函数的凸性与拐点答案.doc

函数的凸性和拐点答案解析

1、分析：先求出函数/⑴的二阶导数/'G)= o 的点以及二阶导数<3不存在的点，这些点把函数f(x)的定义

域分成不同的区间，讨论二阶导数尸co 在这些区间上的符号。 解：(1) y =6x 2

-6x-36, y <12x-6.

当 xe(-oc ? J_)时,y"v0. =>(-8,1),是凹区间；

2 2 当 (―, +8)时,y >0. =>(L,+ 8),是凸区间. 2 2 1 i 7

f (—)=0,故点(一,一)是曲线的拐点.

2 2 13

1 2

(1) y T-二，y =—r =>函数无拐点.

x x

因为xC(.8, 0)时，y < 0,是凹区间；x£(0,+8)时,是凸区间. ， 1 1

(2) 解：y = 2 X-—, y = 2 +—.

x x'

xE ( — 8, — 1 )时，y” > o ,是凸区间；xE (― 1 , 0 )时，y < 0 ,是凹区间； xe (0, +8)吐y">0.是凸区间；(-1, 0)是|11|线的拐点. (3) 解:y'=2x (x 2+l) t, y"= (2~2x 2 ) (x 2

+l)或

x£ (-8, -1 )时，y"<。是凹区间；x£(T,l)时,y >0是凸区间； xe (l,+oo)时,y”<0是凹区间.(I,ln2), (-1, ln2)是曲线的两个拐点.

2、 分析：应为点(1,3)在曲线尸ax3+bx2上，所以北=|=3,又因函数二阶可导，据拐点必要条件有：/|x=0=0o 解：因点

(1,3)在该Illi 线上，故有y|顽=3,即a + b = 3......⑴ 又因函数二阶可导，据拐点必要条件有：/L._0=Oo

而矿=3ax 2

+ 2bx , y n

= 6ax + 2b 故 6a + 2h = 0 (2)

3

9 联立(1)和(2),解方程组得。=-一,b =二

2

2

3、 分析：严格按凸函数的定义来证明，即f (对为凸函数的充要条件是对定义区间内任意两点知尤2及任意日

E (0，1)， 有 f (〃玉 +(1-〃)易)V "f(X\ ) + (1 — A)/(^2)-

证：(1)因为f(x)为凸函数，所以对定义区间内任意两点西及任意〃E(0，l)，

有 f ("X\ +(1-//)X 2) < 4f(X\) + (1-//)/(x 2). 上式两边同乘以非负实数4,

得人了 (“M + (1 — ju)x 2) < 以/*■ ) + (1 - )

按定义，谯(X)为凸函数。

(2)因为均为凸函数，所以对定义区间内任意两点孔易及任意AG (O ,I ), 有+(1- A)X 2 )<2/(X ,) + (1- A)/(X 2 ).

及g (/tXj +(1- A)X2 ) 5g O]) + (1 - Qg (a ).

a +

b y

L/0)

(2)

设/(x) = arctan x ,则 /\x)=

一 1

即右2 V —(矿+决)

2

—3 = 一2：

1 + x 2

(1 + x )

a^b

不等式两边分别相加，得

/(^! + (1 — 人)尤2)+ g (人玉 + (1 — 人)工2)< (玉)+ g (玉))+(1 一人)(f(工2)+ g(*2)) 按定义，/(W + g3)为四函数。

(3)因为f(x)为I 上凸函数，所以对任意x l9x 2el 及任意A €(0,1), W

f (如 +(1-A)X 2) <2f(x t ) + (1-2)/(X 2).

又因 g(X)为 J 上增函数，而且/(/)(=/，4/(一)+ (1 — 九)/(工2)€/(/), 所以 g [f (4玉 + (1 — A)X 2)] < g (M) + (1-2)f (邑)] 再又g(x)为J 上凸函数,有

) + (1-/l)/(%2)] < (了(X 】)) + (1-4)g(f (易))

从而(g 。f)(知 + (1 - /t)x 2)

4、分析：用反证法和极小值的定义来证明。

证明：假定/(x)在I 上还有另一个极小值点玉，不妨设x()VX]，由定义，存在〃(柘)及〃(叫)，使得当xet7(x 0) 时，/(x)>/(x 0)；当xeU^)时，/(x)>/(x,) o

对任意xe(x 0,Xj),取4= ~ ,则0v 人<1, x = Ax () + (1 -^)x l

XLo 据/(x)为I 上严格凸函数，有/(x) < A/(x 0) + (l-人)/(耳) 若/(%0)

特别的，当XE t/(M)n(X(),Xi)时，/(X)< /(X)) o 这与X|为fO)极小值点矛盾。

若 f(x o ) > f (同)，则 /(X)< 2f(x 0) 4- (1 - 2)/(x 0) = f(x 0)

特别地，当时xet/(x 0)n(x 0,x 1), f(x) < f(x 0) o

这与易为f 3)的极小值点相矛盾。故吒为f 3)在I 上唯一的极小值点。

5、分析：此题关键是作出辅助函数f (对，(1)题令fM = e\ (2)题令/(x) = arctan %,然后按照凸函数概念 来证明。

证明：(1)设 f(x) = e\ 由于 f\x) = e x

> 0,故 f(x)在(一 oo,+oo)上为凸函数，对任意 «,/? G (-co,+oo),取

当xNO 时，/ff

(x)<0o 故/'3)在[0,+8)上为凹函数, 从而对任何非负实数缶b,有

4%)弓顷“)+’㈣ 、1 / , \

> —(arctan a + arctan b) 从而原不等式成立。

6、分析：严格按凸函数的定义来证明。

证明：对任意的x p x 2e/，任意4c(0,l),据/(X)为I 上凸函数，有

+ (1 — A)X 2 ) < Af (Xj ) + (1 - A)/(x 2)

由 FO)定义知：f(x {)

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