大学高数习题课1极限部分
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第一章习题课(极限部分)
一、重点内容
1. 三个基本无穷小
(1) 1 ? 0 (n ? ? ) n
(2) 1 ? 0 ( x ? ? (?? )) x
(3) ( x ? x0 ) ?
0(x ?
x0
(
x
? 0
或
x
? 0
))
2. 关于无穷小的比较定理
如果 g( x ) ? C f ( x ) 且在点a 的某个空心邻域内
xn
?
a xn
????
两端取极限 , 有
l
?
1 2
? ??
l
?
a l
? ??
解得 l ?
a ,l ? ? a (舍),
故
lim
n? ?
xn
?
a.
例7 已知 lim x 3 ? 2 x ? a ? b, 求常数 a, b. x? 1 x ? 1
解 lim( x ? 1) ? 0, ? lim( x 3 ? 2 x ? a) ? 0,
证 因 xn ?
n2 ? a2 ? n ?
a2
n
n( n2 ? a2 ? n)
?
a2
1 ?
n
而
? ? ?
1 n
? ? ?
是无穷小
,
根据比较定理 , 数列 {xn }是无穷小 .
例2 证明 f ( x ) ? sin 1 ?sin x ? 0, x ? ? . x
证 因 f ( x ) ? sin 1 ?sin x x
1? k ? m
则 A ? n a1n ? a2n ? ? amn ? n mA n ? A n m
而 lim n m ? 1, 由夹逼定理
n? ?
lim n
n? ?
a1n ? a2n ? ? ? amn
?
A
例6
设
a ? 0, x0 ?
0, xn? 1 ?
1 2
????
xn
?
a xn
????,
求
lim
? sin 1
1 ?
xx
当 x ? ? 时, f ( x ) ? sin 1 ?sin x 是无穷小 .
x
例3 证明 cos x ? cos x 0 ? 0 ( x ? x0 ).
证 因 cos x ? cos x0
? ? 2 sin x ? x0 sin x ? x0 ? 2 sin x ? x0
arctan x ~ x , 1 ? cos x ~ 1 x 2 , ln(1 ? x ) ~ x
2
e x ? 1 ~ x , a x ? 1 ~ x ln a (a ? 0, a ? 1)
(1 ? x )? ? 1 ~ ? x , ? ? 0
二、典型例题
例1 证明数列 x n ?
n 2 ? a2 ? 1 (a ? 0) 是无穷小 . n
n? ?
xn
.
解 显然 xn ? 0,且
1?
a?
a
xn?1 ?
2
? ?
xn
?
xn
? ?
?
xn ?xn ?
a
xn?1 ?
xn
?
a?
x
2 n
2xn
?
0,
(n ? 2)
于是,当n ? 2时,数列{xn }单调减少且有界.
故数列{xn }收敛.设 lim xn ? l,
n? ?
等式
xn?1 ?
1 2
????
? ?
b
?
a
?
3
?
?a ? 1
? ?
b
?
4
例11 当 x ? 0时, 3 x 2 ? x 是 x 的几阶无穷小 ?
解 设其为 x 的 k 阶无穷小 ,
则
3
lim
x? 0
x2 ? xk
x ? C ? 0,
k?0
因 x ? 0时 , x 2 ? x ~ x ,
1
所以, 当 x ? 0时 , 3 x 2 ? x ~ 3 x ? x 6 ,
故 k ? 1. 6
练习题
一、证明数列 xn ? n ? 1 ? n 是无穷小 .
证 因 xn ?
n?1?
n?
1 n?1?
n
1
?
n
而
?? ?
1
1
?? ?
x? 1
x? 1
a ? ?3
b ? lim x 3 ? 2 x ? 3 x? 1 x ? 1
?
( x ? 1)( x 2 ? lim
x?
3)
?
5
x? 1
( x ? 1)
例8 设 x ? 1,求lim(1 ? x )(1 ? x 2 )(1 ? x 4 )? (1 ? x 2n ). n? ?
解 分子、分母同乘以因子 (1 ? x ), 则
从而得 b ? 0,a ? 1, 故 p( x ) ? x 3 ? 2x 2 ? x .
例10
已知
lim
x? ?
????
x2 ? 1 x?1
?
ax ?
b ???? ?
3, 求常数
a, b.
解 原极限 ? lim (1 ? a)x 2 ? (b ? a)x ? 1 ? b
x ??
x?1
?3
? 1? a ? 0
?
2,
当 x ? 0时,
2?
x
?
x
????
2 x
? ??
?
2,
且 lim (2 ? x ) ? 2,
x? 0
由 夹逼定理 得
lim
x? 0
x
?2? ?? x ??
?
2.
例5
设
ak
? 0(k
? 1,2,? m ),求lim n n? ?
a1n ? a2n ? ? ? amn .
解 设 A ? max {ak },
p( பைடு நூலகம் ) ? x2
x3
?
2,
lim p( x ) ? 1,求 p( x ).
x? 0 x
解
? lim
x? ?
p(x ) ? x2
x3
? 2,
故可设 p( x ) ? x 3 ? 2x 2 ? ax ? b (a,b为待定系数),
又 ? lim p( x ) ? 1, x? 0 x
? p( x) ? x 3 ? 2x 2 ? ax ? b ~ x, ( x ? 0)
成立，且当 x ? a 时, f ( x )为无穷小 , 则当 x ? a 时, g( x ) 也为无穷小 , 其中 C 为常数.
3. 设 q为常数,
? 0,
则
?
lim
qn
?
? ?
?,
n? ?
? 1,
??不存在,
q?1 q?1 q?1 q ? ?1
4. 常用等价无穷小
当x ? 0时,
sin x ~ x , arcsin x ~ x , tan x ~ x
2
2
2
? 2 x ? x0 2
?
x ? x0
由比较定理 , cos x ? cos x 0 ? 0 ( x ? x0 ).
例4
求极限
lim
x? 0
x
????
2 x
???,
([
x
]表示
x
的取整函数
).
解
因
2 ?1? x
? ??
2 x
? ??
?
2, x
当 x ? 0时,
2?
x
?
x
????
2 x
? ??
原式 ? lim (1 ? x 2 )(1 ? x 2 )(1 ? x 4 )? (1 ? x 2n )
n? ?
1? x
? ? ? lim (1 ?
x 2n )(1 ?
x 2n )
?
1? lim
x 2n?1
n? ?
1? x
n? ? 1? x
?1 1? x
例9
设
p( x )是多项式 ,且 lim
x? ?
一、重点内容
1. 三个基本无穷小
(1) 1 ? 0 (n ? ? ) n
(2) 1 ? 0 ( x ? ? (?? )) x
(3) ( x ? x0 ) ?
0(x ?
x0
(
x
? 0
或
x
? 0
))
2. 关于无穷小的比较定理
如果 g( x ) ? C f ( x ) 且在点a 的某个空心邻域内
xn
?
a xn
????
两端取极限 , 有
l
?
1 2
? ??
l
?
a l
? ??
解得 l ?
a ,l ? ? a (舍),
故
lim
n? ?
xn
?
a.
例7 已知 lim x 3 ? 2 x ? a ? b, 求常数 a, b. x? 1 x ? 1
解 lim( x ? 1) ? 0, ? lim( x 3 ? 2 x ? a) ? 0,
证 因 xn ?
n2 ? a2 ? n ?
a2
n
n( n2 ? a2 ? n)
?
a2
1 ?
n
而
? ? ?
1 n
? ? ?
是无穷小
,
根据比较定理 , 数列 {xn }是无穷小 .
例2 证明 f ( x ) ? sin 1 ?sin x ? 0, x ? ? . x
证 因 f ( x ) ? sin 1 ?sin x x
1? k ? m
则 A ? n a1n ? a2n ? ? amn ? n mA n ? A n m
而 lim n m ? 1, 由夹逼定理
n? ?
lim n
n? ?
a1n ? a2n ? ? ? amn
?
A
例6
设
a ? 0, x0 ?
0, xn? 1 ?
1 2
????
xn
?
a xn
????,
求
lim
? sin 1
1 ?
xx
当 x ? ? 时, f ( x ) ? sin 1 ?sin x 是无穷小 .
x
例3 证明 cos x ? cos x 0 ? 0 ( x ? x0 ).
证 因 cos x ? cos x0
? ? 2 sin x ? x0 sin x ? x0 ? 2 sin x ? x0
arctan x ~ x , 1 ? cos x ~ 1 x 2 , ln(1 ? x ) ~ x
2
e x ? 1 ~ x , a x ? 1 ~ x ln a (a ? 0, a ? 1)
(1 ? x )? ? 1 ~ ? x , ? ? 0
二、典型例题
例1 证明数列 x n ?
n 2 ? a2 ? 1 (a ? 0) 是无穷小 . n
n? ?
xn
.
解 显然 xn ? 0,且
1?
a?
a
xn?1 ?
2
? ?
xn
?
xn
? ?
?
xn ?xn ?
a
xn?1 ?
xn
?
a?
x
2 n
2xn
?
0,
(n ? 2)
于是,当n ? 2时,数列{xn }单调减少且有界.
故数列{xn }收敛.设 lim xn ? l,
n? ?
等式
xn?1 ?
1 2
????
? ?
b
?
a
?
3
?
?a ? 1
? ?
b
?
4
例11 当 x ? 0时, 3 x 2 ? x 是 x 的几阶无穷小 ?
解 设其为 x 的 k 阶无穷小 ,
则
3
lim
x? 0
x2 ? xk
x ? C ? 0,
k?0
因 x ? 0时 , x 2 ? x ~ x ,
1
所以, 当 x ? 0时 , 3 x 2 ? x ~ 3 x ? x 6 ,
故 k ? 1. 6
练习题
一、证明数列 xn ? n ? 1 ? n 是无穷小 .
证 因 xn ?
n?1?
n?
1 n?1?
n
1
?
n
而
?? ?
1
1
?? ?
x? 1
x? 1
a ? ?3
b ? lim x 3 ? 2 x ? 3 x? 1 x ? 1
?
( x ? 1)( x 2 ? lim
x?
3)
?
5
x? 1
( x ? 1)
例8 设 x ? 1,求lim(1 ? x )(1 ? x 2 )(1 ? x 4 )? (1 ? x 2n ). n? ?
解 分子、分母同乘以因子 (1 ? x ), 则
从而得 b ? 0,a ? 1, 故 p( x ) ? x 3 ? 2x 2 ? x .
例10
已知
lim
x? ?
????
x2 ? 1 x?1
?
ax ?
b ???? ?
3, 求常数
a, b.
解 原极限 ? lim (1 ? a)x 2 ? (b ? a)x ? 1 ? b
x ??
x?1
?3
? 1? a ? 0
?
2,
当 x ? 0时,
2?
x
?
x
????
2 x
? ??
?
2,
且 lim (2 ? x ) ? 2,
x? 0
由 夹逼定理 得
lim
x? 0
x
?2? ?? x ??
?
2.
例5
设
ak
? 0(k
? 1,2,? m ),求lim n n? ?
a1n ? a2n ? ? ? amn .
解 设 A ? max {ak },
p( பைடு நூலகம் ) ? x2
x3
?
2,
lim p( x ) ? 1,求 p( x ).
x? 0 x
解
? lim
x? ?
p(x ) ? x2
x3
? 2,
故可设 p( x ) ? x 3 ? 2x 2 ? ax ? b (a,b为待定系数),
又 ? lim p( x ) ? 1, x? 0 x
? p( x) ? x 3 ? 2x 2 ? ax ? b ~ x, ( x ? 0)
成立，且当 x ? a 时, f ( x )为无穷小 , 则当 x ? a 时, g( x ) 也为无穷小 , 其中 C 为常数.
3. 设 q为常数,
? 0,
则
?
lim
qn
?
? ?
?,
n? ?
? 1,
??不存在,
q?1 q?1 q?1 q ? ?1
4. 常用等价无穷小
当x ? 0时,
sin x ~ x , arcsin x ~ x , tan x ~ x
2
2
2
? 2 x ? x0 2
?
x ? x0
由比较定理 , cos x ? cos x 0 ? 0 ( x ? x0 ).
例4
求极限
lim
x? 0
x
????
2 x
???,
([
x
]表示
x
的取整函数
).
解
因
2 ?1? x
? ??
2 x
? ??
?
2, x
当 x ? 0时,
2?
x
?
x
????
2 x
? ??
原式 ? lim (1 ? x 2 )(1 ? x 2 )(1 ? x 4 )? (1 ? x 2n )
n? ?
1? x
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x 2n )(1 ?
x 2n )
?
1? lim
x 2n?1
n? ?
1? x
n? ? 1? x
?1 1? x
例9
设
p( x )是多项式 ,且 lim
x? ?