数列不等式证明的几种方法
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数列不等式证明的几种方法
一、巧妙构造,利用数列的单调性
例1. 对任意自然数n,求证:。
证明:构造数列
。
所以,即为单调递增数列。
所以,即
。
点评:某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题,均可构造数列,通过数列的单调性解决。
二、放缩自然,顺理成章
例2. 已知函数,数列的首项,以后每项按如
下方式取定:曲线处的切线与经过(0,0)和
两点的直线平行。
求证:当时:
(1);
(2)。
证明:(1)因为,所以曲线处的切线斜率为。
又因为过点(0,0)和两点的斜率为,所以结论成立。(2)因为函数
,
所以,即,因此
;
又因为。
令,且。
所以
因此,
所以
三、导数引入
例3. 求证:
证明:令,且当时,,所以
。要证明原不等式,只须证
。
设,
所以。
令,
所以。
设,
所以上为增函数
所以,即
所以
同理可证
所以。对上式中的n分别取1,2,3,…,,得。
四、裂项求和
例4. 设是数列的前n项和,且
(1)求数列的首项,及通项;
(2)设,证明。
解:(1)首项(过程略)。
(2)证明:将,
得,
则
点评:本题通过对的变形,利用裂项求和法化为“连续相差”形式,从而达到证题目的
五、独辟蹊径,灵活变通
独辟蹊径指处事有独创的新方法,对问题不局限于一种思路和方法,而是善于灵活变通,独自开辟新思路、新方法。
例5. 已知函数。设数列,数列满足
(1)求证:;
(2)求证:。
证明:(1)证法1:由
令,则只须证;易知,只须证。
由分析法:
。
因为,,
所以,得证。
证法2:由于的两个不动点为。又,所以
所以
所以
,
由上可求得,
因此只需证,
即证:
又
(2)由(1)知,
所以
故对任意。
点评:本题(1)中法1通过构造新数列,将复杂的问题转化为证数列为递减数列,
进而用分析法展示出证明思路的魅力;法2则是独辟蹊径利用“不动点”,求出通项公式,借助二项式定理放缩给出证明。