矢量及运动学习题解答
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第 15 页
三、计算题
6、一个物体悬挂在弹簧上作竖直运动，其加速度为a= ky，式中 k为常数，y是以平衡位置为原点所测得的坐标。假定振动物体在 坐标y0处的速度为v0，求速度v与坐标y的函数关系式。
解 本题中要求由加速度求速度。这类问题要注意初始条件。另
外，本题中需作变量代换，因为a的表达式中不显含时间变量t。
解
由条件 当t=2s时的速度值可求出k值 v=r, 32=k22 2 k=4
P
O
R
当t=1s时的质点的速度、切向法向加速度分别为： v=r=412 2=8 m/s
at
dv d( R) Rk 2t 16 m/s 2 dt dt 2 an=v2/R=32m/s2 a at2 an 162 322 35.8 m/s 2
C ]
解
由运动规律求出函数关系，本题中要用积分， 注意初始条件。
dv kv 2t dt dv ktdt 2 v
dv ktdt 2 v
dv 1 1 2 v0 v 2 0 ktdt v v 2 kt 0
v t
v
t
0
第5页
一、选择题 5、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为
第2页
一、选择题 2．质点作半径为R的变速圆周运动时的加速度大小为（v表示任 意时刻质点的速率）[ D ] (A)
dv dt
(B) v
2
R
dv v 2 (C) dt R
dv 2 v 4 (D) ( ) 2 dt R
解
(A)对速率的时间导数是切向加速度 (B)v2/R是圆周运动质点的法向加速度 (C)切向、法向加速度不能直接相加 (D)切向、法向加速度的合成为总加速度的大小。
习题解答
——01矢量及运动学
1
第1页
一、选择题 1．一个小球沿斜面向上运动，起运动方程为s=5+4tt2(SI)，则
小球运动最高点的时刻是[ B ] (A) t=4s (B) t=2s (C) t=8s
(D) t=5s
解
对运动方程求导可得该小球的速度： v=42t 运动到最高点时速度为零，此时t=2s 。
dv dv dy a ky ky dt dt dy vdv kydy
2 2 0
dv v ky dy
y y0
v
v0
vdv kydy
1 2 v v k ( y 2 y0 ) 2
第 16 页
二、填空题 4．有一水平飞行的飞机，速度为 v0 ，在飞机上以水平速度 v 向前发射一颗炮弹，略去空气阻力, 并设发炮过程不影响飞机 2 x x0 1 的速度，则 y y0 g 2 v v0 (1) 以地球为参照系，炮弹的轨迹方程为 。 (2) 以飞机为参照系，炮弹的轨迹方程为 。
（西）O
A
D 4
x (东)
0.350 m/s
tan
OC OC
(南)
B
y x
30 9 2
0.158 9
v
OA AB BC t
30 10 18 1.16 m/s 25 10 15
第 21 页
解
平均速度、平均速率的概念。
v s t OC t OA AB BC t1 t2 t3
y(北)
C
30i (10 j ) (9 2i 9 2 j ) 25 10 15 (30 9 2)i (10 9 2) j 50 10 9 2
第4页
一、选择题
dv kv 2t ，式中k是大于零的常数。 4． 某物体的运动规律为 dt
当t=0时，初速度为v0，则速度v与时间t的函数关系是[
1 (A) v kt 2 v0 2 1 1 2 1 (C) kt v 2 v0 1 2 v kt v0 (B) 2 1 1 2 1 (D) kt v 2 v0
解 一维运动问题。本题中注意质点会“回头走”。 返回时质点速度为零。 对运动方程求导，得速度表达式为v=6-2t。 得：t=3s时质点速度为零，要返回。因此： t=0时x=0；t=3s时x=9m； t=4s时x=8m。
第7页
二、填空题 2． r t 与 r t t 为某质点在不同时刻的位置矢量， v t 与 v t t 为某质点在不同时刻的速度矢量。试在两个图中分 别画出 r 、 r 以及 v 、 v 。
a b ... cos 0 ab ab
90
即
a 0, b 0
a ，b 相互垂直。
第 13 页
三、计算题 4、路灯离地面高度为 H，身高为 h 的人，在灯下路面上以 v0 匀 速步行。试求当人与路灯的水平距离为 x 时，他的头顶在路面上 的影子的移动速度大小。
0
解
a 1 1 1 3
2 2 2
a 3a0 b 38b0 c 3c0
b 2 3 5 38
2 2 2
c 22 12 22 9 3
第 20 页
三、计算题 6、一个人自原点出发，25s内向东走30m，又10s内向南走10m， 再15s内向正西北走18m。求在这50s内， (1) 平均速度的大小和方向; (2) 平均速率的大小。
第3页
一、选择题 3．质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为 v ，瞬时速率 为v，某一段时间内的平均速度为 v 。它们之间的关系必定有 [ D ]
(A) v v, v v (C) v v, v v (B) (D)
v v, v v v v, 速率的概念的认识 速度矢量的大小就是速率， 但是平均速度矢量的大小不就是速率的平均值 平均速率是路程除以时间间隔。
解 如图，建立坐标系，并标定 有关数据。根据大小两个三 H 角形之间的相似关系：
h
h lx H l H l x H h
x l
x
dl H dx H v v0 dt H h dt H h
第 14 页
三、计算题 5、如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2m的圆轨道转动。 转动的角速度与时间t的函数关系为 =kt2(k为常量)。已知t＝2s 时，质点P的速度值为32 m/s。试求t＝1s时，质点P的速度与加速 度的大小。
解 以飞机为参照系，设x=0：
y
0, y0
v0 v
g
水平方向上：
x vt
x
1 2 竖直方向上： y y0 gt 2
1 x y y0 g 2 v
2
2 (2) 以飞机为参照系， 1 x y y0 g 炮弹的轨迹方程为 2 v
解
r
v
曲线运动的几个基本概念，用图示表示。 注意，求速度矢量之差时要先做平移。
第8页
二、填空题 3．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度 v 的大小为v，其方向与水平方向夹角成30°。 则物体在A点的切向加速度的大小at ＝ g/2 ， 轨道的曲率半径 2 3v2 3g 。
解 曲线运动的加速度问题。 注意到本题中的总加速 度为g，向下。
。
第 18 页
三、计算题 1.设一矢量的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这矢量在该轴 上的投影。
解
1 r cos 60 4 2 2
第 19 页
三、计算题 2、分别求出矢量 a i j k ， b 2i 3 j 5k ， c 2i j 2k 的 模，且用单位矢量 a0 、b 、c0 表示 a 、 b 、 c 。
解 匀加速转动问题。 注意线量、角量之间的关系。 计算时注意单位的换算，角度用弧度单位。
at R
v 2 an R 2 R R
第 10 页
2
三、计算题 1、设 a i 2 j k ， b i j ，计算 a b 及 a b， 并 a 求 b 与 之间夹角的正弦和余弦。
解
设 a， 之间夹角为 b
a b ab cos ab 6 a cos 2 b 3
第 12 页
三、计算题 3.说明矢量 a 2i j k 和矢量 b 4i 9 j k 的互相关系。 {提示：利用 a b 0 。}
解
a b ab cos
0 2k j k 0 i i j k
3 2
a b ab cos 6 2 cos 3 cos
1 a b ab sin 6 2 sin 3 sin 2
第 11 页
三、计算题 2、求矢量 a 4i 3 j 4k 在矢量 b 2i 2 j k 上的投影。
ag
与速度方 向相反
at
a
an
1 at g sin 30 g 2
3 v2 an g cos 30 g 2 v 2 2 3v 2 an 3g
第9页
二、填空题 4．半径为30cm的飞轮，从静止开始以0.50rad/s2的匀角加速度 转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240°时的切向加速度的 大小at＝ 0.15m/s2 ，法向加速度的大小an＝ 0.4 m/s2 。
a， 设 之间夹角为 b 解
a b i 2j k
i j i i 2 j j 1 2 3 a b i 2 j k i j i i 2 j i k i i j 2 j j k j
2 2 r at i bt j
（其中a、b为不等于零的常数），则该质点作[ B (A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物线运动 (D) 一般曲线运动
]
解 注意到位移中的x、y分量都是随时间变化的。
分别求出在两个方向上的加速度分量：
dx d(at 2 ) ax 2 a, dt dt
dy d(bt 2 ) ay 2b dt dt
因此质点在x、y两个方向上的加速度分量均为常数，所以 该质点的加速度为常数。质点作匀加速直线运动。
第6页
二、填空题 1． 一质点的运动方程为x=6tt2(SI),则在t由0至4s的时间间隔 8m 内，质点的位移大小为 ， 在t由0至4s的时间间 隔质点经过的路程为 9+1=10m 。
注意运动方程和轨迹方 程的区别。 以地球为参照系， 炮弹作抛物线运动：
1 2 竖直方向上： y y0 gt 2
水平方向上：
解
y
x0 , y0
v0 v
g
x
x x0 v0 v t
1 x x0 y y0 g 2 v v0
2
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三、计算题
6、一个物体悬挂在弹簧上作竖直运动，其加速度为a= ky，式中 k为常数，y是以平衡位置为原点所测得的坐标。假定振动物体在 坐标y0处的速度为v0，求速度v与坐标y的函数关系式。
解 本题中要求由加速度求速度。这类问题要注意初始条件。另
外，本题中需作变量代换，因为a的表达式中不显含时间变量t。
解
由条件 当t=2s时的速度值可求出k值 v=r, 32=k22 2 k=4
P
O
R
当t=1s时的质点的速度、切向法向加速度分别为： v=r=412 2=8 m/s
at
dv d( R) Rk 2t 16 m/s 2 dt dt 2 an=v2/R=32m/s2 a at2 an 162 322 35.8 m/s 2
C ]
解
由运动规律求出函数关系，本题中要用积分， 注意初始条件。
dv kv 2t dt dv ktdt 2 v
dv ktdt 2 v
dv 1 1 2 v0 v 2 0 ktdt v v 2 kt 0
v t
v
t
0
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一、选择题 5、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为
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一、选择题 2．质点作半径为R的变速圆周运动时的加速度大小为（v表示任 意时刻质点的速率）[ D ] (A)
dv dt
(B) v
2
R
dv v 2 (C) dt R
dv 2 v 4 (D) ( ) 2 dt R
解
(A)对速率的时间导数是切向加速度 (B)v2/R是圆周运动质点的法向加速度 (C)切向、法向加速度不能直接相加 (D)切向、法向加速度的合成为总加速度的大小。
习题解答
——01矢量及运动学
1
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一、选择题 1．一个小球沿斜面向上运动，起运动方程为s=5+4tt2(SI)，则
小球运动最高点的时刻是[ B ] (A) t=4s (B) t=2s (C) t=8s
(D) t=5s
解
对运动方程求导可得该小球的速度： v=42t 运动到最高点时速度为零，此时t=2s 。
dv dv dy a ky ky dt dt dy vdv kydy
2 2 0
dv v ky dy
y y0
v
v0
vdv kydy
1 2 v v k ( y 2 y0 ) 2
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二、填空题 4．有一水平飞行的飞机，速度为 v0 ，在飞机上以水平速度 v 向前发射一颗炮弹，略去空气阻力, 并设发炮过程不影响飞机 2 x x0 1 的速度，则 y y0 g 2 v v0 (1) 以地球为参照系，炮弹的轨迹方程为 。 (2) 以飞机为参照系，炮弹的轨迹方程为 。
（西）O
A
D 4
x (东)
0.350 m/s
tan
OC OC
(南)
B
y x
30 9 2
0.158 9
v
OA AB BC t
30 10 18 1.16 m/s 25 10 15
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解
平均速度、平均速率的概念。
v s t OC t OA AB BC t1 t2 t3
y(北)
C
30i (10 j ) (9 2i 9 2 j ) 25 10 15 (30 9 2)i (10 9 2) j 50 10 9 2
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一、选择题
dv kv 2t ，式中k是大于零的常数。 4． 某物体的运动规律为 dt
当t=0时，初速度为v0，则速度v与时间t的函数关系是[
1 (A) v kt 2 v0 2 1 1 2 1 (C) kt v 2 v0 1 2 v kt v0 (B) 2 1 1 2 1 (D) kt v 2 v0
解 一维运动问题。本题中注意质点会“回头走”。 返回时质点速度为零。 对运动方程求导，得速度表达式为v=6-2t。 得：t=3s时质点速度为零，要返回。因此： t=0时x=0；t=3s时x=9m； t=4s时x=8m。
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二、填空题 2． r t 与 r t t 为某质点在不同时刻的位置矢量， v t 与 v t t 为某质点在不同时刻的速度矢量。试在两个图中分 别画出 r 、 r 以及 v 、 v 。
a b ... cos 0 ab ab
90
即
a 0, b 0
a ，b 相互垂直。
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三、计算题 4、路灯离地面高度为 H，身高为 h 的人，在灯下路面上以 v0 匀 速步行。试求当人与路灯的水平距离为 x 时，他的头顶在路面上 的影子的移动速度大小。
0
解
a 1 1 1 3
2 2 2
a 3a0 b 38b0 c 3c0
b 2 3 5 38
2 2 2
c 22 12 22 9 3
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三、计算题 6、一个人自原点出发，25s内向东走30m，又10s内向南走10m， 再15s内向正西北走18m。求在这50s内， (1) 平均速度的大小和方向; (2) 平均速率的大小。
第3页
一、选择题 3．质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为 v ，瞬时速率 为v，某一段时间内的平均速度为 v 。它们之间的关系必定有 [ D ]
(A) v v, v v (C) v v, v v (B) (D)
v v, v v v v, 速率的概念的认识 速度矢量的大小就是速率， 但是平均速度矢量的大小不就是速率的平均值 平均速率是路程除以时间间隔。
解 如图，建立坐标系，并标定 有关数据。根据大小两个三 H 角形之间的相似关系：
h
h lx H l H l x H h
x l
x
dl H dx H v v0 dt H h dt H h
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三、计算题 5、如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2m的圆轨道转动。 转动的角速度与时间t的函数关系为 =kt2(k为常量)。已知t＝2s 时，质点P的速度值为32 m/s。试求t＝1s时，质点P的速度与加速 度的大小。
解 以飞机为参照系，设x=0：
y
0, y0
v0 v
g
水平方向上：
x vt
x
1 2 竖直方向上： y y0 gt 2
1 x y y0 g 2 v
2
2 (2) 以飞机为参照系， 1 x y y0 g 炮弹的轨迹方程为 2 v
解
r
v
曲线运动的几个基本概念，用图示表示。 注意，求速度矢量之差时要先做平移。
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二、填空题 3．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度 v 的大小为v，其方向与水平方向夹角成30°。 则物体在A点的切向加速度的大小at ＝ g/2 ， 轨道的曲率半径 2 3v2 3g 。
解 曲线运动的加速度问题。 注意到本题中的总加速 度为g，向下。
。
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三、计算题 1.设一矢量的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这矢量在该轴 上的投影。
解
1 r cos 60 4 2 2
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三、计算题 2、分别求出矢量 a i j k ， b 2i 3 j 5k ， c 2i j 2k 的 模，且用单位矢量 a0 、b 、c0 表示 a 、 b 、 c 。
解 匀加速转动问题。 注意线量、角量之间的关系。 计算时注意单位的换算，角度用弧度单位。
at R
v 2 an R 2 R R
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2
三、计算题 1、设 a i 2 j k ， b i j ，计算 a b 及 a b， 并 a 求 b 与 之间夹角的正弦和余弦。
解
设 a， 之间夹角为 b
a b ab cos ab 6 a cos 2 b 3
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三、计算题 3.说明矢量 a 2i j k 和矢量 b 4i 9 j k 的互相关系。 {提示：利用 a b 0 。}
解
a b ab cos
0 2k j k 0 i i j k
3 2
a b ab cos 6 2 cos 3 cos
1 a b ab sin 6 2 sin 3 sin 2
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三、计算题 2、求矢量 a 4i 3 j 4k 在矢量 b 2i 2 j k 上的投影。
ag
与速度方 向相反
at
a
an
1 at g sin 30 g 2
3 v2 an g cos 30 g 2 v 2 2 3v 2 an 3g
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二、填空题 4．半径为30cm的飞轮，从静止开始以0.50rad/s2的匀角加速度 转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240°时的切向加速度的 大小at＝ 0.15m/s2 ，法向加速度的大小an＝ 0.4 m/s2 。
a， 设 之间夹角为 b 解
a b i 2j k
i j i i 2 j j 1 2 3 a b i 2 j k i j i i 2 j i k i i j 2 j j k j
2 2 r at i bt j
（其中a、b为不等于零的常数），则该质点作[ B (A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物线运动 (D) 一般曲线运动
]
解 注意到位移中的x、y分量都是随时间变化的。
分别求出在两个方向上的加速度分量：
dx d(at 2 ) ax 2 a, dt dt
dy d(bt 2 ) ay 2b dt dt
因此质点在x、y两个方向上的加速度分量均为常数，所以 该质点的加速度为常数。质点作匀加速直线运动。
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二、填空题 1． 一质点的运动方程为x=6tt2(SI),则在t由0至4s的时间间隔 8m 内，质点的位移大小为 ， 在t由0至4s的时间间 隔质点经过的路程为 9+1=10m 。
注意运动方程和轨迹方 程的区别。 以地球为参照系， 炮弹作抛物线运动：
1 2 竖直方向上： y y0 gt 2
水平方向上：
解
y
x0 , y0
v0 v
g
x
x x0 v0 v t
1 x x0 y y0 g 2 v v0
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