直线与椭圆的弦长公式ppt课件
直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系之弦长公式一、知识点1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式引例：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．分析：左焦点(1,0)F -，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆设1122(,),(,)A x y B x y ，则||AB ===122||||x x a -= 一般：若直线l 上两点111222(,),(,)P x y Px y，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明：1） 计算12||x x -，可以通过12||x x -=但通常利用12||||x x a -=计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想2） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又112||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则可知，121212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题例1 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B两点，若||7AB =l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：22220x y +-=，得到2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+则||7AB ===所以k =又当k 不存在时，||AB =所以，直线l 的方程1)y x =+配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（），则||AB ==，所以，λ= 当λ不存在，即0y =时，||AB =所以直线l 的方程为1x y =- 例2 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值．解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）， 法1：||AB ==O l d -，所以1||2AOBO l S AB d ∆-=⋅=2112t t t=≤++（t 当0λ=时，取到 法2：11||||122AOBA B S AB y y ∆=⋅-=⋅，下同解法1 配套练习1：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的取值范围． 解：上题可知：21||)2AB λ=-∈+当λ不存在时，||AB =||AB ∈ 配套练习2：1、经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l 与椭圆分别交于,A B 与,C D 两点，若32||||9AB CD ⋅=，求直线1l 的方程 参考解答：设直线1:(1)l y k x =+，则21:(1)l y x k=-+，则可知||AB =，同理知22221))||221k k CD k k++==++，则由32||||9AB CD ⋅=可知1k =±，1:(1)l y x =±+例3（备用）已知椭圆22:14x G y +=，作圆221x y +=的切线l 交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB∆面积的最大值．解：设直线l ： x y n λ=+1=，所以221n λ=+代入椭圆方程：22440x y +-=，得到：222(4)240y n y n λλ+++-=，则222222=44(4)(4)16(4)=48n n n λλλ∆-+-=+-则211||11223AOB S AB t ∆=⋅==≤+t =）当λ= 配套练习：1、已知椭圆：22143x y +=，直线l ：2y x m =+与椭圆交于,A B 两点，求AOB S ∆的最大值参考解答：可知S =≤。
直线与椭圆的位置关系 ppt课件
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1
x2
)2
4 x1 x2
=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
16k(1 2k) 2(1 4k 2 )
4
解得，k 1 . 2
所以所求直线方程为: y 2 1 (x 4)即x 2y 8 0
直线与椭圆有公共点，
4m2 20(m2 1) 0
解得： 5 m 5
2
2
所以当 5 m 5 时，直线与椭圆有公共 点
2
2
PPT课件
6
探究二：直线与椭圆的相交弦长的求法
直线方程为: y kx m，椭圆方程为：x2 y2 1
直线与椭圆相交的弦长：
1
有两个公共点，求m的范围
PPT课件
12
直线与椭圆的位置关系
例1：判断直线y=x+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关
系
54
相交
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13
当m取何值时，直线l：y x m 与椭圆 2x2 3y2 6 相交、相切、相离？
解：联立方程组
y x m 消去y 5x2 6mx 3m2 6 0
因为∆=36>0
所以，方程有两个根，
直线与椭圆77页PPT
二、直线与椭圆相交的弦长问题
1、直线与圆相交的弦长
二、直线与椭圆相交的弦长问题
1、直线与圆相交的弦长
A（x1,y1）
B（x2,y2）
二、直线与椭圆相交的弦长问题
1、直线与圆相交的弦长
A（x1,y1）
B（x2,y2）
二、直线与椭圆相交的弦长问题
1、直线与圆相交的弦长
A（x1,y1）
B（x2,y2） l 2
A（x1,y1）
|A| B 1 k2· （ x 1 x 2 ） 2 4 x 1 x 2
1k12· （ y1y2） 24y1y2
B（x2,y2）
其中k 是弦的斜率，(x1, y1) 、(x2, y2)是弦的端点坐标.
二、直线与椭圆相交----弦长问题
1、直线与圆相交的弦长
A（x1,y1）
2、直线与椭圆相交的弦长
当 0 ，即， 25k2 6800 k 2 5
16
即k 5 4
或 k 5 4
时，直线与椭圆相交；
当 0 即 k 5 时，直线与椭圆相切；
4
当 0 即 5 k 5 时，直线与椭圆相离.
4
4
2、直y线 kx1与椭圆 x2 y2 1 94
的位置关系为
。
二、直线与椭圆相交的弦长问题
1、直线与圆相交的弦长
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
直线与椭圆位置关系
例1：已知直线
y
x
1 2
与椭圆x2+4y2=2
，判断
它们的位置关系.
直线与椭圆位置关系
例1：已知直线
y
x
1 2
与椭圆x2+4y2=2
高二数学 8.2.6直线和椭圆的关系(2)课件 精品
| AB |
1 1 3 • | x1 x2 |
2 3
( x1 x2 )2 4x1 x2 2
题型3：中点弦问题
4、直线l与椭圆4x2 9 y2 36交于A, B两点， 并且线段AB的中点坐标为(1,1)，求直线l的 方程
设l : y 1 k( x 1 ) 将其代入椭圆方程得：
( 9k 2 4 )x2 18( k 2 k )x 9k 2 18k 27 0
y A
•F1 B
•F2
x
B
3.已知椭圆 x2 y2 1 ,过左焦点F作倾斜角
9
为30的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长
解：a 3,b 1,c 2 2 F (2 2,0)
∴直线方程为 y
3 (x 2 2)
3
与椭圆方程联立消元得
4x2 12
2x 15 0
(1)
法设则二由A(韦x:|1A,达yB1)定、|=理|BA(可Fx2|知,+y2|B)，F|==xx(112axa+2 xe+2xe114)(5+x1(3+a+x22e)x2)
(1 k 2 ) • | a |
消去y(或x), 得ax2 + bx + c = 0 (或a' y2 + b' y + c'= 0)
2． 求 直 线y 2x 1被 椭 圆x 2 y 2 1 42
所 截 得 的 弦 长 及 弦 的 中点 的 坐 标
9x2 8x 2 0
AB
(1 k 2 ) | x2 - x1 | =
C (y
0 b)
2
r 2 的解的个数为n
△<0
n=0
《直线与椭圆的位置关系》课件新人教A版选修
与椭圆
，
•判断它们的位置关系。
•解：联立方程组得
•消y整理得
•
直线与椭圆相交
•探究一：直线与椭圆若相交时，两交点间的距离如何求 出？
•例1: 已知椭圆
，椭圆的右焦点为F，
•过点F且斜率为2的直线与椭圆相交于AB，求线段
•AB的长.
•探究二:已知相交弦的中点，如何确定相交弦所在直线方程
探究二:已知弦的中点，如何确定弦所在直线方程
•相交(二个交点)
弦长公式
•弦长公式 ：
•若直线
•
与 椭圆 则|AB|叫做弦长
相交于
•预习检测
• 1.已知直线
与椭圆
，
•判断它们的位置关系。
•解：联立方程组得
•消y整理得
•
直线与椭圆相交
问题提出
问题一：直线与椭圆若相交时，两交点间的距离 如何求出？
问题二：如何解决中点弦问题？
• 1.已知直线
《直线与椭圆的位置关系》 课件新人教A版选修
•直线与椭圆的位置关系
•学习目标：1、通过小组探究合作，会用弦长公式求弦长。
•
2、通过小组互助探究，会解决中点弦问题。
•
•
•重 点：弦长公式及其应用
•难 点：直线与椭圆的位置关系 •相切(一个交点)
两点间距离公式
•例2：已知椭圆 与
，试判断点A(1,1)
•椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所 在
•的直线方程.
•得 我 所 得
•1、! 求弦长：
•法一）弦长公式 •法二）求出两点坐标，利用两点间距离公式
•2、处理中点问题： •法一）：通法 •法二）：“点差法”、“韦达定理”
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
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目录
• 直线与椭圆的位置关系 • 弦长公式 • 弦中点问题
01
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的基本定义
直线的定义
直线是无限延伸的，没有起点和 终点。在平面几何中，直线通常 用两点间的连线表示。
椭圆的定义
椭圆是一种平面曲线，其定义是 固定两点（焦点）的距离之和等 于常数的点的轨迹。
通过观察直线与椭圆的交点个数来判 断位置关系。
02
弦长公式
弦长的定义及计算方法
Байду номын сангаас弦长定义
弦长是指连接圆内任意两点间的线段 长度。
计算方法
通过利用勾股定理和圆的基本性质， 可以计算出连接圆内两点的线段长度 。
弦长公式的推导过程
勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。
圆的基本性质：圆内任意两点间的距离平方等于 这两点与圆心距离的平方和。
直线与椭圆的位置关系分类
相交
直线与椭圆有两个不同的交点。
相切
直线与椭圆只有一个交点。
相离
直线与椭圆没有交点。
判断直线与椭圆位置关系的常用方法
代数法
通过联立直线和椭圆的方程，消元后 得到一元二次方程，然后根据判别式 的值判断直线与椭圆的位置关系。
几何法
参数法
通过引入参数来表示直线的方程，然 后代入椭圆的方程进行求解，根据解 的情况判断位置关系。
弦中点的性质
弦中点与椭圆中心连线段与弦AB垂直，且该线段等于A、B两点到椭圆中心的距 离之和的一半。
弦中点问题的求解方法
利用定义求解
根据弦中点的定义，可以求出弦中点的坐标。
利用几何性质求解
高二数学椭圆与相交直线的弦长公式
∴弦长|PQ|=(2ab/A)√{[A^2+B^2]/[(Ab)^2+(aB)^2]}
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
∴X=±ab/√[(Ab)^2+(aB)^2]
从而Y=-{±abB/A√[(Ab)^2+(aB)^2]
记弦为PQ,则P(ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],-abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})
Hale Waihona Puke Q(-ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})
高二数学椭圆与相交直线的弦长公式
?解：如果需要,推一个便是.设椭圆和直线的方程分别为
X^2/a^2+Y^2/b^2=1和X/A+Y/B=0
即b^2?X^2+a^2?Y^2=a^2?b^2┅┅┅①
和BX+AY=0┅┅┅②
由②得Y=-BX/A
代入①且整理可得[(Ab)^2+(Ab)^2]?X^2=(ab)^2
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。注意:这是对于以原点为中心,长轴在横轴上的椭圆被直线截得的弦长公式,其中a,b分别为椭圆的半长轴和半短轴,A,B分别为直线在X轴上和Y轴上的截距.(其它情况,自行同样推导)
高中数学人教A版选修2-1第二章直线与椭圆的位置关系ppt课件
5m 又椭圆焦点在 x 轴上∴m<5， 故 m 的取值范围为[1,5)．
引出弦长公式
例2：如图，已知斜率为 3 的直线过椭圆C : x2 y2 1 的左焦点，交椭圆C
3
4
于 A ，B 两点，求弦 AB 的长。
y
l
思路一：直接求出A，B两点坐标，代入两点间的 距离公式
直线与椭圆的位置关系及 中点弦问题
知识回顾
标准方程
x2 + y2 = 1(a > b > 0) a2 b2
x2 b2
+
y2 a2
= 1(a > b > 0)
范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b
对称性 关于x、y轴成轴对称;关于原点成中心对称
顶点坐标
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
（1）有两个交点，则 0 5 m 5
（2）有且只有一个交点，则 0 m 5
（3）没有交点，则 0 m 5或m 5
[活学活用]
若直线 y＝kx＋1 与焦点在 x 轴上的椭圆x2＋y2＝1 总有公共点， 5m
求 m 的取值范围．
解：∵直线 y＝kx＋1 过定点 A (0,1)． 由题意知，点 A 在椭圆x2＋y2＝1 内或椭圆上，
故
x
M＝x
1＋2 x2＝2－k22＋kb1，yM
＝k·x
M＋b＝2k
b． 2＋1
于是直线
OM
的斜率
k
OM＝xyMM＝－21k，即
k
OM·k
＝－1． 2
所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，
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.
直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(两. 个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0
由方程组：
x
2
a 2
y2 b2
1
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
通法
>0
方程组有两解
两个交点
=0
方程组有一解
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
y
直 线 m 为 ： 4 x 5 y 2 5 0
x 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
且d 4025 15 41
4252 41
dmax
思考：最大的距离是多少？
4025 42 52
65 41
41
.
知识点1：弦长问题
x2 y2
若直线
l:ykxm与椭圆
由方程组 x2 25
y2 9
1
消 去 y ， 得 2 5 x 2 8 k x k 2 -2 2 5 0
由 0 ， 得 6 4 k 2 - 4 2 （ 5 k 2 - 2 2 5 ） 0
解 得 k1=25， k2=-25 由 . 图 可 知 k25.
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；
(3)韦达定理；
.
(4)弦长公式.
变 式 1： 已 知 椭 圆x2y21,过 椭 圆 右 焦 点 的 直 线 l交 4
椭 圆 于 A,B两 点 ， 且AB=8， 求 直 线 l方 程 。 5
.
练习
已知椭圆ax2by21于直线xy10交于A,B两点， 且AB2 2，若AB的中点M与椭圆中心连线的斜率 为2，求a,b的值。
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
42 52
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
.
且 x02 y02 1 25 9
m m
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
解 ： 设 直 线 m 平 行 于 l，
则 l可 写 成 ： 4 x 5 y k 0
x o
4x5yk 0
一个交点
<0
方程组无解 .
无交点
相交 相切 相离
练习
1：直线y=x+1与椭圆 x2 y 2 1 恒有公共点,
5m
求m的取值范围。
.
练习2.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两 个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．.
练习
如果椭圆被 x2 y2 1的弦被点（4，2）平分，
36 9
求这条弦所在直线方程。
.
小结
1、弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1k2· （ x1x2 ） 1x2
= 1k12· （y1y2） 4y1y2 （适用于任何曲线）
2
.
知识点2：弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率 .
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
解后反思
中点弦问题 求解关键在 于充分利用 “中点”这 一条件，灵 活运用中点 坐标公式及 韦达定理
3
3
当- 6 k< 6 时没有交点
3
3
练习3.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
交点情况满足( D )
x2 y2 1
94
A.没有公共点
B.一个公共点
C.两个公共点
D.有公共点 .
教学目标
通过本节课的教学，要求掌握直线和 椭圆相交的弦长公式，以及能够用点差法 解决弦中点问题。
.
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
a2
b2
1(ab0)的
交点为 A(x1,y1),B(x2,y2)则|AB|叫做弦长。
弦长公式：
| AB| (x1 x2)2 (y1 y2)2
| AB| 1k2 (x1 x2)2 1k2 | x1 x2 |
| AB|
1
1 k2
(y1 y2)2
1
1 k2
|
y1 y2
|
.
例1：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
94
求 直 线 A B 所 在 的 直 线 方 程 。
.
2、 已 知 椭 圆x2+y2=1及 点 B （ 0， 2） ， 过 椭 圆 的 左 焦 2
点 F1与 B的 直 线 交 椭 圆 于 C、 D两 点 ， 椭 圆 的 右 焦 点 为 F2，
求 CDF2的 面 积 。 3、 已 知 椭 圆 x2+y2=1某 一 条 弦 A B 被 P （ 1,1 ） 平 分 ，
2、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜 率。
.
课后作业
1、 已 知 椭 圆 x2+y2=1， 过 左 焦 点 F作 倾 斜 角 为 的 直 线
9
6
交 椭 圆 于 A ， B 两 点 ， 求 弦 A B 的 长