运筹学 线性规划习题解析

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第一章 线性规划
第一章 线性规划
1、某化工厂生产某项化学产品，每单位标准重 量为1000克，由A、B、C三种化学物混合而成 。产品组成成分是每单位产品中A不超过300克 ，B不少于150克，C不少于200克。A、B、C每 克成本分别为5元、6元、7元。问如何配置此化 学产品，才能使成本最低？
解：由题意设生产高级、中级、低级玩具各为 x1，x2，x3台，总利润为S元，则由题意可得本 题的线性规划模型为：
由题意可得下表条件约束：
max S=max(30x1+5x2+x3)
17x1 + 2x2+1/2x3 ≤ 500 8x1+1/2x2+1/6x3 ≤ 100 x1 ≤ 10 x2 ≤ 30 x3 ≤ 100 x1,x2,x3≥0
K1=-4
k2=-1/2
X1+2x2=28
4x1+x2=42 X1+2x2=28
解得：x1=8,x2如果原料甲增加到42吨，原最优解是否改变？
图解： x2
42
21
4x1+x2=42
4x1+x2=42 X1+2x2=42
解得：x1=6,x2=18
k=-7/5
X1+2x2=42
（2）X0一定不是可行解； （3）X0一定不是基可行解；
对
（4）X0一定不是最优解；
（5）X0一定不是基最优解。
第一章 线性规划
评讲完啦~ 谢谢大家~
10.5
42
x1
(3)如果每吨B产品的利润增加到15万元，原最优解 是否改变？
图解： x2
42
4x1+x2=42
最优解是x1+2x2=28 与x2轴的交点（0,14）
14 k=-7/15
X1+2x2=28
10.5
28
x1
（4）每吨B产品的利润在什么范围内变化，原最优 解才不会改变？
图解： x2
42
。
第一章 线性规划
11、已知X0=（2,3,0）T是某线性规划问题的最 优解，能否判断： （1）X0一定是基础解；错 （2）X0一定是可行解； 对 （3）X0一定是基可行解；错 （4）X0一定是基最优解。错
第一章 线性规划
12、已知X0=（2,0，-1）T是某已化成满秩标准 形的，具有3个变量的线性规划问题的一组值， 能否判定： （1）X0一定不是基础解； 错 （2）X0一定不是可行解； 对 （3）X0一定不是基可行解； 对 （4）X0一定不是最优解； 对 （5）X0一定不是基最优解。 对
max S=max(40x1+28x2+32x3+72x4+64x5+80x6)
x1+x2+x3+3x4+3x5+3x6≤850
2x1
+5x4
≤700
2x2 +5x4
≤600
3x3 x1，x2…x6≥0
+8x6≤900
第一章 线性规划
4、一家玩具公司制造三种玩具，每一种要求不同的制 造技术。高级的一种需要17个小时加工装配，8小时检 测，每台利润30元；中级的需2小时加工装配，半小时 检测，每台利润5元；低级的需半小时加工装配，10分 钟检测，每台利润1元。现公司可供利用的加工装配时 间为500小时，检测时间100小时。市场预测显示，对高 级、中级、低级玩具的需求量分别不超过10台、30台、 100台，试制定一个能够使总利润最大的生产计划。
解：由题意可设该产品中A、B原料分别为x1， x2千克，总成本为S，则本题线性规划模型为：
min S=min(2x1+8x2) 5x1+10x2=150 x1≤20 x2≥14 x1,x2≥0
第一章 线性规划
3、设某工厂有甲、乙、丙、丁四台机床，生产A、B、C、D、E、 F六种产品。加工每一件产品所需要时间和每一件产品的单价如下 表所示：
第一章 线性规划
5、现有300cm长的钢管500根，需截成70cm长 和80cm长两种规格的成套材料。每套由70cm的 3根，80cm的12根组成。问如何截管，可以使 余料最少，套数最多？
解：由题设条件可得到1根300cm长的钢管有 以下几种分割方法：
设x1、x2、x3、x4分别代表四种方法分割 300cm的钢管的根数，S表示废料的总长度
x1+x2+x3+x4=500 可以截得80cm钢管（3x1+2x2+x3）根，70cm钢管
（2x2+3x3+4x4）根，共有废料（60x1+10x3+20x4 ）cm 则可得： (3x1+2x2+x3):(2x2+3x3+4x4)=12:3 化简的： 3x1-6x2-11x3-16x4=0
min S=min(60x1+10x2+20x3) x1 + x2 + x3 + x4 = 500 3x1-6x2-11x3-16x4 = 0 x1，x2，x3 ,x4≥0
解：设配制此化学产品所需A、B、C三种化学 物分别为x1，x2，x3克，成本为S元，则由题意 可得本题的线性规划模型为：
min S=min(5x1+6x2+7x3) x1+x2+x3=1000 x1≤300 x2≥150 x3 ≥200 x1,x2,x3≥0
第一章 线性规划
2、某产品重量为150千克，用A、B两种原料制 成。每单位A原料成本为2元，每单位B原料成 本为8元。该产品至少需要含14单位B原料，最 多含20单位A原料。每单位A、B原料分别重5千 克、10千克，为使成本最小，该产品中A、B原 料应各占多少？
第一章 线性规划
X1不是基础解（满足前约束但非零分量对应的列向量线 性相关），不是可行解（不满足后约束），不是基可行 解。
X2不是基础解（非零分量对应的列变量线性相关），是 可行解（满足前后约束），不是基可行解。
X3是基础解（非零分量对应的列变量线性无关）、可行 解，因此也是基可行解。
X4是基础解，不是可行解，因此也不是基可行解。 X5是基础解、可行解，因此也是基可行解。 将X3和X5带入目标函数可得：S3<S5，所以X3是最优解
解类型 基础解 可行解 基可行解 最优解 基最优解
满足条件 ①③
①②
①②③ ①②④ ①②③④
第一章 线性规划
10、已知线性规划问题为： min S=min (x1+2x2-3x3+4x4) 5x2+x3+3x4=5 x1+4x2+x3+4x4=7 xi ≥( i =1,2,3,4)
判断下述各点：X1=（8,2,7，-4）T，X2=（1， 0,2,1）T，X3=（ 2,0,5,0）T，X4=（0,0，-1,2）T ，X5=（3,1,0,0）T是不是该问题的可行解、基 础解、基可行解。试从中找出最优的一个解。
第一章 线性规划
6、某皮革厂生产甲、乙两种皮带，生产甲、乙 皮带每条可获利分别为4元、3元。但生产一条 甲皮带是生产一条乙皮带所需工时的2倍，如果 全部生产乙皮带，该厂每天可生产1000条，但 皮革供应只够日产800条（甲、乙两种皮带合计 ），甲、乙皮带所用皮扣（一条一扣）每天分 别只能供应400个、700个。问如何安排生产， 可使该厂获利最大？
第一章 线性规划
13、已知线性规划问题
max S=max(x1+x2-x3) ax1+9x2+7x3+9x4+x5=1 5x1+bx2-7x3 +x5=-3 xi ≥0( i =1,2…,5) a , b为任意常数
X0=（9,0,7,0,6）T是其变量的一组值。能否判定：
（1）X0一定不是基础解；
解：由题设条件设生产甲、乙两种皮带分别为x1、x2根
max S=max(4x1+3x2) 2x1+x2≤1000
交点：x1=200 x2=600
x1 +x2≤800
x1 ≤400
x2 ≤700 x1、x2≥0
第一章 线性规划
7、某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品 ，制造A、B产品每吨所需要的各种原料、可得 利润以及工厂现有的各种原料数如下表所示：
-4<k<-1/2
4x1+x2=42
k1=-4
可得：-4<k<-1/2 目标函数：7x1+bx2 k=-7/b
7/4<b<14
14
k2=-1/2
X1+2x2=28
10.5
28
x1
复习
条件： ①满足前约束 ②满足后约束 ③无非零分量，或有非零分量但其非零分量对 应的A的列向量线性无关 ④使目标函数最大
解：设生产A、B两种产品分别为x1、x2单位
（1）在现有原料条件下，如何组织生产才能使利润最大 max S=max(7x1+5x2)
x1+2x2≤28 4x1 + x2 ≤42 x1，x2≥0
（1）在现有原料条件下，如何组织生产才能使 利润最大
图解： x2
42
k=-7/5 14
4x1+x2=42
表中没有 填数的表示这 台机床不参加 生产这种产品。 现假设在某一 时间内，甲、 乙、丙、丁四台机床的最大工作能力分别为850、700、600、900工时
，问这一时段内，每种产品各应生产多少，才能使该厂总收入最 大？
解：由题意可设产品A、B、C、D、E、F分别 生产x1，x2 ，x3，x4，x5，x6单位，总收入为S元， 则本题的线性规划模型为：