第02讲 特殊直角三角形及勾股定理综合_教师版

第二讲 特殊直角三角形及勾股定理综合
板块一：特殊直角三角形 点点精讲
例1. 答案：（1）①23b =4c =；②1a =，2c =；
（2）①343 （333；②1
2
3． 本题考查特殊直角三角形．
例2. 答案：（1）8cm ；4cm ；
（2）连接AD ，则AD CD = ∵AB AC =，120BAC ∠=︒ ∴30B C DAC ∠=∠=∠=︒
∴90BAD ∠=︒，22BD AD CD ==
提示：（1）AE BE =，1
2
AC AE =．
本题考查特殊直角三角形．
例3. 答案：53
延长OE 、FM 交于H 则4MH =，15HF =
3
53OF ==
本题考查特殊直角三角形．
例4. 答案：延长BC 至F ，使得CF DE =
则△BDE ≌△AFC ∴B CAF ∠=∠
∴90BAF ∠=︒
∵1
2BD =，1DE BC +=
∴1
2
AF =，1BF =即2BF AF =
∴30ABC ∠=︒
本题考查特殊直角三角形．
C
A
D
B
E
X E
O
F
M
Y
H
B D
C
A E
F
例5. 答案：23
提示：由题意可得，2AB BF =，故30BAF AGE ∠=︒∠．
设正方形的边长为1，则3AF =3
1AE =，223AG AE ==
本题考查特殊直角三角形． 例6. 答案：（1）42（26
；（3623 本题考查特殊直角三角形．
例7. 答案：（1）264cm ；（2）13+；（32，2，
1
2
n -．
本题考查特殊直角三角形．
例8. 答案：（1）6．
延长AD 、BC 交于点E
则△CDE 、△ABE 为等腰直角三角形 ∴4AB BE ==，2DE CD ==
6ABCD ABE CDE S S S ∆∆=-=
（262
- 过C 作CE ⊥BA ，
则△ACE 为等腰直角三角形，
AE CE =，2AC CE =，3BE CE CE -
本题考查特殊直角三角形． 点点精练
1. 答案：2BC BD =，2AB BC =，∴4AB BD =，即1
4
BD AB =． 2. 答案：6． 3. 答案：62cm ． 4. 答案：15A ∠=︒
过A 作BC 的高AE ，30EAB ∠=︒ ∴3AE BE ，2AB BE = ∵31AB BC
= ∴)
31BC BE =
∴3CE BC BE BE =+ ∴AE CE =，45C ∠=︒ ∴BAC ∠=5. 答案：（1）2n
⎝⎭
；
A
B
C
D
E
A
B
C
E
A B
E
（2）设n 表示包括△ABC 在内共有n 个所作等腰直角三角形，则1
12n
S =-．
板块二：勾股定理综合 点点精讲
例9. 答案：（1）5；（2）5；（35；（4）52
本题考查平面直角坐标系中的两点间距离公式． 例10. 答案：（1）
2523；（22 提示：（1）由两点间距离公式可得()()22
23245a a a a -+-=+．
（2）由两点间距离公式可得()()2
2
326415a b a b ++-=-+，化简得222a b +=． 本题考查平面直角坐标系中的两点间距离公式．
例11. 答案：（113105（2）513+
提示：（2）要使△ABC 的周长最小，设点B 关于x 轴的对称点为()4,1D -，点A 应位 于DC 连线与x 轴的交点．
本题考查平面直角坐标系中的两点间距离公式． 例12. 答案：84．
提示：作AD BC ⊥于点D ，设AD x =，由勾股定理可得2222AB BD AC CD -=-，
即()2
222131514x x -=--，解得5x =，故12AD =，11214842
ABC S ∆=⨯⨯=．
本题考查勾股定理的综合应用．
例13. 答案：（1）4；（2）400．
提示：（2）2222AP BP PC AP BP AB +⋅=+=
()()222i i i i
i i i m AP BP PC AP PP BP PP BP PP =+⋅=++-+ 2224AP BP AB =+== ∴12100400m m m ++⋅⋅⋅+= 本题考查勾股定理的综合应用．
例14. 答案：延长ED 至G ，使得ED DG =，连接FG 、CG ．
可证△BDE ≌△CDG （SAS ），故EB GC =，
B DCG ∠=∠．由条件可得，FD 垂直平分EG ，
故EF GF =．
由222BE CF EF +=，可得222CG CF FG +=， 故90GCF ∠=︒，则90BAC ∠=︒． 本题考查勾股定理逆定理的综合应用．
A B
C
i P
P A
B
C
D
E F
G
例15. 答案：计算可得5DE 25CE =5DC =，由勾股定理逆定理可得DE CE ⊥．
（注：也可采用如下方法，延长DE 交CB 的延长线于点G ． 可证△ADE ≌△BGE ，故1BG AD ==，DE GE =． 由条件可得，5CG CD ==，由等腰三角形三线合一可知， DE CE ⊥．）
本题考查勾股定理逆定理的综合应用．
例16. 答案：（1）直角三角形；（2）150°．
提示：（1）△BDA ≌△BEC ∴4CE AD ==，3DE = ∴222DE CE CD +=
由勾股定理逆定理可得△DEC 是直角三角形． （2）6090ADB CEB BED CED ∠=∠=∠+∠=︒+︒． 点点精练
1. 证明：（1）△ACE ≌△BCD （SAS ）；
（2）∵45EAC CAB B ∠=∠=∠=︒ ∴90EAD ∠=︒ ∴222AE AD DE += ∵AE BD = ∴222AD BD DE +=
2. 答案：（1）90︒；（2）25
3. 答案：（1）直角梯形，矩形，正方形等；
（2）如右图所示()3,4M 或()4,3M '； （3）△EBC 为等边三角形 ∴603090DCE ∠=︒+︒=︒ ∴222DC CE DE += ∵DE AC =，CE BC = ∴222DC BC AC +=
C
D A
B
E
A
B x
y
图（1）
O
M
M '
A
D
E B
C
G
横扫学霸
1. 答案：30CDB ∠=︒
以AD 为边作等边三角形ADE ，连接BE ， 可证△ACD ≌△ABE ∴CDA BEA ∠=∠，BE CD = ∵222CD BD AD += ∴2
2
2
BE BD DE += 即△EBD 为直角三角形
∴906030CDB ADB BEA ∠=∠+∠=︒-︒=︒．
2. 答案：（113（2）
()1
2
bc ad -． 提示：（1）()
2
22241421U a b a a =+++-+，可以看成是x 轴上一个点
(),0Q a 到()0,2和()2,1的距离之和最小．
（2）如图，△ACE 为直角三角形，
90C ∠=︒，两条直角边长分别为AC d =，CE b =．
BCDF 是矩形，BF CD a ==，BC DF d c ==-． 则22AF a c =+22AE b d =+()
()2
2
EF b a d c -+-
则△ACE 即为所求．
()()()()1111
2222
S bd ac d c b a a d c bc ad =------=-．
A
B
D
C
E
A B
C D
E
F
a b
c d
进门考答案
一、选择题 1． C
2．B
3．C
4．B
二、解答题 5．8
6．是．计算可得5AC =，25AB =5BC =由勾股定理逆定理可得90BAC ∠=︒．
7．答案：23
AB =
延长BA 、CD 相交于点E
则30E ∠=︒
28CE BC ==，343BE BC ==∴5DE =，10
33AE ∴2
33
AB BE AE =-
基础作业答案
1．B 2．C
3．D
4．C
5．D
6．D
进阶作业答案
1. 答案：设(),A x x -，(),B x x ，由条件可得()()()()2
2
2
2
3452x x x x -+--=++-
解得1x =-，故2AB =．
2. 答案：218cm ．
△ACF 为等腰直角三角形，1
6cm 2
AC AB ==
3. 答案：（1）FDA DAE FAD ∠=∠=∠
（2）5cm
提示：（2）过D 作DH ⊥AB ，
则1
2
DE DH DF ==．
E
A
B
D
C
F
H
A C
B
D
E。