巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题

巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题

新北实验中学严云霞

【基本模型】

三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系

模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）；模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）；模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；

A

A

D B D C

CBC

如图3

2 如图1

如图D

【分析】三个结论的证明A

例1、如图1，△ABC中，BD、CD为两个内角平分线，

1D。+∠A试说明：∠D=90°2为角平分线BD、CD（方法一）解：∵CB11。∠BCD＝∠ACBCBD∴∠＝∠ABC，22）°－（∠CBD＋∠BCDBCD在△中：∠D＝1801 ABC＋∠ACB）＝180°－（∠21°－∠A）＝180°－（180 211A

∠°－＝180×180°＋221A

＝90°＋∠2E 并延长交BC于点（方法二）解：连接AD CD为角平分线、解：∵BD11∠BCD＝ACB。＝∴∠CBD∠ABC，∠22A的外角是△

∵∠BDEABD

ABD

∴∠BDE＝∠BAD+∠1D ABC

∠=BAD+∠2CBE．

1同理可得∠CDE＝∠CAD+∠ACB

2又∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE

11∴∠BDC＝∠BAD+∠ABC+∠CAD+∠ACB

221＝∠BAC+（∠ABC+∠ACB）21＝∠BAC+（180°－∠BAC）21＝90°＋∠BAC

2例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，

1试说明：∠D=90°－∠A。2

解：∵BD、CD为角平分线

1∴∠CBD=∠CBE

21∠BCD＝∠BCF

2又∵∠CBE、∠BCD为△ABC的外角

∴∠CBE＝∠A＋∠ACB

∠BCF＝∠A＋∠ABC

∴∠CBE＋∠BCF＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝∠A＋180°

在△BCD中：∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD）

11＝180°－（∠CBE＋∠BCF）221＝180°－（∠CBE＋∠BCF）21＝180°－（∠A＋180°）21＝90°－∠A

2【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。

例３：如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，CD为∠ＡＣＥ的平分线，

1试说明：∠D＝∠A；2

解：∵BD为角平分线，

1∴∠CBD＝∠ABC，2又∵CD为∠ACE的平分线

1∴∠DCE=∠ACE，2．

而∠DCE为△BCD的一个外角

∴∠DCE=∠D+∠DBC，

即∠D＝∠DCE－∠DBC

11∴∠D＝∠ACE－∠ABC

221＝（∠ACE－∠ABC）2A1 A。＝∠

2

【巧借模型解决问题】

运用模型直接求值一、0角平和∠ACB，D点是∠4、如图，在△ABC中，∠Ａ=40ABC 例D0分线的交点，则∠BDC=

的模型：三角形两条内角1【思路分析】由条件知，这是图CB1A

°＋∠＝平分线的夹角，∴∠BDC9020 =110°=40时，∠BDC=90°＋20°当∠Ａ1∠A＝90°＋，反之，如果已知∠BDC的度数，则把度数代入公式：∠BDC 2可以解出∠A的度数。

二、运用模型揭秘画图题

例5、小明用下面的方法画出了45°角：作两条互相垂直的直线MN、PQ，点A、B分别是MN、PQ上任意一点，作∠ABP的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB 的平分线于点C，则∠C就是所求的45°角．你认为对吗？请给出证明．

【思路分析】通过对两条角平分线的分析，可以发现AC、BD分别是△AOB的内角平分线和外角平分线的夹角。根据图3的结论：这个夹角等于第三个角一半，

1可知∠C=∠AOB。2

1解：先模仿图3证明∠C=∠AOB

2又∵∠AOB=90°

1∴∠C=∠AOB=45°2三、运用模型探究规律，提升拓展

例6、问题引入：

（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC= （用α表示）；

拓展研究：

11（2）如图②，∠CBO=∠ABC，∠BCO= ∠ACB，∠A=α，试求∠BOC的度数33（用α表示）

归纳猜想：

（3）若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠11CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠ACB，∠A=α，则∠BOC= nn

（用α表示）．

类比探索：

11（4）特例思考：如图③，∠CBO= ∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，求∠

33BOC的度数（用α表示）．

一般猜想：若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们11交于点O，∠CBO= ∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC= nn（用α表示）．

【思路分析】

11（1）此为图1的模型，∠O= 90°+∠BAC= 90°+α221（2）把角平分线换成，但证明的思路大致相似。3在△ＢOC中：∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）

1＝180°－（∠ABC＋∠ACB）31＝180°－（180°－∠A）311＝180°－×180°＋∠A

331＝120°＋∠A

31＝120°＋α31（3）把角平分线换成，证明的思路类似。n在△ＢＣＤ中：∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）

1＝180°－（∠ABC＋∠ACB）n1＝180°－（180°－∠A）n

11×180°＋∠A ＝180°－nn11n? 180°＋∠A ＝×nn1n?1×180°＋α＝nn1，证明如下：2的模型中，把角平分线换成（4）此为图3 ABC为△的外角∵∠CBD、∠BCEABC

A＋∠∴∠CBD＝∠A＋∠ACB,∠BCE＝∠°＋∠BCE＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝∠A＋180∴∠CBD 在△ＢＣＤ中：∠BOC＝180°－（∠CBO＋∠BCO）11＝180BCE）CBD＋∠°－（∠331＋∠BCE）°－＝180（∠CBD31＋１180）＝180°－（∠A31A

∠°－＝12031°－＝120α311一般猜想：把再次推广为，证明类似：n3）＋∠BCO＝在△ＢＣＤ中：∠BOC180°－（∠CBO11）＋＝180°－（∠CBD∠BCE nn1＝180°－（∠CBD＋∠BCE）n1＋180°）°－＝180（∠A n1?1n A

°－＝×180∠nn1n1?°－α×＝180nn）的结果对比中，我们