两角差的余弦公式
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式1.两角和的正弦公式：对于任意两个角A和Bsin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：sin(A+B) = sin[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]= sin[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] + cos[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) + 2cos(A/2)sin(B/2)= sinAcosB + cosAsinB这就是两角和的正弦公式。
2.两角差的正弦公式：对于任意两个角A和Bsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：sin(A-B) = sin[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]= sin[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + cos[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) - 2cos(A/2)sin(B/2)= sinAcosB - cosAsinB这就是两角差的正弦公式。
3.两角和的余弦公式：对于任意两个角A和Bcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：cos(A+B) = cos[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]= cos[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] - sin[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = cosAcosB - sinAsinB这就是两角和的余弦公式。
4.两角差的余弦公式：对于任意两个角A和Bcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：cos(A-B) = cos[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]= cos[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + sin[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = cosAcosB + sinAsinB这就是两角差的余弦公式。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
两角差的余弦公式 课件
两角差的余弦公式
公式 简记符号 使用条件
cos(α-β)=_c_o_s_α__c_o_s_β__+_s_i_n_α__s_i_n_β__ _C_(α__-β__)
α,β都是_任__意__角__
【点拨】关于两角差的余弦公式 (1)公式的结构特点 公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数 之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.
(2)公式中的角α,β 公式中的角α,β不仅可以是角,而且可以是任意的整 体,可以根据题目需要进行替换、变形代入,展开式仍 然成立.
(3)公式的灵活应用 首先是公式的逆用,可以把符合公式特点的展开式合并, 其次是角的灵活变化,如cosα=cos[(α+β)-β].
【自我检测】
1.化简cos15°cos45°+cos75°sin45°的值为
B. 6 2 2
D. 6 2 4
【解析】选D.cos(-15°)=cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°
1 2 3 2 2 6.
22 2 2
4
3.若向量a=(cos60°,sin60°),b=(cos15°,sin15°),
则a·b= ( )
2
又cos(α-β)= , 5
5
所以sin(α-β)= 1 cos2( )＝ 2 5 .
5
又因为0<2α<π,cos2α= 10,
10
所以sin2α= 1 cos2 2＝3 10 ，
10
所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式两角和的公式可以表示为：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBcos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)两角差的公式可以表示为：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些公式可以通过三角函数的定义及相关几何知识进行推导。
我们以sin(A + B)的公式为例进行推导。
设点P(x, y)在单位圆上，与x轴正半轴的夹角为A + B。
则点P的坐标为(x, y) = (cos(A + B), sin(A + B))。
根据三角函数的定义可知：x = cos(A + B)y = sin(A + B)在单位圆上再取点Q(x', y')，与x轴正半轴的夹角为A，点Q的坐标为(x', y') = (cosA, sinA)。
同理再取点R(x'', y'')，与x轴正半轴的夹角为B，点R的坐标为(x'', y'') = (cosB, sinB)。
由于圆上任意两点间的距离为1，因此PQ与PR的长度均为1，可以分别表示为：PQ = sqrt((x - x')^2 + (y - y')^2)PR = sqrt((x - x'')^2 + (y - y'')^2)同时利用勾股定理可知：PQ^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2 = (cos(A + B) - cosA)^2 + (sin(A + B) - sinA)^2PR^2 = (x - x'')^2 + (y - y'')^2 = (cos(A + B) - cosB)^2 + (sin(A + B) - sinB)^2将上述两个式子相加得：PQ^2 + PR^2 = (cos(A + B) - cosA)^2 + (sin(A + B) - sinA)^2 + (cos(A + B) - cosB)^2 + (sin(A + B) - sinB)^2展开计算可得：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cos(A + B) * cosA + sin(A + B) * sinA - cos(A + B) * cosB - sin(A + B) * sinB)利用三角函数的和角公式可进一步化简：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cosA * cos(A + B) + sinA * sin(A + B) - cosB * cos(A + B) - sinB * sin(A + B))= 2 + 2 * (cosA * cos(A + B) - sinA * sin(A + B) + cosB * cos(A + B) - sinB * sin(A + B))利用余弦函数的差角公式可进一步化简：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cos(A + B - A) + cos(A + B + A) - cos(B - A) - cos(B + A))= 2 + 2 * (cosA + cos(B + A) - cos(B - A) - cosA)= 2 + 2 * (cosA + cosB * cosA - sinB * sinA - cosB * cosA + sinB * sinA)= 2 + 2 * cosA因此，PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * cosA。
两角和与差的余弦公式
两角和与差的余弦公式余弦公式是三角学中常用的定理，用来计算三角形的角度和边长。
其中，两角和与差的余弦公式是一种特殊形式的余弦公式，用来计算两个角的和与差的余弦值。
在本文中，我们将详细介绍两角和与差的余弦公式，并且给出其证明及应用示例。
一、两角和与差的余弦公式的表述对于任意两个角A和B，其和与差的余弦值分别可以表示为：①余弦和公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB②余弦差公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB其中，cosA、cosB、sinA、sinB分别表示角A和角B的余弦和正弦值。
二、两角和与差的余弦公式的证明1.证明余弦和公式：我们先来证明余弦和公式cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB。
根据三角函数的定义，我们有：cos(A + B) = cos(α + β)= [exp(i(α + β)) + exp(-i(α + β))] / 2 (欧拉公式)= [exp(iα) * exp(iβ) + exp(-iα) * exp(-iβ)] / 2 (指数幂法则)= [(cosα + i * sinα) * (cosβ + i * sinβ) + (cosα - i * sinα) * (cosβ - i * sinβ)] / 2 (令exp(iα) = cosα + i *sinα，同样对于exp(iβ))= [(cosα * cosβ + i * cosα * sinβ + i * sinα * cosβ + i^2 * sinα * sinβ) + (cosα * cosβ - i * cosα * sinβ - i * sinα *cosβ - i^2 * sinα * sinβ)] / 2= [(cosα * cosβ + sinα * sinβ) + i * (cosα * sinβ + sinα * cosβ)] + [- (cosα * cosβ + sinα * sinβ) + i * (cosα * sinβ + sinα * cosβ)] / 2= (cosα * cosβ + sinα * sinβ)= cosA * cosB - sinA * sinB故余弦和公式成立。
两角差的余弦公式
两角差的余弦公式1. 引言在数学和物理学中，余弦公式是关于三角形边与角之间关系的一种重要公式。
除了计算三角形的边长外，余弦公式还可以用来计算两个向量之间的夹角。
本文将介绍一种特殊情况下的余弦公式，即两角差的余弦公式，它在计算两个角度之间的夹角时非常有用。
2. 两角差的余弦公式余弦公式描述了三角形中某一边和与其相邻的两个角之间的关系。
对于某个三角形 ABC，设边长 BC 为 a，边长 AC 为 b，夹角 BAC 的度数为 A，夹角 ABC 的度数为 B，夹角 ACB 的度数为 C。
那么余弦公式可以表示为以下等式：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，c 表示边长 AB。
在计算两个角度之间的夹角时，我们可以利用上述公式进行推导得到两角差的余弦公式：cos(A-B) = cos(A) * cos(B) + sin(A) * sin(B)3. 两角差的余弦公式的推导为了推导两角差的余弦公式，我们首先回顾一下三角函数的定义。
对于某个角度θ，sin(θ) 表示该角度的正弦值，cos(θ) 表示该角度的余弦值。
根据欧拉公式的性质，我们有：e^(iθ) = cos(θ) + i * sin(θ)其中，e 表示自然对数的底，i 表示虚数单位。
利用欧拉公式，我们可以得到以下恒等式：cos(θ) = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2sin(θ) = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i)接下来，我们考虑两个角度 A 和 B 的差，即 A - B。
我们将 A 和 B 视为两个角度θ1 和θ2 的和，其中：θ1 = (A + B) / 2θ2 = (A - B) / 2根据欧拉公式，我们可以用e^iθ1 和e^iθ2来表示cos(θ1) 和cos(θ2)：cos(θ1) = (e^(iθ1) + e^(-iθ1)) / 2 = (e^(i(A+B)/2) + e^(-i(A+B)/2)) / 2cos(θ2) = (e^(iθ2) + e^(-iθ2)) / 2 = (e^(i(A-B)/2) + e^(-i(A-B)/2)) / 2将上述两个式子相乘并展开，我们得到：cos(θ1) * cos(θ2) = (e^(i(A+B)/2) + e^(-i(A+B)/2)) * (e^(i(A-B)/2) + e^(-i(A-B)/2)) / 4利用指数的乘法法则和欧拉公式的性质，上式可以简化为：(cos(A) + cos(B)) / 2类似地，我们可以用e^iθ1 和e^iθ2 来表示sin(θ1) 和sin(θ2)：sin(θ1) = (e^(i(A+B)/2) - e^(-i(A+B)/2)) / (2i)sin(θ2) = (e^(i(A-B)/2) - e^(-i(A-B)/2)) / (2i)将上述两个式子相乘并展开，我们得到：sin(θ1) * sin(θ2) = (e^(i(A+B)/2) - e^(-i(A+B)/2)) * (e^(i(A-B)/2) - e^(-i(A-B)/2)) / (4i^2)= -(cos(A) - cos(B)) / 2最后，我们将cos(θ1) * cos(θ2) 和sin(θ1) * sin(θ2) 代入两角差的余弦公式，可以得到：cos(A - B) = cos(A) * cos(B) + sin(A) * sin(B)4. 总结两角差的余弦公式是在两个角度之间计算夹角时的重要工具。
两角差余弦公式的推导
两角差余弦公式的推导两角差余弦公式（DifferenceofCosinesFormula，简称DOCF）是一个经典的三角函数公式，它可以用来求解两个向量之间的夹角。
这种公式受到几何学、物理学、数学和工程学等学科的广泛应用，而且这个公式可以通过简单的数学推导来证明。
本文将对两角差余弦公式进行详细的推导。
二、正式推导1.假设有两个向量A和B，它们之间的夹角为θ。
2.设OA和OB为两个向量A和B的分量，则有：OA=|A|cosθ，OB=|B|cosθ（其中|A|和|B|分别表示A、B的模） 3.设向量A+B和A-B的分量分别为OA+OB和OA-OB，根据向量和的定义，此时可得：OA+OB=|A+B|cosΦ，OA-OB=|A-B|cosΦ（其中|A+B|和|A-B|分别表示A+B、A-B的模，Φ表示A+B、A-B的夹角）4.将式（2）和式（3）进行联立，可得：OA+OB＝|A+B|cosΦ＝|A|cosθ+|B|cosθOA-OB＝|A-B|cosΦ＝|A|cosθ-|B|cosθ5.合并式（4），可得：|A+B|cosΦ＝2|A|cosθ，|A-B|cosΦ＝2|B|cosθ6.式（5）可化为：|A+B|cosΦ＝2|A|cosθ＝2|B|cosθ＝|A-B|cosΦ7.由此可得：|A+B|cosΦ＝|A-B|cosΦ，即可得到两角差余弦公式：cos =|A + B|/|A - B|8.根据此结论可以推导出笛卡尔余弦公式：cosΦ=cosαcosβ+sinαsinβ三、总结在本文中，我们对两角差余弦公式的推导进行了详细的分析。
从本文的推导可以看出，该公式可以用来求解两个向量之间的夹角，在几何学、物理学、数学和工程学等学科中有着广泛的应用。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
的两个根为tan , tan , 求 tan( )的值.
小
结
S ( ) 以 代 S ( ) C ( ) C ( )
相除 相除
T( )
以 代
T( )
公式的特点:
(1)公式中, 、 、 、 的取值要使正切值有意义;
tan tan (2)注意公式的变形运用.如公式 : tan( ) , 1 tan tan 可以变形为 : tan tan tan( )(1 tan tan )
( )
( )
)
注:(1)α,β任意；从s开头,sccs,中间不变号.
(2)抓住公式的结构特征, 能灵活运用;
探究： 如何推导tan( ) ?
sin( ) tan( ) cos( )
(这里有什么要求?)
k (k Z ) 2
(4) sin(A B ) cos B cos(A B ) sinB ? (5) sin( 36 ) cos(54 ) cos(36 ) sin( 54 ) ?
(6) sin70 cos 25 sin20 sin25 ?
sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos tan tan 1 tan tan
例5.求值： (1 tan1 )(1 tan2 )(1 tan44 )
3.1.1 两角差的余弦公式
解析：(1)原式＝cos(15° －105° ) ＝cos(－90° )＝cos 90° ＝0； (2)原式＝cos [(α－35° )－(25° ＋α)] 1 ＝cos(－60° )＝cos 60° . ＝ 2 4 3 (3) ∵ sin α＝－ ，180° <α<270° ，∴cos α＝－ ， 5 5 5 12 ∵sin β＝ ，90° <β<180° ，∴cos β＝－ ， 13 13 ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β －3×－12＋－4× 5 ＝16. ＝ 5 13 5 13 65
两角差的余弦公式的简单应用 (1)sin7°cos23°＋sin83 °cos67°的值为( )
1 3 3 B. C. D．－ 2 2 2 π π (2) 3sin ＋cos 的值为( ) 12 12 1 A. B．1 C. 2 D. 3 2 分析：(1)本题考查公式的逆用．如何将式子转化为两 角差的余弦公式的展开式是关键．
已知角的变形在解题中的应用
(1)计算：cos(－15° ); 2cos 10° －sin 20° (2) 的值是( sin 70° 1 A. 2 3 B. 2 C. 3 ) D. 2
分析：(1)本小题是两角差的余弦公式的直接应用， 要善于进行角的变形，使之符合公式特征． (2)本题考查角的变换技巧，有一定难度．
| || |
依据和可能．
练习1：在直角坐标系中始边在x轴正半轴，30°角
的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为________．
练习2：cos(45°－30°)＝________.
3 1 练习 1： ， 2 2
6＋ 练习 2： 4 2
二、角的组合 α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， 1 α＝ [(α＋β)－(β－α)] 2 1 α＝ [(α＋β)＋(α－β)]，2α＝(β＋α)－(β－α)等． 2
两角差的余弦公式
两角和与差的余弦公式的应用
三角函数求值
利用两角和与差的余弦公式，可以方便地求出一些比较复杂的三 角函数值
三角恒等式证明
通过两角和与差的余弦公式，可以证明一些三角恒等式
解三角形
在解三角形的过程中，可以利用两角和与差的余弦公式得到一些 关键的信息
两角差的余弦公式在物理中的应用
波动光学
在波动光学中，两角差的余弦公式可以用来描述光波的干涉和衍 射现象
具体证明过程如下
1. 利用三角函数的加法公式，将 $\cos(A-B)$表示为$\cos A \cos B + \sin A \sin B$。
02
两角差的余弦公式的应用
角度测量
航天领域
在航天领域中，两角差的余弦公式被广泛应用于航天器的轨道计算和姿态控制 中。通过测量航天器与地球基准线之间的夹角，可以确定航天器的位置和速度 。
该公式在三角函数的计算、化简和证 明等领域有着广泛的应用。
公式证明
证明两角差的余弦公式的方法有多种， 其中一种是利用三角函数的加法公式和 减法公式进行推导。
3. 将步骤1和步骤2的结果相加，得到两 角差的余弦公式。
2. 利用三角函数的减法公式，将 $\cos(A-B)$表示为$\cos A \cos B \sin A \sin B$。
电磁学
在电磁学中，两角差的余弦公式可以用来描述电磁波的传播和散射 现象
力学
在力学中，两角差的余弦公式可以用来描述物体的运动和相互作用
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应用举例
三角函数的化简
利用两角差的余弦公式，可以将 复杂的三角函数表达式化简为简 单的形式。
三角函数的求值
已知$\cos A$和$\cos B$的值， 可以利用两角差的余弦公式求出 $\cos(A-B)$或$\cos(A+B)$的值 。
3.1两角差的余弦公式
探究（二）：两角差的余弦公式的变通
思考1：若已知α ＋β 和β 的三角函数 值，如何求cosα 的值？ ( )
cosα ＝cos[(α ＋β )－β ].
＝ cos(α＋β) cosβ＋sin(α＋β)sinβ
思考2：利用α －(α －β )＝β 可得 cosβ 等于什么？ cosβ ＝cos[(α －β )－α ]＝ cos(α －β )cosα ＋sin(α －β )sinα .
答案：C
2．cos60° cos15° ＋sin60° sin15° 等于( A．cos30° B．sin60° C．cos45°
) D．cos60°
解析： 原式＝cos(60° －15° )＝cos45° . 答案：C
3．cos(－40° )cos20° －sin(－40° )sin(－20° )＝________.
两角和的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
例 利用公式求值:sin15 1.
练习：
（） 72 cos 42 cos72 sin 42 1 sin
(2)sin 54 x cos 36 x cos 54 x sin 36 x
13 又∵cos(α－β)＝ ， 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos α－β＝
2
13 2 1－ ＝ 14
3 3 . 14 由 β＝α－(α－β)得 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ × ＝ . 7 14 7 14 2 π π ∵0<β< ，∴β＝ . 2 3
两角和与差的余弦公式精讲精练
两角和与差的余弦公式精讲精练余弦公式是三角函数中常用的公式之一，用于计算两个角的和或差的余弦值。
余弦公式的精讲内容如下：1.两角和的余弦公式：对于任意两个角A和B，它们的余弦和C可以表示为如下公式：cos(C) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)2.两角差的余弦公式：对于任意两个角A和B，它们的余弦差D可以表示为如下公式：cos(D) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)下面通过几个例子来解释和演示这两个公式的使用。
【例题1】已知角A的余弦值为0.6，角B的余弦值为0.8，求角C 的余弦值。
解析：根据公式cos(C) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)，将已知的余弦值代入即可求解：cos(C) = 0.6 * 0.8 - sin(A)sin(B)cos(C) = 0.48 - sin(A)sin(B)因为没有提供角A和角B的正弦值，所以无法进一步计算角C的余弦值。
【例题2】已知角A的余弦值为0.6，角B的余弦值为0.8，求角D 的余弦值。
解析：根据公式cos(D) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)，将已知的余弦值代入即可求解：cos(D) = 0.6 * 0.8 + sin(A)sin(B)cos(D) = 0.48 + sin(A)sin(B)因为没有提供角A和角B的正弦值，所以无法进一步计算角D的余弦值。
【例题3】已知角A为30度，角B为60度，求角C的余弦值。
解析：根据余弦函数的性质，可以求出角A和角B的正弦值和余弦值：sin(A) = sin(30°) = 0.5cos(A) = cos(30°) = √3/2sin(B) = sin(60°) = √3/2cos(B) = cos(60°) = 0.5将正弦值和余弦值代入公式cos(C) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)中求解：cos(C) = (√3/2) * 0.5 - (0.5) * (√3/2)cos(C) = (√3/4) - (√3/4)cos(C) = 0所以角C的余弦值为0。
两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式
两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式1.两角和的正弦公式：设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，则它们的和角C的正弦为sinC。
根据三角函数的定义，有sinA = a/c和sinB = b/c，其中a、b、c分别为三角形ABC的对边、邻边和斜边。
根据正弦公式，sinC = c/c =1、所以，两角和的正弦公式为sin(A + B) = sinC = 12.两角和的余弦公式：设角A和角B的余弦分别为cosA和cosB，则它们的和角C的余弦为cosC。
根据三角函数的定义，有cosA = b/c和cosB = a/c。
根据余弦公式，cosC = cos(A + B) = cos(AcosB - BsinA) = cosAcosB + sinAsinB = (b/c)(a/c) + (a/c)(b/c) = 2ab/c²。
3.两角和的正切公式：设角A和角B的正切分别为tanA和tanB，则它们的和角C的正切为tanC。
根据三角函数的定义，有tanA = a/b和tanB = b/a。
根据正切公式，tanC = tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB) = (a/b + b/a) / (1 - (a/b)(b/a)) = (a² + b²) / (ab - ab) = a² + b² / ab。
4.两角差的正弦公式：设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，则它们的差角C的正弦为sinC。
根据三角函数的定义，有sinA = a/c和sinB = b/c。
根据差角公式，sinC = sin(A - B) = sin(AcosB + BsinA) = sinAcosB - cosAsinB = a/c(b/c) - (b/c)(a/c) = 2a b/c²。
5.两角差的余弦公式：设角A和角B的余弦分别为cosA和cosB，则它们的差角C的余弦为cosC。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
cos
12
(α－β)＝ ，
13
sin
3
(α＋β)＝－ ，则
5
π
3π
3π
π
(2)∵ ＜β ＜ ，∴－ ＜－β ＜－ .
2
4
4
2
π
3π
π
π
又∵ ＜α＜ ，∴－ ＜α－β ＜ .
2
4
4
4
π
∵α＞β，∴α－β＞0，∴0＜α－β ＜ .
4
∵ cos
12
(α－β)＝ ，∴
13
sin (α－β)＝ 1 −
144
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[学习要求] 1.会推导两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推
导出两角差的正弦、正切公式.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1. cos (α－β)＝ cos α cos β＋ sin α sin β .
5
＝ .
169
13
cos 2α的
π
3π
π
3π
3π
∵ ＜α＜ ， ＜β＜ ，∴π＜α＋β＜ .
2
4
2
4
2
∵ sin
3
(α＋β)＝－ ，∴
5
cos (α＋β)＝－ 1 −
9
4
＝－ ，
25
5
∴ cos 2α＝ cos [(α－β)＋(α＋β)]＝ cos (α－β) cos (α＋β)－
sin (α－β) sin
两角和与差正弦公式与余弦公式
两角和与差正弦公式与余弦公式一、两角和与差正弦公式1.两角和正弦公式在三角函数中，两个角的和的正弦可以用这两个角的正弦和余弦来表示。
公式如下：sin(A+B) = sinA * cosB + cosA * sinB这个公式的意义在于，将一个角的正弦和余弦拆分为两个角的正弦和余弦的乘积之和。
这样可以简化计算过程。
2.两角差正弦公式同样地，两个角的差的正弦也可以用这两个角的正弦和余弦来表示。
公式如下：sin(A-B) = sinA * cosB - cosA * sinB这个公式也可以根据两个角的正弦和余弦的乘积之差来求解。
应用：两角和与差正弦公式在解决三角函数相关问题时非常有用。
比如，当我们需要求解一个角的正弦或余弦时，可以通过拆分成两个角的正弦或余弦的乘积来求解。
这样可以简化计算步骤，提高计算的准确性。
同时，在一些特殊角度的情况下，利用两角和与差正弦公式可以得到一些特定的数值关系，方便我们进行推导和证明。
二、两角和与差余弦公式1.两角和余弦公式和两角和与差正弦公式类似，两个角的和的余弦也可以用这两个角的余弦和正弦来表示。
公式如下：cos(A+B) = cosA * cosB - sinA * sinB这个公式的意义在于，将一个角的余弦和正弦拆分为两个角的余弦和正弦的乘积之差。
2.两角差余弦公式同样地，两个角的差的余弦也可以用这两个角的余弦和正弦来表示。
公式如下：cos(A-B) = cosA * cosB + sinA * sinB这个公式通过两个角的余弦和正弦的乘积之和来求解两个角的差的余弦。
应用：总结：两角和与差正弦公式与余弦公式在解决三角函数相关问题时非常有用。
它们可以帮助我们简化计算过程，得到更为准确的结果。
通过拆分一个角的正弦或余弦为两个角的正弦或余弦的乘积之和（差），可以减少计算步骤，提高计算的准确性。
同时，利用这些公式，我们还可以推导出一些特定的数值关系，帮助我们解决更为复杂的问题。
两角差余弦公式
两角差余弦公式
两角差余弦公式又称余弦定理，是几何中最重要的理论之一。
它可以用来求解任意三角形边与角之间关系的算术问题。
该公式算是以古希腊数学家欧几里得命名的，他是公元前三世纪的著名数学家。
两角差余弦公式的形式如下：
cos (α -) = cosα * cosβ + sinα * sinβ
其中α与β分别是三角形内的两个角，cosα和cosβ分别是角α和角β的余弦值，sinα和sinβ分别是角α和角β的正弦值。
两角差余弦公式的应用超乎想象。
首先，此公式可帮助我们解决三角形内两角的读数，只要把已知的角度和边长代入上述公式，就可求得剩余的角度。
此外，两角差余弦公式还可求解三角形内夹角大小。
一方面，只要把公式中角度和边长的值代入即可获得夹角；另一方面，通过反余弦函数可以把夹角转化为弧度，得到夹角的读数。
其次，两角差余弦公式也可求解三角形周长，只要把三角形边长和角度全部给出，就可根据两角差余弦公式求出三角形周长。
此外，两角差余弦公式还同样可求解三角形面积。
比如，若已知三角形三边长和其中一角度，则可把这些值代入两角差余弦公式，再进一步求解出三角形面积。
另外，两角差余弦公式也可以求解更多的几何问题，比如外切正多边形的面积、轴对称图形的结构等等，运用此公式可求得许多
几何概念的精确表达和求解方法。
从上可以看出，两角差余弦公式不仅仅是三角形的算术问题，也是几何概念的基础。
它不仅可以求解三角形边与角之间的关系，也可以求解更多几何问题，两角差余弦公式因此成为几何领域中不可或缺的重要理论。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式1.两角和的正弦公式：对于两个任意角A和B，其正弦的和可表示为它们正弦的乘积加上它们余弦的乘积，即：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB证明：将A和B分别表示为单位圆上的点P和Q，以O为原点，OP的方向为正x轴方向。
设P的坐标为(x1,y1)，则Q的坐标为(x2,y2)。
由单位圆上的性质可得：x1 = cosA, y1 = sinAx2 = cosB, y2 = sinB现在考虑A+B的点的坐标。
根据点的加法定义，有：x3=x1*x2-y1*y2,y3=x1*y2+x2*y1将x1,y1,x2,y2代入，化简可得：x3 = cosA * cosB - sinA * sinBy3 = cosA * sinB + sinA * cosB因此，点(A + B)的坐标为(x3, y3)，即sin(A + B) = y3 = cosA * sinB + sinA * cosB。
2.两角差的正弦公式：对于任意两个角A和B，其正弦差可表示为它们正弦的乘积减去它们余弦的乘积，即：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB证明：同样根据点的减法定义，有：x3=x1*x2+y1*y2,y3=-x1*y2+x2*y1将x1,y1,x2,y2代入，化简可得：x3 = cosA * cosB + sinA * sinBy3 = -cosA * sinB + sinA * cosB因此，点(A - B)的坐标为(x3, y3)，即sin(A - B) = y3 = cosA * sinB - sinA * cosB。
3.两角和的余弦公式：对于两个任意角A和B，其余弦的和可表示为它们余弦的乘积减去它们正弦的乘积，即：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB证明：同样根据点的加法定义，有：x3=x1*x2-y1*y2,y3=x1*y2+x2*y1将x1,y1,x2,y2代入，化简可得：x3 = cosA * cosB - sinA * sinBy3 = -cosA * sinB - sinA * cosB因此，点(A + B)的坐标为(x3, y3)，即cos(A + B) = x3 = cosA * cosB - sinA * sinB。
两角和与差的正弦余弦公式
两角和与差的正弦余弦公式两角和公式：设角A和角B是两个任意角，我们要求它们的正弦和余弦。
首先，根据三角函数的定义，角A的正弦和余弦分别为sinA和cosA，角B的正弦和余弦分别为sinB和cosB。
现在我们来求两个角的和，设C=A+B，则C的正弦和余弦分别为sinC和cosC。
根据三角函数的和差化积公式，我们有：sinC = sin(A+B) = sinA * cosB + cosA * sinBcosC = cos(A+B) = cosA * cosB - sinA * sinB这就是两角和的正弦和余弦公式。
两角差公式：设角A和角B是两个任意角，我们要求它们的正弦和余弦。
首先，根据三角函数的定义，角A的正弦和余弦分别为sinA和cosA，角B的正弦和余弦分别为sinB和cosB。
现在我们来求两个角的差，设C=A-B，则C的正弦和余弦分别为sinC和cosC。
同样根据三角函数的和差化积公式，我们有：sinC = sin(A-B) = sinA * cosB - cosA * sinBcosC = cos(A-B) = cosA * cosB + sinA * sinB这就是两角差的正弦和余弦公式。
总结：sin(A+B) = sinA * cosB + cosA * sinBcos(A+B) = cosA * cosB - sinA * sinBsin(A-B) = sinA * cosB - cosA * sinBcos(A-B) = cosA * cosB + sinA * sinB这些公式在解决各种三角函数问题时十分有用。
通过这些公式，我们可以将一个复杂的三角函数问题转化为简单的代数运算问题来求解。
例如，我们可以利用两角和公式来证明sin60°* cos30° +cos60°* sin30° = sin90°，通过代入sin60°=1/2、cos30°=√3/2、cos60°=1/2、sin30°=1/2和sin90°=1，可以发现等式成立，这说明两角和公式在这个例子中是正确的。
两角和与差的公式定理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β))sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β))sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T (α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)＝tan α－tan βtan(α－β)－1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtanβ)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ ) (5)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α＝3.( √ )1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102，∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52. 化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.答案 －105解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ为第二象限角，解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105. 4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( )A.33 B ．－33C.539D ．－69答案 (1)A (2)C解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A.(2)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)．∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4， ∴sin(π4＋α)＝223.又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2， 则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539.故选C.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( ) A.35 B.45 C ．－35D ．－45(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10° ＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin(30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝32.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( ) A.2B.22C.12D.32(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan(π4－x )sin 2(π4＋x )＝________.(3)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝________.答案 (1)B (2)12cos 2x (3)3解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.故选B.(2)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin(π4－x )cos(π4－x )·cos 2(π4－x )＝(2cos 2x －1)24sin(π4－x )cos(π4－x )＝cos 22x2sin(π2－2x )＝cos 22x2cos 2x ＝12cos 2x . (3)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α2)2＋2cos α＝________.(2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C2＋3tan A 2tan C2的值为________．答案 (1)cos α (2)3解析 (1)原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)4cos 2α2.因为α∈(0，π)，所以cos α2>0， 所以原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)2cosα2＝(cos α2＋sin α2)·(cos α2－sinα2)＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.(2)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tanA ＋C2＝3，所以tan A 2＋tan C2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C2＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C2＝ 3.题型三 三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝________，cos β＝________.(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.16B.13C.12D.23 答案 (1)－101095010 (2)A解析 (1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. (2)因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．(1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )A.2525B.255C.2525或255D.55或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453，3(12cos α＋32sin α)＝453，3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.高考中的三角函数求值、化简问题典例：(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin(θ＋π4)＝________.(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( )A ．－53B ．－59 C.59 D.53(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形．(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系．(3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系． (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化． 解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2.∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.(3)方法一 ∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0，∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )，∴4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )，∴2α为第三象限角， ∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 方法二 由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53.(4)原式＝sin(30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 (1)3＋22 (2)B (3)A (4)C温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．方法与技巧 1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.16 答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，,.所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan(α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan(α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34 答案 D解析 由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2， 又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( )A ．43B.654 C ．4 D.233答案 B解析 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α，,.∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得2＋8tan 2α2tan α＝654.4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( ) A.2 B.2＋32C.3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin(50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝3.5．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1答案 C解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x )＝3cos(x －π6)＝－1.6．sin 250°1＋sin 10°＝________.答案 12解析sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1解析根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8.3tan 12°－3(4cos212°－2)sin 12°＝________. 答案－4 3解析原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos212°－1)sin 12°＝23⎝⎛⎭⎪⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin(－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.9．已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．解因为1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α|＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|＝2sin α|cos α|，所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α.所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)等于( )A ．－255 B ．－3510 C ．－31010 D.255答案 A解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.12．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33 C. 2 D.3答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝3.13．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝________.答案7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4)＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210.14．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.(1)解 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0. 15．已知f (x )＝(1＋1tan x)sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)． (1)若tan α＝2，求f (α)的值； (2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．解(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4· cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4.所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2＋12.。
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两角差的余弦公式教学目标1．掌握两角差的余弦公式．(重点)2．会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(难点)3．两角差的余弦和两角余弦的差．(易混点)[基础·初探]教材整理两角差的余弦公式阅读教材P124～P126例1以上内容，完成下列问题．cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β．(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．()(4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.()解：(1)×.cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°.(2)×.当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)√.结论为两角差的余弦公式．(4)√.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0.答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√[小组合作型]利用两角差的余弦公式化简求值(1)cos 345°的值等于( )A ．2－64B ．6－24C ．2＋64D ．－2＋64(2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A ．12B ．32C ． 3D ． 2(3)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.(1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．(2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．(3)对较复杂的式子化简时应注意两角差余弦公式的逆用． 解：(1)cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝6＋24.(2)原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2cos 30°·cos 20°＋2sin 30°·sin 20°－sin 20°sin 70° ＝3cos 20°sin 70°＝3sin 70°sin 70°＝ 3.(3)①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝22，所以原式＝22；②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.答案：(1)C (2)C (3)①22 ②321．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的积相加．[再练一题]1．求下列各式的值：(1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)．解：(1)cos 13π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π12＝－cos π12 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－π6 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80°＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)＝cos[(α－20°)－(α＋40°)]＝cos(－60°)＝12.已知三角函数值求角已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5143，求β.本题是已知三角函数值求角的问题．解答此类问题一般先确定所求角的某一个三角函数的值，然后由角的范围来确定该角的大小．解：∵α为锐角，且cos α＝17， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)． 又sin(α＋β)＝5143<sin α，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β） ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫51432＝－1114. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又β为锐角，∴β＝π3.1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．[再练一题]2．已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．解：∵α、β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22.又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.[探究共研型]利用角的变换求三角函数值探究1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？【提示】 cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β.探究2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？【提示】 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)．探究3 若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？【提示】 cos(α－β)＝2－a 2－b 22. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为( ) A ．33B ．－33C ．539D ．－69把α＋β2看成α与β2之和，从已知条件中求出α与β2的正、余弦的值，然后运用和角的余弦公式，思路很流畅但运算量繁杂且大．求解此类问题的关键是：先从题设的条件与结论中寻找角的变形的目标，再利用同角三角函数的基本关系式求出正弦值、余弦值，最后利用和(差)角的余弦公式解题．解：∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2，又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.故选C ．答案：C巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角．主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察．常见的“变角”有：①单角变为和差角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和差角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等等．[再练一题]3．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值． 解：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝1－49＝53.∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.[构建·体系]1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( )A ．cos 100°B ．sin 100°C ．32 D ．12解：原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32.答案：C2．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝( )A ．22 B ．12C ．32D ．－12 解：a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°·sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.答案：A3．已知锐角α、β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( ) A.3365 B.－3365 C.5475 D.－5475解：因为α、β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45 ＝3365.故选A ．答案：A4．sin 75°＝________.解：sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋245．α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π. 又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2， 所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， 所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.学业分层测评[学业达标]一、选择题1．(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A ．12 B ．13 C ．32D ．33解：原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12. 答案：A2．已知sin α＝13，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( ) A ．－3－222B ．3－226C ．3＋226D ．－3＋226解：因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－223，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝⎝⎛⎭⎪⎫－223×12＋13×32＝－22＋36. 答案：B3．(2016·梅州高一检测)若12sin x ＋32cos x ＝cos(x ＋φ)，则φ的一个可能值是( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解：对比公式特征知，cos φ＝32，sin φ＝－12，故只有－π6合适． 答案：A4．sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A ．－25 B ．－210 C ．－7210D ．－725解：因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2 α＝－1－925＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α，＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×35＝－210.答案：B5．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1解：因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝1或者⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝－1，解得⎩⎨⎧cos α＝0，cos β＝0，于是cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.答案：B二、填空题6．(2016·济南高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________．解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α＝18，所以cos α＋3sin α＝14. 答案：147．在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－1213，则cos(A －B )＝________. 解：因为cos B ＝－1213，且0<B <π， 所以π2<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝513，且0<A <π2， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 所以cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ， ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665.答案：－1665 三、解答题8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－12.证明：由sin α＋sin β＋sin γ＝0， cos α＋cos β＋cos γ＝0得 (sin α＋ sin β)2＝(－sin γ)2，① (cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.②①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1， 即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.9．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．解：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，tan α＝4 3，∴sin α＝4 3cos α，① sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝4 37，cos α＝17. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝5 314. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5 314×4 37＝12. ∴cos β＝12.[能力提升]1．若α，β为两个锐角，则( ) A ．cos(α＋β)>cos α＋cos β B ．cos(α＋β)<cos α＋cos β C ．cos(α－β)<cos αcos β D ．cos(α－β)<sin αsin β解：cos ⎣⎡⎦⎤α－（－β）－(cos α＋cos β)＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β ＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β， 因为α，β是锐角，所以cos β－1<0，cos α(cos β－1)<0， －sin αsin β<0，－cos β<0， 故cos [α－(－β)]－(cos α＋cos β)<0， 即cos(α＋β)<cos α＋cos β.因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， α，β均为锐角，所以cos αcos β>0，sin αsin β>0，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β>cos αcos β，同理cos(α－β)>sin αsin β，故C 、D 错误．答案：B2．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．解：∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45， ∴sin(α－β)＝35.∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45.∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×⎝⎛⎭⎪⎫－45＋⎝⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1.∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，2β＝π，∴β＝π2.。