球体表面积_微积分_二元函数推导

又因为
f x' = −
x R − x2 − y 2
2
f y' = −
故
y R − x2 − y 2
2
S =∫ =∫
下面首先来解积分：
R 2 −x 2 0 R2 − x2
∫
0
R
0
1 + (− R
x R −x − y
2 2 2
)2 + (−
y R −x −y
2 2 2
)2 dxdy
0
∫
R 2
R − x2 − y 2
0
R
R
π
2
，于是
上式整理可得： R 2 ⋅ arcsin1 = 所以：
π
2
⋅ R2
S=
∫
R2 −x2
0
∫
R
2
R R −x −y
2 2
而这只是第一卦限表面积，因此总面积为：
π S all = 8S = 8 × ⋅ R 2 = 4π ⋅ R 2 2
dxdy
∫
令t =
R2 −x2 0 2
R R − x2 − y2
dy
R 2 − x 2 ，则 t 2 = R 2 − x 2 ，于是：
∫
根据不定积分公式： 根据不定积分公式：
R2 −x2
0
R R2 − x2 − y2
dy = ∫
t
0
R t 2 − y2
dy = R ⋅ ∫
t
1 t2 − y2
0
dy
∫
（在此 z 为第一卦限，取正值） 于是上式便为球体的对应函数。
下面来求 z = f ( x, y ) =
R 2 − x 2 − y 2 的偏导数：
∂z = f x' = ∂x ∂z = f y' = ∂y
在这里需要知道一个定理： 可以证明， 可以证明，曲面
( (
R 2 − x2 − y 2 ' = −
x dx = arcsin + C ，则： a a2 − x2
R⋅ ∫
t
1
0
x t dy = R ⋅ arcsin + C = R ⋅ arcsin = R ⋅ arcsin1 0 t t t2 − y2 1
t
于是：
∫
R2 −x2 0
∫
R
R R2 − x2 − y2
0
dxdy =R ⋅ arcsin1⋅ ∫ dx = R ⋅ arcsin1⋅[ x + C ]0 = R 2 ⋅ arcsin1 又因为 arcsin1 =
)
x R 2 − x2 − y 2 y R2 − x2 − y2
R2 − x2 − y2 ' = −
)
∑
的面积 S =
∫∫
D
1 + ( f x' ) 2 + ( f y' ) 2 dσ ，其中 D 是该曲面的投影面积
那么，第一卦限的球体，其投影 D 如下图所示：
曲线 LQ 的函数如下：
y = R 2 − x2
【公式】 半径为 R 球体的表面积为： S =4 R 2π 【证明】
如上图，将半径为 R 球体的球心与三维坐标系的原点重合。由球体的对称性可知，只要求出其在第一卦限的表面积， 再乘以 8 即可。 设 E 为球体上的一点， 如左图所示， 由勾股定理可得：
m2 = x2 + y 2
于是：
z 2 = R2 − m2 z 2 = R2 − x2 − y2 z = R 2 − x2 − y 2
D 可以看作是如下范围组成：
0 ≤ x ≤ R 2 2 0 ≤ y ≤ R − x
于是，第一卦限球面Σ的面积为：
S = ∫∫ 1 + ( f x' ) 2 + ( f y' ) 2 dσ = ∫
D
R2 −x2
0
∫
R
0
1 + ( f x' )2 + ( f y' ) 2 dxdy