数列与函数的综合
高考数学一轮总复习课件：数列的综合应用
又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15， 所以n－1≤5，所以n≤6. 所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项 和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间 的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝ Sn＋1－Sn消去Sn进行证明． (2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进 而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
【解析】 (1)证明：由已知，得bn＝2an>0. 当n≥1时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列． (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x －a2)，它在x轴上的截距为a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2n，anbn2＝n·4n.
比数列．所以an＋1＝45＋－25190n.
(3)因为an＋1>60%，即
4 5
＋
－25
9 10
n
>
3 5
，则
9 10
n
<
1 2
，所以
n(lg9－1)<－lg2，n>1－lg22lg3≈6.572 1.
数列的函数性质-2023届高三数学一轮复习专题
2023高考数列专题——数列的函数性质一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； (2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( )A ．2B ．－6C ．3D ．1例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( )A ．425B ．428C ．436D ．437跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2三、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn的最小值为( )A ．293B ．47－1C ．485D ．274例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第 项． 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．63、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 0114、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．四、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( )A ．0B ．252C ．21D ．42跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15 2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．3、 (2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．高考数列专题——数列的函数性质（解析版）一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列；(2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( B )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 解： ∵数列{a n }是单调递增数列，∴对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋b (n ＋1)>n 2＋bn ，即b >－(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立，又n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，∴b >－3，即实数b 的取值范围为(－3，＋∞)．例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为(－∞，6).解：解法一：由数列是一个递减数列，得a n ＋1<a n ，又因为a n ＝－2n 2＋kn －1，所以－2(n ＋1)2＋k (n ＋1)－1<－2n 2＋kn －1，k <4n ＋2，对n ∈N *，所以k <6.解法二：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，∵数列是递减数列，∴k 4<32，∴k <6.跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解析：A 由a n ＝n 3n ＋1，可得a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，故选A ．2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．解析：因为函数a n ＝2－1n 的定义域为N *，且a n ＝2－1n 在N *上单调递增，0<2－1n <2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是a n ＝2－1n．答案：a n ＝2－1n(答案不唯一)3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式相减得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1na n＝3(n ≥2)，∵a 1＝1，∴1＝1＋12a 2，即a 2＝1，∴2·a 21·a 1＝2≠3．∴数列{na n }是从第二项开始的等比数列， ∴当n ≥2时，有na n ＝2×3n －2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n×3n －2，n ≥2.(2)存在n ∈N *使得a n ≤(n ＋1)λ成立⇔λ≥a nn ＋1有解，①当n ＝1时，a 12＝12，则λ≥12，即λmin ＝12；②当n ≥2时，a nn ＋1＝2×3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝2×3n －2n (n ＋1)，∴f (n ＋1)f (n )＝3nn ＋2>1，∴f (n )单调递增，∴f (n )min ＝f (2)＝13，∴实数λ的最小值是13．由①②可知实数λ的最小值是13．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( 3 )A ．2B ．－6C ．3D ．1解 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，同理可得a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…所以数列{a n }每四项重复出现，即a n ＋4＝a n ，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，而2 023＝505×4＋3，所以该数列的前2 023项的乘积是a 1·a 2·a 3·a 4·…·a 2 023＝1505×a 1×a 2×a 3＝3．例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( A )A ．425B ．428C ．436D ．437解： 由数列的递推公式可得：a 2＝22－a 1＝43，a 3＝22－a 2＝3，a 4＝22－a 3＝－2，a 5＝22－a 4＝12＝a 1，据此可得数列{a n }是周期为4的周期数列，则：6S 100＝6×25×⎝⎛⎭⎫12＋43＋3－2＝425． 跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：B 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 023＝a 3×674＋1＝a 1＝12．五、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( C )A ．293B ．47－1C ．485D ．274解： 由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝28＋2＋4＋…＋2(n －1)＝28＋n (n －1)＝n 2－n ＋28，∴a n n ＝n ＋28n －1，设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28 ]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293．例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第9、10项．解： 解法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.解法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119. 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．解析：当a n ＝n －22n －11>0⇒n ＝1或n ≥6，∴a 2＝0，a 3<0，a 4<0，a 5<0，故当S n 取得最小值时n 的值为5．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：C 因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0，所以t ≤a n＋3恒成立，即t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3．3、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 011解析：C 因为S 2 018>0，S 2 019<0，所以a 1＋a 2 018＝a 1 009＋a 1 010>0，a 1＋a 2 019＝2a 1 010<0，所以a 1 009>0，a 1 010<0，且a 1 009>|a 1 010|，因为对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，所以k ＝1 010，故选C ．4、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项解析：BCD 当k ＝12时，a 1＝a 2＝12，知A 错误；当k ＝45时，a n ＋1a n ＝45·n ＋1n ，当n <4时，a n ＋1a n>1，当n >4时，a n ＋1a n <1，所以可判断{a n }一定有最大项，B 正确；当0<k <12时，a n ＋1a n ＝k n ＋1n <n ＋12n ≤1，所以数列{a n }为递减数列，C 正确；当k 1－k 为正整数时，1>k ≥12，当k ＝12时，a 1＝a 2>a 3>a 4>…，当1>k >12时，令k 1－k ＝m ∈N *，解得k ＝mm ＋1，则a n ＋1a n ＝m (n ＋1)n (m ＋1)，当n ＝m 时，a n ＋1＝a n ，结合B ，数列{a n }必有两项相等的最大项，故D 正确．故选B 、C 、D ．5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．解析：a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5．六、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( C )A ．0B ．252C ．21D ．42解： 由函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，又{a n }是等差数列，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21，则{a n }的前21项之和为21．故选．跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15解析：D f ′(x )＝x 2－6x ＋8，∵a 5，a 6是函数f (x )的极值点，∴a 5，a 6是方程x 2－6x ＋8＝0的两实数根，则a 5·a 6＝8，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 5·a 6)5＝5log 28＝15，故选D ．2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)． (2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34，因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34．3、(2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．解析：根据等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ≤S 8恒成立，可知a 8≥0且a 9≤0，所以1＋7d ≥0且1＋8d ≤0，解得－17≤d ≤－18．答案：⎣⎡⎦⎤－17，－18。
第53题 数列与其他知识的交汇(2)——数列与函数、数列与平面向量、数列与解析几何等
第53题 数列与其他知识的交汇（2）——数列与函数、数列与平面向量、数列与解析几何等I ．题源探究·黄金母题【例1】设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有()()()f xy f x f y =+，已知112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足()()()()*11n n n f S f a f a n N=++-∈，其中nS是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a = （ ） A ．136B ．9C ．18D ．36 【答案】C 【解析】对任意的正数,x y 均有()()()f xy f x f y =+且112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又0n a >且()()()()()11112n n n n n f S f a f a f a f a f ⎛⎫=++-=+++ ⎪⎝⎭()()212n n n f S f a a ⎡⎤∴=+⨯⎢⎥⎣⎦，又()f x 是定义在(]0,+∞上的单调增函数，()212n n n S a a ∴=+① 当1n =时，()211112a a a =+，211110,0,1a a a a ∴-=>∴=， 当2n ≥时，()211112n n n S a a ---∴=+ ②①-②可得22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，()()1110n n n n a a a a --∴+--=，()10,12n n n a a a n ->∴-=≥，{}n a ∴为等差数列11,1a d ==，n a n ∴=，1818a =，故选C ．精彩解读【试题来源】2018全国名校大联考高三第三次联考．【母题评析】本题考查函数与数列的交汇，考查学生的分析问题解决问题以及基本计算能力． 【思路方法】由函数解析式给出数列的n a 与n S 关系式，最后利用邻差法求数列的通项公式，解决问题．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考山东19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2．（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)…P n +1(x n +1，n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T ．【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2nn n T -⨯+=【解析】(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >，由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，∴23520q q --=，∵0q >，∴12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（II ）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +，由(I)得111222.nn n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ．由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， ∴123n T b b b =+++……+n b =101325272-⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②①-②得()()()()()1211113222221221221213212,2122n n n n n n n T n n n T ------=⨯++++-+⨯--⨯+=+-+⨯∴=-．【命题意图】这类题以函数、解析几何等为载体，或者利用函数解析式给出数列的递推关系，考查函数解析式的求法、数列求和、或者利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题、证明不等式等．这类題能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较大．【难点中心】1．写全解答步骤，步步为“赢”解答时，要将解题过程转化为得分点，对于得分点的解题步骤一定要写全，阅卷时根据步骤评分，有则得分，无则不得分．2．准确把握数列与函数、数列与平面向量、数列与解析几何等的关系．III ．理论基础·解题原理1．解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．2．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度大． 【技能方法】1．数列与函数的综合问题，解决此类问题时要注意把握以下两点： (1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义； (2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征．2．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．V ．举一反三·触类旁通考向1 数列与函数（三角函数）数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题，主要题型有两大类：一是在解三角形中，一些条件用数列语言给出，常见的如三角形三内角A ，B ，C 成等差数列；三边a ，b ，c 成等比数列等，二是数列通项种含有三角函数，我们可以借助三角函数的周期性求和．【例1】设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，则角B 的取值范围是( ) A ．]6,0(πB ．),6[ππC ．]3,0(πD ．),3[ππ【分析】利用c b a ,,成等比数列，得ac b =2，再利用余弦定理，将边与角联系，最后用基本不等式求出cos B 的范围．由于B 是ABC ∆的内角，所以B 的取值范围是]3,0(π．故选C ．【点评】“c b a ,,成等比数列”是为了给出“ac b =2”这一条件，所以，解题的重点是如何利用这个条件将边与角的关系联系起来．【例2】【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟（一）】斐波那契数列{}n a 满足：()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论错误的是（ ）A ．2111·n n n n S a a a +++=+ B ．12321n n a a a a a +++++=-C ．1352121n n a a a a a -++++=-D ．()1214?n n n n c c a a π--+-=【答案】C【名师点睛】本题通过对多个命题真假的判断考察数列的各种性质及数学化归思想，属于难题．该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题．【例3】【2018湖南长沙长郡中学高三第三次月考】将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当p q⨯（p q ≤且*,N p q ∈）是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=．数列(){}3n f 的前100项和为__________．【答案】5031-【例4】【2018河南八市重点高中上学期第三次测评】设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知328,6a S ==，数列{}n b 满足2log n n b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足sin n n n b c a π⎛⎫=⎪⎝⎭，n S 为数列{}n c 的前n 项和，求证：对任意*,2n n N S π∈<+． 【分析】(1)用基本量法，即用1a 与q 表示条件328,6a S ==，列出方程组，解出1,a q 即可求数列{}n a的通项公式，由2log n n b a =可求数列{}n b 的通项公式；(2)先求sin sin 2n n n n b n c a ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而写出3411sinsin sin8162n n n S πππ=+++++，由当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x <放缩可得3428162n n n S πππ<++++，令348162n nn T πππ=+++，利用错位相减法求出n T 即可． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，则有211186a q a a q ⎧=⎨+=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩，则22,log 2n nn n a b n ===．即数列{}n a 和{}n b 的通项公式为22,log 2n nn n a b n ===．（2）证明：sin sin 2n n n n b n c a ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12343411sinsin sin8162n n n n S c c c c c πππ=+++++=+++++， 易知当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin x x <成立，∴3428162n nn S πππ<++++， 令348162n n n T πππ=+++ ① 则1134216322n n T L πππ+=+++ ② ①-②得311111621331281632228212n n n n n n n T ππππππππ-++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=+--， 从而22n n n T πππ+=-<，即2n S π<+ 【点评】与求和有关数列不等式的证明，通常是把数列放缩成可以求和的数列，比如等差数列、等比数列、可以裂项求和的数列．【例5】【2018海市十二校高三联考】给出集合()()()(){|21,}M f x f x f x f x x R =+=+-∈． （1）若()sin3xg x π=，求证：函数()g x M ∈；（2）由（1）分析可知，()sin3xg x π=是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲：集合M 中的元素都是周期函数．命题乙：集合M 中的元素都是奇函数．请对此 给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例；（3）若()f x M ∈，数列{}n a 满足：()1n a f n =+，且12a = 23a =，数列{}n a 的前n 项 和为n S ，试问是否存在实数p 、q ，使得任意的*n N ∈，都有()1nnS p q n≤-⋅≤成立，若 存在，求出p 、q 的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析（2）命题甲正确（3）75,32p q ≤-≥是周期为6的周期数列，且前6项依次为2,3,2,0,1,0-，据此可知()751,11,32nn S n ⎡⎫⎡⎤-⋅∈--⋃⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦，则满足题意时只需75,32p q ≤-≥即可． 试题解析：（1）()g x M ∈转化证明()()()12g x g x g x +-=+()()()12333sinx sinx sinx πππ⇔+-=+，左边()()13333333sinx sin x sinxcoscosxsinsinx πππππππ=+-=+-1323233sin x cos x sin x πππ=+- ()132********sin x cos x sin x sin x πππππ⎛⎫=-+=+=+= ⎪⎝⎭右边（2）命题甲正确．集合M 中的元素都是周期为6的周期函数． 验证()()6f x f x +=即可．命题乙不正确．集合M 中的元素不都是奇函数． 如()3xg x sinπ=是奇函数；()34x h x sin ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭不是奇函数． （3）()1n f n a =- M ∈，则()21111n n n a a a ++-=--- 211n n n a a a ++⇒=-+假设存在实数,p q 满足题设，则213211{1n n n n n n a a a a a a +++++=-+=-+ 32n n a a +⇒+= 6n n a a +⇒=，所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，且前6项依次为2,3,2,0,1,0-，()()()(),61,61,65{3,62,644,63n n n k n n k n k S n n k n k n n k =+=-=-=+=-=-+=- *k N ∈当6n k =，*k N ∈时，()11nnS n-⋅=； 当61,65,n k n k =-=- *k N ∈时，()111nn S n n-⋅=-- [)2,1∈--； 当62,64,n k n k =-=- *k N ∈时，()311nn S n n -⋅=+ 51,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； 当63n k =- *k N ∈时，()411nn S n n -⋅=-- 7,13⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭． 综上()751,11,32nn S n ⎡⎫⎡⎤-⋅∈--⋃⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦，要使对任意的*n N ∈，都有()1n n S p q n ≤-⋅≤恒成立，只要75,32p q ≤-≥即可．【跟踪练习】1．【2018福建闽侯县第八中学高三上学期期末考试】正项等比数列{}n a 中的1a ，4031a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则20166log a =（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2 【答案】A2．【2018河北邢台联考】已知()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则()123f =；21的因数有1，3，7，21，则()2121f =，那么()10051i f i =∑的值为（ ）A ．2488B ．2495C ．2498D ．2500【答案】D【解析】由f n （） 的定义知2f n f n =（）（），且若n 为奇数则f n n =（）则()()()()100112100i f i f f f ==+++∑()()()1359924100f f f =++++++++()()()()()501501+99+1250=2500+2i f f f f i =⨯=+++∑，()()()100100505111=-=2500i i i f i f i f i ===∴∑∑∑，故选D ．3．【2018湖北省七校考试联盟”高三2月联考】对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，()1n n a n x ⎡⎤=+⎣⎦，()2,3n =（符号[]x 表示不超过x 的最大整数）．则2320182017a a a +++=（ ）A ．1010B ．1012C ．2018D ．2020 【答案】A4．【2018江西K12联盟高三教育质量检测一】已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足()()3f x f x -=-，()13f =-，数列{}n a 满足2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则()()56f a f a +=（ ）A ．3-B ．2-C ．3D ．2 【答案】C【解析】由函数()f x 是奇函数且满足()()3f x f x -=-，可知T=3 由2n n S a n =+，可得：()11212n n S a n n --=+-≥两式相减得：1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，()()11212n n a a n --=-≥∴{}1n a -是公比为2的等比数列，∴12nn a =-，∴563163a a =-=-， ∴()()()()()()()5631013211013f a f a f f f f f +=-⨯-+-⨯=-+=-=，故选C ． 5．【2018河北衡水中学高三上学期八模考试】已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的图象经过点()1,3P ，()2,5Q ．当*n N ∈时，()()()11n f n a f n f n -=⋅+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1033n S =时，n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4 【答案】D6．【2018山西省孝义市高三上学期二轮模考】已知{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28cos()a a +=（ ）A ．12-B ．3C ．12D 3【答案】A【解析】由159538a a a a π++==，得583a π=，所以285cos()cos(2)cos cos 33a a a 10ππ+===-＝12-，故选A ． 7．【2018青海西宁高三下学期复习检测一】如图所示，矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另外两个顶点,n n C D 在函数()1(0)f x x x x=+>的图象上．若点n B 的坐标为()(),02,n n n N +≥∈，记矩形n n n n A B C D 的周长为n a ，则2310a a a +++=（ ）A．220 B．216 C．212 D．208【答案】B8．【2018河南洛阳高三期中考试】用[]x表示不超过x的最大整数（如[][]2.12,3.54=-=-）．数列{}na满足143a=，()111n n na a a+-=-（*n N∈），若12111nnSa a a=+++，则[]n S的所有可能值得个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B考向2 数列与平面向量【例6】【2018安徽巢湖柘皋中学高三上学期第三次月考】将向量12,,,n a a a 组成的系列称为向量列{}n a ，并定义向量列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++．若()*1,n n a a R n N λλ+=∈∈，则下列说法中一定正确的是（ ） A ．()111nn a S λλ-=- B ．不存在*n N∈，使得0n S =C ．对*m n N ∀∈、，且m n ≠，都有m n S SD ．以上说法都不对【答案】C【例7】已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足11221a b a b ==+=，直线l 上三个不同的点A ，B ，C 与直线l 外的点P 满足33PA a PB b PC =+，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．12n n - B ．23n n - C ．21n - D ．12n- 【答案】A【名师点睛】本题考查数列与平面向量的结合，又向量知识得其系数满足的关系120101a a +=，进而利用等差数列求和公式求解，本题要求学生熟悉向量三点共线公式(1)OA OB OC λλ=+- ⇔A B C 、、三点共线．【例8】【2017上海市宝山区高三4月期中教学质量监控（二模）】数列2p =中，已知24y x =对任意l 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数）．（1）若{}n a是等差数列，求k的值；（2）若112a k==-，，求nS；（3）是否存在实数k，使数列{}n a是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项OA OB⋅按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有l的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12k=（2）()()221{2nn n kSn n k-=-==（3）25k=-试题解析：（1）若{}n a是等差数列，则对任意*n N∈，有122n n na a a++=+，即()1212n n na a a++=+，故12k=．（2）当12k=-时，()1212n n na a a++=-+，即122n n na a a++=--，()211n n n na a a a++++=-+，故()32211n n n n n na a a a a a++++++=-+=+．所以，当n是偶数时，()()12341121122n n nn nS a a a a a a a a n-=++++++=+=+=；当n是奇数时，()23122a a a a+=-+=-，()()()() 1234112345111222 n n n n nnS a a a a a a a a a a a a a n---=++++++=+++++++=+⨯-=-．综上，()()221{2nn n kSn n k-=-==（*k N∈）．（3）若{}n a是等比数列，则公比21aq aa==，由题意1a≠，故1mma a-=，1mma a+=，12mma a++=．若1ma+为等差中项，则122m m ma a a++=+，即112m m ma a a-+=+⇔221a a=+，解得1a=（舍去）；若ma为等差中项，则122m m ma a a++=+，即112m m ma a a-+=+⇔22a a=+，因1a≠，故解得，2a=-，11122215mmm mm ma a aka a a a a+-++====-+++；若2 ma+为等差中项，则212m m ma a a++=+，即112221m m ma a a a a+-=+⇔=+，因为1a ≠，解得212215aa ka=-==-+，．综上，存在实数k满足题意，25k=-．【跟踪练习】1．【2018江苏常州武进区高三上学期期中考试】已知数列{}n a中，12a=，点列()1,2,nP n=⋯在ABC∆内部，且nP AB∆与nP AC∆的面积比为2:1，若对*Nn∈都存在数列{}n b满足()113202n n n n n nb P A a P B a P C++++=，则4a的值为______．【答案】802．【2018黑龙江省大庆实验中学高三仿真模拟】已知函数()12f xx=+，点O为坐标原点，点()()()*,nA n f n n N∈，向量()0,1i=，θn是向量OAn与i的夹角，则使得1212coscos cossin sin sinnntθθθθθθ++<恒成立的实数t的取值范围为___________．【答案】3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】根据题意得，2nπθ-是直线OA n的倾斜角，则：()()sincos11112tansin2222cos2nnnnnf nn n n n nπθθπθπθθ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==-===-⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭-⎪⎝⎭，据此可得：结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．考向3 数列与解析几何【例9】【2018安徽皖西高中教学联盟高三上学期期末质量检测】如图所示，设曲线1yx=上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形11OB A，122,A B A，直角顶点在曲线1yx=上，nA的横坐标为na，记()*12nn nb n Na a+=∈+，则数列{}n b的前120项之和为（）A．10 B．20 C．100 D．200【答案】A【例10】【2018天津耀华中学高三上学期第二次月考】已知曲线C ：4xy =，n C ：4x ny +=（*N n ∈），从C 上的点()n n n Q x y ，作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点()111n n n Q x y +++，．设11x =，1n n n a x x +=-，1n n ny b y +=． （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记()23521nn n n c b +⨯=⨯-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：212155138n n T --⎡⎤⎛⎫≤⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（Ⅲ）若已知31223212222nnd d d d n ++++=-（*N n ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n d 的前n 项和为n B ，试比较n A 与24n B -的大小．【答案】（1）n x ()112n n -=+；（2）见解析；（3）见解析．（3）由∵1n n n a x x n +=-=，∴()12n n n A +=，由31223212222nn d d d d n ++++=-知()31122312112222n n d d d d n --++++=--（2n ≥） ∴22nn d =（2n ≥），而12d =，所以可得121{ 22n n n d n +==≥，，， 由此能够比较n A 与24n B -的大小． 试题解析：（1）依题意点n P 的坐标为()1n n x y +，，∴1144n n x nx n y +++==，∴1n n x x n +=+，∴()()()121121121n n n x x n x n n x n --=+-=+-+-==++++-()112n n -=+．（2）∵()235241n n n nc +⨯=⨯-，所以：154554558428488n n n n n n c c +⨯-⨯-=<<⨯-⨯-， ∴当2n ≥时，2112155558888n nn n n c c c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴211221n n T c c c --=+++ 2212155555188838n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（当1n =时取“=”）． （Ⅲ）∵1n n n a x x n +=-=，∴()12n n n A +=，由31223212222n n d d d d n ++++=-知()31122312112222n n d d d d n --++++=--（2n ≥）， ∴22nnd =（2n ≥），而12d =，所以可得121{ 22n n n d n +==≥，，， 于是3411232222n n n B d d d d -=++++=++++2341222224n +=+++++-()1222142621n n ++-=-=--．∴2224n n B -=-． 当1n =，2时，()122224n n n n n B A +-=>-=； 当3n =时，()122224n n n n n B A +-==-=当4n ≥时，0121222n n n n n n n n C C C C C --=+++++-()()2121113222n n nnn n n n n n C C Cn n --++=+++>++=>∴当4n ≥时，24n n B A -<【点睛】本题考查数列的通项公式的求法、不等式的证明和两个表达式大小的比较，具体涉及到数列与不等式的综合运用，其中放缩法的应用和构造法的应用是解题的关键． 【跟踪练习】1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,n n a S n N ∈在直线220x y --=上． （1）求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）设直线n x a =与函数()2f x x =的图象交于点n A ，与函数()2log g x x =的图象交于点n B ，记n n n b OA OB =⋅（其中O 为坐标原点），求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）见解析（2）1284399n n n T +⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：（1）根据表达式得到12n n a a -=，从而得到数列满足12nn a a -=，故得到结论；（2）根据向量点积的定义得到()14nn b n =+，错位相减得到前n 项和．解析：∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由已知()()2,4,2,n n n n n A B n ．()14n n n n n b OA OB b n =⋅∴=+，1284399n n n T +⎛⎫∴=+⋅- ⎪⎝⎭．2．已知曲线C ：4xy =，n C ：4x ny +=（*N n ∈），从C 上的点()n n n Q x y ，作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点()111n nn Q x y +++，．设11x =，1n n n a x x +=-，1n n ny b y +=． （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记()23521nn n n c b +⨯=⨯-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：212155138n n T --⎡⎤⎛⎫≤⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（Ⅲ）若已知31223212222n nd d d d n ++++=-（*N n ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n d 的前n 项和为n B ，试比较n A 与24n B -的大小．【答案】（1）n x ()112n n -=+；（2）见解析；（3）见解析．【解析】试题分析：（1）依题意点n P 的坐标为()1n n x y +，，则1144n n x nx n y +++==∴1n n x x n +=+从而能求出数列{}n x 的通项公式．（2）由()23521n n n n c b +⨯=⨯-，知158n n c c +<，，当2n ≥时，2112155558888n nn n n c c c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴211221n n T c c c --=+++ 221555888n -⎛⎫⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由此能够证明212155138n n T --⎡⎤⎛⎫≤⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；试题解析：（1）依题意点n P 的坐标为()1n n x y +，，∴1144n n x nx n y +++==∴1n n x x n +=+∴()()()121121121n n n x x n x n n x n --=+-=+-+-==++++-()112n n -=+．（2）∵()235241nn n nc +⨯=⨯-，所以：154554558428488n n n n n nc c +⨯-⨯-=<<⨯-⨯-， ∴当2n ≥时，2112155558888n nn n n c c c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴211221n n T c c c --=+++ 2212155555188838n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（当1n =时取“=”）． （Ⅲ）∵1n n n a x x n +=-=，∴()12n n n A +=，由31223212222n n d d d d n ++++=-知()31122312112222n n d d d d n --++++=--（2n ≥）， ∴22nnd =（2n ≥），而12d =，所以可得121{ 22n n n d n +==≥，，， 于是3411232222n n n B d d d d -=++++=++++2341222224n +=+++++-()1222142621n n ++-=-=--．∴2224n n B -=-．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法、不等式的证明和两个表达式大小的比较，具体涉及到数列与不等式的综合运用，其中放缩法的应用和构造法的应用是解题的关键．3．设),(),,(2211y x B y x A 是函数x x x f -+=1log 21)(2图象上任意两点，且)(21OB OA OM +=，已知点M 的横坐标为21，且有)1()2()1(nn f n f n f S n -+++= ，其中*N n ∈且n≥2， （1） 求点M 的纵坐标值；Ruize 知识分享（2） 求2s ，3s ，4s 及n S ；（3）其中*N n ∈，且n T 为数列}{n a 的前n 项和，若)1(1+≤+n n S T λ对一切*N n ∈都成立，试求λ的最小正整数值．【答案】（1）M（3）λ的最小正整数为1． 【解析】试题分析：（1 又M 的横坐标为1，A),(11y x ，B ),(22y x 即M （2。
数列与函数的综合运用练习题
数列与函数的综合运用练习题在数学中，数列和函数是常见且重要的概念。
数列是按照特定的规律排列的一系列数值的集合，而函数是一种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
数列和函数的综合运用能够帮助我们更好地理解数学问题，并提供解决问题的方法。
本文将通过一系列练习题来展示数列与函数的综合运用。
1. 已知数列的通项公式为an = 3n + 1，求该数列的前10项。
解析：根据题目中给出的通项公式，我们可以依次计算出数列的前10项：a1 = 3*1 + 1 = 4，a2 = 3*2 + 1 = 7，以此类推，计算出a3到a10的值。
答案：该数列的前10项分别为4，7，10，13，16，19，22，25，28，31。
2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f(2)的值。
解析：对于函数f(x)，要求f(2)的值，只需要将x替换为2，然后计算出f(2)的结果。
答案：f(2) = 2*(2^2) + 3*2 - 1 = 14。
3. 设数列的前n项和为Sn，已知数列的通项公式为an = n^2，求Sn。
解析：由数列的通项公式可知，每一项的值都是n的平方，因此前n项和Sn可以表示为Sn = 1^2 + 2^2 + ... + n^2。
答案：Sn = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6。
4. 已知函数g(x) = 3x - 2，求满足g(x) = 10的x的值。
解析：要求满足函数g(x) = 10的x的值，即求解方程3x - 2 = 10。
答案：解方程3x - 2 = 10，可以得到x = 4。
通过以上练习题的解答，我们可以看到数列和函数在数学问题中的应用。
数列可以描述一系列数值的排列规律，而函数则提供了一种映射关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
通过运用数列和函数的相关概念和公式，我们可以解决各种数学问题，并获得准确的答案。
需要注意的是，在解决问题时，我们要仔细理解题目中给出的条件和要求，并根据题目类型选择合适的数列或函数的公式进行计算。
数列的综合应用
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题 讲
nf(n＋1) 1 (3)由题知，bn＝ f n ＝3n，
解
1 n(n＋1) n(n＋1)
1
11
专
则Tn＝3×
2
＝
6
，
∴பைடு நூலகம்n＝
6(n－n＋
)． 1
题
111
1
1111 1
11
训 练
∴
T1＋T2＋
T3＋…
＋Tn
＝
6(1－
2＋2－
3＋3
－
4＋…
＋n－n＋
) 1
∴
1 a＝2，f(x)＝
(12)x.
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
又点(n－1，
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)＝ ax的图象上，
讲 解
从
而ann2＝21n－
1，即
an＝
n2 2n－
1.
专 题
(n＋ 1)2 n2 2n＋ 1 (2)由 bn＝ 2n －2n＝ 2n 得，
训
练
111
1
Tn，试比较T1＋T2＋T3＋…＋Tn与 6的大小．
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
∴f(n＋ 1)＝
1 3
f(n)(n∈ N*)，∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以
讲
解
1
1
f(1)＝3为首项，3为公比的等比数列，
专 题
∴f(n)＝13×(13)n－ 1，即f(n)＝(13)n(n∈ N*)．
＝6(1－ 1 )． n＋ 1
∵
n∈
7.数列的综合应用之一(数列与函数的综合)
数列的综合应用数列综合应用题型分类:一、数列与函数的综合;二、数列与不等式的综合；三、数列与平面解析几何的综合；四、数列与极限、数学归纳法、导数等知识的综合。
数列与函数的综合应用——数列的综合应用之一一、典例培析1、已知函数2*1()(,,)ax f x a b N c R bx c+=∈∈+是奇函数，在区间(0,)+∞上()(1)f x f ≥恒成立，且(1)1f ≥（1）求函数()f x 的解析式；（2）是否存在这样的区间D ：①D 是()f x 定义上的一个子区间；②对任意12,,x x D ∈当 1212120,|()||()|x x x x f x f x ><<且时有，若存在，求出区间D ；若不存在，说明理由。
（3）若数列{}n a ，{}n b 满足关系：111,()12n n n n n b a a f a b ++==-，当13a =时，求数列{}n b 的通项公式，且当{}n b 的前n 项之积1128n T ≥时，求n 的最大值。
2、已知函数()2)f x x =<-（1）求()f x 的反函数1()f x -；（2）设1*1111,()()n n a f a n N a -+==-∈，求n a ； （3）设222121,n n n n n S a a a b S S +=+++=-L 是否存在最小正整数m ，使得对任意*n N ∈，都有25n mb <成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。
3、定义：称12nnp p p +++L 为n 个正数12,,,n p p p L 的“均倒数”。
若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21n n a C n =+，试判断并说明*1()n n C C n N +-∈的符号；（3）设函数2()421n a f x x x n =-+-+是否存在最大的实数λ，当x λ≤时，对一切*n N ∈，都有()0f x ≤成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。
专题04 数列求和及综合应用(解析版)
专题04 数列求和及综合应用【要点提炼】1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.2.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系为a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 3.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.考点一 数列求和及综合应用考向一 a n 与S n 的关系问题【典例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值.解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *， 所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝－14a n ，又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－14， 所以数列{a n }是公比、首项均为－14的等比数列. 所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n.(2)由(1)知b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2， c n ＝b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2， 所以A n ＝1－1（n ＋1）2.因此{A n }是单调递增数列，∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝34；A n 没有最大值.探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .2.由S n 求a n 时，一定注意分n ＝1和n ≥2两种情况，最后验证两者是否能合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示.【拓展练习1】 (2020·合肥检测)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )，若{b n }是递增数列，求实数a 的取值范围. 解 (1)a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)， a 2n －1＝S n －1＋S n －2(n ≥3).相减可得a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，∵a n ＞0，a n －1＞0，∴a n －a n －1＝1(n ≥3). 当n ＝2时，a 22＝a 1＋a 2＋a 1，∴a 22＝2＋a 2，a 2＞0，∴a 2＝2. 因此n ＝2时，a n －a n －1＝1成立. ∴数列{a n }是等差数列，公差为1. ∴a n ＝1＋n －1＝n .(2)b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )＝(n －1)2＋a (n －1)， ∵{b n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝n 2＋an －(n －1)2－a (n －1) ＝2n ＋a －1＞0，即a ＞1－2n 恒成立，∴a ＞－1. ∴实数a 的取值范围是(－1，＋∞). 考向二 数列求和 方法1 分组转化求和【典例2】 (2020·山东五地联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2)， 所以S 2a 1＝1＋2＝3，得a 1＝d ，又易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n .因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.探究提高 1.求解本题要过四关：(1)“转化”关，把不等式的解转化为方程根的问题；(2)“方程”关，利用方程思想求出基本量a 1及d ；(3)“分组求和”关，观察数列的通项公式，把数列分成几个可直接求和的数列；(4)“公式”关，会利用等差、等比数列的前n 项和公式求和.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.本题易忽视数列通项的下标如错得a 2n ＝n ，应注意“＝”左右两边保持一致.【拓展练习2】 (2020·潍坊调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和P n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意，得⎩⎨⎧a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，解得⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝4，所以a n ＝4n ， 因为T n －2b n ＋3＝0，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，则数列{b n }为首项为3，公比为2的等比数列， 所以b n ＝3·2n －1.(2)c n ＝⎩⎨⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数，当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝（4＋4n －4）·n 22＋6（1－4n2）1－4＝2n ＋1＋n 2－2.当n 为奇数时，法一 n －1(n ≥3)为偶数，P n ＝P n －1＋c n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1，n ＝1时符合上式.法二 P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝（4＋4n ）·n ＋122＋6（1－4n －12）1－4＝2n ＋n 2＋2n －1.所以P n ＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数.方法2 裂项相消求和【典例3】 (2020·江南六校调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2.(1)证明：{a n }为等比数列； (2)记b n ＝log 2a n ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λb n b n ＋1的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围.(1)证明 由已知，得a 1＝S 1＝2，a 2＝S 1＋2＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝(S n ＋2)－(S n －1＋2)＝a n ， 所以a n ＋1＝2a n (n ≥2).又a 2＝2a 1，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得a n ＝2n ，所以b n ＝n . 则λb n b n ＋1＝λn （n ＋1）＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， T n ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，因为T n ≥10，所以λn n ＋1≥10，从而λ≥10（n ＋1）n ，因为10（n ＋1）n ＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ≤20， 所以λ的取值范围为[20，＋∞).探究提高 1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【拓展练习3】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和.解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)记⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.方法3 错位相减法求和【典例4】 (2020·济南统测)在①a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，②b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，③S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解答问题. 已知等差数列{a n }的公差为d (d >1)，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，且a 1＝b 1，d ＝q ，________. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选条件①.(1)∵a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，2a 1＋5d ＝6a 1d ，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝256，d ＝512(舍去).∴⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.选条件②.(1)∵b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎨⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝3a 1d 2，即⎩⎨⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝6d ， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去).∴⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.选条件③.(1)∵S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎨⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋7d ＝8a 1d ，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝218，d ＝38(舍去)，∴⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解.2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【拓展练习4】 (2020·潍坊模拟)在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n .公差不等于0的等差数列{b n }满足________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 因为a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，所以{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以a n ＝3n －1.选①②时，设数列{b n }的公差为d 1. 因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3(ⅰ).因为b 2n ＝2b n ＋1，所以当n ＝1时，b 2＝2b 1＋1(ⅱ). 由(ⅰ)(ⅱ)解得b 1＝23，b 2＝73，所以d 1＝53，所以b n ＝5n －33.所以b n a n＝5n －33n .所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝231＋732＋1233＋…＋5n －33n ，所以13S n ＝232＋733＋1234＋…＋5n －83n ＋5n －33n ＋1.上面两式相减，得23S n ＝23＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋133＋…＋13n －5n －33n ＋1 ＝23＋56－152×3n ＋1－5n －33n ＋1＝32－10n ＋92×3n ＋1.所以S n ＝94－10n ＋94×3n .选②③时，设数列{b n }的公差为d 2.因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3，即2b 1＋d 2＝3.因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 2)2＝b 1(b 1＋3d 2)，化简得d 22＝b 1d 2.因为d 2≠0，所以b 1＝d 2，从而d 2＝b 1＝1，所以b n ＝n . 所以b n a n ＝n 3n －1.所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，所以13S n ＝131＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n .上面两式相减，得23S n ＝1＋131＋132＋133＋…＋13n －1－n 3n＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －n 3n ＝32－2n ＋32×3n . 所以S n ＝94－2n ＋34×3n －1.选①③时，设数列{b n }的公差为d 3.因为b 2n ＝2b n ＋1，所以b 2＝2b 1＋1，所以d 3＝b 1＋1.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 3)2＝b 1(b 1＋3d 3)，化简得d 23＝b 1d 3.因为d 3≠0，所以b 1＝d 3，无解，所以等差数列{b n }不存在.故不合题意.考向三 与数列相关的综合问题【典例5】 (2020·杭州滨江区调研)设f (x )＝12x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n ＋1＝f ′(a n )，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)由f (x )＝12x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2. ∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1. ∴a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＋1－a n ＝2，因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2，等比数列{b n }中，设公比为q ，∵b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， ∴q ＝3.∴b n ＝3n －1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 可化为3n －12≤n 2.又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2.故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.探究提高 1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【拓展练习5】 已知数列{a n }与{b n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n (n ∈N *)，若{a n }是各项为正数的等比数列，且a 1＝2，b 3＝b 2＋4. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a nb n b n ＋1(n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和，证明：T n ＜1. (1)解 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n ，① 当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝2b n －1，② ①－②可得a n ＝2(b n －b n －1) ⇒a 3＝2(b 3－b 2)＝2×4＝8，∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }的公比为q ， ∴a 1q 2＝8⇒q ＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *). ∴2b n ＝21＋22＋23＋ (2)＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，∴b n ＝2n －1(n ∈N *).(2)证明 由已知c n ＝a n b n ·b n ＋1＝2n（2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝121－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，当n ∈N *时，2n ＋1＞1，∴12n ＋1－1＞0，∴1－12n ＋1－1＜1，故T n ＜1.【专题拓展练习】一、单选题1．已知数列{}n a 满足()2*11n n n a a a n N+=-+∈，设12111n nS a a a =+++，且10910231a S a -=-，则数列{}n a 的首项1a 的值为（ ）A ．23 B ．1C ．32D ．2【答案】C 【详解】若存在1n a =，由2111n n n a a a --=-+，则可得11n a -=或0n a =，由12111n nS a a a =+++可得0n a ≠，由10910231a S a -=-可得101a ≠所以{}n a 中恒有1n a ≠由211n n n a a a +=-+，可得()111n n n a a a +-=-所以()11111111n n n n n a a a a a +==----，即111111n n n a a a +=---所以1212231111111111111111n n n n S a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111n a a +=--- 所以110109*********a S a a a -=---=-，即1010101010123222111111a a a a a a =+--=----= 所以1121a =-，则1112a -=，所以132a = 2．已知在数列{}n a 中，14a =，26a =，且当2n ≥时，149n n a a +=-，若n T 为数列{}nb 的前n 项和，19(3)n n n n a b a a +-=⋅，则当175(3)()8n n a T λ+=-⋅-为整数时，n λ=（ ）A ．6B ．12C ．20D ．24 【答案】D 【详解】当2n ≥时，149n n a a +=-，得134(3)n n a a +-=-，又26a =，∴{3}n a -从第二项开始是首项为3，公比为4的等比数列，∴2334n n a --=⨯(2n ≥)，∴2413432n n n a n -=⎧=⎨⨯+≥⎩，，， 当1n =时，1138T b ==，217155(3)()82a T Z λ=-⋅-=∉，不符合题意， 当2n ≥时，221213411(41)(41)4141n n n n n n b -----⨯==-++++， ∴12221131171()84141841n n n n T b b b ---=++⋅⋅⋅+=+-=-+++， 则111115534154141n n n λ---=⨯⨯⨯=-++，由λ为整数可知141n -+是15的因数， ∴当且仅当2n =时λ可取整数，12λ=，所以24n λ=，3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*()(11),2n n n n S a n N -+=∈，则数列{}n S 的前7项和为（ ） A ．1256-B ．85256-C ．11024- D ．3411024-【答案】B 【详解】 ∵(1)12nn n n S a -+=， ∴1n =时，1112S a +=-，即1112a a +=-，114a =-，由已知1(1)2nn n n S a =--， 2n ≥时，11111111(1)(1)(1)(1)222n n n nn n n n n n n n n na S S a a a a -----=-=----+=-+-+(*)， (*)式中n 为偶数时，112n n n na a a -=++，112n n a -=-，此时1n -为奇数， ∴n 为奇数时112n n a +=-(*)式中n 为奇数时，112n n n n a a a -=--+，1122n n na a --=-，即1111112222n n n n a -+-⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭，此时1n -为偶数，∴n 为偶数时，12n na =， ∴11,21,2n n nn a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，由1(1)2nn n nS a =--，得n 为奇数时，11122n n n S +=-，n 为偶数时，11022nn nS =-=， ∴数列{}n S 的前7项和为11111111421686432256128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11118541664256256=----=-． 4．若()()*12coscoscoscos 5555n n n S n ππππ-=++++∈N ，则1S 、2S、、2020S 中值为0的共有（ ） A ．202个 B ．404个C ．606个D ．808个【答案】B 【详解】由于4coscos055ππ+=，23cos cos 055ππ+=，5cos 15π=-，69cos cos 055ππ+=，78cos cos 055ππ+=，10cos 15π=，所以234cos coscos cos 05555ππππ+++=， 2310cos cos cos cos 05555ππππ++++=，所以40S =，100S =，()()()101210coscos cos555n n n n n S S πππ++++-=+++()()()()()()1627510cos cos cos cos cos cos 555555n n n n n n ππππππ++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()112255cos cos cos cos cos cos 555555n n n n n n ππππππ++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0=，所以，()10n n S S n N *+=∈，则()44+100n SS n N *==∈，()10100n S S n N *==∈，因此，1S 、2S 、、2020S 中值为0的共有2022404⨯=个.5．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】A 【详解】解：由题意得：323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2nn b =，2321n n n n b c a a ==⨯-=，123n T c c c ∴=+++…n c +123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-(1233222=⨯+++…)2n n +-()212312n n ⨯-=⨯--1326n n +=⨯--，当8n =时，98326815222020T =⨯--=<； 当9n =时，109326930572020T =⨯--=>，n ∴的最大值为8.6．已知数列{}n a 满足123232n n a a a na ++++=，设1(1)2nn n a b n -=+，n S 为数列{}n b 的前n 项和.若t n S <对任意n *∈N 恒成立，则实数t 的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．52【答案】C 【详解】1n =时，12a =，因为123232n n a a a na ++++=，所以2n ≥时，1123123(1)2n n a a a n a --++++-=，两式相减得到12n n na -=，故12,n n a n-=1n =时不适合此式，所以11,11,2(1)2(1)nn n n a b n n n n -=⎧⎪==⎨≥+⎪+⎩，当1n =时，111S b ==， 当2n ≥时，111111313123341221n S n n n ⎛⎫=+-+-+-=-< ⎪++⎝⎭， 所以32t ≥；所以t 的最小值32； 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n S an bn =+，（,a b 均为常数），且72a π=.设函数2()sin 22cos 2xf x x =+，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为（ ） A ．132πB ．7πC ．7D ．13【答案】D 【详解】因为2()sin 22cos sin 2cos 12xf x x x x =+=++， 由2n S an bn =+，得()()()2211122n n n S S an bn a n b n an a b n a -=-=+----=-+≥，又11a S a b ==+也满足上式，所以2n a an a b =-+， 则12n n a a a --=为常数，所以数列{}n a 为等差数列； 所以11372a a a π+==，()()111131131313sin 2cos 1sin 2cos 1y f a f a a a a y a =+=++++++()()1111sin 2cos 1sin 22cos 12a a a a ππ=+++-+-+=.则数列{}n y 的前13项和为()()()1213...f a f a f a +++，记()()()1213...M f a f a f a =+++，则()()()13121...M f a f a f a =+++，所以()()11321326M f a f a ⎡⎤=+=⎣⎦，因此13M =.8．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即11a =，21a =，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。
初中数学知识归纳等比数列与指数函数
初中数学知识归纳等比数列与指数函数初中数学知识归纳：等比数列与指数函数数列在数学中扮演着重要的角色，它是一系列按照一定规律排列的数的集合。
在初中数学中，等比数列和指数函数是学习数列的两个重要概念。
本文将对等比数列和指数函数的基本概念、性质以及它们之间的关系进行归纳，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、等比数列等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比都相等的数列。
我们用a₁、a₂、a₃、…、an来表示等比数列的项，其中a₁是首项，r是公比（相邻两项的比），n是项数。
等比数列的一般形式可以表示为：a₁，a₁r，a₁r²，…，a₁rn⁻¹。
等比数列有一些重要的性质。
首先，任意一项都可以用首项和公比来表示：an = a₁rⁿ⁻¹。
其次，等比数列的前n项和可以用公式来计算：Sn = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
最后，如果公比r的绝对值小于1，那么等比数列的项会逐渐趋近于0，这对于很多实际问题的建模和分析都是十分重要的。
二、指数函数指数函数是指以常数e（自然对数的底）为底的幂函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = a^x，其中a是指底数，x是指数。
指数函数在数学中有着广泛的应用，特别是在自然科学和经济学等领域。
指数函数有一些重要的性质。
首先，指数函数的图像经过点(0,1)，这是因为当x等于0时，a^x等于1。
其次，当指数为正整数时，指数函数是递增的；当指数为负整数时，指数函数是递减的；当指数为零时，指数函数是一条水平直线。
最后，当底数a大于1时，指数函数是增长的；当底数a介于0和1之间时，指数函数是衰减的。
三、等比数列与指数函数的关系等比数列和指数函数之间存在着密切的联系，通过等比数列可以引出指数函数的概念。
考虑等比数列的通项公式an = a₁rⁿ⁻¹，若对等比数列取极限，即r的绝对值小于1，并且n趋于无穷大时，我们可以得到以下结论：lim(n→∞) an = lim(n→∞) a₁rⁿ⁻¹ = 0这意味着等比数列的项随着项数的增加而逐渐趋近于0，这与指数函数的性质相符合。
数列与函数的综合应用
数列与函数的综合应用数列和函数是数学中两个重要的概念，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
数列是按照一定规律排列的一组数，而函数则是对数的关系进行抽象和描述的工具。
本文将探讨数列和函数在各个领域中的实际应用，并且展示数列与函数之间的综合应用。
一、经济学领域在经济学中，数列与函数的应用非常广泛。
例如，经济学家通过对经济数据建立数学模型，可以研究经济增长、通货膨胀等问题。
其中，经济增长可以用等差数列来描述，通货膨胀可以用指数函数来表示。
通过分析数列和函数的规律，我们可以预测未来的经济发展趋势，采取相应的政策措施，促进经济的稳定和繁荣。
二、物理学领域物理学是自然科学中的一门重要学科，数列和函数在物理学中有广泛的应用。
例如，物理学家通过对物体运动轨迹的研究可以建立位移、速度和加速度之间的函数关系，用数列和函数来描述和分析物体的运动规律。
另外，电磁场、热传导等也可以用数列和函数来描述和研究。
通过数列和函数的综合应用，我们可以更好地理解和掌握物理学中的各种规律和现象。
三、计算机科学领域计算机科学是现代科学技术中的一项重要学科，数列和函数在计算机科学中有着广泛的应用。
例如，计算机算法中经常会用到数列，如斐波那契数列、调和数列等。
而函数则在计算机程序设计中发挥着重要的作用，可以用来实现各种功能和计算。
通过数列和函数的综合应用，我们可以设计出更高效、更优化的算法和程序，提高计算机的运算速度和性能。
四、生物学领域生物学是研究生命的起源和发展的一门学科，数列和函数在生物学研究中也有广泛的应用。
例如，在基因序列的研究中，可以通过对DNA序列中的基因编码进行数列分析，找出其中的规律和模式。
另外，生物的生长过程也可以用函数来描述和分析，如指数函数可以表示一种生物群体的增长趋势。
通过数列和函数的综合应用，我们可以更好地理解和探索生物世界的奥秘。
总结起来，数列与函数的综合应用不仅在数学中有重要地位，而且在经济学、物理学、计算机科学、生物学等多个领域都发挥着重要的作用。
2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(知识点讲解)含详解
专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ）A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258B ．264C ．642D ．636例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）； (2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解. 题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ） A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.题型六：数列与传统文化例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A ．10B ．14C ．23D ．26例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金n T几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ）A ．5-B ．7C ．13D ．26例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【总结提升】理解题意，构造数列，应用数列模型解题．专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n - B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a . 【详解】()()()()()()4411cos 221cos221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+=，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列. 例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】由题设11()()4n f f n n-+=，讨论n 的奇偶性求{}n a 的通项公式，再求n S . 【详解】由题设，111()()4ln(1)ln 41n f f n n n n -+=+-+=-， 所以()()**14121,2,N 221421,21,N 2n n f n n k k a n n n k k ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+=-=∈ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨-⎪⨯=-=+∈⎪⎩，即2(1)n a n =-且n ≥ 2， 当1n =时，11S =，当2n ≥时，21242(1)1n S n n n =+++⋅⋅⋅+-=+-，所以21n S n n =-+，n *∈N故答案为：2n n 1-+.例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）计算{}n a 和{}n b 的前4项和的差即可得出答案；（2）令n n a b ≥得出42n ≤，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 试题分析：（1）()()1234123496530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大()()()()12341234420503864742965878222a a a ab b b b ⎡⎤+⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=⎢⎥⎣⎦()2424424688008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-， 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-； 所以31λ-≤≤.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】 【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k-==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k k-==， 设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫-<⎪⎭ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--， 211213333n n nn n T --=++++，①231112133333n n n n nT +-=++++，② ①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n nn n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ） A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 【答案】BD 【解析】 【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前n 项和公式求出X ，再设小郭第3年还款的现值为y ，根据复利规则求出y ． 【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，∴小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D 正确，C 错误， 设每年应还X 元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为29[1(1)(1)(1)]X r r r +++++⋯++， 银行贷款A 元10年后的本利和为10(1)A r +．2910[1(1)(1)(1)](1)X r r r A r ∴+++++⋯++=+， ∴10101[1(1)](1)1(1)r X A r r ⨯-+⋅=+-+， 即1010(1)(1)1Ar r X r +=+-，故A 错误．设小郭第三年还款的现值为y ，则3(1)y r X ⋅+=，所以()31Xy r =+，故B 正确；例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【解析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误；第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确；因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+，所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t t a a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-， 因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确；当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误；【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，分类讨论n 可求出结果. 【详解】 由1112222n n n n A a a a n -+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n --+++=-⋅，∴1122(1)2-+⋅=⋅--⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n *∈N 恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ， 即225335(1)5(51)022p pn n n n -+-⨯++-⨯⨯+≤， 即22225335(5)(5)022p p n n n n -+-⨯+-+-≤，即5(5)(53)0222pn p p n n -+++++≤， 即(6)(5)(8)02p n n n +-++≤， 即216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，当14n ≤≤时，2164266+-≤=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为4412226465n +≥+=++，∴125-≤p ，所以125p ≥-，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+-≥=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为447226663n +≤+=++，∴73-≥p ，所以73p ≤-，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．35【答案】B 【解析】 【分析】根据分裂数的定义，求出从32到()31m -、从32到3m 分裂数个数，再根据所有分裂数成等差数列求出1111对应的位置，进而根据不等式求m 值. 【详解】由题意，对于332,...,m ，它们依次对应2、3、…、m 个分裂数，则从32到()31m -各分裂数个数的和为(2)(1)2m m -+，从32到3m 各分裂数个数和为(1)(2)2m m -+，又332,...,m 的分裂数{}n a ，构成首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+，令211111n +=，可得555n =，所以(2)(1)(1)(2)55522m m m m -+-+<≤，当32m =时，(1)(2)5275552m m -+=<不符合； 当33m =时，(1)(2)5605552m m -+=>，(2)(1)5275552m m -+=<符合； 当34m =时，(2)(1)5605552m m -+=>不符合； 综上，33m =. 故选：B例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258 B ．264 C ．642 D ．636【答案】A 【解析】 【分析】分析可知对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣，满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，进而可求得63S 的值.【详解】因为562632<<，由题中定义，对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣， 满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，当1m =时，0m b =，当)122,2m ⎡∈⎣时，1m b =，此时满足条件的m 的个数为12，当)232,2m ⎡∈⎣时，2m b =，此时满足条件的m 的个数为22，当)562,2m ⎡∈⎣时，5m b =，此时满足条件的m 的个数为52， 因此，01234563021222324252258S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）；(2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-． 【答案】(1)21263=+⨯S ，()12312633=+⨯+S ，133n n S +=+ (2)1122=-+n T n ，证明见解析 【解析】【分析】(1)根据定义求出{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，由此归纳出n S ，(2)由(1)化简n c ，再由裂项相消法求其前n 项和，并完成证明.(1)由题意得，116512S =++=，217611512181263S =++++=+=+⨯，()2123187136171116512185412636312633S =++++++++=++=+⨯+⨯=+⨯+，41981572013196231728112716215S =++++++++++++++++121854162=+++2312636363=+⨯+⨯+⨯()123126333=+⨯++， …()12311263333(1)n n S n -=+⨯++++≥，由等比数列的前n 项和公式可得，()113131263313n n n S -+-=+⨯=+-， 所以{}n S 的通项公式133n n S +=+．(2)由于133n n S +=+，所以()()33111111log 3log 31221n n n c S S n n n n +⎛⎫=-=--=- ⎪-⋅-++++⎝⎭， 则1111111132432122n T n n n =-+-++-=-+++， 因为n *∈N ，所以102n >+，所以111222n ->-+， 又n T 随n 的增大而减小，所以当1n =时，n T 取得最大值16-，故1126n T -<≤-． 【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线【答案】C 【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦， 对其进行整理变形：()()()22222222asat ast b as at ast b as b +-++++=+， ()()222222(2)0as at b ast as b++--+=， ()2222222240as at b at a s t ++-=， 222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0=t ，其中2212s t b b a a-=为双曲线，0=t 为直线.故选：C.例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】(I)（II ）（II ）过……向轴作垂线，垂足分别为……, 由(I)得记梯形的面积为.由题意， 所以 ……+n T 12.n n x -=(21)21.2n n n T -⨯+=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b=……+ ①又……+ ②①-②得= 所以题型六：数列与传统文化 例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）A ．10B ．14C ．23D ．26【答案】D【解析】【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列{}n a ，根据217a =，前5项和为100求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列{}n a ．由题意可知，等差数列{}n a 中217a =，前5项和为100，设公差为(0)d d >，前n 项和为n S ，则535100S a ==，解得320a =，所以323d a a ， 所以公士出的钱数为532202326a a d =+=+⨯=，故选：D ．例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ） A ．5-B ．7C ．13D ．26【答案】C 【解析】【分析】 根据题意求得每次收的税金，结合题意得到111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，求得a 的值，代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意知：这个人原来持金为a 斤，第1关收税金为：12a 斤；第2关收税金为111(1)3223a a ⋅-⋅=⋅⨯斤； 第3关收税金为1111(1)42634a a ⋅--⋅=⋅⨯斤， 以此类推可得的，第4关收税金为145a ⋅⨯斤，第5关收税金为156a ⋅⨯斤， 所以111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯， 即1111111111(1)(1)12233445566a a -+-+-+-+-⋅=-⋅=，解得65a =， 又由()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，所以66()1011355f =⨯+=. 故选：C.例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】【详解】。
数列与函数的综合应用练习题
数列与函数的综合应用练习题在数学学科中，数列与函数是非常重要的概念和工具。
它们在各个领域的应用都非常广泛。
本文将通过练习题的形式，探讨数列与函数的综合应用。
练习一：等差数列的求和已知等差数列的首项为a，公差为d。
现要求等差数列的前n项和Sn。
解析：根据等差数列的性质，我们知道第n项的表达式为an = a + (n-1)d。
那么前n项和Sn可以表示为：Sn = a + (a+d) + (a+2d) + … + [a + (n-1)d]= n(a + a + (n-1)d) / 2= n(2a + (n-1)d) / 2= n(a + a + (n-1)d) / 2= n(a + a + (n-1)d) / 2练习二：等比数列的求和已知等比数列的首项为a，公比为q。
现要求等比数列的前n项和Sn。
解析：根据等比数列的性质，我们知道第n项的表达式为an = a * q^(n-1)。
那么前n项和Sn可以表示为：Sn = a + aq + aq^2 + … + aq^(n-1)= a(1 - q^n) / (1 - q)练习三：函数的综合应用已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数。
现要求函数图像的顶点坐标和判别式。
解析：函数的顶点坐标可以通过求导得到。
对函数f(x)求导，得到f'(x) =2ax + b。
令f'(x) = 0，解方程得到x = -b / (2a)。
将x代入函数f(x)得到y坐标，即y = f(-b / (2a)) = a(-b / (2a))^2 + b(-b / (2a)) + c。
函数的判别式可以用来判断函数的图像与x轴的交点情况。
判别式的表达式为D = b^2 - 4ac。
当D > 0时，函数与x轴有两个不同的交点；当D = 0时，函数与x轴有一个重复的交点；当D < 0时，函数与x轴没有交点。
通过以上练习题，我们进一步巩固了数列与函数的综合应用。
数列与函数不等式的综合应用
法二：
a3 a4 a1 a2 4,
解之得 d 1
江苏省启东中学资源库
第八届 “名师之路”大型教科研活 动 暨南通市普通高中高效课堂推进会
(2) a1
5 2
7 ∴数列 an 的通项公式为 an a1 (n 1)d n ， 2 1 1 . bn 1 1 7 an n 2 7 7 1 ∵函数 f ( x ) 1 在 (, ) 和 ( , ) 上均是单调递 7 2 2 x 2
次组成数列 an ，则 an3 an .
36
江苏省启东中学资源库
第八届 “名师之路”大型教科研活 动 暨南通市普通高中高效课堂推进会
互动
例1
提升
已知 an 是公差为 d 的等差数列，它的前
1 an n 项和为 Sn ，且 S4 2S2 4, bn . an (1)求公差 d 的值； 5 (2) 若 a1 , 求数列 bn 中的最大项和最小项 2
21 2
a 则数列 n 的前 n 项和为 n 1
2.
n 1
2
3. 设 M cos x cos x,sin x sin 3 4 3 4
2
x , x R 为 坐 标 平 面 上 一 点 ， 记
f x OM 2, 且 f x 的图像与射线 y 0 x 0 交点的横坐标从小到大依
的值；
* n N (3)若对任意的 ， 都有 bn b8 成立， 求 a1 的
取值范围．
江苏省启东中学资源库
第八届 “名师之路”大型教科研活 动 暨南通市普通高中高效课堂推进会
解：(1)法一：
S4 2S2 4, 4a1 6d 2(2a1 d ) 4, 解之得 d 1 S4 2S2 4,
2020年高考数学(理)总复习：数列的求和及综合应用(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：数列的求和及综合应用题型一 数列求和 【题型要点】(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．(2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如1+n n a a c(其中{a n }是各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等．(3)错位相减法：形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．(4)倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．(5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .(6)归纳猜想法：通过对S 1，S 2，S 3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n ，然后用数学归纳法给出证明．【例1】已知各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，若S 3＝b 5＋1，b 4是a 2和a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，∴b 5＝6，b 4＝4，设各项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， ∵S 3＝b 5＋1＝7，∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，① ∵b 4是a 2和a 4的等比中项，∴a 2·a 4＝a 23＝16，解得a 3＝a 1q 2＝4，②由①②得3q 2－4q －4＝0，解得q ＝2，或q ＝－23(舍)，∴a 1＝1，a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(1＋1)·20＋2·2＋(3＋1)·22＋4·23＋(5＋1)·24＋…＋[[(n －1)＋1]·2n－2＋n ·2n －1＝(20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1)＋(20＋22＋…＋2n －2)，设H n ＝20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1，①2H n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，② ①－②，得－H n ＝20＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴H n ＝(n －1)·2n ＋1，∴T n ＝(n －1)·2n＋1＋1－4·2n 1－4＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-32n ·2n ＋23.当n 为奇数，且n ≥3时，T n ＝T n －1＋(n ＋1)·2n －1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-35n ·2n －1＋23＋(n ＋1)·2n －1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-322n ·2n －1＋23，经检验，T 1＝2符合上式， ∴T n ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--为偶数为奇数n n n n n n ,32232,3223221【反思总结】(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列． (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．题组训练一 数列求和已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (a ∈N *)．(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)(log 3a n ＋2)2(log 3a n ＋1)2，求{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵等比数列{a n }满足6S n ＝3n ＋1＋a (a ∈N *)，n ＝1时，6a 1＝9＋a ；n ≥2时，6a n ＝6(S n －S n －1)＝3n ＋1＋a －(3n ＋a )＝2×3n .∴a n ＝3n －1，n ＝1时也成立，∴1×6＝9＋a ，解得a ＝－3，∴a n ＝3n －1.(2)b n ＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)(log 3a n ＋2)2(log 3a n ＋1)2＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)n 2(n ＋1)2＝(－1)n －1()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n当n 为奇数时，T n ＝+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+222231212111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n ＝1＋1(n ＋1)2； 当n 为偶数时，T n ＝+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+222231212111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n ＝1－1(n ＋1)2. 综上，T n ＝1＋(－1)n－11(n ＋1)2. 题型二 数列与函数的综合问题 【题型要点】数列与函数的综合问题主要有以下两类：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若点(b n ，a n )在函数y ＝log 2x 的图象上，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＝4×1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .(2)由点{b n ，a n }在函数y ＝log 2x 的图象上得a n ＝log 2b n ，且a n ＝4n ，∴b n ＝2an ＝24n ＝16n ，故数列{b n }是以16为首项，公比为16的等比数列．T n ＝16(1－16n )1－16＝16n ＋1－1615.题组训练二 数列与函数的综合问题已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n (n ∈N *)． (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛na 1，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式． 【解】 (1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝2n ，得b ＝2n ，又f (x )的图象过点(－4n,0)，所以16n 2a －4nb ＝0，解得a ＝12.所以f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由(1)知f ′(x )＝x ＋2n (n ∈N *)， 所以1a n ＋1＝1a n ＋2n ，即1a n ＋1－1a n＝2n .所以1a n －1a n －1＝2(n －1), 1a n －1－1a n －2＝2(n －2)，…1a 2－1a 1＝2，以上各式相加得1a n －14＝n 2－n ，所以a n ＝1n 2－n ＋14，即a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *)． 题型三 数列与不等式的综合问题 【题型要点】(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性求解．(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常利用放缩法或单调性法证明．(3)当已知数列关系时，需要知道其范围时，可借助数列的单调性，即比较相邻两项的大小即可．【例3】设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13n⎪⎭⎫ ⎝⎛32.(1)【解】 方法一 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1，所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，①则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，②由①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1， 所以f n ′(2)＝(n －1)2n ＋1.方法二 当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2，可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n ＋1.(2)[证明] 因为f n (0)＝－1＜0，f n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32＝32132132-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n－1＝1－2×n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32≥1－2×232⎪⎭⎫ ⎝⎛＞0，所以f n (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0内至少存在一个零点，又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0，所以f n (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0内单调递增，因此f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点a n ，由于f n (x )＝x －x n ＋11－x －1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23，所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×132+⎪⎭⎫ ⎝⎛n ＝13n⎪⎭⎫ ⎝⎛32. 题组训练三 数列与不等式的综合问题1.已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝10·4n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2a n .(1)求b n ，S n ；(2)设c n ＝b n ＋12，证明：c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)．【解】 (1)解 由题意知a 2＋a 1＝10，a 2＋a 3＝40，设{a n }的公比为q ，则a 2＋a 3a 1＋a 2＝q (a 1＋a 2)a 1＋a 2＝4，∴q ＝4.则a 1＋a 2＝a 1＋4a 1＝10，解得a 1＝2，∴a n ＝2·4n －1＝22n －1.∴b n ＝log 222n －1＝2n －1.∴S n ＝n (b 1＋b n )2＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)证明 法一∵c n ＝b n ＋12＝2n －1＋12＝n ，∴S n ＋1＝(n ＋1)2.要证明c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1，即证1×2＋2×3＋…＋n ×(n ＋1)<12(n ＋1)2，①当n ＝1时，1×2<12×(1＋1)2＝2成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立， 即1×2＋2×3＋…＋k ×(k ＋1)<12(k ＋1)2，则当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，要证1×2＋2×3＋…＋k ×(k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)<12(k ＋2)2，即证(k ＋1)(k ＋2)<12(k ＋2)2－12(k ＋1)2，即(k ＋1)(k ＋2)<k ＋32，两边平方得k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋94显然成立，∴当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，不等式成立． 综上，不等式成立．法二 ∵c n ＝b n ＋12＝2n －1＋12＝n ，S n ＋1＝(n ＋1)2，由基本不等式可知n (n ＋1)≤n ＋n ＋12＝n ＋12，故1×2<1＋12，2×3<2＋12，…，n (n ＋1)≤n ＋12，∴1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)<(1＋2＋3＋…＋n )＋n 2＝n 2＋2n 2<n 2＋2n ＋12＝(n ＋1)22，即不等式c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)成立．2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a 2n，n ∈N *，记S n ，T n 分别是数列{a n }，{a 2n }的前n 项和．证明：当n ∈N *时，(1)a n ＋1<a n ； (2)T n ＝1a 2n ＋1－2n －1；(3)2n －1<S n <2n .【证明】 (1)由a 1＝1及a n ＋1＝a n1＋a 2n 知，a n >0，故a n ＋1－a n ＝a n 1＋a 2n －a n ＝－a 3n1＋a 2n <0， ∴a n ＋1<a n ，n ∈N *. (2)由1a n ＋1＝1a n ＋a n ，得1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2，从而1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2＝1a 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋2×2＝…＝1a 21＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＋2n ，又∵a 1＝1，∴T n ＝1a 2n ＋1－2n －1，n ∈N *. (3)由(2)知，a n ＋1＝1T n ＋2n ＋1，由T n ≥a 21＝1，得a n ＋1≤12n ＋2，∴当n ≥2时，a n ≤12n ＝22n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)，由此S n <a 1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)]＝1＋2(n －1)<2n ，n ≥2，又∵a 1＝1，∴S n <2n .另一方面，由a n ＝1a n ＋1－1a n ，得S n ＝1a n ＋1－1a 1≥2n ＋2－1>2n －1.综上，2n －1<S n <2n .【专题训练】1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8, S n ＝a n ＋12－n －1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3na n a n ＋1的前n 项和T n .【解】 (1)因为S n ＝a n ＋12－n －1，故当n ＝1时，a 1＝a 22－1－1＝2；当n ≥2时，2S n ＝a n ＋1－2n －2,2S n －1＝a n －2(n －1)－2，两式相减可得a n ＋1＝3a n ＋2； 经检验，当n ＝1时也满足a n ＋1＝3a n ＋2，故a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，故数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，故a n ＋1＝3n ，即a n ＝3n －1.(2)由(1)可知，2×3n a n a n ＋1＝2×3n(3n －1)(3n ＋1－1) ＝13n－1－13n ＋1－1， 故T n ＝131－1－132－1＋132－1－133－1＋…＋13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝log 2a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .【解析】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋2，∴当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，两式相减得，a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，则a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，∵a 1＝2，∴a 2＝S 1＋2＝4，满足a 2a 1＝2，∴数列{a n }是以2为公比、首项为2的等比数列，则a n ＝2·2n －1＝2n ；(2)由(1)得，b n ＝log 2a n ＝log 22n ＝n ， ∴1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 3．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2,4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：n 4n ＋4<T n <12.【解析】 (1)∵4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *， ∴4a 1＝a 1·a 2，又a 1＝2，∴a 2＝4.当n ≥2时，4S n －1＝a n －1·a n ，得4a n ＝a n ·a n ＋1－a n －1·a n .由题意知a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝4. ①当n ＝2k ＋1，k ∈N *时，a 2k ＋2－a 2k ＝4，即a 2，a 4，…，a 2k 是首项为4，公差为4的等差数列， ∴a 2k ＝4＋(k －1)×4＝4k ＝2×2k ； ②当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1－a 2k －1＝4，即a 1，a 3，…，a 2k －1是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a 2k －1＝2＋(k －1)×4＝4k －2＝2(2k －1)． 综上可知，a n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明：∵1a 2n ＝14n 2>14n (n ＋1)＝14⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n n ，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n>14⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n ＝141－1n ＋1＝n 4n ＋4. 又∵1a 2n ＝14n 2<14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--121121n n ，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n <12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-+-12112171515131311n n ＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211n <12. 即得n 4n ＋4<T n <12.4．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立．(1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＜13成立，求正实数b 1的取值范围；(3)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由． 【解】 (1)因为A n ＝n 2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－(n －1)2，n ≥2， 即a n ＝2n －1，故b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1，所以数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以B n ＝n ·2＋12·n ·(n －1)·1＝12n 2＋32n . (2)依题意B n ＋1－B n ＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1b n＝2， 所以数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝B n ＝1－2n1－2×b 1＝b 1(2n －1)， 所以b n ＋1a n a n ＋1＝2nb 1(2n －1)·(2n ＋1－1)， 因为b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+1211211n n 所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+12112111n ，所以1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+12112111n ＜13恒成立，即b 1＞3⎪⎭⎫ ⎝⎛--+12111n ，所以b 1≥3.(3)由a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )得：a n ＋1－a n ＝2n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋23＋22＋2＝2n ＋1－2， 当n ＝1时，上式也成立，所以A n ＝2n ＋2－4－2n ， 又B n ＝2n ＋1－2，所以A n B n ＝2n ＋2－4－2n 2n ＋1－2＝2－n 2n －1， 假设存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t 成等差数列，等价于121－1，s 2s －1，t 2t －1成等差数列， 即2s 2s－1＝121－1＋t 2t －1，即2s 2s －1＝1＋t 2t －1，因为1＋t 2t －1＞1，所以2s 2s －1＞1，即2s ＜2s ＋1，令h (s )＝2s －2s －1(s ≥2，s ∈N *)，则h (s ＋1)－h (s )＝2s －2＞0所以h (s )递增， 若s ≥3，则h (s )≥h (3)＝1＞0，不满足2s ＜2s ＋1，所以s ＝2，代入2s 2s －1＝121－1＋t 2t －1得2t －3t －1＝0(t ≥3)，当t ＝3时，显然不符合要求； 当t ≥4时，令φ(t )＝2t －3t －1(t ≥4，t ∈N *)，则同理可证φ(t )递增，所以φ(t )≥φ(4)＝3＞0，所以不符合要求．所以，不存在正整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t成等差数列．。
最新数列专题：数列与函数综合问题(含答案)超经典
数列专题：数列与函数综合问题一．选择题（共30小题）1．已知函数f （x ）=x e1+x e （e 是自然对数的底数），设a n ={f(n)，n ≤2019f(14039−n )，n ＞2019，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4037的值是（ ） A ．2018B ．2019C ．40372D ．403922．已知函数f （x ）={x +12，x ≤122x −1，12＜x ＜1x −1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1=73，a n +1＝f （a n ）（n ∈N +），则a 2019＝（ ）A ．73B ．43C ．56D ．133．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x −32）＝f （x ），f （﹣2）＝﹣3，数列{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）+…+f （a 2018）＝（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．2D ．34．定义：F （x ，y ）＝y x （x ＞0，y ＞0），已知数列{a n }满足：a n =F(n ，2)F(2，n)（n ∈N *），若对任意正整数n ，都有a n ≥a k （k ∈N *）成立，则a k 的值为（ ） A ．12B ．2C ．98D ．895．对于数列{a n }，a 1＝4，a n +1＝f （a n ），n ＝1，2，…，则a 2020等于（ ）x 1 2 3 4 5 f （x ） 5 43 12A ．2B ．3C ．4D ．56．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且满足f （32−x ）＝f （x ），f （﹣2）＝﹣2，数列{a n }满足a 1＝﹣1，且S n n=2a n n+1（S n 为{a n }的前n 项和），则f （a 5）＝（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．27．已知{a n }满足a n +1＝a n +2n ，且a 1＝32，则a nn的最小值为（ ）A ．8√2−1B ．525C ．373D ．108．在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n ．若点（S n n，S n+1n+1）在直线y ＝2x ﹣1上，则a 9等于（ ）A ．1290B ．1280C ．1281D ．18219．已知函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数，且在R 上时单调递增函数，函数g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，则a 1+a 2+…+a 9＝（ ） A ．18B ．9C ．27D ．8110．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且满足f （2﹣x ）＝f （x ），f （﹣1）＝1，数列{a n }满足a 1＝﹣1，S n n=2a n n+1（n ∈N +），其中S n 是数列{a n }的前n 项和，则f （a 5）+f （a 6）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．111．已知定义域为正整数集的函数f （x ）满足f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）+1，f （1）＝1，则数列{（﹣1）n f （n ）f （n +1）}（n ∈N *）的前99项和为（ ） A ．﹣19799B ．﹣19797C ．﹣19795D ．﹣1979312．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，当x ＜0时，f （x ）＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，f （x ）f （y ）＝f （x +y ）恒成立，若数列{a n }满足f （a n +1）f （11+a n）＝l （n ∈N *）且a 1＝f （0），则下列结论成立的是（ ）A ．f （a 2015）＞f （a 2018）B ．f （a 2018）＞f （a 2019）C ．f （a 2017）＞f （a 2018）D ．f （a 2015）＞f （a 2017）13．已知函数f(n)=n 2sin(2n−32π)，且a n ＝f （n ），则a 1+a 2+a 3+…+a 200＝（ ）A ．20100B ．20500C ．40100D ．1005014．已知函数f （x ）=4x2x−1，M ＝f （1n）+f （2n）+…+f （n n）（n ∈N *，且n 为奇数），则M 等于（ ） A ．2n ﹣1B ．n −12C ．2n +2D ．2n +1215．已知各项都为正数的等比数列{a n }，满足a 3＝2a 1+a 2，若存在两项a m ，a n ，使得√a m a n =4a 1，则1m+4n的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．13D ．116．已知数列{a n }中，a 1＝2，n •a n +1﹣（n +1）•a n ＝1，n ∈N *．若对于任意的n ∈N *，不等式a n+1n+1＜a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（3，+∞）B ．（﹣∞，3）C ．[3，+∞）D ．（﹣∞，3]17．已知F （x ）＝f （x +12）﹣1是R 上的奇函数，a n ＝f （0）+f （1n）+f （2n）+…+f （n−1n）+f （1）（n ∈N *），则数列{a n } 的通项公式为（ ） A ．a n ＝n ﹣1B ．a n ＝nC ．a n ＝n +1D ．a n ＝n 231．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且满足f （3﹣x ）＝f （x ），f （﹣1）＝3，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n （a n +1﹣a n ）（n ∈N *），则f （a 36）+f （a 37）＝32．对于函数f （x ）和实数M ，若存在m ，n ∈N +，使f （m ）+f （m +1）+f （m +2）+…+f （m +n ）＝M 成立，则称（m ，n ）为函数f （x ）关于M 的一个“生长点”．若（1，2）为函数f （x ）＝cos （π2x +π3）关于M的一个“生长点”，则M ＝ ；若f （x ）＝2x +1，M ＝105，则函数f （x ）关于M 的“生长点”共有 个．33．如果函数f （x ）满足：对任意实数a ，b 都有f （a +b ）＝f （a ）f （b ），且f （1）＝1，则f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(4)f(3)+⋯+f(2018)f(2017)=参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．已知函数f （x ）=x e1+x e （e 是自然对数的底数），设a n ={f(n)，n ≤2019f(14039−n )，n ＞2019，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4037的值是（ ） A ．2018B ．2019C ．40372D ．40392【解答】解：根据题意，函数f （x ）=x e 1+x e ，则f （1x ）=(1x )e1+(1x)e =11+x e ，且f （1）=11+1=12，则有f （x ）+f （1x）=x e 1+x e +11+x e=1， 又由a n ={f(n)，n ≤2019f(14039−n )，n ＞2019， 则S 4037＝f （1）+f （2）+……+f （2019）+f （12019）+f （12018）+……+f （12）＝f （1）+[f （2）+f （12）]+[f （3）+f （13）]+……+f （2019）+f （12019）=12+2018=40372； 故选：C ．2．已知函数f （x ）={x +12，x ≤122x −1，12＜x ＜1x −1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1=73，a n +1＝f （a n ）（n ∈N +），则a 2019＝（ ）A ．73B ．43C ．56D ．13【解答】解：根据题意，函数f （x ）={x +12，x ≤122x −1，12＜x ＜1x −1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1=73，a n +1＝f （a n ），则a 2＝a 1﹣1=43， a 3＝a 2﹣1=13， a 4＝a 3+12=56， a 5＝2a 4﹣1=23，a 6＝2a 5﹣1=13， a 7＝a 6+12=56，则数列{a n }满足a n +3＝a n ，（n ≥3），即数列{a n }从第三项开始，组成周期为3的数列， 则a 2019＝a 3+2016＝a 3=13， 故选：D ．3．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x −32）＝f （x ），f （﹣2）＝﹣3，数列{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）+…+f （a 2018）＝（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．2D ．3【解答】解：根据题意，f （x ）为奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）， 又由f （x ）满足f （32−x ）＝f （x ），则f （32−x ）＝﹣f （﹣x ），则有f （3﹣x ）＝﹣f （32−x ）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为3的周期函数，数列{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则d =a 7−a27−2=2，则a n ＝2n ﹣1， 则a 1＝1，a 3＝5，则f （a 1）＝f （1）＝f （﹣2）＝﹣3， f （a 2）＝f （3）＝f （0）＝0，f （a 3）＝f （5）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝3，则有f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）＝（﹣3）+0+（3）＝0， f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）+…+f （a 2018）＝f （1）+f （3）+f （5）+f （7）+f （8）+f （9）+……+f （2016）+f （2017）+f （2018） ＝672×[f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）]+f （2017）+f （2018）＝﹣3； 故选：B ．4．定义：F （x ，y ）＝y x （x ＞0，y ＞0），已知数列{a n }满足：a n =F(n ，2)F(2，n)（n ∈N *），若对任意正整数n ，都有a n ≥a k （k ∈N *）成立，则a k 的值为（ ） A ．12B ．2C ．98D ．89【解答】解：∵F （x ，y ）＝y x （x ＞0，y ＞0），∴a n =F(n ，2)F(2，n)=2nn2∴a n+1a n=2n+1(n+1)22n n 2=2⋅n 2(n+1)2，∵2n 2﹣（n +1）2＝（n ﹣1）2﹣2，当n ≥3时，（n ﹣1）2﹣2＞0， ∴当n ≥3时a n +1＞a n ；当，n ＜3时，（n ﹣1）2﹣2＜O ，所以当n ＜3时a n +1＜a n ． ∴当n ＝3时a n 取到最小值为f （3）=89 故选：D ．5．对于数列{a n }，a 1＝4，a n +1＝f （a n ），n ＝1，2，…，则a 2020等于（ ）x 1 2 3 4 5 f （x ） 5 43 12A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：数列{a n }，a 1＝4，a n +1＝f （a n ），n ＝1，2…，其中f （x ）如表所示x 1 2 3 4 5 f （x ）54312则a 2＝f （4）＝1，a 3＝f （1）＝5，a 4＝f （5）＝2，a 5＝f （2）＝4，…，数列是周期数列，周期为4， ∴a 2020＝a 504×4+4＝a 4＝2． 故选：A ．6．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且满足f （32−x ）＝f （x ），f （﹣2）＝﹣2，数列{a n }满足a 1＝﹣1，且S n n=2a n n+1（S n 为{a n }的前n 项和），则f （a 5）＝（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．2【解答】解：∵函数f （x ）是奇函数 ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ） ∵f （32−x ）＝f （x ），∴f （32−x ）＝﹣f （﹣x ）∴f （3+x ）＝f [32−（−32−x ）]＝﹣f （32+x ）＝﹣f [32−（﹣x ）]＝﹣f （﹣x ）＝f （x ）∴f （x ）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n }满足a 1＝﹣1，且S n n=2a n n+1，∴a 1＝﹣1，且S n ＝2a n +n ， ∴a 5＝﹣31，∴f （a 5）＝f （﹣31）＝f （2）＝f （2）＝﹣f （﹣2）＝3 故选：C ．7．已知{a n }满足a n +1＝a n +2n ，且a 1＝32，则a n n的最小值为（ ）A ．8√2−1B ．525C ．373D ．10【解答】解：∵a 1＝32，a n +1﹣a n ＝2n ，∴n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+……+（a 2﹣a 1）+a 1 ＝2（n ﹣1）+2（n ﹣2）+……+2×1+32 ＝2×(n−1)(n−1+1)2+32＝n 2﹣n +32， 则a nn=n +32n +1． 令f （x ）＝x +32x+1，（x ≥1）． f ′（x ）＝1−32x 2=(x+4√2)(x−4)x 2． 可得：函数f （x ）在[1，4 √2）内单调递减；在（4√2，+∞）上单调递增． 又f （5）＝6+325=625=12+25，f （6）＝7+326=373=12+13． ∴n ＝6时，则a n n 取得最小值373．故选：C ．8．在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n ．若点（S n n，S n+1n+1）在直线y ＝2x ﹣1上，则a 9等于（ ）A ．1290B ．1280C ．1281D ．1821【解答】解：点（S n n，S n+1n+1）在直线y ＝2x ﹣1上，可得S n+1n+1−1＝2（S n n−1），又S 11−1=a 1−1=1，所以数列{S n n−1}是首项为1公比为2的等比数列，所以S n n−1＝2n ﹣1，得S n ＝n （1+2n ﹣1），当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝（n +1）2n ﹣2+1，故 a 9＝10×128+1＝1281． 故选：C ．9．已知函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数，且在R 上时单调递增函数，函数g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，则a 1+a 2+…+a 9＝（ ） A ．18B ．9C ．27D ．81【解答】解：根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27， 即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0， 又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6， 则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27； 故选：C ．10．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且满足f （2﹣x ）＝f （x ），f （﹣1）＝1，数列{a n }满足a 1＝﹣1，S n n=2a n n+1（n ∈N +），其中S n 是数列{a n }的前n 项和，则f （a 5）+f （a 6）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【解答】解：∵数列{a n }满足a 1＝﹣1，S n n=2a n n+1（n ∈N +），其中S n 是数列{a n }的前n 项和，∴S n ＝2a n +n ，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n +n ﹣2a n ﹣1﹣（n ﹣1）， 整理，得a n −1a n−1−1=2，∵a 1﹣1＝﹣2，∴{a n ﹣1}是首项为﹣2，公差为2的等比数列， ∴a n ﹣1＝﹣2×2n ﹣1，∴a n ＝1﹣2×2n ﹣1．∴a 5＝1﹣2×24＝﹣31，a 6=1−2×25=−63，∵f （2﹣x ）＝f （x ），f （﹣1）＝1， ∴f （x ）关于直线x ＝1对称，又∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数 ∴函数f （x ）是一个周期函数，且T ＝4， ∴f （a 5）+f （a 6）＝f （﹣31）+f （﹣63）＝f （32﹣31）+f （64﹣63）＝f （1）+f （1）＝﹣f （﹣1）﹣f （﹣1）＝﹣1﹣1＝﹣2． 故选：A ．11．已知定义域为正整数集的函数f （x ）满足f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）+1，f （1）＝1，则数列{（﹣1）n f （n ）f （n +1）}（n ∈N *）的前99项和为（ ） A ．﹣19799B ．﹣19797C ．﹣19795D ．﹣19793【解答】解：令x ＝n ，y ＝1，可得f （n +1）＝f （n ）+f （1）+1， 则f （n +1）﹣f （n ）＝f （1）+1＝2，则数列{f （n ）}的首项为1，公差为2的等差数列， 从而f （n ）＝2n ﹣1，则（﹣1）n f （n ）f （n +1）＝（﹣1）n （4n 2﹣1）＝4（﹣1）n n 2﹣（﹣1）n ， 则{（﹣1）n f （n ）f （n +1）}（n ∈N *）的前99项和为 4（﹣12+22﹣32+42+…﹣972+982﹣992）﹣（﹣1）， ＝4[（1+2）+（3+4）+…+（97+98）﹣992]+1， ＝4[(1+98)×982−992]+1，＝4×99×（49﹣99）+1， ＝﹣19799， 故选：A ．12．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，当x ＜0时，f （x ）＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，f （x ）f （y ）＝f （x +y ）恒成立，若数列{a n }满足f （a n +1）f （11+a n）＝l （n ∈N *）且a 1＝f （0），则下列结论成立的是（ ）A ．f （a 2015）＞f （a 2018）B ．f （a 2018）＞f （a 2019）C ．f （a 2017）＞f （a 2018）D ．f （a 2015）＞f （a 2017）【解答】解：对任意的实数x ，y ∈R ，f （x ）f （y ）＝f （x +y ）恒成立， 取x ＝y ＝0，则f （0）f （0）＝f （0），解得f （0）＝0，或f （0）＝1． 取f （0）＝1．取y＝﹣x＜0，则f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x）=1f(−x)＜1，设x1＜x2，则f（x1﹣x2）＝f（x1）•f（﹣x2）=f(x1)f(x2)＞1，∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）在R上单调递减．∵数列{a n}满足f（a n+1）f（11+a n）＝l＝f（0）．∴a n+1+11+a n=0，∵a1＝f（0）＝1，∴a2=−12，a3＝﹣2，a4＝1，a5=−12，……．∴a n+3＝a n．∴a2015＝a3×671+2＝a2=−12，a2017＝a3×672+1＝a1＝1．a2018＝a3×672+2＝a2=−12，a2019＝a3×672+3＝a3＝﹣2．∴f（a2015）=f(−12)＞1，f（a2017）＝f（1）＜1．∴f（a2015）＞f（a2017）．而f（a2015）＝f（a2018），f（a2017）＜1＜f（a2018），f（a2018）＝f（−12）＜f（a2019）＝f（﹣2），因此只有：D正确．故选：D．13．已知函数f(n)=n2sin(2n−32π)，且a n＝f（n），则a1+a2+a3+…+a200＝（）A．20100B．20500C．40100D．10050【解答】解：可得f（2k）＝4k2sin（−32π）＝4k2，f（2k﹣1）＝（2k﹣1）2sin（−5π2）＝﹣（2k﹣1）2．k∈N*，∴且a n＝f（n）={n2，(n为偶数)−n2，(n为奇数)，∴a1+a2+a3+…+a200＝（22﹣12）+（32﹣22）+（42﹣32）+…+（2002﹣1992）＝1+2+3+…+200＝20100．故选：A．14．已知函数f（x）=4x2x−1，M＝f（1n）+f（2n）+…+f（nn）（n∈N*，且n为奇数），则M等于（）A．2n﹣1B．n−12C．2n+2D．2n+12【解答】解：∵f （x ）=4x2x−1， ∴f （x ）+f （1﹣x ）=4x2x−1+4(1−x)2(1−x)−1 =4x 2x−1+4−4x 1−2x =4x 2x−1−4−4x 2x−1=4(2x−1)2x−1=4． ∴M ＝f （1n ）+f （2n ）+…+f （nn ）＝4×n−12+f （1）＝2n ﹣2+4＝2n +2． 故选：C ．15．已知各项都为正数的等比数列{a n }，满足a 3＝2a 1+a 2，若存在两项a m ，a n ，使得√a m a n =4a 1，则1m+4n的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．13D ．1【解答】解：各项都为正数且公比为q 的等比数列{a n }， ∵a 3＝2a 1+a 2，∴a 1⋅q 2=2a 1+a 1⋅q 即q 2＝2+q ，解得q ＝2或﹣1（舍去﹣1）． ∵存在两项a m ，a n ，使得√a m a n =4a 1， ∴得a 21•2m +n ﹣2＝16a 21，∴m +n ＝6． 则1m+4n=16（m +n ）（1m +4n）=16（1+4m n +n m +4）≥16（2√4m n ⋅n m +5）=32． 当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立． 则1m+4n的最小值为32．故选：B ．16．已知数列{a n }中，a 1＝2，n •a n +1﹣（n +1）•a n ＝1，n ∈N *．若对于任意的n ∈N *，不等式a n+1n+1＜a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（3，+∞）B ．（﹣∞，3）C ．[3，+∞）D ．（﹣∞，3]【解答】解：数列{a n }中，a 1＝2，n •a n +1﹣（n +1）•a n ＝1，n ∈N *． 可得a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n−1n+1，由a 22−a 11=1−12，a 33−a 22=12−13，a 44−a 33=13−14，…，a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n−1n+1，上面各式相加可得， 得a n+1n+1−a 11=1−1n+1， 则a n+1n+1=3−1n+1＜3，由对于任意的n ∈N *，不等式a n+1n+1＜a 恒成立，可得a ≥3，即有a 的取值范围是[3，+∞）． 故选：C ．17．已知F （x ）＝f （x +12）﹣1是R 上的奇函数，a n ＝f （0）+f （1n）+f （2n）+…+f （n−1n）+f （1）（n ∈N *），则数列{a n } 的通项公式为（ ） A ．a n ＝n ﹣1B ．a n ＝nC ．a n ＝n +1D ．a n ＝n 2【解答】解：F （x ）＝f （x +12）﹣1在R 上为奇函数 故F （﹣x ）＝﹣F （x ），代入得：f （12−x ）+f （12+x ）＝2，（x ∈R ）当x ＝0时，f （12）＝1．令t =12−x ，则12+x ＝1﹣t ， 上式即为：f （t ）+f （1﹣t ）＝2． 当n 为偶数时：a n ＝f （0）+f （1n）+f （2n ）+…+f （n−1n）+f （1）（n ∈N *）＝[f （0）+f （1）]+[f （1n）+f （n−1n）]+…+[f （12n−12）+f （12n+12）]+f （12）=2×n 2+1 ＝n +1． 当n 为奇数时：a n ＝f （0）+f （1n）+f （2n ）+…+f （n−1n）+f （1）（n ∈N *）＝[f （0）+f （1）]+[f （1n）+f （n−1n）]+…+[f （n−12n）+f （n+12n）]＝2×n+12＝n +1．综上所述，a n ＝n +1． 故选：C ．填空题31．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且满足f （3﹣x ）＝f （x ），f （﹣1）＝3，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n （a n +1﹣a n ）（n ∈N *），则f （a 36）+f （a 37）＝ ﹣3【解答】解：∵函数f （x ）是奇函数，且满足f （3﹣x ）＝f （x ），f （﹣1）＝3， ∴f （x ）＝f （3﹣x ）＝﹣f （x ﹣3），即f （x +3）＝﹣f （x ），则f （x +6）＝﹣f （x +3）＝f （x ）， 即函数f （x ）是周期为6的周期函数，由数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n （a n +1﹣a n ） （n ∈N *）， 则a n ＝na n +1﹣na n ， 即（1+n ）a n ＝na n +1， 则a n+1a n =1+n n ， 则a 2a 1=21，a 3a 2=32，⋯a nan−1=nn−1，等式两边同时相乘得a n a 1=n ，即a n ＝na 1＝n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝n ，则f （a 36）+f （a 37）＝f （36）+f （37）＝f （0）+f （1）， ∵f （x ）是奇函数，∴f （0）＝0， ∵f （﹣1）＝3，∴﹣f （1）＝3， 即f （1）＝﹣3，则f （a 36）+f （a 37）＝f （36）+f （37）＝f （0）+f （1）＝0﹣3＝﹣3， 故答案为：﹣3．32．对于函数f （x ）和实数M ，若存在m ，n ∈N +，使f （m ）+f （m +1）+f （m +2）+…+f （m +n ）＝M 成立，则称（m ，n ）为函数f （x ）关于M 的一个“生长点”．若（1，2）为函数f （x ）＝cos （π2x +π3）关于M的一个“生长点”，则M ＝ −12 ；若f （x ）＝2x +1，M ＝105，则函数f （x ）关于M 的“生长点”共有3 个．【解答】解：若（1，2）为函数f （x ）＝cos （π2x +π3）关于M 的一个“生长点”，则M ＝f （1）+f （2）+f （3）＝cos （π2+π3）+cos （π2×2+π3）+cos （π2×3+π3）＝﹣sin π3−cos π3+cos （−π6）=−√32−12+√32=−12，若f （x ）＝2x +1，M ＝105， 则f （m ）是公差为2的等差数列，则由f （m ）+f （m +1）+f （m +2）+…+f （m +n ）＝105 得（n +1）（2m +1）+(n+1)⋅n2×2=105 即（n +1）（2m +1）+n （n +1）＝105， 即（n +1）（2m +n +1）＝105，∵105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15，∴由{n +1=32m +n +1=35得{n =2m =16，此时“生长点”为（2，16），由{n +1=52m +n +1=21得{n =4m =8，此时“生长点”为（4，8）， 由{n +1=72m +n +1=15得{n =6m =4，此时“生长点”为（6，4）， 故函数f （x ）关于M 的“生长点”共有3个， 故答案为：−12，333．如果函数f （x ）满足：对任意实数a ，b 都有f （a +b ）＝f （a ）f （b ），且f （1）＝1，则f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(4)f(3)+⋯+f(2018)f(2017)= 2017【解答】解：∵f （x ）满足对任意的实数a ，b 都有f （a +b ）＝f （a ）•f （b ），且f （1）＝2， ∴f （a +1）＝f （a ）•f （1）＝f （a ）， ∴f(a+1)f(a)=1，∴f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(4)f(3)+⋯+f(2018)f(2017)=1×2017＝2017．故答案为：2017．。
函数与数列结合压轴练习题和详细的分析解答(1)
（Ⅰ）证明 单调递增；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）记 ，其前 项和为 ，求证： ．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）首先求出 ，然后通过证明 恒成立即可；
（Ⅱ）利用数学归纳法，即首先验证 时不等式是否成立，然后假设当 时不等式成立，再通过验证 时不等式是否成立使问题得证；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，先放缩再结合等比数列的求和公式即可证明．
【详解】
（Ⅰ）由函数 ，则 ，
所以 是 上的单调递增函数．
（Ⅱ）因为 ，即 ．
又因为 是单调递增函数，可得 ，即 ．
又由 ， ，
综上可得 ．
用数学归纳法证明如下：
①当 时，上面已证明成立．
②假设当 时，有 ，
则当 时，由 是单调递增函数，可得 ，
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） ．
6．已知函数 ( ) = ，g ( )= + ．
（1）求函数h ( )= ( )-g ( )的零点个数，并说明理由；
（2）设数列 满足 ， ，证明：存在常数M,使得对于任意的 ，都有 ≤ .
函数与数列结合压轴练习题和详细的分析解答（1）
1．已知函数
（1）当x∈[0，π]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(参考数据：sin1≈0.84)
（2）当a=1时，数列{an}满足：0<an<1， =f(an)，求证：{an}是递减数列.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
求导 ， ，分 ， ， 三种情况讨论求解.
（2）要证{an}是递减数列.即证 ，由a=1，构造函数 ，用导数法证明 即可.
数列与函数的综合应用
数列与函数在科研项目中的应用
案例分析：数 列与函数在科 研项目中的应
用
案例背景：介 绍科研项目的
背景和目的
案例过程：详 细描述数列与 函数在科研项 目中的应用过
程
案例结论：总 结数列与函数 在科研项目中 的应用效果和
意义
数列与函数在实际工程中的应用
案例分析：数列与函数在桥梁 设计中的应用
案例分析：数列与函数在建筑 结构分析中的应用
函数的表示方法：函数可以用解析式、表格、图象等多种方式表示，这些表示方法各有优缺点， 可以根据具体情况选择使用。
函数的实际应用：函数在实际生活中有着广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等领域都需 要用到函数的概念和性质。
数列与函数的关联
数列是一种特殊的函数，具有离散的特点 数列的项数无限时，可以转化为连续函数 函数的概念可以推广到数列，如等差数列、等比数列等 数列与函数在数学中有着广泛的应用，如求和、积分等
数列与函数的运算规则
数列的加减法
定义：数列的加减 法是指将两个数列 对应项相加或相减， 得到一个新的数列
规则：对应项相加 或相减，得到新的 数列
运算步骤：先确定 两个数列的项数， 然后对应项相加或 相减，得到新的数 列
注意事项：在进行 数列的加减法时，ຫໍສະໝຸດ 需要注意数列的项 数和对应项的符号
函数的加减法
案例分析：数列与函数在机械 工程中的应用
案例分析：数列与函数在电子 工程中的应用
如何提高数列与函数的综合应 用能力
掌握数列与函数的基本概念和性质
理解数列与函数的定义和性质 掌握数列与函数的极限和连续性 熟悉数列与函数的导数和积分 掌握数列与函数的图象和几何意义
理解数列与函数的运算规则
数列与函数相结合的题型求解方法
数列与函数相结合的题型求解方法在解数列综合题中经常碰到与函数相结合的题目，对于这类题目不少学生感到难度较大，其主要原因是有的学生难以运用函数知识进行解题。
本文通过具体的例子来说明这类题型的求解方法。
1．与一次函数相结合例1．设数列{an}的前n项之和是，a, b是常数，且b≠a。
(1)证明：数列{an}是等差数列；(2)证明：以为坐标的点Pn(n=1,2,3,……）都在同一直线上，并写出此直线方程。
（1993年上海高考题）分析：要证数列{an }是等差数列，只要证an=kn+t (其中k, t是常数)，即数列的通项是关于n的一次函数即可，∵ Sn=an+bn(n-1),∴即∴an =a+2(n-1)b，从而数列an的通项是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列。
(2)要证以为坐标的点Pn(n=1,2,3,……）都在同一直线上，只要证Pn(n≥2且n∈N)与第一点连线的斜率为定值即可。
因为，所以，以为坐标的点Pn(n=1,2,3,……）都在过(a, a-1)且斜率为的同一直线上，所以所求的直线方程为，即x-2y+a-2=0。
2．与二次函数相结合例2．在直角坐标平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),……,Pn(an,bn),……,对每一个自然数n,点P n (an,bn)在函数y=x2的图象上，且点Pn(an,bn),点A(n,0),点B(n+1,0)，构成一个以点Pn(an,bn)为顶点的等腰三角形。
(1)求对每一个自然数n，以点Pn 纵坐标构成的数列bn的通项公式；(2)令，求的值。
分析：(1) 由Pn A=PnB可得。
又∵ Pn (an,bn)在函数y=x2的图象上，∴.(2)∵ ,∴3．与指数函数相结合例3．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),……,Pn(an,bn),……对每一个自然数n，点P n (an,bn)在函数y=的图象上，且点Pn(an,bn)，点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以点P n (an,bn)为顶点的等腰三角形。
数列与三角函数的综合-高中数学知识点讲解(含答案)
数列与三角函数的综合（北京习题集）（教师版）一．选择题（共2小题）1．（2011•延庆县一模）已知函数()sin f x x =，5(0,)2x π∈，若方程()f x a =有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则a 的值是( ) A ．12B ．2 C ．3 D ．12．（2003•东城区二模）双曲线的虚轴长为4，离心率6e =，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且||AB 是2||AF 与2||BF 的等差中项，则||AB 等于( ) A ．82B ．42C ．22D ．8二．填空题（共1小题）3．（2012春•西城区期末）如图，设0P 是抛物线2y x =上一点，且在第一象限．过点0P 作抛物线的切线，交x 轴于1Q 点，过1Q 点作x 轴的垂线，交抛物线于1P 点，此时就称0P 确定了1P ．依此类推，可由1P 确定2P ，⋯．记(n n P x ，)n y ，0n =，1，2，⋯．给出下列三个结论：①0n x >；②数列{}n x 为单调递减数列；③对于n N ∀∈，01x ∃>，使得0122n y y y y +++⋯+<． 其中所有正确结论的序号为 ．三．解答题（共8小题）4．（2015春•西城区校级期中）已知各项为正的数列{}n a 的首项为12sin (a θθ=为锐角），22142n n a a +-=，数列{}n b 满足12n n n b a +=．（1）求证：当(0,)2x π∈时，sin x x <（2）求n a ，并证明：若4πθ=，则12n a a a π++⋯+<（3）是否存在最大正整数m ，使得sin n b m θ对任意正整数n 恒成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由． 5．（2014•海淀区校级模拟）已知sin(2)3sin αββ+=，设tan x α=，tan y β=，记()y f x = （1）求()f x 的表达式； （2）定义正数数列{}n a ；112a =，2*12()()n n n a a f a n N +=∈．试求数列{}n a 的通项公式． 6．（2012•东城区校级一模）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C成等差数列，sin cos A A +a．()I 求边b 的长； ()II 求ABC ∆的面积．7．（2009•朝阳区二模）设数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且点1(n S -，*)(n S n N ∈，2)n 在直线(23)330(t x ty t t +-+=为与n 无关的正实数）上．（Ⅰ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅱ）记数列{}n a 的公比为()f t ，数列{}n b 满足*1111,()(n n b b f n N b -==∈，2)n ． 设212221nn n n n b b b b -+=-，求数列{}n 的前n 项和n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设*1(1)()31nn n d n N b =+∈-，证明1n n d d +<． 8．（2006•朝阳区一模）在各项均为正数的数列{}n a 中，前n 项和n S 满足21(21)n n n S a a +=+，*n N ∈． （Ⅰ）证明{}n a 是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n 项和的公式；（Ⅱ）在XOY 平面上，设点列(n n M x ，)n y 满足n n a nx =，2n n S n y =，且点列n M 在直线C 上，n M 中最高点为k M ，若称直线C 与x 轴、直线x a =，x b =所围成的图形的面积为直线C 在区间[a ，]b 上的面积，试求直线C 在区间3[x ，]k x 上的面积．9．（2010秋•朝阳区期末）已知点(n n P a ，*)()n b n N ∈满足11n n n a a b ++=，1214nn nb b a +=-，且点1P 的坐标为(1,1)-． （Ⅰ）求经过点1P ，2P 的直线l 的方程；（Ⅱ） 已知点(n n P a ，*)()n b n N ∈在1P ，2P 两点确定的直线l 上，求证：数列1{}na 是等差数列． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有*n N ∈，能使不等式12231(1)(1)(1)n n a a a k b b b ++⋯+成立的最大实数k 的值．10．（2011•海淀区校级模拟）现有一组互不相同且从小到大排列的数据：0a ，1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，其中00a =，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工： 记015T a a a =++⋯+，5n n x =，1n y T=01()n a a a ++⋯+，作函数()y f x =，使其图象为逐点依次连接点(n n P x ，)(0n y n =，1，2，⋯，5)的折线．()I 求(0)f 和f （1）的值；()II 设1n n P P -的斜率为(1n k n =，2，3，4，5)，判断1k ，2k ，3k ，4k ，5k 的大小关系； ()III 证明：当(0,1)x ∈时，()f x x <．11．（2010秋•石景山区期末）如图，11(P x ，1)y 、22(P x ，2)y 、⋯、(n n P x ，12)(0)n n y y y y <<<⋯<是曲线2:3(0)C y x y =上的n 个点，点(i i A a ，0)(1i =，2，3，⋯，)n 在x 轴的正半轴上，且△1i i i A A P -是正三角形0(A 是坐标原点）． （1）写出1a ，2a ，3a ；（2）求出点(n n A a ，*0)()n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式；并用数学归纳法证明．数列与三角函数的综合（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2011•延庆县一模）已知函数()sin f x x =，5(0,)2x π∈，若方程()f x a =有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则a 的值是( ) A ．12B．2CD ．1【分析】可设其三个根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，根据题意得12x x π+=，①；233x x π+=，②；又1x ，2x ，3x 成等比数列，可设其公比为q ，由①②可解得q 的值，从而可求得1x ，继而可求得a ． 【解答】解：函数()sin f x x =，5(0,)2x π∈，若方程()f x a =有三个不同的实数根，三个根从小到大依次可设为1x ，2x ，3x ，则12x x π+=，233x x π+=；1x ，2x ，3x 成等比数列，可设其公比为q ，则22223x x q x qx ππ⎧+=⋯⎪⎨⎪+=⋯⎩①②由①②得：11113q q +=+，即2230q q --=，解得1q =-（舍)或3q =，代入①234x π∴=，23sin sin 42a x π∴===． 故选：B ．【点评】本题考查数列与三角函数的综合，难点在于“12x x π+=，233x x π+=”的理解，考查了数形结合思想与方程思想，属于难题．2．（2003•东城区二模）双曲线的虚轴长为4，离心率e =，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且||AB 是2||AF 与2||BF 的等差中项，则||AB 等于( ) A．B．C．D ．8【分析】由题意及双曲线的方程知双曲线的虚轴长为4，即24b =，利用离心率的知求解出a 的值，再利用||AB 是2||AF 与2||BF 的等差中项，得到||AB ．【解答】解：由题意可知624,c b e a ===，于是22a =， 222||||||AB AF BF =+，1122||||||||||AB AF BF AF BF ∴++=+，得2121||||||||||482AB AF AF BF BF a =-+-==． 故选：A ．【点评】此题重点考查了双曲线方程的虚轴的概念及离心率的概念，还考查了利用双曲线的第一定义求解出||AB 的大小．二．填空题（共1小题）3．（2012春•西城区期末）如图，设0P 是抛物线2y x =上一点，且在第一象限．过点0P 作抛物线的切线，交x 轴于1Q 点，过1Q 点作x 轴的垂线，交抛物线于1P 点，此时就称0P 确定了1P ．依此类推，可由1P 确定2P ，⋯．记(n n P x ，)n y ，0n =，1，2，⋯．给出下列三个结论：①0n x >；②数列{}n x 为单调递减数列；③对于n N ∀∈，01x ∃>，使得0122n y y y y +++⋯+<． 其中所有正确结论的序号为 ①②③ ．【分析】求出过点n P 作抛物线的切线方程为22()n n n y x x x x -=-，证明数列{}n x 为公比为12的等比数列，即可得到结论．【解答】解：记(n n P x ，)n y ，则 抛物线2y x =，2y x ∴'=，∴过点n P 作抛物线的切线方程为22()n n n y x x x x -=-，即22n n y x x x =-令0y =，则2102n n n x x x +=-，∴112n n x x +=∴数列{}n x 为公比为12的等比数列 0P 是抛物线2y x =上一点，且在第一象限， 0n x ∴>；数列{}n x 为单调递减数列；20222012011[1()]4114n n n x y y y y x x x -+++⋯+=++⋯+=- 00x ∴<时，0122n y y y y +++⋯+<． 01x ∴∃>，使得0122n y y y y +++⋯+<．故正确结论的序号为①②③ 故答案为：①②③．【点评】本题考查数列与解析几何的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 三．解答题（共8小题）4．（2015春•西城区校级期中）已知各项为正的数列{}n a 的首项为12sin (a θθ=为锐角）212n a +=，数列{}n b 满足12n n n b a +=．（1）求证：当(0,)2x π∈时，sin x x <（2）求n a ，并证明：若4πθ=，则12n a a a π++⋯+<（3）是否存在最大正整数m ，使得sin n b m θ对任意正整数n 恒成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）令()sin (0)2f x x x x π=-<<，则()cos 1(0)2f x x x π'=-<<，由此能够证明sin x x <．（2）212n a +=，得10)n n aa +=>，由12sin a θ=，得22sin 2a θ，32sin4a θ==，猜想：12sin 2n n a θ-=．然后用数学归纳法证明． （3）由12122sin2n n n n n b a θ++-==，知1112sin2sin2sin12221sin sin 2sin cos cos 22222nnnn nn n n n nb b θθθθθθθθ+--====>，由此能求出存在最大自然数8m =满足条件．【解答】解：（1）令()sin (0)2f x x x x π=-<<，则()cos 1(0)2f x x x π'=-<<，故()(0)0f x f <=，即sin x x <．⋯（3分）（2212n a +=，得10)n n a a +=>， 又12sin a θ=，∴2a=2sin2θ=，3a=2sin4θ=，猜想：12sin2n n a θ-=．⋯（5分）下面用数学归纳法证明： ①1n =时，12sin a θ=，成立， ②假设n k =时命题成立，即12sin2k k a θ-=，则1n k =+时，1k a +==2sin2kθ=，即1n k =+时命题成立．由①②知12sin 2n n a θ-=对*n N ∈成立．⋯（8分）由（1）知122sin 22n n n a θθ--=<，*n N ∈ 故1212222n n a a a θθθθ--++⋯+<+++⋯+12[1()]2112n θ-=- 14[1()]42n θθ=-<．因此4πθ=时，12n a a a π++⋯+<．⋯（11分）（3）12122sin2n n n n n b a θ++-==，故112sin2sin 2n n nn b b θθ+-=12sin 2sin 2nn θθ-=2sin 22sincos22n nnθθθ=11cos2nθ=>，{}n b 为递增数列，因此要使sin n b m θ对任意正整数n 恒成立，只需1sin b m θ成立，而18sin b θ，因此8m ， 故存在最大自然数8m =满足条件． ⋯（14分）【点评】本题考查数列与三角函数的综合应用，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数知识和数学归纳法的灵活运用．5．（2014•海淀区校级模拟）已知sin(2)3sin αββ+=，设tan x α=，tan y β=，记()y f x = （1）求()f x 的表达式； （2）定义正数数列{}n a ；112a =，2*12()()n n n a a f a n N +=∈．试求数列{}n a 的通项公式． 【分析】（1）由sin(2)3sin αββ+=，设tan x α=，tan y β=，记()y f x =，进行角的变换从而求出解析式； （2）根据定义正数数列{}n a ；112a =，2*12()()n n n a a f a n N +=∈，证明21{2}n a -是首项为2，公比为12的等比数列． 【解答】解：（1）由sin(2)3sin αββ+=，得sin[()]3sin[()]αβαβα+=+-， 所以tan()2tan αβα+=， 于是，tan tan 2tan 1tan tan αβααβ+=-，即21x y x xy +=-，解得：212xy x=+； （2）因为221222()12n n n n n a aa f a a +==+，所以2211112n na a +=+， 即2211112(2)2n naa +-=-，因此，21{2}n a -是首项为2，公比为12的等比数列． 所以121122()2n n a --=，故n a =．【点评】本题比较综合，考查函数的解析式的求法、数列的通项公式的求法，属于中档题．6．（2012•东城区校级一模）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C成等差数列，sin cos A A +a．()I 求边b 的长； ()II 求ABC ∆的面积．【分析】()I 、先根据题中已知条件利用等差数列先求出角B 的值，结合三角函数基本公式求出角A 的值，再利用正弦定理便可求出边b 的长度；()II 、根据角A 、B 的值求出sin C 的值，再利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积．【解答】解：()I 角A 、B 、C 成等差数列， 2B A C ∴=+．A CB π+=-，3B π∴=，3B π=．sin cos A A +22sin cos 1A A +=，得sin 21A =．又2(0,2)A π∈，∴22A π=，∴4A π=．由正弦定理得sin sin a bA B=，∴sinsin43b π=，∴b =．()sin sin(())sin()sin()sin cos cos sin 434343II C A B A B πππππππ=-+=+=+=+=或者5sin sin()sinsin()sin cos cos sin 12464646C A B ππππππππ=--==+=+=ABC ∆的面积1162sin 2322ABC S a b C ∆+===【点评】本题主要涉及等差数列、三角函数、正弦定理以及三角形面积的求法等知识点，是各地高考的热点，综合性较强，考查了学生对知识的综合运用和全面掌握，平常应多加训练．7．（2009•朝阳区二模）设数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且点1(n S -，*)(n S n N ∈，2)n 在直线(23)330(t x ty t t +-+=为与n 无关的正实数）上．（Ⅰ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅱ）记数列{}n a 的公比为()f t ，数列{}n b 满足*1111,()(n n b b f n N b -==∈，2)n ． 设212221nn n n n b b b b -+=-，求数列{}n 的前n 项和n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设*1(1)()31nn n d n N b =+∈-，证明1n n d d +<． 【分析】（Ⅰ）因为点1(n S -，*)(n S n N ∈，2)n 在直线(23)330(t x ty t t +-+=为与n 无关的正实数）上，所以1(23)330n n t S tS t -+-+=，由此能够证明{}n a 是等比数列．（Ⅱ） 由（Ⅰ） 知23()3t f t t +=，从而111112312()133n n n n n b b f b b b ----+===+，所以*12(3n n b b n N --=∈，2)n ．由此能够求出数列{}n 的前n 项和n T ． （Ⅲ） 由（Ⅱ）知1(1)2n n d n =+，则111[1]2(1)n n d n ++=++．将1(1)2n n d n=+用二项式定理展开，共有1n +项，1111(1)(1)11121()(1)(1)(1)22!2!kk k n k k kn n n k k T C n k n k n n n+-⋯-+-===--⋯-，同理，111[1]2(1)n n d n ++=++用二项式定理展开，第2n +项11211[]02(1)n n n n U C n ++++=>+，由此能够证明1n n d d +<．【解答】解：（Ⅰ）因为点1(n S -，*)(n S n N ∈，2)n 在直线(23)330(t x ty t t +-+=为与n 无关的正实数）上， 所以1(23)330n n t S tS t -+-+=，即有*13(23)3(n n tS t S t n N --+=∈，2)n ． 当2n =时，1213()(23)3t a a t a t +-+=． 由11a =，解得2233t a t+=， 所以21233a t a t+=． 当2n 时，有13(23)3n n tS t S t +-+=① 13(23)3n n tS t S t --+=②①-②，得13(23)0n n ta t a +-+=， 整理得1233n n a t a t++=． 综上所述，知123(*)3n n a t n N a t++=∈， 因此{}n a 是等比数列．⋯（5分）（Ⅱ） 由（Ⅰ） 知23()3t f t t +=，从而111112312()133n n n n n b b f b b b ----+===+，所以*12(3n n b b n N --=∈，2)n ．因此，{}n b 是等差数列，并且121(1)33n b b n d n =+-=+．所以，123n nT c c c =+++⋯+12233445212221n n n n b b b b b b b b b b b b -+=-+-+⋯+- 21343522121()()()n n n b b b b b b b b b -+=-+-+⋯+-22242541()()44332()3232n n n n n b b d b b b +++=-++⋯+=-=- 28493n n =--． ⋯（10分）（Ⅲ） 由（Ⅱ）知1(1)2nn d n=+， 则111[1]2(1)n n d n ++=++．将1(1)2nn d n=+用二项式定理展开， 共有1n +项，其第1k +项(0)k n 为1111(1)(1)()22!kk k n kkn n n k T C n k n +-⋯-+== 11121(1)(1)(1)2!k k k n n n-=--⋯-， 同理，111[1]2(1)n n d n ++=++用二项式定理展开，共有2n +项，第2n +项为11211[]02(1)n n n n U C n ++++=>+，其前1n +项中的第1k +项(0)k n 为111121(1)(1)(1)2!111k kk U k n n n +-=--⋯-+++， 由112211,11,,11,2,3,,111k kk n n n n n n n -<--<-⋯-<-=⋯+++， 得11k k T U ++<，2k =，3，⋯，n ， 又11T U =，22T U =，20n U +>，1n n d d +∴<． ⋯（13分）【点评】本题考查等比数列的证明、前n 项和的求法和不等式的证明，结合含两个变量的不等式的处理问题，计算量大，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．8．（2006•朝阳区一模）在各项均为正数的数列{}n a 中，前n 项和n S 满足21(21)n n n S a a +=+，*n N ∈．（Ⅰ）证明{}n a 是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n 项和的公式；（Ⅱ）在XOY 平面上，设点列(n n M x ，)n y 满足n n a nx =，2n n S n y =，且点列n M 在直线C 上，n M 中最高点为k M ，若称直线C 与x 轴、直线x a =，x b =所围成的图形的面积为直线C 在区间[a ，]b 上的面积，试求直线C 在区间3[x ，]k x 上的面积．【分析】()I 由已知中21(21)n n n S a a +=+，可得2221n n n S a a =+-，且2111221n n n S a a +++=+-，*n N ∈．两式相减后可得112n n a a d +-==，即{}n a 是等差数列，求出首项后，易得数列的通项公式及前n 项和的公式； （Ⅱ）由n n a nx =，2n n S n y =，结合()I 中结论求出n x ，n y ，进而求出点列n M 上点的坐标及所在直线的方程，进而求出所求平面区域的面积． 【解答】解：()21(21)n n n I S a a +=+，*n N ∈．2221n n n S a a ∴=+-，*n N ∈．⋯①故2111221n n n S a a +++=+-，*n N ∈．⋯②②-①得：22111222n n n n n a a a a a +++=-+-结合0n a >，得112n n a a d +-== {}n a ∴是等差数列⋯（4分）又1n =时，11121(21)a a a +=+，解得11a =或112a =-（舍去）．又12d =，故12n n a +=， 21344n S n n ∴=+⋯（7分）()n n II a nx =，2n n S n y =，12n n x n +∴=，34n n y n+= 即得点1(2n n M n +，3)4n n+ 设12n x n+=，34n y n +=，消去n ，得3210x y --=即直线C 的方程为3210x y --=⋯（11分） 又34n y n+=是在n 为正整数时为减函数 1M ∴为n M 中的最高点，且1(1,1)M ．又3M 的坐标为2(3，1)2C ∴与x 轴、直线23x =，1x =围成的图形为直角梯形，从而直线C 在2[3，1]上的面积为 1121(1)(1)2234S =⨯+⨯-= ⋯（14分）【点评】本题是数列与解析几何的综合，数列递推式求通项及前n 项公式，是数列的综合应用，难度较大． 9．（2010秋•朝阳区期末）已知点(n n P a ，*)()n b n N ∈满足11n n n a a b ++=，1214nn nb b a +=-，且点1P 的坐标为(1,1)-． （Ⅰ）求经过点1P ，2P 的直线l 的方程；（Ⅱ） 已知点(n n P a ，*)()n b n N ∈在1P ，2P 两点确定的直线l 上，求证：数列1{}na 是等差数列． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有*n N ∈，能使不等式12231(1)(1)(1)n n a a a k b b b ++⋯+成立的最大实数k 的值．【分析】（Ⅰ）由12211143b b a ==-，知211(,)33P ．由此知过点1P ，2P 的直线l 的方程为21x y +=． （Ⅱ）由(n n P a ，)n b 在直线l 上，知21n n a b +=．故1112n n b a ++=-．由11n n n a a b ++=，得112n n n n a a a a ++=-．由此知1{}na 是公差为2的等差数列． （Ⅲ）由1112(1)n n a a =+-．，知112(1)21n n n a =+-=-．所以121n a n =-，231221n n n b a n -=-=-．依题意12(1)(1)(1n k a a a +++12()(1)(1)(1n F n a a a =+++，所以只需求满足()k F n 的()F n 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为12211143b b a ==-，所以21213a ab ==．所以211(,)33P ．（1分） 所以过点1P ，2P 的直线l 的方程为21x y +=．（2分） （Ⅱ）因为(n n P a ，)n b 在直线l 上，所以21n n a b +=．所以1112n n b a ++=-．（3分） 由11n n n a a b ++=，得11(12)n n n a a a ++=-．即112n n n n a a a a ++=-． 所以1112n n a a +-=．所以1{}na 是公差为2的等差数列．（5分） （Ⅲ）由（Ⅱ）得1112(1)n n a a =+-． 所以112(1)21nn n a =+-=-． 所以121n a n =-．（7分） 所以231221n n n b a n -=-=-．（8分） 依题意12(1)(1)(1n k a a a +++设12()(1)(1)(1n F n a a a =+++，所以只需求满足()k F n 的()F n 的最小值．（10分）因为(1)()F n F n +1(11n a +=+==>，所以*()()F n x N ∈为增函数．（12分）所以()(1)min F n F ===． 所以23k．所以max k =．（14分） 【点评】本题考查数列与解析几何的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用公式．10．（2011•海淀区校级模拟）现有一组互不相同且从小到大排列的数据：0a ，1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，其中00a =，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工： 记015T a a a =++⋯+，5n n x =，1n y T=01()n a a a ++⋯+，作函数()y f x =，使其图象为逐点依次连接点(n n P x ，)(0n y n =，1，2，⋯，5)的折线．()I 求(0)f 和f （1）的值；()II 设1n n P P -的斜率为(1n k n =，2，3，4，5)，判断1k ，2k ，3k ，4k ，5k 的大小关系； ()III 证明：当(0,1)x ∈时，()f x x <．【分析】()I 直接根据定义即可得到(0)f 和f （1）的值；()II 先根据两点式写出直线的斜率，再根据0a ，1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，是按从小到大的顺序排列即可得到结论； ()III 由于()f x 的图象是连接各点(n n P x ，)(0n y n =，1，⋯，5)的折线，把问题转化为证明()(1n n f x x n <=，2，3，4)；再对()f x 的表达式进行放缩即可得到结论．【解答】解：()I 解：0012345(0)0a f a a a a a a ==+++++，f （1）05051a a a a +⋯+==+⋯+．()II 解：115n n n n n n ny y k a x x T ---==-，1n =，2，⋯，5，因为12345a a a a a <<<<，所以12345k k k k k <<<<．()III 证明：由于()f x 的图象是连接各点(n n P x ，)(0n y n =，1，⋯，5)的折线，要证明()(01)f x x x <<<，只需证明()(1n n f x x n <=，2，3，4)． 事实上，当1(n x x -∈，)n x 时， 1111()()()()()n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=-+-1111()()n n n n n n n n x x x x f x f x x x x x ------=+--1111n n n n n n n n x x x x x x x x x x x ------<+=--．下面证明()n n f x x <． 对任何(1n n =，2，3，4)，115()[(5)]()n n a a n n a a +⋯+=+-+⋯+ 11()(5)()n n n a a n a a =+⋯++-+⋯+11()(5)[(5)]n n n n n a a n na n a a n a +⋯++-=+⋯++- 115()n n n a a a a nT +<+⋯+++⋯+=．所以1()5n n n a a nf x x T +⋯+=<=． 【点评】本题主要考查函数知识、斜率公式、分析问题解决问题的能力，结合已知采用分析法将所求问题转化到能够解决的范围内．11．（2010秋•石景山区期末）如图，11(P x ，1)y 、22(P x ，2)y 、⋯、(n n P x ，12)(0)n n y y y y <<<⋯<是曲线2:3(0)C y x y =上的n 个点，点(i i A a ，0)(1i =，2，3，⋯，)n 在x 轴的正半轴上，且△1i i i A A P -是正三角形0(A 是坐标原点）． （1）写出1a ，2a ，3a ；（2）求出点(n n A a ，*0)()n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式；并用数学归纳法证明．【分析】（1）由题意可知直线01A P 为y =，然后与23y x =联立可得到1P 的坐标，再由△011A A P 是正三角形可得到1A 的坐标得到1a 的值，同理可得到2a 、3a ． （2）先根据题意可得到关系12n n n a a x -+=，132n n n a a y --=，然后根据23nn y x =得211()2()n n n n a a a a ---=+，从而可猜想数列通项公式(1)n a n n =+，再由数学归纳法证明即可． 【解答】解（1）12a =，26a =，312a =； （2）依题意，得12n n n a a x -+=，132n n n a a y --=，由此及23n n y x =得21133)()22n n n n a a a a ---=+，即211()2()n n n n a a a a ---=+． 由（1）可猜想：*(1)n a n n n N =+∈ 下面用数学归纳法予以证明： （1）当1n =时，命题显然成立；（2）假定当n k =时命题成立，即有(1)n a k k =+，则当1n k =+时，由归纳假设及211()2()k k k k a a a a ++-=+得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-++=， 解之得1(1)(2)k a k k +=++，1((1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去）， 即当1n k =+时，命题成立． 由（1）、（2）知：命题成立．【点评】本题主要考查求数列通项公式、数列的单调性问题以及二次函数的恒成立问题，考查综合运用能力．。
数列综合题型
（一）数列和函数综合1．已知数列{a n}中，，且当时，函数取得极值．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足：b1=2，，证明：是等差数列，并求数列{b n}的通项公式通项及前n 项和S n．2．已知：f n（x）=a1x+a2x2+…+a n x n，且数列{a n}成等差数列．（1）当n为正偶数时，f n（﹣1）=n，且a1=1，求数列{a n}的通项；（2）试比较与3的大小．3．已知f（x）在（﹣1，1）上有定义，，且满足x，y∈（﹣1，1）有．对数列{x n}有（1）证明：f（x）在（﹣1，1）上为奇函数．（2）求f（x n）的表达式．（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*且＜成立？若存在，求出m的最小值．（二）数列与不等式综合4．（2011•湖南）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+．（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{ a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（a n+1）=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．5．如图：假设三角形数表中的第n行的第二个数为a n（n≥2，n∈N*）（1）归纳出a n+1与a n的关系式并求出a n的通项公式；（2）设a n b n=1求证：b2+b3+…+b n＜2．6．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，其中a1≠a2，a m、a k、a h都是数列{a n}中满足a h﹣a k=a k﹣a m的任意项．（Ⅰ）证明：m+h=2k；（Ⅱ）证明：S m•S h≤S k2；（III）若也成等差数列，且a 1=2，求数列的前n项和．（三）数列和向量综合7．已知点集，其中=（2x﹣b，1），=（1，b+1），点列P n（a n，b n）在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列{a n}的公差为1，n∈N*．（I）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若，令S n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；试写出S n关于n的函数解析式；8．已知一列非零向量，n∈N*，满足：=（10，﹣5），，（n32 ）．，其中k是非零常数．（1）求数列{||}是的通项公式；（2）求向量与的夹角；（n≥2）；（3）当k=时，把，，…，，…中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，，…，，…，令，O为坐标原点，求点列{B n}的极限点B的坐标．（注：若点坐标为（t n，s n），且，，则称点B（t，s）为点列的极限点．）9．我们把一系列向量（i=1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}．已知向量列{}满足：，=（n≥2）．（1）证明数列{||}是等比数列；（2）设θn表示向量，间的夹角，若b n=2nθn﹣1，S n=b1+b2+…+b n，求S n；（3）设||•log2||，问数列{c n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．10．从原点出发的某质点M，按向量=（0，1）移动的概率为，按向量=（0，2）移动的概率为，设可达到点（0，n）的概率为P n，求：（1）求P1和P2的值．（2）求证：P n+2=P n+P n+1．（3）求P n的表达式．（四）数列和三角函数综合11．已知点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、B n（n，y n）（n∈N）顺次为一次函数图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、A n（x n，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点A n、B n、A n+1构成一个顶角的顶点为B n的等腰三角形．（1）求数列{y n}2的通项公式，并证明{y n}3是等差数列；（2）证明x n+2﹣x n5为常数，并求出数列{x n}6的通项公式；（3）问上述等腰三角形A n8B n9A n+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．12．设数列{a n}是首项为0的递增数列，（n∈N），，x∈[a n，a n+1]满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根．（1）试写出y=f1（x），并求出a2；（2）求a n+1﹣a n，并求出{a n}的通项公式；（3）设S n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+（﹣1）n﹣1a n，求S n．13．（理）已知复数，其中A，B，C是△ABC的内角，若．（1）求证：；（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求的最大值．（五）数列和解析几何综合14．在xoy平面上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2）…，P n（x n，y n），…，（n∈N*），点P n在函数y=x2（x≥0）的图象上，以点P n为圆心的圆P n与x轴都相切，且圆P n与圆P n+1又彼此外切．若x1=1，且x n+1＜x n x1=1．（I）求数列{x n}的通项公式；（II）设圆P n的面积为S n，，求证：．15．已知点P n（a n，b n）满足，且．（1）求点P1坐标，并写出过点P0，P1的直线L的方程；（2）猜测点P n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；（3）求数列{a n}与{b n}的通项公式，并求的最小值（其中O为坐标原点，n∈N*）．16．如图，在直角坐标系xOy中，有一组底边长为a n的等腰直角三角形A n B n C n（n=1，2，3，…），底边B n C n依次放置在y轴上（相邻顶点重合），点B1的坐标为（0，b），b＞0．（1）若A1，A2，A2，…，A n在同一条直线上，求证：数列{a n}是等比数列；（2）若a1是正整数，A1，A2，A2，…，A n依次在函数y=x2的图象上，且前三个等腰直角三角形面积之和不大于，求数列{a n}的通项公式．17．已知点P n（a n，b n）满足，且．（1）求点P1坐标，并写出过点P0，P1的直线L的方程；（2）猜测点P n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；（3）求数列{a n}与{b n}的通项公式（n∈N*）．答案与评分标准1．已知数列{a n}中，，且当时，函数取得极值．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足：b1=2，，证明：是等差数列，并求数列{b n}的通项公式通项及前n项和S n．考点：数列与函数的综合；等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八讲数列与函数的综合一、重点公式1 •等差数列的有关定义(1) 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列•符号表示为(n N*，d为常数)•⑵数列a,A,b成等差数列的充要条件是，其中A叫做a,b的2 •等差数列的有关公式(1)通项公式：a n , a n a m (m,n N*).⑵前n项和公式：S n.3 •等差数列的前n项和公式与函数的关系：S n.数列a n是等差数列的充要条件是其前n项和公式S n.4 •等差数列的性质(1)若m n p q ( m,n, p,q N*),则有，特别地，当m n 2p时，•⑵等差数列中，S n , S2n S n , S sn S?*成等差数列.⑶等差数列的单调性：若公差 d 0,则数列为；若d 0，则数列为；若d 0 ,则数列为5.等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示(q 0) •6 •等比数列的通项公式设等比数列a n的首项为a1，公比为q，则它的通项a. .7 .等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a , G , b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.8 •等比数列的常用性质1 通项公式的推广：a n a m (n ,m2 若a n为等比数列，且k l m n (k,l,m, n3 若a n , b n (项数相同)是等比数列，则a n*N ) •N*)，则比数列.12 a n .(0), ,a n , a n b n , n仍是等a nb na10 a10a1⑷单调性：或？a n是数列；q 1 0 q 10 q ? a n是数列；q 1? a n是数列；q 0a10或1 q 1a n是数列. na1 ；S2n仍成等比数列，其公比1•下列公式可作为数列a n1,2,1,2,1,2(A • a n 1B •a (1)n 12S n，则使S n< —5成立的自然D .有最小值31a n的前n项和为S n ,则S1009 •等比数列的前n项和公式等比数列a n的公比为q (q 0)，其前n项和为S n ,当q 1时，S n当q 1时，S n10 •等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列a n的前n项和为S n，则S n, S?n S n , &n为二、典型例题知识点1 数列的概念2.数列a n的通项a n J ，则数列a n中的最大值是( )n290a r~“ 1 .10A. 3 10B. 19C.—D.-19 60知识点2 前n项和n +13•已知数列a n的通项公式a n = log 2 (n€ N*)，设｛a n｝的前n项的和为n + 2数n ()A .有最大值 63B .有最小值 63C .有最大值 314 .设关于x的不等式x2—x<2 nx (n € N*)的解集中整数的个数为a n,数列的值为5.在数列a n中，若点(n,a n)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列a.的前9项和S9.知识点3 综合题型6 •互不相等的三个正数，X i,X2,X3成等比数列且点P i(log a X i,log b yJ, P2(log a X2,log b y2), P3(log a X3,log b y3), (a 0,a 1;b 0,b 1)三点共线，则y i, y2, y3 成( )(A )等差但非等比数列(B)等比数列(C)既是等差数列又是等比数列(D)既不是等差数列又不是等比数列* 27.设数列｛a n｝是项数为20的等比数列，公差d N，且关于X的方程x 2dx 4 0的两个实数根满足X i 1 X2，则数列｛a n｝的偶数项之和减去奇数项之和的结果为( )(A) 15 ( B) 10 ( C) 5 ( D) 208•已知定义在(0,1)的函数f (x), 对任意的m, n (1,)且m n时，都有f(z)n f ( m n )。
记On1 mn1),n N*，则在数列｛a n｝中,5n 5 ai a2 a8 ()1 (A) f(2)1(B) f(3)f(4)(D) f(-)59•已知二次函数 f(x) 2x 5x 10 ,当 x (n, n 1] , nN *时，把f (x)在此区间内的整数值的个数表示为a n . (1)求a ?的值; ⑵求n 3时a n 的表达式；(3)令b n，求数列b n 的前n 项和S n (n 3).an an 1210.二次函数f (x) x x ，当x n 33n 2M* 卄a n ( nN )」Sng( n)n 1n(n 1)A. ( 1)n 1- 2(n,n a 11]( n N *)时，f(x)的函数值中所有整数值的个数为 a2 a3 a4(1)n1a ng(n),B.(1)nn(n 1)C n(n 1)n(n 1) 2(1)求证：数列a n 1是等比数列; ⑵求」一一1—a? a〔a3 a 21an 1 a n 的值.11.已知数列Iog2(a n 1)为等差数列，且a i 3, a2 5.12.已知数列a n，S n是其前n项和，且a n 7S n 1 2(n 2)，a1 2 .(1)求数列a n的通项公式；1 - m *⑵设b n ，T n是数列b n 的前n项和，求使得T n 对所有n N都成立的取小正log 2 a n log 2 a n 1 20整数m.7.数列｛a n ｝的通项aA . 470B . 490C . 495三、同步练习1 .如果a i , a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d 丸，则( ).A . a i a 8>a 4a 5B . a i a s v a 4a 5C . a i + a 8v a 4 + a 5D . a i a 8 = a 4a 512 .已知方程(x 2 — 2x + m )(x 2— 2x + n ) = 0的四个根组成一个首项为一的等差数列，则| m — n |等于 4( ).A. iB. 3C. iD34283.若数列｛a n ｝是等差数列，首项a i > 0 , a 2 003 + a 2 004 > 0, a 2 003 a 2 004 v 0 , 则使前 n 项和 S n > 0成立的最大自然数n 是().A. 4 005B. 4 006C . 4 007D . 4 0084•一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为 46。
，则最大角为 ________ .35.每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的，若洗n 次后，存在的污垢在 I%以下，则 4n 的最小值为 __________ .6 .已知等差数列lg x i , lg x 2，…，Ig x n 的第r 项为s ,第s 项为r (0< r < s )，贝U x i + X 2 + •••+ x n = _______22n 2 nn(co盲sin寸，其前n 项和为Sn '则S30为()8.已知y= f(x)为一次函数，且f(2)、f(5)、f(4)成等比数列，f(8) = I5 ,求S n = f(i) + f(2) +…+ f(n)的表达式.（1）求a2,a3的（2）求证：数列S n 2 是等比数列．值;第九讲立体几何立体几何的几种常见分类（线线、线面）立体几何属于高考重点、必考点，也是中低档题目;但是由于从 12 年开始考查灵活应用及空间想象感越来越强，所以非规则建立坐标系的题目也越来越多。
对于平行与垂直的位置的证明同学们相对来说基本上都能掌握;但是对于异面直线所成角、线面角及二面角的要求越来越精细，所以就常见的几种基本题型做个分类。
考点题型 1 异面直线所成角：直接平移法：1.已知正四棱柱ABCD- A I B I C I D I中，AA i 2AB , E为AA i中点，则异面直线BE与CD i所成角的余炫值为（）10.3. （09年四川）如图，已知正三棱柱 ABCC .辽10中位线平移：2.已知正四棱锥SABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，_则AE ， SD 所成的角的余弦值为（)1A.B.3C.2D . 一3 3 3 3割补法平移:A1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC i 的中点，则异面直线AB i 和BM所成的角的大小是空间角平分线：4.在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB BC 1, AA 1 2 ,过顶点D 1在空间作直线丨，使丨与直线AC 和BC 1所 成的角都等于600，这样的直线丨最多可做（）A 1A. 1条B. 2条C.3条D.4条()A. 0条B.1条C.2条D.无数条6.（06年四川）已知二面角l 的大小为60°，m, n为异面直线，且m ，n，则m, n所成的角为（o o A. 30 B. 60oC. 90 D. 1207.（全国）等边ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C AB D的余弦值为仝M，N分别是与线面角的定义结合：5.在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，则在平面BCC1B1内过点P且与直线AC成50°角的直线有与二面角定义结合:AC，BC的中点，贝U EM，AN所成角的余弦值等于8.（北京）如图，ABCD A1B1C1D1是正四棱柱.（1）求证：BD 平面ACC1A1 ；（2）若二面角C1 BD C的大小为60，求异面直线BC1与AC所成角的大小. 9.（福建）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD 平面ABCD , NB丄平面ABCD，且MD NB 1, E为BC的中点.（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（2）在线段AN上是否存在点S,使得ES 平面ANB?若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.11.（福建）如图，在长方体ABCD A^ B1C1D1 中，AB BC 2，AA, 1，贝U BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（y/6A. -3 B.2、55V?5C.5考点题型2 线面角与二面角定义直接法：10. （07年四川）如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是三余弦法：A在底面ABC内的射影为△ ABC的中心，则AB i与底面12.已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,ABC所成角的正弦值等于（)1A.-B. C V3 3 3只“求”不作法：13.（06年四川）在三棱锥O ABC中，三条棱OA OB, OC两两互相垂直，且OA OB OC , M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是14.（全国）四棱锥S ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBCB底面ABCD •已知Z ABC 45°，AB 2，BC 2,2，SA SB .（1）证明SA BC ；（2）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值.△ GCD 分// AD ，且(2)当 AB 12，BC 25，EG8时，求直线BG 2和平面G 1ADG 2所成的角.线DE 翻折成△ A DE ，使平面ADE 丄平面BCD , F 为线段AC 的中点.（1） 求证：BF// 面 ADE ；（2） 设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面ADE 所成角的余弦值.16.（湖南）如图2， E ， F 分别是矩形ABCD 的边AB, CD 的中点，G 是EF 上的一点，将 △ GAB ， 别沿AB, CD 翻折成△ G 1AB ， △ G 2CD ，并连结G 1G 2，使得平面G 1 AB _L 平面ABCD ， G 1G 2GG 2 AD •连结BG 2，如图3.（1）证明：平面G 1AB 丄平面G ADG 2;（浙江）AB与AC .19.(山东)如图，已知四棱锥P ABCD，底面ABCD为菱形，PA 平面ABCD，ABC 60°，E，F分别与二面角定义的结合：往往借助与线面垂直找“垂线”17.( 10年四川)如图，二面角| 的大小是60 °，线段AB . B l ,AB与|所成的角为300•贝U平面所成的角的正弦值是18.(全国)四棱锥A BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC 底面BCDE , BC 2 , CD .2 , AB(1)证明：AD CE ；(2)设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C AD E的大小.C D是BC，PC的中点.(1)证明：AE PD ;AF C的余弦值.(2)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为—，求二面角E2D，叫」1直线的斜率：倾斜角不是900的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.即k tan ( 90°).第十讲直线的倾斜角和斜率重点知识讲解 1.直线的倾斜角：在直角坐标系下，以x 轴为基准，当直线I 与x 轴相交时，x 轴正向与直线I 向上方向之间所成的最小正角 做直线I 的倾斜角.3.如图，经过两点R（X i,如），P2（ X2, y2）的直线，设直线R P2的倾斜角是，斜率是k,则k tan yX2 yiX i(X i X2).ALJA"例1 ⑴直线XCOS•、3y 2 0的倾斜角的范围是（2）若直线的倾斜角tan 3 ，则的取值范围是当右上白勺寸凋日寸.比値又如伯丁甲它丫二典型例题（一）知识点i直线的倾斜角（二）知识点2直线的斜率例2 （1）若直线|过（2,3）和（6,5）两点，则直线I的斜率为，倾斜角为.⑵设直线ax by c 0的倾斜角为，且sin cos 0，则a，b满足（)A. a b 1B.a b 1C. a b 0D. a b 0 （三）知识点3直线的斜率的计算如果直线I沿X轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线I的斜率.三同步测试1.直线xsinA.(0,：)2y 1 0B.(0,)C.[打)3D.[0,：]U[,) 4 4若直线mx y 0与线段AB有交点，其中A( 2,3)，B(3，2)，求实数m的取值范围⑵设直线I过原点，其倾斜角为，将直线I绕坐标原点沿逆时针方向旋转45 ,得到直线11，则直线h的倾斜角为________________斜率为_________ .(四) 知识点4斜率的综合运用2 y 3例4已知实数x, y满足y x 2x 2( 1 w x < 1)，试求的最大值和最小值.x 22 3例6 (高考题赏析)已知a 0，若平面内三点A(1, a) , B(2, a ) ,C(3, a )共线，则a= ____________ .A. a 4,b 0B.a4,b 3 C. a 4,b 3 D. a 4,b 37.已知两点M (2,3)、N( 3, 2)，直线I过点P(1,1)且与线段MN相交,则直线I的斜率k的取值范围是(3 一33A. k 或k4B. 4 k -C. k 4 4443 D. k 442. 已知直线经过点A(0, 4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为( )A. 3B. 2C. 2D.不存在3. 过点P( 2, m)和Q( m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为()A.1B.4C.1 或 3D.1 或 44. 已知三点A(a , 2), B(3,7), C( 2， 9a)在一条直线上，则实数a ________5. 给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以是300;③倾斜角为00的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线的倾斜角的集合{ |001800}与直线集合建立了一一映射关系.正确的有__________________________ .6.斜率为2的直线经过(3,5)、(a,7)、( 1,b)三点，贝U a、b的值是()1 11.若三点A(2,2), B(a,0), C(0, b)(ab 0)共线，则的值等于多少？a b四解答题2.已知实数x, y满足y |x 1| |x 2 |，3< x< 3，试求必」的最大值和最小值x 42.在直角坐标系内确定一条直线，有两种方法：①两点确定一条直线②一个点和倾斜角a ma3.(探究与拓展)证明不等式： (0 a b 且m0)(至少用两种不同的方法).b m b第十一讲直线的方程重点知识讲解1.直线在平面直角坐标系中的3种状态:y3.直线的方程的几种形式：①点斜式方程：过点A(x1, y1)且斜率为k的直线I为：y y r k(x xj.②斜截式方程：与y轴的截距为b，且斜率为k的直线I为：y kx b .(1) 两点式方程：过点A(x i, y i), B(x2, y2)的直线I 为：(y yj(x2 xj (x xj(y2 yj.(2) 截距式方程:与x, y轴的截距分别为a,b的直线I为:—y 1.a b三直线的一般式方程2 2 ①方程的形式：Ax By C 0( A B 0)②适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一般式表示 A C③几何意乂 : （i ）当B 0时，则 k （斜率）, B BC（ii ）当B 0, A 0时，则a （x 轴的截距）.Ab （ y 轴的截）；5•两条直线平行与垂直的判定（1）平行或重合：结论：①若k i ,k 2均存在，则k ik 2 I 1//I 2或l i 与12重合⑵垂直:—结论：①若k1, k 2均存在，则I 1 I 2 匕k 21二典型例题（一）知识点i 两条直线的平行(1)已知直线 I 1 :(k 3)x(4 k)y 10,与I 2 : 2（k 3）x 2y 3 0平行，kA. 1 或 3B.1 或5C.3 或 5D.1 或 2（2）已知过点A2, m 和 Bm,4的直线与直线2x0平行，则m 的值为（）A . 0B. 8C. 2D.10（二）知识点2 两条直线的垂直例2 (1)已知直线l 1: kx (1 k)y 3 0,与 l 2 :(k 1)x (2k 3）y 2 0垂直，则k 的值是（A . 1 或 3B. 1 或3C. 1 或 1D . 1 或3⑵若直线x 2y 50与直线2x my 6 0互相垂直，则实数m例 3 已知ABC 三边所在直线的方程为AB:3x 4y 12 0,(三 )知识点 3 直线方程的应用BC :4x 3y 16 0 , CA:2x y 2 0,求(1) 求ABC 的平分线所在直线的方程 ;(2)若边AB的中点为G，边AC的中点为F，求中位线GF所在直线的方程例4已知点A(0, 3),B( 1,0) ,C(3,0),求点D的坐标，使四边形ABCD .( A, B,C, D按逆时针方向排列 )例5 (高考题赏析)已知过原点0的一条直线与函数y log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y log2x的图像交于C, D两点.(1)证明：点C, D和原点0在同一条直线上；⑵当BC平行于x轴时，求点A的坐标.A. 1条B.2条C.3条D. 4条3.已知直线a(a1)x y 1 0与直线2x ay 10垂直,则实数 a 的值等于()1 A.- 23 B.- 2C.0或丄2D.0 或 324.如果直线h : 3x同步测试2.过点A(1,4)且在x 轴、y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有4y 3 0与直线l 2关于直线x 1对称,则直线I 2的方程为5. 过点A(4, 3),并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等直线I 的方程为 ______________6.若直线(3a 2)x (1 4a)y 8 0与直线(5a 2)x (a 4)y 7 0垂直，则a 的值为()1.已知直线 l 1: ax 3y 20 和 l 2 : x (2 a)y a 1 0若I 1 |2,则实数a ;若I 1//I 2,则实数aA. 0B.1C.0 或1D.0 或1C. y 3x 3D . y x 1311 1A . y xB . y x 13338.已知直线I 过点A( 2,2)且在第二象限与两坐标轴围成的三角形面积最小的直线 I 的方程是9.若直线I 过直线|「3x 5y 130和S ：x y 10的交点，且平行于l 3 : x 2y 5 0，则直线I 的方程是 _____________________ .四解答题1.已知点 A(2,3)和直线 l:3x 4y 20 0.求:①过点A 和直线I 平行的直线方程；②过点A 和直线I 垂直的直线方程2.已知直线 l 1: 2x y 2 0 , l 2: mx 4y n 0.(1)若l 1 l 2，求 m 的值；⑵若l 1 / /l 2,且它们的距离为'、5 ,求m,n 的值.3.直线l1:3x y 1 0道线l2过点(1,0)，且I2的倾斜角是l1的的倾斜角的2倍,求直线I2的方程.3.点到直线的距离：点P(x 0, y 0)到直线l : Ax By C 0的距离:d| Ax 0 B y 0 C Il 2 : A 2x B 2y C 20( A ?, B 2不同时为 0).Ax B-i V C 10 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组A 2xB 2yC 2(1) 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标 ；(2) 若方程无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.反之亦成立2.平面上的两点 P |(x-i , y 1), P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|RP 2| \ (x 1 x 2)2(y 1 y 2)2(使用点到直线的距离公式时直线方程必须化成一般式 Ax By C 0的形式)4.两条平行直线间的距离是①15° ②30° ° 0 0③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 _______________ 第十二讲直线的交点坐标与距离公式重点知识讲解1.两条直线的交点坐标已知两直线11 : A 1xB i yC 1 0(A 1, B 1不同时为0),|C1 C2| 两条平行线Ax By C1 0与Ax By C2 0间的距离：d 「一1L.J A B2注意:使用两平行线间的距离公式时：①首先直线的方程化成一般形式；②还要注意X、y的系数必须相同时才能读出C i、C2的值•三典型例题（一）求两直线的交点坐标例1求经过直线h：3x 2y 1 0和l2：5x 2y 1 0的交点，且垂直于直线b：3x 5y 6 0的直线I的方程.（二）知识点2点到直线的距离公式例2 （1）点P在直线x y 4 0上0为原点，则|OP| 的最小值是（）A. 2B.、6C. 2-2D. • 10⑵一条直线经过P(1,2),且与A(2,3)、B(4, 5)距离相等，则直线I为()A. 4x y 6 0B. x 4y 6 0C.3x 2y 7 0和4x y 6 0D.2x 3y 7 0 和x 4y 6 0d ，（三）知识点3两平行线间的距离公式 例3两条互相平行的直线分别过点 A （6,2）和B （ 3, 1），并且绕着A, B 旋转,如果两条平行直线间的距离为（i ）d 的变化范围；（2）当d 取最大值时，两条直线的方程.（四）知识点4距离公式的综合运用例4已知三条直线11 : 2x y a 0 （a 0）,直线l 2: 4x 2y 1 0和直线b :A /5x y 1 0 ,且h 与12的距离是.能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件101（1） P 是第一象限的点；（2） P 点到11的距离是P 点到12的距离的一；2⑶P 点到11的距离与P 点到13的距离之比是•、、2^5.若能，求出P 点坐标；若不能，说明理由.)D. x 2y 5 | PB|的最小值为则底边所在直线的斜率为( )1 1A.3B.2C.-D.3 2三同步测试1.原点到直线x 2y 5 0的距离为( )A.1B. . 3C.22.已知点A(1,2), B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程为(A. 4x 2y 5B. 4x 2y 5C. x 2y53.已知A(2,0) , B(1,1),动点P在直线x y 1 0上则|PA|4.过点P( 1,2)且到点A(2,3)和B( 4,5)距离相等的直线I的方程是______________________5.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3 b,3 a)则线段PQ的垂直平分线I的斜率为_____________2 26.已知点P(x, y)在直线x y 1 0上运动则(x 2) (y 2)的最小值为()四解答题1.求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为■. 2的直线的方程3.过点(2,3)直线I被两平行直线l1 :2x 5y 90与l2 :2x 5y 7 0所截线段AB的中点恰在直线4(探究与拓展).已知直线|1 : x y C10 ,C1. 2 , l2 : x y C20,I n : x y C n 0(其中G C2 LC n),当n 2时，直线I n 1与I n间的距离为n .(1)求C；⑵求x y C n0与x轴，y轴围成的图形的面积1A. 一B._! c?3「2 D.-2 2 2 27.已知实数x、y 满足4x 3y 1020则x22y的最小值为2.三角形的三个顶点是A(4,0) , B(2, 4) ,C(0,3).求(1) AB边的中线所在直线11的方程；(2)BC边的高所在直线12的方程；(3)直线11与直线|2的交点坐标. x 4y 1 0上,求直线I的方程.I3 : x y C3 0,L第十三讲直线与方程（学习方法）一怎样把几何问题转化为代数问题？几何问题代数化是实现解析几何基本思想的基础和岀发点，在学习中要主动的去理解几何对象的本质特征，这是实现几何问题代数化的基础和落脚点，解析几何毕竟是几何，决不能忽视对几何对象的几何特征的认识和理解懈析几何审题的主要目的之一，就是要理解几何对象的几何属性，为准确的代数化打好基础.二案例分析案例1 （1）已知直线l : y kx ,-3与直线2x 3y 6 0的交点在第一象限，则直线I的倾斜角的取值范围是（）A」：，；） B.（：，：） C.（：，匚） D.［；，：］6 3 6 2 3 2 6 2⑵在ABC中，BC边上的高所在的直线方程为：x 4y 1 0，A的平分线所在的直线方程为：x 2y 1 0，若点B的坐标为（1,2），则点A，C的坐标分别为 _______2案例2已知直线h : (m2m)x (2 m1)y 1 2m0( m R )恒过定点P ,■2：; by 1(a 0，b0)与h 相交于点P ,则a 2b 的最小值为案例3 (探究与拓展)已知点P 到两定点M ( 1,0)、N(1,0) 距离的比为 2，点 N 至憤线PM 的距离为1 ,求直线PN二 解析几何学习的另一个主要任务 ，即是提高将“代数结论”向“几何结论”转化的意识和能力，这种转化突岀的特征是“数” “方程” 向“形”的转化. (例：①直线(k 2)x(1 k)y 4k 5 0的几何特征 _____ .)案例1在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A. 1条B.2条C. 3条D.4条的方程.案例4 (至少用两种方法解决)过点(2,3)直线I被两平行直线h：2x 5y 9 0与l2: 2x 5y 7 0所截线段AB的中点恰在直线x 4y 1 0上,求直线l的方程.三强化训练1. 已知ABC中，A(3,2), B, C平分线方程分别为x y 1 0 , 3x 2y 5 0,则直线BC的方程为2. 已知直线丨：2x y 1 0和点0(0,0)、M (0,3)，点P是直线I上一动点，则|| PO | | PM ||的最大值是__________ 此时点P的坐标为__________ .3. 已知直线I ：5ax 5y a 3 0 .若使直线不经过第二象限，则a的取值范围是_____________________ .4. 不论m为何实数，直线I : (2m 1)x (m 3)y (m 11) 0恒过一定点，则此定点的坐标是_______________ .5. 已知直线(a 2)y (3a 1)x 1,若直线不经过第二象限，则实数a的取值范围_________________ .6. 在平面直角坐标系xOy内若过点P(1,J3)且与原点的距离为d的直线有两条，则d的取值范围为 ________________ .四解答题1.过点P(3,0)作直线I，使它被两条相交直线2x y 2 0和x y 3 0所截得的线段AE恰好被P点平分，求直线I的方程.2.已知直线|经过直线2x y 5 0与x 2y 0的交点.(1) 若点A(5,0)至憤线I的距离为3,求直线I的方程；⑵求点A(5,0)至憤线I的距离的最大值x y 3 0上,求直线I的方程.4(高考题赏析).设点P( 1,0)在动直线2ax (a c)y 2c 0( a R,c R)上的射影为M，已知点N(3,3),则线段MN长度的最大值是 ____________ .第十四讲圆的方程一重要知识讲解1. 确定圆的条件：①圆心和半径；②不共线的三点确定一个圆.2•圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，即|OP| R.2 2 23. 圆的标准方程：(x a) (y b) r 圆心为C(a,b)，半径为r.2 2 2特别地，圆心在原点，半径为r的标准方程为x2 y2 r2.2 2 DE4. 圆的一般方程：x y Dx Ey F 0,圆心为C( , ),2 2半径为r 1 D2 E2 4F .(其中D2 E2 4F 0).2注意:圆的标准方程与一般方程互化：①把圆标准方程的完全平方展开、整理，可化为圆的一般方程.②把圆的一般方程配方整理，可化为圆的标准方程.5. 求解圆的方程中还应注意以下三个基本性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一条弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.二典型例题的方程为(一 )知识点 1 求圆的标准方程例 1 (1) 已 知 圆 经 过 A(2, 3) 和 B( 2, 5) 两 点 , 若 圆 心 在 直 线 x 2y 3 0 上 , 则 圆⑵ ABC 的三个顶点分别为A( 1,5), B( 2, 2), C(5,5),求其外接圆的方程(二)知识点 2 求圆的一般方程 例 2(1)经过 A(4,2), B( 1,3) 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为 4的圆的方程2⑵已知曲线y x 6x 1与坐标轴的交点都在圆 C 上，则圆的方程为 __________________________________(三)知识点3灵活选择圆的方活22例3 已知圆 M 过点 A(4, 1)且与圆 C:x 2y 22x 6y 50相切于点 B(1,2).(1)求圆M 的方程；⑵求直线AB 被圆C 所截得的弦长.2例 4(高考题赏析 )设平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x) x2 2x b(x R) 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求 :(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3) 问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关) ?请证明你的结论 .三同步测试221. 已知直线l:x 2y k 1 0被圆C : x y 4所截得的弦长为4 ,则k的值为()A. 1B. 2C.0D.22. 过点A(4,1)的圆C与直线x y 1 0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为 ___________________ .3. 经过两点A(1 ,2) , B( 1 ,3) ,且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程为 ____________________ .224. 与直线x y 2 0和曲线x2 y212x 12y 64 0都相切的半径最小的圆的标准方程是____________________ .5. 与直线x 2y 1 0 相切于点(5,2) ,且圆心在直线x y 9 0上的圆的方程为6. 圆C过点P(1,2)和Q( 2,3)，且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，则圆C的方程为7. 已知圆C关于坐标轴都对称，直线l：(a 1)x y a 1 0(a R),半径为圆心到直线I的距离最大值，则圆C的方程为____________________________ .。