数列与函数的综合

第八讲数列与函数的综合

一、重点公式

1 •等差数列的有关定义

(1) 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的等于同一个常数，那么这

个数列就叫做等差数列•符号表示为(n N*，d为常数)•

⑵数列a,A,b成等差数列的充要条件是，其中A叫做a,b的

2 •等差数列的有关公式

(1)通项公式：a n , a n a m (m,n N*).

⑵前n项和公式：S n.

3 •等差数列的前n项和公式与函数的关系：S n.

数列a n是等差数列的充要条件是其前n项和公式S n.

4 •等差数列的性质

(1)若m n p q ( m,n, p,q N*),则有，特别地，当m n 2p时，•

⑵等差数列中，S n , S2n S n , S sn S?*成等差数列.

⑶等差数列的单调性：若公差 d 0,则数列为；若d 0，则数列为；若d 0 ,则数列为

5.等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示(q 0) •

6 •等比数列的通项公式

设等比数列a n的首项为a1，公比为q，则它的通项a. .

7 .等比中项：

如果在a与b中间插入一个数G，使a , G , b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.

8 •等比数列的常用性质

1 通项公式的推广：a n a m (n ,m

2 若a n为等比数列，且k l m n (k,l,m, n

3 若a n , b n (项数相同)是等比数列，则a n

*

N ) •N*)，则

比数列.

12 a n .

(0), ,a n , a n b n , n仍是等

a n

b n

a10 a10a1⑷单调性：或？a n是数列；

q 1 0 q 10 q ? a n是数列；q 1? a n是数列；q 0

a10

或

1 q 1

a n是数列. na1 ；

S2n仍成等比数列，其公比

1•下列公式可作为数列a n1,2,1,2,1,2

(

A • a n 1

B •

a (1)n 1

2

S n，则使S n< —5成立的自然

D .有最小值31

a n的前n项和为S n ,则S100

9 •等比数列的前n项和公式

等比数列a n的公比为q (q 0)，其前n项和为S n ,当q 1时，S n

当q 1时，S n

10 •等比数列前n项和的性质

公比不为1的等比数列a n的前n项和为S n，则S n, S?n S n , &n

为

二、典型例题知识点1 数列的概念

2.数列a n的通项a n J ，则数列a n中的最大值是( )

n290

a r~“ 1 .10

A. 3 10

B. 19

C.—

D.-

19 60

知识点2 前n项和

n +1

3•已知数列a n的通项公式a n = log 2 (n€ N*)，设｛a n｝的前n项的和

为

n + 2

数n ()

A .有最大值 63

B .有最小值 63

C .有最大值 31

4 .设关于x的不等式x2—x<2 nx (n € N*)的解集中整数的个数为a n,数列的值为

5.在数列a n中，若点(n,a n)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列a.的前9项和S9.

知识点3 综合题型

6 •互不相等的三个正数，X i,X2,X3成等比数列且点

P i(log a X i,log b yJ, P2(log a X2,log b y2), P3(log a X3,log b y3), (a 0,a 1;b 0,b 1)三点共线，则y i, y2, y3 成( )

(A )等差但非等比数列(B)等比数列

(C)既是等差数列又是等比数列(D)既不是等差数列又不是等比数列

* 2

7.设数列｛a n｝是项数为20的等比数列，公差d N，且关于X的方程x 2dx 4 0的两个实数根

满足X i 1 X2，则数列｛a n｝的偶数项之和减去奇数项之和的结果为( )

(A) 15 ( B) 10 ( C) 5 ( D) 20

8•已知定义在(0,1)的函数f (x), 对任意的m, n (1,)且m n时，都有

f(z)

n f ( m n )。记On

1 mn

1),n N*，则在数列｛a n｝中,

5n 5 ai a2 a8 ()

1 (A) f(2)

1

(B) f(3)

f(4)

(D) f(-)

5

9•已知二次函数 f(x) 2

x 5x 10 ,当 x (n, n 1] , n

N *时，把f (x)在此区间内的整数值的个数表

示为a n . (1)求a ?的值; ⑵求n 3时a n 的表达式；(3)令b n

，求数列b n 的前n 项和S n (n 3).

a

n a

n 1

2

10.二次函数f (x) x x ，当x n 3

3n 2

M

* 卄

a n ( nN )」S

n

g( n)

n 1

n(n 1)

A. ( 1)n 1

- 2

(n,n a 1

1]( n N *)时，f(x)的函数值中所有整数值的个数为 a

2 a

3 a

4

(1)n1a n

g(n),

B.(

1)nn(n 1)

C n(n 1)

n(n 1) 2