二项式定理的十大应用
高二数学二项式定理的应用(2019年10月整理)
二项式定理
二项式系数（
C
r n
，r=0,1,2……n）
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cnra nrbr Cnnbn (n N ) 二项展开式 二项展开式的通项
Tr1 Cnr a nrbr
二项展开式中 （1）各项的二项式系数之和
Cn0 Cn1 Cnr Cnn 2n （2）奇数项的二项式系数之和 等于偶数项的二项式系数之和：
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
例 1、例求1(、1-2求x)(71展-2x开)7式展中开第式4中项第的4二项项的式二系项数式、系系数数、。 分析：分先析求：出先求T4出 T4
解：T解4=：TT3+41==TC373+11=4 (C7231x4)(32x)83 C73x83 C73 x3
∴二项∴式二系项数式为系C数73 为=35C
3 7
=35
系数为系数8为 C73 8=-2C8730=-280
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例 2、（1）求(2x+1)8 展开式中含 x3 的项。
（2）求 (x 1 )9 的展开式中含 x3 的项 x
（3）求 ( x 2 x 2)4 展开式中含 x4 的项
（1）∴所求的项为 C83 (2x)315 448x3 。
（2）分析与解：Tr+1=
C9r
x
9r
(
1 x
)
r
，
令 9-2r=3，从而得 r=3，
即T4=Biblioteka C93x6 (1 )3 x
84 x 3
。
（3）分析与解： ( x2 x 2)4 (x 2)4 (x 1)4 其中 ( x 2)4 展开式的通项为 Tr1 C4r x 4r 2r ( x 1)4 展开式的通项为 Tk1 C4k x 4k (1)r 要使积为 x4 项，则 4-r+4-k=4 ∴k+r=4 ∴x4 项为 C40 x 4 (1)0 C44 x0 24 C41 x3 (1)1 C43 x23 C42 x 2 (1)2 C42 x 2
高中数学：二项式定理的应用
二项式定理处于排列组合和概率的交汇处。
一、比较大小
例1已知，在时，比较与的大小。
解：因为，所以令，于是
，故。
点评：使用换元策略转化问题，利用二项式定理将结论放缩到上来。
二、近似计算
例2求的近似值（精确到）。
解：因为
，所以。
点评：凡二项式定理进行近似计算可根据精确度适当选用如下公式：，。
三、整除问题
例3已知数列和的通项公式分别为
，将两个数列的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列，求的通项公式。
解：由于数列由数列和的公共项组成，那么必有，即，整理得
，则必能被4整除。
由二项式定理知：
，于是当且仅当为奇数即时，才是整数，故。
点评： B被A整除可视，利用二项式定理将表达式为，若C可被A整数，则B可被A 整除，可见提取公因式A乃关键所在。
四、余数问题
例4今天是星期天，从今天起天后的第一天是星期几？
解：因为
，而
可被4整除，所以被7除的余数为4，从今天起天后的第一天是星期五。
点评：先考虑除以7的余数是多少，利用7天为一个周期的规律可推出结果，联想便会找到解题思路。
五、求值
例5用表示实数的小数部分，若，求的值。
解：设，则由二项式定理知：
，于是
必为正整数，故，所以。
点评：挖掘倒数关系，并构造
是顺利解题的关键。
六、证明不等式
例6 已知是正整数，且。
证明：。
证明：由二项式定理得：
，又，所以，故。
二项式定理的十大应用
二项式定理的十方面应用一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数1.(2012年高考安徽卷理科7)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 3【答案】D【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x 得：1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=.2.(2012年高考天津卷理科5)在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为（ ） （A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点．3．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是解：r r r r x T C )1(11111-=-+ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r 11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(5511-=-C 二、利用二项式定理求展开式的系数和1、若2013201322102013...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则_______)()()()(20130302010=++++++++a a a a a a a a 。
(用数字作答)解析：在2013201322102013...)21(x a x a x a a x ++++=-中，令0=x ，则10=a ，令1=x ，则1)1(201320043210=-=+++++a a a a a 故)()()()(20130302010a a a a a a a a ++++++++=20130a +201320133210=+++++a a a a a 。
点评：赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代数式赋予允许值，以达到解题目的．三、利用二项式定理求幂指数n1.(2012年高考全国卷理科15)若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 .点评：利用二项式定理求幂指数n ，主要是体现了方程思想在二项展开式中的应用，我们只要根据题目条件建立关于n 的方程，即可获解．四．求展开式1．求4)13(x x -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(x x -改写成4)]1(3[x x -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。
二项式定理的应用与实例解析
二项式定理的应用与实例解析二项式定理是代数学中的重要概念之一，它在数学推理和实际问题求解中具有广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的概念及其应用，并通过具体的实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该定理。
一、二项式定理的概念二项式定理是指对于任意非负整数n和实数a、b，有以下的公式：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二、二项式定理的应用1. 概率计算二项式定理在概率计算中起到了重要作用。
例如，设有一枚正反面均匀的硬币，进行n次独立的抛掷，求正面出现k次的概率。
根据二项式定理，可以得到概率公式：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，p表示正面出现的概率。
2. 组合数学二项式定理在组合数学中应用广泛，可以用于求解组合数、排列数等问题。
例如，求集合中元素的子集个数，可以通过二项式定理计算：对于一个集合，它的子集个数为2^n个，其中n表示集合中元素的个数。
3. 计算多项式展开式系数二项式定理可以用于计算多项式展开式中各项的系数。
例如，对于多项式(a + b)^n，可以通过二项式定理的应用，直接得到展开式中各项的系数。
这对于计算多项式的展开式提供了效率和便利。
三、应用实例解析1. 概率计算实例假设有一枚硬币，进行10次独立抛掷，求正面出现2次的概率。
根据二项式定理的应用，可以得到：P(X = 2) = C(10, 2) * 0.5^2 * 0.5^8 = 45 * 0.25 * 0.00390625 = 0.04395因此，正面出现2次的概率约为0.044。
二项式定理的一些应用
对 难 度较大 的 排 列 组 合应用 题 序语 言的格 式进 行分析
题的 解 决 例
(
1
. .
若模 拟计 算机 程
,
大证 “
。
十 2C
n
·
2。
十3 C
3
+ … +
”
C.
二
,
可 使 思 维 条 理化
有利 于 问
￡
=
2
介 一 l
这 里 直按处 理 公 式 南 不 用 通 常方 法
(l+
劣
。
2 张扑克牌 〔无大 王 小 王 ) 中 任 取 从5
· · ·
,
点一
·
点
,
的全部 根
之二 `
由咋迭 定理得
x
二 必几
夕=
b a
十
c b
+
a c
,
点一
5
·
6
点
,
…
,
9
点一
l
比 点)
· ·
·
· “
一
。
+ `+
从这
份 中 每 份 任取
·
张
… … ( C 护) s
二 例
解
=
:
.
、
求位
3
故 共有
二=
1 g
(C
4i
、 5~
34 164
种不 同取 法
求
粼 访甲 T 7
s
i
n ,;
。
0= C
s eo s
o l
eo s
s
,1 绍s至 夕一 C
二项式定理和其应用
• (3)各二项式系数旳和
• (a＋b)n旳展开式旳各个二项式系数旳和等于2n， 即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnr＋…＋Cnn＝2n.
• (4)二项展开式中，偶数项中旳二项式系数旳和 等于奇数项旳二项式系数旳和，即Cn1＋Cn3＋ Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n－1.
考点陪练
1.1＋x25 的展开式中 x2 的系数为(
• 答案：B
• 3．若对于任意旳实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋ a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2旳值为( )
• A．3
B．6
• C．9
D．12
• 解析：因为x3＝[2＋(x－2)]3，由题意得a2就是 二项式[2＋(x－2)]3(把x－2看成一种整体应用二 项式定理展开)旳展开式中第3项旳系数，所以
• ∴被100除旳余数为81，即9192除以100旳余数 为81.
• 解法二：∵9192＝(90＋1)92
• ＝C 92 0·909 2＋C 92 1·9091 ＋…＋C92 90 ·902＋ C9291·90＋1
• 因为前面各项均能被100整除，只有末尾两项不 能被100整除，因为C9291·90＋1＝8281＝8200 ＋81
【典例 2】 已知( 3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x
－1)n 的展开式的二项式系数和大 992，求2x－1x2n 的展开式中． (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
• [解析] 根据二项式系数旳性质，列方程求解n. 系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．
• 由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31) ＝0，
)
A．10
B．5
5 C.2
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用1. 引言二项式定理是数学中的一个重要定理，它描述了如何展开二项式的幂。
该定理在代数、组合数学、数论以及其他数学领域有着广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的数学表达式、证明过程以及一些常见的应用。
2. 二项式定理的表达式二项式定理可以用以下的数学表达式来描述：$$(a + b)^n = C(n,0) \\cdot a^n \\cdot b^0 + C(n,1) \\cdot a^{n-1} \\cdot b^1+ ... + C(n,k) \\cdot a^{n-k} \\cdot b^k + ... + C(n,n) \\cdot a^0 \\cdot b^n$$ 其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的不同组合数量。
3. 二项式定理的证明为了证明二项式定理，我们可以使用数学归纳法。
首先，考虑当n=1时的情况：(a+b)1=a+b显然，上述等式成立。
假设当n=m时，二项式定理成立，即：$$(a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdot a^{m-1} \\cdotb^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdot a^0 \\cdot b^m$$ 我们需要证明当n=m+1时，二项式定理也成立。
首先，考虑展开(a+b)m+1：$$(a + b)^{m+1} = (a + b) \\cdot (a + b)^m$$根据归纳假设，我们可以将(a+b)m展开为：$$(a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdot a^{m-1} \\cdotb^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdot a^0 \\cdot b^m$$ 将上述展开式代入$(a + b) \\cdot (a + b)^m$中，我们可以得到：$$(a + b) \\cdot (a + b)^m = (C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdota^{m-1} \\cdot b^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdota^0 \\cdot b^m) \\cdot (a + b)$$将上式展开并合并同类项，我们可以得到：$$(a + b) \\cdot (a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^{m+1} \\cdot b^0 + (C(m,1)\\cdot a^m \\cdot b^1 + C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^1) + ... + (C(m,k) \\cdota^{m-k+1} \\cdot b^k + C(m,k-1) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^{k+1}) + ... + a^0 \\cdot C(m,m) \\cdot b^{m+1}$$我们可以通过重新排列项来证明上式等于展开式(a+b)m+1的每一项。
二项式定理的应用
二项式定理的应用1.利用赋值法进行求有关系数和。
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。
利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。
设(1)令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5)2.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。
①；②；（）如：求证：1. 若，则_________．（用数字作答）【解析】令，则，，即．2.求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。
【思路点拨】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．当n=0时，原式=0，可被676整除．当n=1时，原式=0，也可被676整除．当n≥2时，原式．每一项都含262这个因数，故可被262=676整除综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．【总结升华】证明的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．3.求证：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．【思路点拨】利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．【解析】因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．，所以3n＞(n+2)·2n－1．概率要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．要点诠释：（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。
二项式定理在初等数学中的应用
二项式定理在初等数学中的应用二项式定理是在计算及数学研究中经常使用的定理。
二项式定理通常用于计算排列组合，在初等数学中有很多应用，主要有以下几个：
1. 二项分布：可以用二项定理来描述数据点的分布情况，通过研究其概率分布，来得出结论。
2. 圆面积：二项定理可用来计算圆的面积，可用于求解几何问题。
3. 对数函数：使用二项定理，可以求出某一特定函数的对数函数，以便进行后续处理。
4. 三角函数：二项定理可以用来求解三角函数，使用了三角函数可以计算出三角形的面积。
5. 拓扑学：二项定理可以用来描述拓扑学中变化图形的结构，从而得出结论。
6. 概率论：使用二项定理，可以计算出某一特定概率事件发生的可能性，从而推断出最终的结论。
7. 几何学：二项定理的数学方法可以非常容易地解决几何图形中的各种复杂问题。
8. 统计学：使用二项定理可以更快捷地了解抽样数据，从而使用统计学技术进行更准确的推断。
9. 调和级数：二项定理可以精确计算出调和级数的值，从而解决若干数学问题。
10. 各种游戏：二项定理可以用来研究各种游戏的概率，如橙子游戏、赌博等。
二项式定理的应用二项式定理在数学证明中的应用
二项式定理的应用二项式定理在数学证明中的应用二项式定理是数学中非常重要的一个定理，它在数学证明中有着广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的概念以及它在数学证明中的应用。
二项式定理是指形如(x + y)^n的二项式展开式。
这个展开式可以写为：(x + y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n,n-1)* x^1 * y^(n-1) + C(n,n) * x^0 * y^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。
对于组合数的计算，我们可以利用二项式系数的递推关系来进行求解。
在数学证明中，二项式定理有着广泛的应用。
首先，它可以用来证明数学中的恒等式。
例如，我们可以利用二项式定理证明等式(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2在证明过程中，我们可以直接利用二项式定理将(x + y)^2展开，并与等式右侧进行比较，从而得到等式的证明。
其次，二项式定理还可以用来证明数列的通项公式。
例如，我们可以利用二项式定理证明斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列是一个非常经典的数列，它的通项公式为F(n) = (1/sqrt(5)) * [((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n]其中，n表示斐波那契数列的序号。
通过利用二项式定理将((1 +sqrt(5))/2)^n和((1 - sqrt(5))/2)^n展开，我们可以推导出上述的通项公式。
此外，二项式定理还可以应用于排列组合问题的求解。
例如，在某个集合中，有n个元素，我们要从中选出k个元素进行排列，可以利用二项式定理求解共有多少种不同的排列方式。
综上所述，二项式定理在数学证明中的应用非常丰富。
它不仅可以用来证明恒等式和数列的通项公式，还可以用于排列组合问题的求解。
通过灵活运用二项式定理，我们可以更好地理解数学中的各种问题并进行证明。
二项式定理的基本概念和应用
二项式定理的基本概念和应用二项式定理，又称为“二项式展开定理”，是数学中的一个重要定理，它描述了一个二项式的幂的展开式。
本文将对二项式定理的基本概念和应用进行探讨，希望能够对读者理解和应用该定理起到一定的帮助。
1. 二项式定理的基本概念二项式定理是指将一个二项式的幂展开成一系列项的规律。
表达式的形式如下：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$其中，$(a + b)^n$表示一个二项式的幂，$C_n^k$表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的组合数。
2. 二项式定理的证明二项式定理的证明可以通过多种方法进行，其中较为常见的有以下两种方法：数学归纳法和组合数学方法。
这里简要介绍一下数学归纳法的证明思路。
首先，在n=1的情况下，二项式定理成立：$(a + b)^1 = a^1 + b^1$接下来，假设当n=m时，二项式定理也成立，即$(a + b)^m = \sum_{k=0}^{m}C_m^k \cdot a^{m-k} \cdot b^k$我们需要证明当n=m+1时，定理也成立。
通过展开$(a + b)^{m+1}$，我们可以得到:$(a + b)^{m+1} = (a + b)^m \cdot (a + b)$根据假设得到的等式，我们将其代入上述公式：$(a + b)^{m+1} = \left(\sum_{k=0}^{m}C_m^k \cdot a^{m-k} \cdotb^k\right) \cdot (a + b)$我们可以对上述公式进行分配律的展开：$(a + b)^{m+1} = \left(\sum_{k=0}^{m}C_m^k \cdot a^{m-k+1} \cdot b^k\right) + \left(\sum_{k=0}^{m}C_m^k \cdot a^{m-k} \cdotb^{k+1}\right)$我们可以对上述等式进行一些变换和合并得到：$(a + b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m}\left(C_m^k \cdot a^{m-k+1} \cdot b^k + C_m^k \cdot a^{m-k} \cdot b^{k+1}\right)$进一步化简，我们得到：$(a + b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m}\left((C_m^k + C_m^{k-1}) \cdota^{m-k+1} \cdot b^k\right)$我们可以观察到$(C_m^k + C_m^{k-1})$的表达式，它可以化简成组合数的形式：$C_{m+1}^k$，于是上述等式可以再次化简为：$(a + b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m+1}\left(C_{m+1}^k \cdot a^{m+1-k} \cdot b^k\right)$因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意的非负整数n，二项式定理都成立。
二项式定理的应用
和的性质
对于任意非负整数$n$，有 $sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$。
组合数与二项式系数关系
01
组合数$C_n^k$与二项式系数的关系为：在$(a+b)^n$的展 开式中，第$k+1$项的系数即为$C_n^k$。
计算事件的组合数
通过二项式定理的展开式，可以求出 不同事件发生次数的组合数，进而计 算相应事件的概率。
期望和方差计算中运用二项式定理
计算期望值
在概率统计中，期望值是一个重要的概念。利用二项式定理，可以方便地计算二项分布的期望值。
计算方差
方差用于描述数据的离散程度。通过二项式定理，可以推导出二项分布的方差计算公式。
迭代法求解中运用二项式定理
利用二项式定理加速迭代过程
在迭代法中，通过不断逼近解的方式来求解问题。利用二项 式定理，可以构造出具有更快收敛速度的迭代格式，从而提 高迭代法的求解效率。
迭代法的稳定性与二项式定理
迭代法的稳定性是指迭代过程中误差的传播情况。二项式定 理可以帮助分析迭代法的稳定性，并提供改进稳定性的方法 。
鸽巢原理与二项式定理关系探讨
鸽巢原理的表述
如果n个鸽子要放进m个鸽巢，且n > m，则至少有一个鸽 巢里至少有2只鸽子。这个原理可以通过二项式定理进行证 明。
利用二项式定理证明鸽巢原理
通过构造一个二项式(1+1)^n，并将其展开，可以得到一 个包含n+1项的表达式。由于每一项都对应一个鸽巢的状 态（有鸽子或无鸽子），因此当n > m时，至少有一个鸽 巢对应的状态被多次计算，即至少有一个鸽巢里至少有2只 鸽子。
二项式定理应用
二项式定理的应用一. 二项式定理的主要内容 1. 公式：通项：二项式展开式中第r+1项为 : （r=0,1, 2,n) 2. 两个特别容易混淆的概念：（1）二项式系数： ( i=0,1, 2,n)叫做二项式系数. （2）展开式中项的系数：展开式中某一项的系数。
3. 递推二项式定理的过程，即某一项的形成过程. 例如：b aC rr n r n -的形成过程：从n 个括号中取r 个括号中的b ，另外n-r 个括号中取a ，故得.二. 主要应用（除常规的展开外） 1. 递推过程的应用：例1.在(x+y+z)9中，求展开式中x 4y 3z 2的系数.解：由x 4y 3z 2的形成过程可知，在9个括号中取4个括号中的x ，剩下5个括号中取3个括号取y ，再剩下的两个括号中取z ，故得x 4y 3z 2系数为 =1260. 例2.在(1+x)(2+x)(3+x)∙∙ (19+x)(20+x)的展开式中,求x 18的系数.解：在20个括号中取出18个括号取x ，另外剩下两个括号取常数，由于各个常数不相等，故不能简单地用“组合数”计算，而应按实际数值计算。
即在1，2， 3，20中任取两个数求积（所取两数不能重复组合），再求出这些积的和. 如以“1”为准时，其积的和为：1⨯2+1⨯3+1⨯4+1⨯5++ 1⨯19+1⨯20=209； 以“2”为准时，其积的和为：2⨯3+2⨯4+2⨯5++ 2⨯19+2⨯20=414； ……以此类推，最后为19⨯20=380，故x 18的系数为这些和的和，即20615. 例3.求(1+2x)(1+22x)(1+23x)…(1+2n x)展开式中x 项的系数与x 2项的系数。
x 项的系数是221-+n 与x 2项的系数是2. 求特定的项或特定项的系数：例1.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5展开式中x 2项的系数.解：（方法一）可逐项分析：(x-1)中没有x 2项，-(x-1)2中x 2项的系数为C 02-，(x-1)3中x 2()b C b a C a C a C b a nn n n n n n n n n b ++++=--+ 222110()()()bCb a C a C a C b a nn nnn n n n n n n b 112222110)1(---+++-+=-- ()x C x C C x n n n n n n x ++++=+ 22111b a C T rr n r n r -+=1ba C a Cb C rrn rnrn rn r n rrn ----=212384++-+n n C C C 223549Cin项的系数为C 13-，-(x-1)4中x 2项的系数为C 24-，(x-1)5中x 2项的系数为C 35-，于是，展开式中x 2项的系数为：C02-C13-C24-C35-=-20.（方法二）原式可以看成是一个首项为(x-1)，公比为（1-x)的等比数列之和， 于是，原式=()()()x x x --⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111115=()()xx x -+-161∴展开式中x 2的系数即为(x-1)6的展开式中x 3的系数， ∴系数为()C1363-=-20.例2.求(1+x)6(1-x)4的展开式中x 3的系数.解：由乘法法则可知，展开式中x 3的项分别由(1+x)6中的项x 0, x, x 2, x 3与(1-x)4中的x 3, x 2，x, x 0项对应相乘合并而成，故得展开式中x 3的系数为C C C C C C C C 0436142624163406+-+- = -8.例3.求（1-x 3)(1+x)10的展开式中x 5的系数.解：同上例，可知展开式中x 5的项是由(1+x)10中的x 5项, x 2项分别与1-x 3相乘合并而成，故得x 5的系数为C C 210510-=207. 例4.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-29x x a中x 3的系数是49，求a 的值. 解：()()xaCx x a C T rrrr rrrrrr 9239299912121----+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-==令392r3=- 得r = 8故()x x CTa a 334898916921==--∴49a 169=∴a=43. 有关整除或求余数：例1.求2100除以9的余数. 解:()+-+-==- 3331329821009911001000100100100C C CC C C C C 100100991002981003971004961003_333++-+=139)(991009810039710010033+-+-+C C C =)27(971001003C -+ +9⨯4950-300+1 ∵)27(C397100100-+ 能被9整除，故余数由9⨯4950-300+1确定，而9⨯4950-300+1=44251=4916⨯9+7 故余数为7例2.设n ∈N n ≠1求证33n-26n-1能被676整除证明: 33n -26n-1=27 n -26n-1=(26+1)n-26n –1 =CCC C C n nn nn nn n n n n++++++----26122221126262626 -26n-1=)(23122262626C C n n n n n ---+++ =676)(23122626C C n n n n n ---+++而)(23122626C C n n n n n ---+++ 为整数故33 n-26n-1能被676整除. 4. 求有理项或求最大项系数； 例1.求⎪⎭⎫ ⎝⎛+32110x x 展开式中项系数最大的项及展开式中的有理项. 解：()xxCx x CTrr rr rrr r 3210101010122113--+==⎪⎭⎫⎝⎛ =xC r rr 630102--（1）设第r+1项系数最大，则210rr C -≥2)1(110+-+r r C 210r rC -≥2)1(110---r r C解第一个不等式得r ≥ 解第二个不等式得r ≤ 因为r 为正整数，故r=3.∴项系数最大的项是第4项，这一项为：. （2）要使展开式为有理项，须6r 30-为整数∵0≤r ≤10 故r=0或r=6即第一项和第七项为有理项，它们分别是：T 1=x 5, T 7=32105x 4.38311x x T 4415=例2.当（1+x+Px 2)4的展开式中x 4的系数取到最小值时，求P 的值. 解：（1+x+Px 2）4=[1+(x+Px 2)4()()xP C C x P xC C xP x C Tkr k k rr kkr k rr rr r +-+===+444122令r+k=4 ∵0≤r ≤4, 0≤k ≤r则r, k 的值可能是(4,0), (3,1), (2,2)故展开式中的系数为P C C C C C C 2222413340444P ++=1+12P+6P 2当x 4的系数取到最小值时P= -1（此时最小值是-5）5. 证明有关组合数的等式：例1.求证：2132132-∙=++++n n n n n n n n C C C C证明：（方法一）∵k )!()!1(!)!(!!k n k n k n k n kC kn --=-==C k n n k n k n n 11)]!1()1[()!1()!1(--=----- (k=1, 2,n)故 左边=n C C C C n n n n n n n n 11211101-----++++ =n 21-∙n =右边（方法二）右边=n()C C Cn n n n1110--+++ =C C C n n n n n n n 111101----+++=n ∙1+n ∙ (n-1)+n ∙++∙-- 21)2)(1(n n n 123)2)(1(123)2)(1(⋅⋅--⋅⋅--∙n n n n=C C C C C nn n n n n n n n +-++++-1321)1(32 =左边（方法三）令=s n C C C C Cnn n n n n nn n +-++++-1321)1(32 ①则C C C C C s nn n n nn n n n n n n +-++++=---1321)1(32 ②两式相加①+②得2=s n C C C C n n n n n n n n n n 121]1)1[()]2(2[)]1(1[-+-++-++-++ +n C n n=2121nnn n n n n n n n n n n n C C C C C ∙=+++++- 故=snn 21-⋅n例2.求证2<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n11<3 n ∈N, n ≥2 证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n11=1+n C n C C n nn n n n111221+++=1+1+nCnCnn nn1122++ ＞2.nn n i i n n n n i n i n nnCiii n⋅⋅⋅⋅⋅+---=-=321)1()2)(1()!(!!1＜i3211 ⋅⋅＜22211 ⋅⋅ =211-i (i= 2n)=1+nC nC C nnnnnn111221+++ ＜1+1+22121121-+++n=2+1-21n＜3. ∴2<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n11<3 例3.求证：C C C C n nn n n n 11312121+++++ =()11121-++n n .证明:右边=)1(1111111-++++++++C C C n n n n n =)(11112111CCCn n n n n ++++++++=∑∑==++--++++=+ni ni i n i n i n n n C 0011)!11()!1()!1(1111=∑∑==+=-+ni i nni Ci i n i n i 011)!(!!11=CC C C n nn n n n 11312121+++++=左边6. 有关数列的计算；例1.已知（2x+3)4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4, 求(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值. 解：令x=1得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+3)4⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n11令x= -1得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(2-3)4∴(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2= (a 0+a 1+a 2+a 3+a 4) (a 0-a 1+a 2-a 3+a 4) = (2+3)4(2-3)4=1例2.若(1-3x)8= a 0+a 1x ++ a 8x 8 , 求|a 0|+|a 1|+|a 2|++ |a 8|的值 解：由已知a 1,a 3,a 5,a 7得均小于0而a 0,a 2,a 4,a 6,a 8均大于0∴|a 0|+|a 1|+|a 2|++ |a 8|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7+a 8故可令x=-1即得|a 0|+|a 1|+|a 2|++ |a 8|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7+a 8=48例3.求1-2()CC C C n nnn n n 232184-++-+ 的值解:倒用二项式定理可得: 1-2()CC C C n nnn n n 232184-++-+ =())2(22210)2(--+++-+nnn nn n C C C C=(1-2)n =(-1)n例4.已知（2x 2+4x+3)6= a 0+ a 1(x+1)2+ a 2 (x+1)4++ a 6 (x+1)12求:a 0 +a 2 +a 4 +a 6的值. 解：由已知得（2x 2+4x+3)6= [1+2(x+1)2]6=a 0+ a 1(x+1)2+ a 2 (x+1)4++ a 6 (x+1)12令x=0得a 0+ a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5+ a 6 = 36= 729 令(x+1)2= -1（事实上是令x = i-1）则得a 0- a 1+ a 2- a 3+ a 4- a 5 + a 6 =(-1)6=1 两式相加得2(a 0 +a 2 +a 4 +a 6)=730 故a 0 +a 2 +a 4 +a 6=365例5.设a n =1+q+q 2+q 3++ q n-1 (n ∈N + , q ≠±1)A n =a C a C a C n nn n n +++ 2211（1）求证:())1/(][12q q A nnn --=+（2）若b 1+b 2+b 3++ b n =A n /2n ，求证:﹛b n ﹜为等比数列 （1）证明：由已知得a i =1+q+q 2++ q i-1=qqi--11 (i=1, 2n)∴∑∑∑==-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==ni iin ni ii nni iinnqC qCaC Aq q 11111111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑==ni iinni i nqC Cq 1111=)]1(1[112212-++++---q C q C C C nnn n n n nq q=()][1112q nnq+--（2）证明：∵b 1+b 2+b 3++ b n =A n /2n ，∴ b 1+b 2+b 3++ b n-1=A n-1/2n-1，∴b n = A n /2n -A n-1/2n-1 b n-1= A n-1/2n-1 -A n-2/2n-2故AAA A A A A A bb n n n nn n n n n n nn n n42222222112211111------------=--==()()()()][114][112][112][1112121212221111q q q q n n n n n n nnqqq q ++++--------∙---∙--∙--- =()()()()q q q q n nn nn nnn++++---+--+--12121212211422=2q 1+∵q ≠±1 故2q 1+为常数 ∴﹛b n ﹜为等比数列,公比为2q 1+.例6：求证：25010010081006100410021001-=+-+-+-C C C C C 证明：构造二项式展开式：()xC xC C x x 100100100221001100211++++=+令x=i 则x 2=i 2=-1, x 3=i 3=-i, x 4=i 4=1 于是得()C C C C C C i i i i 1001005100410031002100110010011+-++--+=+ ①令x= -i 则x 2=(-i)2=-1, x 3=(-i)3=i, x 4=(-i)4=1 于是得()C C C C C C i i i i 1001005100410031002100110010011+--++--=- ②把①+②得()()()CCCCi i 1001006100410021001001001211++-+-=+-+而()()+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+4sin 4cos 211100100100ππi i i⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4sin 4cos 2100ππi=2100(cos25л+ i sin25л)+2100〔cos (-25л)+ i sin(-25л)〕=250·(cos25л+cos25л) =250·(-1-1)= -2·250∴25010010081006100410021001-=+-+-+-C C C C C7.有关“杨辉三角”的研究：例1.有一个数列：1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，1，2，3，4，5，…… 求第100项的值.解： 设以每个1开头的一段数的个数排成的数列为{}a n ，即a 1=1a 2=2a 3=3a 4=4，则n n s n 21+=，令10021=+=n n s n ，即得n 2+n-200=0∵n=13时，有n 2+n-200=-18<0，当n=14时，有n 2+n-200=10>0 故S 13<0，而S 14>0 ∴数列1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，1，2，3中a 14的第9项，所以第100项为9例2.如图，它满足：(1)第n 行的首尾两数均为n ； (2)表中的递推关系类似杨辉三角. 则第n 行的第2个数是多少？解：设第n 行的第2个数是a n ，则a n =(n-1)+a n-1 于是可求得例3.数列：1，2，4，3，9，27，81，4，16，64，256， 1024，4096，16374，65496，………。
二项式定理的应用
二.整除性问题： 整除性问题：
（ 证明： 例2. 1）证明：7 （2）证明：4 证明： 例3.求7
n n
− 6n − 1 (n ∈ N * )能被36整除； 能被36整除； 36整除 +3
n+2
2n + 1
能被13整除. 13整除 (n ∈ N )能被13整除.
*
2 + C 1 7 n -1 + C n 7 n - 2 + … + C n -1 7 (n ∈ N * ) n n
二项式定理的应用
一.近似值的计算： 近似值的计算：
由二项展开式： 由二项展开式：
(1+ x) = 1+ nx + C x + C x +…+ C x
n 2 2 n 3 3 n
n n n
很小时， 当 x 很小时，有x 值也非常接近。 值也非常接近。
2
x … 非常接近， ， 3 ， ，x n与“0”非常接近，
被9除所得的余数。 除所得的余数。 例4.求使a(3 求使a
2n + 1
能被64 64整除的 - 24n) - 18 (n ∈ N )能被64整除的
*
最小正整数a 最小正整数a的值
三.简单不等式证明： 简单不等式证明：
例5.用二项式定理证 明： 2 > n + n + 1 (用二项式定理证 明： (1 + x) + (1 − x) < 2
n n n
(其中 x < 1,n ≥ 2 ,n ∈ N )
*
练习： 练习： 1.求证：3 求证：
2n + 2
− 8n − 9 (n ∈ N )能被 64整除。 64整除 整除。
例析二项式定理的六种应用
本文对二项式定理常见的六种应用进行总结，希望对同学们的学习有所帮助.一、求展开式中指定项例1 （x-1x）8的展开式中，常数项为 .（用数字作答）解：Tr+1=Cr8x8-r（-1x）r=（-1）rCr8x8-2r，由题意知，8-2r=0，r=4，即展开式的第5项为常数项，T5=C48=70.评析：直接利用通项公式进行求解，令x的幂指数等于0即可.例2 （|x|2+1|x|+2）5的展开式中整理后的常数项为 .解：（|x|2+1|x|+2）5=（|x2|+|1x|）10Tr+1=Cr10（|x2|）10-r（|1x|）r=Cr10（12）10-r（|x|）10-2r由题意知，（|x|2+1|x|）=0，r=5，即展开式的第6项为常数项，T6=C510（12）5=6322.评析：多项展开式往往化归为二项展开式，再利用通项公式去求解.本题亦可把（|x|2+1|x|）看作一个整体，再利用二项式定理展开.例3 （x+3x）12的展开式中，含x的正整数幂的项数共有 .解：设展开式中第r+1项的幂为正整数，则Tr+1=Cr12（x）12-r（3x）r=Cr12x12-r2+r3=Cr12x6-r6.依题意，r是6的倍数，且0≤r≤12，所以r共有3个值.即（x+3x）12的展开式中，含x的正整数幂的项数共有3个.小结：在求展开式中某个指定项时，利用二项展开式的通项公式求解是常规办法.首先要知道指定项都有哪些特点，再根据题意具体求解.例如常数项就是x的指数为0，而有理项就是x的指数为整数.二、求展开式中的系数或系数和例4 （x-2y）10的展开式中x6y4项的系数是 .解：Tr+1=Cr10x10-r（-2y）r由题意知，10-r=6，r=4，即展开式中x6y4项的系数为C410（2）4=840.评析：注意区别某一项的系数和它的二项式系数.例5 在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展开式中，含x3的项的系数是 .法一：由等比数列求和公式得：原式=（1-x）5[1-（1-x）4]1-（1-x）=（1-x）5-（1-x）9x.要求展开式中含x3的项的系数.即求（1-x）5中的x4的系数与（1-x）9中x4的系数的差.而（1-x）5中含x4的项为T5=C45?1?（-x）4=5x4，（1-x）9中含x4的项为T5=C49?15?（-x）4=126x4，所以在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展开式中，含x3的项的系数是5-126=-121.法二：（1-x）n的二项展开式通项为Tr+1=Crn（-x）r，令r=3得x3的系数为-C3n，故本题所求的项的系数为-（C35+C36+C37+C38）=-121.例6 （1）若（x+1x）n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为 ;（2）求（2x+1x）4的展开式中各项的二项式系数和及各项系数和.解：（1）因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C2n=C6n，所以n=6+2=8，所以展开式的通项为Tk+1=Ck8?x8-k?（1x）k=Ck8x8-2k，令8-2k=-2，解得k=5，所以T6=C58?（1x）2，所以1x2的系数为C58=56.（2）该展开式的各项二项式系数和为：C04+C14+C24+C34+C44=24=16.令二项式中变量x=1，得各项系数之和为34=81.小结：二项式系数和项的系数是二项式定理的基本概念，两者本质区别为：展开式中第r+1项的二项式系数是Crn（r=0，1，2，…，n），而第r+1项的系数是指经过化简整理后该项未知数前的最简系数（含正负）.三、证明整除或余数问题例7 试证大于（1+3）2n（n∈N）的最小整数能被2n+1整除.证明：因为-1<1-3<0，所以（1-3）2n∈（0，1）.由二项式定理可得（1+3）2n+（1-3）2n=2（3n+C22n3n-1+…）是偶数，记为2k（k∈N），则大于（1+3）2n的最小整数为2k.又因为2k=（1+3）2n+（1-3）2n=[（1+3）2]n+[（1-3）2]n=2n[（2+3）n+（2-3）n]，由二项式定理知（2+3）n+（2-3）n是偶数，记为2k1（k1∈N），所以2k=2n+1k1.即命题得证.评析：本题的难点在于如何表示题中的最小整数.由（1+3）2n联想到其对偶式（1-3）2n∈（0，1），然后考虑二者之和即可.二项式定理在其中的用处为利用其展开式证明二者之和为偶数.例8 当n∈N*时，求证：32n+2-8n-9能被64整除.证明：32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=（1+8）n+1-8n-9=C0n+1+C1n+1?8+C2n+1?82+C3n+1?83+…+Cnn+1?8n+Cn+1n+1?8n+1-8n-9 =1+（n+1）?8+C2n+1?82+C3n+1?83+…+Cnn+1?8n+Cn+1n+1?8n+1-8n-9=82（C2n+1+8C3n+1+…+8n-2?Cnn+1+8n-1?Cn+1n+1），因为C2n+1+8C3n+1+…+8n-2?Cnn+1+8n-1?Cn+1n+1是整数.所以32n+2-8n-9能被64整除.例9 今天是星期日，再过10100天后是星期几？解：10100=10050=（98+2）50=C0509850+C1509849×2+…+C495098×249+C5050250，因为前50项都能被7整除，只需考查250除以7所得余数.250=4×248=4×816=4×（7+1）16=4[C016716+C116715+…+C15167+C1616].于是得余数为4，故10100天后是星期四.小结：证明整除性问题，或求余数问题.关键是找准指数式中的底数和除数的联系，将指数式分拆成与除数有关联的两个数的和或差，再用二项式定理展开，要注意余数为非负数且不大于除数.四、求近似值例10 求（0.997）5的近似值（精确到0.001）.分析：（0.997）5=（1-0.003）5，简单构造二项式定理模型，展开按精确度要求取前两项计算便得符合条件的结果.解：（0.997）5=（1-0.003）5=1-C150.003+C25（0.003）2-…-C55（0.003）5≈1-5×0.003=0.985.例11 某地现有耕地10000公顷.规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.结果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数）.解：设耕地平均每年至多只能减少x公项，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M 吨/公顷.依题意得不等式M×（1+22%）×（104-10x）P×（1+1%）10≥M×104P×（1+10%）化简得x≤103×[1-1.1×（1+0.01）101.22].因为103×[1-1.1×（1+0.01）101.22]=103×[1-1.11.22×（1+C110×0.01+C210×0.012+…）]≈103×[1-1.11.22×1.1045]≈4.1所以x≤4（公顷）答：按规则该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.小结：求近似值问题常用二项式定理展开，根据精确度决定所取项数.五、证明恒等式或不等式例12 证明：C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn=2?4n-1+2n-1（n为偶数，n∈N*）.证明：因为n为偶数，所以（1+3）n=C0n+3C1n+32C2n+…+3nCnn，（1-3）n=C0n-3C1n+32C2n-…+3nCnn两式相加得4n+2n=2（C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn），所以C0n+32C2n+34C4n…+3nCnn=2?4n-1+2n-1.例13 求证C1n+2C2n+…+nCnn=n2n-1.证明：由二项式定理有：（1+x）n=xn+C1nxn-1+…+Cn-1nx+Cnn.对上式以x为自变量求导得：n（1+x）n-1=nxn-1+C1n（n-1）xn-2+C2n（n-1）xn-3+…+Cn-1n.取x=1有n2n-1=n+（n-1）C1n+（n-2）C2n+…+Cn-1n.又因组合数性质：Cmn=Cn-mn得n?2n-1=nCnn+（n-1）Cn-1n+（n-2）Cn-2n+…+2C2n+C1n，∴原式得证.小结：关于组合恒等式的证明，关键在于熟悉二项式定理的展开形式及结构特点，要善于把所证问题用数学方法合理的转化为二项式定理的表达式形式.例14 求证：2≤（1+1n）n≤3-12n-1，（n∈N*）.证明：由二项式定理得（1+1n）n=C0n+C1n1n+C2n1n2+…+Cnn1nn=1+1+C2n1n2+…≥2.又（1+1n）n=C0n+C1n1n+C2n1n2+…+Cnn1nn=2+12！（1-1n）+13！（1-1n）（1-2n）+…+1n！（1-1n）（1-2n）?…?（1-n-1n）≤2+12！+13！+…+1n！≤2+12+122+123+…+12n-1=3-12n-1.例15 设a，b∈R+，n∈N，求证：an+bn2≥a+b2n.分析：设a=s+d，b=s-d，（s，d∈R+且s>d），则a+b=2s，再用二项式定理解题.证明：设a=s+d，b=s-d，（s，d∈R+且s>d），于是有an+bn=（s+d）n+（s-d）n=2[C0nsn+C2nsn-2d2+…]≥2sn.又因为a+b=2s，所以an+bn2≥2sn2=sn=a+b2n.即题目得证. 评析：此题表面看似与二项式定理无关，但换元后便露出其本质.它的结论也可以写成nan+bn2≥a+b2.二项式定理是证明这一不等式简捷且有效的方法.例16 设a，b∈R+，且1a+1b=1.求证：对每个n∈N*都有（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1.分析：因为a，b∈R+，且1a+1b=1，所以ab≥2，（a+b）n-an-bn=12[（an-1b+abn-1）C1n+（an-2b2+a2bn-2）C2n+…+（abn-1+an-1b）Cn-1n]，再利用均值不等式求证.证明：由1=1a+1b≥2abab≥2，及二项式定理得（a+b）n-an-bn=C0nan+C1nan-1b+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn-an-bn=C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cn-2na2bn-2+Cn-1nabn-1=12[（an-1b+abn-1）C1n+（an-2b2+a2bn-2）C2n+…+（abn-1+an-1b）Cn-1n]≥（ab）n（C1n+C2n+…+Cn-1n）≥2n（2n-2）=22n-2n+1.小结：利用二项式定理证明不等式，是二项式定理的一个重要应用.一般情况，在二项式展开式中取舍若干项，即可将相等关系转化为不等关系，从而获得相关不等式.特别在有关幂不等式和组合不等式方面有独特作用.六、在求值问题中的应用例17 已知等式（x2+2x+2）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10，其中ai（i=0，1，2，…，10）为实常数，求：（1）∑10n=1an的值;（2）∑10n=1nan的值.解：（1）令x=-1，得a0=1;令x=0，得a0+a1+a2+…+a9+a10=25=32.故∑10n=1an=a1+a2+…+a10=31.（2）等式（x2+2x+2）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10两边对x求导，得5（x2+2x+2）4?（2x+2）=a1+2a2（x+1）+…+9a9（x+1）8+10a10（x+1）9.在5（x2+2x+2）4?（2x+2）=a1+2a2（x+1）+…+9a9（x+1）8+10a10（x+1）9中，令x=0，整理得∑10n=1nan=a1+2a2+…+9a9+10a10=5?25=160.评析：“取特殊值法”是解决二项式系数问题常用的方法――根据题目要求，灵活赋给字母不同的值.第二问要先利用导数得到nan的形式，然后再赋值求解.例18 用{x}表示实数x的小数部分，若a=（513+18）99，则a{a}的值为多少？解：令b=（513-18）99，因为（513-18）∈（0，1），所以b∈（0，1），由二项式定理有a=（513+18）99=C099（513）99+C199（513）98×18+…+Cr99（513）99-r×18r+…+C9899（513）×1898+C99991899，b=（513-18）99=C099（513）99-C199（513）98×18+…+（-1）rCr99（513）99-r×18r+…+C9899（513）×1898-C99991899，因为a-b=2[C199（513）98×18+…+C99991899]是正整数，所以{a}=b，所以a{a}=（513+18）99（513-18）99=[（513+18）（513-18）]99=1.评析：此题表面看较为困难，但若能发现0<513-18<1，且（513+18）（513-18）=1，巧妙构造b=（513-18）99来替代{a}，问题便能迎刃而解.本题所用方法与例7相同.（作者：李苇，江苏省黄桥中学）。
二项式定理及其应用
变式：求(a + b + c + d )
200 800 900 95
1995
展开式中
a b c d 项的系数
典题型举例
例 6 若 (x+m)2n+1 和 (mx+1)2n (n∈N+ ， ∈ m∈R且m≠0)的展开式的 xn 项的系数相等， 项的系数相等， ∈ 且 的展开式的 求实数m的取值范围 求实数 的取值范围
练习： 练习：
若(2 x + 3) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a4 x , 则
4 2 3 4
( a0 + a2 + a4 ) (a1 + a3 ) = ______ (99年全国) (99年
2 2
典题型举例
除以100的余数是＿＿＿＿＿ 的余数是＿＿＿＿＿ 例5、 9192除以 、 的余数是 (92年“三南”高考 年 三南” 题)
作业: 指导与学习P74-75 T1-10
(1)C + C + C + + C + + C = 2
0 n 1 n 2 n r n n n
n
(a 即 ： + b ) n 的展 开 式 的 各 个 二 项 式 43; = C + C + = 2
0 n 2 n 1 n 3 n
n 1
(a 即 ： + b ) n 的 展 开 式 中， 奇 数 项 的二 项 式 系 数的 和 等 于偶 数 项 的 二 项式 系 数 的 和
n
2、如果： 2C + 2 C + 2 C = 2187 1＋
23二项式定理及应用
二项式定理及应用知识点：1、二项式定理：()()*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n110；第1+r 项()n r b a C T r r n r n r ,,1,01 ==-+；第1+r 项的二项式系数为r n C 与b a ,无关，而系数与b a ,有关；二项式系数的性质.2、常用题型：利用通项求展开式的特定项；整除或求余问题；利用二项式定理证明等式（不等式）；近似运算；一般系数问题等.1、 对于二项式()*∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+N n x x n 31，四位同学作了四种判断： ① 存在*∈N n ，展开式中有常数项 ②对任意*∈N n ，展开式中没有常数项 ③对任意*∈N n ，展开式中没有x 的一次项 ④存在*∈N n ，展开式中有x 的一次项 上述结论中正确的是______2、)2()21(5x x +-展开式中含3x 项的系数是______3、当,50,,,522212142<≤∈+=++++≥∈-*q N q p q p n N n n 且其中时，且 则q 的值是________________4、若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3212展开式中含有常数项，则最小正整数n 为______________ 5、若4n C 是()n r C r n ,,2,1,0 =中的最大值，则n 可能取的值是___________ 6、不等式121321421---<<x x x C C C 的解为____________7、3333233133C C C +++ 除以9的余数为____________ 8、605.1精确到01.0的近似值是_______________9、在()()1002100211--+-+x x x x 展开式中，x 的偶次项系数和为______________ 10、若()44332210432x a x a x a x a a x ++++=+，则()()2212420a a a a a +-++的值为_____________11、在二项式()103xx -的展开式中，共有____项有理项；分别为______________ 12、在二项式()111-x 的展开式中，系数最小的项的系数为_________13、在()52211524⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x 的展开式中，常数项为________14、()()()()()543211111-+---+---x x x x x 的展开式中2x 的系数是_______ 15、在)()3)(2)(1(n x x x x ++++ 展开式中，含1-n x项的系数为________ 16、若()()()()101022101011132-++-+-+=+x a x a x a a x ，则1020a a a +++ =___ 17、在()532c b a --展开式中共有______项,其中含c b a 22的系数是_________18、若n 为奇数，则777712211---++++n n n n n n n C C C 被9除得的余数是_______19、a n n n -+⋅+5322能被25整除，则最小自然数a =20、设n 为满足450221<+++n n n n nC C C 的最大自然数，则n =_______21、求证：()()2,2231>∈⋅+>*-n N n n n n22*、当1,>∈n N n 时，求证：3112<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<nn。
二项式定理的应用
二项式定理的应用1.多项式的展开例1：求26(56)x x++的展开式中含2x的系数.变式1：求33313(3)x xx x-+-的展开式中3x的系数.变式2：求281(12)()x x x +-的展开式中的常数项.变式3：求2310(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++⋅⋅⋅++展开式中3x 的系数.2.整除问题91被100除所得的余数.例2：求928天后是星期几？变:1：今天是星期六，那么1001.05精确到0.01的近似值.变式2：求63.展开式系数最大值问题例4：（1）求7(12)x +展开式中系数最大的项；（2）求7(12)x -展开式中系数最大的项；变式1:(12)n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.变式2：已知22)nx +的展开式的系数和比(31)n x -的展开式的系数和大992，求21(2)n x x -的展开式中.(1) 二项式系数最大的项；(2) 系数最大的项；(3) 系数的绝对值最大的项.练习：1．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )．A ．－7B ．7C ．－28D ．282． (4x －2－x )6(x ∈R)展开式中的常数项是( )．A ．－20B ．－15C ．15D ．20 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )．A ．－40B ．－20C ．20D ．404．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x n 的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为( )．A ．－240B ．－160C ．160D ．2405． (x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )． A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．36．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是( )． A ．7 B ．－7 C ．21 D ．－21 7．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则n ＝__________.8．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为__________． 9．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56∶3，则该展开式中x 2的系数为__________．。
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二项式定理的十方面应用
一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数 1.(2012年高考安徽卷理科7)2
5
2
1(2)(
1)x x
+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 3【答案】D 【解析】第一个因式取2
x ，第二个因式取
21x
得：14
51(1)5C ⨯-= 第一个因式取2，第二个因式取5
(1)-得：5
2(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=. 2.(2012年高考天津卷理科5)在2
5
1(2)x x
-
的二项展开式中，x 的系数为（ ） （A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40
点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点．
3．在二项式11
)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 解：r
r r
r x T C
)1(1111
1-=
-+Θ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r
11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的
系数为
462)1(5
5
11
-=-C 二、利用二项式定理求展开式的系数和 1、若2013201322102013
...)
21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，
则_______)()()()(20130302010=++++++++a a a a a a a a Λ。
(用数字作答)
解析：在2013201322102013
...)
21(x a x a x a a x ++++=-中，令0=x ，则10=a ，
令1=x ，则1)
1(2013
20043210=-=+++++a a a a a Λ 故)()()()(20130302010a a a a a a a a ++++++++Λ
=20130a +201320133210=+++++a a a a a Λ。
点评：赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代数式赋予允许值，以达到解题目的．
三、利用二项式定理求幂指数n 1.(2012年高考全国卷理科15)若1()n
x x
+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中
2
1
x 的系数为 .
点评：利用二项式定理求幂指数n ，主要是体现了方程思想在二项展开式中的应用，我们只要根据题目条件建立关于n 的方程，即可获解．
四．求展开式 1．求4)13(x
x -
的展开式；
分析：解决此题，只需要把4)13(x
x -
改写成4)]1(3[x
x -+的形式然后按照二项
展开式的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
五、利用二项式定理证明整除问题
(2012年高考湖北卷理科5)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512012+a 能被13整除，则a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12
点评：利用二项式定理证明整除（或求余数）问题，通常把底数拆成与除数的倍数有关的和式．
六、利用二项式定理求近似值
例 求60.998的近似值，使误差小于0．001．
策略：因为660.998(10.002)=-，所以可以用二项式定理来计算． 解：66260.998(10.002)16(0.002)15(0.002)(0.002)=-=+⨯-+⨯-++-L ， ∵2315(0.002)0.000060.001T =⨯-=<． 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001， ∴从第3项起，以后的项可以忽略不计， 即660.998(10.002)16(0.002)0.988=-≈+⨯-=．
点评：由12233(1)1n n n n
n n n x C x C x C x C x +=+++++L 知，当x 的绝对值与1相比很小且n 足够大时，2x ，3x ，…，n x 等项的绝对值就会更小，因此在精确度允许的范围之内可以忽略不计．因此可以使用近似计算公式(1)1n x nx +≈+．在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍．
七、利用二项式定理证明组合数问题
例6 求证：0212222
(2!)
()()()()!!
n n n n n n C C C C n n ++++=
L ． 策略：观察等式
2(2)!!!
n
n n C n n =的特点，想到构造等式2(1)(1)(1)n n n x x x ++=+·，利用同一项的系数相等进行证明．
证明：已知
201220122(1)(1)(1)()()n n n n n n n
n n n n n n n n x x x C C x C x C x C C x C x C x +=++=++++++++L L ·，
由于n x 的系数为第一个因式中r x 的系数与第二个因式中n r x -的系数的乘积的和，
即0212222()()()()n n n n n C C C C ++++L （这是因为r x 的系数r n C 与n r x -的系数n r
n C -相等）
而在2(1)n x +的展开式中n x 的系数为2n
n C ，因此原等式恒成立．
点评：对于本题的解决，基于对等式的认真观察分析基础之上，充分利用展开式系数的特点，进行合理构造．
八、利用二项式定理证明不等式 求证：1
2
n +≥22n n ++（n ∈*
N ）
分析：本题是一边指数式，另一边是多项式的不等式的证明问题，用二项式定理证明. 证明：当1n =时，11
2+=4，2
112++=4，
∴1
2
n +=2
2n n ++；
当n ≥2时，
12n +=2(11)n +=2(1+1n
C +2n C +…+)n n C ≥2(1+1n C +2
)n C =(1)
2[1]2
n n n -++
=22n n ++. ∴12n +≥2
2n n ++（n ∈*
N ）.
点评：对于一边是指数式另一边是含指数式或为关于n 的多项式的不等式证明问题，可以用二项式定理证明，先将指数式的底数化为两项的和或差的形式，再用二项式定理展开，通过舍去展开式的若干项进行放缩并用组合数公式展开化简正好为不等式右端的形式，从而证明了不等式.本题也可用数学归纳法证明. 九． 逆向求值
二项展开式通常以正向展开的应用为主，但有时需要逆向应用，这有助于培养学生思维的双向性和灵活性。
求值： （1）4
9392293194099999C C C C C ++++ ； （2）101010
1
2103111021010C C C C +⋅⋅⋅+++ 。
分析：如果直接求解的话，第（1）题稍微烦琐点，而第（2）题简直是无从下手。
现在
先化简变形，再逆用二项式定理求值，真是“确实好多了！”
解：（1）设4
9392293194099999C C C C C ++++=x ，则 6
69592)19(99+=++C C x ，即1234581
1
541000000==
--x
∴4
9392293194099999C C C C C ++++=12345 。
（2）∵)100(11111
1
1011≤≤=
++k C C k k
k
∴)(111121111111
1
1010101
2103111021010C C C C C C C +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++
=11
2047
11
11
1
)1)11[(=
-+ 。
点评：这类二项式逆向求值通常与组合数公式等的变形联系在一起。
以下这道题也曾经
出现在多种资料上，很典型。
题目为求!0!81!1!71!
2!61
!7!11
!8!01⋅⋅⋅⋅⋅+++
⋅⋅⋅++的值，尽管面目很可
憎，但是只要将分子都变成8！，则该式即为315
2
!
82881808!8
1
8
)(==
+⋅⋅⋅++C C C 。
十．.求二项式中参数的值
(2012年高考福建卷理科11)4)(x a +的展开式中3
x 的系数等于8，则实数=a _________.
【答案】2
【解析】4
)(x a +中含3
x 的一项为r r
r
r x a
C T -+=441，令3=r ，则83
434=-a C ，即2=a .
【考点定位】本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可.。