数列不等式证明的几种方法

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数列不等式证明的几种方法

一、巧妙构造,利用数列的单调性

例1. 对任意自然数n,求证:。

证明:构造数列

所以,即为单调递增数列。

所以,即

点评:某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题,均可构造数列,通过数列的单调性解决。

二、放缩自然,顺理成章

例2. 已知函数,数列的首项,以后每项按如

下方式取定:曲线处的切线与经过(0,0)和

两点的直线平行。

求证:当时:

(1);

(2)。

证明:(1)因为,所以曲线处的切线斜率为。

又因为过点(0,0)和两点的斜率为,所以结论成立。(2)因为函数

所以,即,因此

又因为。

令,且。

所以

因此,

所以

三、导数引入

例3. 求证:

证明:令,且当时,,所以

。要证明原不等式,只须证

设,

所以。

令,

所以。

设,

所以上为增函数

所以,即

所以

同理可证

所以。对上式中的n分别取1,2,3,…,,得。

四、裂项求和

例4. 设是数列的前n项和,且

(1)求数列的首项,及通项;

(2)设,证明。

解:(1)首项(过程略)。

(2)证明:将,

得,

点评:本题通过对的变形,利用裂项求和法化为“连续相差”形式,从而达到证题目的

五、独辟蹊径,灵活变通

独辟蹊径指处事有独创的新方法,对问题不局限于一种思路和方法,而是善于灵活变通,独自开辟新思路、新方法。

例5. 已知函数。设数列,数列满足

(1)求证:;

(2)求证:。

证明:(1)证法1:由

令,则只须证;易知,只须证。

由分析法:

因为,,

所以,得证。

证法2:由于的两个不动点为。又,所以

所以

所以

由上可求得,

因此只需证,

即证:

(2)由(1)知,

所以

故对任意。

点评:本题(1)中法1通过构造新数列,将复杂的问题转化为证数列为递减数列,

进而用分析法展示出证明思路的魅力;法2则是独辟蹊径利用“不动点”,求出通项公式,借助二项式定理放缩给出证明。

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