题目：傅里叶级数
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2 2
E(t)
2E0
4E0
k 1
cos 2kt
4k 2 1
A E0
E0
2
2 E0
3
E(t)
2 E0
15
2 E0
35
0 2-/2 4o /26
频率 t
A
2 E0
4 E0
3
4 E0
15
4 E0
35
o 2 4 6 频率
无基频信号，主要是偶倍频信号。
参考文献： 【1】同济大学数学系，《高等数学》，第六版下册 【2】吴崇试，《数学物理方法》，北京大学出版社 【3】胡广书，《现代信号处理教程》，清华大学出版社
狄利克雷( Dirichlet )定理 若函数 f (x) 满足条件 1) 在每个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在每个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
a0
2
k 1
ak
cos
k
l
x
bk
sin
k
l
x
f x,
x为连续点
f
x
f
x ，
x为间断点
l
l
l
l cos n x cos n x dx l
l
l
l
l sin n x sin n x dx l
l
l
l
l cos n x sin m x dx 0
l
l
l
l
11dx 2l
l
注意：积分区间是一个周期
f
x
a0 2
k 1
ak
cos
k
l
x
bk
sin
k
l
x
①
a0
1 l l l
f
x dx
c osktdt
0,
2 E0 (1k 2 )
,
k 1,3,5 k 2,4,6
bk
1
/
/
0 E0 sin t sin ktdt
, E0
2
0 ,
k 1 k 1
E(t)
E0
E0 2
sin t
2E0
1
k1 1 (2k )2
cos 2kt
E(t)
E0
E0 2
s in t
2E0
1பைடு நூலகம்
k1 1 (2k )2
2
Fourier 级数的应用
例1、半波整流 E(t) E0 sint
E(t)
2
o
2 3 t
0
( / t 0)
E(t) E0 sint (0 t /)
E(t)
a0 2
k 1
(ak
cos kt
bk
sin kt)
a0
1
/
0
/
E0
s in tdt
2E0
ak
1
/
0
/
E0
sin t
ak
1 l
l l
f
x cos k x dx
l
②
bk
1 l
l l
f
x sin k x dx
l
由公式 ② 确定的 a0, ak , bk 称为函数
f ( x) 的傅里叶系数 ; 以 f ( x) 的傅里
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 f ( x)
的傅里叶级数 .
Fourier 级数的收敛性
内容小结
周期为 2l 的函数的傅里叶级数为
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
cos
k
l
x bk
sin
k
l
x)
( x 间断点)
其中
a0
1 l l l
f
x dx
ak
1 l
l
k
f ( x) cos
l
l
xd x
bk
1 l
l
k
f ( x) sin xd x
l
l
(k 1,2, )
f x 展开为级数
f
x
a0 2
k 1
ak
cos
k
l
x
bk
sin
k
l
x
三角函数系
1, cosπx , cos2πx , coskx ,
l
l
l
sin πx , sin 2πx , sin kx ,
l
l
l
三角函数系的正交性
nm
mn
l n x m x
cos cos dx 0
l
l
l
l sin n x sin m x dx 0
数学物理方法 Mathematical Methods for Physics
数理方法是链接数学和物理的桥梁
“数学是数学，物理是物理，但物理可 以通过数学的抽象而受益，而数学则可 以通过物理的见识而受益。”
——莫尔斯
§5.1 傅里叶级数 The Fourier series
傅里叶（J. B. J. Fourier）
1768年：生于法国奥塞尔。 1807年：推导出著名的热传导方程，
提出任何周期信号都可用 正弦函数的级数表示。 1822年：出版专著《热的解析理论》, 提出任一函数都可以展成三 角函数的无穷级数。 1830年：卒于巴黎。
周期函数的傅里叶级数
若函数 f x 以 2l 为周期，即
f x 2l f x
cos 2kt
E(t)
E0
E0 2
s in t
2E0
1
k1 1 (2k )2
cos 2kt
A
E0
E0
2
2 E0
3
0 2
2 E0
15
4
2 E0
35
6
频率
整流后，产生直流信号， 除基频信号外，主要是偶倍频信号。
Fourier 级数的应用
全波整流信号
E(t) E0 | sin t | ( t )
E(t)
2E0
4E0
k 1
cos 2kt
4k 2 1
A E0
E0
2
2 E0
3
E(t)
2 E0
15
2 E0
35
0 2-/2 4o /26
频率 t
A
2 E0
4 E0
3
4 E0
15
4 E0
35
o 2 4 6 频率
无基频信号，主要是偶倍频信号。
参考文献： 【1】同济大学数学系，《高等数学》，第六版下册 【2】吴崇试，《数学物理方法》，北京大学出版社 【3】胡广书，《现代信号处理教程》，清华大学出版社
狄利克雷( Dirichlet )定理 若函数 f (x) 满足条件 1) 在每个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在每个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
a0
2
k 1
ak
cos
k
l
x
bk
sin
k
l
x
f x,
x为连续点
f
x
f
x ，
x为间断点
l
l
l
l cos n x cos n x dx l
l
l
l
l sin n x sin n x dx l
l
l
l
l cos n x sin m x dx 0
l
l
l
l
11dx 2l
l
注意：积分区间是一个周期
f
x
a0 2
k 1
ak
cos
k
l
x
bk
sin
k
l
x
①
a0
1 l l l
f
x dx
c osktdt
0,
2 E0 (1k 2 )
,
k 1,3,5 k 2,4,6
bk
1
/
/
0 E0 sin t sin ktdt
, E0
2
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k 1 k 1
E(t)
E0
E0 2
sin t
2E0
1
k1 1 (2k )2
cos 2kt
E(t)
E0
E0 2
s in t
2E0
1பைடு நூலகம்
k1 1 (2k )2
2
Fourier 级数的应用
例1、半波整流 E(t) E0 sint
E(t)
2
o
2 3 t
0
( / t 0)
E(t) E0 sint (0 t /)
E(t)
a0 2
k 1
(ak
cos kt
bk
sin kt)
a0
1
/
0
/
E0
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2E0
ak
1
/
0
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E0
sin t
ak
1 l
l l
f
x cos k x dx
l
②
bk
1 l
l l
f
x sin k x dx
l
由公式 ② 确定的 a0, ak , bk 称为函数
f ( x) 的傅里叶系数 ; 以 f ( x) 的傅里
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 f ( x)
的傅里叶级数 .
Fourier 级数的收敛性
内容小结
周期为 2l 的函数的傅里叶级数为
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
cos
k
l
x bk
sin
k
l
x)
( x 间断点)
其中
a0
1 l l l
f
x dx
ak
1 l
l
k
f ( x) cos
l
l
xd x
bk
1 l
l
k
f ( x) sin xd x
l
l
(k 1,2, )
f x 展开为级数
f
x
a0 2
k 1
ak
cos
k
l
x
bk
sin
k
l
x
三角函数系
1, cosπx , cos2πx , coskx ,
l
l
l
sin πx , sin 2πx , sin kx ,
l
l
l
三角函数系的正交性
nm
mn
l n x m x
cos cos dx 0
l
l
l
l sin n x sin m x dx 0
数学物理方法 Mathematical Methods for Physics
数理方法是链接数学和物理的桥梁
“数学是数学，物理是物理，但物理可 以通过数学的抽象而受益，而数学则可 以通过物理的见识而受益。”
——莫尔斯
§5.1 傅里叶级数 The Fourier series
傅里叶（J. B. J. Fourier）
1768年：生于法国奥塞尔。 1807年：推导出著名的热传导方程，
提出任何周期信号都可用 正弦函数的级数表示。 1822年：出版专著《热的解析理论》, 提出任一函数都可以展成三 角函数的无穷级数。 1830年：卒于巴黎。
周期函数的傅里叶级数
若函数 f x 以 2l 为周期，即
f x 2l f x
cos 2kt
E(t)
E0
E0 2
s in t
2E0
1
k1 1 (2k )2
cos 2kt
A
E0
E0
2
2 E0
3
0 2
2 E0
15
4
2 E0
35
6
频率
整流后，产生直流信号， 除基频信号外，主要是偶倍频信号。
Fourier 级数的应用
全波整流信号
E(t) E0 | sin t | ( t )