全等三角形培优竞赛讲义(全集)教师

例题精讲
板块一、截长补短 A 60 ，BD 、 CE 分别平分 ABC 和 .ACB ， 【例1】 ( 06 年北京中考题)已知 ABC 中，
BD 、 CE 交于点 O ，试判断 BE 、 CD 、 BC 的数量关系，并加以证明．
A A
E
O
D
E 1
O 4 2 3 F
D
B
C
B
C
【解析】 BE CD BC ， 理由是：在 BC 上截取 BF BE ，连结 OF ， 利用 SAS 证得 BEO ≌ BFO ，∴ 1 2 ， 1 ∵ A 60 ，∴ BOC 90 A 120 ，∴ DOE 120 ， 2 ∴ A DOE 180 ，∴ AEO ADO 180 ，∴ 1 3 180 ， ∵ 2 4 180 ，∴ 1 2 ，∴ 3 4 ， 利用 AAS 证得 CDO ≌ CFO ，∴ CD CF ，∴ BC BF CF BE CD ．
∴∠ABC=∠AEF
A
板块二、全等与角度 C D B 【例 7】如图，在 ABC 中， BAC 60 ， AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ，
求 ABC 的度数.
A
【解析】 如图所示，延长 AB 至 E 使 BE BD ，连接 ED 、 EC . 由 AC AB BD 知 AE AC ， 而 BAC 60 ，则 AEC 为等边三角形. 注意到 EAD CAD ， AD AD ， AE AC ， 故 AED ≌ ACD . D B 从而有 DE DC ， DEC DCE ， 故 BED BDE DCE DEC 2DEC . E 20 80 . 所以 DEC DCE 20 ， ABC BEC BCE 60
A
A F
B
E
B
E
C
D
C
D
3
【解析】 延长 DE 至 F，使得 EF=BC，连接 AC. ∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180° ∵AB=AE，BC=EF ∴△ABC≌△AEF ∴EF=BC，AC=AF ∵BC+DE=CD ∴CD=DE+EF=DF ∴△ADC≌△ADF ∴∠ADC=∠ADF 即 AD 平分∠CDE.
【例 8】在等腰 ABC 中， AB AC ，顶角 A 20 ，在边 AB 上取点 D ，使 AD BC ，
求 BDC . 【解析】 以 AC 为边向 ABC 外作正 ACE ，连接 DE . 在 ABC 和 EAD 中， AD BC ， AB EA ， EAD BAC CAE C 60 B 20 A 80 ABC ， 则 ABC ≌ EAD . 由此可得 ED EA EC ，所以 EDC 是等腰三角形. D E 由于 AED BAC 20 ， 则 CED AEC AED 60 20 40 ， 从而 DCE 70 ， DCA DCE ACE 70 60 10 ， 则 BDC DAC DCA 20 10 30 .
D C D C
N
N
A
M
B
E
A
M
B
E
【解析】 猜测 DM MN .在 AD 上截取 AG AM ， ∴ DG MB ，∴ ∠AGM 45 ∴ ∠DGM ∠MBN 135 ，∴ ∠ADM ∠NMB ， ∴ DGM ≌ MBN ，∴ DM MN ． 【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.
B C
D
4
A E
【另解 1】以 AD 为边在 ABC 外作等边三角形 ADE ，连接 EC . D 在 ACB 和 CAE 中， CAE 60 20 ACB ， AE AD CB ， AC CA ， 因此 ACB ≌ CAE ， 从而 CAB ACE ， CE AB AC . 在 CAD 和 CED 中， AD ED ， CE CA ， CD CD ， 故 CAD ≌ CED ， 从而 ACD ECD ， CAB ACE 2ACD ， B C A 故 ACD 10 ，因此 BDC 30 . 【另解 2】如图所示，以 BC 为边向 ABC 内部作等边 BCN ，连接 NA D 、 ND . 在 CDA 和 ANC 中， CN BC AD ， CAD 20 ， ACN ACB BCN 80 60 20 ， 故 CAD ACN ， N 而 AC CA ，进而有 CDA ≌ ANC . 则 ACD CAN 10 ， B C 故 BDC DAC DCA 30 . 【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的 C 关系. 【例 9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在 ABC 中， AC BC ， C 20 ， 又 M 在 AC 上， N 在 BC 上，且满足 BAN 50 ， ABM 60 ，求 NMB .
2
【例4】 以 ABC 的 AB 、 AC 为边向三角形外作等边 ABD 、 ACE ，连结 CD 、 BE 相交 于点 O ．求证： OA 平分 DOE ．
D A D F O B C B O C A
E
E
【解析】 因 为 ABD 、 ACE 是 等 边 三 角 形 ， 所 以 AB AD ， AE AC ， CAE BAD 60 ， 则 BAE DAC ，所以 BAE ≌ DAC ， 则有 ABE ADC ， AEB ACD ， BE DC ． 在 DC 上截取 DF BO ，连结 AF ，容易证得 ADF ≌ ABO ， ACF ≌ AEO ． 进而由 AF AO ．得 AFO AOF ； 由 AOE AFO 可得 AOF AOE ，即 OA 平分 DOE ． 【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示， ABC 是边长为 1 的正三角形， BDC 是顶角为 120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60 的 MDN ，点 M 、 N 分别 在 AB 、 AC 上，求 AMN 的周长．
A
A
N M B D C
N M B D C E
【解析】 如图所示，延长 AC 到 E 使 CE BM . 在 BDM 与 CDE 中，因为 BD CD ， MBD ECD 90 ， BM CE ， 所以 BDM ≌ CDE ，故 MD ED . 因为 BDC 120 ， MDN 60 ，所以 BDM NDC 60 . 又因为 BDM CDE ，所以 MDN EDN 60 . 在 MND 与 END 中， DN DN ， MDN EDN 60 ， DM DE ， 所以 MND ≌ END ，则 NE MN ，所以 AMN 的周长为 2 . 【例6】 五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°， 求证：AD 平分∠CDE
全等三角形培优竞赛讲义（一） 知识点
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)， 一对最短边(或 最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证 明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点： 能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系． 而证 明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
C
【解析】 过 M 作 AB 的平行线交 BC 于 K ，连接 KA 交 MB 于 P . 连接 PN ，易知 APB 、 MKP 均为正三角形. 因为 BAN 50 ， AC BC ， C 20 ， 所以 ANB 50 ， BN AB BP ， BPN BNP 80 ， 则 PKN 40 ， KPN 180 60 80 40 ， M K 故 PN KN . N 从而 MPN ≌ MKN . P 1 进而有 PMN KMN ， NMB KMP 30 . 2
A D
A
D
F B C
F C
E
M
B
E
【解析】 延长 CB 至 M，使得 BM=DF，连接 AM. ∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF ∴△ABM≌△ADF ∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM ∵AB∥CD ∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM ∴∠AMB=∠EAM ∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.
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【例2】 如图，点 M 为正三角形 ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点 ( 点 B 除外 ) ，作 DMN 60 ，射线 MN 与 ∠DBA 外角的平分线交于点 N ， DM 与 MN 有怎样的 数量关系?
D G D
N
N
A
来自百度文库
M
B
E
A
M
B
E
【解析】 猜测 DM MN .过点 M 作 MG ∥ BD 交 AD 于点 G ， AG AM ，∴ GD MB 又∵ ∠ADM DMA 120 ， ∠DMA ∠NMB 120 ∴ ∠ADM ∠NMB ，而 ∠DGM ∠MBN 120 ， ∴ DGM ≌ MBN ，∴ DM MN ． 【变式拓展训练】 如图， 点 M 为正方形 ABCD 的边 AB 上任意一点，MN DM 且与 ∠ABC 外角的平分线交于点 N ， MD 与 MN 有怎样的数量关系？
C
【另解】在 AC 上取点 E ，使得 AE AB ，则由题意可知 CE BD . A 在 ABD 和 AED 中， AB AE ， BAD EAD ， AD AD ， 则 ABD ≌ AED ，从而 BD DE ， 进而有 DE CE ， ECD EDC ， E AED ECD EDC 2ECD . 注意到 ABD AED ，则： C D B 1 3 ABC ACB ABC ABC ABC 180 BAC 120 ， 2 2 故 ABC 80 . 【点评】由已知条件可以想到将折线 ABD “拉直”成 AE ，利用角平分线 AD 可以构造全等 三角形.同样地，将 AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十 分自然的. 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. A 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法” ，它们是证明等量关系时优先考 虑的方法.