2011五校联考数学试卷(理科)

第5题

2011年浙江省五校联盟第二次联考

数学试卷（理科）

第Ⅰ卷（共50分）

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）

已知集合{|M x y ==,22{|log (2)}N x y x x ==-,则()R C M N ⋂=（ ）

A. 11

(,)32 B. 11(,)[,)32-∞⋃+∞ C. 1[0,]2 D. 1(,0][,)2

-∞⋃+∞ （2）复数226(12)a a a a i --++-为纯虚数的充要条件是（ ）

A ．3a =或2a =-

B ．3a =或4a =-

C ．3a =

D ．2a =- （3）若函数cos(2)(0)y x ωϕω=+>的图象相邻两条对称轴之间的距离为

2

π

，则ω为（ ） A ．

2

1

B ．1

C ．2

D ．4 （4）已知A 、B 是两个不同的点，n m 、是两条不重合的直线，βα、是两个不重合的平面，则①α⊂m ，α∈⇒∈A m A ；②A n m = ，α∈A ，α∈⇒∈B m B ；③α⊂m ，

β⊂n ，βα////⇒n m ；④⊂m α，βαβ⊥⇒⊥m ．其中真命题为（ ）

A ．①③

B ．②③

C ．①④

D ．②④

（5）若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 在R 上既是奇函数，又是减函数，则

)(log )(k x x g a +=的图像是（ ）

（6）已知点F 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，

过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若ABE ∆是直角三角形，则该双曲线的

离心率等于（ ）

A. B.2 C.3 D.4

第9题

（7）已知ABC ∆

中，4,AB AC BC ===，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则

()AP AB AC ⋅+

满足（ ）

A.最大值为16

B.为定值8

C.最小值为4

D.与P 的位置有关

（8）实数,,,a b c d 满足,,,0a b c d a b c d ab cd <<+<+=<，则,,,a b c d 四个数的大小关系为（ ）

A. c d a b <<<

B. a b c d <<<

C. c a d b <<<

D. a c b d <<<

（9）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端

的数均为

1

n

（2n ≥），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412

=+，…，

则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）

A ．

1360 B ．

1

504

C ．1

840

D ．11260

（10）,P Q 是两个定点，点M 为平面内的动点，且

MP MQ

λ=（0λ>且1λ≠）

，点M 的轨迹围成的平面区域的面积为S ，设()S f λ=（0λ>且1λ≠）则以下判断正确的是（ ）

A ．)(λf 在)1,0(上是增函数，在），（∞+1上是减函数

B ．)(λf 在)1,0(上是减函数，在），（∞+1上是减函数

C ．)(λf 在)1,0(上是增函数，在），（∞+1上是增函数

D ．)(λf 在)1,0(上是减函数，在），（∞+1上是增函数

第Ⅱ卷（共100分）

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. （11）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60]元的同学有30人，则n 的值为 ．

（12）如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图．阅读右边的流程图，并回答下面问题：若

0.036

第11题

01,,,m

m m m a m b m c m <<===，则输出的数是 ．

（13）已知x ，y 满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且y x z +=2的最大值为7，

最小值为1，则

b c

a

+ ． （14）已知四棱锥P-ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD 的体积为________．

（15）有,,,A B C D 四个城市，它们各有一个著名的旅游点依此记为,,,a b c d ．把,,,A B C D 和

,,,a b c d 分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构

成“一一对应”，如果某个旅游点是与该旅游点所在的城市相连的（比如A 与a 相连）就得2分，否则就得0分；则该爱好者得分的数学期望为 ．

（16）已知向量,,a b c 满足2,1a b c === ，()()0a c b c -⋅-=

，则a b - 的取值范围为 ．

（17）已知函数931

()931x x x x k f x +⋅+=++，若对任意的实数123,,x x x ，均存在以123(),(),()

f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围为 ．

三．解答题：本大题共5小题, 共72分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （18）（本小题满分14分）

已知函数2π()2sin 4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

．

（Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值；

（Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

上恒成立，求实数m 的取值范围

（19）（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -+=∈的两实根，且1 1.a =

（Ⅰ）求证：数列1{2}3

n

n a -

⨯是等比数列； （Ⅱ）n S 是数列{}n a 的前n 项的和．问是否存在常数λ，使得n n b S λ>对*

n N ∀∈都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

第14题