闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响
闭环零极点及偶极子对系统性能的影响
闭环零极点及偶极子对系统性能的影响1. 综述在自动控制系统中，对系统各项性能如稳定性，动态性能和稳态性能等有一定的要求，稳定性是控制系统的本质，指的是控制系统偏离平衡状态后自动恢复到平衡状态的能力。
系统动态性能是在零初始条件下通过阶跃响应来定义的，对于稳定的系统，动态性能一般指系统的超调量、超调时间、上升时间、调整时间，描述的是系统的最大偏差以及反应的快速性;稳态性能指的是系统的稳态误差，描述的是系统的控制精度。
在本文中，采用增加或减少零极点以及高阶零极点的分布来研究高阶系统的各项性能指标，并借助工程软件matlab通过编程来绘制系统的冲激响应、阶跃响应、斜坡响应及速度响应曲线，研究系统的零极点及偶极子对系统性能的影响。
2. 稳定性分析稳定性是指控制系统偏离平衡状态后，自动恢复到平衡状态的能力。
系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。
稳定性是控制系统最基本的性质。
线性定常系统稳定的充分必要条件:闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分(不包括虚轴)。
因此研究零极点及偶极子对系统稳定性的影响即研究系统的极点是否都具有负实部，而不必关心系统的零点情况。
若系统的极点都具有负实部，则系统是稳定的。
否则，系统就不稳定。
为了用matlab对上述结论进行验证并根据上述稳定性的定义，下面用 ,(t)函数作为扰动来讨论系统的稳定性。
如果当t趋于?时，系统的输出响应c(t) lim()0ct,收敛到原来的零平衡状态，即，该系统就是稳定的。
t,,设系统的闭环传递函数为: s10， ,=2 (1)(22)sss，，，当系统分别增加(s+5)，(s-5)，1/(s+2)，1/(s-2)，(s+3)/(s+3.01)，(s-3)/(s-3.01)等环节时，画出各自的冲激响应曲线如图1.注:matlab源程序见附录1.图1由以上matlab仿真结果可以看出，当增加(s+5)，(s-5)，1/(s+2)，(s+3)/(s+3.01)等环节时，c(s)最终能收敛到原来的零平衡状态，系统稳定。
02240机械工程控制基础
02240机械工程控制基础第一章绪论1.1控制理论的发展简史（了解）1.2机械工程控制论的研究对象1）机械工程控制理论主要是研究机械工程技术为对象的控制论问题。
2）当系统已经确定，且输出已知而输入未知时，要求确定系统的输入以使输出并根据输出来分析和研究该控制系统的性能，此类问题称为系统分析°3）最优控制制：当系统已经确定，且输出已知而输入已施加但未知时，要求识别系统的输入以使输出尽可能满足给定的最佳要求。
4）滤波与预测问题当系统已经确定，且输出已知，输入已施加当未知时，要求识别系统的输入（控制）或输入中的有关信5）当输入与输出已知而系统结构参数未知时，要求确定系统的结构与参数，即建立系统的数学模型，此类问题及系统辨识。
6）当输入与输出已知而系统尚未构建时，要求设计系统使系统在该输入条件下尽可能符合给定的最佳要求，此类问题即最优设计。
1.3控制系统的系统的基本概念1）信息传递是指信息在系统及过程中以某种关系动态地传递的过程。
2）系统是指完成一定任务的一些部件的组合。
3）制制系统是指系统的可变输出能按照要求的参考输入或控制输入进行调节的系统。
4）系统分类：按照控制系统的微分方程进行分类分为线性系统、非线性系统。
按照微分方程系数是否随时间变化分为定常系统和时变系统。
按照控制系统传递信号的性质分类分为连续、离散系统。
按照系统中是否存在反馈将系统分为开环控制、闭环控制系统。
5）对控制系统的基本要求有稳定性、快速性、准确性第二章拉普拉斯变换的数学方法2.3典型时间函数的拉式变换（必须牢记）1）单位阶跃函数为，2）单位脉冲函数为，单位脉冲函数具有以下性质3）单位斜坡函数为，L（t）?第三章系统的数学模型....3.1概述1）数学模型概念在控制系统中为研究系统的动态特性而建立的一种模型。
2）建立数学模型的方法有分析法和实验法。
3）线性系统最重要的特性是叠加原理,具体内容是系统在几个外加作用下所产生的响应等于各个外加作用单独作用下的响应之和。
第二节增加零极点对二阶系统响应的影响-精选
对于0型或1型系统，N=0或N =1，则：
Kals i0m s2sK N((T T 1 ass 1 1 ))T T ((2bss 1 1 )) 0， ess
对于2型系统，N=2，则：
Kals i0m s2sK 2((T T1 ass 1 1))T T ((2 bss 1 1)) K ， e ss
Kpls i0m sK N((T T1ass 1 1 ))T (T (2bss 1 1)) ，ess 0
由上述分析可知，由于0型系统中没有积分环节，对阶 跃输入的稳态误差为一定值，称为有差系统。
对于实际系统，通常允许存在稳态误差，为了降低稳态误
差，可以增大或，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零， 则系统必须是1型或1型以上，即在前向通道中必须具有积分 环节。
1 Kv
对于0型系统，N=0，则：
Kvls i0m sK (T (T as1s 11 ))T (T b (2 ss 11 )) 0，essBiblioteka 对于1型系统，N=1，则：
Kvls i0m sK s((T T a1ss 1 1))T T ((b 2ss 1 1)) K，e ss
1 K
对于2型或高于2型系统，N≥2，则：
Kvls i0m ssK N((T T 1 ass 1 1 ))T T ((2bss 1 1 )) ，ess 0
以上表明，稳态误差取决于系统的积分器个数，N=0稳 态误差为 ，N=1稳态误差为1/K，N≥2则稳态误差为0
（3）单位抛物线信号输入时的稳态误差
由此可见，扰动作用点以前的系统前向通道G(s)中的放 大系数愈大，则由扰动引起的稳态误差就愈小，为了降低 主扰动引起的稳态误差常采用增大扰动点以前的前向通道 放大系数或在扰动点以前引入积分环节。
闭环零点对二阶系统的影响
完全书本上的理论：闭环零点是系统闭环传递函数中分子多项式方程的根。
闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。
对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
这个从系统结构上是可以推导出来的结论。
一想到零点，我们会想到比例微分环节，那么这个比例微分环节，放在前向通道和反馈通道，作用上会有什么不同吗？谈到零点，我们最先想到的是微分环节，事实上，单纯的微分环节是不存在的。
对一个信号取微分，也就是相当取这个信号的变化率。
一个脉冲信号，上升沿变化率近似于无穷大，而运放的输出能量是有限的。
能产生零点的基本环节有比例微分环节PD，比例积分环节PI。
先来看，在一个传递函数的分子中，加入一个零点，而分母不变，会有什么影响呢？以欠阻尼二阶系统G=4/(s^2+2*s+4)(阻尼比=0.5）为例，与另一个系统G=4(s+1)/(s^2+2*s+4）的单位阶跃响应比较。
绿色是加入零点的，蓝色是没有零点的。
从这个例子，我们可以得到一个很简单的结论：传递函数分母不变，分子中串入零点，瞬态响应变快，超调量增加。
举个例子，还是以传递函数G=4/(s^2+2*s+4)(阻尼比=0.5）作为控制对象，采用比例微分环节（1+0.5*s)去控制它。
而根据比例微分环节加入整个系统的位置不同，可以分为两种：一种是放在前向通道，一种是放在反馈通道。
下面以采用这两种校正方式后的单位阶跃响应，来看看它们有什么不同~(1)、将校正环节串入系统的前向传递通道（绿色）：sys=tf([4]，[1，2，0])；sys2=tf([0.5，1]，[1])；sys3=series(sys2，sys)，sys4=feedback(sys3，1)；step(sys4)；hold on；(2)、将校正环节作为系统的反馈通道（蓝色）：sys=tf([4]，[1，2，0])；sys2=tf([0.5，1]，[1])；sys3=feedback(sys，sys2)；step(sys3)；(3)、原系统的单位反馈（红色）：sys0=tf([4]，[1，2，4])；step(sys0)；从上面的小例子，我们可以得出一个很实用的结论：校正环节加入系统前向传递通道形成闭环，会在闭环传递函数中形成一个零点并增大阻尼比，故时域响应能够同时降低超调和提高瞬态响应。
闭环实负零点对二阶系统的影响
闭环实负零点对二阶系统的影响作者 jiangteng 班级 09电本2班 学号4090208230摘 要：本文采用拉普拉斯变换的方法，首先研究了二阶系统在单位阶跃输入下的响应，并对二阶系统的传递函数及其动态性能指标进行了详细的讨论。
然后重点研究了闭环零点对二阶系统的传递函数及其在单位阶跃响应的动态性能指标的影响，并得出了相应的结论。
关键字：闭环零点 二阶系统 欠阻尼0 引言由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
二阶系统形式简单而且应用广泛，同时，高阶系统的研究也往往通过选取主导极点将系统简单化为二阶系统。
二阶系统有两种结构形式，一种是无零点二阶系统，一种是有零点二阶系统。
对二阶系统的研究，主要是研究单位阶跃响应和动态性能指标。
在阻尼比0≤ξ时，系统不能正常工作，而在1≥ξ时，系统动态响应进行的又太慢。
所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况下（10<<ξ）时是最有实际意义的。
下面将讨论这种情况下两种结构形式的二阶系统。
1. 典型二阶系统的传递函数和状态方程1.1 二阶系统传递函数的标准形式开环传递函数：()()n nK s s s W ξωω22+=闭环循环传递函数：()2222nn nB s s s W ωξωω++= 二阶系统标准形式的结构图如下图1-1所示：1.2 二阶系统的单位阶跃响应及其动态响应假设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，()ss X r 1=输出量的拉氏变换为图 1-1 二阶系统标准形式的结构图()()ss s s X n n n c 12222⨯++=ωξωω ⑴ 系统的特征方程为0222=++n n s s ωξω由上式可解除特征方程式的根，这些根与阻尼比ξ有关。
这里只讨论欠阻尼的情况。
当0<ξ<1时，特征方程式的根为 ()n j p ωξξ211---=- ()nj p ωξξ221-+-=-由于0<ξ<1，故1p -及2p -为一对共轭复根，如图1-2所示。
闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响
2 2
2
4 4
1
，
ts
5%
3
n
t 所以推得如下关系： 3 2 2 4 4 1 s c
从而得到 t
6 ，
s c tan ( )
c
随着（ ）的增大， t
（ ） 逐渐减小。如果有两个系统，其
相同，那么
c
sc
c
它们的超调量大致是相同的，但它们的动态过程时间与 成反比。穿越频率越大的系 c
3 调节时间 ts (5%) ξwn
只与阻尼ξ和振荡角频率 wn 有关，所以不受零点位置的影响。
1 章 二阶系统简单描述
一个系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母 S 的最高次项决定的。二阶系统就是 S 的最高次项为 2 的闭环传递函数所对应的系统典型。简单来说就是由二阶微分方程描述的系 统就叫做二阶系统。
二阶系统结构图见图 1
图1 由图可知二阶系统开环传递函数为：
W s K
ss
2 n
2
n
二阶系统闭环传递函数为：
图2
W B
(S)
Xc(s) Xr(s)
s2
w2(s z) n
2ξw s
w
2
n
n
具有零点的二阶系统的开环传递函数为：
W k
(s)
s2
w2 (s z) n
(2ξw w2 )s
w
2
zw2
n
n
n
n
K2 1 2 n
θ
K3
K1
n
11
1
图3 1) 当 0<k<k1 时，系统处于过阻尼状态，随着 k 的增大，θ角也不断增大，导致ζ在减小
0 章 引言
第二节增加零极点对二阶系统响应的影响-精选
（2）单位斜坡输入时的稳态误差
设系统输入为单位斜坡信号，R(s)
1 S2
系统的稳态误差为：
ess ls i01 m G (s s)H (s)s 1 2ls i0s m (G s1 )H (s)
令：
K vls i0 m sG (s)H (s)
K定义为速度误差系数，所以：
e ss
1 Kv
对于0型系统，N=0，则：
表3—2 二阶系统附加零点对性能指标的影响
n2 (s a)
这是由于： C(s) GS2 B R(2 s ) n 2n sS 2 an 2 2R (nss)Sn22 R2 ( sa )n 2n sn 2s(R s)
即：
C0(s)1asC0(s)
c(t)c0(t)a1dd0c(tt)
从上式可以看出，系统的阶跃响应中包含有标准二阶系 统的阶跃响应及该响应的导数，导数项的大小与零点成反 比，即零点距离虚轴越远，附加零点的影响就越小。
一、 稳态误差的概念
如图3-23所示，对于单位反馈 系统，稳态误差定义为：
R(s)
e s se ( ) lt ir m (t) c (t)
E(s)
-
G(s)
C(s)
表示稳态时系统实际输出值与希 望输出值间的偏差。
图3-23单位反馈系统
如图3-24所示，对于非单位反馈 系统，稳态误差定义为：
R(s) E(s)
第三节 反馈系统的稳态误差
稳态误差是对系统精度的一种衡量，它表达了系统实 际输出值与希望输出值之间的最终偏差，系统对典型输 入信号（包括扰动信号）作用下的稳态误差要求是最基 本的要求。
本节主要内容：是研究具有 不同结构或不同传递函数 的系统在不同的输入信号作用下产生的稳态误差，以及系 统静特性不稳定或参数变化对系统稳态响应的影响，相应 的如何降低系统的稳态误差。
闭环系统零、极点位置对时间响应性能指标的影响
闭环系统零、极点位置对时间响应性能指标的影响
稳定性：
如果闭环极点全部位于s左半平⾯。
则系统⼀定稳定；
运动形式：
如果闭环系统⽆零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应⼀定是单调的；如果闭环系统极点均为复数极点，则时间响应⼀般是震荡的。
超调量：
超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率，并与其它闭环零极点接近坐标原点的程度有关。
调节时间：
调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的复数的实部绝对值；如果实数极点距离虚轴最近，并且它没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数的模值。
实数零极点的影响：
零点减⼩系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增⼤；极点增⼤系统阻尼，使峰值之间迟后，超调量减⼩，它们的作⽤，随着它们本⾝接近坐标原点的程度⽽增强。
偶极⼦及其处理：
远离原点的偶极⼦，其影响可忽略；接近原点的偶极⼦其影响必须考虑
主导极点：
在s平⾯上，最靠近虚轴⽽附近有闭环零点的⼀些闭环极点，对系统的影响最⼤。
结合偶极⼦的处理原则，将⾼阶系统简化为⼆、三个主导极点和⼀两个零点，然后估算系统的单位阶跃响应的性能指标。
论闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响
论闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响摘要：实际工作中常常可以把一个高阶系统降为二阶系统来处理,因此分析二阶系统的单位阶跃响应,对于研究自动控制系统的暂态特性具有重要意义。
二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡,但阻尼比ξ取值恰当,则系统既有响应的快速性,又有过渡过程的平稳性,因此在控制过程中常把二阶系统设计为欠阻尼。
大多数高阶系统中含有一对闭环主导极点,则该系统的动态响应就可以近似的用这对主导极点所描述的二阶系统来表达。
本文是通过直接求解系统在单位阶跃信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。
通过对设零点系统与未设零点系统上升时间、峰值时间、最大超调量、调节时间暂态特性各个方面的对比,以及零点位置的变化对各动态性能变化趋势最终找到闭环零点对实际二阶系统的作用效果。
关键词：自动控制二阶系统零点0.的系统,1. S 的最高1.11.2故X 其中n d ωξω21-=ξξθ21arctan-=1.3二阶系统极点分布图1.4二阶系统动态特性1.4.1得1.4.21.4.3得 %100%21⨯=--ξδe ④1.4.4调节时间s t()ns t ξω4%2= 8.00<<ξ⑤2. 具有零点的二阶系统的动态分析2.1具有零点的二阶系统结构图及传递函数带零点的二阶系统结构图： σ具有零点的二阶系统的闭环传递函数为：τ——时间常数 令τ1=z,则上式可写为如下形式： )2()()()(222n n n w s w s z z s w s Xr s Xc +++=ξ ⑥由式⑥可得,其系统的闭环传递函数具有零点-z,是具有零点的二阶系统将式⑥分解,由222)()(1n s Xr w s Xc =得)(11)(s Xc s Xc s Xc += 2.2=1)(t x c ： 令r r 由此计算得到了典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式,即为公式⑩。
3.具有零点的二阶系统的动态性能指标由公式⑩得到了具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式：3.1上升时间在动态过程中,系统的输出第一次达到稳态值的时间称为上升时间r t 。
闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响
闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响姓名：***学校：唐山学院班级：08电本3班邮编：063000本文介绍了二阶系统和带有一个零点的二阶系统。
计算带有零点的二阶系统的时域指标：上升时间t r、峰值时间t m、最大超调量% 、调节时间t s。
将这些指标与没有零点的二阶系统的数据进行比较，研究有无零点对系统的影响，并讨论零点的位置变化对系统这些指标的影响。
关键字：二阶系统零点上升时间峰值时间超调量调节时间二阶系统在经典控制理论中占有重要的地位，它在控制工程中应用极为广泛。
例如，RL网络、忽略了电枢电感后的电动机、具有质量m的物体的运动等，二阶系统的例子很常见。
另外，许多高阶系统，在一定的条件下，常常可以近似的作为二阶系统来研究。
因此，详细讨论和分析二阶系统的特性具有极为重要的实际意义。
传递函数分子多项式的根称为系统的零点。
当二阶系统具有闭环零点时，其单位阶跃与无零点的系统响应有所不同。
下面就让我们研究两者有什么不同及零点对二阶系统单位响应的影响。
1.二阶系统1.1二阶系统自动控制系统按其主要元件的特性方程式的输入输出特性，可以分为线性系统和非线性系统。
线性系统是由线性元件（电容、电感等）组成的系统，该系统的运动方程式可以用如下的线性微分方程描述：)()()()()()()()()()()()()()()()(11111111t t t t t t t t t t t t t t t t x b dt dx b dtx d b dt x d b x a dt dx a dt x d a dt x darnrn n r n nr ncncn n cn nc n++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++------其中：)(t x r 表示系统的输入量；)(t x c 表示系统的输出量。
由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。
二阶系统用二阶微分方程表示为)()(2)(222t t t x x dt dx dtx d rncncnc ωωωξ=++其中：ξ—阻尼比，ωn—无阻尼自然振荡角频率。
微分环节对二阶系统的影响学习资料
比例微分调节规律
PD调节器的动作规律是
u Kce S2
de 或
dt
1
u (e TD
de ) dt
PD调节器的传递函数为
Gc
(s)
1
(1
TD s)
但严格按照上式动作的控制器在物理上是不能实现的. 工业 上实际采用的PD调节器的传递函数是：
TD—微分时间
G(s) 1 TDs 1
arctg[ n 1 d 2 (Z d n )] arctg( 1 d 2 d )
注意：微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在 输入端噪声较强时，不宜采用比例-微分控制。此时， 可考虑用测速－反馈控制。
比例——微分控制（PD控制）
从时域响应的角度来说，D环节可以抑制超调，改善动态性能，抑制外部扰动。 但在现实中，D环节又有很多问题：
比例微分调节规律
PD调节的斜坡响应
微分动作的引入使输出的变化提前 了一段时间发生, 提前的时间就是 微分时间TD.
根据PD调节的斜坡响应也可以单 独测定它的微分时间TD. 其斜坡响 应曲线为
PD调节器的斜坡响应
比例微分调节规律
1) P调节： Gc(s)=1/δ
1
2) 理想PD调节： Gc (s) (1 TDs)
n2 2n )
s(s
/
2 2n
1)
, K0
n 2G(s) n2 (Td Nhomakorabeas 1)
n 2
(Td s
1)
, K n
s(s 2n ) s(s / 2n 1)
2
可见，比例－微分控制不改变开环增益。
R(s)
比例——微分控制（PD控制） (-) Tds+1
闭环零点对动态特性的影响
α = π − arctan19
= 0.05k0 + 0.025 362k0 e e
− t (α − t ) j
+ 0.025 362k0 e e
− t ( −α + t ) j
= 0.05k0 + 0.025 362k0 e − t [ cos(α − t ) + j sin(α − t ) ] +0.025 362k0 e − t [ cos(−α + t ) + j sin(−α + t ) ]
10( s + 0.1) Φ 2 ( s) = 2 s + 2s + 2
18
仿真结果
6 5 4 3 2 1 0 0
10 Φ1 ( s ) = 2 s + 2s + 2
10( s + 0.1) Φ 2 ( s) = 2 s + 2s + 2
y1 y2
1
2
3 Time (sec)
4
5
6
3 − πj ( −1− j ) t 4
e
2 + k0 e 4
3 πj ( −1+ j ) t 4
e
1 2 = k0 + k0 e 2 4
3 − t + − π −t j 4
2 + k0 e 4
3 − t + π +t j 4
1 2 3 3 −t = k0 + k0 e cos − π − t + j sin − π − t 2 4 4 4 2 3 3 −t k0 e cos π + t + j sin π + t + 4 4 4
零点对二阶系统的影响
摘要：由于实际工作中对高阶系统的研究常常是将其降为二阶系统，因此分析二阶系统的单位阶跃响应，对于研究自动控制系统的暂态特性具有重要意义。
大多数高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的动态响应就可以近似的用这对主导极点所描述的二阶系统来表达。
本文将从根轨迹和频率特性两方面，对增加一闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响。
并探究了不同位置下闭环零点对系统的不同影响。
关键词：闭环零点二阶系统根轨迹频率特性0章引言二阶系统是工程中常用到的系统，不仅仅是研究二阶系统本身，而且研究高阶系统也是将其化为二阶系统，因此二阶系统是个非常重要的系统。
实际工程中欠阻尼二阶系统是最常用的，可以看成是稳定的系统，因此分析欠阻尼系统具有实际意义。
二阶系统的单位阶跃响应最能反映二阶系统的本质特性。
在实际生产中，二阶系统要满足工程最佳参数，而通过改变开环放大系数的方法会增大系统的稳态误差，为了满足这一要求的同时还能保证系统稳态的精度，常用设置零点的方法来做到。
本文就是对闭环零点对二阶系统影响做了描述。
1章二阶系统简单描述一个系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母S的最高次项决定的。
二阶系统就是S的最高次项为2的闭环传递函数所对应的系统典型。
简单来说就是由二阶微分方程描述的系统就叫做二阶系统。
二阶系统结构图见图1图1由图可知二阶系统开环传递函数为：二阶系统闭环传递函数为：在没有零点时，二阶系统的根轨迹，ζ及ωn为定值随着K值的增大，θ角也不断增大，由于，，，，（注公式）所以ζ一直在减小，导致上升时间增长，但调节时间增长，超调量增大，系统的平稳性降低。
2章具有零点的二阶系统的根轨迹分析2.1增加零点对二阶系统的影响零点的二阶系统结构图见图2：具有零点的二阶系统的传递函数为：具有零点的二阶系统的开环传递函数为：当0<k<k1时，系统处于过阻尼状态，随着k的增大，θ角也不断增大，导致ζ在减小超调量在不断增大，调节时间保持不变，上升时间减少。
零极点对阶跃响应的影响
零极点对阶跃响应的影响引言：在控制系统中，阶跃响应是一种常用的测试方法，用于评估系统的性能和稳定性。
系统的零点和极点是决定系统行为的重要因素，它们对阶跃响应产生着直接的影响。
本文将探讨零极点对阶跃响应的影响，从而更深入地理解控制系统的特性。
一、零点对阶跃响应的影响1. 零点的存在：零点是系统传递函数的根零点，对阶跃响应产生显著影响。
当系统存在零点时，阶跃响应会在该点产生一个转折，即在此处具有较大的斜率。
这会导致系统的过渡过程变得更加迅速，响应时间缩短。
2. 零点的位置：零点的位置决定了阶跃响应的形状和稳定性。
当零点位于左半平面时，系统的阶跃响应是稳定的，并且通常具有良好的抑制能力。
反之，当零点位于右半平面时，系统的阶跃响应会发散或产生振荡，导致系统不稳定。
3. 零点的数量：零点的数量会影响系统的阶跃响应特性。
当系统具有多个零点时，阶跃响应会在每个零点处产生转折，并可能引起额外的振荡。
这可能导致系统的过渡过程变得更加复杂，甚至不稳定。
因此，在设计控制系统时，需要注意零点的数量及其位置。
二、极点对阶跃响应的影响1. 极点的存在：极点是系统传递函数的根极点，也对阶跃响应产生显著影响。
当系统存在极点时，阶跃响应会在该点产生一个跳跃或震荡，即在此处具有较大的幅值。
这会导致系统的过渡过程出现震荡现象，响应时间延长。
2. 极点的位置：极点的位置决定了阶跃响应的稳定性和振荡特性。
当极点位于左半平面时，系统的阶跃响应通常是稳定的，且不会产生振荡。
然而，当极点位于右半平面时，系统的阶跃响应会发散或产生振荡，导致系统不稳定。
3. 极点的数量：极点的数量也会影响系统的阶跃响应特性。
当系统具有多个极点时，阶跃响应可能会出现多个跳跃或振荡，导致系统的过渡过程变得更加复杂。
因此，在控制系统设计中，需要注意极点的数量及其位置，以确保系统的稳定性和性能。
三、零极点共同作用对阶跃响应的影响零点和极点的共同作用对阶跃响应产生复杂的影响。
实验六开环增益与零极点对系统性能的影响
实验六 开环增益与零极点对系统性能的影响一．实验目的1．研究闭环、开环零极点对系统性能的影响； 2．研究开环增益对系统性能的影响。
二．实验内容1．搭建原始系统模拟电路，观测系统响应波形，记录超调量σ%、峰值时间tp 和调节时间ts ；2．分别给原始系统在闭环和开环两种情况下加入不同零极点，观测加入后的系统响应波形，记录超调量σ%和调节时间ts ；3．改变开环增益K ，取值1，2，4，5，10，20等，观测系统在不同开环增益下的响应波形，记录超调量σ%和调节时间ts 。
三．实验步骤在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。
如果选用虚拟示波器，只要运行ACES 程序，选择菜单列表中的相应实验项目，再选择开始实验，就会打开虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验台上的虚拟示波器CH1、CH2两通道观察被测波形。
具体用法参见用户手册中的示波器部分。
1．原始二阶系统实验中所用到的功能区域：阶跃信号、虚拟示波器、实验电路A1、实验电路A2、实验电路A3。
原始二阶系统模拟电路如图1-6-1所示，系统开环传递函数为：0.1(0.21)Ks s ，图1-6-1原始二阶系统模拟电路（1） 设置阶跃信号源：A ．将阶跃信号区的选择开关拨至“0～5V ”；B ．将阶跃信号区的“0～5V ”端子与实验电路A3的“IN32”端子相连接；C ．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“0～5V ”端子产生阶跃信号。
（2） 搭建原始二阶系统模拟电路：A ．将A3的“OUT3”与A1的“IN11”、“IN13”同时连接，将A1的“OUT1”与A2的“IN21”相连接，将A2的“OUT2”与A3的“IN33”相连接；B．按照图1-6-1选择拨动开关：图中：R1=200K、R2=200K、R3=200K、R4=100K、R5＝64K、R6=200K、R7=10K、R8=10K、C1=1.0uF、C2=1.0uF将A3的S5、S6、S10，A1的S3、S6、S9，A2的S3、S8、S13拨至开的位置；（3）连接虚拟示波器：将实验电路A2的“OUT2”与示波器通道CH1相连接。
自动控制理论_09欠阻尼二阶系统的动态过程分析
n 67.5 8.21
34.5 2.1 2n
峰值时间：t p ?
超调量：％ 0
无
四、改善二阶系 统响应的措施
1. [0,t1]误差信号为正，产生正向 c ( t ) 修正作用，以使误差减小，但因 系统阻尼系数小，正向速度大， 造成响应出现正向超调。 2. [t1,t2]误差信号为负，产生反向 修正作用，但此时反向修正作用 不够大，经过一段时间才使正向 e ( t ) 速度为零，此时输出达到最大值。 3. [t2,t3]误差信号为负，此时反向 修正作用增大，使输出返回过程 中又穿过稳态值，出现反向超调。 (t ) 4. [t3,t4]误差信号为正，产生正向 c 修正作用，但开始正向修正作用 不够大，经过一段时间才使反向 速度为零，此时输出达到反向最 (t ) e 大值。
t1 t2
t3
t4
归纳如下：
c (t )
1. [0,t1] 正向修正作用太大，特 别在靠近t1 点时。 2. [t1,t2] 反向修正作用不足。 减小二阶系统超调的思路 1. [0,t1] 减小正向修正作用。附 e ( t ) 加与原误差信号相反的信号。 2. [t1,t2] 加大反向修正作用。附 加与原误差信号同向的信号。 3. [t2,t3]减小反向修正作用。附加 与原误差信号相反的信号。 (t ) c 4. [t3,t4] 加大正向修正作用。附 加与原误差信号同向的信号。即 在[0,t2] 内附加一个负信号， (t ) e 在[t2,t4]内附加一个正信号。 5. 综上所述采用比例微分控制。
n An Ai A1 A2 C ( s) s s1 s s2 s sn i 1 s si
R
5K A s( s 34.5)
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闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响作者：单位：邮编：摘要在工程上电路中出现两个储能元件时便构成了二阶系统。
由于欠阻尼二阶系统最具有实际意义，并且二阶系统往往需要满足工程最佳参数的要求，然而仅仅通过改变开环放大系数从而满足工程要求则可能会出现系统稳态误差增大的现象，设置具有闭环零点的二阶系统既可以达到满足工程所需的阻尼比，又可保证系统稳态精度。
在全面的分析了二阶系统之后，得出二阶系统的动态变化，由此引入带有零点的二阶系统，并分析了在欠阻尼状态下二阶系统的单位阶跃响应，并分析了其上升时间、峰值时间、调节时间、最大超调量，与没有零点的二阶系统进行了动态特性的对比。
在此基础上分析了零点位置变化对二阶系统的影响。
得到了重要结论。
关键字：二阶系统上升时间峰值时间调节时间最大超调量0 引言在已经知道了二阶系统的动态特性的基础之上，进一步研究具有闭环零点的二阶系统。
并通过对比二阶系统和具有闭环零点的二阶系统，得出一定的结论。
讨论当零点移动时对动态特性的影响。
对满足工程所需的阻尼比，保证系统稳态精度具有重要作用。
1 二阶系统用二阶微分方程描述的系统成为二阶系统。
等效开环传递函数方框图：其闭环传递函数方框图：其中n ω无阻尼自然振荡角频率，ξ为阻尼比。
W B （s ）=2n 22n 2ns s ＋ωξω＋ω （1-1） 二阶系统的特征方程为：2n 22n s s ＋ωξω＋=0两根为S 1,2=12n n －ξω－ξω 二阶系统极点分布图：2n 22n 2n s s ＋ωξω＋ω X r (s) X c (s)1、当ξ>1时，（过阻尼）2、当0<ξ<1时，（欠阻尼）3、当ξ=1时，（临界阻尼）4、当ξ=0时，（无阻尼）5、当ξ<0时，（发散振荡）在不同的阻尼比时，二阶系统的动态响应有很大的差别，因此阻尼比ξ是二阶系统的重要参数，当ξ<0时系统不可以正常工作，而在ξ>1时，系统动态响应进行得太慢，所以对二阶系统来说欠阻尼是最有实际意义的。
2 具有零点的二阶系统W k （s ）=ss n 22n 2)1s (ξωτω++ W B （s ）=s s s nn 22n 22n 2)1s (τωωξωτω++++ = 22n 22n 2)1s (nn s s ω）τωξω（τω++++ =2n 22n 2)1s (ns s ωξωτω+++ =2n 22n 2)1s (ns s ωξωττω+++ =)2(1)1s (2n 22n n s s ωξωττω+++ （2-1） 令τ1=z （τ为时间常数） 则W B （s ）=)2()s (2n 22n ns s z z ωξωω+++ （2-2） 上式系统的闭环传递函数为具有零点-z 的二阶系统。
其结构图如下：X c (s)3 带零点二阶系统的单位阶跃响应当输入信号为Xr(s)=s1 Xc(s)= )2(s )s (2n 22n ns s z z ωξωω+++ =(1+z s )()2(s 2n 22n n s s ωξωω++) =(1+zs )[X c1(s)] X c1(s)= )2(s 2n 22n n s s ωξωω++ 则X c （s ）= X c1(s)+ zs X c1(s) X c (t)=L -1[X c （s ）]= L -1[X c （s ）]+z1 L -1[sX c （s ）] = X c1(t)+ z 1td t )(dX c1 X c1(t)=1-)1(sin 1e 22n θωξξξω+---t n tz 1t d t )(dX c1=)]1(c 1)1(sin [z 11e 222n 2n θωξωξθωξξωξξω+---+---t os t n n n t 则得X c (t)=1- )1(sin z l 1e 22n φθωξξξω++---t n t （3-1） 式中 θ=arctan ξξ21- φ==arctan n n ξωωξ--z 21z l =2222z z n n z ωξω+- 具有零点的二阶系统零极点分布图：4 带零点二阶系统的动态特性4.1 上升时间tr在动态过程中，系统的输出第一次达到稳定值的时间称为上升时间tr ，根据这一定义，在式中t=tr 时X c (t)=1得)sin(z l 1e 2n φθωξξω++--t d t =0 得 ＋θ＋φωt d =πn r t ωξφθπ21---= (4-1)4.2 峰值时间峰值时间为第一个峰值对应的时间 令dtdXc(t)=0 )cos(1e l -)sin(1e l 22n n n φθωξφθωξξωξωξω++-++---t z t z d td t =0 )t cos()t sin(φθωφθω++++m d m d =ξξ21- 得)t tan(φθω++m d =ξξ21- φθω++m d t =n π+ξξ21arctan - ∴φω+m d t = n π当n=1时m t = d ωφπ-=n ωξφπ21-- (4-2)4.3 最大超调量超调量=%100*)()()(c ∞∞x x m x c c －在单位阶跃输入下)(c ∞x =1将t m 代入)(c t x 得)(c m x =)sin(1121)(2θπξξφπξ+-----z l e =1+221)(112ξξξφπξ-----z l e =1+z l e21)(ξφπξ--- 则δ%=%100*21)(zl eξφπξ--- (4-3) 4.4 调节时间调节时间ts 是Xc(t)与稳态值Xc(∞)之间的偏差大道允许范围（一般去稳态值的±2%~±5%）而不超出的动态过程时间，在动态过程中偏差为： Δx= xc(∞)- xc(t) = φθωξξξω++---t n t 221(sin z l 1e n ) 当Δx=0.02或0.05时得φθωξξξω++---t n t 221(sin z l 1e n ）=0.05 (或0.02) 为简单起见，采用近似计算的方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05或0.02时过渡过程及进行完毕，这样得到：21e l n ξξω--tsz =0.05（或0.02） 由此求得调节时间为：%)5(s t =)ln 3(1zl n +ξω (4-4)%)2(s t =)ln 4(1zl n ξω (4-5)5 加入零点之后二阶系统的变化未加入闭环零点时二阶系统的动态特性与存在闭环零点的二阶系统有很大差别，在过渡工程开始阶段有较大影响。
5.1 上升时间的变化 由n r t ωξθπ21--= 与公式4-1对比可得当阻尼系数ζ和无阻尼振荡角频率一定时，附加一个闭环零点时，上升时间tr 减小，即使系统响应速度加快。
5.2 峰值时间m t 的变化由m t = d ωπ=n ωξπ21-与公式4-2对比可得当阻尼系数ξ和无阻尼振荡角频率一定时，存在闭环零点时，峰值时间峰值时间m t 减小，并与上升时间的时间减小量相同，是系统响应速度加快。
5.3 最大超调量的变化δ%=%100*21ξξπ--e 与公式δ%=%100*21)(z l eξφπξ---（4-3）相比可得 设A=%100*21)(z l e ξφπξ--- B=%100*21ξξπ--e%100*%100*2211)(ξξπξφπξ-----=e z l e B A =21ξφ-e z l 将其转化成关于φ的函数关系得当阻尼系数ζ和无阻尼振荡角频率一定时，加入闭环零点使系统的调节量略有上升。
5.4 调节时间的变化当系统中未加入闭环零点时其调节时间如下：ns t ξω3%)5(= n s t ξω4%)2(=加入闭环零点时公式如下：%)5(s t =)ln 3(1zl n +ξω (4-4) %)2(s t =)ln 4(1zl n +ξω (4-5) 显然当阻尼系数ζ和无阻尼振荡角频率一定时，系统存在闭环零点时，其调节时间均延长了zl n ln 1ξω。
6 零点位置变化对二阶系统的影响6.1 对上升时间的影响由公式（4-1）可知当z>n ξω时，tr 增大。
当z= n ξω时，φ=90度，此时tr 最小。
当0<z< n ξω时，φ>90度， tr 减小。
由此得出结论：上升时间会随零点的左移而增大。
6.2 对峰值时间的影响同理可得当零点左移时峰值时间会增大。
6.3 对最大超调量的影响由公式（4-3）可得，将其转化成关于φ的函数当零点左移时ϕ减小，ϕπ-增大，e ξϕπξ21)(---减小 由三角形正弦定理可知：)sin(sin ϕθπθ--=z l ，则)sin(sin ϕθπθ--=z l 所以当闭环零点左移时，最大超调量将减小。
6.4 对调节时间的影响)sin(sin ϕθπθ--=z l将其代入公式（4-4）中得出结论：当闭环零点左移时，系统的调节时间减小。
7 结束语当阻尼系数和无阻尼自然振荡角频率一定时，附加一个闭环零点，将使二阶系统单位阶跃响应的震荡剧烈，响应速度加快，超调量上升。
随着闭环零点的左移，即远离极点，系统的上升时间，峰值时间，超调量，调节时间均减小。
随着附加闭环零点向虚轴靠近，比值nz ξωα 逐渐减小，闭环零点影响更加显著。
当附加零点距s 平面虚轴很远时，附加零点的影响可忽略，这是系统可用无零点典型二阶系统代替。
参考文献[1]王建辉，顾树生.自动控制原理.北京：清华大学出版社[M],2006[2]张元林.积分变换.北京：高等教育出版社[M],2003[3]郑君里等.信号与系统.北京：高等教育出版社[M]2008。