高等土力学-土的本构关系
土力学第3章- 土的本构关系
（5） （6）
求a: 将公式（1）式 1 3
a b a
a
求导，切线模量Et为：
Et
1 3 a a a b a 2
（7）
令εa＝0，则原点的切线模量，即初始切线模量为：
Ei
R
1 a
1
（8） 代入（1）、（7）式（消去a、b)，
( 1 3 ) ult
1 b
（4）
若土样破坏时的偏应力（即强度）为（σ1－σ3）f，令Rf等于破坏时的偏应 力与极限值之比，称为破坏比：
Rf
Rf （4）式代入（5）式得（消去偏应力极限值）：b 1 3 f
1 3 f 1 3 ult
2.八面体应力与应变的计算公式
可导出：
八面体法向应力
八面体剪应力
0 ( 1 2 3 ) ( x y z )
0
1 3 1 3
1 3
1 3
1 3 2 2 3 2 3 1 2
2 2 2 x
1 3
a
a b a
（ 2）
3.非线形弹性模型
1 3 a
a b a
应力－应变双曲线函数 公式（1）还可以改成：
双曲线函数坐标变换
1 3
1 a
（3）
a
b
1 3
1 a
a
通过求a、b得到弹性模量E. 求b:
b
当轴向应变εa→∞时，偏应力趋向一极限值（σ1-σ3）ult
对于加工硬化材料，屈服应力是随着荷载的提高与变形的增大而提高的。 屈服面不同于破坏面，它不是一个固定的面,图中由A点提高到B点。
土的本构关系名词解释
土的本构关系名词解释土是地球上最基础和重要的自然资源之一，它对于人类的生存和发展具有至关重要的作用。
然而，对于大多数人来说，土的本构关系可能并不是一个常见的名词。
本文将对土的本构关系进行解释，旨在帮助读者更好地理解土壤的组成和作用。
1. 土的本构关系是什么？土的本构关系指的是土壤的物理、化学和生物学特性之间的相互作用和关联。
它涉及到土壤的组成成分、粒度、结构、含水量、通气性、肥力等方面的因素，以及它们之间的相互关系和相互影响。
通俗地说，土的本构关系是描述土壤性质和性能的体系，从而揭示土壤的内在机制和功能。
2. 土的物理特性与本构关系土的物理特性是指土壤的颗粒大小、颗粒形状、孔隙度和结构等方面。
这些特性直接影响土壤的水分保持能力、通气性和根系生长等关键指标。
例如，较细小的土壤颗粒和更亲密的结构可以增加土壤的保水性，使得植物根系能够更好地吸收水分和养分。
而较大的颗粒和疏松的结构则有利于土壤的透气性和根系伸展。
3. 土的化学特性与本构关系土的化学特性包括土壤的酸碱度、有机质含量、养分含量等。
这些特性对于植物的生长和土壤的肥力至关重要。
例如，适度的酸碱度可以调节土壤中的养分离子的释放和吸附，提供适宜的环境条件供植物吸收养分。
高含量的有机质可以增加土壤的保水性和养分保持能力，改善土壤结构，促进微生物活动和有利细菌的繁殖。
4. 土的生物学特性与本构关系土的生物学特性包括土壤中的微生物、植物和动物等生物体的存在和活动。
这些生物体对土壤的形成和演化具有重要影响。
它们通过分解有机物、供应养分、改善土壤结构等作用，促进土壤的发育和增加土壤的肥力。
同时，它们还与土壤中的非生物因素相互作用，形成复杂的土壤生态系统。
5. 土的本构关系的意义和应用土的本构关系的研究对于合理利用土壤资源和实现可持续发展具有重要意义。
了解土的本构关系可以帮助农民和农业专家制定合理的土壤管理措施，提高土壤的肥力和农作物的产量。
在城市规划和环境保护领域，对土的本构关系的理解也能够指导土地利用和生态恢复，保护土壤资源和生态环境。
名词解释 土的本构关系
名词解释土的本构关系土的本构关系是土壤力学领域中广泛被研究的一个重要概念，它描述了土壤的物理和力学性质之间的关联。
在土壤工程和地基工程中，了解土的本构关系对于分析和设计土体的性能至关重要。
本文将探讨土的本构关系的定义、影响因素以及应用。
1. 概念解释土的本构关系指的是土壤的应力应变关系，即土壤在受到不同应力作用下的变形和应力响应的规律。
它研究土壤的变形特性对外力作用的响应，通过建立应力与变形之间的关系来描述土体的力学行为。
2. 影响因素土的本构关系受多种因素的影响，包括土壤类型、粒径分布、含水量、应力路径等。
这些因素对土壤的物理和化学性质产生影响，从而影响土的力学行为和本构关系。
2.1 土壤类型不同类型的土壤具有不同的本构特性。
粘性土主要由黏土颗粒组成，其本构关系常表现为塑性变形，即变形与剪切应力呈非线性关系；而砂土和砾石土则常表现为弹性变形，变形与剪切应力近似线性关系。
2.2 粒径分布土壤的粒径分布对其本构关系也有重要影响。
粒径分布越均匀的土壤通常具有较为线性的本构关系，即变形与应力呈线性关系；而粒径分布不均匀的土壤，特别是含有较多细颗粒的土壤，其本构关系常具有一定的非线性特性。
2.3 含水量土壤的含水量是影响其本构关系的另一个重要因素。
随着含水量的增加，土壤的剪切强度逐渐减小，其本构关系也会发生变化。
水分的存在会改变土颗粒间的摩擦特性，从而影响土体的变形与剪切应力之间的关系。
2.4 应力路径土壤受到的应力路径也会对其本构关系产生影响。
应力路径是指土壤在承受外力时所经历的不同应力状态。
不同的应力路径会导致土壤的本构关系发生变化，即变形与应力呈非线性关系。
3. 应用和意义了解土的本构关系对于土壤工程和地基工程具有重要的应用价值。
通过研究土的本构关系，可以评估土壤的稳定性和承载力，指导地基设计和土壤改良工程。
3.1 地基设计在地基设计中，了解土的本构关系有助于准确评估土壤的变形和稳定性。
通过建立应力-应变模型，可以预测土壤的变形行为，为地基工程提供可靠的依据。
土体本构模型-高等土力学
[D]
式中[D]叫刚度矩阵，如果应力和应变分量取一般形式，各 有6个分量，则矩阵[D]为6×6，共36个元素。如果用主应 力和主应变分量，则矩阵[D]为3×3，共9个元素。二维问 题的应力分量为 x , y , xy ，应变分量为 x , y , xy ，因 此其矩阵[D]也是3 ×3 的，将上式展开可写成：
图5-8
岩土工程研究所
§1.应力和应变
2.应力路径 在应力空间内，代表应力状态的点移动的轨迹， 叫应力路径。它表示应力变化的过程，或者加荷的方 式。
岩土工程研究所
§1.应力和应变
设土体中一点初始应力状态如图 5-9应力空间内Ａ点所示，受力
后变化到Ｂ。从Ａ到Ｂ，可以有
各种方式，如σ１、σ２和σ３按 比例增加；初期σ３增加得多，
面体面在几何空间内的八个挂限都有，而 π 面只存在于应力 空间内的第一挂限和与其相对的挂限，其它挂限内的等倾面并
不是π面。空间主对角线也只存在于这两个挂限。
岩土工程研究所
§1.应力和应变
利用π面可以较好地反映应力状态。图5-4中点M的坐
标代表主应力分量。通过M点作π面。它到原点的距离为
OO 1 3
式中 2－ 3 ， 1 2 ， 1 3 为三个应力摩尔圆的
直径，见图5-3
还有一个参数b也反映了中主应力接近大主应力的程度。
若 2＝ 1 ，b=1；若 2＝ 3 ,b=0
岩土工程研究所
b
2 3 1 1 3 2
力情况，ｑ＝ 1 3
岩土工程研究所
§1.应力和应变
可以推知相应的应变分量
体积应变： v 1 2 3
高等土力学读书报告第二章
第二章 土的本构关系2.1 概述材料的本构关系是反映材料的力学性状的数学表达式，表示形式一般为应力-应变-时间关系。
与时间有关的土的本构关系主要是指反映土流变性的理论，本章介绍的主要是与时间无关的本构关系。
土力学的基本理论有土的莫尔-库伦强度理论、有效应力原理和饱和粘土的一维固结理论。
但人们总是在实际中将问题分类为变形问题和稳定问题，前者一般基于弹性理论计算，后者多用刚塑性或理想塑性的理论（如极限平衡分析）。
多年来本构关系已经得到很大的发展，进而推动了岩土数值计算的发展和土工试验的发展。
下文将对土的本构关系进行详细论述。
2.2应力和应变1、应力（1）应力分量与应力张量设土体中的一点为M （x,y,z ）的应力状态用通过该点的微小立方体上的应力分量表示。
即：[]∂＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂z zy zx yz y yx xz xy x ττττττ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂333231232221131211亦即｛σ｝T ＝｛zx yz xy z y x τττ∂∂∂｝。
土力学中正应力正方向规定压为正。
剪应力，在正面（外法向与坐标轴一致的面），剪应力与坐标轴方向相反为正；在负面（外法向与坐标轴方向相反），剪应力与坐标轴方向一致为正。
（2）应力张量的坐标变换 二阶张量ij∂在任一新坐标系下的分量[[j i ∂应满足：[[j i ∂＝kll j k i ∂[[αα，其中lj k i [[αα与为新坐标系轴与老坐标系轴夹角的余弦。
（3）应力张量的主应力和应力不变量在过一点的斜截面上，如果只有法向应力而无剪应力时，这个斜截面就是主应力面。
第一应力不变量：kkz y x I σσσσ=++=1第二应力不变量：2222zxyz xy x z z y y x I τττσσσσσσ---++=第三应力不变量：22232xyz zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+=（4）球应力张量与偏应力张量[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m m m m m m σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ3332312322,21131211333231232221131211,,,,,,0,00,,00,0,球应力张量：()()321332211313131σσσσσσσσ++=++==kk m偏应力张量：ijkk ij ij s δσσ31-=第一偏应力不变量：1≡=kk s J第二偏应力不变量：()()()[]21323222126121σσσσσσ-+-+-==ji ij s s J第三应力不变量：()()()213312321322227131σσσσσσσσσ------==ki jk ij s s s J （4）八面体应力八面体正应力：()3311321cot I m ==++=σσσσσ八面体剪应力：()()()[]212213232221cot3231J =-+-+-=σσσσσστ平均主应力：()321cot 31σσσσ++==p广义剪应力：()()()[]2cot 21323222132321J q ==-+-+-=τσσσσσσ（5）主应力空间和π平面主应力空间：以三个主应力为坐标轴，用应力为度量尺度形成的一个空间。
高等土力学 土工试验与测试：1.3 实验本构关系
§1 土工试验与测试
邓肯等人根据这一双曲线应力应变关系提出了一 种目前被广泛应用的增量弹性模型，一般被称为邓 肯—张（Duncan-Chang）模型。 邓肯-张双曲线模型的本质在于假定土的应力应 变之间的关系具有双曲线性质，见图1.3-1(a)。 (2)切线变形模量Et邓肯—张计算公式 在常规三轴压缩试验中，式（1）也可以写成 εa εa = a + bε a （2） （1 ） σ1 −σ 3 = σ1 −σ 3 a + bε a 即： σ 1 − σ 3 = a + bε1
−ε 3 ε1 = f + D (−ε 3 )
（16）
或者
−ε 3 / ε1 = f + D(−ε 3 ) = f − Dε 3
（17） （b）-ε1/ε3～-ε3线性关系
（a）ε1-ε3双曲线
§1 土工试验与测试
从式（17）可以看出，试验得到的-ε3/ε1与ε3 的关系为直线关系，见图1.3-3（b）,从而可确定截 距f与斜率D。 从式（17）和图1.3-3（b）可见，当-ε3→0时， (-ε3/ε1)=f=vi，vi即为初始泊松比，D为ε1～ε3关系渐进线的倒数（见图（1.3.10a））。 试验表明土的初始泊 松比Vi与试验围压σ3有 关，将它们画在单对数坐 标中，可假设是一条直 线，见图1.3.3（c）。
2
(12)
§1 土工试验与测试
又根据莫尔－库仑强度准则，有:
(σ 1 − σ 3 ) f = 2c cos
(13)
lgEi/Pa
如果绘出lg(Ei/Pa)与lg(σ3/Pa) n 直线，则其截距等于lgK，斜率等 1 于n，参见图1.3-2。 lgk 注：Pa为大气压，单位与Ｅi相 lg 3 /Pa 同，以便使Ei/Pa、/Pa成为无量 图1.3-2 lg(Ei/Pa)与lg(σ3/Pa) 纲数 间的试验关系图
高等土力学主要知识点整理(李广信版)
第二章 土的本构关系（一）概述材料的本构关系是反映其力学性能的数学表达式，一般为应力-应变时间-强度的关系，也称本构定律、本构方程。
土的强度是土受力变形的一个阶段，即微小应力增量小，发生无限大(或不可控制）应变增量，实际是本构关系一个组成部分，是土受力变形的最后阶段。
第一应力不变量kk z y x I σσσσ=++=1第二应力不变量kk yz xz xy z y z x y x I στττσσσσσσ=---++=2222第三应力不变量22232xyz xz y yz x yz xz xy z y x I τστστστττσσσ---+= 坐标系选择使剪应力为零 3211σσσ++=I ,3231212σσσσσσ++=I 3213σσσ=I 球应力张量)(31)(3131321332211σσσσσσσσ++=++==kk m 偏应力张量ii kk ij ij s δσσ31-=，其中⎩⎨⎧=≠=j i j i ii 10δ，克罗内克解第一偏应力不变量01≡=kk s J 第二偏应力不变量()()()[]23123222126121σσσσσσ-+-+-==ji ij s s J 第二偏应力不变量()()()213312321322227131σσσσσσσσσ------==ki jk ij s s s J 1.土的应力应变特性：非线性（应变/加工硬化、应变/加工软化）、剪胀性、弹塑性、各向异性、结构性、流变性（蠕变、应力松弛）。
加工硬化：应力随应变增加而增加，但增加速率越来越慢，最后趋于稳定（正常固结黏土、松砂）加工软化：应力一开始随应变增加而增加，超过一个峰值后，应力随应变增加而减小，最后趋于稳定（超固结黏土、松砂）剪胀性：剪应力引起的体积变化，含剪胀和剪缩土的结构性：由土颗粒空间排列集合、土中各相和颗粒间作用力造成，可明显提高土的强度和刚度。
灵敏度：原状黏性土与重塑土的无侧限抗压强度之比土的蠕变：应力状态不变条件下，应变随时间逐渐增长的现象，随土的塑性、活动性、含水量增加而加剧土的应力松弛:维持应变不变，材料内应力随时间逐渐减小的现象压硬性：土的变形模量（指无侧限，压缩模指完全侧限）随围压而提高的现象。
高等土力学一二三章整理总结
高等土力学高等土力学是在本科土力学教材的基础上的进一步延伸，共分七章，包括：土工试验与测试，土的本构关系，土的强度，土中水与土中渗流及其计算，土的压缩与固结，土工数值计算（包括土体稳定的极限平衡计算，土的渗流与固结的有限元计算）。
二、本 构 关 系“本构关系”是英文Constitutive Relation 的意译。
在力学中，本构关系泛指普遍的应力—应变关系。
因为在变形固体力学中，应力不只与应变有关．而且还与物体的加载历时(应力历史)、加载方式(或应力路径)以及温度和时间有关。
因此材科的本构关系或普遍的应力—应变关系可以表示为； 应力路径等）,,,(T t f ij ij εσ=式中t 为加载历时，T 为温度。
例如，弹性力学中的广义定律就是最简单的材料本构关系，它不计时间、温度和应力路径及应力历史的影响。
因此应力和应变之间存在着唯一对应的关系。
当材料应力超出弹性范围而进入塑性阶段时，应力和应变之间就没有唯一的对应关系，而是要受应力历史或应力路径的影响，这时材料的应力—应变关系就称为塑性本构关系。
塑性本构关系要比弹性本构关系复杂得多。
如果再考虑材科应力—应变关系随时间和温度的变化，本构关系持更加复杂。
本书所要讲的岩土本构关系主要是指与时间和温度无关的塑性本构关系。
各种本构关系的特点1.弹性本构关系类型和分类弹性本构关系可分为线弹性本构关系和非线性弹性本构关系如图1所示，线弹性本构关系即一般的弹性力学，其应力—应变关系服从广义Hooke 定律。
非线性本构关系的应力—应变曲线是非线性的，但是加卸载仍然沿着一条曲线。
弹性本构关系的基本特征是：1) 应力和变形的弹性性质或可逆性；2) 应力与应变的单值对应关系或与应力路径相应力历史的无关性。
即无论材料单元在历史上受过怎样的加卸载过程或不同的应力施加路径，只要应力不超过弹性限度，应力与应变都是一一对应的；3) 应力与应变符合叠加原理；4) 正应力与剪应变、剪应力和正应变之间没有耦合关系。
高等土力学历年真题-补充
第二章土的本构关系2.1在邓肯-张的非线性双曲线模型中，参数a、b、E i、E t、oj ult以及R f各代表什么意义？答：参数E i代表三轴试验中的起始变形模量、a代表E i的倒数；S-o3）ult代表双曲线的渐近线对应的极限偏差应力，b代表（叮o3）ult的倒数；E t为切线变形模量；R f为破坏比。
2.2土的塑性力学与金属的塑性力学有什么区别？答：金属塑性力学只考虑剪切屈服，而岩土塑性力学不仅要考虑剪切屈服，还要考虑静水压力对土体屈服的影响；岩土塑性力学更为复杂，需要考虑材料的剪胀性、各向异性、结构性、流变性等，而且应力应变关系受应力水平、应力路径和应力历史等的影响。
2.3说明塑性理论中的屈服准则、流动准则、加工硬化理论、相适应和不相适应的流动准则。
答：（1）屈服准则：在多向应力作用下，变形体进入塑性状态并使塑性变形继续进行，各应力分量与材料性能之间必须符合一定关系时，这种关系称为屈服准则。
屈服准则可以用来判断弹塑性材料被施加一应力增量后是加载还是卸载，或是中性变载，亦即是判断是否发生塑性变形的准则。
（2）流动规则：指塑性应变增量的方向是由应力空间的塑性势面g决定，即在应力空间中，各应力状态点的塑性应变增量方向必须与通过该点的塑性势面相垂直，亦即d£p= d X|gij ①。
流动规则用以确定塑性应变增量的方向或塑性应变增量张量的各个分量间的比例关系。
（3）相适应、不相适应的流动准则：根据德鲁克假说，对于稳定材料d o d£P > 0，这就是说塑性势ij ij面g与屈服面f必须是重合的，亦即f=g，这被称为相适应的流动规则。
如果令fWg，即为不相适应流动规则。
（3）加工硬化定律：是计算一个给定的应力增量引起的塑性应变大小的准则，亦即式① 中的d九可以通过硬化定律确定。
2.4饱和粘土的常规三轴固结不排水试验的应力应变关系可以用双曲线模拟，是否可以用这种试验确定邓肯-张模型的参数？这时泊松比V为多少？这种模型用于什么情况的土工数值分析？答：可以，这时V=0.49,用以确定总应力分析时候的邓肯-张模型的参数。
高等土力学第六章 土的本构关系 PPT课件
6.4.2 剑桥(Cambridge)模型
塑性功表达式为
dW
p
pd
p v
qd
p s
由于沿屈服曲线，体积应变为常数，则
dW
p
Mpd
p s
令以上两式相等得
d
p v
d
p s
M
q p
从而得微分方程
dq q M 0 dp p
6.4 土的弹塑性模型
Cambridge模型
6.4.2 剑桥(Cambridge)模型
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
σ1σ2σ3
此外由应力偏张量可得：
J2
1 6
x y
2 y z
2 z x
2
6
2 xy
2 yz
2 zx
1 3
I12
3I2
1 6
1
2 2
2
3 2
3
1 2
主应变计算方程
3 I1' 2 I2 ' I3' 0
6.1 土的应力应变特性
应力应变状态的表达法 (1) 主应力应变空间
{ } [1, 2 , 3 ]T {} [1, 2 , 3 ]T
(2) 广义应力应变空间
{ } [ p, q]T {} [ v , s ]T
(3) 八面体应力应变空间
{ } [ oct , oct ]T {} [ oct , oct ]T
6.1 土的应力应变特性
J2 I1 K
ⅲ Mohr-Coulomb准则
f c ntg
6.3 土的弹塑性模型理论
6.3.1 屈服和破坏准则
ⅳ Lade准则
高等土力学-本构关系
3
N
PN
b 2
a
1
3 三个与主轴垂直的面上的应力分量在等斜面上的合力为PN，
PN 在三个轴上的分解为x N、y N、z N
x N 1l 1 3 x N x l xy m zx n 由 y N xy l y m zy n y N 2 m 2 3 z N xz l yz m z n z N 3n 3 3
1 2 3
z
xz zx
z
xy
zy yz
y
yx
x xy xz yx y yz zx zy z
x
y
x
应力不变量
图中abc为任意斜切单元体的平面，其法向为 N，方向余弦分别为l、m、n，合力为PN
2 OP 12 2 32
表示P点应力矢量的大小
由 1 2 3 3r 1 1 2 3 r 3
1 1 2 3 OQ 3 I1 r OQ 3 m 3
令 3 m，即为平面上法向应力
1 3
或J 2 C
1 2 2 1 3 2 3 2 2
1
o o
I 3 1 2 3
偏差应力
ij
1 令：p 1 2 3 m 3 x m x m y m y m z m z m
0 x m xy xz m 0 0 0 y m yz m yx 0 0 m zx zy z m
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本构关系与土力学分析方法
第二章 土的本构关系
2.1 概述
仁者乐山 智者乐水
传统土力学：线弹性、刚塑性或理想塑性 研究初期：20世纪60年代，高重建筑物及 深厚基础问题；计算机技术发展 迅速发展时期：80年代达到高潮，“土力 学园地中最绚烂的花朵” 目前：土的结构性、非饱和土、循环加载、 动力本构模型等
第 14，18，19，33题
第二章 土的本构关系
2.1 概述
仁者乐山 智者乐水
土的本构关系 Constitutive relationship 土的本构定律 Constitutive law 土的本构方程 Constitutive equation 土的数学模型 Mathematical model
2 2 1 3 1 3 2 3 b 1 3
应力洛德角
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
3
平面
S
Q O 1 R P 2
• 平均主应力p：平面的位置OQ
• 剪应力q：平面上到Q距离PQ
• 洛德角：平面上的角度
zy
xy
xz x
x ij yx zx
xy y zy
xz yz z 13 23 33
二阶对称张量，具
有6个独立的分量
11 12 21 22 31 32
球应力张量与偏应力张量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
z
C 等倾面
3 2
z
B x
1
A
y
x y
应力主轴坐标系
八面体面
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
z
C 2 oct 1 oct A y 3 平均主应力 广义剪应力
三个独立的应力参数P、q和可以确 定应力点P在应力空间的位置
常用的三个应力不变量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
三轴应力状态： 3
• 平均主应力 • 广义剪应力
p
q
1 1 ( 1 2 3 ) ( 1 2 3 ) 3 3
常用的三个应力不变量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应变
仁者乐山 智者乐水
与应力的情况相似 体应变
广义剪应变 应变洛德角
v kk 1 2 3 I1
2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3
偏应力张量的不变量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
球应力张量分量，其物理意义代表作用于该点的 平均正应力或静水压力分量。在弹性和经典塑性 理论中，只产生体应变，即只发生体积变化而不 发生形状变化 偏应力张量，其物理意义代表作用于该点的纯剪 应力分量。在弹性和经典塑性理论中，只产生剪 应变，即只发生形状变化而不发生体积变化
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
1 R
A
RQ：和之间 与2垂直
： PQ和RQ之间的夹角， 以PQ起逆时针为正
tg 2 2 1 3 3 ( 1 3 ) 3 2b 1 3
P
Q 3
2
B
C
平面
• 洛德参数 • 毕肖甫常数
球应力张量
1 sij ij kk ij 3
偏应力张量
m球张量分量，其物理意义代表作用于该点的平均 正应力或静水压力分量，其值为m=I1/3
球应力张量与偏应力张量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
12 13 s11 s12 s13 11 m 1 sij ij ij kk s s s 21 22 m 23 21 22 23 3 32 33 m s 31 s 32 s 33 31
x2 x2
x1
x1 x3
x3
i k ， jl 与为新和原坐标系轴夹角的余弦
其中，a11=cos ，a12=cos ， a13=cos
主应力：1，2，3在三个剪应力为零方向上的正应力
应力张量的坐标转换与主应力
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
ij
12 13 m 0 0 11 m 0 0 m 21 22 m 23 32 33 m 0 0 m 31
ij
应力张量
m ij
p oct
q 1 2
1 I ( 1 2 3 ) 1 3 3
3 2 oct
(1 2 )2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 )2
八面体应力
第二章 土的本构关系
Байду номын сангаас2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
1
A S
OS： 空间对角线 与三个主应力轴的夹角成 54º 44 ABC：与OS垂直的面，称平面， 1+2+3=常数
变形问题 （地基沉降量）
传统土力 学分析方法
稳定问题 （边坡稳定性）
• 土体处于极限平衡状态 • 滑动块体间力的平衡 • 刚体+理想塑性计算安全系数
现代土力 学分析方法
应力变形的 综合分析
计算机数值模拟计算 • 土体的本构模型 • 数值计算方法：有限元等 • 应力变形稳定的综合分析
模型试验：如离心机模型试验
2 2 2
第一应力不变量 第二应力不变量
第三应力不变量
I 3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy 1 2 3
2 2 2
应力张量的应力不变量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
sij偏应力张量，其物理意义代表作用于 该点的纯剪应力分量
偏应力张量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
J1 Skk 0
1 1 J 2 sijsij (1 2 )2 (2 3 )2 (3 1 )2 2 6
1 J 3 S ijS jk S ki 3 1 ( 21 2 3 )( 2 2 1 3 )( 2 3 1 2 ) 27
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
1. 应力张量 2. 应力张量的坐标变换 3. 应力张量的主应力和应力不变量
4. 球应力张量与偏应力张量
5. 八面体应力 6. 主应力空间与平面 7. 应力洛德角
应
力
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
z zx yx y yz
是反映土的力学性状的数学表达式， 表示形式一般为应力—应变—强度— 时间的关系
本构关系的定义
第二章 土的本构关系
2.1 概述
仁者乐山 智者乐水
体积力 面 力 静(动) 力平衡
位 移
本构方程
应力 应 变
几何 相容
本构关系在应力应变分析中的作用
第二章 土的本构关系
2.1 概述
仁者乐山 智者乐水 • 弹性理论计算应力 • 压缩试验测定变形参数 • 弹性理论+经验公式计算变形
应力分量与应力张量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
6个独立变量用 矩阵表示，常用 于数值计算
x y z ＝ xy yz zx
应力分量与应力张量
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
仁者乐山 智者乐水
应力计算
z
• 正应力：压为正
zy xy xz x
z
zx yx y yz
• 剪应力： 正面 - 与坐标轴方向相反为正 负面 - 与坐标轴方向相同为正
x y
zy ：z为作用面法向； y为剪应力方向
土力学中应力符号规定
第二章 土的本构关系
2.2 应力和应变 – 应力
2.9 土的本构模型的数学实质及广义位势理论
第二章 土的本构关系
本章内容提要
土的变形特性
土的非线性弹性模型 • 邓肯张EB和E模型
土的弹塑性模型
• 剑桥模型(CamClay) • Lade-Duncan模型 • 清华弹塑性模型 • 沈珠江双屈服面模型
第二章 土的本构关系
p108页 – 109页
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
2 1 3
• 应力洛德角
tg
2 2 1 3 3 ( 1 3 )
• 三轴压缩试验（ >=3 ）： = -30º • 三轴伸长试验（ =>3 ）： = 30º
2 2 1 3 3 ( 1 3 )
tg
应
变
第二章 土的本构关系
2.1 概述
2.2 应力和应变
2.3 土的应力变形特性 2.4 土的弹性模型 2.5 土的弹塑性模型的一般原理 2.6 剑桥模型(Cam—Clay)
2.7 其它典型弹塑性模型
2.8 土的结构性及土的损伤模型