高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程(一) 新人教A版选修2-1

3）2＋b12＝1，
栏 目 链 接
解得ab22＝＝155. ，故所求椭圆的标准方程为1x52＋y52＝1.
当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为ya22＋xb22＝1(a＞b＞0)．
依题意有 a（12＋－a（22）－2＋2b2（3）b322＝）12＝，精1品，课解件得ab22＝＝51，5.
因为 a>b>0，所以无解．
综上，所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
方法二 设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
栏
依题意有31m2m＋＋4nn＝＝11，，解得
m＝115， n＝15，
目 链 接
所以所求的椭圆方程为1x52 ＋y52＝1.
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规律方法：求椭圆标准方程的方法：(1)定义法：能够根据题设
(1)两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦 栏
点的距离之和等于 10；
目
链
(2)两个焦点坐标分别是(0，－2)和(0，2)且过－32，25.
接
分析：求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题
意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出 a 和 b 即可．
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解析：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，∴设它的标准方程为xa22＋by22＝
条件判断出点的轨迹是椭圆，然后根据定义确定椭圆的标准方程．(2)
栏 目
待定系数法：由题设条件确定方程的类型，设出标准方程，再由条件 链
接
求出方程中的参数．当椭圆的焦点位置不确定时，常设椭圆的标准方
程为一般式．
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析
疑
难
提
能 力 栏 目 链
接
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规律方法：椭圆的标准方程：(1)只有当椭圆的两个焦点 F1、F2
在坐标轴上，且线段 F1F2 的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才
是椭圆的标准方程．
栏
目
(2)椭圆的焦点位置决定椭圆标准方程的两种形式．
链
接
(3)椭圆中的代表 a，b，c 的三条线段的关系是 a2＝b2＋c2.
(4)椭圆标准方程的一般式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．当
2．2.1 椭圆及其标准方程(一)
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栏 目 链 接
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1．了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程以及标 准方程的推导过程．
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栏
研
题
型
学
习
法目 链 接
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题型一 椭圆定义的应用
例 1 已知 F1，F2 是椭圆2x52＋y92＝1 的左、右两个焦点．
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＝23 10＋12 10＝2 10，
∴a＝ 10.
又 c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，
栏源自文库
∴所求标准方程为1y02 ＋x62＝1.
目 链
接
方法二 ∵b2＝a2－c2＝a2－4，
∴可设所求方程为ay22＋a2x－2 4＝1，然后将点－32，52的坐标代入
可求出 a，从而求出椭圆方程．
接
∴2a＝ （5＋4）2＋ （5－4）2＝10，∴a＝5.
又 c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的方程为2x52 ＋y92＝1.
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(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上，
∴设它的标准方程为ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)．
由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
栏
目
∴ aa0422＋＋bb1022＝＝11，⇒ab22＝＝41，.
►变式训练
1．椭圆2x52＋y92＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一
栏
个焦点的距离为( )
目
链
A．5 B．6 C．4 D．10
接
解析：点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a＝10，10－5＝5.
答案：A
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题型二 已知焦点位置求椭圆方程
例 2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
1(a＞b＞0)．∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4，
∴b2＝a2－c2＝52－42＝9，
∴所求椭圆标准方程为2x52 ＋y92＝1.
栏 目
(2)方法一 ∵椭圆的焦点在 y 轴上，∴设它的标准方程为ya22＋xb22
链 接
＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知，
2a＝ －322＋52＋22＋ －232＋52－22
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋
(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝20.
栏
规律方法：一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用 目
其定义求解，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为 链
研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题．
接
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链 接
故所求椭圆的方程为y42＋x2＝1.
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题型二 待定系数法求椭圆方程
例 3 已知椭圆经过点 A( 3，－2)，B(－2 3，1)，求椭圆的标准方程．
解析：方法一 当焦点在 x 轴上时，
设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．依题意有
（ a32）2＋（－b22）2＝1，
（－2 a2
(1)求 F1，F2 的坐标；
栏
(2)若 AB 为过椭圆的焦点 F1 的一条弦，求△ABF2 的周长．
目
解析：(1)由椭圆的方程2x52＋y92＝1 可知，a2＝25，b2＝9，
链 接
∴c2＝a2－b2＝25－9＝16，
∴c＝4.
∴F1(－4，0)，F2(4，0)．
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(2)由椭圆的定义可知
|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10.
焦点位置不定时，常设一般式．
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►变式训练
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，
0)；
(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)．
栏
解析：(1)由于椭圆的焦点在 x 轴上，
目 链
∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．