【分层训练】中考数学总复习三角形1.docx
2020年中考数学复习：《三角形综合》专题训练(Word版,含解析)
2020年中考数学复习：《三角形综合》专题训练1.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1,在^ ABC 中，AD 平分Z BAG, Z ABC = 2Z C.求证：AC= AB+BD ;小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2,在AC上截取AE,使得AE= AB,连接DE,可以得到全等三角形，进而解决问题.方法二：如图3,延长AB到点E,使得BE= BD,连接DE ,可以得到等腰三角形，进而解决问题.(1)根据阅读材料，任选一种方法证明的方法，解决下面的问题;(2)如图4,四边形ABCD中，E是BC上一点,B = 90° ,探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明.EA= ED, Z DCB = 2Z B, ZDAE + Z 根据自己的解题经验或参考小明AC = AB+BD,2.如图，在△ ABC中，/ABC = 30° ,以AC为边作等边△ ACD,连接BD .(1)如图1,若/ ACB = 90° , AB = 4,求^ BCD 的面积；(2)如图2,若Z ACB V 90°，点E为BD中点，连接AE、CE,且AE± CE,延长BC至点F,连接AF,使得Z F= 30° ,求证V3AE.3.如图1, OA= 2, OB = 4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ ABC.(1)求C点的坐标；(2)如图2, P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰RtA APD,过D作DE ± x轴于E点，求OP - DE的值；(3)如图3,已知点F坐标为(-2, -2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作RtAFGH,始终保持/ GFH = 90° , FG与y轴负半轴交丁点 G ( 0, m), FH与x轴正半轴交丁点H (n, 0),当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其值.4.如图1,张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB = AC .让同学们进行探究.(1)探究一：如图2,小明以BC为边在△ ABC内部作等边△ BDC,连接AD.请直接写出/ ADB的度数;(2)探究二：如图3,小彬在(1)的条件下，又以AB为边作等边△ ABE,连接CE.判断CE与AD的数量关系，并说明理由；(3)探究三：如图3,小聪在(2)的条件下，连接DE.若Z DEC = 60° , DE = 2,求AE的长.5.如图，△ ABC是等边三角形， AB = 6, P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C 不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE± AB于E,连接PQ交AB于D .(1)证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；(2)当Z BQD = 30°时，求AP的长；(3)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.6.如图，CD , BE是^ ABC的两条高线，且它们相交于F, H是BC边的中点，连结DH ,DH与BE相交于点G ,已知CD = BD.(1)求证BF = AC.(2)若BE 平分Z ABC.①求证：DF = DG.②若AC= 8,求BG的长.7.已知等边△ ABC 和等腰△ CDE , CD = DE, Z CDE = 120° .(1)如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD, PD ,则线段AD与PD之间的数量关系为 ;(2)如图2,点D在^ ABC内部，点E在^ ABC外部，P是BE的中点，连接AD, PD, 则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3,若点D在^ ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，/ BPC的度数为 .8.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1,在^ ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD、CE交于点F, CE = BE,且/ BEC+ Z BDC = 180° .求证：AC= BF .小明经探究发现，在AB上取一点G (不与E点重合)，使CE = CG,连接CG (如图2 ),从而可证△BEF^A CGA,使问题得到解决.(1)请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程;参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：(2)如图3,等腰△ ABC中，AB = AC, D、F在直线BC上，DE = BF ,连接AD ,过点E作EG // AC交FG于点G, Z DFG + / D = Z BAC,请在图中找出一条和线段AD相等的线段，并证明.9.如图，△ ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点.以点D为中心旋转/ MDN (Z MDN的度数不变)，当DM与AB垂直时(如图① 所示)，易证BM+CN = BD .(1)如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN =BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM + CN=BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM , CN , BD之间的数量关系，不用证明.10.在△ ABC中，AC= BC, ZACB= 90° , D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△ DEF 的另两个顶点E, F分别落在边AC, CB (或它们的延长线)上.(1)如图1,若Rt △ DEF的两条直角边DE, DF与^ ABC的两条直角边AC, BC互相垂直，贝U §，△ ABC,求当S A DEF =S A CEF = 2时，AC边的长；(2)如图2,若Rt △ DEF的两条直角边DE, DF与^ ABC的两条直角边AC, BC不垂直ABC，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△ DEF , S A CEF , S A ABC之间的数量关系；(3)如图3,若Rt △ DEF的两条直角边DE, DF与^ ABC的两条直角边AC, BC不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上—S A ABC是否成2立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出班DEF , CEF, S A ABC之间的数量关系.11.教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容2.线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB,将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等.已知：如图，MN ± AB,垂足为点C, AC= BC,点P是直线MN上的任意一点.求证：PA= PB.分析：图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等，便可证明PA = PB.定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.定理应用:(1)如图②，在△ ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O.过点O作OHL AB于点H.求证：AH = BH .(2)如图③，在△ ABC中，AB = BC,边AB的垂直平分线l交AC于点D,边BC的垂直平分线k交AC于点E.若/ ABC = 120° , AC= 15,贝U DE的长为.12.已知，在平面直角坐标系中，A (m, 0)、B (0, n) , m、n满足(m- n) 2+|m- 5| =0. C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO = PD, DE ±AB 于E.(1)如图1,当点P在线段AB上运动时，点D恰在线段OA上，贝U PE与AB的数量关系为________(2)如图2,当点D在点A右侧时，(1)中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由！(3)设AB= 5担，若/ OPD = 45° ,直接写出点D的坐标.13.（1）已知：如图1, △ ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C 重合），以AD为边作等边△ ADE,连接CE.求证：①BD = CE ,②」DCE = 120° ;（2）如图2,在^ ABC中，/BAC = 90° , AC = AB,点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ ADE, / DAE = 90° （顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE,类比题（1）,请你猜想：①Z DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3,在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt △ADE, Z DAE = 90° （顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE.①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；14.已知在等边三角形ABC的三边上，分别取点D , E, F.（1）如图1,若AD = BE= CF,求证：△ DEB^A EFC;（2）如图2,若ED ±AB 于点D , DF ±AC 于F , FE ± BC 于E,且AB = 15,求CE 的长；（3）如图3,若AD = CF, ED = EF,求证：△ DEF为等边三角形.15.已知△ ABC和^ ECD都是等腰直角三角形，/ACB=Z ECD = 90° .(1)若D为AB上一动点时(如图1),①求证：A ACD^A BCE.②试求线段AD , BD , DE间满足的数量关系.(2)当点D在^ABC内部时(如图2),延长AD交BE于点F.①求证：AF±BE.②连结BD,当^ BDE为等边三角形时，直接写出^ DCE与^ ABC的边长之比.1. (1)证明：方法一：AD平分Z BAC,BAD = Z CAD,在^ BAD和^ EAD中C AD=ADZBAD-ZEADI AB=AE. ABD^A AED (SAS)••• BD = ED, ZAED = Z B = 2Z C,. Z AED = Z C+ Z EDC,•••Z EDC = Z C,••• ED = EC,••• BD = EC,AC= AB+BD;(2) DC、CE、BE之间的数量关系是BE = DC+CE,B E证明：在EB上截取EF,使得EF = DC,连接AF,. EA= ED,•.•Z EAD = Z EDA,. .2 / DAE = Z AED = 180° ,. Z DAE+ Z B = 90. .2/ DAE+2/ B= 180° ,•.•Z AED = 2Z B=Z C,. Z BED = Z CDE+ Z DAE,•••Z AEB=Z CDE ,在^ AEF和^ EDC中页二DC，ZAEf=ZEDC.AE 二DE. AEF^A EDC (SAS),••• EC= AF/ AFE = Z C = 2/ B,. Z AFE = Z B+ Z BAF,•.•Z ABF = Z BAF ,BF = AF,BF = CE,. .BE= DC + CE.2.解：（1）如图1,过点D作DH ± BC,交BC延长线于点H,.•.AC= —AB= 2, BC=V^AC = 2显,•••△ ACD是等边三角形，.•.AC= CD = AD = 2, Z ACD = 60. .ZDCH = 180° —Z ACB - Z ACD = 30° ,••• DC = 2, DH ± CH , Z DCH = 30DH = 1,BCD的面积X BC X DH =—X 22(2)如图2,延长BA至H,使AH = AB,连接DH ,过点C作CN±AF于N,. Z ABC= 30° , Z F = 30° ,•••Z ABC=Z F, Z BAF = 120° ,••• AB= AF, Z HAF = 60° ,•••△ ACD是等边三角形，••• AD = AC, Z CAD = 60° =Z HAF,•••Z HAD = Z CAF,X /AF = AB = AH, AD = AC,. DAH^A CAF (SAS)••• DH = CF, / H=Z F= 30° ,. • AB= AH , BE = DE,••• AE=【DH , AE // DH ,2••• CF = 2AE, ZBAE=Z H = 30° ,•••Z EAF = 90° ,. Z AEC= 90° =Z EAF,••• AF // EC,•••Z ACE=Z CAN，且AC= AC, ZANC = Z AEC= 90 . AEC^A CNA (AAS)AN= EC,. • CN± AF, / F = 30° ,••• NF = VX N , CF = 2CN,••• AE= CN, . .NF =J^AE,. . AF= AN + NF = EC+^j AE .解：（1）过C 作CM ±x 轴于M 点，如图1,•••Z MAC + Z OAB = 90° , Z OAB+Z OBA = 90° 贝UZ MAC=Z OBA在^ MAC 和^ OBA 中，rZCNA=ZAOB=90QZMAC=Z0BA ，I AC=BA. MAC^A OBA （AAS ）CM = OA= 2, MA = OB = 4,.,•点C 的坐标为（-6, - 2）;(2)如图2,过D 作DQ ± OP 于Q 点,••• DQ ±OP, DE ±OE, Z POE = 90°四边形OEDQ 是矩形，. .OE= QD, DE = OQ,. .OP= PQ+OQ= DE + PQ,. ZAPO+ / QPD = 90° , Z APO+ / OAP = 90° , •• CM J_ OA, AC J_ AB,3.•.•Z QPD = Z OAP,在^ AOP和^ PDQ中，r ZADP=ZPOD=90Q* ZQPD^ZOAP ，.AP*D. .△ AOP^A PDQ (AAS),••• QP= AO= 2,••• OP - DE = 2;(3)结论②是正确的，m+n= - 4,理由如下：如图3,过点F分别作FS±x轴于S点，FT ±y轴于T点,••• FS= FT = 2, ZFHS=Z HFT=Z FGT,在^ FSH和^ FTG中，r ZFSH=ZFTG=90Q4 ZFHS^ZFGT ,.PS=FT. FSH^A FTG (AAS)GT= HS,又，.档(0, m), H (n, 0),点 F 坐标为(-2, - 2),OT— OS= 2, OG = |m|= - m, OH = n,GT= OG - OT= - m- 2, HS= OH + OS= n+2,- 2 - m = n+2 ,m+n= — 4.4.解：(1)探究一：••• △ BDC是等边三角形，. .BD= DC, ZBDC= 60° ,在^ ADB和^ ADC中，<AB=AC曲二AD，DB=ECLADB^A ADC (SSS,•••Z ADB = Z ADC,. Z ADB+ / ADC = 360° - 60° ,•••Z ADB = 150° ,故答案为：150° .(2)探究二：结论：CE = AD.理由：••• △ BDC、△ ABE都是等边三角形ABE=Z DBC = 60° , AB = BE, BD = DC .••• / ABE - / DBE = / DBC - / DBE•••Z ABD = Z EBC,在^ ABD和^ EBC中rAB=EB(BD=ftC. ABDf EBC (SAS).••• AD = CE.(3)探究三：ABD^A EBC,•••Z BDA=Z ECB = 150° ,. Z BCD = 60° ,•••Z DCE = 90° ,. Z DEC = 60° ,•••Z CDE = 30° ,. • DE = 2,由勾股定理得；，. Z BDE = 60° +30。
初三数学中考数学专题复习三角形
中考数学专题复习 三角形2013年10月22日伊智教育例1、角平分线的性质如图,将直角边AC=6cm,BC=8cm 的直角△ABC 纸片折叠,使点B 与点A 重合,折痕为DE, 则CD 等于( )(A)425 (B) 322 (C) 47(D) 35例2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点。
求证：MN ⊥DEC堂上练习1、如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90o ，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点。
MN 、AC 的位置关系如何？证明你的猜想。
D2、已知梯形ABCD 中，∠B+∠C ＝90o ，EF 是两底中点的连线，试说明AB －AD ＝2EFA(B) CDEFCB3、过矩形ABCD 对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC 分别交AB 、DC 于E 、F ，点G 为AE 的中点，若∠AOG ＝30o 求证：3OG=DCA4、如图所示；过矩形ABCD 的顶点A 作一直线，交BC 的延长线于点E ，F 是AE 的中点，连接FC 、FD 。
求证：∠FDA=∠FCBA例3、三角形（梯形）中位线(a)如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。
(PM ＝6)(b)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。
求证：MD ⊥MC 。
堂上练习1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。
2、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 。
3、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高为（ ） A 、4 cm B 、24cm C 、8cm D 、28cm4、如图，已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（ ） A 、20031 B 、20041 C 、200321 D 、2004215、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝300，∠C ＝600，E 、F 、M 、N 分别为AB 、CD 、BC 、DA 的中点，已知BC ＝7，MN ＝3，则EF ＝ 。
(word完整版)初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结,推荐文档
初中三角形总复习【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。
4.S S ABE ∆⋅ 基础。
5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解析】例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B分析：因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B 又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角，()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。
例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。
解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C例3. 如图，已知：在∆ABC 中，AB AC ≤12，求证：∠∠C B <12。
2019年中考数学专题复习资料--全等三角形含答案(共11页).docx
全等三角形1已知：AB=4, AC=2, D 是BC 中点，AD 是整数，求AD3 已知：Z1=Z2, CD=DE, EF//AB,求证：EF=AC4 已知：AD 平分ZBAC, AC=AB+BD,求证：ZB=2ZC5 已知：AC 平分ZBAD, CE 丄AB, ZB+ZD=180° ,求证：AE=AD+BEZC=ZD, F 是 CD 中点，求证：Z1=Z22 已知：BC=DE, ZB=ZE,6如图，四边形ABCD中，AB〃DC, BE、CE分别平分ZABC、ZBCD,且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
7 已知：AB=CD, ZA=ZD,求证：ZB=ZC&P 是ZBAC 平分线AD 上一点，AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB9 已知，E 是AB 中点，AF=BD, BD=5, AC=7,求DC13已知：如BD1AC ,分别为D、E, BD、CE相交于点F。
求证：BE=CD. 图，AB=AC, CEXAB,垂足10.如图，已知AD/7BC, ZPAB的平分线与ZCBA的平分线相交于E, CE的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB. 11如图，AABC中，AD是ZCAB的平分线，且AB=AC+CD,求证：ZC=2ZB12 如图：AE、BC 交于点M, F 点在AM 上，BE/7CF, BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
14 在AABC 中，ZACB = 90°, AC = BC ,直线MV 经过点C ,且AD 丄MZV 于D , BE L MN 于E . (1) 当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ^ADC竺ACEB；② DE = AD + BE ；(2)当直线MV绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明; 若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE丄AB, AF丄AC, AE=AB, AF=AC。
求证:16.如图，已知AC〃BD, EA、EB分别平分ZCAB和ZE,则AB与AC+BD相等吗？请说明理由DBA, CD过点(1) EC=BF； (2) EC丄BFB C17.如图9所示，AABC是等腰直角三角形，ZACB=90° , AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：ZADC=ZBDE.图9全等三角形证明经典（答案）1. 延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数，则AD=52证明：连接BF和EF。
初三数学总复习三角形(一)
初三数学总复习三角形（一）初三数学总复习教案(六)三角形(一)一.知识要点1.三角形ⅰ)三角形的角平分线.中线.高线为三种重要线段,理解①三角形有关概念及性质其性质并会画出内心.外心.垂心.重心ⅱ)三角形三边关系:任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边a.内角和180__730;ⅲ)三角形中角的关系 b.外角等于与它不相邻两内角和c.外角大于任一不相邻内角iv)面积公式按边分不等边三角形等腰三角形只有两边相等三边都相等(等边三角形)②三角形的分类掌握其判定.性质锐角三角形斜角三角形按角分钝角三角形直角三角形 a.合30__730;角直角三角形性质b.直角三角形斜边上中线性质c.勾股(逆)定理③全等三角形ⅰ)了解全等有关概念.性质以定义ⅱ)熟练掌握全等三角形的判定方法 SASASAAAS (AAS)SSSHL(只用于Rt__8710;)ⅲ)熟练掌握全等三角形的性质:对应角等,对应线段(边.角平分线.中线.高)相等ⅳ)命题.定理.逆命题.逆定理有关概念2.基本作图(尺规作图)二. 例题分析例1. 在__8710;ABC中,BC=2 AC=7 周长为奇数,求AB的长.分析:由三角形任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,可求出AB的范围,再求周长为奇数可确定AB的值.解:∵BC=2AC=7∴7-2＜AB＜7+2 即5＜AB＜9 ∴AB=6.7.8又∵周长为奇数∴AB+ BC+ AC= AB+2+7= AB+9为奇数∴AB=6或8题后反思:利用三角形三边关系可以解决的问题①任意给出的三条线段能否构成三角形;②利用勾股逆定理,判定是否为Rt__8710;;③已知两边,可求出第三边的取值范围,再利用其它条件,可确定第三边的取值.例2.在__8710;ABC 中,∠A=50__730;(1)如图(1) __8710;ABC的两条高BD.CE交于O点,求∠BOC的度数(2)如图(2) __8710;ABC的两条角平分线交于P,求∠BPC的度数AAENMDPO12B12 C BC(1)(2)分析:(1)题中,由高可知有直角,由直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可求得∠BOC,亦可用四边形内角和去求.(2)题中,由角平分线定义及三角形内角和定理可求得∠BPC解:(1)法一:∵BD为__8710;ABC的高∴∠BDC=90__730;∴∠1=90__730;-∠B CA 同理∠2=90__730;-∠ABC∵∠ABC+AC=180__730;-50__730;=130__730;∴∠BOC=180__730;-(∠1+∠2)=180__730;-(90__730;-∠ABC+90__730;-∠ACB)=180__730;-180__730;+∠ABC+∠ACB=130__730;方法二∵BD︰CE为△ABC的高∴∠BDA=∠CEA=90__730;∵∠A=50__730;∴在四边形AEOD中∠DOE＝360__730;－(90__730;+90__730;+50__730;)＝130__730;∴∠BOC＝∠DOE＝130(2)∵BM CN分别为△ABC的角平分线∴∠1＝∠ABC∠2=∠ACB∵∠A=50__730;∴∠ABC+∠ACB=180__730;-50__730;=130__730;∴∠BPC=180__730;-(∠1+∠2)=180__730;-(∠ABC+∠ACB)=180__730;-(∠ABC+∠ACB)=180__730;-_130__730;=115__730;题后反思:凡是求角度的题,一般都离不开三角形(多边形)内角和定理及,设法利用这些去推出等量关系.题中应设及到高线,别忘了两锐角互余,遇到角平分线要合理利用其倍分关系.例3.如图△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD＝AC求∠B︰∠C的值ABDC分析:欲求∠B︰∠C的值,直接支求显然不易,我们可以从AB+BD＝AC的突,破点线段的和问题,往往用截长法,或补短法解决通过截长或补短可得到等量线段,再利用等边对等角去处理此问题.解法一:(截长法):在AC上截取AE＝AB连接DE∵AD平分∠BAC∴∠1＝∠2在△ABD和△AED中AAB＝AE∠1＝∠21 2AD＝AD4∴△ABD≌△AED(SAS)∴BD＝DE ∠4＝∠BB3C∵AC＝AB+BD 且AE＝ABD∴EC＝BD∴DE＝EC∴∠3＝∠C∴∠4＝∠3＋∠C＝2∠C∴∠B＝2∠C∴∠B︰∠C＝2︰1解法二:(补短法)延长AB经E,使BE＝BD,连接DE∴∠E＝∠3∵AC＝AB+BD∵AC＝AB＋BE＝AE A∵AC平分∠BAC∵∠1＝∠21 2在△ADE和△ADC中AE＝ACBC∠1＝∠23 DAD＝AD∴△ADE≌△ADC(SAS)∴∠E＝∠C∵∠ABC＝∠E＋∠3＝2∠E E∵∠ABC＝2∠E∴∠B︰∠C＝2︰1题后反思:此题实际上代表一类题,在利用(或证明)诸如一条线段a等于两线段b.c 和对(或a-b=c可能a为a=b+c)通常采用上述两种方法:所增截长法,就是在线段a 上截取一段等于b(或c)然后证明余下的一段等于c(或b);所谓补短法,就是延长线段b(或c使延长部分等于c(或b),再证明它们的和等于a.此题应改为‘在△ABC 中,AD平分∠BAC且∠B︰∠C＝2︰1.求证AB+BD＝AC.’证明基本相似,同学们不妨试一试.课堂练习:1.已知:如图,AB.CD相交于点O,AC∥DB,OC=OD,E.F为AB上两点,且AE=BF,求证:CE=DF2.已知:如图,AB=AC,AD=AE,AB.DC相交于点M,AC.BE相交于点N,∠DAB=∠EAC求证:AM=AN3.如图,在△ABC中,两外角的平分线BD.CD相交于D,求证:AD平分∠BAC.。
【分层训练】中考数学总复习解直角三角形.docx
第5讲 解直角三角形一级训练41. 已知 RtZUBC 中，ZC=90°, tanJ=^, BC=8,则 AC=( )2. （2012年山东青海）如图6-5-11,在RtAJ^C 中，CD 是斜边MB 上的中线,已知CD=3. （2011年湖南衡阳）如图6-5-12,河堤横断面迎水坡的坡比是1 ：迈，堤高BC=5m,则坡面的长度是（）A. 10 mB. 10 mC. 15 mD. 5 y[3 m 4. （2012年山东济南）如图6-5-13,在8X4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若 △MC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tanZACB 的值为（）11 ，返 r A.§ B ，2 C. 2 D ・ 35. 把AMC 三边的长度都扩人为原來的3倍，则锐角力的正弦函数值（）A.不变B.缩小为原来的*C.扩人为原来的3倍D.不能确定6. （2011 年重庆江津）在 RtAJBC 中，ZC=90。
，BC=5, AB=\2, sinA= __________ .7. （2012年江苏常州）若Za = 60°,则的余角为 _________ , cosa 的值为 _______ .8. （2011年湖北襄阳）在207国道襄阳段改造工程屮，需沿川C 方向开山修路（如图6-5-14）, 为了加快施工速度，需要在小山的另一边同时施工.从/C 上的一点B 収Z^Z ）=140°, BD=\ 000 m, ZD=50°.为了使开挖点E 在直线JC±,那么DE= _______________ m （供选用的三角函数值:sin50°^0.766 0, cos50°^0.642 8, tan50°^ 1.192）.A. 6C. 10D. 125, JC=6,贝iJtanB 的值是(4 _ 3 4D -3图6-5-1132 图 6 —5—13 D M B N B9. （2011年内蒙古乌兰察布）某厂家新开发的一种电动车如图6-5-15,它的大灯/射出的光 线仙,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8。
历年初三数学总复习三角形
总复习三角形〖考试内容〗三角形，三角形的角平分线、中线和高.三角形中位线.全等三角形，三角形全等的条件.等腰三角形的条件及性质，等边三角形的性质，直角三角形的条件及性质.勾股定理，勾股定理的逆定理.〖考试要求〗①了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性.②掌握三角形中位线的性质.③了解全等三角形的概念，掌握两个三角形全等的条件.④了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关概念，掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质，掌握一个三角形是等腰三角形、直角三角形的条件.⑤掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.〖考点复习〗1．三角形的内角和定理及推论 [例1] 已知：如图, D 是BC 上一点, ∠C ＝62°, ∠CAD＝32°,则 ∠AD B ＝ 度.2．三角形三边关系[例2]以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ） A 、4cm 、5cm 、6cm B 、2cm 、3cm 、5cm C 、4cm 、4cm 、9cm D 、12cm 、5cm 、6cm3．全等三角形[例3] 如图，已知△ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（ ） A 、甲和乙 B 、乙和丙 C 、只有乙D 、只有丙 [例4] 如图，若△ABC ≌△DEF ，则∠E 等于（ ）A ．30°B ． 50°C ．60°D ．100°[例5]已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，PC ＝PD 。
请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明。
所加条件为＿＿＿＿＿，你得到的一对全等三角形是△＿＿＿≌△＿＿＿。
4．等腰三角形[例6] 如图，等腰三角形ABC 的顶角为120º，腰长为10，则底边上的高AD ＝＿＿＿＿。
中考数学总复习(三角形)
中考总复习数学三角形1．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为△ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得CE ＝DC ．（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF ＝BC ，连接AF ，EF ．若AF ⊥EF ，求证：BD ⊥AF ；（2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2．若AB 2＝AE 2+BD 2，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．2．已知ABC DEC ∆≅∆，AB AC =，AB BC >．（1）如图1，CB 平分ACD ∠，求证：四边形ABDC 是菱形；（2）如图2，将（1）中的CDE ∆绕点C 逆时针旋转（旋转角小于)BAC ∠，BC ，DE 的延长线相交于点F ，用等式表示ACE ∠与EFC ∠之间的数量关系，并证明； （3）如图3，将（1）中的CDE ∆绕点C 顺时针旋转（旋转角小于)ABC ∠，若BAD BCD ∠=∠，求ADB ∠的度数．3．如图1，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，60C ∠=︒，点D 在BC 边上由点C 向点B 运动（不与点B 、C 重合），过点D 作DE AD ⊥，交射线AB 于点E ．（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE 与BE 的数量关系，并说明理由； ①点E 在线段AB 的延长线上且BE BD =； ②点E 在线段AB 上且EB ED =． （2）若6AB =． ①当3DE AD =时，求AE 的长； ②直接写出运动过程中线段AE 长度的最小值．4．综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”5．【特例感知】（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA 上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是；②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．6．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD ＝CE；（2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E 在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．7．如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO 于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为；（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．①求m值最大时点D的坐标；②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当EQ⊥AD时，求t的值；（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．9．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC 上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．10．【问题呈现】如图1，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接BD ，CE ．求证：BD ＝CE ． 【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°．连接BD ，CE ．请直接写出的值．【拓展提升】如图3，△ABC 和△ADE 都是直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，且＝＝．连接BD ，CE ． （1）求的值；（2）延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ．求sin ∠BFC 的值．11．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限．设． （Ⅰ）如图①，当时，求的大小和点的坐标；（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，，分别与边相交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为的值可以是.（请直接写出两个不同的值即可）．12．【基础巩固】 （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：． 【尝试应用】OABC (0,0)O (3,0)A (0,6)C P OC P O C P x Q 30OPQ ∠=︒O O 'OQ t =1t =O QA ∠'O 'O Q 'O P 'AB E F t O E 't 33t ABC ∆D E F AB AC BC //DE BC BF CF =AF DE G DG EG =（2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求的值．【拓展提高】 （3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点．若，平分，，求的长．13．如图，在锐角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D ，E 分别是边AB ，AC 上一动点，连接BE 交直线CD 于点F ．（1）如图1，若AB AC >，且BD CE =，BCD CBE ∠=∠，求CFE ∠的度数；（2）如图2，若AB AC =，且BD AE =，在平面内将线段AC 绕点C 顺时针方向旋转60︒得到线段CM ，连接MF ，点N 是MF 的中点，连接CN ．在点D ，E 运动过程中，猜想线段BF ，CF ，CN 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB AC =，且BD AE =，将ABC ∆沿直线AB 翻折至ABC ∆所在平面内得到ABP ∆，点H 是AP 的中点，点K 是线段PF 上一点，将PHK ∆沿直线HK 翻折至PHK ∆所在平面内得到QHK ∆，连接PQ ．在点D ，E 运动过程中，当线段PF 取得最小值，且QK PF ⊥时，请直接写出PQBC的值．CD CG CG DE ⊥6CD =3AE =DE BCABCD 45ADC ∠=︒AC BD O E AO//EG BD AD G EF EG ⊥BC F 40EGF ∠=︒FG EFC ∠10FG =BF冠市联合学校2022-2023学年中考总复习数学三角形参考答案1【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．2【解答】（1）证明：ABC DEC∆≅∆，AC DC∴=，=，AB AC=，∴∠=∠，AB DCABC ACB∠，CB平分ACD∴∠=∠，DCB ACB∴∠=∠，ABC DCB∴，AB CD//∴四边形ABDC为平行四边形，=，AB AC∴平行四边形ABDC为菱形；（2）解：180∠+∠=︒，ACE EFC理由如下：ABC DEC∆≅∆，ABC DEC ∴∠=∠， ACB DEC ∴∠=∠，180ACB ACF DEC CEF ∠+∠=∠+∠=︒， CEF ACF ∴∠=∠，180CEF ECF EFC ∠+∠+∠=︒， 180ACF ECF EFC ∴∠+∠+∠=︒， 180ACE EFC ∴∠+∠=︒；（3）解：如图3，在AD 上取点M ，使AM BC =，连接BM ， 在AMB ∆和CBD ∆中， AM BC BAM DCB AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMB CBD SAS ∴∆≅∆，BM BD ∴=，ABM CDB ∠=∠， BMD BDM ∴∠=∠，BMD BAD MBA ∠=∠+∠， ADB BCD BDC ∴∠=∠+∠，设BCD BAD α∠=∠=，BDC β∠=，则ADB αβ∠=+， CA CD =，2CAD CDA αβ∴∠=∠=+， 2BAC CAD BAD β∴∠=∠-∠=，1(1802)902ACB ββ∴∠=⨯︒-=︒-，90ACD βα∴∠=︒-+，180ACD CAD CDA ∠+∠+∠=︒，9022180βααβαβ∴︒-+++++=︒， 30αβ∴+=︒，即30ADB ∠=︒．3【解答】解：（1）①2AE BE =，理由如下：DE AD ⊥，90AED EAD ADE BDE BDA ∴∠+∠=︒=∠=∠+∠，BE BD =， AED BDE ∴∠=∠，EAD BDA ∴∠=∠， AB BD ∴=， BE BD AB ∴==， 2AE BE ∴=；②2AE EB =，理由如下：如图：90BAC∠=︒，60C∠=︒，30B∴∠=︒，EB ED=，30EDB B∴∠=∠=︒，60AED EDB B∴∠=∠+∠=︒，DE AD⊥，90EDA∴∠=︒，30EAD∠=︒，2AE ED∴=，2AE EB∴=；（2）①过D作DF AB⊥于F，如图：FAD DAE∠=∠，90AFD ADE∠=︒=∠，AFD ADE∴∆∆∽，∴AF DFAD DE=，即DE DFAD AF=，3DEAD=∴3DFAF=，设3DF m=，则2AF m=，在Rt BDF∆中，33BF DF m=，6AB=，6BF AF∴+=，即326m m+=，65m∴=，125AF ∴=，63DF =，2267AD AF DF ∴=+， AFD ADE ∆∆∽，∴AF ADAD AE =12675567AE =， 215AE ∴=； ②作AE 的中点G ，连接DG ，如图：90ADE ∠=︒，DG 是斜边上的中线， 2AE DG ∴=，DG AG EG ==，当AE 最小时，DG 最小，此时DG BC ⊥， 30B ∠=︒， 2BG DG ∴=， 2AE DG BG ∴==， BE AG ∴=， AG EG BE ∴==，∴此时243AE AB ==， 答：线段AE 长度的最小值为4， 法2:过A 做AG BC ⊥于G ，过E 做EH BC ⊥于H ，如图：90ADE ∠=︒，90EDH ADG DAG ∴∠=︒-∠=∠，90EHD AGD ∠=∠=︒，∴AG DGDH EH=， AG EH DH DG ∴⋅=⋅， 90BAC ∠=︒，60C ∠=︒， 30B ∴∠=︒，132AG AB ∴==，11(6)22EH BE AE ==-， 3DH DG EH ∴⋅=，22222222229AE AD DE AG DG DH EH DG DH EH ∴=+=+++=+++，222DG DH DH DG +⋅，2292AE DH DG EH ∴+⋅+，即2296AE EH EH ++，22(3)AE EH ∴+， 0AE >，0EH >，3AE EH ∴+，1(6)2EH AE =-，13(6)2AE AE ∴+-，4AE ∴．答：线段AE 长度的最小值为4，4【解答】（1）证明：如图1中，∵∠ADC ＝∠ACB ，∴∠B +∠DCB ＝∠DCB +∠ACD ， ∴∠ACD ＝∠B ；（2）解：结论：BH ＝EF ．理由：如图2中，在CB 上取一点T ，使得GH ＝CT ．在△BGH和△DCT中，，∴△BGH≌△DCT（SAS），∴BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，∵∠CDT+∠FDT＝180°，∴∠GBH+∠FDT＝180°，∴∠BFD+∠BTD＝180°，∵∠CFE+∠BFD＝180°，∴∠CFE＝∠BTD，在△CEF和△BDT中，，∴△CEF≌△BDT（AAS），∴EF＝DT，∴EF＝BH；（3）解：如图3中，过点E作EM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，过点F作FQ⊥BC于点Q．∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∵AC＝2，AB＝4，∴AD＝1，BD＝CE＝3，∴AE＝1，BE＝＝＝，∵∠CAB＝90°，∴BC＝＝＝2，∵S△CEB＝•CE•BA＝•EM•CB．∴EM＝，∴CM＝＝＝，∴BM＝BC﹣CM＝2﹣＝，∵S△BCD+S△ADC＝S△ACB，∴×2×DN+×1×2＝×2×4，∴DN＝，BN＝，CN＝CB﹣BN＝2﹣＝，设BF＝k，∵FQ∥EM，∴＝＝，∴＝＝，∴BQ＝k，FQ＝k，∵DN∥FQ，∴＝，∴＝，∴CQ＝k，∵BQ+CQ＝2，∴k+k＝2，∴k＝，∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝，∴BH＝EF＝．5【解答】解：（1）AD＝BC．理由如下：如图1，∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OA＝OB，OD＝OC，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC，故答案为：AD＝BC；（2）AD＝BC仍然成立.证明：如图2，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOC＝∠AOC+∠COD＝90°+α，即∠BOC＝∠AOD，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC；（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，∴BT＝AB，BD＝BC，∠ABT＝∠CBD＝45°，∴＝＝，∠ABC＝∠TBD，∴△ABC∽△TBD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝3，∵AT＝AB＝8，DT＝3，∴点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，∴当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3，故答案为：8+3；②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作TH⊥AD于点H，∵＝＝cos30°＝，∠ABC＝∠TBD＝30°+∠TBC，∴△BAC∽△BTD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝，在Rt△ABT中，AT＝AB•sin∠ABT＝8sin30°＝4，∵∠BAT＝90°﹣30°＝60°，∴∠TAH＝∠BAT﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，∵TH⊥AD，∴TH＝AT•sin∠TAH＝4sin30°＝2，AH＝AT•cos∠TAH＝4cos30°＝2，在Rt△DTH中，DH＝＝＝，∴AD＝AH+DH＝2+．6【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：如图：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴DE＝2CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．7【解答】解：（1）∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，当点P在线段AB上时，AD＝OD，∴∠DAO＝∠AOD＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，∵AC⊥y轴，∴∠CAO＝∠AOB＝60°，∴∠CAD＝∠ACO﹣∠DAO＝60°﹣30°＝30°，在Rt△AOC中，AC＝OC•tan∠AOC＝＝1，OA＝2AC＝2，在Rt△ACD中，AD＝＝，∴DO＝，∴D（0，），当点P在BA的延长线上时，OD＝OA＝2，∴D（0，2），故答案为：（0，）或（0，2）；（2）①设OD＝x，则CD＝﹣x，∵∠ACD＝∠DOM＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵DM⊥AD，∴∠ADM＝90°，∴∠ADC+∠ODM＝90°，∴∠CAD＝∠ODM，∴△ACD∽△DOM，∴，∴＝，∴m＝x•（）＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，m最大＝，∴当m最大＝时，D（0，）；②如图，假设存在m，使BE＝BF，作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H，∵BE＝BF，∴GE＝GF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝OB，∴AG＝OG，∴AG﹣GE＝OG﹣GF，即：AE＝OF，由①知：m＝x，∵∠ACD＝∠CDQ＝∠AQD＝90du3，∴四边形ACDQ是矩形，∴AQ＝CD＝﹣x，在Rt△AEQ中，AE＝＝＝，∴OF＝AE＝，在Rt△OFH中，HF＝＝，OH＝OF＝﹣x，∴DH＝OD﹣OH＝x﹣（﹣x），∵HF∥OM，∴△DHF∽△DOM，∴，，∴＝，∴x＝，∴m＝＝2﹣＝．8【解答】解：（1）如图：在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，∴AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，∵EQ⊥AD，∴∠AQE＝∠AED＝90°，∵∠EAQ＝∠DAE，∴△AQE∽△AED，∴＝，即＝，∴AQ＝，∴t＝＝；答：t的值为；（2）过P作PN⊥BC于N，过C作CM⊥AD于M，如图：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAM＝90°，∵∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝∠CAM，∵∠ACB＝90°＝∠AMC，∴△ABC∽△CAM，∴＝，即＝，∴CM＝，∴S△ACD＝AD•CM＝×5×＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+8＝14，∵∠PBN＝∠ABC，∠PNB＝90°＝∠ACB，∴△PBN∽△ABC，∴＝，即＝，∴PN＝t，∴S△BCP＝BC•PN＝×3×t＝t，∴S＝S四边形ABCD﹣S△BCP﹣S△APQ＝14﹣t﹣（5﹣t）•t＝t2﹣t+14；答：S与t之间的函数关系式是S＝t2﹣t+14；（3）存在某一时刻t，使PQ∥CD，理由如下：过C作CM⊥AD于M，如图：由（2）知CM＝，∴AM＝＝＝，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣＝，∵PQ∥CD，∴∠AQP＝∠MDC，∵∠P AQ＝∠CMD＝90°，∴△APQ∽△MCD，∴＝，即＝，解得t＝，答：存在时刻t＝，使PQ∥CD．9【解答】解：（1）线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：∵AM＝AC﹣CM＝4﹣a，BN＝4﹣b，∴AE＝，BE＝，∴AE2+BF2＝2（4﹣a）2+2（4﹣b）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），＝4，∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝[4﹣（4﹣a）﹣（4﹣b）]，∵ab＝8，EF2＝2（a+b﹣4）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+16+2ab）＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），∴AE2+BF2＝EF2，∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；（2）①如图1，连接PC交EF于G，∵a＝b，∴ME＝AM＝BN＝NF，∵四边形CNPM是矩形，∴矩形CNPM是正方形，∴PC平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠PEG＝90°，∵CM＝CN＝PM＝PN，∴PE＝PF，∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2＝AE2+BF2，EF2＝PE2+PF2，∴PE＝AE＝PF＝BF，∴ME＝EG＝FG＝FN，∴∠MCE＝∠GCE，∠NCF＝∠GCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECG+∠FCG＝；②如图2，仍然成立，理由如下：将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，∴∠DAC＝∠B＝45°，AD＝BF，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAB＝90°，∴DE2＝AD2+AE2＝BF2+AE2∵EF2＝BF2+AE2，∴DE＝EF，∵CD＝CF，CE＝CE，∴△DCF≌△FCE（SSS），∴∠ECF＝∠DCF＝．10【解答】【问题呈现】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；【类比探究】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴＝＝；【拓展提升】解：（1）∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴＝＝；（2）由（1）得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin ∠BFC ＝＝．11【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点作于点．在中，，，由翻折的性质可知，， ，，， ， ；（Ⅱ）如图②中，，，， ．，，，；O 'O H OA '⊥H Rt POQ ∆30OPQ ∠=︒60PQO ∴∠=︒1QO QO ='=60PQO PQO ∠=∠'=︒180606060O QH ∴∠'=︒-︒-︒=︒1cos602QH QO ∴='⋅︒=33O H QH '=32OH OQ QH ∴=+=3(2O ∴'3)(3,0)A 3OA ∴=OQ t =3AQ t ∴=-60EQA ∠=︒262QE QA t ∴==-OQ OQ t '==(62)36(23)EO t t t t ∴'=--=-<<（Ⅲ）如图③中，当点与重合时，重叠部分是，过点作于点．在中，，，， ，，， 观察图象可知当时，重叠部分的面积是定值满足条件的的值可以为3或（答案不唯一）． 故答案为：3或． 12【解答】（1）证明：，，，，， ， ，； （2）解：，，， ，，； （3）解：延长交于，连接，过点作于， 四边形为平行四边形，，，，，，，在中，，，平分， ， Q A APF ∆P PG AB ⊥G Rt PGF ∆3PG OA ==60PFG ∠=︒23sin 60PG PF ∴==︒30OPA APF PAF ∠=∠=∠=︒23FP FA ∴==112333322APF S AF PG ∆∴=⋅⋅=⨯=323t <33∴t 103103//DE BC AGD AFB ∴∆∆∽AFC AGE ∆∆∽∴DG AG BF AF =GE AG FC AF=∴DG GE BF FC=BF CF =DG EG ∴=DG EG =CG DE ⊥6CE CD ∴==//DE BC ADE ABC ∴∆∆∽∴31363DE AE BC AC ===+GE AB M MF M MN BC ⊥N ABCD OB OD ∴=45ABC ADC ∠=∠=︒//MG BD ME GE ∴=EF EG ⊥10FM FG ∴==Rt GEF ∆40EGF ∠=︒904050EFG ∴∠=︒-︒=︒FG EFC ∠50GFC EFG ∴∠=∠=︒，，，，， ，，，．13【解答】解：（1）如图1中，在射线CD 上取一点K ，使得CK BE =， 在BCE ∆和CBK ∆中，BC CB BCK CBE BE CK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CBK SAS ∴∆≅∆，BK CE ∴=，BEC BKD ∠=∠， CE BD =，BD BK ∴=，BKD BDK ADC CEB ∴∠=∠=∠=∠， 180BEC AEF ∠+∠=︒，180ADF AEF ∴∠+∠=︒，180A EFD ∴∠+∠=︒，60A ∠=︒，120EFD ∴∠=︒，18012060CFE ∴∠=︒-︒=︒；（2）结论：2BF CF CN +=． 理由：如图2中，AB AC =，60A ∠=︒， ABC ∴∆是等边三角形，AB CB ∴=，60A CBD ∠=∠=︒， AE BD =，()ABE BCD SAS ∴∆≅∆，BCF ABE ∴∠=∠，60FBC BCF ∴∠+∠=︒，120BFC ∴∠=︒，FM FG =EF GM ⊥50MFE EFG ∴∠=∠=︒30MFN ∴∠=︒152MN MF ∴==2253NF MF MN ∴=-=45ABC ∠=︒5BN MN ∴==553BF BN NF ∴=+=+如图21-中，延长CN 到Q ，使得NQ CN =，连接FQ ，NM NF =，CNM FNQ ∠=∠，CN NQ =，()CNM QNF SAS ∴∆≅∆，FQ CM BC ∴==，延长CF 到P ，使得PF BF =，则PBF ∆是等边三角形， 120PBC PCB PCB FCM ∴∠+∠=∠+∠=︒， PFQ FCM PBC ∴∠=∠=∠，PB PF =，()PFQ PBC SAS ∴∆≅∆，PQ PC ∴=，60CPB QPF ∠=∠=︒， PCQ ∴∆是等边三角形，2BF CF PC QC CN ∴+===．（3）由（2）可知120BFC ∠=︒， ∴点F 的运动轨迹为红色圆弧（如图31-中）， P ∴，F ，O 三点共线时，PF 的值最小， 此时tan 3AO APK AP ∠= 45HPK ∴∠>︒，QK PF ⊥，45PKH QKH ∴∠=∠=︒，如图32-中，过点H 作HL PK ⊥于点L ，设PQ 交KH 题意点J ，设2HL LK ==，3PL =，7PH 22KH =112PHK S PK HL KH PJ ∆=⋅⋅=⋅⋅， 2(23)2222622PQ PJ +∴===∴2262144227PQ BC ++=。
中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练(全国通用)：专题17 三角形基础(原卷版)
专题17三角形基础【专题目录】技巧1：三角形三边关系的巧用技巧2：三角形的三种重要线段技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【题型】一、三角形的分类【题型】二、构成三角形三边的条件【题型】三、确定三角形第三边的取值范围【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题【题型】五、与三角形重心有关的计算【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算【考纲要求】1、了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系．2、理解三角形内角和定理及推论．3、理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．【考点总结】一、三角形的概念【考点总结】二、三角形中的重要线段和有关的角角形的概念三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
三角形三边的关系（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a ，b ，c ，则a ＋b ＞c 或c －b ＜a 。
（2）已知三角形两边的长度分别为a ，b ，求第三边长度的范围：|a －b|＜c ＜a ＋b三角形中的重要线段和有关的角三角形的高概念从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
三角形的中线概念在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
三角形的角平分线概念三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
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第2讲三角形
第1课时三角形
一级训练
1.己知在ZVIBC 屮，若ZA=70°-ZB,则ZC=(
) 图4一2—14 3.
己知如图4一2—15的两个三角形全等，则a 的度数是（）
A. 72°
B. 60°
C. 58°
D. 50°
4.(2011年湖南怀化)如图4-2-16, Z4, Zl, Z2的人小关系是(
)A. ZA>Z1>Z2 B. Z2>Z\>ZA C? D?
5.（2011年江西）如图 4 — 2—17,下列条件中，不能证明厶
ABD^/\ACD 的是（）A. BD=DC, AB=AC B. ZADB=ZADC, ZBAD=ZCAD
C. ZB=ZC, ZBAD=ZCAD
D. ZB=ZC, BD=DC
6.（2011年上海）下列命题中，是真命题的是（）
A.周长相等的锐角三角形都全等
B.周长和等的直角三角形都全等
C.周长相等的钝角三角形都全等
D.周长相等的等腰胃角三角形都全等7.（2012年山东德州）不一?定在三角形内-部的线段是（）A. 35° B. 70° C. 110° D. 140°2.如图4一2—14, 在厶ABC 中,ZA=70°, ZB=60°,点D 在BC 的延长线上,贝lJZACD=
()
A. 100°
B. 120°图4一2—15
D. 150°
图4_2— 17。