2020届全国卓越联盟新高考原创精准预测考试(十六)理科数学

2020届全国卓越联盟新高考原创精准预测考试（十六）
理科数学
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合A ={x |x 2+x -2≤0},B ={y |y =2x ,x ∈R},则A ∩B 等于( ) A. (0,1] B. [1,+∞) C. (0,2] D.
2．若点(sin 5π6，cos 5π
6)在角α的终边上，则sin α的值为( )
A ．-2
3 B ．-21 C.21
D.23
3．5．下列命题中，真命题是( )
A ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0
B ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin β
C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1＝0
D ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos β 4. 函数f (x )＝x 2sin x 的图象可能为( )
5.在ABC
∆中，角,,
A B C的对边分别为,,
a b c
，若22
a b
-=，
且sin C B
=，则A等于（）
A．
6
π
B．
4
π
C．
3
π
D．
2
3
π
6.由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为()．
A.
32
9B．2－ln 3 C．4＋ln 3 D．4－ln 3
7．函数f（x）＝sin（ωx＋ϕ）（ω＞0，｜ϕ｜＜
2
π）的最小正周期为π，其图象
向左平移
6
π
个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，
2
π
]上的最小值为（）A．－
1
2
B
C．
1
2
D
8. 设函数f ′(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f ′(x)cos x－f(x)sin x>0，若a＝
1
2⎪⎭
⎫
⎝
⎛
3
π
f，b＝0，c＝－
3
2⎪⎭
⎫
⎝
⎛
6
5π
f，则a，b，c的大小关系是()
A.a<b<c
B.b<c<a
C.c<b<a
D.c<a<b
9.设min{m，n}表示m，n二者中较小的一个，已知函数f(x)＝x2＋8x＋14，
()()0
4
log
,
2
1
min
2
2
>
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
-
x
x
x
g
x。

若∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的最大值为()
A.－4
B.－3
C.－2
D.0
10.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()
A.函数f(x)的最小正周期为
π
2
B.直线x＝－
π
12是函数f(x)图象的一条对称轴
C.函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－5π12，π6上单调递增
D.将函数f (x )的图象向左平移π
3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin 2x 11.将函数()2cos2f x x =的图象向右平移
6
π
个单位得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上均为单调递增，则实数a 的取值范围是( )
A. ,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B.
,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D. 3,48ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 12.对于函数()f x ，若,,a b c R ∀∈，()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则
称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1
x x e t
f x e +=+是“可构造三角形函数”，则
实数t 的取值范围是（ ）
A ．[)0,+∞
B ．[]0,1
C ．[]1,2
D ．1
[,2]2
二、填空题(每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13. 设a =cos420°，函数(),0,log 0,⎩⎨⎧>≤=x x x a x f a x ，
则)61
(log )41(2f f +的值等于 。

14. 已知()21tan =+απ，
则()ααα2cos cos sin 2
-等于 ;
15. 函数
[]π,0,sin 22cos )(∈+=x x x x f ，
的递增区间是 。

16．若存在两个正实数y x ,，使得等式0)ln )(ln 2(=--+x y ex y a x 成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为 。

三、解答题(共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且
.3sin 3cos 3a C b C b =⋅+⋅
（1）求∠B 的大小；
（2）若a =2，AC 边上的垂直平分线交边AB 于点D 且△DBC 的面积为23
，
求边c 的值．
18．（本题满分12分）如图，已知四棱锥E ﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC ＝60°，
AB ＝EC ＝2，
．
（1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD ． （2）求二面角A ﹣EC ﹣D 的余弦值．
19．（本题满分12分）已知椭圆)3(13
2
22>=+
a y a x 的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F （c ，0），点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，过点B 作椭圆C 的切线
l ，直线
AP 与直线l 的交点为D ，且当c BD 22=时，DF AF =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并证明你的结论．
20.（本题满分12分）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年10月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月
份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：y bt a =+，并预测2018年10月份参与竞拍的人数；
（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年10月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：
（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均值x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布2(,)N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x
及2s 估值．若2018年10月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①回归方程y bx a =+，其中1
2
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-；
②5
21
55i i t ==∑，5
1
18.8i i i t y ==∑ 1.3≈；
③若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．
21．（本题满分12分）已知函数()()ln 1ax
f x x x a
=+-+，a 是常数，且1a ≥． （1）讨论()f x 零点的个数； （2）证明：213ln 1,2131
n N n n n *⎛⎫
<+<∈ ⎪++⎝⎭．
选做题：请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.
22. (本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos φ，
y ＝sin φ(φ为参数)．以O 为
极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；
(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π
3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
数学理科答案解析
一、 选择题：AADCAD BACDCD 二、填空题
13. 8; 14. 31; 15.⎪
⎭
⎫ ⎝⎛6
5,
2),6,0(πππ; 16.⎪⎭⎫
⎢⎣⎡+∞-∞,1)0,(e . 三、解答题
17解：（1）∵，…
∴
，…
∴3sinBcosC+sinBsinC=3sinBcosC+3sinCcosB ，
∴
，∵sinC≠0．
∴
，即，
∴． …
（2
）由，∴BD=1，…
∴在△DBC
中，，…
∴，
∴
．
18解：（1）证明：取AB 的中点O ，连接EO ，CO ，，△AEB 为等腰直角三角形，
∴EO ⊥AB ，EO ＝1
又∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．
∴
，EC ＝2，∴EC 2＝EO 2+CO 2
∴EO ⊥CO
∵EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面EAB ， ∴平面EAB ⊥平面ABCD ．
（2）解：以AB 的中点O 为坐标原点，OB 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴，如图建系 则A （0，﹣1，0），
，
，E （0，0，1），
，
，
设平面DCE
的法向量为
，则
，即，
解得：，
∴
同理求得平面EAC
的一个法向量为，
所以二面角A ﹣EC ﹣D
的余弦值为．
19.解：（1）依题可知(,0)A a -
、(
)D a ，…………1分
由
||||
AF FD =，得，
a c +=
………2分
化简得2a c =，由22
3a c =+ 得 24a =……………3分
故所求椭圆C 的方程是22
143x y +=.………………………4分
（2）由（Ⅰ）知
()()
2,0,2,0A B -,
在点B 处的切线方程为2x =. 以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………5分 证明如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠. 则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ． ………………6分 由22
(2),14
3y k x x y
=+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩得:()
0121616432
222=-+++k x k x k ． 设点P 的坐标为00(,)x y ，则202
1612234k x k
--=+． ……………8分 所以2026834k x k -=+，002
12(2)34k
y k x k
=+=+． 因为点F 坐标为(1, 0)， （1）当12k =±
时，点P 的坐标为3
(1, )2
±，直线PF 的方程 为1x =， 点D 的坐标为(2, 2)±.此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切,…9分 （2）当12k ≠±
时，直线PF 的斜率02
04114PF y k k x k ==--. 所以直线PF 的方程为2
4(1)14k
y x k =
--,即
21410
4k x y k ---=． …10分 故点E 到直线PF
的距离22
1414|221|
|2|
k k k d k -+-⨯-===
综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．…………12分
①1a =时，()()
2
1x
f x x '=
+，若()()()()1,0,0,00
x f x f x f '∈-<>=
若()()()()0,,0,00x f x f x f '∈+∞>>=，()f x 有一个零点． ②12a <<时，2
120a a -<-<，
由上表可知，()f x 在区间()
22,a a -+∞有一个零点0x =．()
()2200f a a f ->=，
又2211ax a a a
a a x a x a a a -=-≤-=++--，任取11,1a
a t e -⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
， ()011
a a
f t a a <
+=--，()f x 在区间()2,2t a a -有一个零点，从而()f x 有两个零点． ③2a =时，()()()
2
2
012x f x x x '=
>++，()f x 在()1,-+∞上单调递增，
有一个零点0x =． ④2a >时，2
20a a ->，
由上表可知，()f x 在区间()
2
1,2a a --有一个零点0x =，在区间()
2
2,a a -+∞有一个零点，
从而()f x 有两个零点．
22. 【解析】(1)圆C 的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，
又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1
＝1，θ1＝π3.
- 11 - 设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（sin θ2＋3cos θ2）＝33，θ2＝π3
，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2
＝3，θ2＝π3. 由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2，所以线段PQ 的长为2.
23．【解析】(1)原不等式等价于
⎩⎪⎨⎪⎧x >32，（2x ＋1）＋（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，（2x ＋1）－（2x －3）≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－（2x ＋1）－（2x －3）≤6，
解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12
. ∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．
(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4， ∴|a －1|>4，∴a <－3或a >5，
∴实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．。