【集合】精品讲义-(6842)
2025届高考数学一轮复习讲义集合、常用逻辑用语与不等式之 集合
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
集合的概念
例1 (1)[2022全国卷乙]设全集 U ＝{1，2，3，4，5}， 集合 M 满足∁ UM ＝{1，3}，则
(
A )
A. 2∈M
B. 3∈M
C. 4∉M
2025届高考数学一轮复习讲义
集合、常用逻辑用语与不等式之 集合
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 集合的概念
集合中元素的特征 ① 确定性
、② 互异性
③ 列举法
、④ 描述法
集合的表示方法
、无序性
、图示法
自然数集(非负整数集)，记作⑤ N
常见数集的记法
⑥ N*
或⑦ N＋
记作⑨ Q
；正整数集，记作
3 .
集合{ a ， b }的真子集为⌀，{ a }，{ b }，有3个.
解法二 集合{ a ， b }有2个元素，则集合{ a ， b }的真子集的个数为22－1＝3.
4. 设 a ， b ∈R， P ＝{2， a }， Q ＝{－1，－ b }，若 P ＝ Q ，则 a － b ＝ 1
＝ − 1，
y )｜ y ＝ x 2＋2}，下列关系正确的是(
A. (1，3)∈B
B. (0，0)∉B
C. 0∈A
D. A＝B
AB
)
[解析] ∵集合 A ＝{ y ｜ y ≥2}＝[2，＋∞)，集合 B ＝{( x ， y )｜ y ＝ x 2＋2}是由抛
物线 y ＝ x 2＋2上的点组成的集合，∴AB正确，CD错误，故选AB.
2012届高考数学知识集合与简易逻辑复习讲义
2012届高考数学知识集合与简易逻辑复习讲义高中数学复习讲义第一集合与简易逻辑第1时集合的概念及运算【考点导读】1了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】1集合用列举法表示．2设集合，，则．3已知集合，，则集合_______．4设全集，集合，，则实数a的值为____8或2___．【范例解析】例已知为实数集，集合若，或，求集合B分析：先化简集合A，由可以得出与的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题解：（1），或又，，可得而或，或借助数轴可得或【反馈演练】1．设集合，，，则=_________．2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q= ，则P+Q中元素的个数是____8___个．3．设集合，（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若，求实数a的值解：（1）由题意知：，，①当时，得，解得．②当时，得，解得．综上，．（2）①当时，得，解得；②当时，得，解得．综上，．（3）由，则．第2 命题及逻辑联结词【考点导读】1了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1下列语句中：①；②你是高三的学生吗？③；④．其中，不是命题的有____①②④_____．2一般地若用p和q分别表示原命题的条和结论，则它的逆命题可表示为若q则p ，否命题可表示为，逆否命题可表示为；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．【范例解析】例1写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假（1）平行四边形的对边相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分；（3）设，若，则分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题（3）原命题：设，若，则；真命题；逆命题：设，若，则；假命题；否命题：设，若或，则；假命题；逆否命题：设，若，则或；真命题点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等例2写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；（3）p：方程的两实根的符号相同，q：方程的两实根的绝对值相等分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题（3）p或q：方程的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；p且q：方程的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；非p：方程的两实根的符号不同，真命题点评：判断含有逻辑联结词”或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假例3写出下列命题的否定，并判断真假（1）p：所有末位数字是0或的整数都能被整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p：有的四边形没有外接圆；（）p：某些梯形的对角线互相平分分析：全称命题“ ”的否定是“ ”，特称命题“ ”的否定是“ ”解：（1）：存在末位数字是0或的整数，但它不能被整除，假命题；（2）：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3）：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（4）：所有四边形都有外接圆，假命题；（）：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面词语等于大于小于是都是否定词语不等于不大于不小于不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的…否定词语至少有两个一个也没有某个某些…【反馈演练】1．命题“若，则”的逆否命题是__________________2．已知命题：，则3．若命题的否命题n，命题n的逆命题p，则p是的____逆否命题____ 4．命题“若，则”的否命题为________________________．．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．（1）设，若，则或；（2）设，若，则．解：（1）逆命题：设，若或，则；真命题；否命题：设，若，则且；真命题；逆否命题：设，若且，则；真命题；（2）逆命题：设，若，则；假命题；否命题：设，若或，则；假命题；逆否命题：设，若，则或；真命题．第3 时充分条和必要条【考点导读】1理解充分条，必要条和充要条的意义；会判断充分条，必要条和充要条．2从集合的观点理解充要条，有以下一些结论：若集合，则是的充分条；若集合，则是的必要条；若集合，则是的充要条．3 会证明简单的充要条的命题，进一步增强逻辑思维能力．【基础练习】1若，则是的充分条．若，则是的必要条．若，则是的充要条．2用“充分不必要条，必要不充分条，充要条和既不充分也不必要条”填空（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条．（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条．（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的___必要不充分__条．3若，则的一个必要不充分条是．【范例解析】例用“充分不必要条，必要不充分条，充要条和既不充分也不必要条”填空（1）是的___________________条；（2）是的___________________条；（3）是的___________________条；（4）是或的___________________条分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用解：（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条（3）当时，均不存在；当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条（4）原问题等价其逆否形式，即判断“ 且是的____条”，故是或的充分不必要条点评：①判断p是q的什么条，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条②在判断时注意反例法的应用③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q 则p”的真假【反馈演练】1．设集合，，则“ ”是“ ”的_必要不充分条．2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的条．3．已知条，条．若是的充分不必要条，求实数a的取值范围．解：，若是的充分不必要条，则．若，则，即；若，则解得．综上所述，．。
集合讲义大全
9、满足条件M = 的集合M的个数是（）
A 1 B 2 C 3 D 4
10、集合 ， ， ，且 ，则有（）
A B
C D 不属于P、Q、R中的任意一个
二、填空题
11、若 ， ，用列举法表示B
12、集合A={x| x2+x-6=0}, B={x| ax+1=0},若B A，则a=__________
交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
补集的性质：
A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.
1．正确理解集合的概念
正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
6、以下六个关系式： ， ， , , ， 是空集中，错误的个数是（）
A 4 B 3 C 2 D 1
7、点的集合M＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指( )
A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集
C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集
8、设集合A= ，B= ，若A B，则 的取值范围是（）
Z
Q
R
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集 ．
2．集合间的关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．
2．注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．
高中数学竞赛教材讲义第一章集合与简易逻辑讲义
广到 n 个集合的情况，即
n
Ai
i1
n
Ai
i1
Ai
ij
Aj
Ai
1i j k n
Aj Ak
n
( 1)n 1 Ai .
i1
定义 8 集合的划分：若 A1 A2
An I ，且 Ai Aj
(1 i , j n, i
些子集的全集叫 I 的一个 n -划分。
定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
【解】 记 I {1,2,3, ,100}, A { x1 x 100,且 x能被 2整除 （ 记为2 x（} ，
B { x1 x 100,3 x}, C { x1 x 100,5 x} ，由容斥原理，
AB
100 5
IA
C ABC A
100 6
BC
100 100
10
15
26 个。
BB
100 30
100 100
整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用
来表示。集
合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集
合的方法，如 {1，2， 3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例
如 {有理数 }， { x x 0} 分别表示有理数集和正实数集。
第一章 集合与简易逻辑
一、基础知识
定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来
表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素
x 在集合 A 中，称 x 属于 A，记
为 x A ，否则称 x 不属于 A，记作 x A 。例如， 通常用 N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、
必修一_第一章_集合(集合讲义_做的很细_适合初学者)
集合之欧侯瑞魂创作1.1 集合的含义与暗示21.11 集合的含义21.2 子集、全集、补集91.3 交集、并集13第一章集合空集一、知识梳理1．集合的含义：一些元素组成的构成一个集合(set).注意：（1）集合是数学中原始的、不界说的概念, 只作描述.（2）集合是一个“整体.（3）构成集合的对象必需是“确定的”且“分歧”的2．集合中的元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）.简称元.集合一般用年夜写拉丁字母暗示, 如集合A,元素一般用小写拉丁字母暗示.如a,b,c……等.思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？【答】3．集合中元素的特性：（1）确定性.设A 是一个给定的集合, x是某一元素, 则x是A的元素, 或者不是A的元素, 两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性.对一个给定的集合, 它的任何两个元素都是分歧的.（3）无序性.集合与其中元素的排列次第无关.4．经常使用数集及其记法：一般地, 自然数集记作____________正整数集记作__________或___________整数集记作________有理数记作_______实数集记作________5．元素与集合的关系：如果a是集合A的元素, 就记作__________ 读作“___________________”；如果a不是集合A的元素, 就记作______或______读作“_______________”；6．集合的分类：按它的元素个数几多来分：（i） _________________叫做有限集；（ii）________________________叫做无限集；（iii）_______________叫做空集, 记为_____________二、例题讲解1、运用集合中元素的特性来解决问题例1．下列研究的对象能否构成集合（1）世界上最高的山峰（2）高一数学课本中的难题（3）中国国旗的颜色（4）book中的字母（5）立方即是自己的实数（6）不等式2x-8<13的正整数解【解】点评:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准, 依照这个确定的标准, 它要么是这个集合的元素, 要么不是这个集合的元素, 即元素确定性.例2：集合M中的元素为1, x, x2-x, 求x的范围？分析：根据集合中的元素互异性可知：集合里的元素各不相同, 联列不等式组.点评: 元素的特性（特别是互异性）是解决问题的切入点.例3：三个元素的集合也可暗示为0, a2, a+b, 求a2005+ b2006的值．分析：三个元素的集合也可暗示另外一种形式, 说明这两个集合相同, 而该题目从特殊元素0入手, 可以省去繁琐的讨论．点评:从特殊元素入手, 灵活运用集合的三个特征．2、运用元素与集合的关系来解决一些问题例4：集合A中的元素由∈Z,b∈Z)组成, 判断下列元素与集合A的关系？（1）0 （2（3分析：先把x写成, 再观察a, b是否为整数.点评:要判断某个元素是否是某个集合的元素, 就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.例5：不包括-1, 0, 1的实数集A满足条件a∈A, A, 如果2∈A,求A中的元素？分析：该题的集合所满足的特征是由笼统的语句给出的, 把2这个具体的元素代入求出A的另一个元素, 但该题要循环代入, 求出其余的元素, 同学们可能想不到.三、巩固练习1．下列研究的对象能否构成集合①某校个子较高的同学；②倒数即是自己的实数③所有的无理数④讲台上的一盒白粉笔⑤中国的直辖市⑥中国的年夜城市2．下列写法正确的是___________________②当n∈N时, 由所有(-1)n的数值组成的集合为无限集④-1∈Z ⑤由book中的字母组成的集合与元素k, o, b组成的集合是同一个集合把正确的序号填在横线上31_______N -3_________N 0__________N1_______Z-3_________Q 0__________Z0_______N*________R_______Qcos300_______Z4． 由实数的个数是_________________个一、知识梳理1. 集合的经常使用暗示方法： （1）列举法将集合的元素一一列举出来, 并____________________暗示集合的方法叫列举法. 注意：①元素与元素之间必需用“, ”隔开； ②集合的元素必需是明确的； ③各元素的呈现无顺序；集合的暗示 描述法列举法④集合里的元素不能重复；⑤集合里的元素可以暗示任何事物.（2）描述法将集合的所有元素都具有性质（）暗示出来, 写成_________的形式,称之为描述法.注意：①写清楚该集合中元素满足性质；②不能呈现未被说明的字母；③多层描述时, 应当准确使用“或”, “且”；④所有描述的内容都要写在集合的括号内；⑤用于描述的语句力求简明, 准确.思考:还有其它暗示集合的方法吗？【答】文字描述法：是一种特殊的描述法,如：{正整数}, {三角形}图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.2. 集合相等如果两个集合A, B所含的元素完全相同,___________________________________ 则称这两个集合相等, 记为：_____________二、例题讲解1、用集合的两种经常使用方法具体地暗示合例1．用列举法暗示下列集合：（1）中国国旗的颜色的集合；（2）单词mathematics中的字母的集合；（3）自然数中不年夜于10的质数的集合；（4集合；（5集合.（6）{(x,y)|3x+2y=16, x∈N, y∈N }分析：先求出集合的元素, 再用列举法暗示.点评:（1）用列举法暗示集合的步伐为：①求出集合中的元素②把这些元素写在花括号内（2）用列举法暗示集合的优点是元素一目了然；缺点是不容易看出元素所具有的属性.例2．用描述法暗示下列集合：（1（2x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6（5分析：用描述法暗示来集合, 先要弄清楚元素所具有的形式, 从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.点评: 用描述法暗示集合时, 注意确定和简化集合的元素所具有的共同特性例3．已知试用列举法暗示集合A．分析：用列举法暗示的集合, 要认清集合的实质, 集合中的元素究竟满足哪些条件．点评:本题实际上是要求满足6被3-a整除的整数a的值,则集合A={-3, 0, 1, 2, 4, 5, 6, 9}.2、有关集合相等方面的问题例4．已知集合P={-1,a,b}, Q={-1,a2,b2}, 且Q=P, 求1+a2+b2的值．分析：含字母的两个集合相等, 其实不意味着顺次对应相等, 要分类讨论, 同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性.例5．已知集合有唯一元素, 用列举法暗示a的值构成的集合A.点拔：本题集合有唯一元素,分母, 转化为一元二次方程的判别式为0, 事实上当, 也能满足唯一元素, 但方程已不是一元二次方程, 而是一元一次方程, 也有唯一解, 所以本题要分三种情况讨论.三、巩固练习1.用列举法暗示下列集合： (1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不年夜于15的正约数} (3) {x|x 为不年夜于10的正偶数} (4){(x,y)|0≤x ≤2, 0≤y<2, x, y ∈Z} 2. 用描述法暗示下列集合： (1) 奇数的集合； (2)正偶数的集合；(3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的 集合； .3. 下列集合暗示法正确的是 (1) {1, 2, 2}； (2) {Ф}；(3) {全体有理数}；(4){2, 4}；（5）不等式x 2-5>0的解集为{x 2-5>0}. 4、集合A={x|y=x2+1}, B={t|p=t 2+1}这三个集合的关系？5、已知试用列举法暗示集合A ．1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1．子集的概念及记法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（ ）, 则称集合 A 为集合B 的子集（subset ）,记为___________或___________读作“________________”或“__________________”用符号语言可暗示为：__________________.注意：（1）A 是B 的子集的含义：任意x ∈A, 能推出x ∈B ；（2）不能理解为子集A 是B 中的“部份元素”所组成的集合. 2．子集的性质： ① 思考 【答】 _________ 3．真子集的概念及记法：相等 集 合 的 关 系包括 全集子集 真子集补集而且A≠B, 这时集合 A称为集合B的真子集（proper set）,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________”4．真子集的性质：非空集合的真子集符号暗示为___________________②真子集具备传递性符号暗示为___________________5．全集的概念：如果集合U包括我们所要研究的各个集合,这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____6．补集的概念：设____________, 由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________”7二、例题讲解1、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式例1．写出集合{a, b}的所有子集及其真子集；写出集合{a, b, c}的所有子集及其真子集；分析：按子集的元素的几多分别写出所有子集, 这样才华到达不重复, 无遗漏,点评:写子集, 真子集要按一定顺序来写．①一个集合里有n个元素, 那么它有2n个子集；②一个集合里有n个元素, 那么它有2n-1个真子集；③一个集合里有n个元素, 那么它有2n-2个非空真子集．2、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系例2：以下各组是什么关系, 用适当的符号暗示出来．（1）a与{a} 0 与（2（3）S={-2, -1, 1, 2}, A={-1, 1},B={-2, 2}；（4）S=R, A={x|x≤0, x∈R}, B={x|x>0 , x∈R }；（5）S={x|x为地球人 }, A={x|x 为中国人}, B={x|x为外国人 }点评:①判断两个集合的包括关系, 主要是根据集合的子集, 真子集的概念, 看两个集合里的元素的关系, 是包括, 真包括, 相等．②元素与集合之间用_______________集合与集合之间用_______________3、运用子集的性质例3：设集合A={x|x2+4x=0, x∈R}, B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}, 若求实数a的取值范围．分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素, 在由可知, 集合B按元素的几多分类讨论即可．点评:, 要提防这一点．4、补集的求法例4：A,U=R, 试求A②设全集U=R, A={x|x>1}, B={x|x+a<0},, 求实数a 的取值范围．【解】①x>2}② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ,1}如图所示：-a≤ 1即a ≥-1点评:求集合的补集时通常借助于数轴, 比力形象, 直观．三、巩固练习1．判断下列暗示是否正确：∈{a, b}(4) {-1, 1} {-1, 0, 1} ≠ {-⊂2．指出下列各组中集合A与B之间的关系．(1) A={-1, 1}, B=Z；(2)A={1, 3, 5, 15}, B={x|x是15的正约数}；(3) A = N*, B=N(4) A ={x|x=1+a2,a∈N*}B={x|x=a2-4a+5,a∈N*}3．（1）已知则这样的集合M有几多个？（2）已知M={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}, 集合P满足：则P, 则这样的集合P有几多个？4．以下各组是什么关系, 用适当的符号表来．{0} (2) {-1, 1}与{1, -1}(3) {(a,b)} 与{(b,a)}三、若U=Z, A={x|x=2k, k∈Z}, B={x|x=2k+1, k∈Z}, 则：6．设全集是数集U={2, 3, a2+2a-3}, 已知求实数a, b的值．7∈∈Z},∈Z}, 试判断A、B、C满足的关系8．已知集合A={x|x2-1=0 }, B={x|x2-2ax+b=0}求a, b的取值范围．1.3 交集、并集一、知识梳理1．交集的界说：一般地, ______________________________________________,称为A 与B 交集(intersection set), 记作____________读作“___________”. 交集的界说用符号语言暗示为：__________________________________交集的界说用图形语言暗示为：_________________________________注意：（1）交集（A ∩B ）实质上是A 与B 的公共元素所组成的集合.（2）当集合A 与B 没有公共元素时, 不能说A 与B 没有交集,而是A ∩2．交集的经常使用性质：（1） A ∩A = A ；交集 界说 集合的运算 运用 性质 并集 界说 集合的运算 运用 性质（2） A（3） A∩B = B∩A；（4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)；（5） A∩∩3．集合的交集与子集：思考:A∩B=A, 可能成立吗？【答】_______________________________________________结论：A∩4．区间的暗示法：设a, b是两个实数, 且a<b, 我们规定：[a, b] = _____________________（a, b）= _____________________[a , b）= _____________________（a , b] = ______________________（a, +∞）=______________________（-∞, b）=______________________（-∞, +∞）=____________________其中 [a, b], （a, b）分别叫闭区间、开区间；[a , b）, （a , b] 叫半开半闭区间；a, b叫做相应区间的端点.注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言.（2）区间符号内的两个字母或数之间用“, ”号隔开.（3）∞读作无穷年夜, 它是一个符号, 不是一个数. 5．并集的界说：一般地, _________________________________________________, 称为集合A与集合B的并集(union set) 记作__________读作“___________”.交集的界说用符号语言暗示为：__________________________________交集的界说用图形语言暗示为：_________________________________注意：并集（A∪B）实质上是A与B的所有元素所组成的集合, 可是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.6．并集的经常使用性质：（1） A∪A = A；（2） A；（3） A∪B = B∪A；（4）(A∪B)∪C =A∪(B∪C)；（5）∪∪B7．集合的并集与子集：思考:A∪B=A, 可能成立吗？A【答】________________________结论：A∪二、例题讲解1、求集合的交、并、补集例1．（1）设A={-1, 0, 1}, B={0, 1, 2, 3}, 求A∩B；（2）设A={x|x>0}, B={x|x≤1}, 求A∩B；（3）设A={x|x=3k, k∈Z}, B={y|y=3k+1 k∈Z },C={z|z=3k+2, k∈Z}, D={x|x=6k+1, k∈Z}, 求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；点评:不等式的集合求交集时, 运用数轴比力直观, 形象.例2：已知数集A={a2, a+1, -3}, 数集B={a-3,a-2, a2+1}, 若A∩B={-3}, 求a的值．点评:在集合的运算中, 求有关字母的值时, 要注意分类讨论及验证集合的特性．例3：（1）设集合A={y|y=x2-2x+3, x∈R}, B={y|y=-x2+2x+10, x∈R}, 求A∩B；（2）设集合A={(x,y)|y=x+1, x∈R}, B={(x,y)|y=-x2x∈R}, 求A∩B；分析：先求出两个集合的元素, 或者集合中元素的范围, 再进行交集运算．特别注意（1）、（2）两题的区别, 这是同学们容易忽视的处所．点评:求集合的交集时, 注意集合的实质, 是点集还时数集．是数集求元素的公共部份, 是点集的求方程组的解所组成的集合．变式训练:1、根据下面给出的A 、B, 求A∪B①A={-1, 0, 1}, B={0, 1, 2, 3}；②A={y|y=x2-2x}, B={x||x|≤3}；③A={梯形}, B={平行四边形}．2．已知全集U=R, A={x|-4≤x<2}, B=(-1, 3), P={x|x≤0, 或x求：①(A∪B)∩P③ (A∩B)．点评:求不等式暗示的数集的并集时, 运用数轴比力直观, 能简化思维过程3、已知集合A={y|y=x-1, x∈R}, B={(x,y)|y=x2-1, x∈R}, C={x|y=x+1, y≥3},分析：首先弄清楚A, B, C三个集合的元素究竟是什么？然后再求出集合的有关运算.点评:本题容易呈现的毛病是不考虑各集合的代表元, 而解方程组．突破方法是：进行集合运算时, 应分析集合内的元素是数, 还是点, 或其它．2、运用并集的性质解题例4：已知集合A={x|x2-1=0 }, B={x|x2-2ax+b=0}, A∪B=A, 求a, b的值或a,b所满足的条件．分析：由于A∪B=A, 可知：而A={1, -1}, 从而顺利地求出实数a, b满足的值或范围．点评:利用性质：A∪是解题的关键, 提防失落进空集这一陷阱之中．变式训练：1.若集合P={1, 2, 4, m}, Q={2, m2}, 满足P∪Q={1, 2, 4, m}, 求实数m的值组成的集合．2. 已知集合A={x|x2-4x+3=0}, B={x|x2-ax-1=0}, C={x|x2-mx+1=0}, 且A∪B=AA∩C=C, 求a, m的值或取范围.例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}, B={x|x2-5x+6=0}, C={x|x2+2x-8=0},（1）若A∪B=A∩B, 求a的值；（2∩B, A∩求a的值．总结：解决本题的关键是利用重要结论：A∪B=A∩3、运用交集的性质解题例6：已知集合A={2, 5}, B={x|x2+px+q=0, x∈R}（1）若B={5}, 求p, q的值．（2）若A∩B= B , 求实数p, q满足的条件．分析：（1）由B={5}, 知：方程x2+px+q=0有两个相等, 再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p, q的值．（2）由A∩B= B可知：而A={2, 5}从而顺利地求出实数⊂p, q满足的条件．点评:利用性质：A∩是解题的关键, 提防失落进空集这一陷阱之中．变式训练：1.已知集合A={x|x2+x-6=0}, B={x|mx+1=0}, 若A∩B =B, 求实数m所构成的集合M．2.已知集合M={x|x≤-1}, N={x|x>a-2}, 若M∩N则a满足的条件是什么？4、借助Venn图解决集合的运算问题例7不年夜于20的质数}, M,N是U的两个子集,求M, N的值．分析：用Venn图暗示集合M, N, U, 将符合条件的元素依次填入即可．5、交集并集性质的应用例8、已知集合A={(x,y)|x2－y2－y=4}, B={(x,y)|x2－xy－2y2=0}, C={(x,y)|x－2y=0}, D{(x,y)|x+y=0}.(1)判断B、C、D间的关系；(2)求A∩B.6、交集、并集在实际生活中的应用例9、某学校高一(5)班有学生50人, 介入航模小且的有25人, 介入电脑小组的有32人, 求既介入航模小组, 又介入电脑小组的人数的最年夜值和最小值.思维分析：题目以应用为布景, 解题关键是将文字转化为集合语言, 用集合运算来解决扑朔迷离的现实问题.7、数形结合思想与交集并集的应用例10、已知集合A={x|－2<x<－1, 或x>0}, B={x|a≤x≤b}, 满足A∩B={x|0<x≤2}, A∪B={x|x>－2}, 求a、b的值.点评：此题应熟悉集合的交与并的含义, 掌握在数轴上暗示集合的交与并的方法.8、分类讨论思想与交集、并集的综合应用例11、已知集合A={x|x2－4x+3=0}, B={x|x2－ax+a－1=0}, C={x|x2－mx+1=0}, 且A∪B=A, A∩C=C, 求a,m的值或取值范围.分析：先求出集合A, 由A∪由A∩然后根据方程根的情况讨论.评注：本例考查A与B, A与C的关系和分类讨论的能力.三、巩固练习1.设A=(-1, 3], B=[2, 4）, 求A∪B；2.已知A={y|y=x2-1}, B={y|x2=-y+2}求A∪B；3.写出阴影部份所暗示的集合：4.集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={1, 4}A={2, 3, 5}5. 设集合A={小于7的正偶数}, B={-2, 0, 2, 4}, 求A∩B；6. 设集合A={x|x≥0}, B={x|x≤0,x∈R}, 求A∩B；7. 设集合A={(x,y)|y=-4x+6, x∈R}, B={(x,y)|x=y2-1}求A∩B；8. 设集合A={x||x=2k+1, k∈Z}, B={y|y=2k-1, k∈Z},C={x|x=2k , k∈Z},求A∩B, B∩C．9、集合A={x|x<－3, 或x>3}, B={x|x<1, 或x>4}, 则A∩B=__________.10、集合A={a2, a+1, －3}, B={a－3, 2a－1, a2+1}, 若A∩B={－3},则a的值为___________.11、已知A={x|x2－px+15=0}, B={x|x2－ax－b=0}, 且A∪B={2,3,5}, A∩B={3}, 求p,a,b的值.12、集合{3, x, x2－2x}中, x应满足的条件是___________.13、设A={x|x2+4x=0}, B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0,a∈R}.(1)若A∩B=B, 求实数a的值.(2)若A∪B=B,求实数a的值.。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第一章 §1.1 集 合
(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为
A.2
√B.3
C.0
D.－2
因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A， 则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}. 当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝3时，A＝{0,3,2}，符合题意.综上所述，m＝3.
知识梳理
3.集合的基本运算
表示 运算
集合语言
并集 _{_x_|x_∈__A_，__或__x_∈__B_}_
交集 _{_x_|x_∈__A_，__且__x_∈__B_}_
补集 _{_x_|x_∈__U__，__且__x∉_A__}_
图形语言
记法 _A__∪__B_ _A__∩__B_
_∁_U_A_
常用结论
例5 (多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且 群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及 以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基 本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代 数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a， b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a； ③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群.
1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集. 2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
集合全章讲义
第一章：集合与简易逻辑讲义第一节：集合的概念Part One ：基础知识（记住有以下6点） 1、集合的概念①集合：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集. ②元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , } ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5.集合的表示方法：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} ②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}③文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 6.集合的分类：a:以元素的个数分类：①有限集：含有有限个元素的集合 ②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x b:以元素的种类分：点集，数集，等Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：集合的三大性的考查1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5．2.设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4. 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？题型二：集合的表示方法的考查 1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} ②{-2，-4，-6，-8，-10}③{ 1, 5, 25, 125, 625 }= ;④ { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}=2、用列举法表示下列集合 ①{x ∈N|x 是15的约数}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n∈-= ⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x 题型三：集合的分类的考查1、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集第二节：子集 全集 补集（集合与集合的关系） Part One ：基础知识（记住有以下8点）1.子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A :A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2.集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3.真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4..人为规定：空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A （在考虑集合问题时千万不能忘记空集这个特殊集合） 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆5.含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为2-n6.易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}Φ={0}，Φ∈{0} 7、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示8. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作AC S ，即CSA=},|{A x S x x ∉∈且 2、性质：CS （CSA ）=A ，CSS=φ，CS φ=S Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：对子集等基本概念的考查1. 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示2.判断下列写法是否正确①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A 3.（1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？ （3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？ （4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 题型二：利用集合的关系来求解具体问题（重点！）1．若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数m 的取值范围.)1(-≥m2．已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆ 题型三：全集与补集有关问题1.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U A2. 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与C S B 的关系Part Three ：练习1、已知全集U ＝｛x ｜－1＜x ＜9｝，A ＝｛x ｜1＜x ＜a ｝，若A ≠φ，则a 的取值范围是 （A ）a ＜9 （B ）a ≤9 （C ）a ≥9 （D ）1＜a ≤92、已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a2－a ＋2｝如果CUA ＝｛－1｝，那么a 的值为3、已知全集U ，A 是U 的子集，φ是空集，B ＝CUA ，求CUB ，CU φ，CUU4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求CUA.5、已知U=R ，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求CUA.7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=CUN ，N=CUP ，则M 与P 的关系是（ ） M=CUP ，（B ）M=P ，（C ）M ⊇P ，（D ）M ⊆P.8、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={b,2},求实数a 和b 的值.9.已知S ＝｛a ，b ｝，A ⊆S ，则A 与CSA 的所有组对共有的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （D ）10..设全集U （U ≠φ），已知集合M 、N 、P ，且M ＝CUN ，N ＝CUP ，则M 与P 的关系是 11..已知U=﹛（x ，y ）︱x ∈﹛1，2﹜，y ∈﹛1，2﹜﹜，A=﹛（x ，y ）︱x-y=0﹜，求UA12..设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求U A 的真子集的个数13. 若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB= .14.. 已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B= 15.. 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x ∈U}，求CUA 、m 第二节:交集和并集Part One ：基础知识（记住有以下6点）1．交集的定义 一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}． 2．并集的定义 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝． 3..交集、并集的性质 用文图表示 (1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B, 则A A=A A A=A(4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含 则A B A,A B B A BA, A BB(5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ①交集的性质 (1)A A=A A Φ=ΦA B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B ．BA②并集的性质 (1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇Ａ,A B ⊇B 联系交集的性质有结论：Φ⊆A B ⊆A ⊆A B ．4. 德摩根律：(CuA) (CuB)= Cu (A B), (CuA) (CuB)= Cu(A B)(可以用韦恩图来理解)． 结合补集，还有①A (CuA)=U, ②A (CuA)= ΦPart Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：基础的交集与并集的计算：注意数集的交集和并集运算的图像法 例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.例5设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B. 例6设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B.例7已知A 是奇数集,B 是偶数集，Z 为整数集，求A B,A Z,B Z,A B,A Z,B Z.8 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()B C A U ⋂{},8,1=()BA C U ⋂{}6,2= ()(){},7,4=⋂BC A C U U 则集合A=例9．设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A B={9},求实数m 的值.例10.设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又A B={3，5}，A ∩B={3}，求实数a,b,c 的值.. 例11. 已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．Part Three ：练习1．P=｛a2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a2+1｝,P Q=｛-3｝,求a ．2..已知全集U=A B=｛1,3,5,7,9｝,A (CUB)=｛3,7｝, (CUA) B=｛5,9｝.则A B=____．3 已知A ＝{x| x2－ax ＋a2－19=0}, B={x| x2－5x ＋8=2}, C={x| x2＋2x －8=0},若ο/⊂A ∩B ，且A ∩C ＝ο/，求a 的值4.. 已知元素(1, 2)∈A ∩B ，并且A ＝{(x, y)| mx －y2＋n=0},B={(x, y)| x2－my －n=0},求m, n 的值5. 已知集合A={x|x2+4x-12=0}、B={x|x2+kx-k=0}.若B B A = ，求k 的取值范围6. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A.P N M )( B ．P N M )( C ．P C N M S )( D ．P C N M S )(集合中段测试 一、选择题1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( ) (A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 2．下列各对象可以组成集合的是（ ）MN P第9题（A ）与1非常接近的全体实数 （B ）某校2002-2003学年度笫一学期全体高一学生 （C ）高一年级视力比较好的同学 （D ）与无理数π相差很小的全体实数3、已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（ ）(A) P M = (B)P M ⊇ (C) M P M = (D) P M ⊆4、集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ） (A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个5．设全集U=R ，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（C U M ）∪（C U N ）为（ ）（A ）{x|x.≥0} （B ）{x|x<1 或x≥5} （C ）{x|x≤1或x≥5} （D ）{x| x 〈0或x≥5 }6．设集合{}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个.7．已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个8．已知全集U ＝{非零整数}，集合A ＝{x||x+2|>4, x ∈U}, 则C U A ＝（ ） （A ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } （B ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } （C ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } （D ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则C B A )(等于 (A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}10、满足条件{}{}1,01,0=A 的所有集合A 的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个11、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（ ）(A))]([C A C B U (B))()(C B B A (C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([ 12．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（ ）(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 二．填空题13．集合P=(){}0,=+y x y x ，Q=(){}2,=-y x y x ，则A ∩B= 14．不等式|x-1|>-3的解集是 15．已知集合A= 用列举法表示集合A=16 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U {},6,2=B ()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A= 三．解答题17．已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1）若A 是空集，求a 的取值范围； 2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围18．已知全集U=R ，集合A={},022=++px xx {},052=+-=q x x x B {}2=⋂B A C U 若，试用列举法表示集合A集合单元小结基础训练 参考答案C ；2．B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.C ；7.D ；8.B ；9.C ；10.D ；11.C ；12.B;13. (){}1,1-; 14.R; 15. {}5,4,3,2,0; 16{}8,5,3,1 ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x17.1)a>89 ; 2）a=0或a=89；3）a=0或a≥89 18.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,319*．CUA={}321≤≤=x x x 或 CUB={}2=x x A ∩B=A A ∩（CUB ）=φ （CUA ）∩B={}3212≤<=x x x 或1 20*． a=－1或2≤a≤3.。
2018艺术班复习讲义第一讲集合
第1讲 集合【基础知识】一、集合有关概念1、集合中元素的特性：1.确定性； 2.互异性； 3.无序性2、常用数集及其记法：自然数集 ；正整数集 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。
二、集合间的基本关系1.子集：A B ⊆.任何一个集合是它本身的子集。
A ⊆A2.集合相等： A =B3.真子集:如果A ⊆B ,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ⊂B (或B ⊃A )4. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算1．交集的定义：}|{B x A x x B A ∈∈=，且 ．2、并集的定义：A ∪B ={x |x ∈A ，或x ∈B }．3、补集: },|{A x S x x A C S ∉∈=且性质：⇔=A B A ；⇔=A B A ；四、集合中元素的个数的计算：若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有子集个数为______，所有真子集的个数是______，所有非空真子集的个数是 。
1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A B = （ ）A ．{}32x x -<<B ．{}52x x -<<C ．{}33x x -<<D ．{}53x x -<<2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,43.(15年广东文科) 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N = （ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-5.（15年安徽文科）设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A C B = ( )（A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，，6.（15年福建文科）若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1,2D {}0,18.(15年新课标2) 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）（A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝9.(15年新课标2文科) 已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B = （ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,310.(15年陕西理科) 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = （ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞11.(15陕西文科) 集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = （ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞12.(15年天津理科) 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B = ð（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,813.(15年天津理科) 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U B=（）ð（ ） (A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}15.(15年山东理科) 已知集合A=2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则A B =(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)16.(15年江苏) 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______.1. 【2014高考北京卷文第1题】若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}32. 【2014高考大纲卷文第1题】设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M N 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 73.【2014高考福建卷文】若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ） }{}{}{}{.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤ 4.【2014高考广东卷文第1题】已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N = （ ）A.{}0,2B.{}2,3C.{}3,4D.{}3,55. 【2014高考湖北卷文第1题】 已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}6,5,3,1{=A ，则=A C UA.}6,5,3,1{B. }7,3,2{C. }7,4,2{D. }7,5,2{6. 【2014高考湖南卷文】已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B = （ ）.{|2}A x x > .{|1}B x x > .{|23}C x x << .{|13}D x x <<7. 【2014高考江苏卷】已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂= . 8. 【2014高考江西卷文】设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B = ( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D - 9 【2014高考辽宁卷文第1题】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = （ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<10. 【2014高考全国1卷文】已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则M N = （ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(-11. 【2014高考全国2卷文】设集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B = （ ）A. ∅B. {}2C. {0}D. {2}-12. 【2014高考山东卷文第2】设集合{}{},41,022≤≤=<-=x x B x x x A 则=B A （ ） （A ）(]2,0 （B ）()2,1 （C ） [)2,1 （D ）()4,113. 【2014高考陕西卷文第1题】已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则M N = （ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D 14. 【2014高考四川卷文第1题】已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=（ ）A ．{1,0}-B ．{0,1}C ．{2,1,0,1}--D ．{1,0,1,2}-15. 【2014高考浙江卷文第1题】设集合 {|2}S x x =≥，}5|{≤=x x T ，则S T = （ ）A. ]5,(-∞B. ),2[+∞C. )5,2(D.]5,2[16. 【2014高考重庆卷文第11题】已知集合{3,4,5,12,13},{2,3,5,8,13}A B ==，则A B = _______.【2016高考真题】1、（2016年北京高考）（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A B =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或2、（2016年江苏省高考）已知集合{1,2,3,6},{|A B x x =-=-<<则=A B ________▲________.3、（2016年山东高考）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B ð=（A ）{2,6} （B ）{3,6} （C ）{1,3,4,5} （D ）{1,2,4,6}4、（2016年四川高考）学科网设集合A={x ｜1≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是(A)6 (B) 5 (C)4 (D)35、（2016年天津高考）已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则A B =（ ）（A ）}3,1{ （B ）}2,1{ （C ）}3,2{ （D ）}3,2,1{6、（2016年全国I 卷高考）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}7、（2016年全国II 卷高考）已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B = （ ） （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}，8、（2016年全国III 卷高考）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（A ）{48}, （B ）{026}，, （C ）{02610}，，, （D ）{0246810}，，，，,9、（2016年浙江高考）已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U PQ （）ð=（ ） A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}【答案】C {}1,2-A B A B DCC。
讲义一
讲义一：集合的含义与表示（2课时）导语：从今天开始我们共同学习、探讨、研究一种全新的数学知识——集合，它与你们过去学习过的数学知识有联系但并不复杂，集合知识体系建立的历史并不久远也就一百多年的历史，但对科学技术的迅猛发展具有革命性的意义，它改变了人们的生活方式和世界的格局，它广泛应用于信息科技、通讯、航空航天、军事等领域。
它的特点是把某些具有某种公共属性（或特征）或能够确切指定的一些对象高度概括、高度数字化放在一起进行研究，它与我们今后要学习的其它数学知识有着广泛的联系，那么什么是集合呢？如：（1） 上海梅山高级中学高一（3）班的全体同学；（2） 所以的锐角三角形；（3） 1，3，5，7，9；（4） 不等式10x ->解的全体；（5） 上海梅山钢铁公司所有的小轿车；（6） 二次函数21y x x =-+图像上所有点的全体；请同学们阐述一下集合的特点。
1、集合的概念；把某些具有某种公共属性（或特征）或能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
提问：（1）“清华大学的一些男学生”是否构成集合；（2）“数轴上与0非常接近的点” 是否构成集合；（3）不小于5且不大于10的所有正整数；（4）方程2102x x -+=的实根； （5）比较矮的人；（1）、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
（2）集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；元素与集合的关系：∈、∉（,a A a A ∈∉） 特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；（说明）【例题1】、(1)用符号∈∉、填空；2____;1;0____Q N R φ；（2）课本P7.2（3）若{}|,,M x x q p q Z ==∈,____M ； （4）已知集合|,3m n A x x m n N *⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭且、,若y z A ∈、， 求证：,y z A yz A +∈∈ 2、集合的表示方法{}“”“”|x x P ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩列举法语言描述法描述法代表元素描述法具有性质 【例题2】、1、P7。
北京四中数学必修一讲义第一章集合第5讲 1.1.5 集合间的基本运算：补集及综合应用 学生版
第5讲§1.1.5 集合间的基本运算：补集及综合应用※知识要点1．全集(1)定义：若一个集合含有我们所研究问题中涉及的，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作：．2．并集(1)自然语言：对于集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的，记作；(2)符号语言：∁U A＝；(3)Ve nn图表示：．3．补集的相关性质(1)A∩∁U A＝，A∪∁U A＝；(2)∁U(∁U A)＝，∁U U＝，∁U∅＝；(3)∁U A∩∁U B＝、∁U A∪∁U B＝；※题型讲练【例1】已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{3,4,5,6}，求：(1)写出：∁U(A∩B)，∁U(A∪B)，(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)；(2)观察(1)的结果，你有什么发现？变式训练1：1．已知全集U＝{x||x|<5，x∈Z}，A＝{0,1,2}，则∁U A＝________.2．已知集合A＝{x|x≥－2}，集合B＝{x|－2≤x≤2}，则集合(∁R B)∩A＝________.3．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x≥3}，则图中阴影部分所表示的集合为________.【例2】(1)设集合U＝M∪N={0,1,2,3,4}，(∁U M)∪N＝{1,2,4}，则集合N＝________.(2)设全集U＝{1,2,3,4}，且M＝{x∈U|x2+px＋q＝0}，若∁U M＝{2,3}，求实数p、q的值．若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.2．设全集U＝{x∈N*|x≤10}，A U，B U，且A∩B＝{4,5}，∁U B∩A＝{1,2,3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{6,7,8}，求集合A和B.【例3】设全集U＝R，A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，若(∁U A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．变式训练3：1．设全集U＝R，A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁U B，则实数a的取值范围是________．2．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．3．设全集U＝R，A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋m＝0}，若(∁U A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．※课堂反馈1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝()A．{1,2} B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．∅2．设全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，则A∩(∁U B)＝()A．{x|1≤x<2} B．{x|x<2}C．{x|x≥5} D．{x|1<x<2}3．已知集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则集合(∁R A)∩B＝()A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}4．已知全集U＝{x|x>0}，∁U A＝{x|1<x≤2}，则A＝________.5．设A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若(∁R A)∩B＝∅，则x＝_____.6．设全集U＝R，集合A＝{x|a≤x≤3a}，B＝{x|2≤x≤4}，(1)若a=1，求(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)；(2)若A∪(∁U B)=R，求实数a的取值范围．※基础夯实1．若全集U＝{0,1,2,3}且∁U A＝{2}，则A的真子集有()A．3个B．5个C．7个D．8个2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图中的阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{4,6}C．{1,3,5} D．{4,6,7,8}4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)5．设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则(∁U M)∪N＝________.6．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，∁U M＝{5,7}，则实数a＝________.7．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁U N＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.8．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)＝________. 9．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，若集合A∪B＝U，且A∩B＝∅，A∩(∁U B)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A，B.10．设全集U＝R，A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}．求(1)∁U(A∩B)；(2)记∁U(A∪B)＝D，C＝{x|2a－3≤x≤a}，且C∩D＝C，求a的取值范围.※能力提升1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x＝2a，a∈A}，则∁U(A∪B)中元素个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．3．已知集合A＝{x|x<－1或x>5}，C＝{x|x>a}，若∁R A⊆C，则a的范围是________．4．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n 的值．5．设全集U＝R，A＝{x|x2＋px+2＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁U A)∩B＝{2}，试用列举法表示集合A．※课后小结。
2025年高考数学一轮复习 第1章-第1节 集合【课件】
2
5 10
B.( , ]
2 3
5 10
C.[ , )
2 3
10
D.(-∞, ]
3
解析 由题意可得,2 -2a+1<0 且 3
2
5
10
-3a+1≥0,解得2<a≤ 3 ,故选
10.(2022·新高考Ⅰ,5)若集合 M={x|√<4},N={x|3x≥1},则 M∩N=( D )
A.{x|0≤x<2}
C.{x|3≤x<16}
B. x
1
D.
1
3
≤x<2
≤
<
16
3
解析 由已知条件得,M={x|0≤x<16},N= ≥
故选 D.
1
3
,故 M∩N=
1
3
≤ < 16 .
空集,在解决集合参数问题时,不要忽视这种情形.
3.集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
由所有属于集合A且属于
交集
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
集合B的元素组成的集合
由所有属于集合A或属于
并集
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
集合B的元素组成的集合
对于一个集合A,由全集U
补集 中不属于集合A的所有元 ∁UA= {x|x∈U,且x∉A}
解 B⫋A.A={-1,2,5,8,11,…},B={2,5,8,11,…},所以B⫋A.
题组三连线高考
9.(2022·新高考Ⅱ,1)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=( B )
A.{-1,2}
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第1 章集合与常用逻辑用语第1节集合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?.(3) 集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图．2．集合间的基本关系描述文字语言符号语言关系集合子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素A? B或B? A间的真子集A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B基本中至少有一个元素 A 中没有A B 或 B A关系相等集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同A＝ B 集合与集合之间的关系：A? B， B? C? A? C，空集是任何集合的子集，含有n 个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－ 1，非空真子集数为2n－23．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪ B A∩ B若全集为 U，则集合 A 的补集为 ?U A图形表示意义{ x|x∈A，{ x|x∈ A，{ x|x∈ U，且 x?A}或 x∈ B}且 x∈B}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．考点一集合的含义与表示1. 正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中代表元素的属性(是点集、数集或其他情形)，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{ x|y＝f(x)} 、{ y|y＝ f(x)} 、{( x，y)|y＝ f(x)} 三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2.注意元素的互异性对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程 (组 )进行求解，要注意检验是否满足互异性．3．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A? B，则需考虑A＝?和 A≠?两种可能的情况．1．（ 2013 福建， 5分）若集合A＝ {1,2,3}， B＝ {1,3,4} ，则 A∩ B 的子集个数为 ()A ． 2B． 3C． 4D． 16解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握． A∩ B＝ {1,3} ，故 A∩ B 的子集有 4 个．答案： C2．（ 2013 江西， 5分）若集合 A＝ { x∈R|ax2＋ ax＋ 1＝ 0} 中只有一个元素，则 a＝ ()A ． 4B． 2C． 0D．0或4解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法 )及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由 ax2＋ ax＋ 1＝0 只有一个实数解，可得当a＝ 0 时，方程无实数解；当a≠ 0 时，则＝a2－ 4a＝ 0，解得 a＝ 4(a＝ 0 不合题意舍去 )．答案： A3．（ 2013 山东，5 分）已知集合A＝{0,1,2} ，则集合 B＝ { x－ y|x∈ A, y∈A} 中元素的个数是 ()A．1B．3C．5D．9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝ 0，y ＝0,1,2 时， x－ y＝ 0，－ 1，－ 2； x＝1， y＝ 0,1,2 时， x－ y＝1,0，－ 1； x＝ 2，y＝ 0,1,2 时， x － y＝ 2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合 B 的元素为－ 2，－ 1,0,1,2.共 5 个．答案： C4．（ 2011 广东， 5 分）已知集合 A＝ {( x，y)|x，y 为实数，且22＝ 1}， B＝ {( x， y)|x，x＋ yy 为实数，且 x ＋y ＝ 1} ，则 A ∩B 的元素个数为 () A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1x 2＋ y 2＝ 1解析：由消去 y 得 x 2－ x ＝ 0，解得 x ＝0 或 x ＝ 1，这时 y ＝ 1 或 y ＝0，即 A ∩ Bx ＋y ＝ 1＝ {(0,1) ，(1,0)} ，有两个元素．答案： C5．已知集合 M ＝ {1 ， m} ， N ＝ { n ，log 2 n} ，若 M ＝N ，则 (m － n)2 013＝ ________.解析： 由 M ＝N 知n ＝ 1， n ＝m ， m ＝0， m ＝ 2，log 2n ＝ m或∴或log 2n ＝ 1，n ＝ 1n ＝ 2.答案： －1或 06．已知集合 A ＝ { m ＋ 2,2m 2＋ m} ，若 3∈ A ，则 m 的值为 ________．解析： 因为 3∈ A ，所以 m ＋ 2＝3 或 2m 2＋ m ＝3.当 m ＋ 2＝ 3，即 m ＝ 1 时， 2m 2＋ m ＝ 3，此时集合 A 中有重复元素 3，所以 m ＝ 1 不符合题意，舍去；当 2m 2＋ m ＝ 3 时，解得 m ＝－32或 m ＝ 1(舍去 )，此时当m ＝－32时， m ＋ 2＝12≠ 3 符合题3意．所以 m ＝－ .答案： －327．（ 2010 福建 ， 5 分）设非空集合 S ＝ { x|m ≤ x ≤ l} 满足：当 x ∈ S 时，有 x 2∈S.给出如下三个命题：①若 m ＝1，则 S ＝{1} ；②若 m ＝－ 1，则 1≤ l ≤ 1；③若 l ＝ 1，则－2≤ m ≤ 0. 2 4 2 2 其中正确命题的个数是 ()A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3解析： 若 m ＝ 1，则 x ＝ x 2，可得 x ＝ 1 或 x ＝ 0 ( 舍去 )，则 S ＝ {1} ，因此命题①正确；若m ＝－ 1，当 x ＝－ 1时， x 2＝1∈ S ，故 l min ＝ 1，当 x ＝ l 时， x 2＝ l 2∈ S ，则 l ＝l 2 可得，可得 l2 2 4 4m ≤ 1＝ 1 或 l ＝0( 舍去 )，故 l max ＝ 1，∴ 1≤ l ≤ 1，因此命题②正确；若2l ＝ 1，则，得422≤ 1m ≤ m 2－22≤ m ≤ 0，因此命题③正确．答案： D考点二 集合的基本关系1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．2．当题目中有条件B? A 时，不要忽略B＝ ?和 A=B 的情况．2 1．（ 2013 新课标全国Ⅰ， 5 分）已知集合 A＝ {1,2,3,4} ，B ＝{ x|x＝ n，n∈ A}，则 A∩B ＝ ()A ． {1,4}B ． {2,3}C． {9,16}D． {1,2}解析：本题主要考查集合的基本知识，要求认识集合，能进行简单的运算．n ＝ 1,2,3,4时， x＝ 1,4,9,16，∴集合 B＝ {1,4,9,16} ，∴ A∩ B＝ {1,4} ．答案： A2.(2013 新课标全国Ⅱ，5 分)已知集合 M＝{ x|－ 3<x<1} ，N＝ { － 3，－ 2，－ 1,0,1} ，则 M∩N ＝ ()A ． { － 2，－ 1,0,1}B． { － 3，－ 2，－ 1,0}C． { － 2，－ 1,0}D． { － 3，－ 2，－ 1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生对基本概念的理解．由交集的意义可知 M∩N＝ { － 2，－ 1,0} ．答案： C3． (2013 山东，5分 ) 已知集合 A，B 均为全集 U＝ {1,2,3,4} 的子集，且 ?U(A∪ B)＝ {4} ，B＝{1,2} ，则 A∩ ?U B＝ ()A ．{3}B． {4}C． {3,4} D ．?解析：本题主要考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力．由题意知A∪ B ＝ {1,2,3} ，又 B＝ {1,2} ，所以 A 中必有元素 3，没有元素 4， ?U B＝ {3,4} ，故 A∩ ?U B＝ {3} ．答案： A4．(2013 广东，5分 )设集合 S＝ { x|x2＋ 2x＝ 0，x∈R } ，T＝ { x|x2－ 2x＝ 0，x∈R } ，则 S∩T ＝ ()A ．{0}B． {0,2}C．{ － 2,0}D． { － 2,0,2}解析：本题主要考查集合的运算知识，意在考查考生的运算求解能力．因为 S＝{－2,0} ，T＝ {0,2} ，所以 S∩ T＝ {0} ．答案： A5． (2013 安徽， 5分 )已知 A＝ { x|x＋ 1>0} ， B＝ { － 2，－ 1,0,1} ，则 (?A)∩ B＝ ()RA ．{ －2，－ 1}B． { －2}C．{ － 1,0,1}D． {0,1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解能力．集合A＝{ x|x>－ 1} ，所以 ?R A＝ { x|x≤ －1} ，所以 (?R A)∩B＝ { － 2，－ 1} ．答案： A6． (2013 浙江， 5 分 )设集合 S＝ { x|x>－ 2} ，T＝ { x|－ 4≤ x≤ 1} ，则 S∩ T＝ ()A ． [－ 4，＋∞ )B． (－2, ＋∞ )C． [－ 4,1]D． (－2,1]解析：本题主要考查集合、区间的意义和交集运算等基础知识，属于简单题目，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由已知得S∩ T＝ { x|x>－ 2} ∩ { x|－4≤ x≤ 1} ＝ { x|－ 2<x≤ 1} ＝(－ 2,1] ．答案： D7． (2013 辽宁， 5 分 )已知集合A＝ {0,1,2,3,4} ，B＝ { x||x|＜ 2} ，则 A∩ B＝ ()A ． {0}B． {0,1}C．{0,2}D． {0,1,2}解析：本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法，意在考查考生对集合运算的掌握情况，属于容易题．由已知，得B＝ { x|－ 2＜ x＜ 2} ，所以 A∩B＝ {0,1} ，选 B.答案： B8． (2013 天津， 5 分 )已知集合A＝ { x∈R | |x|≤ 2}, B＝ { x∈R| x≤ 1} ，则 A∩B＝ ()A ． (－∞， 2]B． [1,2]C． [－ 2,2] D ． [－ 2,1]解析：本题主要考查简单不等式的解法、集合的运算．意在考查考生对概念的理解能力．解不等式 |x|≤ 2 得，－ 2≤ x≤ 2，所以 A＝[ －2,2] ，又 B＝ (－∞， 1]，所以 A∩ B＝ [ － 2,1] ．答案： D9． (2013 北京， 5分 )已知集合 A＝ { － 1,0,1} ，B＝ { x|－ 1≤ x<1} ，则 A∩ B＝ ()A ．{0}B． { － 1,0}C．{0,1} D. { － 1,0,1}解析：集合 A 中共有三个元素－ 1,0,1，而其中符合集合 B 的只有－ 1 和 0，故选 B.答案： B10． (2013 陕西， 5分 )设全集为R，函数 f(x)＝ 1－ x的定义域为 M, 则 ?R M 为 ()A ． (－∞， 1)B． (1，＋∞ )C． (－∞， 1]D． [1，＋∞ )解析：本题主要考查集合的概念和运算，函数的定义域与不等式的求解方法．从函数定义域切入， 1－ x≥ 0，∴ x≤1，依据补集的运算知识得所求集合为(1，＋∞ )．答案： B11． (2013 湖北，5分 )已知全集 U ＝{1,2,3,4,5}，集合 A＝ {1,2} ，B＝ {2,3,4}，则 B∩ ?U A ＝ ()A ．{2}B． {3,4}C．{1,4,5}D． {2,3,4,5}解析：本题主要考查集合的补集和交集运算．由题得， ?U A＝ {3,4,5}，则 B∩ ?U A＝ {3,4} ．答案： B12. (2013 四川， 5分 )设集合 A＝{1,2,3} ，集合 B＝ { － 2,2} ，则 A∩ B＝ ()A ． ?B． {2}C． { －2,2} D ． { － 2,1,2,3}解析：本题主要考查集合的运算，意在考查考生对基础知识的掌握．A，B 两集合中只有一个公共元素 2，∴ A∩B＝ {2} ，选 B.答案： B13． (2013 重庆，5分 )已知全集 U ＝{1,2,3,4} ，集合 A＝ {1,2} ，B＝{2,3} ，则 ?(A∪B)＝()A ． {1,3,4}B ． {3,4}C．{3}D． {4}解析：本题主要考查集合的并集与补集运算．因为A∪ B＝ {1,2,3} ，所以 ?U(A∪ B) ＝{4} ，故选 D.答案： D14． (2012 新课标全国， 5分 )已知集合 A＝ { x|x2－ x－ 2<0} ， B＝ { x|－ 1< x<1} ，则 () A．A? B B．B? A C．A＝B D． A∩B＝?解析： A＝ { x|x2－ x－ 2<0} ＝ { x|－ 1<x<2} ， B＝{ x|－ 1< x<1} ，所以 B? A.答案： B15． (2012 湖北， 5 分 )已知集合 A＝ { x|x2－3x＋ 2＝ 0， x∈R } ， B＝ { x|0<x<5， x∈N} ，则满足条件 A? C? B 的集合 C 的个数为 ()A ． 1B． 2C． 3D． 4解析：因为集合 A＝ {1,2} ，B＝ {1,2,3,4}，所以当满足 A? C? B 时，集合 C 可以为 {1,2} 、{1,2,3} 、 {1,2,4} 、 {1,2,3,4} ，故集合 C 有 4个．答案： D16． (2011 浙江，5 分 )若 P＝ { x|x＜ 1} ， Q＝ { x|x＞－ 1} ，则 ()A．P? Q B．Q? P C． ?R P? Q D．Q?? R P 解析：∵P＝ { x|x＜ 1} ，∴ ?R P＝ { x|x≥ 1} ，又Q＝{ x|x＞－ 1} ，∴ ?R P? Q.答案： C17． (2013 ·建高考福 )已知集合 A＝ {1 ， a} ，B＝ {1,2,3} ，则“ a＝3”是“ A? B”的 ()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选 A 因为 A＝ {1 ， a} ， B＝ {1,2,3} ，若 a＝ 3，则 A＝{1,3} ，所以 A? B；若 A? B，则 a＝ 2 或 a＝ 3，所以 A? B ?/ a＝ 3，所以“ a＝3”是“ A? B”的充分而不必要条件．18．已知集合 A＝ { x|－3≤ x≤ 4} ， B＝ { x|2m－ 1<x<m＋ 1} ，且 B? A.则实数 m 的取值范围为 ________．解析：∵B? A，(1) 当 B＝ ?时， m＋ 1≤ 2m－ 1，解得 m≥ 2.－ 3≤ 2m－1，(2) 当 B≠ ?时，有m＋ 1≤ 4，解得－ 1≤ m<2 ，综上得 m≥ － 1.2m－ 1<m＋ 1，答案： [－ 1，＋∞ )考点三集合的基本运算集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3) 注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．1．（ 2012 广东， 5 分）设集合U＝ {1,2,3,4,5,6} ，M ＝ {1,3,5} ，则 ?U M＝ ()A ． {2,4,6}B． {1,3,5}C． {1,2,4} D ．U解析：因为集合 U＝ {1,2,3,4,5,6} ，M＝ {1,3,5} ，所以 2∈ ?U M, 4∈?U M, 6∈ ?U M，所以 ?U M＝ {2,4,6} ．答案： A2．（ 2012 安徽，5 分）设集合 A＝ { x|－ 3≤ 2x－ 1≤ 3} ，集合 B 为函数 y＝ lg(x－ 1)的定义域，则 A∩ B＝ ()A ． (1,2)B ． [1,2]C． [1,2) D ． (1,2]解析：由题可知 A＝ { x|－1≤ x≤ 2} ， B＝ { x|x>1} ，故 A∩B＝ (1,2] ．答案： D3．（ 2012 浙江，5分）设全集 U ＝ {1,2,3,4,5,6} ，集合 P＝{1,2,3,4} ，Q＝ {3,4,5} ，则 P∩ (?U Q)＝()A ． {1,2,3,4,6}B． {1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D ． {1,2}解析： ?U Q＝{1,2,6} ，故 P∩ (?U Q)＝ {1,2} ．答案： D4.(2013 山·东高考 )已知集合 A，B 均为全集 U＝ {1,2,3,4} 的子集，且 ?U(A∪ B)＝ {4} ，B＝{1,2} ，则 A∩ ?U B＝ ()A ．{3}B ．{4}C． {3,4}D． ?[ 解析 ]∵ U＝{1,2,3,4}，?U(A∪ B)＝{4}，∴A∪ B＝ {1,2,3} ．又∵ B＝ {1,2} ，∴ {3} ? A? {1,2,3} ．又?U B＝ {3,4} ，∴ A∩ ?U B＝ {3} ．[答案]A4．（ 2012 湖南， 5 分）设集合2M＝ { － 1,0,1} ，N＝ { x|x ＝ x} ，则 M∩ N＝ ()A ． { － 1,0,1}B ． {0,1}C． {1}D． {0}解析： N＝ { x|x2＝ x} ＝ {0,1} ，所以 M∩ N＝{0,1} ．答案： B5．（ 2012 江西，5分）若全集 U ＝{ x∈R |x2≤ 4}，则集合 A＝{ x∈R ||x＋1|≤ 1}的补集 ?U A 为 ()C.{ x∈R |0<x≤2}D. { x∈R |0≤ x≤ 2}解析：因为U ＝ { x∈R|x2≤ 4} ＝ { x∈R |－ 2≤ x≤ 2} ， A＝ { x∈R|x＋ 1|≤ 1} ＝ { x∈R|－2≤ x≤0} ．借助数轴易得?U A＝ { x∈R |0<x≤2} ．答案： C6．（ 2011 新课标全国，5 分）已知集合M＝ {0,1,2,3,4 ，} ，N＝ {1,3,5 ， } ，P＝ M∩ N，则P 的子集共有 ()A．2个B．4 个C．6 个D．8 个解析： P＝ M∩ N＝{1,3} ，故 P 的子集有22＝ 4 个．答案： B7．（ 2011 山东，5 分）设集合 M＝ { x|(x＋ 3)( x－2)<0}，N＝ { x|1≤ x≤3} ，则 M∩ N＝ ()A ． [1,2)B． [1,2]C． (2,3]D． [2,3]解析：集合 M＝ (－ 3,2)， M∩ N＝ (－ 3,2)∩ [1,3] ＝ [1,2) ．答案： A8．（ 2011 北京， 5 分）已知全集 U＝R，集合 P＝ { x|x2≤ 1} ，那么 ?U P＝ ()A ． (－∞，－ 1)B． (1，＋∞ )C． (－ 1,1)D． (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )解析：集合 P＝ [－ 1,1] ，所以 ?U P＝ (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )．答案： D9．（ 2010 新课标全国，5 分）已知集合 A＝ { x| |x|≤ 2，x∈R} ，B＝{ x| x≤ 4，x∈Z } ，则A∩B＝ ()A ． (0,2)B． [0,2]C． {0,2}D． {0,1,2}解析：由题可知，集合 A＝ { x|－ 2≤ x≤ 2} ，集合 B= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} ，所以集合 A∩B＝ {0,1,2} ．答案： D(2014 ·武汉市武昌区联考 )已知全集x，则U ＝R，集合 A＝ { x|lg(x＋1) ≤0} ， B＝ { x|3 ≤ 1}?U( A∩ B)＝ ()A ． (－∞， 0)∪ (0，＋∞ )B ． (0，＋∞ )C． (－∞，－ 1]∪ (0，＋∞ )D．(－1，＋∞ )[解析]lg( x＋ 1)≤ 0? 0< x＋ 1≤ 1?－ 1<x≤ 0,3x≤ 1? x≤ 0，则 A∩ B＝ (－1,0] ，?U (A∩B)＝ (－∞，－ 1]∪ (0，＋∞ )．[答案]C6．已知全集 U＝R，集合 A＝ { x|x2－ 2x>0} ， B＝ { x|y＝ lg( x－ 1)} ，则 (?U A) ∩B＝ ()A ． { x|x>2 或 x<0}B ． { x|1<x<2}C． { x|1<x≤ 2} D ． { x|1≤ x≤ 2}解析：解不等式 x2－ 2x>0，即 x( x－ 2)>0，得 x<0 或 x>2，故 A＝ { x|x<0 或 x>2} ；集合 B 是函数 y＝ lg( x－ 1)的定义域，由x－ 1>0 ，解得 x>1，所以 B＝ { x|x>1} ．如图所示，在数轴上分别表示出集合A， B ，则 ? U A＝ { x|0≤ x≤ 2} ，所以 ( ?U A)∩ B ＝{ x|0≤ x≤ 2} ∩ { x|x>1} ＝ { x|1<x≤ 2} ．答案：选C10． (2009 山·东， 52的分 )集合 A＝ {0,2 ， a} ，B＝ {1 ， a } ．若 A∪ B＝ {0,1,2,4,16} ，则 a值为()A ． 0B． 1C． 2D． 4解析：∵A∪ B＝{0,1,2 ， a， a2} ，又 A∪ B＝ {0,1,2,4,16} ，∴ { a， a2} ＝ {4,16} ，∴ a＝ 4，故选 D.答案： D11.设全集 U 是自然数集N，集合 A＝ { x|x2>4，x∈N } ，B＝ {0,2,3} ，则图中阴影部分所表示的集合是 ()A． { x|x>2， x∈N}B． { x|x≤ 2， x∈N}C． {0,2}D ． {1,2}解析：选C由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩ (?U A)， ?U A＝ { x|x2≤ 4，x∈N}＝{ x|－2≤x≤2，x∈ N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(?U A)＝{0,2}，选C.考点四抽象集合与新定义集合以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“ 问题” 为核心，以“ 探究” 为途径，以“发现” 为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有：1创新集合新定义；2创新集合新运算；3创新集合新性质 .解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决．角度一创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．1．若 x∈ A，则1∈ A，就称 A 是伙伴关系集合，集合M＝－ 1， 0，1， 2， 3的所有非空x2子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A ． 1B ．3C．7D． 31解析：选 B具有伙伴关系的元素组是－1；1，2，所以具有伙伴关系的集合有 3 个：{－21} ，11,2 ，-1， ,2 .22角度二创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．2.如图所示的Venn 图中， A，B 是非空集合，定义集合 A B 为阴影部分表示的集合．若 x，y∈R，A＝ { x|y＝2x－ x2} ，B＝ { y|y＝ 3x，x>0} ，则A B为()A ． { x|0<x<2}B ． { x|1<x≤ 2}C． { x|0≤ x≤ 1 或 x≥ 2} D ． { x|0≤ x≤ 1 或 x>2}解析：选 D因为A＝{ x|0≤ x≤ 2}，B＝{ y|y>1}，A∪ B＝{ x|x≥ 0}，A∩ B＝{ x|1<x≤ 2}，所以 A B＝ ?A∪B(A∩ B) ＝ { x|0≤ x≤ 1 或 x>2} ，故选 D.角度三创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．3．对于复数a，b， c，d，若集合 S＝ { a， b， c， d} 具有性质“对任意x， y∈ S，必有 xya＝ 1，∈ S”，则当 b2＝ 1，时， b＋ c＋d 等于 ()c2＝bA ． 1B．－ 1C． 0 D ． i解析：选B∵ S＝ { a，b， c， d} ，由集合中元素的互异性可知当a＝1 时， b＝－ 1， c2＝－ 1，∴ c＝±i，由“对任意x，y∈ S，必有xy∈ S”知±i∈ S，∴ c＝ i ， d＝－ i 或 c＝－ i， d＝i，∴b＋ c＋ d＝ (－1)＋ 0＝－ 1.1．（ 2011 福建，5 分）在整数集Z中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为 [k] ，即 [k]＝ {5 n＋ k|n∈Z} ， k＝ 0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈ [1] ，②－ 3∈ [3] ，③Z＝ [0] ∪ [1] ∪ [2] ∪ [3] ∪ [4] ；④“整数 a，b 属于同一‘类’”的充要条件是“ a－ b∈ [0] ”．其中，正确结论的个数是()A ． 1B ．2C．3D． 4解析：因为 2011＝ 402× 5＋ 1，又因为 [1] ＝ {5 n＋ k|n∈Z } ，所以 2011∈ [1] ，故命题①正确，又因为－ 3＝ 5× (－ 1)＋ 2，所以－ 3∈[2] ，故命题②不正确，又因为所有的整数Z除以5可得余数的结果为：0,1,2,3,4 ，所以命题③正确；若 a－ b 属于同一类，则有 a＝ 5n1＋ k.b＝5n2＋ k，所以 a－ b＝ 5(n1－ n2)∈ [0] ，反过来如果a－ b∈ [0] ，也可以得到 a－ b 属于同一类，故命题④正确，所以有3个命题正确．答案： C2．（ 2010 湖南，5分）若规定 E＝ { a1， a2，, ， a10} 的子集 { a i1， a i 2，, ， a in } 为 E 的第k个子集，其中 k＝ 2i 1－1＋ 2i 2－ 1＋, ＋ 2i n－ 1，则(1){ a1， a3} 是 E 的第 ________个子集；(2) E 的第 211 个子集为 ________．解析：此题是一个创新试题，定义了一个新的概念．(1)根据 k 的定义，可知 k＝21－1＋ 23－1＝ 5；(2) 此时 k＝ 211，是个奇数，所以可以判断所求子集中必含元素a1，又 28,29均大于 211，故所求子集不含a9， a10.然后根据2j(j ＝ 1,2， ,，7)的值易推导所求子集为{ a1， a2，a5，a7，a8} ．答案： 5{ a1， a2， a5， a7， a8}第11页共11页。