中学数学方法论2005年下半年
数学方法论——精选推荐
数学方法论1所谓数学思想是对数学知识的本质认识是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点2 什么叫数学方法是指从数学角度提出问题，解决问题的过程中采用的各种方式，手段，途径等3 怎样区分数学思想与数学方法强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法4 数学方法的特点具有过程性和层次性的特点5 数学知识数学方法数学思想是数学知识体系的三个层次6 数学教育的三大功能科学技术功能思维功能社会文化功能7 数学思想方法对学生有什么作用数学思想方法的学习和领悟会使学生所学的知识不再是零散的知识点，也不再是解决问题的刻板套路和一招一式，它能帮助学生形成有序的知识链，为学生构建良好的认知结构起到十分重要的基础作用8数学思想方法教学的特点隐喻性活动性主观性差异性9，什么是化归思想方法从方法论的角度看，化归是使原问题归结为我们所熟悉的或简单的.熔岩的问题，从认识论的角度看，化归思想方法是用一种联系，发展，运动变化的观点来认识问题，通过对原问题的转换，使之成为另一问题加以认识。
它们的科学概括就是数学解决问题的基本思想方法-化归10，数学语言分为哪几种？图形语言，文字语言，符号语言。
11，什么是归纳推理方法归纳是指由一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法。
12，什么是类比推理方法类比是在两个或两类事物间进行对比，找出若干相同或相似点后，猜测在其他方面也可能存在相同或相似之处，并作出某种判断的推理方法。
13.什么叫联想联想是由某种概念或结果而引起其他相关概念或结果的思维形式。
14，什么叫解析法将平面几何问题转化为解析几何问题的化归方法就是通常所谓的解析法15，什么叫数学抽象1 内容上的特殊性—数学抽象仅抽取事物或现象的量的关系和空间形式而舍弃其他一切2 方法上的特殊性==数学抽象是一种构造性活动，是借助定义和推理进行的逻辑建构3 程度上的特殊性—数学抽象的程度远远超过自然科学中的一般抽象16，什么叫迁移所谓迁移，是指一种学习对另一种学习的影响，这种影响既包括积极的促进作用，也包括消极的干扰作用。
2005年高考数学最后一讲
0 ，其中x∈R的解集为＿＿＿＿。
对任意实数x、y定义运算x*yaxbycxy，其中a、b、c为常数， 等号右边的运算是通常意义的加、乘运算，现已知1*23，2*34， 且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有x*mx，则m____。
下面是对某一个计算机程序的一个文字说明 S1 输入实数x; 1 x S2 如果x≥2,那么就将 ( 2 ) 赋予y,否则就将 S3 输出y. 若输入值x= ,则输出值y=
5
3
a b c 在△ ABC 中，若 cos A cos B cos C
（A）直角三角形. （C）钝角三角形.
9
9
，则△ABC 是 （B）等边三角形. （D）等腰直角三角形.
选择题的解法与策略
考 题 预
测
一、直接法：直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、 法则等知识,通过推理运算,得出结论,选择正确答案. 二、特例法：用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件， 得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确判断。
2i j
i j
C
i 2j
i j
（t表示时间，s表示位移）则瞬时速度为0的时刻是 A 0秒、2秒或4秒 B 0秒、2秒或16秒 C 2秒、8秒或16秒 D 0秒、4秒或8秒 从6人中选4人参加数学、物理、化学、英语比赛， 每人只能参加其中一项，甲、乙两人都不能参加英语比赛， 则不同的参赛方案的种数工有 A 96 B 180 C 240 D 288
2005年高考数学最后一讲
应 试 策 略
一、准备阶段
1. 集中精神，适度紧张 2. 通览全卷, 稳步启动
二、答题阶段
1. 先易后难,先熟后生,先简后繁 2.审题要慢,答题要快 3.确保中下题目,力求一次成功 4.确保“准确”,力求“快速”
数学的思维特征
明创造的。但这里要明白三点：
１． 数 学 不 是 创 造 ， 但 离 开 了 创 造 就 没 有 了
数学；
２． 数 学 不 是 创 造 ， 但 离 开 了 数 学 创 造 难 以
实现；
３． 数学不是创造， 但数学是培养创造型人才的
最重要领域。
上述１是很明显的。因为数学的总格式是根据
已知条件（ 已知的自然现象） 去逻辑地认识发现自
至于３也很明显， 因为创造型人才必须首先是 思维型人才， 而培养思维的最佳领地自然非数学莫 属了。
三 、数 学 是“猜 ”出 来 的 自坡利亚的“数学是猜出来的”名言一问世 ， 便 得到数学界一致赞同， 流为佳话， 广为引用。这是为 什么？ 正因它体现了数学研究的特征， 形象而恢谐 地 道 出 了 一 个 实 在 。那 么 要 问 ，“猜 ”与 理 解 、思 维 是 否矛盾？ 我们说不但不矛盾， 而且是统一的。所谓 “猜 ”就 是 在 一 定 条 件 下 作 出 非 严 格 的 逻 辑 式 推 断 ， 这 就 是 坡 利 亚 的 “合 情 推 理 ”、“ 不 严 格 的 思 想 方 法 ”， 或 爱 因 斯 坦 的“探 索 性 演 绎 法 ”， 或 徐 利 治 的 “观察、归纳法”。“猜”中含有逻辑思维因素， 而其中 不严格的万分正是灵感思维的“创造”结果， 所以说 猜中也含有灵感思维因素。 历史上被证明的猜测大都是正确的， 说明数学 的猜不是瞎猜， 是逻辑和灵感的产物。总之， 纯粹逻 辑思维结果不能叫猜， 纯粹灵感创造， 不依赖任何 条件者， 也不叫猜。猜既不是儿戏也不是迷信， 这里 的猜是逻辑思维与灵感思维的综合， 是一种思维现 象、思维方式。猜是一种能力体现， 功底愈深猜的能 力愈强， 否则只能是瞎猜。细究起来， 不仅数学家， 甚至所有科技人员都需要培养这种猜的能力， 因为 任何新事物在被我们发现或发明之初， 总是以一种 依稀雏形出现在脑子里， 即使对实验科学来讲也常 常 是 这 样 。即 对 于 最 初 的 灵 感 发 明 物 常 常 不 是 那 么 纯粹的， 总有猜测的成分。猜与现实间的差距就是 “证明（ 或叫证实） ”。猜想是科研人员的向导， 科研 人员主要的时间是在追逐猜想。 思维是数学的特征， 直觉思维更是学数学的必 备修养。
《中学数学方法论》课程教学实践探索
《 中学数学方法论》 课程 ． 作为高等院校培养基 础教育数学 学科师资 的一 门重要专业课程 ， 中学数 学方法 《 论 》 程教 学 内容和 教 学方式 应该 积极 变 革 ， 课 以顺 应 基 础 教育 的发 展 ． 国 际数 学 教 育 改 革趋 势 来 看 ， 少 就 不
国家 把掌握 数学 思想 方法 及运 用数 学思 想方法 解决 实 际 问题 的能 力作 为 中学 数 学教 育 的重 要 目标 之 一 ， 例
维普资讯
２０ ０８年 ３月 第 ２ 卷 第 ３ ９
韶关学 院学报 ・自然 科学
ｏ ｍａ ｆ ｈ ｏ ａ ｎ ｖ ｒ ｉ ｕ ｌ ａ ￣ ｎ Ｕ ｉ ｅ ｓｔ ｏ Ｓ ｙ・Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ
Ｍａ ． ｏ０ ｒ２ ８
１ 确定人 才培 养 目标
有 学者认 为 《 中学数学 方法论 》 程 教学 要 达 到 以下 的 目的 ： 现两 个 转化 ， 课 实 即教 师 的 “ 教一 不 教 ” 学 及 生 “ 会—会 学 ”用 数学思 想及 方法 去整理 学过 的知 识 ， 学生 专业 知 识得 到 深化 ； 学 方法 的运用 能 力 得 学 ； 使 数
如， 美国把“ 学会数学 的思想方法” 作为培养“ 有数学素养” 社会成员的五项标志之一 ； 我国 ２０ 年颁布 的《 ０１ 全 日 制义务教育数学课程标准（ 实验稿） 明确提到要“ 》 进一步加强数学思想方法的渗透”］重视和加强 中学数 ｌ． 】 学思想方法的教学 ， 要求 中学数学教师具备较为系统的数学方法知识结构 以及运用数学方法解决实际问题 的能力 、 目前 ， 关于中学数学方法论教学实践 的论 文不多见 ， 本文结合教学实践 ， 中学数学方法论》 就《 课程 教学内容、 教学方式 、 作业设计等方面如何改革 ， 以适应新世纪人才培养 的需要进行探 索， 以求促进该课程 理论及 教学 的进 一步 交 流与发 展 ．
2004-2005学年度第二学期高二数学工作计划
高二数学教材分析“ 直线、平面、简单几何体”简介一、内容与要求（一）本章主要内容是立体几何的基础知识和解决立体几何问题的基本思想方法本章的具体知识点主要包括：平面及其基本性质，两条直线的位置关系，平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离，直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理，两个平面的位置关系，平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质，棱柱，棱锥，多面体和正多面体，球。
（二）本章在体系编排上分为两大节：第一大节是“空间直线和平面”，第二大节是“简单几何体”1．直线和平面是最基本的几何元素，空间直线和平面的位置关系是立体几何的基础知识。
学好这一部分内容，对于学生在已有的平面图形知识基础上，建立空间观念，使对图形的认识实现从平面图形到立体图形这一飞跃，是非常重要的。
第一大节包括6小节，依次按照平面、空间直线、直线和平面平行、直线和平面垂直、两平面平行、两平面垂直的顺序编排。
这6节之间密切联系，前面内容是后面内容的理论根据，后面内容既巩固了前面内容，又发展和推广了对前面内容的认识。
从而形成了一个关于空间直线和平面位置关系的概念、判定和性质的知识体系。
本大节无论在全章的知识系统中，还是在培养学生的辩证唯物主义观点、空间想象能力和逻辑思维能力方面，都具有重要的基础作用。
2．简单几何体，是指最基本、最常见的几何体．按照大纲的规定，本章中有关简单几何体只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体、球。
这些内容依次排列，构成第二大节所含的4小节。
由于初中几何已学过圆柱和圆锥的有关内容，台体（圆台、棱台）又可以通过从大锥体上截去小锥体而得出，为节约课时以便实现高中数学教学内容的更新，本章中的简单几何体比原《立体几何》（必修本）在内容上精简幅度较大，删去了圆柱、圆锥、圆台、棱台等，只保留了最基本的多面体（棱柱和棱锥）、一般多面体的有关概念、球。
中学数学方法论课本主要内容
绪论数学思想方法的对象和意义第一节中学数学思想方法的研究对象第二节学习中学数学思想方法的意义第三节中学数学思想方法的学习方法第一章数学的起源与发展第一节数学发展各个时期简析第二节中国数学的起源与发展第三节数学发展的动力第二章数学概观第一节数学的对象和特征第二节数学的地位第三节辩证唯物主义数学观第四节数学基础论及其简要评介第三章数学研究的一般方法第一节观察与实验第二节划分与比较第三节分析与综合第四节抽象与概括‘第五节特殊与一般第四章数学的逻辑方法第一节逻辑思维的基本形式第二节形式逻辑方法与辩证逻辑方法第三节逻辑推理规则第四节常用逻辑推理方法第五节数学证明与逻辑推理错误剖析第五章几种重要的数学方法第一节模型方法第二节化归方法第三节公理化方法第六章数学思维方法第一节思维及数学思维第二节数学逻辑思维方法第三节数学形象思维方法第四节创造性思维及其培养第七章数学思想方法的教学第一节数学思想方法教学的原理第二节符号化意识的培养第三节化归意识的培养第四节整体化意识的培养第五节帮助学生形成正确的数学观1、方法：就是人们处理某种事物的策略、思路、途径和步骤，解决不同学科的不同问题，需要用不同的方法。
2、方法论：研究各种方法共同规律和原则的学问3、数学方法论：狭义：解决数学问题的方法和手段，包括：数学概念的定义方法、数学的推理和证明方法、数学的计算和解决问题的思想方法等。
广义：还应包括对数学概念、数学理论的概念、数学理论的概念认识，包括对各种数学方法进行分类、整理和总结，从中寻找某些共同的规律，从而使我们能更好地学习数学和运用数学。
更广义：研究数学的发展规律，数学的思想、方法、原则，数学的发现、发明和创新的学科。
4、正确的数学观应该包含如下成分：数学的整体观；数学的价值观；数学的问题观；数学的审美观；数学教学和数学学习观。
第一章数学的起源与发展一、数学发展史1、数学萌芽时期（公元前600年以前）（1）数学的对象：社会生活的农业生产上的实际计算和测量的问题。
数学教育学学科建设三十年：回顾与反思
数学教育学学科建设三十年：回顾与反思吕世虎;曹春艳;叶蓓蓓【摘要】我国数学教育学学科建设始于对“中学数学教材教法”相关问题的探讨，经历了作为一门课程的“数学教育学”、作为系列课程的“数学教育学”及作为学科群的“数学教育学”和“数学教育学”的主题研究繁荣等几个发展阶段，初步形成了具有中国特色的数学教育学学科。
数学教育学是一门涉及数学、教育学、哲学、心理学、文化学、传播学、教育技术学、思维科学等有关内容的新兴交叉学科，在数学教育学的学科建设过程中，通过理论与实践两方面研究，形成了数学教育专门研究人员与一线教师组成的研究团队，发展、完善了有中国特色的数学教育学科体系。
今后，数学教育学学科建设仍需关注理论体系建构、研究团队建设、研究视角拓展等问题。
%Mathematics Pedagogy of China originated from the discussions on “teaching mathematics in middle schools” and has experienced a four- stage development , with each stage’s research theme focused respectively on mathematics pedagogy as a course ,as a series of courses , as a group of disciplines , and as the pedagogy of mathematics . It has developed into a subject with Chinese characteristics . Mathematics pedagogy is a new interdisciplinary field of mathematics , pedagogy , philosophy , psychology , culturology ,communication , educational technology , and the science of thinking . In the developmentof this discipline , research groups composed of both mathematics education researchers and frontline teachers have been formed through theoretical and practical studies , and the system of mathematics pedagogy with Chinese characteristics has been set up . In the future ,more efforts should be made in its theoretical system construction , the research group building , the research perspective expansion .【期刊名称】《当代教育与文化》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】5页(P55-59)【关键词】数学教育学;学科建设;体系建构;回顾;反思【作者】吕世虎;曹春艳;叶蓓蓓【作者单位】西北师范大学教育学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学教育学院，甘肃兰州 730070;广西师范大学教育学院，广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】G650;G420我国数学教育学学科的迅速发展始于新中国成立以后。
中学数学方法论共66页文档
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
中学数学方法论
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
《数学方法论》
《数学方法论》教学大纲数学方法论是关于数学研究的基本方法，是数学研究的基本策略。
数学思想方法是数学教育的重要依据。
通过中学数学思想方法概论的学习，让学生理解观察、实验、类比、归纳、联想、分析、综合、抽象、概括等基本的研究方法，把握数学的逻辑方法、思维方法、模型方法等。
通过这些内容的学习无疑有益于学生数学教育素养的提高。
一、课时总数： 108学时，其中自学52学时，面授56学时。
二、课程内容：第一章数学的起源与发展第一节数学发展各个时期简析第二节中国数学的起源与发展第三节数学发展的动力本章内容要求学生了解数学史的分期,初步掌握数学发展的规律,把握中国数学发展的线索,通过了解九章算术认识中国数学的历史,正确认识数学与世界的关系,正确认识数学。
把握数学发展的动力。
P．60练习题1—15第二章数学概观第一节数学的对象和特征第二节数学的地位第三节辩证唯物主义数学观第四节数学基础论及其简要评价通过本章学习，要求学生了解关于数学的特征的主要观点，把握数学的三大特征，认识数学在科学、自然科学、人类文化中的地位和作用。
形成辩证唯物主义的数学观，能运用辩证唯物观去把握数学、理解数学，了解数学悖论形成的原因，了解逻辑主义、直觉主义、形成主义等数学三大学派的主要观点，并能指出其不足。
P．108 练习题1～11，13，14，15，17第三章数学研究的一般方法第一节观察与实验第二节划分与比较第三节分析与综合第四节抽象与概括第五节特殊与一般通过本章学习,认识观察与实验、划分与比较、分析与综合、抽象与概括、特殊与一般在数学研究中的重要作用，要求学生掌握观察与实验的一般规律,了解概念划分的原则，理解划分的标准，掌握划分的方法；能灵活运用分析与综合方法去解决各种问题，理解抽象与概括的涵义，学会抽象与概括数学概念、原理等；掌握特殊化与一般化解决问题的策略。
P．144 练习题 3～5，6～8， 9，10第四章数学中的逻辑方法第一节逻辑思维的基本形式第二节形式逻辑方法与辩证逻辑方法第三节逻辑推理规则第四节常用的逻辑推理方法第五节数学证明与逻辑推理错误剖析通过本章学习，让学生理解概念、判断和推理是逻辑思维的基本形式，理解概念的内涵与外延的涵义以及概念间的各种关系；认识判断与推理的各种形式，了解形式逻辑与辩证逻辑的关系；掌握命题基本形式以及逻辑等价的涵义，灵活运用逻辑推理规则，掌握正确的逻辑推理方法，理解数学证明的意义，避免逻辑推理中的错误。
2005年数学二试题分析、详解和评注
以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设x x y )sin 1(+=，则π=x dy= dx π- .【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xxx x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.55【例2.15】（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为23+=x y . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→xx x x x f x x []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。
这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限xx f a x )(lim∞→=不存在，则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑+∞→x 的情形.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例7.32】（3）=--⎰1221)2(x xxdx4π. 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则=--⎰1221)2(x xxdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt tt tt =.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t ttd【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.130【例4.54】（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为x x xy y x ln 222=+'，即 x x y x ln ][22='，两边积分得C x x x xdx x y x +-==⎰332291ln 31ln ， 再代入初始条件即可得所求解为.91ln 31x x x y -=完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k=43 . 【分析】 题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim)()(limkx xx x x x x x -+=→→αβ =)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim2x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k xx x x x ，得.43=k 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.38【例1.62~63】（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B【评注】 本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。
数学方法论
4.中学数学思想和方法
4.2化归思想 就是将要解决的数学问题转化为一个简单或已经 解决了的问题的思想方法。
4.中学数学思想和方法
4.4函数与方程思想 函数思想是指变量与变量之间的一种对应思想。 方程思想则指把研究数学问题中已知量与未知量 之间的数量关系，转化成方程或方程组等数学模 型。
2.数学方法
2.2数学方法有三个基本特征 2.2.1是具有高度的抽象性和概括性 2.2.2是具有逻辑的严密性和结论的确定性 2.2.3是具有应用的普遍性和可操作性
3 数学思想方法教学的心理学意义
3.1掌握基本结构，优化认知结构。 3.2有助于记忆学科知识，避免机械学习。 3.3有利于知识的迁移。 3.4掌握了数学结构,可以缩小各级知识之间的距 离
3.4 掌握了数学结构, 可以缩小各级知识之间的距离 一般地说来,初中高中直到大学的许多具体内容 有很大的不同,有些术语如方程、函数, 在不同的 阶段有不同的涵义,但几乎保持一致的只有数学思 想方法以及与其关系密切的内容,这也正是当前数 学素质培养中的一个重要问题。知识是学不完的, 但只要掌握了一定的思想方法,形成一定的能力就 能够应付当今快速发展的社会,因此,教材中的数 学 思想方法是联结中学数学与高等数学的一条红 线。
4.中学数学思想和方法
4.3对应思想 对应是人的思维对两个集合间的把握、对应思想 方法就是将各种类别、层次的数学对象联系起来! 呈现出它们之间的某些相似或相同的属性!使它们 能够相互结合、转化、或深入的一种思想方法。
4.中学数学思想和方法
4.5代数与图形结合思想 代数与图形结合思想就是常说的数形结合思想， 是数学中最古老和最普遍一种思想方法，数形结 合就是把抽象的数学语言数量关系与直观的几何 图形#位置关系结合起来，通过“以形助数”或“ 以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合 ，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从 而起到优化解题途径的目的。
中学数学方法论复习资料答案
中学数学方法论复习资料1、数学问题的特征是客观性、障碍性、挑战性。
2、化归方法可以分为化繁为简、化新为旧、化生为熟、化未知为已知四种。
3、问题解决的要素有问题表征、问题解决的程序、模式再认三种。
4、化归转化策略的三个基本要素是化归的对象、目标、方法。
5、在数学解题中使用差异分析策略时，寻求差异是基础，消除差异是目标，转化差异是关键。
6、解题策略是指解答数学问题时，总体上所采取的方针、原则、方案。
7、欧几里得几何公里系统中，有23条定义，5条公设，9条公里。
8、弗里得曼按数学问题的外在形式，将数学问题分为求解题、证明或说命题、变换题或求作题三类。
9、类比联想：又称对比联想，主要是根据问题的具体情况，从具有类似和相似特点的数、式、图形以及相似的内容和性质等进行联想。
10、不完全归纳法：是根据对某类事物部分对象的考察而得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法。
又分为枚举归纳法和因果关系归纳法（科学归纳法）。
11、公理化方法：就是选取尽可能少的一组原始概念和不加证明的一组公里，以此为出发点，应用逻辑推理规则，把一门科学建立成一门演绎系统的一种方法。
12、简述数学解题思维过程的三个层次：1.一般性解决，2.功能性解决，3.特殊性解决。
13、简述罗增儒提出的探求解题思路的五条原则：1.平面结构原则，2.广角投射原则，3.内圈递广原则，4.差异渐缩原则，5.迹线平移原则。
14、简述RMI原则的应用：1.探求证明数学命题途径。
2.引导进行数学发现的一种方法。
3.可以解决理论的整体性结构的数学问题。
4.分析论证数学上某些不可能性问题。
15、简述数学解题的目的：1.加深理解概念，巩固扩展知识。
2.掌握数学方法，培养数学技能。
3.领会数学思想，训练思维品质。
4.发展个性心理，形成科学精神。
16、在数学解题中要实现数形结合，主要通过的三种途径是：1.坐标联系。
2.审视联系。
3.构造联系.17、逆向联想：是指从问题的正面想到问题的反面。
思考复习参考2005631729202005年高考数学复习建议与
民族神话鸿蒙未辟宇宙洪荒亿万斯年四极不张2005年高考数学复习建议与思考诸暨市学勉中学郭天平近年高考数学试题整体趋于稳定，逐步走向成熟，充分体现了在稳定中求发展、求创新的特点。
临近高考，我们都感到时间的紧迫，需要复习的内容多，时间不够用，这是教师与学生很正常的心理。
对后阶段如何复习提高效率谈谈自己的一点看法及建议，与大家一起探讨。
第一方面：重视《考试说明》与高考信息研究，做到有的放矢《考试说明》是高考复习的指导性文件，复习效果的好坏，很大程度取决于对《考试说明》研究是否透彻。
近年高考试题贯彻“总体保持稳定，深化能力立意、积极改革创新”的指导思想，兼顾教学基础、方法、思维、应用潜能方面的考查、形成平稳发展的稳定格局。
认真钻研《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，关注高中数学课程改革进程，吸取新课程中的新思想、新理念，使复习把握教学教育改革的发展方向，就能做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效益。
同时，应及时了解考试中心以及中学教学期刊等有关最新动态，并结合教学实践加以研究，从而转化为课堂教学的具体内容，使最后阶段复习有的放矢、事半功倍。
第二方面：重视回归课本，依“纲”固“本”，突出对课本基础知识的再挖掘纵观近几年的高考数学试题，不难发现，相当数量的试题是课本例题、习题的直接引用或稍作变形而得来的，即使综合题也是基础知识的组合、加工和发展，充分表现出教材的基础作用，再加上课本是知识体系的浓缩，反映的是知识间的经典关系。
因此，在今后的高考复习过程中，要排除各种复习资料的干扰，冲刺阶段要指导学生回归课本，依“纲”固“本”，挖掘课本的潜在功能，对课本典型问题进行引申、推广，发挥其应有作用。
第三方面：重视复习中的薄弱点，突出重中之重经过前一轮的全面系统复习，同学们都能较全面系统地掌握高中基础知识、基本技能和基本方法，但在复习过程中每个学生对每一知识点掌握的程度不一样，存在的问题也不同，所以在今后复习中，要根据学生实际查一查知识的薄弱点，如果是个别问题，则及时面对面地辅导帮助解决，如果是普遍性问题，必须对症下药，进行有针对性的强化训练和讲评。
数学方法论
数学方法论《数学方法论》学习指南一、课程性质《数学方法论》是高等师范院校数学教育专业及相关专业本科生的一门通识教育选修课，也可作高师数学教育专业研究生必修的一门基础课．本课程是研究数学的发展规律，数学思想、方法、原则以及数学的发现、发明和创新的学科．它是方法论学科中一门独立的学科，它在数学研究和教学中的地位与作用日益受到人们的普遍重视．现代科技与经济发展成熟的标志是数学化，“数学化”不仅是数学知识的应用，更多的是数学思想方法的应用．二、课程的意义新的数学教育理念认为，要提高中学生的数学素质，不仅要学生掌握数学知识，还要使学生掌握渗透于数学知识中的、对人的素质有重要影响的数学方法，并能用数学知识和方法去解决实际问题．我国中学数学课程改革中新的《数学课程标准》已将数学方法的教学列为中学数学教育的主要目标之一，因此要求中学数学教师应具备较为系统的数学方法知识结构以及运用数学方法解决实际问题的能力．三、教学目的了解“数学方法论”课程的性质及其意义，了解该课程的研究对象、范围以及它与所学知识的联系，理解它在中学数学教学中的作用；掌握数学研究的一般方法和有关概念，包括数学逻辑方法、思维方法和中学数学中常用的数学思想方法；能够用所学的、较为系统的数学方法来探求数学认知和应用的一般规律．四、教学内容第一章绪论知识点一：数学方法论的主要概念针对方法、科学方法、方法论、科学方法论、数学方法、数学思想方法、数学方法论等概念的讲解．知识点二：数学方法论的性质、对象及其产生与发展数学方法论的性质和对象简介，讲述数学方法的积累及数学方法论学科的产生、形成与发展过程．知识点三：学习数学方法论的意义从促进数学的发展、发挥数学的功能和数学教育改革几方面阐述学习、掌握数学方法论知识的意义．重点：掌握数学方法论的主要概念，了解数学方法论的性质、对象等．难点：掌握数学方法论的概念和理解数学方法论的意义．第二章化归知识点一：化归思想和方法的有关概念介绍规范问题、问题的规范化、数学中的化归方法、化归的模式、化归的方向和原则等概念，包括对熟悉性、简单性、直观性等概念的讲解．知识点二：化归的方向通过具体的数学例题，理解化归方法在实施中的方向及其原则的具体内容和内涵，包括符合化难为易、化繁为简、化未知为已知等思想应用的例子，以及利用熟悉性、简单性、直观性等思路找到化归途径的范例．知识点三：化归策略介绍常用的3种化归策略，以及3种化归的常用方法．通过大量的典型实例，分别对这些策略和方法予以应用，从而掌握它们的特点．知识点四：化归的方法主要介绍把一类数学问题化归为另一类数学问题的方法．知识点五：辩证地认识化归主要从化归的核心思想以及化归的实践性、局限性等三方面重新认识化归的特点．重点：掌握化归的主要概念及其原则、策略和方法，了解化归的基本方法．难点：在数学化归思想指导下分析具体问题，并在解题中顺利实施化归的策略和方法．第三章类比与归纳知识点一：类比法与归纳法类比、简单类比、复杂类比、常见的几种类比、归纳、数学归纳法、数学归纳原理等方面的概念讲解．知识点二：常见的几种类比和归纳介绍数学研究中常见的几种类比模式以及归纳模式．知识点三：类比与归纳的再认识整体上重新认识类比、归纳与化归的关系，并由此进一步理解类比和归纳是数学发现的重要方法．理解“培养学生提出问题的能力比解决问题的能力更重要”的意义．重点：掌握类比和归纳的相关概念和数学归纳原理，了解利用类比和归纳的常见类型及方法解决数学例题的过程．难点：认识类比、归纳与化归的关系以及归纳法与数学归纳法的区别．第四章联想与直觉知识点一：联想的有关概念、意义、法则及其途径包括联想与数学联想的概念及3个联想法则和5个联想途径的介绍．知识点二：直觉的有关概念、意义、特征及数学直觉分类包括直觉与数学直觉的概念及6个直觉思维的特征介绍．知识点三：联想与直觉在解题中所起的作用本节重点是选择一个简洁、典型的例题，由此来说明联想与直觉在解题中的作用及其方法．重点：掌握联想与直觉的相关概念和思维规律，了解利用联想与直觉的方法发现或解决数学问题的过程．难点：认识联想与直觉的关系及其区别，并理解两者在解题中所起的作用．第五章数学的论证方法知识点一：论证方法概念及分析法与综合法介绍命题、推理、论证等概念及常用的论证方法的两种．知识点二：直接证法与间接证法及应用这是另外两种常用的论证方法，并介绍其在证题中的应用．知识点三：计算证题法及其应用把证明问题转化为计算的方法叫做计算证题法，该方法一般思路单纯（即使算式繁杂但难度降低），较易着手，且能避免添加过多的辅助线．重点：掌握论证的相关概念和数学推理及其证明类型，掌握计算证题的诸多方法的特点．难点：认识间接证法的本质特征，掌握同一法的特点及其与反证法的区别．第六章数学的抽象方法知识点一：数学研究对象的抽象性数学抽象与其他科学的不同之处在于研究对象的抽象性和研究方法的抽象性两个方面，并介绍研究对象的抽象性的两个特点．知识点二：数学抽象的基本形式介绍数学抽象的4种基本形式．知识点三：研究方法的抽象性及数学发展规律通过几种不同的公理化方法了解数学研究方法的抽象性，并由此探讨数学学科的发展规律．重点：掌握数学对象抽象的特点，理解数学抽象方法对数学发展的意义．难点：对数学抽象的几种常见形式的认识，对各种不同公理化方法的理解．第七章数学的模型方法知识点一：数学模型方法的有关概念及其意义介绍模型以及数学建模等概念，并介绍其4个方面的意义．知识点二：数学建模的一般步骤及建模过程利用“凳子的平稳问题”的解决过程来说明数学建模的7个步骤．知识点三：数学建模的基本方法通过具体实例介绍数学建模的3种基本方法．重点：掌握数学模型的有关概念，了解数学模型方法的意义及其作用．难点：弄清数学建模的每一步骤的特点，了解数学建模各类方法的区别．第八章数学的试验方法知识点一：试验方法的基本思想及思维过程数学试验方法的基本思想是：面对问题和题设情况→确定试验方案→逐项试验→去伪存真（剔除不合题意的解）→找出问题解答．知识点二：数学试验与数学猜想的关系对于较为复杂的数学题，且不容易找到解题思路时，可进行适当实验，并对实验结果作归纳，探索条件与结论的联系，猜测解题方向．知识点三：非标准问题及优选问题的试验求解非标准问题与优选问题，一般难以直接用常规的思考方法，而运用试验来寻找解题方向，往往容易成功．重点：了解试验方法的基本思想，掌握非标准问题试验求解的一般方法．难点：弄清数学试验与数学猜想的关系以及在猜想中的作用，了解数学试验方法与其他方法的区别．第九章数学的美学方法知识点一：数学家与艺术的关系及其对数学美的看法知识点二：数学美的基本特征数学美既有感性的色彩，又有其确定的内容，它的基本特征是相对稳定的，用美学的标准来看，它具有简单性、对称性、统一性和奇异性．知识点三：数学美的意义及审美能力的培养介绍数学美的3方面的意义，以及数学审美能力的4个层次，并探讨数学审美能力培养的方法等．重点：了解数学家对数学美的看法，了解数学美在学习数学和解题方面的作用及例题，逐步培养学生的数学审美能力．难点：掌握数学美的基本特征及其表现形式，认识研究数学美学方法的意义．第十章数学语言知识点一：数学语言的特征及其特点数学语言又叫符号语言，它具有4方面的特征以及3大特点．知识点二：数学的名词、符号和图形对于数学语言的这三种形式的使用、要求、分类等予以介绍．知识点三：数学语言运用的标准在各类数学语言的运用中，都需要符合所介绍的4点标准，也是4点要求．重点：了解数学语言的特点，认识数学符号的意义，熟悉数学语言运用的标准，提高学生准确、灵活地运用数学语言的能力．难点：理解数学名词的意义，掌握数学符号的发展变化过程及其分类．五、教学特点和学习方法1、本课程以讲授为主，2学分共36个课时，以南京师大出版社2006年出版的《数学方法论简明教程》(主编：章士藻)为主讲的教材．2、我们假定学员们都了解一些形式逻辑和数学公理方面的知识（包括命题、推理、论证及数学公理系统、公理化思想等），所以，我们是在此基础上学习本课程，因此，建议学员们在学习中查看一些形式逻辑和数学公理方面的材料，以便于更好地理解相关的内容．3、由于本课程课时有限，而教材内容又太多，因此有些内容不讲或略讲，例如：所讲的内容一般是各章节最基本的部分，所选的例题也是尽可能简单的、典型的，有不少过难或过繁的例题不讲．即只选讲该学科的入门知识．。
探索2005初中毕业数学学业考试命题思路
探索2005初中毕业数学学业考试命题思路南京师范大学马复一、数学学业考试基本定位初中毕业生数学学业考试是初中数学科目的终结性考试——全面、准确地评估初中毕业生达到《标准》所规定的数学学业水平的程度；考试的结果也是高中阶段学校招生的重要依据之一（进一步发展情况）。
数学学业考试命题的基本指导思想：1. 数学学业考试要有利于引导和促进数学教学全面落实《标准》所设立的课程目标，有利于改善学生的数学学习方式、提高学生数学学习的效率，有利于高中阶段学校综合、有效地评价学生的数学学习状况（评价与教学应当保持一致）。
2.数学学业考试既要重视对学生学习数学知识与技能的结果和过程的评价，也要重视对学生在数学思考能力和解决问题能力等方面发展状况的评价。
（课程目标）3. 数学学业考试命题应当面向全体学生，根据学生的年龄特征、思维特点、数学背景和生活经验编制试题，使具有不同的数学认知特点、不同的数学发展程度的学生都能表现自己的数学学习状况，力求公正、客观、全面、准确地评价学生通过义务教育阶段的数学学习所获得的相应发展。
二、考试形式与考试时限：学生的数学学习成果主要体现在以下几个方面：获得了在未来社会生活中所必备的数学知识、技能和方法；能够初步运用数学的思维方式认识一些自然与社会现象，解决相应的问题；能自主地从事一些数学探究活动、并能够在活动中有效地表达自己的思维过程，理解他人的观点；能够形成一些基本的思维方式、具备一定的抽象思维水平，等。
因此，数学学业考试的主要内容是学生掌握相应的数学知识、技能、方法的状况，利用有关知识解决问题的能力，从事基本的数学探究性活动的情况，以及相应的思维发展水平和特征，等等。
最主要的考试形式是书面闭卷考试。
然而，由于书面闭卷考试形式在考查学生的“数学活动过程”情况、“数学思考”能力、“解决问题能力”等内容方面存在着明显的局限性，我们希望各地区探索其他的考试形式，与书面闭卷考试一道,共同反映学生的数学学习状况。
萧山区2005学年第二学期期末七年级数学质量
反比例函数的性质及其应用徐生根我们知道函数y k x k =≠/()0的常数叫做反比例函数，k 叫做比例系数。
特别要注意理解以下几点：1. 自变量x 的次数是－1，自变量x 的取值范围是x ≠0。
函数的图象是双曲线，两个分支无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴。
2. 反比例函数的性质：k >0图象的分支分别在第一、三象限。
y 随x 的增大而减小，k <0，图象在二、四象限，y 随x 的增大而增大。
3. 反比例函数图象有一个重要结论，如图1，设P （a ，b ）是反比例函数y k x k =≠/()0图象上的任一点，PA x ⊥轴于A ，PB y ⊥轴于B ，则有S OA PA ab k POA ∆=⋅⋅==121212||||；矩形OAPB 的面积=⋅==OA OB ab k ||||。
图1现在举例说明性质的应用。
例 1. （2003年兰州市中考题有改编）已知y m m x mm =++-()2122中，如果y 是x 的反比例函数，则m 的值为_____________。
析解：由定义知m m 211+-=-解得m m 1201==-，由于m m 220+≠，得m m ≠≠-02，，所以m 的值为－1。
例2. （2004年上海市中考题）在函数y k x k =>/()0的图象上有三点A x y 111()，，A x y 222()，，A x y 333()，，已知x x x 1230<<<，则下列各式中，正确的是（ ）A. y y 130<<B. y y 310<<C. y y y 213<<D. y y y 312<<析解：由k >0知，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y 随着x 的增大而减小，因为x x 120<<，所以y y 210<<；又因为x 30>，所以y y y 2130<<<，故正确答案为A 、C 。
高中05级复习用资料高中数学基本知识·基本思想·基本方法一
高 中 数 学 基本知识·基本思想·基本方法一、集合与简易逻辑1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判断命题的真假要以真值表为依据。
原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系"A B B A "⇒⇔⇒判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；6.（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集（非空子集）个数为2n －1； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆（3）;)(,)(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I == 二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a ，b ］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）； （2）复合函数的单调性由“同增异减”判定； 2.函数的奇偶性（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(x f ; （2）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）； （3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或1)()(±=-x f x f （f(x)≠0）; (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像C 1与C 2的对称性，即证明C 1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 2上，反之亦然；（3）曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=－x+a)的对称曲线C 2的方程为f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);（4）曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a －x,2b －y)=0; （5）若函数y=f(x)对x ∈R 时，f(a+x)=f(a －x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a 对称；（6）函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=2ba +对称； 4.函数的周期性(1)y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数； （5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；（6）y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；5.方程k=f(x)有解⇔k ∈D(D 为f(x)的值域)；6.a ≥f(x) ⇔a ≥［f(x)］max,; a ≤f(x) ⇔a ≤［f(x)］min ;7.（1）n a a b b n log log = (a>0,a ≠1,b>0,n ∈R +); (2) l og a N=aNb b log log ( a>0,a ≠1,b>0,b ≠1); (3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N = N ( a>0,a ≠1,N>0 );8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。