数学大师谈数学中的几何美

数学大师谈数学中的几何美

“数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定”。

今天很高兴在这边做这个演讲，我对文学、人文科学其实都不是很懂，都是自学，所以讲人文方面都是班门弄斧，希望你们专家能够原谅。今天讲的几何学倒是我的专长，我研究几何学45年，对几何一直都是很喜欢，我的数学就是从几

何学来，以后更应用到很多方面。

现在我们来讲几何的起源。几何起源很老，基本上有4000

年的历史。古代人在生活实践中发现了很多简单的几何图形，发觉它们满足了一定的规律——简洁、明了，具有一种美感。于是他们开始研究几何，这种美感令人赞叹。几何图形，在埃及、巴比伦都有很多论述，但这些论述都不是系统化的。

1、泰勒斯。

到公元前68年，在希腊文明中才得到明确的推崇。第一位

对几何有兴趣的希腊哲学家叫泰勒斯（Thales），他开始晓

得不能够用神秘宗教来解释自然，要创造一个演绎的方法，

利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。这是一个很大的突变，以前哪个国家的文化都没有这种想法。

2、毕达哥拉斯

他的学生毕达哥拉斯(Pythagoras)采取了定理证明的概念，毕达哥拉斯学派很重要，影响了整个西方的科学思想，这里不是一个人，是一群数学家。他们认为宇宙的实体有两个：一个是数字，万物都是数字，数的存在是有限方面的实体；一个是无限的空间，空间是存在的无限的实体。数字跟空间合在一起，生出宇宙万象。这个概念一路影响到今天，不仅仅是几何本身，早在16世纪发展解析几何的时候，就用到坐标系统、用到数字来描述，到现在计算机能够用数字来描述，世界上一切东西都跟这个有关；而我们看到物体的分布影响到空间几何，也受到空间几何的影响，这个概念也是近代物理爱因斯坦推崇的主要概念。

3、柏拉图的三个著名几何问题

第三个重要的人物是柏拉图（Plato），他是一位哲学家也是数学家，他在雅典郊外成立了一个很出名的学院叫Academy （也称柏拉图学园），相传他的文章讲“不懂几何学者，不能

进这个学园的门”，可见柏拉图在希腊学界多么重视几何学。这种理念也影响了西方科学相当长的时间。柏拉图虽是哲学家，但他对数学有很浓厚的兴趣，他认为几何上有五种正多面体，在三维空间里只有五个正多面体，跟二维空间不一样。这个命题在欧几里得的《几何原本》中被证明。这个命题的证明并不是很简单，可是这个定理令希腊的哲学家很兴奋，他们认为这是自然界赐予的一个美好的理论。这种理念影响了很久，甚至到了19世纪，伟大的天文学家开普勒，还企图用此来解释宇宙的结构、身体的运行，不幸地，开普勒的解释是错误的。可在大自然的晶体里，我们可以找出五种结构出来，这五个结构影响到今天的数学发展。

柏拉图提出了三个著名的几何问题：三等分一角；构造正方形与单位圆同面积；构造立方体，其体积是单位立方体的两倍。我希望你们在中学学过这三个问题，这三个问题影响数学界差不多2000多年，第三个问题在中国、印度亦出现过。如果容许用复杂的机械来解决这三个问题，古代数学家早已找到答案，但柏拉图坚持我们用最单纯的几何方法，即只靠圆规和直尺来构造，也因此这三个问题影响了很久。

第三个问题又叫Delos问题，传说Delos城的居民为了解除太阳神Apollo（阿波罗）降给他们的瘟疫，向Delphi（智慧

女神）神庙的祭司求救，祭祀要求他们做一个立方体，它的体积要刚巧是Apollo祭坛立方体的一倍。他们不懂得怎么解决，只好向柏拉图请教。这个问题有很久的历史，可能是蛮有兴趣的一个传说。

4、伽罗华群论

柏拉图提出的这三个几何问题直到19世纪伽罗华理论（Galois Theory）出现后，才得到完满的解决。伽罗华是位年轻数学家，21岁就去世了，他解决这个问题的时候才20岁，留下了很多重要手稿。他去世不是病死也不是其他，而是为了争女朋友跟一个朋友决斗而亡，很不幸。他的方法中是用到一个很重要的概念叫群论，用群论解决了这三个问题。他们发现这些问题跟用圆规与直尺构造的数字有密切关系。他们发现这些数字必须满足一些以整数位系数多项式方程式。然而，假如用圆规与直尺来做的话，这三个问题所产生的数字（比如√π、?2）并不能满足这些方程（1882年的Lindemann证明π为超越数，它不满足任何整数为系数的方程），因此，这些古典问题是不能用圆规和直尺来解决的。

所以这三个问题是很古老的问题，直到19世纪用相当高深

的数学才能完满地解决。这三个问题只不过是好奇，可是解

决它们的方法却影响到近代数学与近代科学的发展。伽罗华群论成为20世纪、21世纪最重要的理论之一。

5、欧几里得五条公理

欧几里得是柏拉图之后集几何学的大成，他由五条公理推到大量有趣的命题，实开千古科学演绎法之先河，直接影响到以后牛顿力学体系。牛顿利用三个基本定律来推导天体的运行，其中逻辑运用之妙，无可伦比。

逻辑运用，是很重要的事情，这也是整个中国科学发展缺少的一部分，西方从希腊数学家就开始了。欧几里得其实用了柏拉图学生亚里士多德发明的三段论证法。三段论证有大前提、小前提、结论，看起来简单，可是学生很少明白，中国的科学也很少用。

欧几里得就是通过归纳法，发现平面几何上有五条显而易见的性质。举例来讲，两点可以用一条直线连起来等种种不同方法，归纳出五条公理，并根据这个公理推导出平面几何所有的定理。这是一个漂亮伟大的贡献。

第5条公理叫平行公理，在直线外任何一点，必有唯一的直线通过这点而不与原来的直线相交，就是一个平行线。我们都学过这个公理，很多人现在认为可以接受。可是差不多有20世纪，哲学家都不大愿意接受这条公理，他们企图用其他四条公理去证明，但都没有办法成功。今天看起来好像简单的一个问题，可是哲学家始终不服输，一路到19世纪初期，算术几何的面世，才发现平行公理是不能用其他四条公理证明的。

6、高斯、黎曼、傅里叶

因此，我们又产生了一个新的几何——算术几何。算术几何跟平面几何不大一样，平行公理最重要的是影响到算术几何的诞生，也影响到几何学对空间观念的完全改变。

算术几何以后，通过两个伟大的几何学家——高斯与黎曼，对空间的观念开始完全改变。空间不再是欧式几何那样简单的一个空间，而是能够变动、能够影响我们天天看到的物理现象有关的空间。由于平行公理的变化，从平行移动的观念引出了内对称的观念，进而影响到高等物理粒子的变化，内对称主宰一切已知粒子的变化，著名的物理学家杨振宁先生的理论就是要从内对称演绎的。近代数学开始影响近代物理

学的发展。

19世纪伟大的法国数学家傅里叶，他讲数学可以用来决定最一般的规律，同时也可以量度时间、空间、温度，所以他讲数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。数学是很抽象的，可是从一个伟大的应用数学家那里，看得出来数学有其自己的空间、发展的方法，不一定跟其他自然科学有同样的问题，它是走自己的路。

以简制繁的观念也影响到艺术的发展。大部分学者认为统御自然界的共通原理必须简洁，从牛顿、到爱因斯坦、到笛卡尔、到杨振宁，都是这样的看法。所以，描述自然界的绘画，或者表露心灵与自然界交接的诗篇与颂词亦必如此。这种观念，我认为起源于希腊的基本精神。

调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野。

下面讲讲古希腊人的精神。也是从我父亲的一本书里所引，我父亲是个哲学家（编者注：丘成桐父亲名丘镇英）。英国

一个出名的作者叫狄更逊（Dickinson）在其所著《希腊人的人生观》（The Greek View of Life）中说：调和呦！就在这一字的意义上，我们可以有办法解说希腊文明的主要观念。

希腊人视美与善，身与心，个人与国家、神与人为调和统一的。

1、美与善之调和

柏拉图在《理想国》中讲：“美术家能洞鉴美与善之真性，发挥之于技术，使吾伎之青年，身之所居，目之所见，耳之所闻，无一而非善，而善之真际，即同时流露于其身目，有如清风之来自蓬莱，人之灵魂与同情之美，于不知不觉之间。”

2、身与心之调和

希腊大政治家伯里克理斯（Pericles）讲：“我们是美之爱好者，但我们的趣味是淡雅的，我们陶冶心灵，但我们也不失却丈夫气。”

柏拉图在《理想国》中以体育和音乐为教育之基。前者是养身，后者是修心，可见注重身心调和。

3、个人与国家的调和

亚里士多德说“国家系相同的人们，求达可能的最善生活的一

种组合。”所以希腊人绝不能逃避对国家应尽的义务，但也要个人的自由，个人与国家在一定分限上调和无间。

4、神与人的调和

希腊人认为神是美丽而人性的生物。男神是雄伟的美男子，女神是纯洁的美女子。你可以讲它是宗教，其实不是宗教，这是希腊人的理想，假借众神来表现。

调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野。也正由于这个原因，从宇宙的起源，星球的运行，原子的结构，一直到山水人物的绘画都有许多几何学家参与其中，进行研究，做出了基本的贡献。

远古的时候，无论埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都对历法有浓厚的兴趣。这些关于星体运行的学问，自然牵涉到几何学。事实上，古希腊人早已知道如何量度地球的半径和地球到太阳的距离。

古代中国人对地图的制作有重要贡献，刘安在《淮南子》中也讨论了如何计算地日的距离，可见古人一方面好奇，一方面由实际需要来发展几何，传说中国同余定理的发现始于历

法的计算。

而希腊天文学家西帕恰斯发明正弦的概念来测量星体的运行；托勒密则造弦表，以后阿拉伯和印度数学家将三角发展出来，可见天文学对数学的影响。

现在回头再讲数学、几何学，从古希腊想法发展出来的结果，对毕达哥拉斯学派来讲，万物皆数，第一个他发现音乐可以用数字来解释，这个学问表面上跟几何学毫无关系，但到19世纪，傅里叶对波动力学开始研究后，谱分析逐渐在几何学生根，任何一个图形都有它的谱，这些谱的研究已经成为几何学的主流。

是怎么产生的呢？举一个例子来讲，我们设想几何图形由一片薄膜做成，比如鼓，可以是用任何几何图形做成的鼓，击打这个鼓，会发出不同的声音，这个声音用谱来分析，可以推测鼓的形状，这是一个重要的问题。也可以看出几何与音乐的关系，从几何图形产生的音乐，我们可以推导出几何图形是怎样的。

音乐的美由耳朵来感受，几何的美由眼睛来感受。美丽的音乐与图形都有调和的意义，这是刚才希腊人的调和之意。这

种调和的意思可以用数学来定义，举个例子，我们固定两端的琴弦，弹奏时会形成很多不同的波，这些波由基本的正弦函数组成，如弦长为L，这些函数可写成sin（nx/l），这是个很漂亮的函数，有调和的意思在里边。

什么叫调和函数？调和函数的定义是这样子，它定义于空间，并满足于一个重要性质，即它在每个点上的值等于它在环绕这点上球的平均值。这些函数有着“中道”的性质，这与希腊

哲学中所追求的中道和儒家的中庸有着共同的意思。所以调和函数是一个很美妙的函数，每点的值是一个平均值，不多也不少。

函数跟我们讲的基本波有很多共同的东西。击鼓时，鼓的振动由基本波组成，这些基本波的描述与上述的调和函数极为相似，也许这就是音乐和美术有共通之处的原因。

有趣的是，这些基本波都有物理意义。这些波都有能量，在一定的条件下，音乐的基本波具有最少的能量。这是物理和几何学中基本的原则：物质的状态，总是在具有最低能量时最稳定。这是个基本的看法，影响了物理学、几何学、数学几百年。

我们喜欢最低能量的状态，正如一般人所讲“水向低流”，因为向下流它的位能是最低的。在社会给定的条件下，人的欲望达到最低时可说是“至善”的一个判断防范，所以清心寡欲是一个调和的概念，因此美与善可以调和，数学家喜欢平静与天真。我的老师陈省身如此，二十世纪伟大的法国几何学家E.Carton也说：“在听数学大师演说数学时，我感到一片的平静和有着纯真的喜悦。这种感觉大概就如贝多芬在作曲时让音乐在他灵魂深处表现出来一样。”

几何学里还有一个重要的概念就是对称，对称的概念影响了数学几百年，也影响到整个物理学界几百年。对称是调和观念的另一种表现，希腊人喜欢柏拉图多面体，就是因为他们具有极好的对称性，他们甚至将其与宇宙的五个元素联系起来：火—正四面体；土—正六面体；气—正八面体；水—正十二面体；正十二面体代表第五元素，是宇宙的基本要素。

这种解释大自然的方法虽然并不成功，但是对称的观念却由始至终地左右着物理学的发展，并终于演化成群的观念。从伽罗华开始，到SophisLie,Klein,和Carton诸位大师的手上，对称群在几何学生的威力展露无遗，成为现代几何与现代物理的支柱。

在我国传统《易经》中，阴阳的观念至关重要。从数学来讲，这种对偶在古代数学中早已出现，例如Apollonius和Pappus 研究pole和polar，以后射影几何学家研究点和平面的对偶关系等，流风所被，直至近代拓扑学和代数学中对偶理论皆有辉煌的发展。

近三十年来，所谓镜对称的概念出现在描述宇宙结构的弦论中，至大的空间和至小的空间，至强的理论与至弱的理论有着相同的结构。在对偶理论里，大的空间跟最小的空间，是对偶，是互相影响对方的；强的理论跟弱的理论也有相同的对偶性，这是一个很奇怪的现象，在数学上是可以证明的，只是到目前为止还没办法证明。假如弦论能由试验证明，道家的阴阳或可由数学观念来解释。

古希腊人崇拜雄伟的男神与美丽的女神，也可以看做是刚柔的对偶，刚柔互济，发展出来的几何学也是多姿多彩的。文艺复兴的时候，很多艺术家想将景物有深度感觉滴表现在画布上，他们发觉这个问题与射影几何有很重要的关系。

布鲁涅内斯基得到一些成果，在研究透视学上，非阿尔贝蒂写了两本书，研究不同的屏幕映像的关系，圆锥截痕跟对偶原则得到更深入的研究，由此可见绘画艺术对几何的影响。

我十多年前看过一本书，是康熙雍正年间大将军年羹尧的哥哥写的一本关于透视几何的书，可见雍正年间也注意到用几何学来研究怎么画画。

投影几何对整个数学有很大的影响，奥斯几何跟很多几何研究距离、长度的问题，到了投影几何，我们不研究距离，因为将一个三维的图投射到二维花布上时，量不出其长度，而开始研究线和线的相交或线和面的相交，对偶观念由此产生。投影几何在十九世纪成为主流的学问。

接着我们来讲一个伟大的数学家，也是个伟大的物理学家，他叫Herman Weyl，他是20世纪前50年最伟大的数学家，也爱物理，几个重要的物理方程是他发明的。他说：假如要我在大自然的真实与数学的美之间做选择，我宁愿选择数学的美。很幸运的是，自然界的真理往往是极为美妙的。所以从数学的美选择出来的方程、选择出来的图形，往往能够解释大自然里的真理。

普林斯顿高等研究所，我曾经在那里教过五年书，爱因斯坦也曾在那里工作过30年。它的徽章是真和美，左手是裸体

的女神，右手边是穿着衣服的女神。“真”是一个赤裸裸的女神；“美”是漂亮的、穿着衣服的女神。无论文学家、美术家、

音乐家、数学家、物理学家都在不断发掘美的意义，和如何去表达大自然众生诱导出的美，者是很重要的事情。

未经烈火的煎熬，没有办法完成大学问。

现在我来谈谈体育，无论希腊哲学也好，儒家哲学也好，都很注重体魄的训练。亚里士多德认为希腊人要有超卓的意志，意旨希腊人昂昂然若千里之驹，自视甚尊，怜人而不为人怜，奴人而不为人奴。正如孟子所谓“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈”。

其实任何有深度的学问都有其本质所在，数千年累积下来的学问就是我们的体魄，没有这个实质，就没有办法创新，就没有办法寻找新的空间，就没有办法离开古人的范畴。这是我自己的看法，很多人讲，做数学是一个天才的活动，可是数千年来，伟大的天才数学家至少有两三百，他们累积下来的学问是很有意义的，我们不能够超越他们，因为我们的脑袋不大可能超越几百个天才累积下来的经验，所以我们一定要想办法了解前人的思想，才能够向前走，才能够昌盛。我们能够培养我们的美，也一定要有学习的能力，能够学习前人做过的事情。

所以屈原说，纷吾既有此内美兮，又重之以修能。

贾谊说，夫天地为炉兮，造化为工；阴阳为炭兮，万物为铜。

未经烈火的煎熬，没有办法完成大学问。

我们很多同学以为自己是天才，以为自己很有本领，不用念书，不用看书，就能够完成很好的学问。你可能考试比人家好，可是要做大学问是不可能的事儿。我们看了很多大学生，到了做研究生的时候，遇到很大的问题，就是因为他没有好好学，自以为是天才。

我在国外40多年，接触了很多伟大的数学家，伟大的物理学家，我不认为有任何一个是天才，他们都是经过很大的努力才完成的工作。

纵观古今，大部分数学家主要贡献都在年轻时代，这与年青人有良好的体魄有关。有了良好的体魄，在解决问题的时候，才能够集中精神，尤其是你们这个年纪，才能够做大的学问，因为有良好的体力，能够持久集中精力解决问题。

我解决的很多问题，相当重要的问题，往往是经过五到十年

才能够完成，假如没有办法集中精神，是没有办法解决的。所以要经得起这样的煎熬，集中精神，一定要有好的体力，也必须要有浓厚的热情。正如荷马史诗里所描述的英雄，不怕艰苦，勇往直前；如玄奘西行，有着无比的毅力，能够大漠独自坚持一个多月，这都是靠无比的毅力和无比的热情，才能够完成的大事业。

不少学者努力学习，没有宏观的看法，终究不能成就大学问。但有些青年学者，谈玄轮道，自以为高人一等，却没有踏实功夫，终究也是一场空。

希腊学问极盛时代，一般学者都有充分的时间去思考、去辩论。政府与学者也有极好的调和精神，学者能够以自由的意志、独立的精神去追求自己的理想。历史上在穷困中挣扎能否成功的，毕竟是极少数。

所以，曹丕典论论文：“贫贱则慑于饥寒，富贵则流于逸乐，遂营目前之务，而遗千载之功。”何时我们才能不受生活的影响，在学问的领域里成为雄伟的丈夫、洁美的女神？

我父亲的书上有一句《文心雕龙》里的一句话：“嗟夫！身与时舛，志共道申，标心于万古之上，而送怀于千载之下。”

我今天讲这些，就是希望我们年轻人能够有崇高的思想来学习美真的想法，谢谢。

做学问并不是想象中这么简单，100次有99次的失败；中

国的大学生看不起自己，是很不幸的事情；中国好的大学太少；中学跟大学，真的要很用功……

人大学生：丘先生，非常感谢您的演讲，在您研究数学、欣赏数学的过程中，有哪些比较难忘的瞬间分享一下，谢谢。

丘成桐：做学问并不是想象中这么简单。我做重要的问题，往往通过五年、十年才完成，中间挫败的时间多过成功的时间，可以讲100次有99次的失败，最后才成功。

成功以后有喜悦，回想一下失败的时间其实还是蛮有意义的。可是你失败的时候，往往真理不晓得去哪里找，这是很难的事情。可是假如真的有很大的热情，完成这个工作以后，你就觉得很高兴，觉得你五年来的努力总是很高兴的事情。

人大学生：丘老师你好，我之前也看过你的书还有一些文章，您在哈佛教书的时候，很喜欢与本科生面对面的交流，而且

您认为这对您的学术研究产生促进作用。我对这个观点很疑惑，这是一个大学者的姿态，还是本科生真的对您的工作会有促进？

丘成桐：做中国的本科生聪明的很多，可是想的都是考试的问题，国外的本科生想的很多问题是你想不到的，Facebook 就是一个本科生创造出来的。

里面有很多不同的技术是要克服，哈佛大学一二年级的学生普遍都很行，也不见得都很有天分，可是总有几个很有天分的。

我们在哈佛大学研究生课程中，上课的有五六个本科生，他们的成绩一般来讲比研究生好，就是因为他们有想法，能力也很强，甚至我们看他们做题目，我们自己也做不来的，这是很普遍的事情。我们的大学生一年有20篇学术论文，至少有两到三篇是发表在一流的杂志上的，能够发表在一流杂志说明我们是不懂得的，可见本科生的能力是很好的。前几年有一个大学生写一篇文章，我们专家看了后都大为惊叹。

中国的大学生看不起自己，是很不幸的事情，你们有人应该去闯一下。

人大学生：现在我们很多家长在培养孩子的时候，往往是按照他们自己的想法。您父母教育您，是用怎么样的方式？对您成长有什么帮助？他们可能没有说你一定会成为家吧？

丘成桐：家长的训导跟老师的帮助都是很重要的，一个小孩子训练其基本的能力、数学上解题的能力，绝对是要的。可是培养考试的人才是不好的，一旦这样，小孩子的心就全部埋没了。可是当看到一个题目，要有能力去解决，是有必要的。

我父母对我最大的影响，是他们从来没有期望我去学习赚钱的学问、为赚钱而念书。可大部分家长是期望这样子的，很多中学生很有天分，对数学也有很浓厚兴趣的，可最后都去念金融了，这是不幸的事实。

人大学生：丘老师您好，我高中时曾读到过您的一句话，就是说学数学要达到一种所谓天人合一的境界。您当时说就是要有那种“天地与我并生，而万物与我为一”的感觉。我学习了五年的基础数学，对您所说的这种兴趣，有一点比较粗浅的体会，但是以我现在的水平只能是隐隐约约体会到。您大约学了多长时间数学才有了这种天人合一的感觉？您能不