随机过程与马尔可夫链习题答案
(完整版)上海大学随机过程第六章习题及答案
第三章 习 题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =L 是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================L L L L L因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++L 为1n U -的函数，记为1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P tn i i ===++=⎩⎨⎧≤>ij i j a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链 令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j i j iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。
上海大学随机过程第六章习题及答案
第三章 习 题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =是否为Markov 链？（2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================因此，{,1,2,}n Y n =是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++为1n U -的函数，记为1112(),n n n nf U X U U U --=+++为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑因此{,1,2,}n X n =是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P tn i i ===++=⎩⎨⎧≤>ij i j a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链 令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j i j iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。
上海大学随机过程第六章习题与答案
第三章 习 题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则（1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =L 是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================L L L L L因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++L 为1n U -的函数，记为1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值.（1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P t n i i ===++=⎩⎨⎧≤>i j ij a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链 令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j ij iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。
随机过程习题及部分解答【直接打印】
随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。
2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。
习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。
3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。
4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。
习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。
2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。
随机过程_C4马尔可夫链
0.5丿 当初始分布为P{ X 0 = 1} =P{X 0 =2} = 0, P{ X 0 = 3} = 1时经三步转移后处于状态 3的概率。
7 .已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：1•设质点在区间［0 , 4］的整数点作随机游动，到达 0点或4点后以概率1停留在原处, 1 —向左、右移动一格或停留在原处。
求质点随机游动的一 3在其它整数点分别以概率 步和二步转移的概率矩阵。
2.独立地重复抛掷一枚硬币， 1, 2或3,这些值分别对应于第 n -1次和第n 次抛掷的结果为(正，正)，(正，反)， (反，正)或(反，反)。
求马尔可夫链{X n ,n 0,1,2,…}的一步和二步转移的概 率矩阵。
设{X n , n _0}为马尔可夫链，试证： (1 ) P{X n.1=i n1,X n.2=i n.2, ,X n^ ~lnm |X 0 - i 0,X ^i 1, ,X n=i n }= P{X n ・1 =in1,X n 2 - i n 2 , , X n m - i n m | X n - i n }(2) P{X 0 =i°,X 1 , X n - i n , Xn 2 ~ i n 2 , , X n ~ i n m | Xn ~ i n 1}= P{X ° = i°,X 1 二「…，X n -i n |X n^^i n-1} P{X n-2 ~ i n 2 / , Xn m i n m | Xn 1 _ i n 1}设{X n , n _1}为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为 每次抛掷出现正面的概率为 p ,对于n 一 2求，令X n =0, 3. 4. P i 二 P{X 。
5. P{X 2=4|X 设{X(t),r T}为随机过程 立同分布随机变量序列，令 {Y n , n _0}是马尔可夫链。
1/4 1/4 1/4 1/4"1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/8 1/4 3/8J/4 1/4 1/4 1/4』0=1, 1 <X 1<4^ P{X ，且 X 1 =X(t 1),X 2，试证 1 「4"3,4，八 2 = 4 |1 :： X r :： 4}= X(t 2),…，X n = X(tJ …为独 Y 0 -0,Y ^-Y(t 1W X 1,Y ncY n 4^X n, n 一2，试证0.5 0.56.已知随机游动的转移概率矩阵为0.5 0.5 ,求三步转移概率矩阵 P (3)及0.5(1) P T(O) =(0.4, 02 0.4), P 二0.80.80.1 0.10.70.2 020.20.60.7 0.1 0.1 0.1?0.1 0.6 0.2 0.1(2) P T(0)=(02 02 0.3, 0.3) , p =0.1 0.1 0.6 0.230.1 0.2 0.5」求下一、二个月的销售状态分布。
随机过程-9马尔科夫链的状态分类
1 2
P
0 1
1 0
0 1
2 0
1
2 0
1 0 1
P2
2 0
1
2 0
1 2
1
1
1 2
2
3
1 2
1
由1出发，经过一步首次回到1：无
由1出发，经过两步首次回到1：1→2→1
由1出发，经过三步首次回到1：无
由1出发，经过四步首次回到1：1→2→3→2→1
f (1) 0 11
f (2) 1
11
2
f (3) 0 11
f (4) 1
11
4
f (5) 0 11
f (6) 1
马尔科夫链状态的分类
1、周期性
• 例：从状态1出发，再回到状态1，可能的步数为 3,6,9，...，例如：1→3→6→1，或 1→4→6→2→5→6→1，等等。
• 步数的最大公约数，称为周期。周期为3.
4.2 马尔可夫链的状态分类
例4.6 设马尔可夫链的状态空间 I={1,2,,9}，转移概率如下图
• 定义4.3 状态i的周期d： d=G.C.D{n: p(n) >0}
ii
(最大公约数greatest common divisor) • 如果d>1，就称i为周期的， • 如果d=1，就称i为非周期的
4.2 马尔可夫链的状态分类
注(1)如果i有周期d，则对一切非零的n,
n0 mod d，有 p(n) 0
同理可得
4.2 马尔可夫链的状态分类
f (n) 13
( (
p1q2 p1q2
随机过程试题及解答
2016随机过程（A ）解答1、（15分）设随机过程V t U t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。
1) 求)(t X 的一维概率密度函数；2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解：由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +⋅=)(也服从正态分布，且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==⋅+=⋅+=+{}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==⋅+=+=+故： (1) )(t X的一维概率密度函数为：()222218(1)(),x t t t f x ex ---+=-∞≤≤∞(2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为：{}{}(,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =⋅=⋅+⋅⋅+{}{}{}22()13()413st E U s t E U V E V st s t =⋅++⋅⋅+=⋅++⋅+协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-⋅=+（3）相关系数：(,)s t ρρ====)(t X 的二维概率密度函数为：2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x eρ⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪⎢⎥⎨⎬-++⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。
问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。
2025高考数学专项复习马尔科夫链含答案
2025高考数学专项复习马尔科夫链含答案马尔科夫链1.(2024·高三·广东·开学考试)马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1,n-2,n-3,⋯次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A,B两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A,B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n n∈N*次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为X n，恰有1个红球的概率为p n.(1)求p1,p2的值；(2)求p n的值(用n表示)；(3)求证：X n的数学期望E X n为定值.理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯⋯X t-2,X t-1,X t,X t+1，⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1⋯,X t-2,X t-1,X t=P X t+1X t．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为A A∈N*,A<B一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．当赌徒手中有n元-A≤n≤B,n∈Z时，最终欠债A元(可以记为该赌徒手中有-A元)概率为P(n)，请回答下列问题：(1)请直接写出P(-A)与P(B)的数值．(2)证明{P(n)}是一个等差数列，并写出公差d．(3)当A=100时，分别计算B=300,B=1500时，P(A)的数值，论述当B持续增大时，P(A)的统计含义．状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n∈N*次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n．(1)求p1,p2的值；(2)求p n的值(用n表示)；(3)求证：X n的数学期望E X n为定值．4.(2024·高三·江西·开学考试)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n+1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第n -1,n-2,n-3，⋯次的状态无关，即P(X n+1|X1,X2,⋯,X n-1,X n)=P(X n+1|X n)．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n 次(n∈N∗)这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为X n，甲盒中恰有2个白球的概率为a n，恰有1个白球的概率为b n．(1)求a1,b1和a2,b2．为等比数列．(2)证明：a n+2b n-65(3)求X n的数学期望(用n表示)．5.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a>0，都有Pξ≥a≤Eξa.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为P A.则P A的最大值为()A.271000B.2431000C.427D.496.(2024·广东肇庆·模拟预测)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n(n∈N*)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n，则p1的值是；X n的数学期望E X n是.7.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n∈N∗次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n，则p1=；p n=．8.马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，X t-2,X t-1,X t,X t+1,⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1∣⋯,X t-2,X t-1,X t=P X t+1∣X t.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率.9.(2024·广东茂名·二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1,n-2,n-3,⋅⋅⋅次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n n∈N*次操作后，记甲盒子中黑球个数为X n，甲盒中恰有1个黑球的概率为a n，恰有2个黑球的概率为b n.(1)求X1的分布列；(2)求数列a n的通项公式；(3)求X n的期望.10.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n∈N*次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n，恰有2个黑球的概率为q n，恰有0个黑球的概率为r n.(1)求p1,p2的值；(2)根据马尔科夫链的知识知道p n=a⋅p n-1+b⋅q n-1+c⋅r n-1，其中a,b,c∈0,1为常数，同时p n+q n+ r n=1，请求出p n；(3)求证：X n的数学期望E X n为定值.11.(2024·云南·模拟预测)材料一：英国数学家贝叶斯1701∼1763在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设A1,A2,⋯,A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪A n=Ω，且P A i>0,i=1，2,⋯,n，则对任意的事件B⊆Ω,P B >0，有P A i∣B=P A iP B∣A iP(B)=P A iP B∣A i∑n k=1P A kP B∣A k,i=1，2,⋯,n.材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯，X t-2,X t-1,X t,X t+1,⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1∣⋯,X t-2,X t-1,X t=P X t+1∣X t.请根据以上材料，回答下列问题.(1)已知德国电车市场中，有10%的车电池性能很好.W公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比3%，其中有25%的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是W公司的，求该汽车电池性能很好的概率；(结果精确到0.001)(2)为迅速抢占市场，W公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为0,1,⋯,10，有一个小球在格子中运动，每次小球有34的概率向左移动一格；有14的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记P i为以下事件发生的概率：小球开始位于第i个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率.马尔科夫链1.(2024·高三·广东·开学考试)马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n +1次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关，与第n -1,n -2,n -3,⋯次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A ,B 两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A ,B 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n n ∈N * 次这样的操作后，记A 盒子中红球的个数为X n ，恰有1个红球的概率为p n .(1)求p 1,p 2的值；(2)求p n 的值(用n 表示)；(3)求证：X n 的数学期望E X n 为定值.【解析】(1)设第n n ∈N * 次操作后A 盒子中恰有2个红球的概率为q n ，则没有红球的概率为1-p n -q n .由题意知p 1=C 12C 12+C 11C 11C 13C 13=59，q 1=C 12C 11C 13C 13=29,p 2=p 1⋅C 12C 12+C 11C 11C 13C 13+q 1⋅C 12C 13C 13C 13+1-p 1-q 1 ⋅C 13C 12C 13C 13=4981．(2)因为p n =p n -1⋅C 12C 12+C 11C 11C 13C 13+q n -1⋅C 12C 13C 13C 13+1-p n -1-q n -1 ⋅C 13C 12C 13C 13=-19p n -1+23.所以p n -35=-19p n -1-35 .又因为p 1-35=-245≠0，所以p n -35 是以-245为首项，-19为公比的等比数列.所以p n -35=-245×-19 n -1，p n =-245×-19 n -1+35．(3)因为q n =C 12C 11C 13C 13p n -1+C 11C 13C 13C 13q n -1=29p n -1+13q n -1，①1-q n -p n =C 11C 12C 13C 13p n -1+C 13C 11C 13C 131-q n -1-p n -1 =29p n -1+131-q n -1-p n -1 ,②．所以①一②，得2q n +p n -1=132q n -1+p n -1-1 .又因为2q 1+p 1-1=0，所以2q n +p n -1=0，所以q n =1-p n 2.X n 的可能取值是0,1,2，P X n =0 =1-p n -q n =1-p n 2,P X n =1 =p n ,P X n =2 =q n =1-p n 2．所以X n 的概率分布列为X n012p 1-p n2p n 1-p n2所以E X n =0×1-p n 2+1×p n +2×1-p n 2=1.2.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯⋯X t -2,X t -1,X t ,X t +1，⋯，那么X t +1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t ，即P X t +1⋯,X t -2,X t -1,X t =P X t +1X t ．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为A A ∈N *,A <B 一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A 元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．当赌徒手中有n 元-A ≤n ≤B ,n ∈Z 时，最终欠债A 元(可以记为该赌徒手中有-A 元)概率为P (n )，请回答下列问题：(1)请直接写出P (-A )与P (B )的数值．(2)证明{P (n )}是一个等差数列，并写出公差d ．(3)当A =100时，分别计算B =300,B =1500时，P (A )的数值，论述当B 持续增大时，P (A )的统计含义．【解析】(1)当n =-A 时，赌徒已经欠债-A 元，因此P (-A )=1．当n =B 时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P (B )=0；(2)记M :赌徒有n 元最后输光的事件，N :赌徒有n 元上一场赢的事件，P M =P N P M N +P N P M N ，即P (n )=12P (n -1)+12P (n +1)，所以P (n )-P (n -1)=P (n +1)-P (n )，所以{P (n )}是一个等差数列，设P (n )-P (n -1)=d ，则P (n -1)-P (n -2)=d ,⋯,P (-A +1)-P (-A )=d ，累加得P (n )-P (-A )=(n +A )d ，故P (B )-P (-A )=(A +B )d ，得d =-1A +B ；(3)A =100，由(2)P (n )-P (-A )=(n +A )d =-n +A A +B ，代入n =A 可得P (A )-P (-A )=-2A A +B ，即P (A )=1-2A A +B ，当B =300时，P A =12，当B =1500时，P (A )=78，当B 增大时，P (A )也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光并负债．3.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n∈N*次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n．(1)求p1,p2的值；(2)求p n的值(用n表示)；(3)求证：X n的数学期望E X n为定值．【解析】(1)设恰有2个黑球的概率为q n，则恰有0个黑球的概率为1-p n-q n．由题意知p1=C12C12+C11C11C13C13=59，q1=C12C11C13C13=29，所以p2=C12C12+C11C11C13C13p1+C12C13C13C13q1+C13C12C13C131-p1-q1=4981．(2)因为p n=C12C12+C11C11C13C13p n-1+C12C13C13C13q n-1+C13C12C13C131-p n-1-q n-1=-19p n-1+23，所以p n-35=-19p n-1-35．又因为p1-35=-245≠0，所以p n-35是以-245为首项，-19为公比的等比数列．所以p n-35=-245×-19n-1，p n=-245×-19n-1+35．(3)因为q n=C12C11C13C13p n-1+C11C13C13C13q n-1=29p n-1+13q n-1①，1-q n-p n=C11C12C13C13p n-1+C13C11C13C131-q n-1-p n-1=29p n-1+131-q n-1-p n-1②．所以①-②，得2q n+p n-1=132q n-1+p n-1-1．又因为2q1+p1-1=0，所以2q n+p n-1=0．所以q n=1-p n 2．所以X n的概率分布列为：X n012p1-p n-1-p n2p n1-p n2所以E X n=0×1-p n-1-p n 2+1×p n+2×1-p n2=1．所以X n的数学期望E X n为定值1．4.(2024·高三·江西·开学考试)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n+1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第n -1,n-2,n-3，⋯次的状态无关，即P(X n+1|X1,X2,⋯,X n-1,X n)=P(X n+1|X n)．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n 次(n∈N∗)这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为X n，甲盒中恰有2个白球的概率为a n，恰有1个白球的概率为bn．(1)求a1,b1和a2,b2．(2)证明：a n+2b n-65为等比数列．(3)求X n的数学期望(用n表示)．【解析】(1)若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率a1 =23；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率b1=1 3，研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为a1=2 3，此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a1×13×12=16a1；若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为a1×13×12=16a1；若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为a1×23×12=13a1；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a1×23×12=13a1，②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为b1=1 3，此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为b1×23=23b1若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为b1×13=13b1，综上，a2=16a1+13a1+23b1=59,b2=13a1+13b1=13.(2)依题意，经过n次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为a n，恰有1个白球的概率为b n，则甲盒中恰有3个白球的概率为1-a n-b n，研究第n+1次交换球时的概率，根据第n次交换球的结果讨论如下：①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为a n，此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a n×13×12=16a n；若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为a n×13×12=16a n；若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为a n×23×12=13a n；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a n×23×12=13a n，②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为b n，此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为b n×2 3=23b n；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为b n ×13=13b n ，③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为1-a n -b n ，此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为1-a n -b n ，综上，a n +1=13a n +16a n +23b n +1-a n -b n =1-12a n -13b n ,b n +1=13a n +13b n 则a n +1+2b n +1-65=1-12a n -13b n +23a n +23b n -65=16a n +13b n -15，整理得a n +1+2b n +1-65=16a n +2b n -65 ，又a 1+2b 1-65=215>0，所以数列a n +2b n -65 是公比为16的等比数列.(3)由(2)知a n +2b n -65=215×16 n -1，则a n +2b n =65+215×16n -1，随机变量X n 的分布列为X n123P b n a n 1-a n -b n所以E (X n )=b n +2a n +3-3b n -3a n =3-(a n +2b n )=95-215×16 n -1.5.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a >0，都有P ξ≥a ≤E ξ a.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为P A .则P A 的最大值为()A.271000 B.2431000 C.427 D.49【答案】B【解析】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y .设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，则根据马尔可夫不等式可得p =P X ≥100 ≤E X 100=10100=110，∴0≤p ≤110，因为Y ~B (3,p )，所以P A =P Y =1 =C 13p 1-p 2=3p 1-p 2=3p 3-6p 2+3p ，令f (p )=3p 3-6p 2+3p ，则f (p )=9p 2-12p +3=3(3p -1)(p -1)，∵0≤p ≤110,∴3p -1<0,p -1<0，即f (p )>0，∴f (p )在0,110上单调递增.∴f (p )max =f 110 =3×110×1-110 2=2431000，即P (A )max =2431000.故选：B6.(2024·广东肇庆·模拟预测)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n (n ∈N *)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n ，恰有1个黑球的概率为p n ，则p 1的值是；X n 的数学期望E X n 是.【答案】4932-1213 n【解析】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得p 1=13×23+23×13=49；记X n -1取0，1，2，3的概率分别为p 0，p 1，p 2，p 3，推导X n 的分布列：P X n =1 =p 0+49p 1+49p 2，P X n =2 =49p 1+49p 2+p 3，P X n =3 =19p 2，则E X n =0⋅P X n =0 +1⋅P X n =1 +2⋅P X n =2 +3⋅P X n =3 =p 0+43p 1+53p 2+2p 3=1+13p 1+2p 2+3p 3 =1+13E X n -1 ，则E X n -32=13E X n -1 -32，故E X n -32=E X 1 -32 ×13n -1给合E X 1 =43，可知E X n =32-1213 n .故答案为：49;32-1213n .7.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n ∈N ∗ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有1个黑球的概率为p n ，则p 1=；p n =．【答案】5925⋅-19 n +35【解析】由题意，p 1=C 12C 12+C 11C 11C 13C 13=59；当n ≥2n ∈N ∗ 时，p n =C 12C 12+C 11C 11C 13C 13p n -1+C 12C 13C 13C 13P X n -1=0 +C 13C 12C 13C 13P X n -1=2 =59p n -1+23P X n -1=0 +P X n -1=2 =59p n -1+231-p n -1 =-19p n -1+23，整理得p n -35=-19p n -1-35 ，p 1-35=59-35=-245，故可知p n -35 是以-245为首项，以-19为公比的等比数列，所以p n =25⋅-19 n +35.故答案为：59；25⋅-19 n +358.马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，X t -2,X t -1,X t ,X t +1,⋯，那么X t +1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t ，即P X t +1∣⋯,X t -2,X t -1,X t =P X t +1∣X t .著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率.【答案】93100/0.93【解析】设当赌徒手中有n 元0≤n ≤1000,n ∈N 时，最终输光的概率为P (n )，当n =0时，赌徒已经输光了，所以P (0)=1，当n =1000时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为P (1000)=0，记M ：赌徒有n 元最后输光的事件，N ：赌徒有n 元下一次赢的事件，所以P M =P N P (M |N )+P N P (M |N )，即P (n )=12P (n -1)+12P (n +1)，所以P (n +1)-P (n )=P (n )-P (n -1)，所以P (n ) 为等差数列，设P (n )-P (n -1)=d ，由于P (1000)=P (0)+1000d =1+1000d =0，所以d =-11000，所以P (n )=P (0)+nd =1-n 1000，故P (70)=1-701000=93100故答案为：931009.(2024·广东茂名·二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n +1次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关，与第n -1,n -2,n -3,⋅⋅⋅次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n n ∈N * 次操作后，记甲盒子中黑球个数为X n ，甲盒中恰有1个黑球的概率为a n ，恰有2个黑球的概率为b n .(1)求X 1的分布列；(2)求数列a n 的通项公式；(3)求X n 的期望.【解析】(1)(1)由题可知，X 1的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：P X 1=0 =13×23=29；P X 1=1 =13×13+23×23=59；P X 1=2 =23×13=29，故X 1的分布列如下表：X 1012P 295929(2)由全概率公式可知：P X n +1=1=P X n =1 ⋅P X n +1=1X n =1 +P X n =2 ⋅P X n +1=1X n =2 +P X n =0 ⋅P X n +1=1X n =0=13×13+23×23 P X n =1 +23×1 P X n =2 +1×23 P X n =0 =59P X n =1 +23P X n =2 +23P X n =0 ，即：a n +1=59a n +23b n +231-a n -b n ，所以a n +1=-19a n +23，所以a n +1-35=-19a n -35 ，又a 1=P X 1=1 =59，所以，数列a n -35 为以a 1-35=-245为首项，以-19为公比的等比数列，所以a n -35=-245⋅-19 n -1=25⋅-19 n ，即：a n =35+25⋅-19n .(3)由全概率公式可得：P X n +1=2 =P X n =1 ⋅P X n +1=2X n =1 +P X n =2 ⋅P X n +1=2X n =2 +P X n =0 ⋅P X n +1=2X n =0=23×13 ⋅P X n =1 +13×1 ⋅P X n =2 +0⋅P X n =0 ,即：b n +1=29a n +13b n ,又a n =35+25⋅-19 n ,所以b n +1=13b n +2935+25-19 n ,所以b n +1-15+15-19 n +1=13b n -15+15-19 n,又b 1=P X 1=2 =29,所以b 1-15+15×-19 =29-15-145=0,所以b n -15+15-19 n =0,所以b n =15-15-19n ,所以E X n =a n +2b n +01-a n -b n =a n +2b n =1.10.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n ∈N * 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n ，恰有1个黑球的概率为p n ，恰有2个黑球的概率为q n ，恰有0个黑球的概率为r n .(1)求p 1,p 2的值；(2)根据马尔科夫链的知识知道p n =a ⋅p n -1+b ⋅q n -1+c ⋅r n -1，其中a ,b ,c ∈0,1 为常数，同时p n +q n +r n =1，请求出p n ；(3)求证：X n 的数学期望E X n 为定值.【解析】(1)由题意恰有0个黑球的概率为1-p n -q n .由题意知p 1=C 12C 12+C 11C 11C 13C 13=59,q 1=C 12C 11C 13C 13=29，所以p2=C12C12+C11C11C13C13p1+C12C13C13C13q1+C13C12C13C131-p1-q1=4981.(2)因为p n=C12C12+C11C11C13C13p n-1+C12C13C13C13q n-1+C13C12C13C131-p n-1-q n-1=-19p n-1+23，所以p n-35=-19p n-1-35.又因为p1-35=-245≠0，所以p n-35是以-245为首项，-19为公比的等比数列.所以p n-35=-245×-19n-1,p n=-245×-19n-1+35.(3)因为q n=C12C11C13C13p n-1+C11C13C13C13q n-1=29p n-1+13q n-1①，1-q n-p n=C11C12C13C13p n-1+C13C11C13C131-q n-1-p n-1=29p n-1+131-q n-1-p n-1②所以①-②，得2q n+p n-1=132q n-1+p n-1-1 .又因为2q1+p1-1=0，所以2q n+p n-1=0.所以q n=1-p n 2.所以X n的概率分布列为：X n012p1-p n-1-p n2p n1-p n2所以E X n=0×1-p n-1-p n 2+1×p n+2×1-p n2=1.所以X n的数学期望E X n为定值1.11.(2024·云南·模拟预测)材料一：英国数学家贝叶斯1701∼1763在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设A1,A2,⋯,A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪A n=Ω，且P A i>0,i=1，2,⋯,n，则对任意的事件B⊆Ω,P B >0，有P A i∣B=P A iP B∣A iP(B)=P A iP B∣A i∑n k=1P A kP B∣A k,i=1，2,⋯,n.材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯，X t-2,X t-1,X t,X t+1,⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1∣⋯,X t-2,X t-1,X t=P X t+1∣X t.请根据以上材料，回答下列问题.(1)已知德国电车市场中，有10%的车电池性能很好.W公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比3%，其中有25%的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是W公司的，求该汽车电池性能很好的概率；(结果精确到0.001)(2)为迅速抢占市场，W公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为0,1,⋯,10，有一个小球在格子中运动，每次小球有34的概率向左移动一格；有14的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记P i 为以下事件发生的概率：小球开始位于第i 个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率.【解析】(1)记事件A 为一辆德国市场的电车性能很好，事件B 为一辆德国市场的车来自W 公司.由全概率公式知：P A =P A |B P B +P A |B P B ,故：P A |B =P A -P A |B ⋅P B P B=10%-0.25×3%97%≈0.095.(2)记事件A i i =0,1,⋯,10 表示小球开始位于第i 个格子，且最终停留在第10个格子，事件C 表示小球向右走一格.小球开始于第i 格，此时的概率为P i ，则下一步小球向左或向右移动，当小球向右移动，即可理解为小球始于P i +1，当小球向左移动，即可理解为小球始于P i -1，即P i =14P i +1+34P i -1.由题知P 0=0,P 10=1，又4P i =3P i -1+P i +1，故P i +1-P i =3P i -P i -1 ，所以P i -P i -1 是以P 1-P 0为首项，3为公比的等比数列，即：P i -P i -1=3i -1P 1-P 0 ，即：P 10-P 9=39P 1-P 0 ，P 9-P 8=38P 1-P 0 ，⋯P 1-P 0=30P 1-P 0 ，故P 10=39+38+⋯+30P 1-P 0 =310-12P 1，P 5=34+33+⋯+30 P 1-P 0 =35-12P 1，则P 5=P 5P 10=35-1310-1=135+1=1244，故这名顾客获得代金券的概率为1244.。
随机过程习题四
1. (),1,2,X n n =，是相互独立同分布随机变量序列，令1()(),1,2,nk Y n X k n ===∑分别证明下述情形，{(),0,1,2,}Y n n =是齐次马尔科夫过程.（1）()X n 是伯努利随机变量序列，其中{()0}P X n q ==，{()1}P X n p ==，(01,1),1,2,p p q n <<+==（2）2()~(,),1,2,X n N n μσ=2. 设(),1,2,,X n n =是相互独立取非负整数的随机变量序列，令2()[(1)(2)()],1,2,Y n X X X n n =+++=证明：{(),1,2,}Y n n =是马氏链.3. 设{},1n n ε≥是独立同分布随机变量序列，并且()10,,1,k k k P k p k N p ε∞===∈=∑令(){}12min ,,,,n X n εεε=证明(){},1X n n ≥是齐次马氏链，并求其一步转移概率矩阵P 。
4. 设{(),0,1,2,}X n n =为马氏链，证明12312{(1)|(2),(3),,()}{(1)|(2)}n P X x X x X x X n x P X x X x =======即马氏链的逆序也构成一个马氏链.5. 在天气预报问题中，若今日是否下雨依赖于前两天的天气状况，并规定：昨日、今日都下雨，明日有雨的概率为0.7；昨日无雨,今日有雨，明日有雨的概率为0.5；昨日有雨、今日无雨，明日有雨的概率为0.4；昨日、今日均无雨，明日有雨的概率为0.2。
该问题是否可以用一马尔可夫链表示。
若可以，求在星期一、星期二均下雨条件下，星期四下雨的概率。
6. √考虑Bernoulli 过程的移动平均()112n n n Y X X -=+ 其中{}1,2,n X n =是p =1/2的独立Bernoulli 序列。
试证明{}1,2,n Y n =不是一个Markov 过程。
（解答）《随机过程》第二章习题
（解答）《随机过程》第二章习题第二章 Markov 过程习题解答1、设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。
不是的话，请说明理由。
解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。
（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323=== =========?======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====?========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ?====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。
随机过程第四章习题解答
第四章习题解答4.1Y1,Y2,···是来自总体Y的随机变量，与X0独立，h(x,y)是实函数.对于n 1，取X n=h(X n−1,Y n).设{X n}的状态空间为I，验证{X n}是马氏链，给出转移概率p ij.解：由题知，Y k与X1,···,X k−1独立,k 1,∀n,i,j,i1,...,i n−1∈I有，P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1, (X0)i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i)=P(h(i,Y)=j)=P(h(i,Y1)=j|X0=i)=P(X1=j|X0=i).∴X n是马氏链，P ij=P(h(i,Y)=j).4.2设{X i,i 0}是取非负整数值的独立同分布的随机变量序列，V ar(X0)>0.验证以下随机序列是马氏链：(a){X n,n 0};(b){S n,n 0}，其中S n=∑ni=0X i;(c){ξn,n 0}，其中ξn=∑ni=0(1+X i).解：∀n,i,j,i0,···,i n−1∈N+,(a).P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j)= P(X n+1=j|X n=i)=P(X1=j)=P(X1=j|X0=i).1第四章离散时间马尔可夫链第四章离散时间马尔可夫链(b).P(S n+1=j|S n=i,S n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i|X n=i−i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i)=P(X n+1=j−i,S n=i|S n=i)=P(S n+1=j|S n=i)=P(X1=j−i)=P(X1=j−i|X0=i)=P(S1=j|S0=i).(c).P(ξn+1=j|ξn=i,ξn−1=i n−1,···,ξ0=i0)=P(X n+1=ji −1)=P(X n+1=ji−1|ξn=i)=P(ξn+1=j|ξn=i)=P(X1=ji −1)=P(X1=ji−1|X0=i)=P(ξ1=j|ξ0=i).4.3马氏链的状态空间是I=(1,2,3,4,5)，转移概率矩阵P=0.20.80000.50.5000000.50.500.20.3000.500001界定马氏链的状态。
概率论与数理统计习题册 第七章 答案
上是不可能的．再设有无顾客来到与服务是否完毕是相互独立的．试用马氏链描述
这个服务系统，并求其一步转移概率矩阵．(参考陕西人民教育出版社，概率论与数
理统计辅导，P214)
- 106 -
第十一章 马尔可夫莲
系别
班级
姓名
学号
.
作业 19 多步转移概率的确定、遍历性
一、设任意相继的两天中，雨天转晴天的概率为 1 ，晴天转雨天的概率为 1 ，
要服务的顾客到达系统时发现系统内已有 3
个顾客（一个正在接受服务，两个在等候室
排队），则该顾客即离去．设时间间隔 ∆t 内
将有一个顾客进入系统的概率为 q ，有一原
来被服务的顾客离开系统（即服务完毕）的
第 11.5 题图
概率为 p ．又设当 ∆t 充分小时，在这时间间隔内多于一个顾客进入或离开系统实际
⎡1 1⎤
P
=
⎢ ⎢
2
2
⎥ ⎥
⎢1 2⎥
⎢⎣3 3 ⎥⎦
⎡5 P 2 = ⎢⎢12
⎢7 ⎢⎣18
7⎤
12
⎥ ⎥，
11 ⎥
18 ⎥⎦
所以已知
5
月
1
日为晴天，5
月
3
日为晴天的概率为
p00
(2)
=
5 12
；已知
5
月
3
日为晴天，5
月
5
日为雨天的概率等于
p01
(2)
=
7 12
，已知
5
月
1
日为晴天，5
月
3
日为晴天，且
5
月
5
日为雨天
的概率
P{X3 = 0, X5 = 1| X1 = 0} = P{X3 = 0 | X1 = 0} P{X5 = 1| X3 = 0, X1 = 0}
(完整版)随机过程习题答案
随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程_华东师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
随机过程_华东师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.隐马尔可夫链的三类基本问题不包括_____________.答案:识别问题2.有限状态时齐马氏链的任意一个状态都不是零常返的答案:正确3.接上题。
试用切比雪夫不等式估计小王在一个小时完成的概率最大是________？答案:0.064.小王同学要做一个社会调查，为此他打算到某公共场所发放调查问卷。
他先去该场所观察人群到达情况，发现到达的人流可以用强度为1000人/小时的泊松过程拟合。
由于人手不够，小王只能在到达的人群中随机发放问卷，每个人拿到问卷的可能性是30%，另外，不是所有人都会配合调查问卷，根据经验每个人拿到问卷的人都有50%的可能配合完成调查。
小王要获得200份已完成的调查问卷，请问配合小王完成调查问卷的人群所构成的泊松过程的强度是______人/小时。
答案:1505.【图片】表示相继两列列车之间的等待时间(单位：小时)，服从(1, 2)上的均匀分布，乘客按强度为100人/小时的泊松过程到达火车站，问乘上某列火车的乘客中等待时间超过1个小时的乘客数量。
答案:506.已知随机游动【图片】的步长分布为【图片】. 那么【图片】=——————(用小数表示，四舍五入，保留4位小数)。
答案:0.02887. 2. .若N(t)是个等待时间分布为F(t)的更新过程，g是一个定义在正整数上的函数, 满足g(0)=0, g(n+1)=g(1)+rg(n), 【图片】, 其中r是个常数，那么函数h(t)=E(g(N(t)))满足_____.答案:8.平稳独立增量过程一定是平稳过程答案:错误9.努利过程既是平稳过程也是严平稳过程答案:正确10.若随机变量序列【图片】为独立增量过程，那么【图片】.答案:错误11.对离散时间随机过程【图片】定义【图片】,那么【图片】是关于该随机过程的停时答案:错误12.已知W是初值为0, 步长分布为【图片】的随机游动，那么以下错误的是答案:13.已知非负整数值随机变量X的概率母函数为【图片】那么【图片】______.(用小数表示)答案:0.514.若X，Y是独立同分布的随机变量服从参数为a的指数分布, 那么在X+Y=1的条件下X的分布是_____.答案:均匀分布15.【图片】(注意结果用小数表示)答案:0.0516.【图片】(注意：结果用小数表示)答案:0.517.已知X, Y是两个方差有限的随机变量，若以X的一个函数随机变量g(X)作为Y的一个近似，为了使得近似误差的均方最小，那么在几乎处处意义下g(X)=_____。
随机过程课后试题答案
随机过程课后试题答案1. 题目：简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概念和性质。
答案：离散时间马尔可夫链（Discrete-time Markov Chain）是指在时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
其基本概念和性质如下：1.1 基本概念：- 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合，记作S。
离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集合。
- 转移概率：转移概率是指在给定前一个状态的条件下，系统转移到下一个状态的概率。
用P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率，其中i和j属于状态空间S。
- 转移概率矩阵：转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态j的转移概率的矩阵。
对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵是一个方形矩阵，维数与状态空间大小相同。
- 平稳概率分布：对于离散时间马尔可夫链，如果存在一个概率分布π，满足π = πP，其中π是一个行向量，P是转移概率矩阵，则称π为马尔可夫链的平稳概率分布。
1.2 性质：- 马尔可夫性：离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性，即将来状态的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。
- 遍历性：若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率大于零，则称该马尔可夫链是遍历的。
遍历性保证了马尔可夫链具有长期稳定的性质。
- 正常概率性：对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵P的元素都是非负的，并且每一行的元素之和等于1。
- 可约性和不可约性：如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。
反之，则称它是可约的。
不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。
- 周期性：对于不可约的离散时间马尔可夫链，如果存在某个状态，从该状态出发回到该状态所需的步数的最大公约数大于1，则称该状态是周期的。
若所有状态都是非周期的则称该马尔可夫链是非周期的。
2. 题目：连续时间马尔可夫链的定义和性质有哪些？答案：连续时间马尔可夫链（Continuous-time Markov Chain）是指在时间上的变化是连续的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
随机过程与马尔可夫链习题答案
1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏 没有关系。
若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有 40%的可能性上课；若下雨且心情不好， 可能不会上课。
假设当天下雨的概率为 30%,该同学当天心情好的概率为同学周一上课的可能性是多大? 分析:天气情况用随机变量 X 表示，“ 0”表示下雨，“ 1 ”表示不下雨；心情好坏用2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示， 且 Z 1 g 1 X,Y X 2 Y ，Z 2 g 2 X,Y X/Y ， 求:已知P Z0|X 0,Y0.5 ， P Z 1|X 0,Y 0 0.5 P Z 1|X 1,Y 0 0.1，P Z 0|X 1,Y0.9P Z 0|X 1,Y 1 0.4，P Z 1|X 1,Y 1 0.6 P Z1|X0,Y 1 0.9，P Z0|X0,Y 10.1P X 0 0.3， P X1 0.7P Y 00.2， P Y 1 0.8即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率P Z 0P X 0 P Y 0|X0 P Z 0|Y 0,X 0P X 0P Y 1|X 0 P Z 0|Y 1,XP X 1P Y 0|X 1P Z 0|Y0,X 1P X 1P Y 1|X1 P Z0|Y1,X1由于X ，Y 相互独立，则有P Z 0P X 0 PY C )P Z 0|Y 0,X 0P X 0P Y 1 P Z0|Y 1,X 0P X 1P Y 0 P Z 0|Y 0,x 1P X 1P Y 1 P Z 0|Y1,X1P Z 00.3 ' 0.2 0.50.3 0.8 0.10.7 0.2 0.90.7 表示心情好用"0”表示，心情不好用 表示; 表示不上课。
由题意可知注意：全概率公式的应用0.8 0.1上课，“1” 是否上课用随机变量 Z “ 1 ” 表示，“ 0”表示则有 90%的 20%，试计算该Y 表示，“ 0 ”1）乙的分布律与数学期望2） Z 2的分布律与数学期望3）乙大于10的概率 4）由上面的例子，你是否能得到离散随机变量函数的数学期望的一般表达式？包括一元和 多元随机变量函数。
(完整版)随机过程习题答案
(完整版)随机过程习题答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1随机过程部分习题答案习题2 2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数 ⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程 ⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。
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天气情况用随机变量X表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知
已知 ，
，
，
，
，
，
即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率
由于X，Y相互独立，则有
=
注意：全概率公式的应用
试将的均值函数和自相关函数用随机过程 的一维和二位分布函数表示出来
分析：由题知，是随机过程， 的取值由 决定，所以 也是随机过程。
由题中不知道随机过程 是连续还是离散，但 一定是离散随机过程，它的样本空间是 。概率分布可以表示成如下形式
0
1
因为 等于1的概率等于 小于等于 的概率（ ），
等于0的概率等于 大于 的概率（ ）。
P353 T9 是互不相关的随机过程。 ，其中 是普通函数。求 的均值函数和自相关函数。
分析：1
因为数学期望运算只对随机变量和随机过程起作用，对普通函数、普通变量和常量不起作用。（为什么？）。所以
分析2
因为 相互独立，则其在任何时刻对应的随机变量之间也相互独立，即
。则有
所以
二、ห้องสมุดไป่ตู้尔科夫链
P374 T5、设马氏链 的状态空间为 ，初始分布为 ，转移概率矩阵为
信息论与编码课程习题1——预备知识概率论与马尔可夫链
1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？
(1)计算
(2)证明
(3)计算
(4)计算
（1）分析：
由于马氏链的遗忘特性 。所以
由于只给出了一步转移概率矩阵，则应将马氏链改为齐次马氏链为宜。
(2)分析：
(3)分析：
随机过程在0时刻处于状态1的条件下，2时刻转移到2状态的概率。即二步转移概率矩阵的第1行第2列。
所以
4）分析
P375 T10设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为 ， 。试证明此链具有遍历性，并求其平稳分布
分析:
1）因为
即存在m=2使得m步转移概率中每一项都大于0，因此该马氏链具有遍历性。
2）设平稳分布为 则有
及
计算可得 ，表达形式不唯一。
奖励加分题：
1、证明若齐次马氏链具有遍历性，则齐n步转移概率矩阵（n趋近于无穷大）每一列中的元素都相同。
2、当具有遍历性的齐次马氏链处于平稳状态时，经过一次转移后仍处于平稳状态。
Z1
6
7
9
10
P
0.2
0.3
0.1
0.4
3）
4）
and so on.
3、已知随机变量 的概率密度函数为 ，其中 ， 为 的函数，求：
1）随机变量X小于或等于5的概率
2）随机变量Y的概率密度函数
3）随机变量Y大于10的概率
4）随机变量Y的数学期望
分析
1）
2）假设用 分别表示随机变量X的分布函数、随机变量Y的概率密度函数和分布函数，则有：
X Y
5
6
1
0.2
0.3
2
0.1
0.4
2、已知随机变量X和Y的联合分布律如又表所示，
且 ， ，求：
1） 的分布律与数学期望
2） 的分布律与数学期望
3） 大于10的概率
4）由上面的例子，你是否能得到离散随机变量函数的数学期望的一般表达式？包括一元和多元随机变量函数。
分析：
1）
2）
说明：主要考虑联合分布律与随机变量函数分布律的关系
有
3）
4）
4、已知随机变量 和 的联合概率密度函数为
， 。
1）求随机变量Z的数学期望
2）求随机变量Z的概率密度函数
3）结合习题3，总结连续随机变量的函数的数学期望的一般表达式，包括包括一元和多元随机变量函数。
分析：
1）
2）
=
3）
and so on.
P352 T2给定随机过程 , 是任意实数，定义另一随机过程
因此有 。
同理，由题知
所以得到
1
0
P{其他}
P352 T3设随机过程 ， ，其中 是在区间 服从均匀分布的随机变量。试求 的均值函数和自相关函数。
分析： 是随机变量， 是普通变量，所以 是随机过程。由题知 的概率密度函数为
因为随机过程 可以看作是随机变量 的函数，因此有
注意 才是随机变量，不是我们习惯的 。注意理解其本质意义，否则换个符号表示就会难倒你。