关于傅科摆和地转偏向力

关于傅科摆和地转偏向力——科里奥利力

首先我们说相对于转动参照系沿某方向运动的物体速度为v 。此速度可分解为v ⊥和v 其中cos v v α=是匀速运动不产生加速度，而sin v v α⊥=是有垂直于其运动方向的科里奥利加速度2sin 2a v v ωαω==⨯的，因此他必须受到与其运动方向垂直的外力的作用才能作此运动，否则物体将沿相反的方向作加速运动，犹如受到相反方向的力——科里奥利力=2f mv ω⨯科的作用一样，如下图所示。

对于相对于自转的地球表面运动的物体，如北半球的单摆，其纬度为α，悬线沿OZ ’方

向，在没有其他外力作用时，其往返摆动的摆平面将以OZ ’为轴，沿着顺时针的方向转动。致使摆锤在平面S 内运动，如下图所示：（在这里都涉及叉积的计算，所以本文打算另辟一段关于叉积的计算）

设在某时刻，摆锤正以速度v 通过其平衡位置向东偏南θ角的方向运动，则由于受到科里

奥利力——地转偏向力2f m v ω=⨯的作用而产生向右的加速度，为了计算此力，我们可选坐标系''''O x y z 。这时v 可表达为：

sin cos v v i v j θθ=+

而地球自转的角速度可表达为cos sin i k ωωαωα=-+

因此二者的叉积为：

sin cos 0cos 0sin i

j k v v v ωθ

θωαωα⨯=- sin cos sin sin cos cos v i v j v k ωαθωαθωαθ=-+

其中沿竖直方向的分力不影响摆锤的旋转，而沿水平方向的两个分力为： (sin cos sin sin )

sin (cos sin )f m v i v j mv i j ωαθωαθωαθθ=-=-水平

其中cos sin i j θθ-是与v 垂直而右旋了90°的单位矢量。由于摆锤的速度不断变化但f 水平的冲量方向始终不变。当摆锤返回时，由于速度方向改变故其冲量方向也改变，故仍使摆平面顺时针旋转。

关于地转偏向力有两种误解，一种认为，用实验验证地转偏向力非常简单，用任何一个单摆在实验室中就可以验证。甚至认为只要在静止的水盆中放一个火柴或牙签就可以验证。但是在实验室中用各种摆长做了大量的实验都不能确切地证实地转偏向力的存在，另一种误解则是由于上述实验都不能确切地证实地转偏向力的存在，因而认为地转偏向力是不存在的，单摆的摆动平面是根本不会发生偏转的，并且以此叫板北京天文馆（因为北京天文馆有一个傅科摆模型）。其实只要我们稍微计算一下就可以知道地转偏向力与摆锤所受重力相比，约为几万分之一。因此，稍微有点摩擦力就会破坏单摆的偏转。正因为如此，所以地转偏向力应该只在大尺度范围内例如几十乃至几百公里范围内才有突出的表现。就如万有引力定律并不在两个人之间表现出来。

附：叉积的计算

由叉积的定义可知互相平行的两个矢量的叉积等于0，而两互相垂直的矢量的叉积的模等于两矢量的模的积。

设沿,,x y z 三个坐标轴的单位矢量分别为,,i j k 如下图所示：

则有 i j k

j k i k i j

⨯=⨯=⨯=

设二矢量

1122A x i y j

B x i y j =+=+

如下图所示，则其叉积大小应等于平行四边形OCDE 的面积S ，而此面积S 又等于OCGF 的面积，最终有S OH OF =，而1221

y OF y x x =-。所以有：112212121

()y S x y x x y y x x =-=-。所以有1221()A B x y x y k ⨯=-

如用坐标法计算显得更加简单如下：

11221221()()

A B x i y j x i y j x y k x y k ⨯=+⨯+=-

对于空间矢量也有类似的结果，即两矢量：

111222A x i y j z k

B x i y j z k

=++=++

则其叉积为: 122112211221()()()A B y z y z i z x z x j x y x y k ⨯=-+-+- 而： 122112211221()()()y z y z i z x z x j x y x y k -+-+-则可归纳为，计算三阶行列式的值：

1221122112211

112

22()()()i

j k y z y z i z x z x j x y x y k x y z x y z -+-+-= 有了这种坐标计算法，叉积的计算就变得容易了。