函数的凸性与拐点答案.doc
拐点练习题含详细答案
拐点练习题含详细答案拐点是数学中一个重要的概念，它标志着函数图像从凹向上凸，或者从凸向下凹的转折点。
对于函数而言，拐点处的导数发生变化，导致函数图像的凹凸性发生改变。
在这篇文章中，我们将讨论一些拐点练习题，并提供详细的解答。
题目1：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的拐点。
解答1：首先，我们需要求出函数的导数。
对于给定的函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求导得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
然后，我们需要找到导数f'(x)的根，因为函数的拐点发生在导数的根处。
我们可以利用因式分解或者配方法求得f'(x) = 0的解为x = 1和x = 3。
接下来，我们可以求得函数f(x)在x = 1和x = 3处的二阶导数。
对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求二阶导数得f''(x) = 6x - 12。
然后，我们将x = 1和x = 3代入f''(x)得到f''(1) = -6和f''(3) = 6。
最后，我们可以通过观察二阶导数的值来判断拐点的性质。
当二阶导数的值从正数变为负数时，函数图像从凸形状转为下凹形状，此时发生一个拐点。
类似地，当二阶导数的值从负数变为正数时，函数图像从下凹形状转为凸形状，也会发生一个拐点。
根据我们计算得到的二阶导数的值，我们可以确定函数f(x)在x = 1处有一个下凹的拐点，而在x = 3处有一个上凸的拐点。
题目2：给定函数g(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 64x，求其拐点。
解答2：首先，我们需要求出函数g(x)的导数。
对于给定的函数g(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 64x，求导得到g'(x) = 4x^3 - 36x^2 + 96x - 64。
然后，我们需要找到导数g'(x)的根。
函数的凸性与拐点
yf( x )
o
x1
x2
x3 x
定理
设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：
) f 为 I 上的增函数， (1) f为I上凸函数, (2
(3) 对I上的任意两点 x1, x2 有
f x f x f x x x . 2 1 1 2 1
证
, x x x 任取I上两点 x 及充分小的正数h ,由于 1 2 1 2
引理
f为I上的凸函数的充要条件：对于I上的任意三点， 总有 x x x 1 2 3 f f x f x x f x 2 1 3 2 . x x x x 2 1 3 2 几何上表示凸函数对应 的曲线，其割线斜 上升的 必要性
证:
x 3 x 2 记 , 则 x x 1 x . 2 1 3 x 3 x 1 由f 的凸性知道 : f ( x ) f ( x ( 1 ) x ) f x 1 f x 2 1 3 1 3
x h x x x h , 1 1 2 2
根据f 的凸性及引理有
( 1 ) ( 2 ) :
f x f x h f ( x ) f x f x h f x 1 1 2 1 2 2 . h x x h 2 1
f x f x h f ( x ) f x f x h f x 1 1 2 1 2 2 . h x x h 2 1
abc abc a b c . a b c 3
例5 设 f 为开区间 I内的凸（凹）函数，证明 f在I内任一点 都存在左，右导数。
证
仅证凸函数存在右导数，其余类似可证。 f ( x h ) f ( x ) 0 0 x ( a , b ), 要证 lim 存在。 0 h 0 h f ( x h ) f ( x )则 0 0 0 h h , 有 令 F ( h ) , 1 2 h
拐点练习册答案
拐点练习册答案问题一：某函数f(x)在点x=a处的导数为0，且在x=a处的二阶导数大于0，根据这些信息，我们可以推断出什么？答案：根据导数的定义，函数f(x)在点x=a处的导数为0意味着该点是函数的驻点。
而二阶导数大于0则表明函数在该点处是凹的。
结合这两个条件，我们可以推断出x=a是函数f(x)的一个局部最小值点，即拐点。
问题二：如果一个函数在某区间内是单调递增的，那么这个区间内是否存在拐点？答案：一个函数在某区间内单调递增，说明该区间内导数始终大于或等于0。
由于拐点的定义是函数在该点导数为0且二阶导数改变符号，所以在单调递增的区间内不存在拐点。
问题三：给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求该函数的拐点。
答案：首先计算一阶导数：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
令f'(x) = 0，解得x = 1。
接着计算二阶导数：f''(x) = 6x - 6。
将x=1代入二阶导数，得到f''(1) = 0。
由于二阶导数在x=1处的符号没有改变，所以x=1不是拐点。
问题四：函数g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2，求该函数的拐点。
答案：计算一阶导数：g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x。
令g'(x) = 0，解得x = 0, 1。
计算二阶导数：g''(x) = 12x^2 - 24x + 8。
将x=0代入二阶导数，得到g''(0) = 8 > 0，所以x=0是局部最小值点，但不是拐点。
将x=1代入二阶导数，得到g''(1) = 4 > 0，所以x=1是局部最小值点，且是拐点。
问题五：已知函数h(x) = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x，求该函数的拐点。
答案：计算一阶导数：h'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 30x^2 - 20x + 5。
高等数学--45曲线凸性、拐点与渐近线-精品文档
)存在且连续 , 证： f (x) 二阶可导 , f(x
则 f ( x ) [ f ( x ) ] 在 x 两边变 , 0
f ( x ) 在 x 取得极值 , 由可导函数取极值的条件. 0
又 ( x ,f ( x ) ) 是拐点 , 0 0
(x f . 0) 0
在 ( 0 , ) 内 , y 0 ,曲线在 [ 0 , ) 上是凸的 .
3 点 ( 0 , 0 ) 是曲线 y x 的拐点 .
9
信息学院
考研题欣赏 （2019年3，4）设
罗捍东
f( x )xx ( 1 ) ，则
(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点。 (B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。 (C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。
3
信息学院
2 3 y x , y 6 x , 解：
罗捍东
3 例1：判断曲线 yx 的凹凸性 .
当 x0 时，y 0 ,
曲线 在 ( , 0 ] 为凸的；
0 y , 当 x0 时， 曲线 在 [ 0 , ) 为凹的；
(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点 . 注意到, 点
信息学院
4.5.1 曲线凸性与拐点
罗捍东
C
B
A
o
x
yf( x )
第五节 曲线凸性、拐点与渐近线 y
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
yf( x )
y
o
x1
x2 x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
o x1
x2
x
函数的凹凸性与拐点
课程思政
课程思政：奥运精神 播放视频《谷爱凌自由式滑雪夺冠》
播放视频
曲线的凹凸性正如滑雪运动员在跳台上滑过的优美曲线。北京2022 年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，中国选手谷爱凌在最后一跳中 首次跳出了1620的超高难度，夺得金牌！ 赛后，谷爱凌表示，采取超 高难度动作，想要挑战自己，并不是为了赢对手，展示自己的体育精 神。谷爱凌希望自己的精神，让大家能够体会体育精神，做到打破和 突破，成就最好的自己。我们在学习和生活中也应该向她学习不屈不 挠的奥运精神，突破自己，展现自我。
凹的
99
2凹凸性的定理 练习2 求函数y x4的凹凸性
1100
谢谢观看
2凹凸性的定理
定理 设函数 y f (x) 在 (a,b)内有二阶导数。 那么（1）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b) 内上凹。 （2）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b)内下凹。
7
2凹凸性的定理
拐点：如果点P的两侧，函数的凹凸性不一样，那么 这样的点P叫做函数的拐点。
8
2凹凸性的定理
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间
解： D : (,)
y 12x3 令y 0,
12x2 , 得 x1
0,
y x2
36x(x 2. 3
2). 3
x
(,0)
0
(0, 23)
2 3
(
2 3
,)
f (x)
00Biblioteka 拐点拐点f (x)
凹的
0,1 凸的
（2，11） 3 27
曲线的凹凸性与拐点
数学教研室
目录
CONTENT
函数的凹凸性与拐点
图1函数的单调性可用函数的一阶导函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画呢？一、曲线的凹凸与拐点1．曲线的凹凸定义和判定法从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的，此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．例如，图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的，曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的． 由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而减小．由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定．而()x f '的单调性又可以用它的导数，即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定，故曲线()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数．（1）如果在()b a ,内，()x f ''＞0，那么曲线在()b a ,内是凹的；（2）如果在()b a ,内，()x f ''＜0，那么曲线在()b a ,内是凸的． x y o ()y f x =A B x yo ()y f x =A B图2例１ 判定曲线3x y =的凹凸性．2．拐点的定义和求法定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点． 定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸．如果()x f ''连续，那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x 使()0x f ''＝0．这样，点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点．因此，如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点:(1) 确定函数()x f y =的定义域；(2) 求()x f y ''=''；令()x f ''＝0，解出这个方程在区间()b a ,内的实根；(3) 对解出的每一个实根0x ，考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号．如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反，那么点()()00,x f x 就是一个拐点，如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同，那么点()()00,x f x 就不是拐点．例２ 求曲线233x x y -=的凹凸区间和拐点．解 （1）函数的定义域为()+∞∞-,；（2）()1666,632-=-=''-='x x y x x y ；令0=''y ，得1=x ；（3）列表考察y ''的符号（表中“∪”表示曲线是凹的，“∩” 表示曲线是凸的）： x()1,∞- 1 ()+∞,1 y ''- 0 + 曲线y ∩ 拐点 ()2,1- ∪由上表可知，曲线在()1,∞-内是凸的，在()+∞,1内是凹的；曲线的拐点为()2,1-．例３ 已知点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，求,a b的值。
函数的凹凸性与拐点
得证.
15
不等式证明的方法：
1、拉格朗日中定理；
2、函数的单调性、极值； 3、函数的凹凸性；
16
作业：
P 3 134
17
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
6.5函数的凸性与拐点
30 f 对I上的任意两点 x1 , x2 ,有 f ( x2 ) f ( x1 ) f '( x1 )( x2 x1 )
注1 论断 3 的几何意义是:曲线 y f (x) 总是在它的任一切线的 上方(图6-14).这是可导凸函数 的几何特征.对于凹函数,同样有 类似于定理6.14的结论.
h
x2 x1
h
令h 0
, 因为
lim
h0
f
(
x1 )
f h
( x1
h)
f( x1 )
f ( x1),
lim
h0
f ( x2 h) h
f ( x2 )
f( x2 )
f ( x2 ),
所以 f ( x1 )
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) 因为 f '( x0 ) 0 ,故对任何 x (a, b)总有 f ( x) f ( x0 )
即 x0 为 f 在(a, b)内的极小值点(而且为最小值点).
例2 若函数 f 为定义在开区间(a, b)内的可导的凸(凹)函数,则
i 1
f
k
i
xi
k
i f ( xi ).
i1
i1
k 1
现设x1 , x2 , , xk , xk1 [a, b]及 i 0(i 1, 2, , k 1), i 1
i 1
令i
i 1 k1
,i
1, 2,
§函数的凸性和拐点 - 四川文理学院学生工作部(处) SMIS
§5函数的凸性和拐点1. 确定下列函数的凸性区间与拐点(1) y=2x 3-3x 2-26x+35 (2)y=x+x 1 (3)y=x 2+x1(4)y=ln(x 2+1) 分析：先求出函数''()()0f x f x =的二阶导数的点以及''()f x 二阶导数不存在的点，这些点把函数f(x)的定义域分成不同的区间，讨论''()f x 二阶导数在这些区间上的符号。
解: (1) y '=6x 2-6x-36, y "<12x-6.当x ∈(-∝,21)时,y "<0.⇒(-∞,21), 是凹区间; 当x ∈(21, +∞)时,y ">0. ⇒(21,+∞), 是凸区间.f " (21)=0,故点(21,132)是曲线的拐点.(2) y '=1-21x , y "=32x⇒函数无拐点.因为x ∈(-∞, 0)时, y "< 0,是凹区间;x ∈(0,+∞)时,是凸区间. (3) 解: y '＝２x-21x ,y "＝２＋31x ． x ∈（－∞，－１）时，y ""＞０，是凸区间；x ∈（－１，０）时，y "＜０，是凹区间； x ∈(0,+∞)时,y ">0.是凸区间;(-1,0)是曲线的拐点. (4) 解： y '=2x （x 2+1）1-，y "=（2-2x 2）（x 2+1）2-x ∈（-∞，-1）时，y "< 0是凹区间 ;x ∈(-1,1)时,y ">0是凸区间; x ∈(1,+∞)时,y "< 0是凹区间.(1,ln2), (-1,ln2) 是曲线的两个拐点. (5) 解: y'=-2x(1+x 2)2-,y "=(6x 2-2)(1+x 2)3-x ∈(-∞,330时,y "> 0, 是凸区间 ;x ∈(-33,33)时,y "< 0,是凹区间x ∈(-33,+∞)时,y "> 0,是凸区间; (-33,43),(-33,43)是曲线的俩个拐点.2. 问a 和b 为何值时,点(1,3)为曲线y=ax 3+bx 2的拐点.分析：应为点(1,3)在曲线y=ax 3+bx 2上，所以13x y==，又因函数二阶可导，据拐点必要条件有：00x y =''=。
4.2 函数的凸性与拐点
f '' ( x )
即有
f '' ( x ) 0
例
讨论
3 2 y 12 x 12 x ,
的凹凸区间.
解 D ( , )
36 x ( x 2 3)
时， y 0
2 (0, 0 3) 0 2 3
当 x1 0 , x2 列表
2 3
x ( ,0) y y 凸
由于 f () 0 , 可知
o
f ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )
x0
x
性质2
f ( x )是[a, b]上二阶可导的凸函数,[ x1 , x2 ]是[a, b]的
f ( x) x x2 x x1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 x2 x1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x0 ) f ' (1 ) ( x1 x0 ) f '(1 ) , x1 1 x0 2
x2 x1 f ( x2 ) f ( x0 ) f ' ( 2 ) ( x2 x0 ) f '( 2 ) , x0 2 x 2 2 相加得 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x0 ) [ f ' ( 2 ) f ' (1 )]( x 2 x1 ) 2 由于 f (x) 单调增 , 2 > 1 , 知 f (2) > f (1)
§4.2 函数的凸性与拐点
前面我们研究了单调性, 然而我们注意到仅知 道单调性对了解函数的性态是不够的
(1)单调增 (2)单调增
o
a
4.1_函数的单调性极值及凹凸性拐点
(3)如果当x(x0 , x0)及x(x0, x0 )时, f '(x)
符号相同,则f (x)在x0 处无极值.
y
y
o x0
xox0x(Fra bibliotek极值点情形)y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
(1)求导 f(数 x);
(2)求驻点， f(x即 )0方 的;程 根 (3)检查 f(x)在驻点左,右 判的 断正 极 ;
数,则点x0, f(x0)是拐点的必要条件是f"(x0)0.
证 f(x)二阶,可 f导 (x)存在且连 , 续
又 (x 0,f(x 0))是,拐点 则 f(x)[f(x)]在 x0两边 , 变号 f(x)在 x0取得,极 由可值 导函数取得极值条的件, f(x)0.
方法1: 设函f数 (x)在x0的邻域内二, 阶可导 且f(x0)0, (1 )x 0 两f近 (x )变 ,点 旁 (x 号 0 ,f(x 0 )即 ) 为 ; 拐
证 (1 ) f(x 0 ) lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 ) 0,
故 f(x 0 x )f(x 0)与 x 异号，
当x0时，有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0,
当x0时，有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0,
所 以 ， 函 数 f( x ) 在 x 0 处 取 得 极 大 值 ． 同理可证(2).
0
(23,)
f (x) 凹的
拐点 (0,1)
凸的
拐点 (23,1127)
凹的
凹凸 (,0 区 ] ,[0 ,2 3 间 ],[2 3 为 ,) .
第三章函数的凹凸性与拐点
又 x1 x2 f ' ( x)单调减， 从而有 f" ( x ) 0
观察图3、4中的两条曲线
图3中的曲线是向下鼓鼓地减，而图4中的曲线是向上鼓鼓地减 看看函数y=f(x)的导数有什么变化？
(3)
y
(4)
y
a o
β x o x1 x2
β
a x
2 f '(x )tan tan f '(x ) 2 1
-
0
拐点
u
x 2 f ' ' ( x ) 0 ( 2 , ) 是凹区间 f ' ' ( x ) 6 ( x 2 ) x 2 f ' ' ( x ) 0 ( , 2 ) 是凸区间
x
(-∞2)
2
(2, )
+
f 〞(x)
f(x) n
' '
y
y x3
x
在凹凸区间的分界点（0,0）即拐点
o
定理2：（拐点的必要条件），若函数y=f(x)在x0处二阶导数 存在，且点(x0 ,f (x0 ))为曲线y=f(x)的拐点，则f 〞(x)=0.
例 3 ：考察 y x定 义 R 上.
1 3
5 x 0 y '' 0 f ( x ) 凸 2 ' ' 3 y x x 0 y ' ' 0 f ( x ) 凹 9
2 y x 例1. 考察 在R上的凹凸性。如右图：
y
解: y 2 0 y x2在R上是凹的。
o
y x2
x
3 例 2 、考察 yx 的凹凸性 。
一元函数微分学6.4 曲线的凹凸性与拐点
三．曲线凹凸性的意义
若曲线 y f (x)在区间(a,b)内是凸的，则 f (x) 0，由于 f (x) [ f (x)]，所以 f (x) 0表示是 f (x)单调递减，因为 f (x)
表示函数的变化速度，因而曲线是凸的的意义是函数变化的速度越 来越慢.
若曲线 y f (x)在区间(a,b)内是凹的，则 f (x) 0，由于 f (x) [ f (x)]，所以 f (x) 0表示是 f (x)单调递增，因为 f (x)
6.4 曲线的凹凸性与拐点
一. 凹凸性的概念
如下图所示
y f (x)
a
b
c
在区间(a,b)内，函数 y f (x)的图像弯曲时开口向下，此
时我们称曲线是凸的.
在区间(b,c)内，函数 y f (x)的图像弯曲时开口向上，此
时我们称曲线是凹的.
如下图所示，在曲线 y f (x)上任取一点 P ，过点 P 作曲线
（6）求出拐点的坐标.
例 1 判定曲线 y x4 4x3的凹凸性并求其拐点. 解 函数的定义域为(,)；
y 4 x3 12 x2 , y 12 x2 24 x ；
令 y 0 得函数二阶驻点为 x1 0, x2 2 ；
x (,0) 0
(0,2)
2
y
+
0
-
0
y
拐点
拐点
(2, )
+
函数的拐点为 (0,0)与(2,16).
的切线.
y f (x) P
从图像可以看出：在区间 I 内，若曲线 y f (x)是凸的，则 曲线上每一点的切线均位于曲线的上方；若曲线 y f (x)是凹
的，则曲线上每一点的切线均位于曲线的下方.
3.5函数的凹凸性、曲线的拐点及渐近线
o
x
图形上弧段总是位于任
意切线的上方……凹弧
y
y f (x)
方，则称曲线弧AB是向上凹的或
称凹弧（向上凸的，或称凸弧）， o
x
记为“∪”(“∩”)。
图形上弧段总是位于任 意切线的下方……凸弧
分析：
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
例8
描绘函数
y
4
x 1
x2
2的图形
解：1）定义域为 ，0 0，
2)
y
4x
x3
2
,
由y 0,得x 2
y
8x 3，
x4
由y 0得x
3;
3）列表确定函数及曲线的特性
3）列表确定函数及曲线的特性
x ,3 3 3,2 2 2,0
y
0
y
0
y f x
拐点 3， 26
9
极小值 3
1
有垂直渐近线
x =-1,x =1
3.曲线的斜渐近线
若 lim f x a, lim f x ax b ，则直线
x x
x
y = ax +b 是曲线 y = f (x)的斜渐近线.
例7
求曲线
y
x3 x2 2x 3
的斜渐近线.
x3
解：因为 lim f x lim x2 2x 3 1, 所以a 1
改变弯曲方向的点——拐点;
凹凸性的判定.
2.应用
拐点的求法.
1.水平渐近线
二、曲线的渐近线
6-5 函数的凸性与拐点
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证 ( i ) ( ii ) 任 取 x 1 , x 2 I 和 正 数 h , 使
x1 x 2 , 且 x1 h I , x 2 h I . 已 知 f 是 凸 函 数 ， 由 (4)式
f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x1 h ) x 2 x1 h
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将 ( 6 ) 式 乘 以 ， 7 ) 式 乘 以 (1 ) 作 和 ， 并 注 意 到 (
x 1 (1 ) x 2 x 0 0 , 故
f ( x 0 ) f ( x 1 (1 ) x 2 ) f ( x 1 ) (1 ) f ( x 2 ).
2 x (1 x )
2 2
, x ( , ).
所 以 当 x ( , 0 )时 , f ( x ) 0 , f ( x ) 为 凸 函 数 ； 当 x ( 0， ) 时 , f ( x ) 0 , f ( x ) 为 凹 函 数 .
i 1
1 xi n
n
f ( xi )
(5)
i 1
(5) 式是凸函数最常用的不等式 . 下面举例说明凸函数的内在性质.
例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在
(a, b) 中每一点的左、右导数存在. 特别是在 (a,b)
上处处连续.
证 对 于 任 意 的 x 0 a , b） 0 h1 h 2 , 使 （ ,
两 点 x 1 , x 2 和 任 意 实 数 ( 0 , 1), 总 有
f ( x 1 (1 ) x 2 ) f ( x 1 ) (1 ) f ( x 2 ), (1)
2.9函数的单调性与曲线的凹凸性 答案详解
2.9 函数的单调性与曲线的凹凸性一、证明函数)1ln(2x x y +-=在(,)-∞+∞上是单调增加的．证明：22222212(1)10111x x x x y x x x+--'=-==≥+++，故函数在(,)-∞+∞上单调增加．二、求下列函数的单调区间：1. xx y +=12解：定义域：(,1)(1,)-∞--+∞222222(1)2(2)(1)(1)(1)x x x x x x x y x x x +-++'===+++ 令00,2y x x '=⇒==-；令1y x '=∞⇒=-，有所以单调增区间为：(,2)-∞-，(0,)+∞；单调减区间为：(2,1)--，(1,0)-2.y =解：定义域：[1,1]-2y '==令0y x '=⇒=，有所以单调增区间为：(；单调减区间为：(1,-，三、证明下列不等式：1.当0x >时，2ln(1)2x x x -<+． 证明：令2()ln(1)2x f x x x =--+ 21()10(0)11x f x x x x x-'=--=<>++所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，有()(0)f x f <即2ln(1)2x x x -<+ 2. 当0>x 时， 1e 1xx--<．证明：原不等式等价于1(0)xex x --<>令()1xf x ex -=--，()10(0)x f x e x -'=-<>所以()f x 在[0,)+∞上单调递减故1()(0)1(0)xe f x f x x--<⇒<>3. 当10<<<b a 时，abab a b 2arctan arctan -<-. 证明：原式等价于11arctan arctan 22b a b a+<+令1()arctan 2f x x x =+，22222111()0(01)122(1)x f x x x x x x -'=-=<<<++所以()f x 在(0,1)上单调递减 故当01a b <<<时，()()f a f b > 即11arctan arctan 22arctan arctan 2b a b a b ab a ab+<+⇒--<四、求下列曲线的拐点与凹凸区间： 1.432y x x =-解：32246,121212(1)y x x y x x x x '''=-=-=-令0y ''=⇒120,1x x ==故拐点：(0,0),(1,1)-凹区间：(,0),(1,)-∞+∞；凸区间：(0,1)2.e xy x =解：e e xxy x '=+，e e e e (2)xxxxy x x ''=++=+2,()0x f x ''<-<；2,()0x f x ''>->故该曲线的拐点是2(2,2e )---，凸区间是(),2-∞-，凹区间是()2,-+∞.五、常数a , b 为何值时，点（1, 3）是曲线23bx ax y +=的拐点？ 解：232y ax bx '=+，62y ax b ''=+要使(1,3)为拐点，有113062023392x x a y a b y a b b ==⎧=-⎪''⎧=+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=+=⎪⎩⎩⎪=⎪⎩ 六、设某地的气温是随时间连续变化的，温度随时间变化的函数为()T f t =，且在1t 到2t 时间段内，有()0f t '<，()0f t ''>，则在该时间段内（ D ）.A ．气温持续升高，且升高得越来越快B ．气温持续升高，且升高得越来越慢C ．气温持续降低，且降低得越来越快D ．气温持续降低，且降低得越来越慢 分析：一阶导的符号描述了因变量随自变量的变化是增加还是减少，而二阶导的符号则描述了增加或减少的快慢程度；由于一阶导小于零，说明气温随时间递减，而二阶导大于零（变化曲线是凹的），说明减少得越来越慢七、证明方程510x x +-=有且只有一个正根．证明：令5()1f x x x =+-，()f x 在[0,1]上连续，(0)1f =-，(1)1f =，由零点定理 至少(0,1)ξ∃∈，使得()0f ξ=，故方程510x x +-=至少有一个小于1的正根 又4()510f x x '=+>，可知()f x 在R 内单调增加，故ξ是方程唯一的正根即方程有且只有一个正根考研真题：1.设()f x ，()g x 是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当a x b<<时，有（ A ）．A ．()()()()f x g b f b g x >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g x f b g b >D ．()()()()f x g x f a g a >解：由()()()()0f x g x f x g x ''-<可知()0()f x g x '⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数()()f x g x 单调递减， 有()()()()()()f b f x f ag b g x g a <<，故选A 2.2e e a b <<<，证明2244ln ln ()e b a b a ->-． 证明：令244()ln e x f x x =-，42ln 4()e x f x x '=-，22(1ln )()0x f x x-''=<，2(e,e )x ∈ 得()f x '在2[e,e ]上单调递减，有222444()(e )0(e e )e ef x f x ''>=-><<从而()f x 在2[e,e ]上单调递增，有()()f a f b < 故得222244ln ln e e b a b a ->-，即2244ln ln ()e b a b a ->-。
函数曲线的凹凸性和拐点
第四模块 微、积分学的应用习题4—6函数曲线的凹凸性和拐点1．设函数y=f(x)在区间（a,b ）内二次可导，且y>0, y '>0, y ''<0，则曲线y=f(x)在（a,b ）内位于x 轴上方，单调递增且凸向上。
对吗？解：对。
2．设函数y=f(x)在区间（a,b ）内二次可导，且y '<0, y ''>0，则曲线y=f(x)在（a,b ）单调递减且凹向上。
对吗？ 解：对。
3．求曲线y=326x x -+x-1的凹凸区间及拐点。
解：y '=32x -12x+1，y ''=6x-12，令y ''=0，解得：x=2 ，在 （-∞，2） 内， y ''<0, 凹区间，在（2，+∞）内， y '' >0 ，为 凸区间， x=2，y=-15。
（2，-15）是拐点。
4． 求y=x+1xx -的凹凸区间及拐点。
解：y '=1-21(1)x -，y ''=32(1)x -，x=1，y ''不存在，在 （-∞，1） 内， y ''<0, 凹区间，在（1，+∞）内， y '' >0 ，为 凸区间，无拐点。
5．已知函数y=a 3x +b 2x +cx+d 有拐点（-1,4），且在x=0处有极大值2，求a,b,c,d 的值。
解：y '=3a 2x +2bx+c ，因为在x=0处有极大值2，所以，d=2，c=0，而y ''=6ax+2b ，有拐点（-1,4），有-6a+2b=0，4=-a+b+2，得a=1，b=3。
6．证明曲线y=xsinx 上所有的拐点均位于曲线2y (4+2x )=42x 上证明：只需证明曲线y=xsinx 上所有可能是拐点的坐标满足方程2y (4+2x )=42xy '=sinx+xcosx ，y ''=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx令y''=0，得: 2cosx-xsinx=0 （1）又y=xsinx （2）由（1）得x=2cotx （3）将（2）（3）代入2y(4+2x)=42x中，两边相等，证得所有拐点在2y(4+2x)=42x上。
确定下列曲线的凸性区间与拐点
习题4-41. 确定下列曲线的凸性区间与拐点:(1). 25363223+--=x x x y ;解: 36662--='x x y , 612-=''x y , 令 0=''y , 得21=x . 列表由此知拐点为 (,)22, 上凸区间为(,)2-∞, 下凸区间为1(,)2+∞.(3). x e y arctan 2=;解: 2arctan 212x e y x+=', 22a r c t a n2)1()1(4x x ey x +-='', 令 0=''y , 得1=x .由此知拐点为 2(1,)e π, 上凸区间为(1,)+∞, 下凸区间为(,1)-∞.2. 当a 与b 为何值时, 点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点?解: bx ax y 232+=', b ax y 26+=''.因此 b a +=3, b a 260+=, 故23-=a , 29=b .这时,当1<x 时, 0)1(9>--=''x y , 曲线向下凸, 当1>x 时, 0<''y ,曲线向上凸.所以当23-=a , 29=b 时, 点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点.3. 通过讨论函数性态,绘出下列函数的图形;(3) x x y arctan 2-=;解: 1) 函数的定义域为),(+∞-∞;2) )()arctan ()arctan(2)(x f x x x x x f -=--=---=-, 函数是奇函数;3) 由0=y , 解得01=x ,π<<||33,2x , 曲线与x 轴交于点)0,0(, )0,(2x ,)0,(3x .4) 由2211x x y +-='得稳定点14-=x , 15=x . 由22)1(4x xy +=''得06=x ,5) 1arctan 2lim lim=-=∞→∞→xx x x y x x ,π-=-=-+∞→+∞→)arctan 2(lim )(lim x x y x x , π=-=--∞→-∞→)arctan 2(lim )(lim x x y x x此曲线有渐近线π+=x y , π-=x y .4. 求下列曲线的渐近线:(3). )1ln(xe x y +=;解:-∞=+=++-→-→)]1ln([lim lim /1/1x e x y e x e x ,1)1ln(lim lim =+=+∞→+∞→xe x y x x .exx e x x x e x y x x x 1)1)(1()1(lim 11)1ln(lim )(lim ='+'=-+=-+∞→+∞→+∞→.因此e x y 1+=, ex 1-=是曲线的渐近线.。
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函数的凸性和拐点答案解析1、分析：先求出函数/⑴的二阶导数/'G)= o 的点以及二阶导数<3不存在的点，这些点把函数f(x)的定义域分成不同的区间，讨论二阶导数尸co 在这些区间上的符号。
解：(1) y =6x 2-6x-36, y <12x-6.当 xe(-oc ? J_)时,y"v0. =>(-8,1),是凹区间；2 2 当 (―, +8)时,y >0. =>(L,+ 8),是凸区间. 2 2 1 i 7f (—)=0,故点(一,一)是曲线的拐点.2 2 131 2(1) y T-二，y =—r =>函数无拐点.x x因为xC(.8, 0)时，y < 0,是凹区间；x£(0,+8)时,是凸区间. ， 1 1(2) 解：y = 2 X-—, y = 2 +—.x x'xE ( — 8, — 1 )时，y” > o ,是凸区间；xE (― 1 , 0 )时，y < 0 ,是凹区间； xe (0, +8)吐y">0.是凸区间；(-1, 0)是|11|线的拐点. (3) 解:y'=2x (x 2+l) t, y"= (2~2x 2 ) (x 2+l)或x£ (-8, -1 )时，y"<。
是凹区间；x£(T,l)时,y >0是凸区间； xe (l,+oo)时,y”<0是凹区间.(I,ln2), (-1, ln2)是曲线的两个拐点.2、 分析：应为点(1,3)在曲线尸ax3+bx2上，所以北=|=3,又因函数二阶可导，据拐点必要条件有：/|x=0=0o 解：因点(1,3)在该Illi 线上，故有y|顽=3,即a + b = 3......⑴ 又因函数二阶可导，据拐点必要条件有：/L._0=Oo而矿=3ax 2+ 2bx , y n= 6ax + 2b 故 6a + 2h = 0 (2)39 联立(1)和(2),解方程组得。
=-一,b =二223、 分析：严格按凸函数的定义来证明，即f (对为凸函数的充要条件是对定义区间内任意两点知尤2及任意日E (0，1)， 有 f (〃玉 +(1-〃)易)V "f(X\ ) + (1 — A)/(^2)-证：(1)因为f(x)为凸函数，所以对定义区间内任意两点西及任意〃E(0，l)，有 f ("X\ +(1-//)X 2) < 4f(X\) + (1-//)/(x 2). 上式两边同乘以非负实数4,得人了 (“M + (1 — ju)x 2) < 以/*■ ) + (1 - )按定义，谯(X)为凸函数。
(2)因为均为凸函数，所以对定义区间内任意两点孔易及任意AG (O ,I ), 有+(1- A)X 2 )<2/(X ,) + (1- A)/(X 2 ).及g (/tXj +(1- A)X2 ) 5g O]) + (1 - Qg (a ).a +b yL/0)(2)设/(x) = arctan x ,则 /\x)=一 1即右2 V —(矿+决)2—3 = 一2：1 + x 2(1 + x )a^b不等式两边分别相加，得/(^! + (1 — 人)尤2)+ g (人玉 + (1 — 人)工2)< (玉)+ g (玉))+(1 一人)(f(工2)+ g(*2)) 按定义，/(W + g3)为四函数。
(3)因为f(x)为I 上凸函数，所以对任意x l9x 2el 及任意A €(0,1), Wf (如 +(1-A)X 2) <2f(x t ) + (1-2)/(X 2).又因 g(X)为 J 上增函数，而且/(/)(=/，4/(一)+ (1 — 九)/(工2)€/(/), 所以 g [f (4玉 + (1 — A)X 2)] < g (M) + (1-2)f (邑)] 再又g(x)为J 上凸函数,有) + (1-/l)/(%2)] < (了(X 】)) + (1-4)g(f (易))从而(g 。
f)(知 + (1 - /t)x 2)<A(gof)(Xl ) + (1-Q(g o/)(x 2) 按定义，(g 项)(易)为I 上凸函数。
4、分析：用反证法和极小值的定义来证明。
证明：假定/(x)在I 上还有另一个极小值点玉，不妨设x()VX]，由定义，存在〃(柘)及〃(叫)，使得当xet7(x 0) 时，/(x)>/(x 0)；当xeU^)时，/(x)>/(x,) o对任意xe(x 0,Xj),取4= ~ ,则0v 人<1, x = Ax () + (1 -^)x lXLo 据/(x)为I 上严格凸函数，有/(x) < A/(x 0) + (l-人)/(耳) 若/(%0)</(^), WJ/(x) <2/(^) + (1 -2)/(%,) = 7(^)特别的，当XE t/(M)n(X(),Xi)时，/(X)< /(X)) o 这与X|为fO)极小值点矛盾。
若 f(x o ) > f (同)，则 /(X)< 2f(x 0) 4- (1 - 2)/(x 0) = f(x 0)特别地，当时xet/(x 0)n(x 0,x 1), f(x) < f(x 0) o这与易为f 3)的极小值点相矛盾。
故吒为f 3)在I 上唯一的极小值点。
5、分析：此题关键是作出辅助函数f (对，(1)题令fM = e\ (2)题令/(x) = arctan %,然后按照凸函数概念 来证明。
证明：(1)设 f(x) = e\ 由于 f\x) = e x> 0,故 f(x)在(一 oo,+oo)上为凸函数，对任意 «,/? G (-co,+oo),取当xNO 时，/ff(x)<0o 故/'3)在[0,+8)上为凹函数, 从而对任何非负实数缶b,有4%)弓顷“)+’㈣ 、1 / , \> —(arctan a + arctan b) 从而原不等式成立。
6、分析：严格按凸函数的定义来证明。
证明：对任意的x p x 2e/，任意4c(0,l),据/(X)为I 上凸函数，有+ (1 — A)X 2 ) < Af (Xj ) + (1 - A)/(x 2)由 FO)定义知：f(x {)<F(x {)f f(x 2)<F(x 2)m/Ui)1 1 1 ——+——+ ••• + - 1 1 1V % % q — n故 f (人玉 +(1-Z)x 2) V 2F(玉)+ (1 — 2)F(X 2) 同理有g(独 +(1-2)X 2) < 4F(jq) + (1 -A)F(X 2)从而 max{f (人玉 +(l-2)x 2),g(2x 1 +(l-2)x 2)} < AF(x t ) + (1 - A)F(x 2) 即+(1-人)尤2) V /IF(X]) + (1 — A)F(X 2) o按定义，F(x)是I 上的四函数。
7、分析：先将行列式展开。
证明：(1)将行列式中第一行的(-1)倍分别加到第二行，第三行，得 1 x l A = 0 x 2 -x }0 x 3 -x { = (x 2-x I )(/(x 3)-/(x 1))-(x 3-x 1)(/(x 2)-/(x I )) 当M + +时，点0等价于"沔一玉 巧一玉上式正好是/(X)为I 上凸函数的充要条件，故结论成立。
8、分析：作出辅助函数/(x) = -Inx,则广(Q = = >0,故/«)在(0,+oo)内为凸函数。
根据凸函数的定义来 X 证明。
证明：(1)设/(x) = -lnx,则广3) = [>0,故/«)在(0,+8)内为凸函数。
取Xx z . = % c(0,+oo)，4.二—,(i = 1,2,•••,〃)，，由詹森不等式得 n q + q ---- % , 1 / 1 1 1 \ -In — --- ------ V —(-Inq -In a 2 -------- In^J.n n ~山f Fi i "i + "3 ------------------- ci . 1 /, \也就是 In ——— --- >—(In a }a 2 • • •。
〃)，n np / / CL + 缶 + • • . + Q” 或寸叩2V ——= ---------------------------------- -因上述不等式对任意n 个正数成立，故以-L 代替《(，= 1,2,•••/),有』LL a. Vtz, a 2 或一j-^ -------------------- 到《角…丁 —— + —— + ••• + ——a\ "2an综合以上论述，原不等式成立。
(2)分两步：i )先证〃 =1时结论成立，即：若。
力>0或>0,0>0」+上=1.,贝IJp qab<-a p+-b\P q1 1 a pb (,1 1事实上，仍由一Inx 为凸函数，取玉=。
,工2 =胪，4 =一,久=一，有一ln(— + —) <——In*——\nb q.~ p ■ q p q p q a p b q由11：匕得——+——>a + b. p q ii )再证〃〉1时结论成立。
h k在i ）所得不等式中，分别令+ — -^ 值= 1,2,3,•••,〃)/=l去分母，得£响#£妒）妒切 i=lz=l i=l(n/ M 、—\ /=! /将上述n个不等式两端分别相加,。