e ααβλ

βλαβλλα--=

>Γ ，()0.2E λ= ()1Var λ= 由伽玛分布性质知：

20.20.04,0.21α

βαβαβ

⎧=⎪⎪

⇒==⎨

⎪=⎪⎩ 又已知 n=20, 3.8t =

1

20 3.876n

i

i t

==⨯=∑，所以1

20.04,76.2n

i i n t αβ=+=+=∑

由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布

()11()()()t t n n i i t p T e e e

λλββλααπλλπλλλλ--+∑∑--+-∝∝= .

即后验分布为(,)(20.04,76.2)i

Ga n t Ga αβ++

=∑

|20.04

()0.26376.2

T i n E t λαλβ+=

==+∑

1θλ-=服从倒伽玛分布(,)(20.04,76.2)i IGa n t IGa αβ++=∑

||1()() 4.0021

i

T T t E E n λλβθλα-+==

=+-∑

可以算出θ的后验分布为(11,4)Ga ，θ的后验期望估计的后验方差为1116

. 36n ≥.

θ的先验分布为：100

0/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨

≤⎩

令{}101max ,,,n x x θθ=

/

可得后验分布为：111

1()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩

则θ的后验期望估计为：1

()()1n E x n αθθα+=+-，

后验方差为：2

12

()()(1)(2)

n Var x n n αθθαα+=+-+-. 由1

~(,),~(,)22n x Ga IGa θαβθ

可以得出

211221()2(),0()2

n

n x

p x x e x n θθθ--=>Γ (1)(),0()

e β

ααθ

βπθθθα--+=

>Γ （1）θ的后验分布为：

2(1)22

()()()x n

x p x e

βαθπθθπθθ

+-

-++∝∝

>

即为倒伽玛分布(,)2

2n x

IGa αβ++的核。 所以θ的后验分布为(,)22n x

IGa αβ++

（2）后验均值为22()2212

x x E x n n ββθαα++==+-+- 后验方差为22()2()(1)(2)22

x

Var x n n

βθαα+=+-+-

（3）样本分布函数为：