概率论中心极限定理
概率论中的大数定律与中心极限定理
概率论中的大数定律与中心极限定理概率论是数学中的重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，大数定律和中心极限定理是两个基本定理，它们对于理解和应用概率论具有重要意义。
一、大数定律大数定律是概率论中的一项重要成果，它研究的是随机事件重复进行时，随着试验次数的增加，事件的频率趋于稳定的现象。
大数定律的核心思想是：随机事件的频率会趋于其概率。
大数定律有多种形式，其中最著名的是弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律指出，当随机事件重复进行时，事件的频率会接近其概率，但不一定完全相等。
而强大数定律则更加严格，它指出，当随机事件重复进行时，事件的频率几乎必定会趋于其概率。
大数定律的应用非常广泛。
例如，在赌场中，赌徒们常常利用大数定律来制定自己的投注策略。
他们相信，通过多次下注，最终能够获得稳定的胜率。
另外，在统计学中，大数定律也是重要的理论基础。
通过对大量样本的观察，我们可以得出对总体的推断。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它研究的是随机变量的和的分布趋于正态分布的现象。
中心极限定理的核心思想是：随机变量的和趋于正态分布的程度与随机变量的分布无关，只与样本容量有关。
中心极限定理有多种形式，其中最著名的是中心极限定理的拉普拉斯形式和莫尔根-拉普拉斯形式。
中心极限定理的拉普拉斯形式适用于二项分布和泊松分布，而莫尔根-拉普拉斯形式适用于任意分布。
中心极限定理的应用广泛而深入。
在实际生活中，我们常常遇到一些随机现象，如测量误差、人口统计等。
通过应用中心极限定理，我们可以对这些随机现象进行更准确的分析和预测。
三、大数定律与中心极限定理的关系大数定律和中心极限定理是概率论中两个相互关联的定理。
它们都是研究随机现象的规律性，但侧重点不同。
大数定律研究的是随机事件的频率趋于稳定的现象，它关注的是事件本身的概率。
而中心极限定理研究的是随机变量的和的分布趋于正态分布的现象，它关注的是随机变量的分布。
大数定律和中心极限定理的关系可以从两个方面来理解。
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。
为什么中心极限定理是正态分布证明过程
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它表明在一定条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会趋近于正态分布。
正态分布在统计学和自然科学中具有重要地位，因此中心极限定理的证明过程对于理解正态分布的性质和应用具有重要意义。
本文将通过以下几个方面解析为什么中心极限定理是正态分布的证明过程。
1. 中心极限定理的概念和表述中心极限定理是指在一定条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会趋近于正态分布。
具体来说，设X1，X2，...，Xn是n个独立同分布的随机变量，它们具有相同的数学期望μ和方差σ^2，那么它们的和Sn=(X1+X2+...+Xn)在n趋向于无穷大时，其分布函数将趋近于正态分布的分布函数。
2. 大数定律与中心极限定理的关系中心极限定理与大数定律都是描述随机变量序列的性质的定理，但它们的对象不同。
大数定律是描述随机变量序列的数学期望的性质，而中心极限定理是描述随机变量序列的和的分布的性质。
在证明过程中，我们会分析这两个定理之间的通联和区别。
3. 极限定理的数学推导为了证明中心极限定理，首先需要利用数学分析和概率论的理论知识，对随机变量序列的和的分布进行推导。
我们将会详细介绍中心极限定理的数学推导过程，包括利用特征函数进行推导、应用Moments生成函数以及利用独立同分布的性质等。
4. 中心极限定理的应用与意义我们将讨论中心极限定理在实际问题中的应用和意义。
正态分布在自然界和社会现象中具有广泛的应用，而中心极限定理为我们理解和应用正态分布提供了重要的理论基础。
我们也将介绍中心极限定理在统计学、金融学、医学等领域中的实际应用，以及它对于风险管理、决策分析和科学研究的重要意义。
5. 总结通过对中心极限定理的证明过程进行分析和讨论，我们将更深入地理解中心极限定理的内在含义和数学原理，以及它在现实生活中的重要应用。
也能够更好地理解正态分布的性质和特点，为进一步深入研究概率论和统计学提供理论基础和指导。
中心极限定理是概率论中的一个基本概念，它向我们展示了独立随机变量的和的分布是如何趋向于正态分布的。
概率论与数理统计：中心极限定理
k 1
E(X ) 300, D(X ) 600
X ~ N (300,600) (近似)
P(280
X
320)
320 300 600
280603000
2
20 600
1
2 0.8165 1 0.5878
中心极限定理的意义
在实际问题中，若某随机变量可以看 作是有相互独立的大量随机变量综合作用 的结果，每一个因素在总的影响中的作用 都很微小，则综合作用的结果服从正态分 布.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1
分布的随机变量之和, 下面是当x-B(20,0.5)时, x的
k 1
定理2 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 相互 独立，且有有限的期望和方差：
E(Xk ) k ,
D(X k
)
2 k
0
,
k 1,2,
记
n
n
Bn2
D(X k )
2 k
k 1
k 1
若 0,
1
B 2 n
n
E(| X k
k 1
k
|2 ) n0
n
lim P k1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
概率论与数理统计_20_中心极限定理
练习2解答（续）
方法二：把二项分布看成多个独立 同分布的1-0分布之和，再根据中心 极限定理用标准正态分布近似计算
练习2解答（续2）
方法二续
小结：当n很大时，二项分布 B(n,p)可看成是很多独立同分布 的1-0分布之和，从而可以用正 态分布的CDF连续函数来近似原 来二项分布的CDF（离散值）。 用Mathematica作图来对比，这 个近似很优秀。
k 1 n
练习1解答
练习2
某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工 率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要 供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证 这个车间不会因供电不足而影响生产？
练习2求。
……
用Mathematica可求得 r_min = 141
n
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
独立同分布的中心极限定理 设 X1,, X n , 是独立同分布的随机变量序 列，且 EX k ，DX k 2 0, (k 1,2,) 则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1
n
k
n x}
n
n
则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1 k k 1
n
n
k
n
DX k
k 1
n
1 x} 2
e
x
t2 2
dt
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的 简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的 经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
概率论与数理统计
列维林德伯格中心极限定律公式
列维林德伯格中心极限定律公式列维-林德伯格中心极限定理是概率论中一个非常重要的定理，它给出了随机变量和平均值之间的关系。
这个定理在统计学和大数据分析中有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解释数据。
中心极限定理的核心思想是，当独立随机变量的个数足够大时，这些随机变量的平均值的分布将呈现出一种稳定的形态，称为正态分布。
正态分布也被称为高斯分布，具有均值和标准差来刻画其特征。
为了更好地说明中心极限定理，让我们举一个例子。
假设我们有一组骰子投掷的数据，每次投掷结果是一个1到6的整数。
我们重复投掷骰子1000次，并记录每次投掷的结果。
然后我们计算这1000次投掷中的平均值。
根据中心极限定理，当我们在足够多的次数内重复进行该实验时，这1000个平均值将呈现出一个正态分布的特征。
这意味着，这些平均值将围绕着骰子的期望值（3.5）上下波动，波动范围与实验的次数和骰子的标准差有关。
中心极限定理的一大优点是，它适用于大多数随机变量，不论其分布形态如何。
例如，我们可以将其应用于人口普查数据、股票市场收益率等各种不同的数据类型中。
通过计算这些数据的平均值，我们可以获得更准确、更稳定的结果，并且可以更好地理解和分析数据。
在实际应用中，中心极限定理也为我们提供了一种估计总体参数的方法。
通过计算样本数据的平均值和标准差，我们可以利用中心极限定理来推断总体的平均值和标准差。
这为我们在实际问题中的决策提供了指导，例如在质量控制中确定产品的合格范围、在市场调研中估计总体的偏好等。
总之，列维-林德伯格中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它揭示了随机变量和平均值之间的关系。
通过该定理，我们可以更好地理解和分析数据，并且可以利用它在实际问题中进行估计和决策。
无论是在统计学领域还是大数据分析中，中心极限定理都有着广泛的应用，为我们的研究和实践提供了重要的指导意义。
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
高考数学中的概率统计中的中心极限定理
高考数学中的概率统计中的中心极限定理概率统计是高考数学中非常重要的一部分，它与我们日常生活息息相关。
而中心极限定理则是概率统计中非常重要的一个定理，这个定理集成了众多科学家的智慧，为我们提供了一个可靠的方法来研究随机事件的概率与分布。
一、中心极限定理的概念中心极限定理是指在一定条件下，对于一个总体随机变量X，由n个相互独立的随机变量X1、X2、…、Xn所组成的样本平均值所满足的一些统计规律。
简单来说，中心极限定理是在满足一些条件的情况下，样本的均值会服从于一个特定的分布。
二、中心极限定理的条件中心极限定理并不是所有情况下都适用的，它需要满足一些特定的条件，这些条件包括：（1）总体分布必须存在方差；（2）样本数量n足够大；（3）样本的选取必须是独立的。
三、中心极限定理的应用中心极限定理在实际生活中的应用非常广泛，特别是在大数据分析领域中，中心极限定理被广泛地应用于数据的分布与统计分析。
以投掷一颗骰子为例，假设我们将骰子投掷10000次，那么我们可以通过中心极限定理来研究投掷结果所服从的分布规律。
根据中心极限定理，当选取的样本数量够大时，样本的平均值将在正态分布之间波动。
这个例子中，我们可以通过投掷骰子的结果来观察到中心极限定理在实际应用中的作用。
当我们投掷骰子的数量越来越多，投掷结果的分布也会越来越接近正态分布，这是中心极限定理的一个典型表现。
四、中心极限定理的意义中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它为我们研究随机事件的概率分布提供了一个可靠的方法。
中心极限定理不仅限于数学领域，它在生物学、物理学、社会学等领域中的应用也是非常广泛的。
总之，中心极限定理是高考数学概率统计中非常重要的一个定理。
了解中心极限定理的概念、条件及应用，对我们在概率统计的学习和实践中都有着重要的作用。
概率论中心极限定理
如果X 是连续型随机变量.=≥-}|)X (E X {|P ε()dx x |)X (E x |⎰≥-εϕ()()dx x )X (E x |)X (E x |⎰≥--≤εϕε22()()⎰∞+∞--≤dx x )X (E x ϕε222εDX=思考题解答:本课程的主要内容:中心极限定理:1.李雅普诺夫定理;2.推论:独立同分布定理;3.拉普拉斯定理(独立同分布定理推论);4.拉普拉斯局部极限定理;抽样分布:设ΛΛn X ,X ,X 21是相互独立的随机变量有期望值i i EX α=及方差+∞<=2ii DX σ()Λ21,i =若每个i X 对总和∑=ni iX 1的影响不大.一.定理5.3: (李雅普诺夫定理)11()()n i i n i i E X x D X =→∞=⎫⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎭∑∑2212tx e dt π--∞⎰()x Φ=1121lim n n i i i i n n i i X a P x σ===⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≤=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑∑}{lim 1x nn XP ni in ≤-∑=∞→σμ⎰∞=x-2t -dt e 212π设X 1,X 2, …是独立同分布的随机变量序列，且E (X i )= ，D (X i )= ，i =1,2,…，则2σμ列维一林德伯格（Levy －Lindberg ）定理.推论（独立同分布下的中心极限定理）请看演示中心极限定理的直观演示说明:在定理条件下:()()11~0,1nii Xn N nμσ=-∑()12~ni i X =∑()2,N n n μσ和函数的正态性;()11~0,1/ni i X n N nμσ=-∑算术均值的正态性;或()113~ni i X n =∑2,N n σμ⎛⎫⎪⎝⎭n 较大的情况下,一般n>30;例3在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.问对序列{X k },能否应用大数定律？诸X k 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.解: ,9.01.001~⎭⎬⎫⎩⎨⎧k X k =1,2, …E (X k )=0.1,⎩⎨⎧=否则次取到号码第001k X k (1) 设，k =1,2, …∑=∞→=<-nk k n X n P 11}|1.01{|lim ε即对任意的ε>0,解: ,9.01.001~⎭⎬⎫⎩⎨⎧k X k =1,2, …E (X k )=0.1,诸X k 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.(2) 至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95?解：设应取球n 次，0出现频率为∑=nk k X n 11,n .)X (E nk k 101=∑=n.)X (D nk k 0901=∑=由题可知:95011010901.}.X n .{P nk k ≥≤≤∑=由中心极限定理近似N (0,1)nnX nk k 3.01.01-∑=nX n nk k 3.01.011-=∑=}11.0109.0{1≤≤∑=nk k X n P 1)30(2-≈n ΦnX n nk k 3.01.011-∑=近似N (0,1)}n/...n /..X n n /...{P n k k 30101103010130100901-≤-≤-=∑=}n n/..X n n {P nk k 3030101301≤-≤-=∑=95.01)30(2≥-n Φ欲使975.0)30(≥n Φ即96.130≥n 查表得从中解得3458≥n 即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.(3) 用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率.解：在100次抽取中, 数码“0”出现次数为∑=1001k k X 3101001-∑=k k X 即近似N (0,1)由题:所求概率为:∑=≤≤1001)137(k k X P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1001k k X E 1010100=⨯.=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1001k k X D 9090100=⨯.即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.∑=≤≤1001)137(k k XP =0.68263101001-∑=k k X近似N (0,1))13101(1001≤-≤-=∑=k k X P )1()1(-Φ-Φ≈1)1(2-Φ=例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸X i 独立，同分布.16只元件的寿命的总和为∑==161k kX Y 解: 设第i 只元件的寿命为X i , i =1,2, …,16E (X i )=100, D (X i )=10000依题意，所求为P (Y >1920)由于E (Y )=1600,D (Y )=160000由中心极限定理,近似N (0,1)4001600-Y P (Y >1920)=1-P (Y ≤1920)).(801Φ-≈=1-0.7881=0.2119⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=4001600192040016001Y P ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤--=8040016001.Y P})1({lim x p np np Y P n n ≤--∞→设随机变量服从参数n, p (0<p <1)的二项分布，则对任意x ，有n Y dte xt ⎰∞--=2221π定理表明，当n 很大，0<p <1是一个定值时（或者说，np (1-p )也不太小时），二项变量的分布近似正态分布N (np ,np (1-p )).n Y 二.定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）例:一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成,在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1,为使整个系统起作用,至少必须有85个部件正常工作求整个系统起作用的概率一复杂的系统由n 个相互独立起作用的部件所组成,每个部件的可靠性为0.9,且必须至少有80%的部件工作才能使整个的系统正常工作,问n 至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95?解:设100中个正常工作数为X,()~100,0.9X B ()85P X ≥=()185P X -<851000.911000.90.1-⨯⎛⎫=-Φ ⎪⨯⨯⎝⎭()1 1.67=-Φ-=0.95252) X~B(n, 0.9)()0.80.95P X n ≥≥()10.80.95P X n -<≥0.80.90.050.90.1n n n -⨯⎛⎫Φ≤ ⎪⨯⨯⎝⎭21.640.0924.20.01n ⨯=≈由题意可知即:()0.80.05P X n <≤0.90.8 1.960.90.1n n n -⨯≈⨯⨯查表得:解方程:至少25件.例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?设需要x千瓦电力.由题意得:()999≤0.P≥Xx用X 表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率为0.6，共进行200次试验.依题意，X ~B (200,0.6),现在的问题是：P (X ≤x )≥0.999的最小的x .求满足设需x 千瓦电力，（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，x 台工作所需电力即x 千瓦.）由德莫佛-拉普拉斯极限定理)1(p np npX --近似N (0,1),于是P (X ≤x )= P (0≤X ≤x )这里np =120,np (1-p )=48)()x (4812048120---≈ΦΦ)x (48120-≈Φ查正态分布函数表得由≥0.999，)x (48120-Φ从中解得x ≥141.5,即所求x =142.(千瓦)也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.999.0)1.3(=Φ48120-x ≥3.1,故三.定理5.4(拉普拉斯局部极限定理）当时,n →∞()P X k =≈()2212k n p n p qen p qπ--01()k np npqnpqϕ-=例:10部机器独立工作,每部停机得概率为0.2,求3部机器同时停机的概率?解:设10部中同时停机的数为X,()~10,0.2X B ()3P X ==013100.2()100.20.8100.20.8ϕ-⨯⨯⨯⨯⨯01(0.79)1.265ϕ==0.2308统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”.§7.4几个常用统计量的分布主要介绍正态总体下的统计量的分布.设总体X ()2σμ,N ~()n X ,X ,X Λ21是总体X 的一个样本.由此构成的样本函数:∑==ni iX n X 11()∑=--=ni i X X n S 12211它们服从什么分布?()n,,i ,N ~X i Λ212=σμ一.关于样本均值的分布的定理设X 1,X 2,…,X n 是取自正态总体),(2σμN 的样本，则有),(~2nN X σμ)1,0(~N nX σμ-(1)(2)令U=)1,0(~N nX σμ-U-分布的临界值:它是指在一定的概率之下,随机变量取值落入某一区间内的区间上限或下限.例:P{ξ≤λ}=α,λ称为U 分布的临界值λα已知α的值可查表求临界值λ.即:由左边面积求U 的临界值二.关于样本方差S 2的分布定理(一)()2n χ分布()2n χ分布的密度函数为()1222102(2)00n x n x e x f x n x --⎧≥⎪=Γ⎨⎪<⎩来定义.1>=⎰∞--r ,dx e x )r (x r Γ其中伽玛函数通过积分)r (ΓE (X )=n , D (X )=2n演示χ2 分布()2n χ分布的上分位点:α2()n αχ例如:0.1,25n α==20.1(25)χ=34.4 当n 充分大时,有费歇(R.A.Fisher)公式:()221()212n z n ααχ≈+-例如:20.05(50)χ≈()21 1.65992+=67.28定理2.1: 设相互独立, 都服从标准正态分布N (0,1), 则随机变量：服从的分布为自由度为n 的分布.n X X X ,,,21Λ222212nX X X +++=Λχ2χ(0,1)N 定理2.2:设相互独立, 都服从标准正态分布n X X X ,,,21Λ则(二)标准正态分布下平方和分布定理∑==n i i X n X 11(1) 与()∑=-ni i X X 12相互独立.(2) ()21~ni i X X=-∑()21n χ-作业:1.预习:抽样分布2. 练习P116 7---163思考题:A组:甲乙两个戏院在竞争1000名观众,假定每个观众完全随机地选择一个戏院,且观众之间选择是彼此独立的,问每个戏院应该设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%?B组:总结算术平均的分布.X。
中心极限定理课件
期值来检验总体的假设。
在金融数学中的应用
1 2
资产收益率分估投资组合的风险。
风险评估
中心极限定理可以用来评估投资组合的风险，通 过计算资产收益率的方差和相关性。
3
资本资产定价模型（CAPM）
中心极限定理是资本资产定价模型的基础，用于 评估资产的预期收益率和风险。
详细描述
当独立同分布的随机变量数量趋于无 穷时，这些随机变量的平均值的分布 趋近于正态分布，不论这些随机变量 的分布本身是什么。
弱收敛和依概率收敛
总结词
这是中心极限定理的两种收敛方式，弱收敛强调的是分布函数之间的收敛，而依概率收敛则关注事件发生的概率 。
详细描述
弱收敛是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值的分布函数趋近于正态分布函数。 依概率收敛则是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值以概率1趋近于某个常数。
05 中心极限定理的扩展和展 望
中心极限定理的推广和改进
推广到多元分布
将中心极限定理从一元分布推广到多元分布，研究多维随机变量 的分布性质。
考虑非独立随机变量
研究非独立随机变量的中心极限定理，探索它们之间的依赖关系对 极限分布的影响。
考虑不同收敛速度
研究不同收敛速度下的中心极限定理，以更准确地描述随机变量的 分布特性。
资产配置。
人口统计学
中心极限定理用于研究人口增长、 人口普查数据的分布等，帮助科学 家了解人口变化的规律。
生物学和医学
中心极限定理用于研究生物变异、 遗传基因频率的变化以及医学中的 临床试验和流行病学调查等。
02 中心极限定理的数学表述
独立同分布的中心极限定理
总结词
概率公式中心极限定理
概率公式中心极限定理概率理论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件的规律和性质。
而在概率理论中，中心极限定理是一个重要的概念，它描述了当独立随机变量的和的分布趋向于正态分布时，所产生的现象。
本文将简要介绍概率公式中心极限定理的基本概念、证明以及应用。
一、中心极限定理的基本概念中心极限定理是概率论中的一个基本定理，它表明当随机变量满足一定条件时，其和的分布将趋向于正态分布。
例如，对于独立随机变量X1、X2、...、Xn，其均值为μ，方差为σ^2，当n趋向于无穷大时，这些独立随机变量的和S_n=(X1+X2+...+Xn)/n的分布将趋向于正态分布N(μ,σ^2/n)。
中心极限定理是概率论非常重要且基础的定理，它在数理统计学和应用统计学中有着广泛的应用。
二、中心极限定理的证明中心极限定理的证明较为复杂，涉及到数学的高级推导和证明过程。
在此，我们只简要介绍其中一种常见的证明方法——特征函数法。
特征函数法是通过随机变量的特征函数来证明中心极限定理的一种方法。
首先，我们定义随机变量X的特征函数为φ_X(t)=E[e^(itX)]，其中i为虚数单位。
然后，利用随机变量和的特征函数和特征函数的乘法性质，我们可以得到随机变量和的特征函数为φ_S_n(t)=φ_X(t/n)^n。
接下来，我们对随机变量的特征函数进行泰勒展开，并取展开后的前几项，最后取极限得到正态分布的特征函数。
通过比较展开的结果和正态分布的特征函数，我们可以推导出随机变量和的分布趋向于正态分布。
以上只是其中一种证明方法，中心极限定理还有其他的证明方法，如特征函数法、母函数法等。
具体的证明过程较为复杂，需要在数学理论的基础上进行推导，而本文只是简要介绍，详情可参考相关数学教材和研究论文。
三、中心极限定理的应用中心极限定理在概率论和统计学中应用广泛，可以用于估计参数、进行假设检验以及推断等方面。
下面简要介绍几个常见的应用：1. 参数估计：根据中心极限定理，我们可以利用样本均值的分布趋向于正态分布的特性，来对总体均值进行估计。
lyapunov中心极限定理
lyapunov中心极限定理Lyapunov中心极限定理，也被称为Lyapunov定理，是概率论和随机过程理论中的重要定理之一。
该定理可以描述在很多随机过程中，随着时间的推移，一个随机变量的均值会稳定在某个常数附近。
本文将分步骤对该定理进行阐述。
一、引言Lyapunov中心极限定理是在概率论发展的过程中逐渐形成的一个理论分支，它是从数学上推导出来的。
在实际生活中，人们经常面对的一些随机过程，比如赌场中的财富变化、股票市场中的股价变化等等，都可以应用到该定理。
二、定理内容Lyapunov中心极限定理所描述的内容是，随着时间的推移，一个随机变量的均值会稳定在某个常数附近。
即如果有一个随机变量X，且该随机变量的期望E(X)和方差Var(X)都存在，那么对于任意一个正数ε，有：$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=1}^n E|X_i -E(X_i)|^{2+\delta} = 0$$其中s_n表示X1,X2...Xn的标准差，δ是一个正数。
三、证明过程对于上述定理是否成立，需要进行证明。
证明的过程大致如下：1. 首先，考虑随机变量X的均值是有限的，如果均值不存在，那么任何收敛的概率分布都将包含无穷的随机变量，这违反了随机变量的特定定义。
2. 接下来，假设我们有两个随机变量X和Y，它们的期望和方差都存在。
那么有：$$E[(X+Y)^2] - [E(X+Y)]^2 = E[X^2] + E[Y^2] + 2E[XY] - [E(X)]^2 - [E(Y)]^2 - 2E[X]E[Y]$$$$Var(X+Y) = E[X^2] + E[Y^2] + 2E[XY] + [E(X)]^2 +[E(Y)]^2 - 2E[X]E[Y] - 2E[X]E[Y]$$将二式相减，可以得到：$$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$$其中，Cov表示协方差。
拉普拉斯中心极限定理公式
拉普拉斯中心极限定理公式拉普拉斯中心极限定理是概率论中一个重要的极限定理，它揭示了随机变量和正态分布之间的紧密联系。
这个定理给出了一种近似计算概率的方法，不仅在理论上有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用。
拉普拉斯中心极限定理的表述可以简单地理解为：当样本容量较大时，随机变量的和近似服从正态分布。
具体来说，设X₁，X₂，...，Xₙ是n个相互独立同分布的随机变量，它们的期望值为μ，方差为σ²，那么当n趋向于无穷大时，这n个随机变量的和的标准化形式(Sn - nμ) / √(nσ²) 的分布近似于标准正态分布。
拉普拉斯中心极限定理的证明是基于大数定律和中心极限定理的基础上进行的。
大数定律指出，当样本容量足够大时，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
中心极限定理则进一步扩展了大数定律的应用范围，它告诉我们，当样本容量足够大时，随机变量的和的标准化形式会趋近于标准正态分布。
拉普拉斯中心极限定理的应用十分广泛。
在统计学中，我们经常需要进行概率计算，而有些概率分布并不容易直接计算。
利用拉普拉斯中心极限定理，我们可以将复杂的概率计算转化为对标准正态分布的计算，从而简化了问题的求解过程。
这为我们提供了一个有效的近似计算方法。
举个例子来说明拉普拉斯中心极限定理的应用。
假设一批产品的重量服从均值为10kg，标准差为1kg的正态分布。
现在我们想知道从这批产品中随机抽取100个产品，其总重量在11kg到12kg之间的概率是多少？利用拉普拉斯中心极限定理，我们可以将这个问题近似转化为计算标准正态分布在一定区间内的概率。
具体计算过程如下：计算随机变量的期望值和方差。
由于每个产品的重量服从均值为10kg，标准差为1kg的正态分布，所以100个产品的总重量X的期望值为100 * 10 = 1000kg，方差为100 * 1² = 100kg²。
然后，将问题转化为计算标准正态分布的概率。
中心极限定理 公式
中心极限定理公式中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，它可以描述一类随机变量的分布特性。
该定理的公式形式如下：设X₁, X₂, ..., Xₙ是独立同分布的随机变量，它们具有相同的概率分布，且具有有限的均值μ和方差σ²。
令Sₙ = (X₁ + X₂ + ...+ Xₙ) / √n，则当n趋近于无穷大时，随机变量Sₙ的分布趋近于正态分布，其均值为μ，方差为σ²/n。
中心极限定理被认为是概率论和统计学的一个基本定理，它在理论和实际应用中都起到了至关重要的作用。
它的核心思想是，当一个随机变量是由大量相互独立的随机事件叠加而成时，其分布趋向于正态分布。
这意味着即使原始随机变量的分布不是正态分布，但当样本数足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
中心极限定理的生动性在于它提供了一个如何从大量随机事件中得到可靠结论的方法。
假设我们想要研究某地区居民的身高。
如果我们直接从全体居民中随机抽取一些人，可能面临样本不足、样本不具有代表性等问题。
而中心极限定理告诉我们，只要我们能够抽取足够数量的样本，样本均值的分布将逐渐接近正态分布，从而能够提供关于全体居民身高的合理估计。
中心极限定理的全面性在于它适用于各种类型的随机变量。
无论原始分布是均匀分布、指数分布、二项分布还是任何其他形式，只要满足独立同分布的条件，中心极限定理都成立。
这使得中心极限定理成为处理实际问题的有力工具。
不论我们需要研究某种产品的质量、市场的需求量，还是其他任何具有随机性的现象，中心极限定理都可以帮助我们得到更准确的结果。
中心极限定理的指导意义在于它可以为我们提供关于样本大小的参考。
根据中心极限定理的要求，当我们想要得到一个具有一定可靠性的估计值时，我们需要确保样本数足够大。
通常，当样本数超过30时，中心极限定理的近似效果足够好；当样本数超过100时，其近似效果更加显著。
因此，在实际应用中，我们可以根据中心极限定理的指导，选择适当的样本大小，以获得可靠的结果。
中心极限定理levy lindeberg
中心极限定理levy lindeberg中心极限定理一、引言中心极限定理是概率论中最重要的定理之一，它描述了大量独立随机变量的和在一定条件下趋向于正态分布。
中心极限定理是概率论和数理统计学中最重要的基本工具之一，它在实际问题中得到广泛应用，如信号处理、金融风险管理、医学统计等领域。
二、定义设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
令$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$，则有：$$\lim_{n \to \infty}P\left(\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \leqx\right) = \Phi(x)$$其中$\Phi(x)$是标准正态分布函数。
三、证明在证明中心极限定理时，我们需要用到两个重要的引理：Lindeberg-Levy引理和Lindeberg-Feller定理。
1. Lindeberg-Levy引理设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
令$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$，则有：$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sigma^2n}\sum_{i=1}^{n}E[(X_i-\mu)^2I(|X_i-\mu|>\epsilon \sigma)] = 0$$其中$I(|X_i-\mu|>\epsilon \sigma)$是指示函数，当$|X_i-\mu|>\epsilon \sigma$时，它的值为1；否则为0。
2. Lindeberg-Feller定理设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了一类独立同分布随机变量之和的极限分布特征。
本文将介绍中心极限定理的概念、数学表达式以及应用场景，并探讨其原理和证明过程。
一、中心极限定理的概念中心极限定理是概率论的核心内容之一，它表明在一定条件下，当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的和的分布趋近于正态分布。
这意味着即使原始随机变量不服从正态分布，其和的分布仍然接近正态分布。
二、中心极限定理的数学表达式中心极限定理可以用数学公式表示为：若X₁, X₂, ..., Xₙ是n个独立同分布的随机变量，且具有相同的数学期望μ和方差σ²，则当n趋于无穷大时，这n个随机变量之和的标准化变量（即减去期望值再除以标准差）Zₙ=(X₁+X₂+...+Xₙ-nμ)/(√(nσ²))的极限分布为标准正态分布，即Zₙ服从N(0,1)分布。
三、中心极限定理的应用场景中心极限定理在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在统计学中，当样本容量足够大时，可以利用中心极限定理来近似计算样本均值的抽样分布。
此外，在概率论和数理统计中，中心极限定理也被应用于估计参数的置信区间、假设检验等问题中。
四、中心极限定理的原理和证明过程中心极限定理的原理主要基于独立性和同分布的假设，并借助于大数定律和特征函数的性质进行证明。
具体证明过程较为复杂，可参考相关数学教材和概率论专业资料。
总结：中心极限定理是概率论中一项重要的结果，它描述了独立同分布随机变量和的极限分布接近于正态分布的性质。
中心极限定理在统计学和概率论的研究与应用中具有广泛的意义，并在实际问题中发挥着重要的作用。
理解中心极限定理的概念、数学表达式和应用场景，对于深入研究概率论和统计学具有重要意义。
1.简述中心极限定理的含义
1.简述中心极限定理的含义中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它可以用来描述独立随机变量之和的分布情况。
简单来说，中心极限定理是指当独立随机变量的数量足够大时，它们的和的分布会趋近于正态分布。
这个定理在实际应用中非常广泛，例如在统计学、物理学、金融学等领域都有应用。
中心极限定理的含义是：当独立随机变量的数量足够大时，它们的和的分布会趋近于正态分布。
这个定理的重要性在于，它可以使我们对随机变量之和的分布情况有一个很好的估计，而无需知道每个随机变量的具体分布情况。
这对于实际应用非常有用，因为在很多情况下我们无法知道每个随机变量的具体分布情况，但是我们可以通过中心极限定理来得到一个近似的分布情况。
中心极限定理的证明比较复杂，需要一些高级数学知识。
但是我们可以通过一个简单的例子来说明中心极限定理的应用。
假设我们有一个硬币，正反面出现的概率分别为0.5。
我们抛掷这个硬币n次，记录正面朝上的次数。
那么正面朝上的次数就是一个随机变量，它的分布情况可以用二项分布来描述。
但是如果我们不知道n的具体值，只知道n很大，比如说n=10000，那么我们就可以使用中心极限定理来估计正面朝上的次数的分布情况。
根据中心极限定理，当n足够大时，正面朝上的次数的分布会趋近于正态分布，均值为n*p=5000，方差为n*p*(1-p)=2500。
因此，我们可以得到一个近似的正态分布，均值为5000，方差为2500。
这个近似的分布可以用来估计正面朝上的次数落在某个区间内的概率，比如说落在4500到5500之间的概率是多少。
总之，中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它可以使我们对随机变量之和的分布情况有一个很好的估计。
在实际应用中，中心极限定理被广泛应用于各个领域，例如统计学、物理学、金融学等。
概率论-第十六讲--中心极限定理
2
20 600
1
2
0.8165
1
0.5878
例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率.
解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.
5000 6 5000 6
2 60 1 0.9624
5000 6
比较几个近似计算的结果
二项分布(精确结果) P X 1 0.01 0.9590
6000 6
中心极限定理
P
X 6000
1 6
0.01
0.9624
Poisson 分布
P
X 6000
1 6
0.01
0.9379
20.747 1 0.494.
第12周 问 题
一本书有 1 000 000 个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为千分 之一. 校对时, 每个排版错误被改正的 概率为0.99. 求在校对后错误不多于 15 个的概率.
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有
lim P Yn np x n np(1 p)
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
则n →∞，有
lim
n
PZn
z
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X
P 求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率. 解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
100 930 100 9.62 900 100 9.62 P 900 X i 930 100 0.82 100 0.82 i 1
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
主讲：于红香
注 意 点 (1)
概率论
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正：
P k1 n k2 P k 0.5 k 0.5 n 1 2
P n k
10 0.8
9 0.1
8 0.05
7 0.02
6 0.03
( 3.53) (6.85) = 0.99979
主讲：于红香
概率论
二项分布的正态近似
定理2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设sn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充 分大时，有
sn np lim P y ( y ) n npq
lim
n
1
Bn
2
E X i i
n i 1
2
0
李雅普诺夫条件
1 n 则 lim P ( X i i ) n Bn i 1
y ( y )
主讲：于红香
概率论
例7 设 X1, X2 , …. , X99相互独立, 且服从不同的
P k 0.5 n k 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np npq npq
k 0.5 np k 0.5 np npq npq
i , 0--1分布 P X i 1 pi 1 100
试求
99 P X i 60 i 1
解: 设 X100, X101, ….相互独立, 且与X99同分布,
则可以验证{Xn}满足 =1的李雅普诺夫条件，且
99 99 由此得 E X 49.5, Var X 16.665, i i i 1 i 1 99 X i 49.5 60 49.5 99 P X i 60 P i 1 1 2.5735 0.005 16.665 i 1 16.665
主讲：于红香Leabharlann 概率论作业4-4 11，19
主讲：于红香
主讲：于红香
概率论
§4.4 中心极限定理
独立随机变量和
设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为
Yn X i
i 1
n
讨论独立随机变量和的极限分布,
并指出极限分布为正态分布.
主讲：于红香
概率论
独立同分布下的中心极限定理
定理1 林德贝格—勒维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期 望为, 方差为 2>0，则当 n 充分大时，有
lim
n
1
B
2
2 n i 1
n
x i Bn
( x i ) pi ( x )dx 0
2
林德贝格条件
则
1 n lim P ( X i i ) n Bn i 1
y ( y )
主讲：于红香
概率论
李雅普诺夫中心极限定理
林德贝格条件较难验证. 定理4 李雅普诺夫中心极限定理 设{Xn }为独立随机变量序列，若存在 > 0，满足：
概率论
概率论
4-4：中心极限定理
主讲：于红香
概率论
误差的产生由大量微小的相互独立的随机因素 叠加而成，若误差记为 Yn X i
i 1 n
当n充分大时，其分布是我们所关心的问题。 用卷积公式可以计算，但无疑相当复杂，不易实现。 见书中例4.4.2， 分析上例的趋势，我们应该先将随机和先标准化。 再研究其分布是否为标准正态分布。
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9. 由此得：
85 0.5 90 P{Y 85} 1 0.966. 9
3,4,7
主讲：于红香
概率论
二、给定 n 和概率，求 y
lim P{ i 1
n
X
n
i
n y} ( y )
证明？
n
应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析
主讲：于红香
概率论
例1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一 箱味精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为：
200 20500 200 100 P X i 20500 1 200 100 i 1
1 (3.54) = 0.0002
故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)
主讲：于红香
概率论
例2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
例4
有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产?
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42. 设供电量为y, 则从
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
y /15 0.5 140 P{15Y y} 0.95 42 中解得 y 2252.
解：用 Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645 又由 p(1 p ) 0.25 可解得 n 270.6
17,20
n = 271
主讲：于红香
概率论
独立不同分布下的中心极限定理
定理3 林德贝格中心极限定理 设{Xn }为独立随机变量序列，若任对 > 0，有
主讲：于红香
概率论
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类：
i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
主讲：于红香
概率论
一、给定 n 和 y，求概率
例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一 个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
主讲：于红香
概率论
例 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率. 解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
(1) P( X 5) C
5 500
0.015 0.99495 ＝0.17635
二项分布的近似原则： (2) 应用正态逼近 : 当p较小时，用泊松分布近似较好； 5.5 5 4.5 5 P(X=5) P (4.5 < X < 5.5) 当= np >5 时，用正态分布近似较好。 4.95 4.95 = 0.1742 (3) 应用泊松逼近: P(X=5) = 0.616-0.440=0.176
16,18
主讲：于红香
概率论
三、给定 y 和概率，求 n
例5
用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。根据题意
P Yn / n p 0.05 2 0.05 n / p (1 p ) 1 0.90